Bloque 1 Operaciones y propiedades de los números naturales

Del sentido numérico al pensamiento prealgebraico

Bloque 1

Operaciones y propiedades de los números naturales El propósito de este primer bloque es el estudio de las operaciones y propiedades de los números naturales. La posibilidad de componer y descomponer a los números permite proponer actividades que hacen posible estudiarlos desde la perspectiva de que los números se generan a partir de otro. Encontrar múltiples formas de expresar un mismo número pone a la vista propiedades y reglas para operar con él. Las actividades de este bloque parten de la premisa de que un aprendizaje sólido de los números y sus operaciones propiciará que el estudiante esté en mejores posibilidades para confrontar con éxito el aprendizaje de los conceptos y procedimientos del álgebra escolar. A lo largo de las hojas de trabajo se presentan retos que obligan a repensar lo que aparentemente ya se sabe (dominio mecánico de las operaciones básicas y la memorización de reglas). Una revisión de esos conocimientos promueve en los estudiantes un pensamiento flexible y creativo; superar esos retos mediante el esfuerzo personal da lugar al fortalecimiento de su autoestima que se refleja en una actitud positiva hacia la clase de matemáticas. Pretendemos que la incorporación de la calculadora vaya más allá del hecho de aplicarla para realizar en poco tiempo una gran cantidad de operaciones, en este bloque de actividades, y los demás que conforman este libro, la calculadora se propone como un instrumento que ofrece un ambiente de manipulación simbólica que favorece que los estudiantes pongan a prueba las conjeturas matemáticas que formulan; la retroalimentación inmediata que proporciona la calculadora les permite validarlas, o crear un conflicto cognitivo que los invita a reorganizar sus ideas. Los contenidos aritméticos que se abordan en este bloque están fuertemente vinculados con los de la educación básica, por lo que este material ofrece oportunidades para analizar secuencias didácticas que conducirán a una serie de reflexiones útiles en la formación de los futuros docentes.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 1 VALOR POSICIONAL Escribe en la calculadora el número 796182453. Supongamos que los nueve dígitos que forman ese número son “invasores espaciales”. Para salvar al planeta debes “eliminarlos” uno por uno convirtiéndolos en cero haciendo una sola operación con el número 796182453 y otro número que tú propongas. Por ejemplo, eliminar al “1” quiere decir que hagas una operación para que el número 796182453 cambie a 796082453. Después de que elimines al 1 debes eliminar al 2, luego el 3, y así sucesivamente. 1. Completa la siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada “invasor”.

Dígito

Operación que hiciste en la calculadora

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Resultado

796082453 796080453 796080450 796080050 796080000 790080000 90080000 90000000 0

2. Ahora elimina uno por uno cada uno de los dígitos del número 4983.26715. Completa la siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada “invasor”.

Dígito

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Operación que hiciste en la calculadora

Resultado

4983.26705 4983.06705 4980.06705 980.06705 980.067 980.007 980 900 0

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 2 LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS 1.

Escribe en la calculadora los números que están descritos con palabras. Cuando vayas escribiendo los números ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad obtendrás el total que se indica. Si el total que obtuviste es diferente del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en el cuadro de la derecha. CANTIDADES EN PALABRAS

CANTIDADES CON NÚMEROS

siete millones setecientos ochenta mil cuatro, más ciento veinticinco mil cinco, más doce mil uno, más trescientos cuarenta y cinco mil ochenta y siete. TOTAL: _________________________________ b) trece mil noventa y nueve más veinticinco millones ciento cinco, más ciento veintiocho millones ochenta y seis, más trescientos cinco mil uno. TOTAL: _________________________________ c) cuatrocientos treinta y seis mil cien, más un millón dos mil, más quinientos mil veinte, más trescientos mil treinta. TOTAL: _________________________________ d) diez millones uno, más dos millones cien, más treinta y siete mil uno, más quinientos cuarenta mil diez. TOTAL: _________________________________

a)

_________________________ + _________________________ + _________________________ + _________________________ TOTAL: 8262097

_________________________ + _________________________ + _________________________ + _________________________ TOTAL: 153318291

_________________________ + _________________________ + _________________________ + _________________________ TOTAL: 2238150

_________________________ + _________________________ + _________________________ + _________________________ TOTAL: 12577112

