DISEÑO EN CUADRO LATINO En el diseño en cuadro latino (DCL) se controlan dos factores de bloque y se estudia un solo factor de interés. En este sentido, se tienen cuatro fuentes de variación:    

Los tratamientos (factor de interés) El factor de bloque I El factor de bloque II El error aleatorio

Se llama cuadro latino por dos razones: es un cuadro debido a que tiene la restricción de que los factores involucrados se prueban la misma cantidad de veces, y es latino porque se utilizan letras latinas para denotar a los elementos del factor de interés. Sean A, B, C, …, K, los k tratamientos a comparar, por lo tanto ambos factores de bloque tienen k elementos cado uno. El aspecto de los datos se muestra en la siguiente tabla: Bloque II (Columnas)

Bloque I (filas)

1 2 3 … … k

1

2

3

…

k

A=Y111 B= Y221 C= Y331 … … K= Ykk1

B= Y212 C= Y322 D= Y432 … … A= Y1k2

C= Y313 D= Y423 E= Y533 … … B= Y2k3

… … … … … …

K= Yk1K A= Y12K B= Y23K … … J= YjkK

El ANOVA para el diseño en cuadro latino se muestra a continuación. En él se prueba la hipótesis sobre los efectos de tratamiento del factor fila y del factor columna, sin dejar de lado que la hipótesis fundamental es la del factor de interés. Las primeras dos pruebas proporcionan información adicional que enriquece el resultado del objetivo principal. Fuentes de variabilidad

SC

GL

CM

F0

Valor-p

Factor de interés

SCTRAT

k-1

CMTRAT=S2b

F0= CMTRAT/ CME

P(F>F0)

Bloque I

SCB1

k-1

CMB1

F0= CMB1/ CME

P(F>F0)

Bloque II

SCB2

k-1

CMB2

F0= CMB2/ CME

P(F>F0)

Error

SCE

(k-2)(k-1)

CME= S2w

Total

SCT

K2-1

Selección y aleatorización de un cuadro latino No cualquier arreglo de letras latinas en forma de cuadro es un cuadro latino. La regla fundamental es que cada letra debe aparecer solo una vez en cada renglón y en cada columna. Un cuadro latino estándar es aquel cuyo primer renglón y primera columna están formados por letras latinas en orden alfabético. Por ejemplo, un cuadro latino estándar de tamaño cuatros se conforma como sigue: A

B

C

D

B

C

D

A

C

D

E

B

D

E

A

C

Existen además los siguientes tres cuadros latinos estándar de dimensión cuatro:

Para cuatro tratamientos se pueden construir un total de 576 cuadro latinos, de los cuales cuatro son estándar. La selección del cuadro latino para el diseño debería consistir en elegir uno al azar de los 576 posibles; no obstante, es prácticamente imposible construirlos a todos para hacer esta selección. Sin embargo, ocurre que dado un cuadro latino, cualquier intercambio de columnas y/o de renglones es también uno de ellos. Por esto, la estrategia de selección y aleatorización recomendada en la práctica es la siguiente: 1. Se construye el cuadro latino estándar más sencillo. 2. Se aleatoriza el orden de los renglones (o columnas) y posteriormente se hace los mimo para las columnas (o renglones). 3. Por último, los tratamientos a comparar se asignan en forma aleatoria a las letras latinas. Ejemplo: Comparación de cuatro marcas de llantas Una compañía de mensajería está interesada en determinar cuál marca de llantas tiene mayor duración en términos del desgaste. Para ello se planea un experimento en cuadro latino, en el que se comparan las cuatro marcas de llantas sometiéndolas a una prueba de 32 000 kilómetros de recorrido, utilizando cuatro diferentes tipos de auto y las cuatro posiciones posibles de las llantas en el auto. Así, el factor de

interés es el tipo de llantas o marca, y se controlan dos factores de bloque: el tipo de carro y la posición de la llanta en el auto. Se seleccionan estos factores ya que, por experiencia, se sabe que el tipo de carro y la posición de la llanta tienen efecto en el desgaste de la misma. La elección del cuadro latino a utilizar se hace antes de obtener los datos. Para ello, a partir de un cuadro latino inicial se aleatorizan las columnas y los renglones; después, las diferentes marcas de llantas se asignan de manera aleatoria a las letras latinas que denotan los niveles del factor de interés. Posición

Carro 1

2

3

4

1

C = 12

D = 11

A = 13

B=8

2

B = 14

C = 12

D = 11

A=3

3

A = 17

B = 14

C = 10

D=9

4

D = 13

A = 14

B = 13

C=9

Las pruebas se hacen al mismo tiempo con choferes, a quienes se les instruye para que manejen de manera similar sobre el mismo terreno para los cuatro automóviles. Al hacer las pruebas de los cuatro autos al mismo tiempo se evita el efecto del ambiente en el desgaste; asimismo, el conductor y el tipo de terreno podrían influir, pero se considera suficiente mantenerlos lo más homogéneo posible durante el experimento. El diseño y los datos observados se muestran en la tabla anterior. Se mide la diferencia máxima entre el grosor de la llanta nueva y el grosor de la llanta después de recorrido los 32 000 kilómetros. Obviamente, a mayor diferencia en grosor mayor desgaste. Las unidades de medición son milésimas de pulgada El resultado obtenido en Minitab es el siguiente:

A partir de estos valores se concluye que no existe evidencia de que haya un desgaste significativamente diferente entre las cuatro marcas de llantas (p-valor = 0.775). Además, se puede afirmar que esta “igualdad” entre el desgaste de llantas se conserva a pesar del tipo de carro que se utilice (p-valor = 0.023).

Otra conclusión importante es que la posición de las llantas no está influyendo significativamente en el desgaste de las mimas. Problemas propuestos 1. Una empresa fabricante quiere investigar los efectos de cinco aditivos de color en el tiempo de fraguado de una mezcla de concreto nueva. Las variaciones en el tiempo de fraguado se pueden esperar de los cambios diarios en la temperatura, humedad y también de los diferentes trabajadores que preparan los moldes de prueba. Para eliminar estas fuentes externas de variación se utiliza un diseño de cuadro latino en el que las letras A, B, C, D y E representan los cinco aditivos. Con un nivel de significancia de 0,05, ¿Podemos decir que los aditivos de color tienen algún efecto en el tiempo de fraguado de la mezcla de concreto?

2. Se quiere estudiar el efecto de cinco diferentes catalizadores sobre el tiempo de reacción de un proceso químico. Cada lote de material químico sólo permite cinco corridas y cada corrida requiere aproximadamente 1.5 horas, por lo que solo se puede realizar cinco corridas diarias. Se decide correr los experimentos con un diseño en cuadro latino para controlar activamente los lotes y los días. Lo datos obtenidos son los siguientes:

a) ¿Explica el proceso de aleatorización del experimento? b) ¿Existen diferencias entre los tiempos de reacción de los diferentes catalizadores?

3. Se comprueba el peso en gramos de un material de tres proveedores (A, B y C) por tres diferentes inspectores (I, II y III), utilizando tres diferentes escalas (1, 2 y 3). El experimento se lleva a cabo considerando el siguiente cuadro latino:

a) ¿Hay diferencias entre los proveedores? b) ¿Hay diferencias entre los inspectores y entre las escalas? 4. Cuando se comparan varios fertilizantes o diferentes variedades de cierto cultivo es típico que se deba considerar el gradiente de fertilidad del suelo o los efectos residuales de cultivos previos. Considerando estos factores de bloque, Gómez y Gómez (1984) plantean un experimento en cuadro latino para comparar, en cuanto a rendimiento en toneladas por hectárea, tres variedades de maíz hibrido (A, B, C) y una variedad de control (D). Para ello se utiliza un capo agrícola cuadrado de 16 hectáreas, divido en parcelas de una hectárea. Los datos de rendimiento obtenidos en cada parcela se muestran a continuación:

a) ¿Existen diferencias en los rendimientos de las diferentes variedades de maíz? b) ¿Cuál de los factores de bloque tuvo efectos? c) ¿Se habrían detectado las mismas diferencias en los tratamientos con un diseño completamente al azar y con un diseño en bloques completos al azar? ¿Porqué?