An´alisis de Arcos Planos Isost´aticos Diego Miramontes De Le´on Resumen n este documento se presentar´an algunos conceptos simples para E el an´ alisis de arcos isost´aticos sujetos a cargas concentradas o distribuidas. Por an´ alisis debe entenderse el resolver el equilibrio y calcular los elementos mec´anicos internos como son la fuerza axial N , fuerza cortante V y momento flexionante M a lo largo de la curva que define al arco. En un primer apartado se tratar´a el arco simplemente apoyado y con apoyos a la misma altura. Enseguida se tratar´an arcos tri-articulados con apoyos a diferente altura.

1. 1.1.

Introducci´ on Definici´ on

Un arco es una estructura que escencialmente se dise˜ na para que desarrolle esfuerzos de compresi´on a lo largo de su eje curvo, sin embargo, como elemento r´ıgido, la flexi´on puede provocar tensiones. Es cierto que el trazo del arco influye directamente en la respuesta que pueda ofrecer ante las cargas aplicadas. Para que el arco sea isost´atico, se requiere que est´e simplemente apoyado (figura 1) o que est´e tri-articulado (figura 2). A diferencia de los cables, en donde hay que determinar la forma que adoptar´a el cable, en los arcos, la geometr´ıa est´a por lo general completamente definida. El problema, adem´as del equilibrio, es sobre todo el c´alculo de los elementos mec´anicos. La geometr´ıa est´a dada por el claro L, o distancia horizontal entre los apoyos, la flecha f o distancia vertical desde la horizontal al apoyo m´as bajo, la clave C, la cual corresponde al punto m´as alto sobre la curva del arco, 1

Figura 1: Arco simplemente apoyado es decir, ´esta coincide con la flecha m´axima, medida siempre desde el punto de arranque, por u ´ltimo el punto de arranque, quien se considerar´a como el punto donde se encuentre el apoyo m´as bajo. En la figura 2, el c´ırculo sobre el arco representa una articulaci´on. La articulaci´on puede estar en cualquier punto, en este caso se supone localizada a una distancia b desde el apoyo izquierdo. Por u ´ltimo, a la l´ınea que une los apoyos, se le da el nombre de l´ınea de arranque y para arcos con apoyos a diferente altura puede medirse la distancia de la flecha desde ella.

2.

Arco simplemente apoyado

En este punto, interesa presentar las expresiones generales para el an´alisis de un arco con apoyos simples y una sola carga concentrada al centro del claro, como se muestra en la figura 1. Tambi´en interesa que los apoyos est´en a la misma altura, ya que representa un caso de estudio com´ un, sobre todo como primer ejemplo. En este caso particular, no habr´a reacci´on horizontal en ning´ un extremo y la reacci´on en cada apoyo vale la mitad de la carga. El equilibrio se resuelve pues por simetr´ıa. P

Fy = 0; R1 + R2 = P R1 = R2 = P2 2

(1)

Figura 2: Arco tri-articulado con cargas concentradas

2.1.

Elementos mec´ anicos

Para obtener la fuerza normal, el cortante y el momento en cualquier punto a lo largo de la curva del arco, conviene hacer uso de la matriz de rotaci´on utilizada en an´alisis estructural : 



cosθ senθ 0   [R] =  −senθ cosθ 0  0 0 1

(2)

Recordando que [R] es ortogonal, ser´a posible pasar de un sistema a otro, de modo que para un punto cualquiera localizado a una distancia (x, y)

3

ser´a m´as sencillo realizar una suma de fuerzas a la izquierda o derecha de ese punto tomando como referencia el sistema de coordenadas global (ver figura 3) , para formar el vector :   

Rx {F } =  Ry  Mz

    

(3) g

Figura 3: Corte del arco en el punto (x, y) En la ecuaci´on 3 Rx se refiere a la resultante de la suma de las fuerzas en la direcci´on X a la izquierda o derecha de la secci´on localizada en el punto (x, y), Ry se refiere a la resultante de la suma de las fuerzas en la direcci´on Y a la izquierda o derecha de la secci´on localizada en el punto (x, y) y por u ´ltimo, Mz se refiere a la resultante de la suma de los momentos en la direcci´on Z a la izquierda o derecha de la secci´on localizada en el punto (x, y). En cada caso debe aplicarse una convenci´on de signos, por ejemplo, N ser´a positiva para tensi´on, V ser´a positiva si sigue la direcci´on positiva del eje Y cuando la suma se haga a la izquierda y negativa cuando se haga a la derecha. Para el momento M se considera usualmente como positivo cuando la concavidad quede al exterior de la estructura. En vigas esto significa que la concavidad es contraria a la direcci´on positiva del eje Y . 4

A partir de las ecuaciones 2 y 3 se obtiene :

{F }l = [R] {F }g

(4)

Para el caso particular del arco de la figura 1, el vector de fuerzas global es simplemente : 

  

Rx = 0   Ry = P2 {F } =    Mz = P2 x g

(5)

Substituyendo este vector en la ecuaci´on 5), se obtendr´an directamente los valores de N , V y M . Sin embargo, dado que el a´ngulo θ var´ıa en cada punto a lo largo del arco, es necesario expresar este cambio en t´erminos de x. Para todo x, la derivada de la funci´on y = f (x) que define la geomter´ıa del arco, dar´a la pendiente en ese punto, de modo que el a´ngulo se calcula directamente :   

Nx Vx   Mx

2.2.

dy dy cos(tg −1 ( dx )) sen(tg −1 ( dx )) 0   Rx   dy dy −1 −1 Ry =  −sen(tg ( dx )) cos(tg ( dx )) 0     0 0 1  Mz

  





  

(6)

 

Arcos Par´ abolicos

Para aplicar la ecuaci´on 6) a problemas definidos, se considerar´a que se conoce la distancia horizontal entre los apoyos L y la flecha m´axima del arco. Esto implica que la coordenada x ser´a L/2 y la flecha ser´a h. 2.2.1.

Arco parab´ olico de segundo grado

Ahora consid´erese que se quiere probar un arco parab´olico de segundo grado, es decir : 5

y = f (x) = Kx2

(7)

Debido a la simetr´ıa, s´olo se analiza la mitad, de modo que el valor de K se obtiene asignado los valores anteriores a x y y : L L y=f =h=K 2 2 





2

(8)

De aqu´ı : K=

4h L2

(9)

La funci´on para el arco parab´olico es : !

y=

4h 2 x L2

(10)

y su derivada es : !

dy = dx

2.2.2.

8h x L2

(11)

Arco parab´ olico de tercer grado

Como en el caso anterior, se tendr´a : y = f (x) = Kx3

6

(12)

L L y=f =h=K 2 2 





3

(13)

De aqu´ı : K=

8h L3

(14)

La funci´on para el arco parab´olico es : !

y=

8h 3 x L3

(15)

y su derivada es : dy = dx

2.2.3.

!

24h 2 x L3

(16)

Arco parab´ olico de cualquier grado

El procedimiento descrito antes puede generalizarse para cualquier grado, de modo que se tiene : y = Kxn

(17)

2n h Ln

(18)

2n h n x Ln

(19)

K=

!

y=

7

dy = dx

n2n h n−1 x Ln !

(20)

Las expresiones dadas en este apartado s´olo son v´alidas para arcos simplemente apoyados y con la misma altura de los apoyos, adem´as la geometr´ıa debe ser sim´etrica como la mostrada en la figura 1. Para un caso m´as general, se analizar´an arcos como el mostrado en la figura 2 y para condiciones de carga tanto puntuales como distribuidas en puntos no sim´etricos.

3.

Arcos tri-articulados

Como parte de las estructuras isost´aticas, es posible encontrar arcos con tres articulaciones, dos de las cuales est´an en los apoyos y una m´as en cualquier parte a lo largo de la curva del arco. Es frecuente que esta articulaci´on guarde cierta est´etica por lo que ese punto arbitrario puede no serlo tanto. En la figura 4 se muestra uno de estos arcos en Puerto Montt, Chile. Adem´as, en las figuras 5, se muestran los detalles de la articulaci´on en uno de los apoyos y en la figura 6 se observa la articulaci´on intermedia.

3.1.

Equilibrio de arcos tri-articulados

A diferencia de loas arcos simplemente apoyados, en donde el equilibrio exterior es pr´acticamente similar al de vigas, en los arcos tri-articulados existen cuatro reacciones externas. La articulaci´on intermedia ofrece la ecuaci´on adicional para resolver el equilibrio. 3.1.1.

Arco con carga puntual

Se analizar´a un arco sujeto a una carga concentrada seg´ un se muestra en la figura 7. Resolviendo el equilibrio exterior se tiene : X

Fx = 0; Ax − Bx = 0 8

(21)

Figura 4: Arco tri-articulado (Fuente: Omar Tellez Elgueta)

X

Fy = 0; Ay − By − P = 0

(22)

MzA = 0; Bx (h) + By (L) − P (a) = 0

(23)

MzC = 0; −Bx (yc − h) + By (L − xc ) = 0

(24)

X

X

Las ecuaciones 23) y 24) incluyen s´olo dos inc´ognitas (Bx y By ) por lo que pueden resolverse simult´aneamente, es decir :

9

Figura 5: Apoyo en arco tri-articulado (Fuente: Omar Tellez Elgueta)

"

h L −(yc − h) (L − xc )

#"

Bx By

#

"

=

P (a) 0

#

(25)

Conocidas Bx y By pueden resolverse 21) y 22) para Ax y Ay . Sup´ongase que h = 0, es decir, los apoyos est´an a la misma altura. Entonces de 23) :

By =

Pa L

(26)

La ecuaci´on 26) es similar a la reacci´on de una viga con una carga concentrada a la distancia a del apoyo A. De la ecuaci´on 24) se tendr´ıa :

10

Figura 6: Articulaci´on intermedia en arco tri-articulado (Fuente: propia)

Bx =

P a (L − xc ) L yc

(27)

Pa 2yc

(28)

Si adem´as xc = L/2 :

Bx =

Para una serie de cargas concentradas P1 , P2 , ...Pn , simplemente se agregar´ıan a las ecuaciones anteriores. 3.1.2.

Arco con carga distribuida

Ahora, se analizar´a un arco sujeto a una carga distribuida seg´ un se muestra en la figura 8. Resolviendo el equilibrio exterior se tiene :

11

Figura 7: Arco tri-articulado bajo carga concentrada

X

X

X

X

Fx = 0; Ax − Bx = 0

(29)

Fy = 0; Ay − By − wa = 0

(30)

MzA = 0; Bx (h) + By (L) −

wa2 =0 2

MzC = 0; −Bx (yc − h) + By (L − xc ) = 0

12

(31)

(32)

Figura 8: Arco tri-articulado bajo carga distribuida Debido a la ecuaci´on 31), la soluci´on s´olo ser´a v´alida para a ≤ x ≤ xc . Adem´as, las ecuaciones 31) y 32) incluyen s´olo dos inc´ognitas (Bx y By ) por lo que pueden resolverse simult´aneamente, es decir : "

h L −(yc − h) (L − xc )

#"

Bx By

#

"

=

wa2 2

#

0

(33)

Conocidas Bx y By pueden resolverse 29) y 30) para Ax y Ay . Nuevamente sup´ongase que h = 0, es decir, los apoyos est´an a la misma altura. Entonces de 31) : wa2 By = 2L

13

(34)

La ecuaci´on 34) es similar a la reacci´on de una viga con una carga distribuida a la distancia a del apoyo A. De la ecuaci´on 29) se tendr´ıa :

Bx =

wa2 (L − xc ) 2L · yc

(35)

wa2 4yc

(36)

Si adem´as xc = L/2 :

Bx =

Considerando ahora que la carga va m´as all´a del punto C, s´olo se modificar´a la ecuaci´on 32) : X

MzC = 0; −Bx (yc − h) + By (L − xc ) −

w(x − xc )2 =0 2

(37)

wa2 2 w(x−xc )2 2

(38)

La soluci´on para esta nueva condici´on es : "

h L −(yc − h) (L − xc )

#"

Bx By

#

"

=

#

Si nuevamente se considera que h = 0 se tendr´a : By =

wa2 2L

(39)

wa2 w(x − xc )2 1 Bx = (L − xc ) − 2L 2 yc #

"

14

(40)

Si adem´as, a = L By =

w(L − xc ) Bx = 2



wL 2

L L − xc − 2 2

(41)



1 yc

(42)

M´as aun, si xc = L/2 ; wL L 1 wL2 Bx = = 4 2 yc 8yc

(43)

Deben atenderse con cuidado los l´ımites para los cuales las soluciones dadas antes son v´alidas, ya que de no hacerlo, los resultados ser´ıan incorrectos.

4.

Comentarios

Es conveniente programar las ecuaciones dadas antes para calcular los valores de N , V y M en varios puntos. Debido a la sencillez de las expresiones y a que el c´alculo es directo, puede hacerse en una hoja de c´alculo, en donde se definan tantos puntos x como se quiera sobre la longitud del claro L. Puede verse que todas las expresiones s´olo dependen de x. Los valores obtenidos pueden graficarse aunque no sigan la curva del arco. Aun as´ı ser´an un referente para comparar el comportamiento ante cada uno de los elementos mec´anicos. En forma general, se presentaron las soluciones del equilibrio exterior para un arco tri-articulado para dos casos espec´ıficos; bajo carga concentrada y bajo carga distribuida. En el primero, s´olo se incluy´o una carga, entendiendo que no hay dificutad en agregar tantas otras como se quiera. En el segundo se consider´o la posibilidad de que la carga distribuida se aplique hasta el punto donde se encuentra la articulaci´on o que pase de ese punto. En todos los casos expuestos se han agregado algunas condiciones expeciales como el que 15

los apoyos est´en a la misma altura y/o que la articulaci´on est´e al centro del claro. Por u ´ltimo se recuerda que deben observarse detenidamente los l´ımites para los cuales son v´alidas las soluciones propuestas.

Referencias [1] A. Ghali y A.M. Neville (1983), An´alisis estructural, Ed. Diana T´ecnico, 1a. Ed, 809p [2] J. L. Meek, (1971), Matrix structural analysis, ISE, McGraw Hill, 481p [3] F. W. Beaufait, (1981), An´alisis estructural, PH internacional, 591p [4] D. Miramontes De Le´on, (2009), Static Algorithm for Isostatic Trusses, Investigaci´on Cient´ıfica, Vol 5, No 1, ISSN 1870-8196.

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