2. Inventa una suma con cuatro sumandos como las anteriores. Usa números tan complicados como te sea posible. Verifica que el total que obtienes es el mismo que el que se indica. CANTIDADES EN PALABRAS ____________________________________ más _________________________________ más _________________________________ más _________________________________ TOTAL: ______________________________

CANTIDADES CON NÚMEROS _________________________ + _________________________ + _________________________ + _________________________ TOTAL: 4000136

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 3 EQUIVALENCIA NUMÉRICA 1. En cada recuadro construye una representación distinta del número quinientos nueve. No puedes usar las teclas del 5 y el 9. Intenta usar en cada una de tus respuestas cuatro operaciones distintas. Usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.

2. En cada recuadro construye el número trescientos doce. Debes usar cuatro operaciones distintas y no puedes usar las teclas del 3 y el 1. Encuentra tantas formas distintas como te sea posible y escríbelas en los siguientes espacios.

3. Construye en la calculadora el número mil doscientos veintidós. Debes usar cuatro operaciones distintas y no puedes usar las teclas del 1 y el 2. En cada recuadro escribe al menos dos representaciones distintas de ese número.

4. En cada recuadro construye al menos una representación distinta del número cuatrocientos uno sin usar las teclas del 4 y el 1.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 4 ¡SE DESCOMPUSO LA TECLA PARA SUMAR!

El reto que presenta esta hoja de trabajo consiste en que encuentres cómo realizar las siguientes sumas empleando la calculadora, pero sin usar para nada la tecla de sumar.

1. ¿Puedes hacer la operación 438+725 sin usar la tecla para sumar y sin sumar mentalmente ni con lápiz y papel? Describe cómo lo hiciste ____________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2. Compara tu método con el de los compañeros(as) que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un método distinto del tuyo? ________________________ ¿En qué consiste?

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? _____________ ¿Por qué? ______________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3. ¿Puedes hacer la operación 1536+489+39.83, sin usar la tecla para sumar y sin sumar mentalmente ni empleando lápiz y papel? Explica cómo lo hiciste, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. ______________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 4.

Encuentra los números que faltan. Escribe en cada espacio las operaciones que uses para obtener una solución.

a) 487+x=798

b) y+1761+89=2346

c) 7.4+z+125.97=784.88

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 5 ¡SE DESCOMPUSO LA TECLA PARA RESTAR!

¡La tecla para restar se descompuso! El reto que presenta esta hoja de trabajo consiste en que encuentres una manera de restar usando la calculadora, pero sin usar en absoluto la tecla para restar.

1.

¿Puedes encontrar un método para hacer la operación 1585427 sin usar la tecla de restar y sin hacer la resta mentalmente ni con lápiz y papel? _____________________

2.

Explica cuál es el método que encontraste, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender. _____________________________________________

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3.

Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró un método distinto del tuyo? ___________________ ¿En qué consiste ese otro método?

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros? _______________ ¿Por qué? __________________________________________________________________________ 4.

____________________________________________________________________________________ ¿Puedes hacer la operación 453.75128.29 sin usar la tecla para restar y sin hacer la

resta mentalmente ni con lápiz y papel? _________ Explica cual es el método que encontraste, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 5.

Encuentra los números que faltan. Escribe las operaciones que hiciste en los espacios. a) x487=798 b) y1761+89 = 2346 c) z7.4+125.97 = 784.88

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 6 DEL CERO AL CIEN SÓLO CON “CUATROS” Una estudiante encontró que puede construir con la calculadora los números del cero al cien usando sólo cuatro veces el número 4 y las teclas

+

–





√

Por ejemplo, el cero puede construirse como sigue: 4÷4–4÷4. El 6 puede construirse como sigue:

(4 ´ 4) ¸ 4 +

4.

El 5 puede ob-

tenerse como (44+4)4. Otra regla que debes respetar es que no es válido escribir números como 44+44.

1.

El cero y el cinco están en la siguiente lista, encuentra otras formas de escribirlos. De la misma manera, intenta encontrar al menos dos formas distintas de escribir sólo con cuatro “cuatros” los demás números de la lista. Los casos que te parezcan muy difíciles resuélvelos usando más de cuatro “cuatros” y luego intenta hacerlo con cuatro cuatros.

Núm.

0 2 3 5 9 10 13 18 22

RESPUESTAS

Núm.

27 31 35 36 40 48 49 51 52

RESPUESTAS

Núm.

RESPUESTAS

58 63 64 69 75 83 89 94 100

2. Un estudiante dice que 4+4+44=3. Uno de sus compañeros dice que eso no está bien, que el resultado correcto es 9. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Justifica tu respuesta. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. ¿Qué resultado produce la calculadora si realizas la operación 44+44? ___________________ Explica por qué obtienes ese resultado con la calculadora. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 4.

Sin cambiar ninguna operación ni ningún número, ¿puedes “arreglar” la operación 4+4+44 para que dé como resultado 3? ¿Cómo lo harías? ________________________________ ___________________________________________________________________

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 7 ¡AL CERO EN CINCO PASOS! Esta hoja presenta un juego matemático que consiste en lo siguiente: Se trata de reducir a cero un número que esté entre cero y mil. Puedes hacer esto mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones. Puedes repetir una operación las veces que quieras. Las operaciones deben hacerse con el número que se da y otro número entero que tú elijas. El número que elijas debe ser uno de los siguientes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, o 9 y puedes usarlo las veces que lo requieras. Cada operación que hagas se cuenta como un paso y el resultado de cada operación debe ser un número entero. Ganas el juego si, a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes números. EJEMPLO: REDUZCAMOS A CERO EL NÚMERO 869.

Paso 1: Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

869  5 = 864 864  9 = 96 96  8 = 12 12  6= 2 22=0

Usa la calculadora para encontrar distintas maneras de reducir a cero los siguientes números: a) 789

b) 629

c) 823

Paso 1:

Paso 1:

Paso 1:

Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

d) 952

e) 997

f) 857

Paso 1:

Paso 1:

Paso 1:

Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Paso 2: Paso 3: Paso 4: Paso 5:

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 8 ¿QUÉ NÚMEROS DIVIDEN A OTROS? 1.

Un estudiante dice que cualquier número entero, excepto el cero, puede dividirse entre sí mismo y el 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que él dice? _________________ ¿Por qué? ____________________________________________ 2. Haz en tu calculadora la operación 50 y observa qué pasa. Discute este resultado con tu profesor y tus compañeros y anota tus conclusiones. ___________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ 3. ¿Puedes encontrar un número entero que esté entre 50 y 60 y que sólo pueda dividirse entre sí mismo y el 1? ¿Cuál es ese número? ____________________________________ 4. Una estudiante dice que encontró diez números enteros que están entre 80 y 120 que sólo pueden dividirse entre sí mismos y el 1. ¿Es cierto lo que ella dice? ¿Cuáles son esos números? ________________________________________________________________ 5. Otro estudiante dice que entre 120 y 130 no hay números que sólo puedan dividirse entre sí mismos y 1 sin dejar residuo. ¿Es cierto lo que él dice? ___________________ ¿Por qué? ___________________________________________________________________ 6. ¿Puedes encontrar cinco números que sólo se puedan dividir entre sí mismos, el 1, y otro número? _________________________ ¿Qué números con esas características encontraste?_____________________________________________________________________________ 7. ¿Puedes encontrar un método para inventar números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1 y otro número? Describe a continuación tu método __________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 8. Encuentra cinco números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros dos números más. ¿Qué números encontraste? _____________________________________________________ 9. ¿Puedes encontrar un método para inventar números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros dos números? Describe a continuación tu método _______________ ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 10. ¿Puedes encontrar un método para construir números que sólo puedan dividirse entre sí mismos, el 1, y otros tres números? Haz una lista de diez números con esas características. _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 9 ¿NÚMEROS QUE SE DIVIDEN ENTRE EL 7 Y 11? Lee con atención lo siguiente: 10 es divisible entre 5 y entre 2 porque 52=10; 56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 78=56. 1.

Da otros tres ejemplos de números que sean divisibles entre 7. ___________________________________ _________________________________________

2. Construye tres números enteros que estén entre 100 y 300, y que sean divisibles entre 7. Escribe a continuación los números que construiste. ____________________ _________________________________________ 3. Construye tres números enteros que estén entre 1000 y 1300, y que sean divisibles entre 7. Escribe a continuación los números que construiste. ___________________ 4. Describe con un ejemplo cómo construiste números que son divisibles entre 7. Hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. ________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 5. Construye tres números mayores que 200 y menores que 300 que sean divisibles entre 11. Escribe los números que construiste a continuación. _______________________ ________________________________________________________________ 6. ¿Encontraste algún método para construir números que son divisibles entre 11? Describe tu método con un ejemplo, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. __________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 7. Encuentra un método para construir números que sean divisibles entre 11 y entre 13. Describe a continuación tu método usando dos ejemplos, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender. ___________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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HOJA DE TRABAJO 10 ¿ESOS “NUMEROTES” SON DIVISIBLES ENTRE TODO ESO?

1.

Este es un juego matemático. Ganas el juego si puedes explicar por qué pasa lo que enseguida observarás. Escribe un número entero de tres cifras, el que tú prefieras. ______________________________________________

2. Repite ese número a continuación del que ya tienes. Tendrás entonces un número de seis cifras, en el que las tres primeras cifras son idénticas a las tres últimas. Por ejemplo, 324324. Escribe el número que construiste a continuación. ____________________________________________ 3. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 7? _____ Comprueba tu respuesta y di qué observas. ____________________________________________ ___________________________________________________________________ 4. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 11? ____ Comprueba tu respuesta y di qué observas. ____________________________________________ ___________________________________________________________________ 5. ¿Crees que el número de seis cifras que construiste sea divisible entre 13? ____ Comprueba tu respuesta y di qué observas. ____________________________________________ ___________________________________________________________________ 6. Discute lo que observaste con tus compañeros. ¿Ellos encontraron lo mismo que tú? ______ ¿Cuáles son tus conclusiones? _____________________________________________ ___________________________________________________________________ 7. Construye otros números de seis cifras de manera que las tres primeras cifras sean iguales a las tres últimas. ¿Esos números son divisibles entre 7, 11 y 13? ________ ¿Qué hiciste para comprobar tu respuesta? ________________________________________________ ___________________________________________________________________ 8. Esta es la clave del juego, si puedes dar una respuesta correcta a la siguiente pregunta habrás ganado. ¿Por qué cualquier número de seis cifras que construyas de esa manera es siempre divisible entre 7, 11 y 13? Da tu respuesta de manera que cualquiera de tus compañeros la pueda entender. Tu profesor decidirá quién o quiénes son los ganadores en este juego. ___________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

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Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. En la presentación del bloque se hace mención de la composición y descomposición de los números para su estudio. ¿De qué manera se refleja esto en las actividades? Identifica cinco ejemplos y coméntalos con tus compañeros. 2. ¿Consideras que las actividades del bloque representan retos que promueven el pensamiento reflexivo y creativo, y una actitud positiva hacia las matemáticas? Justifica tu respuesta ampliamente. 3. Analiza en forma detallada todas las hojas de trabajo y crea una lista de los contenidos matemáticos que abordan. Compara tu lista con las de tus compañeros y mediante un cruce de la información elaboren una lista lo más completa posible. 4. Realiza en equipo una investigación en diferentes fuentes (internet, libros de matemáticas, artículos, etc.) sobre los contenidos matemáticos de la lista anterior y preséntenla al grupo. 5. Elabora en equipo un mapa conceptual que relacione los contenidos matemáticos de la lista que elaboraste en el inciso 3. 6. Elabora un ensayo acerca del uso de la calculadora a partir de la experiencia que visite a lo largo de las hojas de trabajo de este bloque. En el ensayo discute sus ventajas, desventajas, viabilidad, pertinencia, diferentes formas de usarla, etc. 7. Organiza en el grupo un debate acerca del uso de la calculadora de acuerdo con los ensayos realizados y redacta tus conclusiones. 8. Realiza lo que se indica a continuación: - Selecciona una de las hojas de trabajo para utilizarla con alumnos de la educación básica y haz las adaptaciones que consideres necesarias. Preséntala a tus compañeros exponiendo la justificación de tu elección y las adecuaciones que hiciste. Toma nota de las observaciones que recibas y haz los ajustes del caso. - Realiza una práctica con un grupo de educación básica para poner a prueba la hoja de trabajo del inciso anterior. Obtén evidencias de lo sucedido. - Comparte tu experiencia de la práctica que hiciste con tus compañeros y haz un nuevo a la hoja de trabajo a partir de la retroalimentación que recibiste.

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz