PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

SECRETARÍA ACADÉMICA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA COORDINACIÓN DEL SISTEMA DE ENSEÑANZA ABIERTA

MARZO DE 1994

CLAVE: CRÉDITOS: HRS./SEM:

671 6 3

PRESENTACIÓN El programa de estudios de la asignatura CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II, tiene la finalidad de informar a los profesores sobre los aprendizajes que se esperan lograr en el estudiante, así como sobre la perspectiva teórica, metodológica y pedagógica desde la que deberán ser enseñados. El programa se constituye así, en el instrumento de trabajo que le brinda al profesor elementos para planear, operar y evaluar el curso. El programa contiene los siguientes sectores: MARCO DE REFERENCIA Está integrado por: Ubicación, Intención y Enfoque. La ubicación proporciona información sobre el lugar que ocupa la asignatura al interior del plan de estudios y sobre sus relaciones horizontales y verticales, con otras asignaturas. Las intenciones de materia y asignatura informan sobre el papel que desempeña cada una de ellas para el logro de los propósitos educativos del Colegio de Bachilleres. El enfoque informa sobre la organización y el manejo de los contenidos para su enseñanza.

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BASE DEL PROGRAMA Concreta las perspectivas educativas señaladas en el marco de referencia a través de los objetivos de unidad y los objetivos de operación para temas y subtemas. Los objetivos de unidad expresan, de manera general, los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que constituyen los aprendizajes propuestos para este segmento del Programa; los objetivos de operación para temas y subtemas precisan los límites de amplitud y profundidad con que los contenidos serán abordados y orientan el proceso de interacción entre contenidos, profesores y estudiantes, es decir, señalan los aprendizajes a obtener (el “qué”), los conocimientos o habilidades que se requerirán para lograrlo (el “cómo”), y la función de dichos aprendizajes dentro de cada unidad o tema (el “para qué”). ELEMENTOS DE INSTRUMENTACIÓN Incluyen: las estrategas didácticas, la carga horaria, las sugerencias de evaluación, la bibliografía y la retícula. Las estrategias didácticas, derivadas del enfoque, son sugerencias de actividades que el profesor y los estudiantes pueden desarrollar durante el curso para lograr los aprendizajes establecidos en los objetivos de operación. La carga horaria esta determinada por la amplitud y profundidad de los contenidos y, por lo mismo, permite planear la aplicación de las estrategias didácticas y ponderar los pesos para la evaluación sumativa. Las sugerencias de evaluación son propuestas respecto a la forma en que se puede planear y realizar la evaluación en sus modalidades diagnóstica, formativa y sumativa.

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La bibliografía se presenta por unidad y está constituida por los libros y publicaciones de divulgación científica que se requiere para apoyar y/o complementar el aprendizaje de los distintos temas por parte del estudiante. Está organizada en básica y complementaria. También puede orientar al profesor en la planeación de sus actividades.

La retícula, es un modelo gráfico que muestra las relaciones entre los objetivos y la(s) trayectoria(s) propuesta(s) para su enseñanza. Para la adecuada comprensión del programa se requiere una lectura integral que permite relacionar los sectores que lo constituyen. Se recomienda iniciar por la lectura analítica del apartado correspondiente al marco de referencia, debido a que en éste se encuentran los elementos teóricos y metodológicos desde los cuales se abordarán los contenidos propuestos en los objetivos de operación.

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UBICACIÓN Este programa corresponde a la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II que se imparte en el sexto semestre y, junto con Cálculo Diferencial e Integral I, constituye la materia de Cálculo Diferencial e Integral. La materia Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el Área de Formación Específica, que es un espacio de flexibilidad para la Institución, ya que le permite incluir contenidos de interés en virtud de necesidades de carácter regional o local; y para el estudiante ya que favorece su capacidad de elección. Las finalidades de esta área son: - Ampliar, profundizar y aplicar los conocimientos generados en el Área de Formación Básica, al abordarlos desde una perspectiva integradora y multidisciplinaria o al relacionarlos con conocimientos nuevos. - Canalizar los intereses y complementar la formación del estudiante como bachiller. - Brindar al estudiante una preparación de carácter introductorio, para la adquisición de técnicas básicas y la construcción de habilidades cognitivas especiales. La materia Cálculo Diferencial e Integral II forma parte del Campo de Conocimientos de Matemáticas**, cuya finalidad es: que el estudiante adquiera los elementos que conforman la cultura básica de las Matemáticas (Aritmética, Álgebra, Geometría Euclidiana, Trigonometría, Geometría Analítica, Cálculo y Estadística), de manera que desarrolle las capacidades y habilidades propias de razonamiento lógico del pensamiento inductivo-deductivo, indispensable en la comprensión y aplicación de los diferentes métodos y conceptos matemáticos, así como el dominio del lenguaje de las Matemáticas y de los modelos que esta disciplina desarrolle conjuntamente con sus diversos procedimientos de elaboración.

*

Ver cuadro No. 1

**

Ver cuadro No. 2

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ÁREA PROPEDÉUTICA

ÁREA DE FORMACIÓN BÁSICA

ÁREA DE FORMACIÓN ESPECÍFICA

CAMPO DE CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICAS MATERIA DE MATEMÁTICAS ASIGNATURAS: I, II, III y IV

Cuadro No. 1

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MATERIA DE ESTADÍSTICA

MATERIA DE CÁLCULO

Cuadro No. 2

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EDI I y II

MATERIA DE ESTADÍSTICA

CADI I y II

MATERIA DE CÁLCULO

Matemáticas I, II, III y IV

MATERIA DE MATEMÁTICAS:

CAMPO DE CONOCIMIENTOS DE MATEMÁTICAS

La contribución de esta materia para el logro de la finalidad del Campo de Conocimientos se da de la siguiente manera: La materia de Matemáticas busca ampliar en el estudiante el conocimiento y el desarrollo de la capacidad de abstracción, mediante el estudio y la práctica de los diferentes niveles de formalización y generalización, de modelos y de lenguajes de la disciplina, no sólo como un sistema lógico o con una herramienta en el estudio de otros campos del conocimiento, sino también como una ciencia con una dinámica propia. La materia de Cálculo Diferencial e Integral recupera e integra los conocimientos de la materia de Matemáticas, al abordar problemas y plantearlos con mayor nivel de abstracción, mediante el uso del método de los procesos infinitos. Con el cual el estudiante accede al conocimiento y práctica de un nuevo lenguaje y una nueva metodología, básica para su cultura matemática. La materia de Estadística Descriptiva e Inferencial permite interpretar y explicar, a través de procedimientos específicos, las relaciones, operaciones y transformaciones que caracterizan a diversos fenómenos en forma cuantitativa, lo que implica desarrollar habilidades específicas para organizar, analizar, interpretar y sintetizar información, así como para sistematizarla y hacer inferencias. Integra los conocimientos de Álgebra, Funciones, Trigonometría, Geometría Analítica del Área de Formación Básica constituida por la materia de matemáticas, profundizando en el estudio de las funciones y sus aplicaciones con un nuevo método, el de los procesos infinitos. Con respecto a las asignaturas que conforman la materia Cálculo Diferencial e Integral I, se dedica al estudio de los conceptos de Razón de cambio promedio, Razón de cambio instantánea, Límite, Continuidad y Deriva, es decir, de los conceptos relativos a los cambios de una magnitud con respecto a otra con la que está relacionada funcionalmente. En Cálculo Diferencial e Integral II, se abordan los temas: integración de razones de cambio (constantes y variables), Función Área, Integral Indefinida e Integral Definida. Como parte del campo de Matemáticas, Cálculo Diferencial e Integral se relaciona con las Matemáticas de I a la IV, considerándola como antecedentes directos, y con Estadística descriptiva e Inferencial I y II como materia optativa que complementa el panorama que, sobre las Matemáticas, se ofrece al alumno. En el siguiente esquema se plantean estas relaciones.

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

MATEMÁTICAS I, II, III y IV ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL I y II

Respecto a otras materias del plan de estudios, Cálculo Diferencial e Integral recibe servicio directo de Taller de Lectura y Redacción y de Métodos de Investigación. De la primera, en cuanto al desarrollo de habilidades para manejar y comprender el lenguaje a partir de sus elementos, de su significado, de sus reglas y de su uso, pues el lenguaje matemático requiere para su comprensión y manejo de dichas habilidades. En cuanto a Métodos de Investigación, el manejo de la lógica, dan un relevante papel al servicio que otorga esta materia. Por su parte Cálculo Diferencial e Integral da servicio a las materias de los campos de Ciencias Naturales y Ciencias Sociales al desarrollar procedimientos y

habilidades de análisis, de observación y de abstracción, indispensables para el estudio y aplicación de estos

conocimientos, muchos de los cuales se concretan en el planteamiento, análisis y solución de problemas específicos. En el esquema se plantean las relaciones de servicio mencionados: RELACIONES DE SERVICIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I y II

TALLER DE LECTURA Y REDACCIÓN MATEMÁTICAS

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CIENCIAS NATURALES Y CIENCIAS SOCIALES

MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN

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INTENCIÓN La intención de la materia de Cálculo Diferencial e Integral es que el estudiante comprenda las nociones básicas del Cálculo: Razón de cambio, la Derivada, la Integración numérica de razones de cambio, la Integral y la Función Área, apoyándose en la representación gráfica de funciones y utilizando métodos matemáticos para cuantificar, describir y pronosticar los cambios; que determine los resultados de los procesos que cambian y que puede aplicar las diversas técnicas, para derivar e integrar funciones en la solución de problemas de disciplinas como Economía, Biología, Medicina, Ingeniería, Química, Física y Matemáticas. La intención de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral II es que el estudiante comprenda el concepto fundamental del cálculo integral: la Intención, a partir del planteamiento de problemas en los que sea necesario calcular el área bajo la curva de la función, de manera que obtenga el modelo del problema y aplique métodos de integración para solución de problemas.

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ENFOQUE El enfoque se define como la perspectiva desde la cual se estructuran los contenidos y se establece la metodología a seguir para su enseñanza y aprendizaje. En este orden el enfoque se divide en dos ámbitos: el disciplinario y el didáctico. EN EL ÁMBITO DISCIPLINARIO: La matemática tiene un cuerpo teórico-metodológico integrado por diversas ramas, que a través de su desarrollo histórico han conformado métodos y lenguajes especializados, propios de esta ciencia. De acuerdo con este desarrollo, las principales características de la disciplina son: el carácter abstracto, el carácter integrador, el rigor lógico y el manejo de un lenguaje simbólico (gráfico y numérico). Estas están interrelacionadas y presentan diferentes grados de complejidad, dependiendo de la rama o el nivel explicitivo donde se aborden los conocimientos. A continuación se presenta un esquema sintético sobre las características mencionadas; es importante no olvidar que todas ellas se encuentran relacionadas entre sí de manera estrecha. EL CARÁCTER ABSTRACTO Es el proceso mental que se realiza para manejar un lenguaje, identificar las características de los objetos y traducir éstas a símbolos (imágenes mentales); la dificultad para abstraer se refleja en los niveles de explicitación progresivamente más generales.

EL CARÁCTER INTEGRADOR El conocimiento matemático se construye a partir de la reinterpretación y reelaboración de los conocimientos, esto se logra con la recuperación e integración de conceptos previos para generar nuevas perspectivas y conocimientos, y de esta manera ampliar, profundizar y aplicar los conocimientos tanto en la misma disciplina como en otras áreas.

EL RIGOR LÓGICO El rigor lógico se manifiesta en dos niveles, uno referido a la secuenciación rigurosa de la construcción teórica y metodológicas disciplinarias, y el otro respecto a la secuencia de axiomas, principios o pasos que se siguen en la demostración para aceptar como verdadero el conocimiento, de acuerdo con una serie de reglas.

EL LENGUAJE SIMBÓLICO Es la herramienta que facilita la comprensión de conceptos y elaboración de modelos matemáticos, con el manejo de una terminología y una simbología específicas.

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Con base en estas características de la disciplina se seleccionan, organizan y desglosan los contenidos para formar una estructura articulada donde se avance y profundice puntualmente en el conocimiento matemático. De esta manera, al iniciar con el estudio de nociones aritméticas, se retoma el nivel menos abstracto, con menos complejidad en su rigor lógico y con el manejo de un lenguaje simbólico más sencillo, elementos que progresivamente se van complejizando hasta adquirir el nivel más abstracto en la formalización en la construcción de conocimientos a partir de aprendizajes anteriores, estableciendo relaciones entre las diversas ramas de las disciplina; de esta manera, al concluir con el estudio de la Geometría Analítica, se retoman globalmente los aprendizajes y se da un nuevo significado a los conocimientos previamente adquiridos.

EN EL ÁMBITO DIDÁCTICO: El desarrollo del proceso enseñanza-aprendizaje supone que no sólo se aprende de los contenidos sino también de la forma como se enseñan; de este modo, si se pretende que el estudiante adquiera habilidades lógico metodológicas, desarrollo actitudes positivas respecto a la disciplina y sea crítica, es necesario utilizar modelos pedagógicos que posibiliten estos fines. En este sentido, el modelo educativo del Colegio de Bachilleres plantea una concepción pedagógica que, fundamentada en la filosofía, los valores, principios y fines de la Institución, sigue el camino que conduce a la construcción del conocimiento. De acuerdo con lo anterior el siguiente esquema muestra la idea didáctica que estructura y organiza los contenidos-objetivos del programa de Cálculo Diferencial e Integral.

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ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS

Lograr el aprendizaje

ASPECTOS

ASPECTOS

Nociones: Sencillos Concretos Conocidos Intuitivos

Conceptos: Complejos Abstractos Desconocidos Formales

Es importarte que en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas o del Cálculo se modifique la idea de transmitir el conocimiento como algo acabado o fomentar la memorizar de operaciones o procedimientos; por el contrario, se propone que el profesor retome continuamente la experiencia de los estudiantes, tanto en lo académico como en lo cotidiano, y que promueva su participación durante todo el proceso educativo, donde éstos analicen y apliquen los conocimientos; un apoyo muy importante para lograr lo anterior es la Geometría, ya que este elemento permite dar un contexto a través de la representación y visualización de algunos conceptos, facilitando su comprensión. La construcción del conocimiento exige trascender los saberes y estructuras de pensamiento previos e integrarlos en otras más complejas; una forma de lograrlo es a través de la desestructuración del conocimiento, que puede iniciarse con una problematización que desencadene el proceso. Iniciar el proceso de aprendizaje de esta manera permite al estudiante utilizar sus habilidades de pensamiento y acceder a un nivel superior de conocimiento. Concretamente, se desestructura al estudiante cuando éste no puede resolver un problema (planteado por él mismo o por el profesor) a partir de sus conocimientos, es decir, cuando se provoca -de manera dirigida- un desequilibrio entre sus saberes (conocimiento y habilidades), valores y actitudes, y los propuestos por el programa de estudio.

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Las situaciones alrededor de las cuales se plantearán los problemas deben ser o hacerse significativas para el estudiante y abarcar dos dimensiones: la realidad misma del estudiante, lo que implica tomar su esquema referencial, es decir, considerando sus saberes y haceres, su situación personal, familiar y social; así como también la problemática de que se ocupan las ciencias lo que significa ponerlo en contacto con el estado que presenta el conocimiento científico en la actualidad y sus perspectivas. Por ello, se recomienda iniciar el proceso educativo con el planteamiento de un problema o la presentación de un fenómeno, para que el estudiante cuestione, interrogue y finalmente busque respuestas y explicaciones, ejercitando su razonamiento y confrontándolo con sus referencias previas; esto asigna al profesor el papel de diseñador de situaciones y promotor del aprendizaje. Para resolver el problema o explicar el fenómeno, es decir, para lograr la reestructuración, se requiere de un conjunto de condiciones y acciones que faciliten la interacción del estudiante con el objeto de conocimiento; en la concepción moderna de la enseñanza de las matemáticas esto se puede dar de manera general, a través de la generación o planteamiento de modelos, de su manejo para desarrollar algoritmos, del cálculo para obtener resultados y de la interpretación necesarias en la solución, todo lo cual se inscribe en el conocimiento y manejo de los métodos como un medio para la construcción del conocimiento. El conocimiento y manejo de los métodos permite que el estudiante reconozca las formas específicas de acercamiento, manipulación, asimilación, reacomodo y construcción de un objetivo de conocimiento, además de que generará en él una disciplina de investigación y de estudio en la que pondrá en juego el gusto por aprender. Por ello es conveniente considerar los métodos como un medio y no como un fin, es decir, no como algo que debe ser conocido en sí y por sí, como un saber desvinculado de otros, sino como una herramienta útil en el proceso de construcción y apropiación de conocimientos. En matemáticas esta idea se ve reflejada tanto en su estructura como en su enseñanza en el método inductivo-deductivo.

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En este proceso es necesario que el estudiante incorpore información pertinente a los contenidos del programa de estudio, la cual debe ser asumida por el estudiante como un producto propio. Por ello deberá contrastar sus soluciones o la problemática dada con la información que le permite encontrar los conceptos que la engloban y explican de manera que los incorpore en su proceso de construcción del conocimiento; es decir, que no los “adquiera” a través de una memorización acrítica y mecánica, ni que los vea como algo aislado o ajeno a su realidad, sino que los adopte y retenga como respuesta a situaciones que para él mismo son significativas. La elaboración de modelos mediante la identificación de los elementos básicos de un problema o fenómeno y su posterior contrastación conforman en matemáticas, una parte importante del proceso de apropiación constructiva del conocimiento. Una vez que el estudiante se ha apropiado de conocimientos nuevos para él, debe verificar si son correctos y suficientes, mediante su aplicación a la problemática planteada y, posteriormente, reforzarlos probando su valides o utilidad en otras situaciones. La aplicación es la expresión de la forma en que se han modificado los conocimientos del estudiante y se manifiesta en los momentos en que éste puede poner en práctica dichos conocimientos en un nivel de mayor complejidad; en el caso de matemáticas una de las formas en que éstos se puede observar es en la ejercitación del modelo sobre problemas que presenten diferentes condiciones. Para el caso de Cálculo Diferencial e Integral II el estudiante integra sus conocimientos con base en los anteriores de manera que pueda generalizar los conceptos y con ello resolver una gama amplia de problemas. En Cálculo Diferencial e Integral se entiende que el estudiante integrará conceptos como semejanza, función trigonométrica, vectores y mecánica elemental de las demostraciones, para poder generalizarlos en la solución de diversos problemas. Finalmente el estudiante deberá realizar diferentes actividades intra o extra clase, tendientes a consolidar lo aprendido e integrar el conocimiento; éstas pueden ser investigaciones, experimentos, ensayos, exposiciones, etc., a través de los cuales pueda percatarse de la importancia y utilidad de la disciplina en su mundo cotidiano, de las relaciones de ésta con otros campos y de sus posibles aplicaciones para la solución de nuevos problemas de su realidad inmediata.

Con ello se logrará la consolidación la cual implica el logro de una estabilidad temporal en las estructuras de pensamiento alcanzadas por el 15

estudiante, en un nivel de mayor complejidad. Dichas estructuras deberán ser sometidas a un proceso de desestructuración-reestructuración para llegar a conceptos más complejos. En este camino es fundamental la retroalimentación por parte del profesor, ya que ésta permitirá al estudiante observar y corregir sus errores, así como valorar sus aciertos en función de sus propios resultados desarrollando una participación crítica frente a su propio aprendizaje.

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UNIDAD 1. LA INTEGRAL DEFINIDA OBJETIVO:

Carga Horaria: 15 horas

El estudiante comprenderá el concepto de integral definida a través del estudio de problemas que se puedan modelar mediante funciones; interpretando gráficamente el proceso de integración y obteniendo aproximaciones para el área bajo una curva; lo que le proporcionará más elementos para analizar funciones y abordar sus aplicaciones.

OBJETIVOS DE OPERACIÓN 1.1

Integración numérica.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS 1.1 No se recomienda hacer demostraciones rigurosas ni extenderse demasiado en este subtema, ya que el propósito es que el estudiante auxiliado por el profesor construya el

Qué:

El estudiante comprenderá el significado del área

concepto de integral definida a partir de un problema como el siguiente:

bajo la gráfica de una función y estimará sus áreas por métodos numéricos. Cómo: Analizando los procesos de cambio por medio del

“Se deja caer un objeto de manera que su velocidad sea de

t

32t

pies segundo, pasados

segundos. Hallar la distancia de recorrido en los tres primeros segundos”.

uso de razones de incrementos. Se planteará la necesidad de hallar aproximaciones numéricas a sumas infinitas. Para qué: Para que el estudiante se aproxime al concepto de integral definida y adquiera elementos de análisis numé-

En el caso del problema que presentamos como ejemplo, se obtendrían aproximaciones

ricos que le serán de utilidad en aplicaciones en la compu-

para la distancia total calculando las distancias recorridas, en pequeños subintervalos de

tación.

tiempo y sumándolas como se ven el cuadro que se presenta a continuación:

SUBINTERVALO

t=0 a t=1 t=1 a t=2 t=2 a t=3

VELOCIDAD AL FINAL DEL SUBINTERVALO

32 x 1 = 32 pies / seg. 32 x 2 = 64 pies / seg. 32 x 3 = 96 pies / seg.

DISTANCIA APROXIMADA RECORRIDA DURANTE EL SUBINTERVALO

32 pies / seg. x 1 seg. = 32 pies 64 pies / seg. x 1 seg. = 64 pies 96 pies / seg. x 1 seg. = 96 pies

Distancia total aproximada = 192 pies

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OBJETIVOS DE OPERACIÓN

1.1.1

Aproximación al límite de una suma.

Qué:

El estudiante obtendrá aproximaciones numéri-

cas al límite de una suma de n términos cuando n tiende a infinito. Cómo: A partir del análisis de la variación de la razón de incrementos acumulados. Para qué: Para que vaya construyendo el concepto de integral y lo relacione con el de derivada.

1.1.2

Estimación de áreas

Qué: El estudiante estimará el área bajo la curva. Cómo: Dividiendo el área bajo las gráficas de las funciones (en especial la constante y la lineal, que dan lugar a y rectángulo y un trapecio en el plano) obtenidas como modelos de situaciones problemáticas en rectángulos o trapecios. Para qué: Para que interprete geométricamente el proceso de integración y comprenda su relación con la aproximación numérica.

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ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS Dividiendo el tiempo en 6 subintervalos de 0.5 segundos se obtiene una distancia aproximada de 148.8 pies. Se hará notar al alumno que se obtendrán mejores aproximaciones a medida que el número de subintervalos sea mayor. La interpretación gráfica del proceso descrito servirá para introducir la representación de la integral como el área bajo una curva. En este tema es recomendable el uso de calculadora, ya que éstas facilitan los cálculos y permiten una aproximación numérica al cálculo.

OBJETIVOS DE OPERACIÓN 1.2

La integral definida.

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS 1.2 Después de haber obtenido aproximaciones para el área bajo una curva calculará el área exacta procediendo como en este ejemplo.

Qué:

El estudiante comprenderá el concepto de integral

(Tomando de Cálculo Diferencial e Integral 1. Introducción de los Conceptos del Cálculo. Jo-

definida, sus propiedades y su relación con la derivada.

sé Luis Abreu et al. Limusa, México, 1983).

Cómo: Apoyándose en las gráficas de las funciones, to-

“Calcular el área bajo la parábola

mando el límite de la sucesión de sumas aproximadas

Para calcular esta área dividimos al intervalo ñ 0,1 en n partes iguales y/o tenemos el área

cuando n tiende a infinito y examinando, en casos parti-

y = x entre los valores x = 0 y x = 1 ”

de los rectángulos

culares, la relación entre derivada e integral.

y = x2

y1 Para qué: Para que adquiera uno de los conceptos fundamentales del cálculo y lo aplique a resolver problemas cuya solución esté dada por el cálculo de integrales definidas.

0 0

1/6

2/6

3/6

0.5

46

0.75 5/6

1

X

1=6/6

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OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS La figura 1 ilustra el caso n = 6 Para n arbitrario la suma de los rectángulos inscritos es: 2

2

3

1 1 1 2 1 2 1  n − 1 x  + x  + x  + K +   = * n n n n n n n n 

=

1 n3

1 + 2 2 + 3 2 + K + (n − 1)

2

1 + 2 2 + K + (n − 1) = (n − 1) x n x (2 n − 1) 2

Pero

Entonces la suma de las áreas de los rectángulos es:

1 n3

 (n − 1) x n x (2n − 1)  (n − 1) x n (2n − 1)  = 6 6n 3  

2n 3 − 3n 2 + n = 6n 3 =

20

1 1 1 − + 2 3 2n 6n

OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS Cuando n aumenta

1 1 se hacen más pequeños, así que si n y 2n 6n 2

1 1 1 − + 2 3 2 n 6n

1 3

Por lo tanto el área bajo la parábola y = x

es 1 unidades cuadradas.

2

3

En este tema se requieren ciertas fórmulas para las sumas de series. Algunas pueden obtenerse por medios gráficos o investigaciones.

* Para calcular la suma n −1

1 + 2 2 + K + (n − 1) = ∑ R 2 2

x =1

obsérvese que

∑ [R − (R − 1) ] = (n − 1) n −1

3

3

3

R =1

∑ [R − (R − 1) ] = ∑ [3R n −1

3

R =1

3

n −1

R =1

n −1

= 3 ∑ R2 − R =1

2

]

− 3R + 1 = 3

n −1

∑R R =1

2

n −1

n −1

R =1

R =1

− 3∑ R + ∑ 1

3(n − 1)(n ) 3 + n − 1 = (n − 1) 2 21

OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS por lo tanto: n −1

∑R R =1

22

2

1 3  3 = (n − 1) + (n − 1) (n ) − (n − 1) 3 2  =

1 6

[ 2(n − 1)

+ 3n (n − 1) − 2(n − 1)

=

1 6

[ 2(n − 1)

+ 3n − 2

=

1 6

[ 2n

2

− 4n + 2 + 3n − 2

=

1 6

[ 2n

2

−n

=

1 n (2n − 1) (n − 1) 6

=

1 6

3

2

(2n

3

] (n − 1)

− 2n 2 + n )

] (n − 1) ] (n − 1)

]

OBJETIVOS DE OPERACIÓN 1.2.1

Área bajo una curva

Qué:

El estudiante calculará el valor del área bajo la

gráfica de una función f ( x ) de x = a a

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

x = b.

Cómo: Obteniendo el límite, cuando n tiende a infinito, de la sucesión de sumas de áreas de n rectángulos por las que se aproxima el área bajo una curva. Para qué: Para que maneje un método para calcular con mayor exactitud las áreas de algunas regiones limitadas por curvas.

1.2.2

La integral definida

Qué:

El estudiante comprenderá la idea de integral

definida, empleará la notación correspondiente y la aplicará en la solución de problemas. Cómo: Retomando cálculos de aproximación para un área bajo la curva. Para qué: Para que disponga de una nueva herramienta para analizar funciones y resolver problemas.

23

OBJETIVOS DE OPERACIÓN 1.2.3

El teorema fundamental del cálculo.

Qué:

El estudiante aplicará el teorema fundamen-

tal del cálculo (estableciendo la relación entre la derivada y la integral). Cómo:

Analizando los ejemplos que se han emplea-

do en los temas y subtemas anteriores. Introduciendo la relación entre la derivada y la integral en problemas referidos al cálculo del área bajo una parábola, cálculo de la velocidad de un móvil, etc. Para qué: Pueda disponer de un método más práctico para evaluar integrales.

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ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

OBJETIVO

SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN

UNIDAD 1

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

QUÉ

CÓMO

PARA QUÉ

Derivación de funciones alge-

Mediante exámenes de relación

Para apoyar y reforzar el apren-

braicas.

de columnas y preguntas abier-

dizaje y asimilación de estos

tas.

conceptos y procedimientos, se-

Derivación de funciones tras-

gún el grado de aprendizaje de-

cendentes.

mostrado por los estudiantes.

Aplicación de la derivada: -

Máximos y mínimos

-

Graficación de funciones

Concepto de límite.

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OBJETIVO

SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN EVALUACIÓN FORMATIVA

UNIDAD 1

QUÉ

1.1.1 1.2.2 1.2.1

CÓMO

PARA QUÉ

Cálculo de límites

A través de exámenes de res-

Para conocer y detectar el

Integración numérica

puesta breve ejercicios y pro-

avance de los estudiantes en la

Integral definida

blemas en equipo o individua-

comprensión de los conceptos

Área bajo una curva.

les, revisión de tareas al azar,

y los procedimientos de la inte-

etc.

gración.

EVALUACIÓN SUMATIVA

QUÉ

CÓMO

PARA QUÉ

1.1.1 1.2.2

Integración numérica.

Por medio de exámenes con

Para establecer el grado de

1.2.1

Integración definida.

problemas diversos en los que

comprensión de los conceptos y

Área bajo una curva.

los estudiantes tengan que

procedimientos del tema para

desarrollar cálculos específi-

constatar el desarrollo de la

cos; trabajo en equipos o indi-

habilidad para aplicarlos en la

viduales.

solución de diferentes problemas.

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UNIDAD 2.

INTEGRAL INDEFINIDA

Carga horaria: 33 horas

OBJETIVO:

El estudiante comprenderá el concepto de integral indefinida así como las técnicas de integración necesarias, estableciendo la diferencia con la integral definida y usando el concepto de antiderivada de una función para aplicar el Cálculo en la solución de problemas donde se necesita determinar cuantitativamente áreas y volúmenes.

OBJETIVOS DE OPERACIÓN 2.1

La integral indefinida

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS 2.1 El profesor propondrá reglas para integrar funciones, apoyándose en ejercicios como el siguiente:

Qué:

El estudiante establecerá las propiedades básicas

del concepto de Integral Indefinida, así como las técnicas de integración de funciones.

DERIVADA

PRIMITIVA

F (x )

F (x )

x Cómo: A través del concepto de antiderivada de una fun-

x2 2

x

ción.

2

x M x

Para qué: Para que el estudiante profundice en el análisis de funciones empleando los métodos del cálculo.

x3 3

x4 4

Xntl ntl (Expresión a la que se debe llegar)

Con el uso de las reglas el alumno, guiado por el profesor, desarrollará técnicas para calcular integrales de manera más eficiente, en las que sea necesario recurrir al concepto de primitiva de una función.

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OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

2.1.1

Antiderivadas

A partir del ejercicio anterior, el profesor establecerá reglas para integrar:

Qué:

El estudiante determinará la función original

-

Funciones algebraicas.

dada su derivada.

-

Funciones trascendentes

Cómo: Determinando la función original dada su deri-

Así como los métodos de integración:

vada y utilizando modelos de problemas de área, movimiento, volumen, etc. Para qué: Acceder gradualmente al concepto de inte-

-

Por partes

-

Por cambio de variable

-

Por descomposición en fracciones parciales sencillas.

gral indefinida y emplear la notación correspondiente. Se recomienda que el profesor haga énfasis en la importancia de aprender los algoritmos de integración, como una necesidad para resolver situaciones problemáticas de diferente índo2.1.2

Integrales indefinidos e inmediatos

Qué: El estudiante aplicará la integración de funciones algebraicas trascendentes y obtendrá su solución de manera inmediata. Cómo: A partir de las propiedades de la integral, las fórmulas de integración y apoyándose en ejemplos de problemas investigados por los estudiantes.

28

le.

OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

Para qué: Reafirme el concepto de integral indefinida, establezca la deferencia con integral definida y pueda dar solución a diversos problemas.

2.2 Aplicación de la integral Qué: El estudiante emplee el concepto de integral definida, las técnicas y los métodos de integración en la solución de problemas. Cómo: Mediante el análisis del problema aplicando los

2.2

El profesor propondrá problemas del tipo:

Se realizarán estudios para poder purificar la atmósfera de la tierra. Para combatir el “smog”, una compañía a través de cada una de sus fábricas y durante un período de 18 horas diarias, a partir de las cero horas, liberará en la atmósfera toneladas de una sustancia química benigna determinada por la función:

F ( x ) = 0.2 x 2 + 2 x

procedimientos de integración necesarios y el Teorema fundamental de Cálculo, usando la representación gráfica como apoyo en la comprensión del problema. Para qué: Comprenda que utilizando las técnicas de integración puede simplificar el proceso que conduce a la solución de problemas de Biología, Economía, etc., así como problemas de área y movimiento, comprobando gráficamente la viabilidad de la solución.

Determinar la cantidad de toneladas de sustancia química benigna que se libera desde cero hasta 18 horas. Para contestar la pregunta hay que calcular el área bajo la curva de la función por lo que primero vamos a construir su gráfica. El profesor puede plantear preguntas cómo ¿Qué tipo de gráfica es? ¿Dónde inicia? ¿Hacia dónde abre?, etc. Ahora, bajo la dirección del profesor y formando parejas o equipos, se calculará el área bajo la curva de la gráfica.

29

OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

y f(x) 120

100

75

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

30

0 4.8 11.2 19.2 28.8 40 52.8 67.2 83.2 100.8 120.0

50

25

0

x 0

5

10

15

20

OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS Integrando:

∫ (0.2 X 18

0

= 0 .2

∫

18

0

2

+ 2 X ) dx = ∫

X 2 dx + 2 ∫

 x3  = 0.2   3

18

18

0

18

0.2 X 2

dx + 2 Xdx

X dx

18

 x2  +2   2 0

18 3  18 2  = 0.2  +2 2   3     5832   324  = 0.2  +2   3   2  = 0.2 (1944 ) + (162 )

=

388.8

=

712.8

+ 324

Para realizar las operaciones se recomienda el uso de calculadoras ya que estas agilizan la solución numérica. El profesor puede concluir que cualquier fenómeno o problema cuyo modelo de solución sea una función cuadrática se puede resolver aplicando el mismo procedimiento.

31

OBJETIVOS DE OPERACIÓN

2.2.1

Cálculo de áreas

Qué: El estudiante aplicará las técnicas de integración en el cálculo de áreas entre gráficas de funciones. Cómo: Usando la expresión general. Para qué: Para aplicar el concepto de integral en problemas de volúmenes, de trabajo, crecimiento de poblaciones.

A= ∫

a

b

2.2.2

f ( x ) − g ( x ) dx

Resolución de problemas de volúmenes.

Qué: El estudiante calculará volúmenes generados por sólidos de revolución. Cómo: Mediante el método de disco y de arandelas o rodajas.

32

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

OBJETIVOS DE OPERACIÓN

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS SUGERIDAS

Para qué: Resuelva problemas de diversas disciplinas donde se requiere evaluar cuantitativamente el volumen, como respuestas a una situación determinada donde se conocen las funciones que la modelan.

2.2.3

Aplicaciones

Qué: El estudiante solucionará problemas de física (trabajo, presión de fluido, centros masa y centroides), de biología (crecimiento de poblaciones), de economía (ganancias, renta y costo) y de otras áreas. Cómo: Utilizando los métodos y las técnicas de integración más apropiadas al tipo de problema de que se trate. Para qué: Comprenda las ventajas de utilizar los métodos de integración al simplificar los procesos que permiten encontrar la solución a cada problema.

33

OBJETIVO

SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN EVALUACIÓN FORMATIVA

UNIDAD 2

QUÉ

CÓMO

PARA QUÉ

A través de los ejercicios de in-

Para reafirmar al concepto de in-

tegración de funciones alge-

tegral, así como las diferentes

braicas y trascendentes; así

técnicas y métodos, además de

como la aplicación de los méto-

aplicarlos en diferentes tipos de

dos de integración por partes,

funciones.

2.1 Integración de funciones. Concepto de Integral.

por cambio de variable y por descomposición en fracciones parciales, ya sea de manera individual o en equipos.

2.2

Aplicaciones de la Integral. Concepto de integral. Técnicas y métodos de integración.

Utilizando los métodos y técni-

Para desarrollar la habilidad de

cas de integración adecuadas

resolver problemas de diversas

en la solución de problemas. A

áreas, conociendo las funciones

través de exámenes de res-

que modelan a dichos problemas.

puesta breve, de opción múltiple, trabajos en equipo, revisión de tareas al azar, etc.

34

OBJETIVO

SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN

UNIDAD 2 QUÉ 2.1.2 2.2.2 2.2.1 2.2.3

Integración de funciones:

CÓMO

PARA QUÉ

A través de la solución de pro-

Para comprobar el grado de

blemas, en donde se apliquen

comprensión alcanzado por los

-

Algebraicas.

las técnicas y métodos de in-

estudiantes, sobre las ventajas

-

Transcendentes.

tegración estudios, ya sea en

de utilizar el cálculo integral en

equipos o de manera indivi-

la

dual.

comparativamente con sólo los

Métodos de integración:

solución

de

problemas,

procedimientos algebraicos. -

Por partes.

-

Por cambios de variable.

-

Por descomposición en funciones parciales.

Aplicación de la integral en la solución de problemas. Técnicas y métodos de integración.

35

BIBLIOGRAFÍA

LA BIBLIOGRAFÍA SE RECOMIENDA PARA LAS DOS UNIDADES -

PURCELL E., DALE. Cálculo con Geometría Analítica. Prentice–Hall, México, 1987. En general, el orden de los contenidos de este texto es parecido al del programa. Al inicio de cada capítulo se ofrece la biografía de matemáticos relevantes que motivan a estudiar los tópicos tratados en él. Se conceptualiza a la derivada a partir de las ideas de velocidad instantánea y pendiente de la recta tangente. Respecto de la integral indefinida, inician su tratamiento partiendo del concepto de antiderivada. El número de ejercicios es adecuado, dando al final la solución de los impares. Además agregan una sección de falso-verdadero con reactivos que obligan a reflexionar en los conceptos aprendidos.

-

HOCKETT, S. y STERNSTEIN, M. Cálculo Diferencial e Integral. CECSA, México, 1982. Se considera como un texto útil en lo que a los ejercicios se refiere, dado que el grado de dificultad de éstos es adecuado para los estudiantes. Presenta una buena cantidad de ejemplos y ejercicios con numerosas aplicaciones. Los autores manejan el material de manera informal, recurriendo a la intuición.

-

LEITHOLD, L. El Cálculo con Geometría Analítica. Harla, México, 1984. Para obtener el concepto de derivada el autor hace uso de la idea de pendiente de la recta tangente. Ofrece un buen número de ejemplos y ejercicios, ofreciendo al final la respuesta de los impares.

36

BIBLIOGRAFÍA -

GRANVILLE, W.A. Cálculo Diferencial e Integral. UTEHA, México, 1972. Inician el estudio del Cálculo Integral con la idea de integral indefinida. El número de ejercicios es abundante con un grado de dificultad que obliga a un buen manejo algebraico. Algunos de los ejercicios buscan relacionar los diferentes tipos de derivación e integración, lo que permite adquirir habilidad en discriminar las diferentes reglas y fórmulas. Se anexa también una tabla de fórmulas. La editorial Limusa edita actualmente este libro.

-

BOSCH, C., GUERRA, M. HERNÁNDEZ, C., DE OTEYZA, E. Cálculo Diferencial e Integral. Publicaciones Cultura, México, 1987. El tratamiento que de los conceptos hacen los autores es sencillo y accesible, utilizando para ello numerosas gráficas. Ofrece suficiente número de ejercicios, todos con respuestas.

-

CRUSE LEHMAN. Lecciones de Cálculo 2. Fondo Educativo Interamericano, México, 1982. Es un texto en el que se van tratando los temas de Cálculo de acuerdo con problemas presentados históricamente. Cubre todos los temas del programa, además de tener problemas atractivos para los alumnos.

-

SCOTT M. FARRAND Y NANCY JIM POXON. Cálculo, Teoría y Práctica. SITESA, México, 1990. Es un texto que contiene una gran cantidad de problemas, explicados y resueltos, así como complementarios con sus soluciones, es recomendable como apoyo para estrategias que consisten en resolver problemas.

37

BIBLIOGRAFÍA

-

DENNIS G. HILL. Cálculo con Geometría Analítica. Iberoamericana, México, 1990. El contenido de Cálculo diferencial e integral que se presenta en el texto abarca todo el programa de manera amena y clara con muchas aplicaciones.

-

38

WENZELBURGER GUTTENDERGER, ELFRIEDE. Didáctica del Cálculo Integral. Iberoamericana, México, 1993.

LA ELABORACIÓN DE ESTE PROGRAMA, QUE SISTEMATIZA E INTEGRA LAS APORTACIONES DE NUMEROSOS MAESTROS, ESTUVO A CARGO DE LA SIGUIENTE COMISIÓN. LIC. ROSA MARÍA ESPEJEL MENDOZA LIC. MARIO LUIS FLORES FUENTES LIC. ROSA MARÍA SALGADO MEDINA LIC. JOSÉ SÁNCHEZ VARGAS ING. IGNACIO PIÑA MILLÁN

ASESORA EXTERNA: M. EN C. PATRICIA BALDERAS CANAS

LABOR MECANOGRÁFICA:

CAPTURA Y EDICIÓN:

MARCELA PALAFOX CARDOSO YOLANDA GONZÁLEZ MEJÍA

ALICIA BARRAGÁN SANTIAGO ROSARIO ALARCÓN HERNÁNDEZ DADC – 2004

39