12

Figuras planas ACTIVIDADES INICIALES

12.I.

¿Cuántos dormitorios crees que tiene la casa que aparece en la figura?

Tiene tres dormitorios. Las demás estancias son salón, cocina y baño. 12.II. ¿Dónde situarías el salón y cómo lo amueblarías?

El salón se coloca habitualmente en la estancia de mayor tamaño. 12.III. Haced por parejas el plano de una casa en el que no aparezcan los muebles. A

continuación, cada uno debe amueblarlo por separado. Al final comparad vuestras dos propuestas y discutid las similitudes y diferencias argumentando el porqué de vuestras elecciones. Respuesta abierta

ACTIVIDADES PROPUESTAS 12.1. Dibuja dos polígonos convexos de 3, 4 y 5 lados con sus correspondientes diagonales.

¿Cuántas hay en cada uno?

Triángulo (0 diagonales)

Cuadrilátero (2 diagonales)

Pentágono (5 diagonales)

12.2. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un polígono de 18 lados?

180º · (n – 2) = 180º · (18 – 2) = 180º · 16 = 2880º

18

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12.3. Dibuja las siguientes figuras planas.

a)

Un polígono cóncavo regular.

b)

Una figura que no sea un polígono.

a)

Al ser un polígono cóncavo, tiene al menos un ángulo mayor de 180º. Si fuera regular, debería tener todos los ángulos iguales, y eso es imposible, porque no existe un polígono regular con los ángulos mayores de 180º. No es un polígono porque los lados se cortan y no están unidos sucesivamente.

b)

12.4. Actividad interactiva

12.5. Dibuja en tu cuaderno un triángulo rectángulo isósceles.

Para que sea rectángulo debe tener un ángulo de 90º, y para que sea isósceles, los catetos deben medir lo mismo.

3 cm

3 cm

12.6. ¿Qué tienen en común el rectángulo y el romboide? ¿En qué se diferencian?

Tienen en común que son paralelogramos con lados paralelos iguales. Se diferencian en que el rectángulo tiene los cuatro ángulos iguales, y el romboide los tiene iguales dos a dos. 12.7. Un ángulo de un romboide mide 40º. ¿Cuánto miden los otros ángulos?

Como el romboide tiene los ángulos iguales dos a dos, tendrá otro ángulo de 40º. Como tiene 4 lados, la suma de sus ángulos interiores es 360º, por lo que los otros dos ángulos medirán: 360º = (40º · 2 + x · 2)  2x = 360º – 80º = 280º  x = 140º 12.8. Actividad interactiva

12.9. Dibuja un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 centímetros de radio.

La siguiente construcción aproximación para dibujar regulares.

es una polígonos

A

O

4 cm

C

B

Unidad 12 | Figuras planas

19

12.10. Construye un cuadrado a partir de un octógono de 3,5 centímetros de lado.

La siguiente construcción es una aproximación para dibujar polígonos regulares.

8 O

3,5 cm A

M

B

12.11. Actividad resuelta 12.12. Dibuja un triángulo con los datos siguientes.

a)

Un lado mide 7 centímetros, y los ángulos contiguos, 45º y 63º.

b)

Es rectángulo y sus catetos miden 3 y 4 centímetros.

c)

Dos lados miden 5 y 6 centímetros, y el ángulo que forman es de 108º.

d)

Los lados miden 10, 12 y 15 centímetros, respectivamente.

a)

Dibujamos el segmento a = 7 y, con vértice en sus extremos,  = 63º.  = 45º y B construimos los ángulos C El punto de corte es el otro vértice, A, del triángulo. 63o

45o 7 cm

b)

Dibujamos el ángulo recto. A partir de su vértice y sobre cada uno de sus lados dibujamos los segmentos a = 3 y b = 4. Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el triángulo.

3 cm

4 cm

c)

 = 108º con el compás o el transportador. Dibujamos el ángulo C

A partir de su vértice y sobre cada uno de sus lados dibujamos 5 cm los segmentos a = 5 y b = 6. Unimos los extremos de los segmentos y obtenemos el triángulo. d)

108o 6 cm

Dibujamos uno de los segmentos, por ejemplo, el de 10 cm. Con el compás marcamos un arco de circunferencia de 12 cm con centro en uno de los extremos del segmento y otro 15 cm de 15 cm con centro en el otro extremo.. El punto de corte es el vértice del triángulo.

10 cm

20

Unidad 12 | Figuras planas

12 cm

12.13. ¿Es posible construir un triángulo con dos lados iguales a 4, 6 y 10 centímetros? Explica

tu razonamiento. No, porque la suma de las medidas de los lados más pequeños debe ser mayor que la del grande. Al intentar dibujarlo, resultaría un segmento. 12.14. Las medidas de los lados de un triángulo son 5 centímetros, 7,20 centímetros y 35

milímetros. Los lados de otro triángulo miden 72 milímetros, 3,5 centímetros y 0,5 decímetros. Dibújalos y estudia si son iguales. Si ponemos todas las medidas en centímetros, los lados de los triángulos coinciden: 5, 7,2 y 3,5 cm. Por el primer criterio de igualdad de triángulos, estos dos triángulos son iguales, ya que tienen los lados iguales.

0

m

35

=

cm

5 3,

5c

m=

0,5

dm

m

7,20 cm = 72 mm

12.15. Construye un triángulo igual a ABC que tenga el lado b sobre la recta r.

b = 5 cm r 60º

Dibujamos el segmento b = 5 cm sobre la recta. Con el transportador de ángulos marcamos en un extremo de b el ángulo de 60º y en el otro extremo un ángulo de 30º.

60º

b = 5 cm

r

12.16. Actividad resuelta 12.17. Dibuja las mediatrices de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8

centímetros y el ángulo que forman es de 80º. Señala el circuncentro.

m

8c

8c m

80o

C

12.18. Traza las mediatrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 12 y 5 centímetros.

¿Dónde se cortan?

C 5 cm

Las tres mediatrices se cortan en el punto medio de la hipotenusa.

12 cm

Unidad 12 | Figuras planas

21

12.19. Dibuja una circunferencia que pase por los vértices de un triángulo de lados 3, 5 y 6

centímetros. Dibujamos el triángulo de lados 3, 5 y 6 cm. Hallamos su circuncentro, que será el centro de la circunferencia circunscrita. 3 cm 5 cm 6 cm

12.20. Uno de los lados de un triángulo mide 7 centímetros, y sus ángulos contiguos, 65º y 40º.

a)

Señala su circuncentro.

b)

Dibuja la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo

a)

Construimos el triángulo dibujando el lado. En sus extremos trazamos dos semirrectas con las medidas de los ángulos, y donde se cortan está el otro vértice. Luego, trazamos las mediatrices y señalamos el punto donde se cortan, que es el circuncentro. Es la circunferencia que tiene como centro el circuncentro y por radio la distancia de este punto a cualquiera de los vértices del triángulo.

b)

C

65o

40o

7 cm

12.21. Actividad resuelta 12.22. Traza las bisectrices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4 y 3 centímetros.

Señala el punto dónde se cortan y escribe qué nombre recibe. Una vez realizado el triángulo, trazamos las bisectrices de los tres ángulos. El punto de corte se llama incentro.

3 cm

4 cm

12.23. Uno de los lados de un triángulo mide 6 centímetros, y los ángulos contiguos a él, 45º y 80º.

a)

Dibuja el triángulo.

b)

Señala el incentro.

a)

Dibujamos el triángulo empezando por el lado y luego, en sus extremos, midiendo los ángulos. Las semirrectas que determinan esos ángulos se cortan en un punto que es el otro vértice del triángulo. Luego, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I.

b)

22

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I 80o

P 45o 6 cm

12.24. Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 7 centímetros. Dibuja una circunferencia que sea

tangente a los tres lados. Dibujamos el triángulo, trazando uno de los lados y, sobre sus extremos, marcamos la medida de los otros dos lados con un compás. Donde se cruzan los arcos está el otro vértice. La circunferencia tangente a los lados es la inscrita, cuyo centro es el incentro, que se halla como intersección de las bisectrices de los ángulos del triángulo.

4 cm

5 cm

7 cm

12.25. En un triángulo isósceles, los lados iguales miden 7 centímetros cada uno, y el ángulo

que forman, 120º. a)

Dibuja su incentro.

b)

Dibuja la circunferencia tangente a los tres lados.

a)

Una vez dibujado el triángulo, trazamos las bisectrices de los ángulos, y el punto de corte es el incentro, I. La circunferencia es la que tiene su centro en el incentro del triángulo, y su radio es la distancia del incentro all pie de la altura sobre el lado desigual.

b)

7 cm

120o

7 cm

I

12.26. Actividad interactiva 12.27. Traza las alturas de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 6 centímetros cada

uno y el ángulo que forman es de 70º.

70o 6 cm

6 cm

12.28. Copia en tu cuaderno estos dos triángulos rectángulos. Después, dibuja el ortocentro de

cada uno de ellos. a)

b)

¿Dónde se encuentra el ortocentro de un triángulo rectángulo? a)

b)

O

O

El ortocentro de un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto.

Unidad 12 | Figuras planas

23

12.29. Dibuja un triángulo equilátero de 7 centímetros de lado. Señala su ortocentro.

7 cm

7 cm O

7 cm

12.30. Dibuja un triángulo rectángulo isósceles de catetos iguales a 5 centímetros.

Halla el ortocentro e indica con qué otro punto coincide. El ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

5 cm

O

5 cm

12.31. Los tres lados de un triángulo miden 5, 4 y 8 centímetros.

a)

Traza sus alturas.

b)

Señala su ortocentro e indica si es interior o exterior al triángulo.

a) y b) El ortocentro es exterior al triángulo. 8 cm 4 cm 5 cm

O

12.32. Actividad resuelta 12.33. Copia los siguientes triángulos y dibuja sus medianas.

a) A

b)

C

a)

E

B

b)

A

C

24

F

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B

G F

E

G

12.34. Comprueba que en un triángulo isósceles la mediana sobre el lado desigual lo divide en

dos triángulos iguales. En un triángulo isósceles trazamos la mediana sobre el lado desigual. Se forman dos triángulos, T1 y T2, con los 3 lados iguales. Las hipotenusas, AB = AC por ser los lados iguales de un triángulo isósceles. T1 y T2 tienen la mediana como lado. Los lados que faltan también son iguales, ya que midenla mitad del lado AC.

B

T1

A

T2

C

12.35. Halla el baricentro de un triángulo de lados 8, 6 y 10 centímetros.

¿Es necesario trazar las tres medianas? Construimos el triángulo; luego, dos medianas, y el punto de corte de estas es el baricentro. Por tanto, no es necesario trazar la tercera mediana. 10 cm 6 cm

G 8 cm

12.36. Actividad interactiva

12.37. Indica cuáles de las rectas dibujadas en la figura son ejes de simetría. c b d a

Son ejes de simetría las rectas a y d.

12.38. Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él los ejes de simetría.

¿Cuánto mide el ángulo que forman dos ejes contiguos?

8 cm

60º

8 cm

8 cm

Los ejes de simetría son sus tres alturas (medianas, mediatrices y bisectrices). El ángulo que forman dos ejes es de 60º.

Unidad 12 | Figuras planas

25

12.39. Traza todos los ejes de simetría que hay en un hexágono regular cuya circunferencia

circunscrita tiene 5 centímetros de radio. ¿Cuánto mide el ángulo que forman dos ejes contiguos?

30º 5 cm

Dos ejes de simetría consecutivos forman un ángulo de 30º.

EJERCICIOS Polígonos 12.40. Clasifica los siguientes polígonos.

a)

a) b)

b)

Pentágono irregular cóncavo. Heptágono regular convexo

c)

c) d)

d)

Octógono regular cóncavo. Hexágono irregular convexo.

12.41. Un triángulo rectángulo tiene los dos catetos iguales. ¿Qué puedes decir de los ángulos

agudos correspondientes? Los ángulos agudos correspondientes son iguales y miden 45º. Se trata de un triángulo rectángulo isósceles.

 en los siguientes triángulos. 12.42. Calcula el ángulo A

a)

b) 49⬚

63⬚

a) b)

26

65⬚ 80⬚

A

 + 63º + 49º = 180º  A  = 180º – 63º – 49º  A  = 68º A  + 65º + 80º = 180º  A  = 180º – 65º – 80º  A  = 35º A

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A

12.43. En el siguiente trapecio rectángulo falta un ángulo. ¿Cuánto mide?

90⬚

90⬚

30⬚

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es 360º. Los 3 ángulos conocidos suman: 90º + 90º + 30º = 210º.  = 360º – 210º = 150º. Si se llama Aˆ al ángulo que falta, se obtiene: A

12.44. *Completa en tu cuaderno las siguientes frases.

a)

El cuadrilátero que sus cuatro ángulos iguales es un...

b)

El polígono con dos lados iguales que forman ángulo recto y un tercer lado distinto es un...

c)

El polígono con sus cuatro lados iguales es un...

d)

El triángulo con los tres lados distintos es...

e)

El polígono con un par de lados paralelos y otros dos que no lo son es un…

a) b) c) d) e)

rectángulo triángulo rectángulo isósceles rombo escaleno trapecio

12.45. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a)

Hay paralelogramos que no son rombos.

b)

Hay trapecios que tienen los cuatro ángulos iguales.

c)

Hay cuadriláteros que son rombos y rectángulos a la vez.

d)

Hay rectángulos que tienen los cuatro ángulos iguales, pero no rectos.

a) b) c) d)

Verdadero. Por ejemplo, los rectángulos y los romboides. Falso. Si tienen los cuatro ángulos iguales, son rectángulos o cuadrados. Verdadero. Por ejemplo, el cuadrado. Falso. Los rectángulos, por definición, tienen los cuatro ángulos rectos.

12.46. Calcula la suma de los ángulos interiores de estos polígonos.

a)

Trapezoide

c)

Octógono regular

b)

Dodecágono

d)

Eneágono regular

a)

Tiene 4 lados  180º · (4 – 2) = 360º.

c)

Tiene 8 lados  180º · (8 – 2) = 1080º.

b)

Tiene 12 lados  180º · (12 – 2) = 1800º. d)

Tiene 9 lados  180º · (9 – 2) = 1260º.

Unidad 12 | Figuras planas

27

12.47. ¿Verdadero o falso?: “Si las diagonales de un cuadrilátero son perpendiculares, se trata

de un rombo”. Dibuja las figuras correspondientes para razonar tu respuesta. Es falso porque algún trapezoide también cumple esa condición.

Rombo

Trapezoide

12.48. *Contesta a las siguientes preguntas sobre un decágono.

a)

¿En cuántos triángulos se puede dividir?

b)

A partir del resultado anterior, ¿cuánto suman sus ángulos?

a) b)

En 2 unidades menos que el número de lados que tiene. Por tanto, en 8 triángulos. Sus ángulos miden: 180º · (10 – 2) = 1440º

12.49. Un triángulo tiene dos lados iguales y uno de los ángulos mide 60º.

¿Se puede afirmar que es un triángulo equilátero? Si el ángulo que forman los lados iguales mide 60º, entonces los ángulos de la  180º = 60º + 2 · A  A  = 180º −60º = 60º . base miden lo mismo: A 2 Por tanto, el triángulo es equilátero.

a 60o

a

Si tiene dos lados iguales, los ángulos de la base han de ser iguales, y si uno de ellos es el de 60º, el otro también debe medir 60º. Entonces, el tercer ángulo también es de 60º. Por tanto, el triángulo también es equilátero.

12.50. En un triángulo se sabe que un ángulo es igual a la suma de los otros.

¿Qué clase de triángulo es? , B  yC  los tres ángulos. Sean A

 =B  +C  y 180º = A  +B  +C   180º = 2 A A  = 180º = 90º . Como A 2 Luego el triángulo es rectángulo.

28

Unidad 12 | Figuras planas

a 60o

a

12.51. En un cuadrado se construyen cuatro triángulos, uno equilátero y los otros tres

X . isósceles, tal como se indica en la figura. Calcula la medida del ángulo  B

A

O D

X

C

Indicación: Los lados cortados con el signo ('') son iguales. El triángulo AOB es equilátero, de modo que sus ángulos miden 60º. Los triángulos AOD y BOC son isósceles. Por tanto, tienen dos ángulos iguales e iguales entre sí.  =B  = 90º – 60º = 30º En esos triángulos, A Como entre los tres ángulos deben sumar 180º y los otros dos son iguales, esos valen: 180º − 30º = 75º cada uno. 2 En el punto O se conocen tres de los ángulos que aparecen en la figura: 60º, 75º y 75º. Falta  X. X = 360º – (60º + 75º + 75º)   X = Como entre todos suman una vuelta completa, 360º:  150º.

Construcción de polígonos regulares 12.52. Construye un eneágono regular sabiendo que el diámetro de su circunferencia

circunscrita mide 7 centímetros. La siguiente construcción es una aproximación para dibujar polígonos regulares.

A

O

C

3,5 cm

B

12.53. Traza un pentágono regular de 3 centímetros de lado.

La siguiente construcción es una aproximación para dibujar polígonos regulares.

O 5

3 cm B

A M

Unidad 12 | Figuras planas

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12.54. Construye un dodecágono regular en una circunferencia circunscrita de 8 centímetros

de diámetro. Une con segmentos los vértices alternos del dodecágono. ¿Es regular la figura que obtienes de este modo? A

La siguiente construcción es una aproximación para dibujar polígonos regulares.

O 4 cm

C

B

Se obtiene un hexágono regular.

Igualdad de triángulos 12.55. Estudia si son iguales los siguientes triángulos.

a)

b)

B

D 60⬚

4,5 cm

60⬚ A

43⬚ C

4,5 cm

77⬚

F

E

En el triángulo ABC se conocen un lado y los dos ángulos contiguos. Si en el triángulo DEF, un lado y los dos ángulos contiguos coincidieran con el anterior, serían iguales según el tercer criterio de igualdad. En DEF se conocen dos ángulos. Se puede hallar el tercero:  = 180º  F  = 180º – 60º – 77º  F  = 43º 60º + 77º + F Entonces, en DEF, el lado conocido y los ángulos contiguos a él coinciden con los de ABC. Por tanto, son iguales. 12.56. ¿Cuánto debe valer el ángulo Dˆ para que los dos triángulos sean iguales?

a)

b)

B 6 cm

E 6 cm

82⬚ 56⬚

A

4 cm

D C

D

4 cm

F

Por el 2.º criterio de igualdad de triángulos: dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos; por tanto, para que sean iguales los triángulos se  =A . debe verificar que D : A  + 82º + 56º = 180º  A  = 180º – 138º = 42º  D  = A  = 42º. Calculamos A

30

Unidad 12 | Figuras planas

12.57. Un lado de un triángulo mide 48 milímetros, y sus ángulos contiguos, 35º y 80º. En otro

triángulo, un lado mide 0,48 decímetros, y el ángulo opuesto, 65º. ¿Se puede afirmar que ambos triángulos son iguales? El lado conocido mide lo mismo, 0,48 dm = 48 mm. Veamos si miden lo mismo los ángulos contiguos. + B  + 65º  A + B  = 115º; entonces, en el segundo triángulo, entre los dos ángulos 180º = A desconocidos suman 115º, pero eso no significa que uno sea de 35º y otro de 80º, podrían ser también de 40º y de 75º. En ese caso, los ángulos contiguos al lado conocido no coincidirían. Por tanto, no se puede afirmar que sean iguales.

Elementos notables de un triángulo 12.58. En un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 centímetros, y el ángulo que

forman, 100º, traza: a)

La mediatriz del lado desigual.

b)

La bisectriz del ángulo desigual.

c)

La altura sobre el lado desigual.

d)

La mediana sobre el lado desigual.

e)

¿Cómo son las cuatro rectas trazadas?

a)

c) 100o

8 cm

8 cm

100o

8 cm

b)

8 cm

d) 100o

8 cm

e)

8 cm

100o

8 cm

8 cm

Todas las rectas coinciden.

12.59. Dibuja un triángulo equilátero de 8 centímetros de lado y traza en él las mediatrices,

bisectrices, medianas y alturas. Señala los puntos de corte correspondientes. ¿Qué observas? B

B

8 cm

8 cm

8 cm

8 cm

8 cm

8 cm

O

O A

B

C

A

8 cm

B

8 cm

8 cm

O C

A

8 cm

8 cm

O C

A

8 cm

C

Mediatrices Bisectrices Alturas Medianas O Circuncentro O Incentro O Ortocentro O Baricentro Se observa que el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro son el mismo punto, O.

Unidad 12 | Figuras planas

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12.60. Los lados de un triángulo miden 6, 4 y 7 centímetros.

a)

Dibuja una circunferencia que pase por los tres vértices del triángulo. ¿Cuál es el centro?

b)

Traza la circunferencia que es tangente a los tres lados.

a)

El centro de la circunferencia es el circuncentro (punto de corte de las mediatrices), y el radio es la distancia del centro a uno de los vértices del triángulo.

6 cm 4 cm

C 7 cm

b)

El centro de la circunferencia es el incentro (punto de corte de las bisectrices), y el radio es la distancia del centro a uno de los lados del triángulo.

4 cm

6 cm

I

7 cm

12.61. Copia en tu cuaderno el siguiente triángulo.

a)

A

Señala los puntos medios de los lados.

b) Une los puntos medios formando un nuevo triángulo.

B

c) Traza las medianas de los dos triángulos. ¿Cómo son? d)

Señala el baricentro.

C

a)

b)

A

A

M

M B

B

P

P N

N

C

C

c) y d) Las medianas de los dos triángulos coinciden. Por tanto, el baricentro, G, también. A M T B

R P

G S N C

32

Unidad 12 | Figuras planas

12.62. El triángulo de la siguiente figura es rectángulo en B. Calcula los ángulos indicados con

letras. C

C 90º

32⬚

E

D B

A

M es el punto donde se interseca la altura desde B, con el segmento AC. ABM y BMC son triángulos rectángulos.  + 32º + 90º = 180º  D  = 180º – 32º – 90º = 58º  D  = 58º En ABM: D  y E  son complementarios: En ABC, D y C  son complementarios: En BMC, E

 + E  = 90º  E  = 90º – 58º = 32º  E  = 32º D  +C  = 90º  C  = 90º – 32º = 58º  C  = 58º E

Simetrías en las figuras planas 12.63. Dibuja las siguientes figuras y señala, si los tienen, los ejes de simetría.

a)

Trapecio rectángulo

c)

Trapezoide

b)

Triángulo isósceles

d)

Triángulo equilátero

a)

No tiene.

c)

No tiene.

b)

d)

12.64. Dibuja un cuadrado y traza en él todos sus ejes de simetría. ¿Por qué punto pasan todos

ellos? Todos los ejes de simetría pasan por el centro del cuadrado.

Unidad 12 | Figuras planas

33

PROBLEMAS 12.65. Para dibujar un terreno con forma triangular se han medido dos de sus lados y el ángulo

comprendido entre ellos. ¿Es suficiente con esas medidas para tener determinado el terreno? Sí es suficiente con esos datos para determinar el triángulo, basta unir los dos extremos de los lados.

a

D

b

12.66. Explica si son iguales las siguientes figuras.

a)

Dos triángulos equiláteros.

b)

Dos triángulos rectángulos de catetos 3 centímetros.

c)

Dos triángulos isósceles cuyo lado desigual mide 5 centímetros.

a) b) c)

No son iguales, porque aunque tengan los ángulos iguales, los lados pueden ser distintos. Sí, porque se verifica el 2.º criterio de igualdad de los triángulos. No, los otros dos lados pueden tener medidas distintas en cada triángulo.

12.67. A Cristina le gusta mucho el diseño y va a hacer una colección de colgantes y pulseras

que llamará Geometría regular. No sabe si le gusta más el tamaño que tienen si están inscritos en una circunferencia de 10 milímetros de radio o si su lado mide 10 milímetros. Ha pensado que probará con un pentágono regular y un cuadrado para elegir los más pequeños. ¿Qué diseño elegirá? Se dibujan las figuras circunscritas en la circunferencia de 10 mm de radio para hallar la longitud del lado:

El lado del pentágono es 1,6 cm.

El lado del cuadrado es 1,4 cm.

Son más pequeños si los hace de 10 mm de lado.

34

Unidad 12 | Figuras planas

12.68. Observa el dibujo. Halla el punto donde hay que colocar la pelota para que esté a la

misma distancia de los tres jugadores.

¿Cómo se llama ese punto? El punto que se encuentra a la misma distancia de los jugadores es el punto del triángulo que está a la misma distancia de los tres vértices, es decir, donde se cortan las tres mediatrices, el circuncentro.

12.69. La profesora de matemáticas propone un juego a sus alumnos. Tienen que adivinar qué

polígono dibuja en un papel sabiendo solamente la suma de los ángulos interiores del mismo. ¿Qué polígonos ha dibujado en cada caso? a)

La suma de los ángulos es 180º.

b)

La suma de los ángulos es 360º.

c)

La suma de los ángulos es 720º.

d)

La suma de los ángulos es 900º.

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º · (n – 2). a)

180º · (n – 2) = 180º  n – 2 =

180º  n = 3, el polígono es un triángulo. 180º

b)

180º · (n – 2) = 360º  n – 2 =

360º  n – 2 = 2  n = 4, el polígono es un cuadrilátero. 180º

c)

180º · (n – 2) = 720º  n – 2 =

720º  n – 2 = 4  n = 6, el polígono es un hexágono. 180º

d)

180º · (n – 2) = 900º  n – 2 =

900º  n – 2 = 5  n = 7, el polígono es un heptágono. 180º

Unidad 12 | Figuras planas

35

12.70. Dos

pintores van a pintar una pared triangular y tienen los dos la misma cantidad de pintura. ¿Cómo deben repartirse la pared para que los dos pinten la misma superficie?

Se dibuja la mediana por un vértice cualquiera, y así el triángulo queda dividido en dos regiones de igual superficie. 12.71. *Laura ha ido con sus padres a Nueva York y dice que allí las señales de tráfico no son

iguales que las de España. La profesora enseña a la clase algunas de ellas.

a)

Estudia los polígonos y los ejes de simetría que aparecen en las señales.

b)

Dibuja los ejes de simetría que aparecen en las señales.

a) b)

Las cuatro señales son cuadrados.

12.72. Los abuelos de Pablo tienen un prado sin

cercar en forma triangular y un caballo. Quieren atar el caballo de modo que desde un punto pueda ir lo más lejos posible, pero sin pacer la hierba de la vecina. a)

¿Dónde tienen que colocar la estaca?

b)

Haz la construcción correspondiente.

c)

Comprueba correcta.

a)

La estaca debe estar clabada en el incentro del triángulo. Se dibujan dos bisectrices y se marca el punto de intersección. Trazando la circunferencia inscrita obtenemos el radio que se corresponde con la longitud de la cuerda con la que vamos a atar al caballo.

b) c)

36

Unidad 12 | Figuras planas

que

tu

solución

es

C M

P

A

N

B

12.73. Copia en tu cuaderno este triángulo. A

B

C

a)

Halla el baricentro, el ortocentro y el circuncentro del triángulo. ¿Qué observas?

b)

Compara las distancias del baricentro y el circuncentro al ortocentro. ¿Qué observas?

a)

Se observa que los tres puntos están alineados. La recta que los une es la recta de Euler. A

P G O

C

b)

B

La distancia del baricentro al ortocentro es dos tercios de la del circuncentro al ortocentro.

Unidad 12 | Figuras planas

37

AMPLIACIÓN  es de 120º, y el ángulo Q  es el 12.74. En el cuadrilátero PQRS, el ángulo P  es recto, ¿cuántos grados Q  . Si el ángulo R cuádruple del ángulo S ? mide el ángulo S

a)

28º

c)

32º

b)

o

d)

34o

30

R

120º

P S

 , se cumple que: 360º =120º + 90º + x + 4x, lo que nos lleva a Llamando x al valor del ángulo S afirmar que x = 30º. 12.75. En la figura adjunta, ABCD es un paralelogramo. El punto E es

A

el simétrico de B respecto de C, y F es el punto de corte de las rectas OE y DC. ¿Qué es el punto F en el triángulo BDE?

B O

D

a)

El circuncentro

c)

El incentro

b)

El baricentro

d)

El ortocentro

F

C

E

Como BC = CE, el segmento DC es la mediana del triángulo BDE que parte del vértice D. Como DO = OB, el segmento EO es la mediana del triángulo BDE que parte del vértice E. Como F es el punto de corte de las dos medianas DC y EO, concluimos que F es el baricentro del triángulo BDE. 12.76. En la figura adjunta, el punto B es el simétrico de A

A s

respecto de la recta r, y el punto C es el simétrico de B respecto de la recta s. ¿Qué es el punto O en el triángulo ABC? a) b)

El circuncentro

c)

El baricentro

d)

B

El incentro

r

El ortocentro

C

La recta r es la mediatriz del lado AB en el triángulo ABC. La recta s es la mediatriz del lado BC en el triángulo ABC. El punto O es la intersección de las mediatrices r y s, por lo que el punto O es el circuncentro del triángulo ABC. 12.77. *Los puntos (–1, 6), (0, 0) y (3, 1) son tres vértices de un paralelogramo.

¿Cuántas posiciones posibles puede tener el cuarto vértice? a)

0

b) Y A

1

c)

C X

O B

D’’

Unidad 12 | Figuras planas

d)

3

Hay tres posibilidades, según la posición del vértice D: opuesto a A, opuesto a B y opuesto a C.

D

D’

38

2

AUTOEVALUACIÓN Clasifica, según los ángulos y los lados, los siguientes polígonos.

12.A1.

a)

a)

b)

Cuadrilátero convexo

c)

b)

Hexágono cóncavo

c)

Triángulo convexo

12.A2. Construye un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 7 centímetros de radio. A

La siguiente construcción aproximación para dibujar regulares.

es una polígonos O 7 cm

C

B

12.A3. Traza la circunferencia tangente a los tres lados de un triángulo que miden 5, 8 y 10

centímetros, respectivamente.

10 cm 5 cm

I

8 cm

12.A4. Se trazan todas las diagonales desde uno de los vértices de un polígono convexo de 11

lados. a) ¿Cuántos triángulos se obtienen? b) ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de ese polígono?

a) b)

Se obtienen 2 unidades menos que el número de lados del polígono: 11 – 2 = 9 triángulos. La suma es: 180º · (n – 2) = 180º · (11 – 2) = 180º · 9 = 1620º.

12.A5. Calcula los ángulos que faltan en estas figuras. a)

b) 69⬚

A 26⬚ A

B

a)

b)

B

38⬚

26⬚

 = 69º. Como es un trapecio isósceles, A Por tratarse de un cuadrilátero, la suma de sus ángulos es 360º, y como los dos conocidos suman 138º, se obtiene:

 + B  = 360º – 138º  B  + B  = 222º  B  = 222º = 111º B 2 Como es un cuadrilátero, la suma de sus ángulos debe ser 360º.  + 26º + 38º + 26º  A  = 360º – 90º = 270º  A  = 270º. Los conocidos suman: 360º = A

Unidad 12 | Figuras planas

39

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Dibuja y resuelve > Amueblando la buhardilla Martín quiere cubrir de estanterías una de las paredes de su buhardilla y ha elegido la Serie Básica del catálogo de la tienda de bricolaje Eloy Martín. ESTANTERÍAS SERIE BÁSICA Estantería Estantería Altillo B1 B2 1

Estantería A1

Estantería A2

Altillo 2

Alto

180 cm

180 cm

140 cm

140 cm

50 cm

28 cm

Ancho Fondo

100 cm 30 cm

60 cm 30 cm

100 cm 30 cm

60 cm 30 cm

100 cm 30 cm

Precio

44,95 €

32,95 €

26,95 €

20,95 €

15,95 €

60 cm 30 cm 13,95 €

Porta CD A

Porta CD B

180 cm 25 cm 17 cm 28,95 €

140 cm 25 cm 17 cm 17,95€

La pared en la que Martín quiere que vayan las estanterías tiene la forma de la figura. 12.1. ¿Qué forma poligonal tiene la pared de la

buhardilla?

Es un trapecio rectángulo. 12.2. Observa las dimensiones de la pared y

diseña una estanterías.

2,8 cm 1,4 cm

forma

de

cubrirla

Respuesta abierta 12.3. ¿Cuánto cuesta tu diseño? 3,5 cm

Respuesta abierta

12.4. Tu diseño, ¿es el más económico? Si no lo es, busca el diseño más barato posible.

50 x 100 x 30

2,8 cm

180 x 10 x 30

28 x 60 x 30

180 x 60 x 30

180 x 60 x 30

1 8 0 x 2 5 x 3

140 x 10 x 30

1,4 cm

3,5 cm

Precio: 15,95 + 44,95 + 13,95 + 2 · 32,95 + 28,95 + 26,95 = 196,65 euros

40

Unidad 12 | Figuras planas

con

Experimenta y reflexiona > Construimos un móvil 12.5. ¿Qué punto es el centro de gravedad de un triángulo?

El centro de gravedad de un triángulo es su baricentro, es decir, el punto de intersección de sus medianas. 12.6. Trata de hacer un móvil ahora con un rectángulo.

Respuesta abierta 12.7. Construid un móvil con todos los triángulos y rectángulos hechos en clase con las

cartulinas de colores.

Respuesta abierta 12.8. Los malabaristas son capaces de tener girando a la vez numerosos platos sobre una

varilla. ¿En qué punto del plato sitúan la varilla?

En el centro del círculo (que es el centro de gravedad).

Aprende a pensar > Cubriendo el suelo 12.9. Un mosaico muy sencillo es el formado por cuadrados. Constrúyelo y fíjate en un vértice

donde confluyan varios cuadrados ¿Cuánto vale la suma de los ángulos en cada vértice?

En cada vértice concurren cuatro ángulos rectos; así pues, la suma de todos ellos es 360º. 360º

12.10. *Como la suma de los ángulos en cada vértice de un mosaico debe ser la misma, solo

podremos utilizar polígonos cuyos ángulos sean divisores de esa suma. ¿Cuáles son los polígonos regulares con los que se puede cubrir el plano?

Triángulo equilátero: sus ángulos miden 60º y concurren, por tanto, seis en cada vértice. Cuadrado: sus ángulos miden 90º y concurren, por tanto, cuatro en cada vértice. Hexágono regular: sus ángulos miden 120º y concurren, por tanto, tres en cada vértice. 12.11. En el texto nos indican que podemos cubrir el plano empleando dos polígonos

diferentes. Con el cuadrado y el octógono, ¿cómo lo harías tu?

Colocando cuatro cuadrados en cuatro lados no contiguos del octógono.

Unidad 12 | Figuras planas

41

12.12. ¿Hay más configuraciones posibles de cubrir el plano empleando dos polígonos? Trata

de diseñarlas.

12.13. Los polígonos que más se encuentran en la Alhambra son conocidos por “hueso

nazarí”, “pajarita” y “pétalo”. Se construyen a partir del cuadrado, el triángulo y el rombo.

Entra en la siguiente página y observa cómo se construyen estas figuras: www.e-sm.net/1esoz05

Respuesta abierta 12.14. El pintor holandés Maurits Cornelius Escher se inspiró en la Alhambra para crear

multitud de mosaicos utilizando en muchos de ellos un motivo animal. Busca en internet dibujos de Escher y trata de localizar en ellos el motivo mínimo que se repite. Algunos ejemplos son:

Respuesta abierta 12.15. ¿Crees que la mezcla de culturas enriquece? Explícalo con un ejemplo.

Respuesta abierta

42

Unidad 12 | Figuras planas

Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: M.ª Ángeles Anaya, Isabel de los Santos, José Luis González, Carlos Ramón Laca, M.ª Paz Bujanda, Serafín Mansilla Edición: Rafaela Arévalo, Eva Béjar Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Félix Moreno, José Santos, Estudio “Haciendo el león” Fotografía: Juan Baraja/Archivo SM; AGE FOTOSTOCK Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados de ejercicios han sido marcados porque contienen alguna corrección en su enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain