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CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
MATEMÁTICA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
(
) ;
df ; f ( x)dx dx
EJERCICIOS Profesora Nidia Leiva Calderón Profesora Carmen Mora Chavarría
1
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
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x k
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INDICE TEMA
PÁGINA
Presentación
1
I Conocimientos previos Ia) Leyes de potencias
1
Ib) Fórmulas notables
2
Ic) Factorización
2
Id) Racionalización
7
II Límites
Definición y ejemplos gráficos Ejercicios Teoremas sobre límites y ejemplos Ejercicios Límites al infinito y límites infinitos Límites al infinito. Ejemplos Ejercicios Límites infinitos. Ejemplos Ejercicios Continuidad y ejemplos Ejercicios
8 9 11 14 16 17 18 19 19 20 22
III Derivadas
Concepto, reglas de derivadas y fórmulas de derivadas Ejemplos Ejercicios Derivadas de orden superior y ejercicios Derivadas implícitas y ejercicios Rectas tangente y normal y ejercicios Regla de L’Hopital y ejemplos Ejercicios Problemas de razón de cambio. Ejemplos Ejercicios
25 26 28 30 30 31 33 42 43 44 2
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Problemas de optimización y ejemplos Ejercicios Cuadro de variación y trazo de gráficas. Ejemplos Ejercicios Mas ejemplos Mas ejercicios Otros ejemplos
46 48 49 53 54 57 58
IV Integrales
Concepto y fórmulas Ejemplos Ejercicios Integración por partes. Ejemplos Ejercicios
60 60 66 68 70
V Anexos
75
VI Recopilación de exámenes
76
VII Exámenes resueltos
89
3
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Presentación La matemática básica es una herramienta necesaria para el buen desempeño en diferentes actividades cotidianas y es en la escuela primaria y secundaria donde se adquieren esos conocimientos indispensables. Estas herramientas son también necesarias para cursar con éxito el curso de cálculo diferencial e integral. Se presenta aquí un compendio de ejercicios con lo cual las colaboradoras buscan apoyar al alumno en ese proceso para obtener un buen resultado. Se muestran algunos tópicos necesarios ,ejemplos y ejercicios. Se le recomienda al estudiante utilizar internet como apoyo en este proceso. Se le aporta la dirección de internet www.laprofedemate.com, páginas en las cuales se puede encontrar más práctica y el apoyo para evacuar dudas con alguna de las profesoras que se encuentran adscritas a la página. Se le recuerda que este folleto no sustituye al docente en clase, el objetivo es acompañarle en esta nueva meta en la vida. También se agradece señalar a través de la página interactiva cualquier omisión o sugerencia mientras se utiliza este material.
I CONOCIMIENTOS PREVIOS Algunos conceptos básicos que el estudiante debe manejar son:
I a) Leyes de potencias y resultados 1.
( x y ... z)n xn y n ... z n
3.
xn xm xnm
( x n ) m x n.m 1 1 7. x n n / x n n x x 5.
n
x xn n y y
2.
6.
xn x nm xm x0 1
8.
xn n x
4.
1
1
n
9.
x m m xn
10.
m n
x n . m x x n. m
4
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Ib) Fórmulas 1.
( x y)2 x2 2 xy y 2
5.
( x y)( x 2 xy y 2 ) x3 y3
2.
( x y)2 x2 2 xy y 2
6.
( x y)3 x3 3x2 y 3xy 2 y 3
3.
( x y)( x y) x 2 y 2
7.
( x y)3 x3 3x2 y 3xy 2 y3
4.
( x y)( x2 xy y 2 ) x3 y 3
Ic) Factorización Recordemos que factorizar una expresión es escribirla como un producto. Hay varios tipos de factorización, los básicos que ocuparemos en este curso son: 1. 2. 3. 4. 5.
Factor común (puede ser monomio o polinomio) Agrupación Por Fórmulas notables Fórmula General División Sintética
1. Factor Común En este método la idea es sacar el o los factores que tengan en común cada término que compone la suma o resta en el polinomio 1.1 Factorizar
3x 4 ms 9m6 x 7 s 9 15m8 x3 8 2 4
3x 4 ms 9m6 x 7 s 9 15m8 x3 3mx3 xs 5m7 5 4 9 3 m x s 8 2 4 2 4 2 1.2 Factorizar (c b) 5c 5b 3z(c b) 4
2
(c b)4 5c 5b 3z (c b) 2 (c b) 4 5(c b) 3z (c b) 2 (c b) (c b)3 5 3z (c b) (c b) c3 3c 2b 3cb 2 b3 5 3zc 3zb) 2.
Agrupación
Consiste en agrupar términos de forma que las agrupaciones formadas posean un factor común 2.1 Factorizar a 4ax 4 x a ax 2
3 2
2
a 2 4ax 4 x3a 2 ax 2 a 2 (1 4 x) ax 2 (4 x 1) (1 4 x) a 2 ax 2 a(1 4 x) a x 2 5
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PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 2.2 Factorizar 2m 2m 4m 4 3
2
2m3 2m 4m2 4 2m(m2 1) 4(m2 1) (2m 4)(m2 1) 2(m 2)(m2 1) 2(m 2)(m 1)(m 1)
3. Por Fórmulas notables Este método consiste en aplicar una o varias de las fórmulas notables que antes se expusieron, por ejemplo
100 x 4 49 x 2 3.1 Factorizar 81 2
10 x 2 10 x 2 10 x 2 100 x 4 2 49 x 2 7 x 7 x 7 x ( aplicando la 3 FN) 81 9 9 9 6 3.2 Factorizar r 64
r 6 64 (r 3 )2 82 (r 3 8)(r 3 8) (r 2)(r 2 2r 4) (r 2)(r 2 2r 4) ((aplicando la 4 y 5 FN) 2 2 4 3.3 Factorizar 1 a 6am 9m
Aquí se van a utilizar dos formas de factorización: agrupación y fórmula notable
2 2 4 2 2 4 Se agrupan algunos términos: 1 a 6am 9m 1 a 6am 9m
Luego se aplica la primera fórmula notable en los términos agrupados a la derecha así:
a
2
6am2 9m4 (a 3m2 )2
finalmente se aplica la tercera fórmula notable en la expresión ya que es una diferencia
2 2 2 2 de cuadrados: 1 (a 3m ) 1 (a 3m ) 1 (a 3m ) Por lo tanto la factorización completa queda
1 a 2 6am2 9m4 1 a 2 6am2 9m4 1 (a 3m2 ) 2 1 (a 3m2 ) 1 (a 3m2 ) 1 a 3m2 1 a 3m2 4. Fórmula General
Permite factorizar cualquier polinomio de la forma y ax bx c (a lo que se la llama 2
b b 2 4ac parábola). Con la fórmula y es posible encontrar las raíces del polinomio x1 2a
6
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PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA y x2 donde x1
b b2 4ac b b2 4ac ; x2 por lo tanto la factorización de 2a 2a
y ax 2 bx c es y ( x x1 )( x x2 ) Recordar que a la expresión b 4ac se llama discriminante y se denomina con el signo es 2
decir b 4ac . 2
Hay que recordar al factorizar que: {
0 0 0
}
4.1 Factorizar 2 z 3z 5 2
Si y = 2 z 3z 5 a 2, b 3, c 5 entonces 2
b2 4ac (3)2 4(2)(5) 49 entonces (3) 49 3 7 { x1 10 5 x2 4 1 } , así la factorización 2(2) 4 4 2 4 5 completa de la expresión es 2 z 2 3z 5 x x 1 (2 x 5)( x 1) 2 y
4.2 Factorizar 3m 6m 3 entonces 2
2 2 y = 3m 6m 3 3(m 2m 1) 0 , es decir raíz real se repite, entonces
y
(2) 0 2 1 la factorización completa es 2(1) 2
2 y = 3m2 6m 3 = 3(m 1)(m 1) 3(m 1)
4.3 Factorizar 2a 5a 9 , En esta expresión el 0 no existen raíces reales, por lo que la expresión no se factoriza 2
2
4 3
4.4 Factorizar a 2a 3 9 Aquí se realiza una sustitución para que la expresión quede de la forma ax bx c , así, 2
2
2 3 3 3 a 2a 9 a 2a 9 y se realiza la sustitución u a ,
2 3
4 3
2
2
2
3 3 2 a 2a 9 u 2u 9 , aplicando la fórmula general, la factorización será 2
2
2 2 u 1 10 u 1 10 a 3 1 10 a 3 1 10
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2 2 23 23 3 3 a 2 a 9 u 1 10 u 1 10 a 1 10 a 1 10
5. División Sintética Este es un método para factorizar polinomios en el cual se trabaja con los divisores del número independiente en el polinomio y con los divisores del coeficiente principal. Se va probando el proceso con cada divisor del término independiente y con cada divisor del término independiente dividido por cada divisor del coeficiente principal hasta que el residuo sea 0. Se realiza el proceso en un polinomio, las veces que sea necesaria. Se ilustrará este método con algunos ejercicios 5.1 Factorizar x 3x 4 Paso 1) Escribir la expresión en forma descendiente de acuerdo al exponente de la 4
2
variable de uno en uno: x 3x 4 x 0 x 3x 0 x 4 Paso 2) Encontrar los divisores del término independiente 4, con signos positivo y 4
negativo:
2
4
3
2
1, 2 4
Paso 3) Se colocan los coeficientes en una tabla de la siguiente forma: 1
0
-3
0
-4
(# a probar)
residuo Paso 4) Se escoge uno de los divisores (a probar) y se empieza el proceso. Se baja el coeficiente principal, se multiplica este por el divisor y el resultado se escribe debajo del segundo coeficiente, se suman y el resultado se escribe bajo este segundo coeficiente y se procede en forma similar hasta que se terminen los coeficientes y el resultado de la última suma sea 0, en tal caso (x - #) es el factor.. Si el residuo no es cero, quiere decir que ese divisor no es raíz del polinomio por lo tanto hay que escoger otro divisor para el proceso Por ejemplo se utilizará el divisor -1 y se realiza el proceso para ver si el residuo es 0, así: 1
1
0
-3
0
-4
-1
1
2
-2
-1
-2
2
-6
-1
(es el residuo)
Aquí el último número (residuo) al final del proceso, no es cero, lo que significa que -1 no es una raíz real de ese polinomio. Si el último número resultante (residuo) es 0 terminamos el proceso con ese divisor, y ese divisor resulta ser un cero o raíz del polinomio y un factor o raíz del polinomio es (x – el número escogido)
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lim g ( x) ; x k
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df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Seleccionar otro de los posibles factores, por ejemplo el 2 1
1
0
-3
0
-4
2
4
2
4
2
1
2
0
2
Aquí el residuo es cero por lo que 2 es una raíz real para el polinomio dado, y para expresar factorizado el polinomio se toma los números resultantes como los nuevos coeficientes del nuevo polinomio pero con un grado menor que el grado del polinomio original, es decir la factorización es: x 3x 4 ( x 2 x x 2)( x 2) 4
2
3
2
De ser necesario se repite el proceso con un divisor del nuevo término independiente, en este caso 2 y los nuevos divisores son 1
1
2
1
2
-2
0
-2
0
1
1, 2 ,y se escoge por ejemplo el -2 -2
0
Así la factorización de x 2 x x 2 ( x 1)( x 2) y la factorización completa es 3
2
2
x4 3x2 4 ( x2 1)( x 2)( x 2) Factorizar 4 x 3x 8x 6 Se definen los divisores del término independiente 6 y del coeficiente principal 4 así: los divisores de 6 con signo positivo y negativo, son: {1, 2,3,6} y los divisores de 4 son: 3
2
1, 2, 4
1 3 3 2 2 4
Por lo tanto los posibles ceros o raíces son: 1, 2,3, 6, , , así selecciono por ejemplo el con - 34 , así 4
3
8
6
4
-3 0
0 8
-6 0
- 34
Entonces 4 x3 3x 2 8x 6 (4 x 2 8)( x 34 )
4 x3 3x2 8x 6 ( x2 2)(4 x 3) es la factorización completa de la expresión
9
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lim g ( x) ; x k
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df dx
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PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Ejercicios. Factorice cada una de las siguientes expresiones: 4
1 8) a 81 2 9) 4c 16cm3 4m6
5m3 s 4 15m 4 s 30m 2 ks 7 1) 6 2 7
2
2) y3 100 y 3) a b 3 b a x(b a )5
10) 27x 6 54 x 4 8 x 3 16 x
4) m10 m8 m6 m 4
11) 2y3 3 y 7 y 2 18
5) 6x 4 13 x 2 10 x3 15 x 6
12) r 6 1
6) 8x 2 26 x 15
13) b 3 6b 3 5
7) xa x 2 2a 2 x
14)
2
4
s 2
2
4
5 s 2 4 2
Id) Racionalización Racionalizar un denominador es obtener una expresión equivalente que no contenga radicales en el denominador. Algunas veces es conveniente también eliminar los radicales en el numerador. 1) Racionalizar
5 7
x3
7
5 7
x3
5
7
x4
x3
7
x4
5 7 x4 7
x7
5 7 x4 x
Así se elimina el radical en el denominador que es lo que se buscaba
2)
Racionalizar
3x 4 x 4 x
3x 4 x 4 3x 4 x 4 x x(3 4 x3 ) x (3 4 x3 ) x x x x x 3) Racionalizar la fracción
18 x3 2 x 3x 1
2 18 x3 2 x 18 x3 2 x 3x 1 2 x 9 x 1 3x 1 2 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1
2 x 3x 1 (3x 1) 3 x 1 2 x(3x 1) 3x 1 2 x(3x 1) 3x 1 3x 1 1
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lim g ( x) ; x k
(
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df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 4)
Cuando en la fracción hay un binomio a racionalizar, se recurre a la tercera fórmula notable, así: racionalizar
3x 15 x 5
15 3x 15 3x x 5 3(5 x)( x 5) x 5 x 5 x 5 ( x ) 2 ( 5) 2 3(5 x)( x 5) 3( x 5) x 5 Ejercicios. Racionalizar las siguientes expresiones
1) 2)
x3 3 x x 1 3x 1
b 2 2 b b 2 5 4z 8) 2 z 1 3
7)
3)
r2 s s 1
9)
n3 4n 2 3n 1 1 n
4)
7 49 m 25 m 5
10)
2a 2 5a 3 2 3a 5
5)
h h x h
11)
x2 2 5 2x 3
6)
x 2x4 7 x2 2 x 18 x
12)
r 1 1 4 r
13)
3 5 r 1 5 r
14)
1 d d 2 7 12 d 3
II Límites Definición de límite: El límite de una función f(x) en un punto x=a es igual a L si para todo es posible hallar
tal que si f ( x) L , L x a , a
y se denota con
lim f ( x) L x a
Ejemplos gráficos: Dada una función es posible encontrar el límite de la función para diferentes valores de x. Por ejemplo en el gráfico que se representa h(x),
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lim g ( x) ; x k
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df dx
f ( x)dx
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Ejercicios. Considere las funciones y encuentre los límites:
1.1) lim g ( x) x
1.2) lim g ( x)
1.3) lim g ( x)
1.4) lim g ( x)
1.5) lim g ( x)
1.6) lim g ( x)
x 1.5
x 1.5
x 1.5
x 0
x
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lim g ( x) ; x k
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df dx
f ( x)dx
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lim g ( x) ; x k
(
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df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA a) lim f ( x)
b) lim f ( x)
x
c) lim f ( x)
x
x 0
d) lim f ( x) x 6
Teoremas sobre límites Sea f(x) y g(x) dos funciones, f(x)
0, g(x)
0 y sea k una constante , entonces
1 ) lim k k x c
2 ) lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) x c
x c
x c
3 ) lim[ f ( x).g ( x)] lim f ( x).lim g ( x) x c
4)
x c
lim x c
x c
f ( x) f ( x) lim x c si lim g ( x) g ( x) lim g ( x) xc
0
x c
5 ) lim f ( x) x c
g ( x)
lim f ( x)xc
lim g ( x )
x c
s i f ( x) 0
6)
lim g f ( x) g lim f ( x) x c xc
7)
lim n f ( x) n lim f ( x) S i n e s p a r , e n to n ces f ( x) 0 x c
x c
La función f(x) y/o g(x) puede ser una raíz, un logaritmo o una función trigonométrica : senx , cosx, tgx, etc
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lim g ( x) ; x k
(
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df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Ejemplos. Calcule cada uno de los siguientes límites
1)
x3 4 x x 3 2 x 4
Calcule lim
x3 4 x 33 4 3 9 4 3 2 x 4 2(3) 4 2
Sustituyendo en el límite la x por 3, resulta lim x 3
log( z 1) log( z 1) log(2) lim (se dice aquí que el límite no x 1 z 1 z 1 0
2) Calcule lim z 1
existe, pero si tiende a Algunas ocasiones al evaluar el límite, resulta una forma indeterminada
0 , en tal ; 0
caso debe reescribirse el límite o manipularse algebraicamente la función para poder calcular el límite
x3 7 x 22 x 2 6 x 2 x 3 4
3 ) Calcule lim
( x 2) x 2 2 x 11 x3 7 x 22 0 x3 7 x 22 x 2 2 x 11 19 lim lim lim lim 3 3 2 2 x 2 6 x 2 x 4 x 2 6 x 2 x 4 x 2 2( x 2)( x 2 x 1) x 2 2( x 2 x 1) 0 18
lim x2
4)
x3 7 x 22 19 6 x 2 x3 4 18
1 1 lim- 3 x 0 x x 1 x2 1 1 1 1 1 lim- 3 lim- 3 f : lim- 3 x 0 x 0 0 x x x 0 x x x 3 x 6 x 3 x 1 2
5) Encuentre lim
3 x 6 0 lim Aquí se aplica racionalización en el numerador y en el denominador x 3 x 1 2 0 15
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lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 3 x 6 3 x 6 x 1 2 32 x 6 x 1 2 lim lim x3 x 1 22 3 x 6 x 3 x 1 2 3 x 6 x 1 2 x 1 2 4 2 3 x 6 2 3 x x 1 2 x 3 x 1 2 lim lim lim lim x 3 x 3 3 x 3 3 x 6 x3 x 3 3 x 6 x3 3 x 6 6 x 1 2 3
x 1
6) Resolver lim x 0
x 1
lim x 0
2
1
x 2
1
x
f
0 0
x x 2 x 2x 11 lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x 2
7) Resolver lim x
4
x 2 2 lim x 0
x 1
2
1
x
2
x tan x 1
lim
x
4
x tan x 1
k x f : 4 lim 1 1 0 tan x 1 x 4
8) Resolver
lim x 0
1 x 1 x 0 f : lim x 0 x 0
lim lim
1 x 1 x x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x lim
1 x
2
1 x
2
1 1 x 1 x 1 lim x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x
x 0
x 0
lim
2x 1 1 2 lim 2 1 lim x 0 x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2
x 0
x
1 x 1 x 1 x
x 4 x3 lim x 4 x3 105 x 3 x 3 x 4 x3 9) lim no existe lim x 4 x3 x 3 x 3 x 3 0 x 3 lim x 3 x 3
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CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
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df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 10) lim x a
a 2 2ax x 2 xa x 2 2a 2 x
a 2 2ax x 2 0 2 x a xa x 2a 2 x 0 2 2 a 2ax x (a x) 2 (a x) 2 (a x) 0 lim lim lim lim 0 x a xa x 2 2a 2 x x a x ( a x ) 2( a x ) x a ( x 2)( a x ) x a ( x 2) a2 x2 9 11) lim x 3 x 2x 3 lim
lim
x2 9 0 f: 0 x 2x 3
lim
x2 9 x 2x 3 lim x 2 x 3 x 2 x 3 x 3
lim
x 3 x 3 x x 3 x 1
x 3
x 3
x 3
x 3 x 3 x 2 x 3 lim x 3 x 3 x 2 x 3 x 3 x 2 2 x 3 1 x2 2x 3 1 x 3 x 2 x 3 6 3 9 9 lim 2x 3 x2 9 lim 9 x 3 x 3 1 1 4 1 x 1 x 2x 3
Ejercicios. Determine de ser posible, cada uno de los límites:
cot( x) 3 1) lim 6 csc( x) sec(2 x) x 2
3e(2 h h ) 5 2) 3lim 6 h 0 log(h 2) 3
sen 2 (4 x) 2 tan (4 x)
4) lim
z 4 z 2 12 z 2 4z z3 4
r 4 5r 2 4 r 1 1 r2
6) lim
x3 kx 2 k 2 x k 3 2 x 2 kx k 2
3) lim x
5) lim
7) lim w h
wh 2w h w
t 1 t 7 2 t 10 4t 32t 80
9) lim
11)
lim
x0
ln( x2 x 5) 1 e x
z 2
x k
8) lim z 0
10)
lim x
4 z 2 25 z 5
7 3 8 x3 5 x 5 2 x 2 3x
1 1 lim x 1 x 1 x 1 12) 17
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lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA x 2 4 x, six 2 13) Sea la función f ( x) 4 , encuentre el lim f ( x) x 1 x , six 2
5ln( x3 2 x 2 ) si x 1 14) Considere la función g ( x) , encuentre el lim g ( x) 4x x 1 x si x 1
tan 3 (5 x) x 0 2 3 x 4
15) lim
22) lim
z 5 8 z 2 32 4 z 3 16) lim 5 z 2 2 z 16 z 2 8 z 3 63
lim
5 x 2 23) 2 x 1 x
x 1
arccos( x ) x 0 sen( x )
17) lim
4 16 x
x 0
24) lim
t 3 t 2 5t 3 t 3 3t 2
25) lim
1 x3 ax bx a b
t 1
sen 2 (8 x) 3 x 0 6 sen(3 x)
18) lim
x 1
1 ln x 2 19) lim x x 0 e 1
26) lim
x 1 x 7 4 x 2 32 x 80
27) lim
x2 9 x 2x 3
28) lim
ln x 2 1 ex
x 10
m8 17m4 16 m 2 m 1 2
x 3
20) lim
x 0
2s 4as 2a s s 4 2a 2 s 2 as 3 3
21) lim s a
2
2
2 x3 6 x 2 24 8 x 30) lim x 2 x3 8 31) lim x 3
12 x 3 1 x x 7
32) lim x 2
2
x3 3x 2 12 4 x x3 8
(3a ea 1) 2 a 0 4a ln(2a 1)
29) lim
33) lim x 1
x x2 x 1 x3 4 x x 2 4
4 16 x x 0 5 25 x
34) lim
x3 3x 2 35) lim 4 x 1 x 4 x 3
18
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
36) lim x 0
7 49 x
37) lim
3 x x 5x 9
x 0
2
3 2x 3 x 2x2 x
Respuesta a los ejercicios anteriores 1) R :
3 7 4k 5 5 7 2)R:1 3)R:-38 4)R: 5)R:3 6)R: 7)R:2 h 8) R: 9) R: 10) R: 7 3 3 2 288 5
4 1 11)R:- 12) R: 13)R: 14)R:-1 15)R:0 16)R:0 17)R: 18) R: 19)R:- 2 16 20)R:0 21)R:0 22) R:
29)R:+ 30)R:
1 4 3 23)R:-8 24)R: 25)R: 26)R: 27)R:9 28) R:+ 2 3 ab
10 2 5 1 5 1 3 31) R: 32)R: 33)R: 34) R : 35) R: 36) R: 37) R: 3 3 3 10 4 2 2 3
Límites infinitos y al infinito. Abusando de la notación y a modo de ejemplo, se presentan algunas operaciones con infinitos. Sea k una constante k
1) k
, entonces
0 0 k k 7) 0 k 8) , depende 0 6)
2) 3)()() 4)()() 5)()()
si k 0 si k 0
9 ) k ()
1 1 ) S i n IN () n
si k 0 si k 0
1 0 ) k ()
si n es par 12) ()n si n es impar E xp resi on es In d efin i d as
0 0 0 ; ;0 , ;1 ;(0)(); 0
19
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Ejemplos. Encuentre los siguientes límites que tienden a infinito En estos límites se deben sacar a factor, la variable con el exponente más alto de la expresión, si es una fracción ésta variable con su exponente debe sacarse por separado numerador y denominador 1)
lim
5 x6 9 x11 2 3x8 x 2 3x 7 7
lim
5 x 9 x 2 3x f : lim 2 7 x x 3x 7
lim
2 3 5 x 4 5 9 11 3 x x x 7 1 x5 3 x 7
x
6
x
x
16 x 4 7 x 3 1 2 x2 3
4
16 x 4 7 x 3 1 lim x 2 x2 3
x
lim
x
4
lim
x
lim
x
4
lim
x
porque cada
4
7 3 x 4 16 3 4 1 x x lim 2 x 2x 3
7 3 x 4 16 3 4 1 x x lim x 3 2 x 2 2 x
2 3 5 x11 5 9 11 3 x x x 1 7 7 x 5 3 7 x x k 0
16 x 4 7 x 3 1 f: 2 2x 3
7 3 x 4 16 3 4 1 x x 3 x2 2 2 x 7 3 1 x 4 16 3 4 x x x 3 2 x 2 2 x
7 3 1 16 3 4 x x x 4 16 k f : 0 3 2 x2 2 x
2 1 x9 5 3 9 x 3x 2 x x lim lim 7 x x 5 3x 5 7 x 3 7 x 4
3)
8
4
lim
2)
11
9
20
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
3 7n n3 25n 2 1 lim n n 2 5)
3 7 1 2 3 n 1 n 25 2 3 7n n3 25n 2 1 n2 n lim lim n n n 2 2 n 1 n 7 7 1 1 n 3 2 1 n 25 2 3 2 1 25 2 n n 1 5 n n lim lim 1 6 n n 2 2 n 1 1 n n 3 7n n3 25n 2 1 lim 6 n n 2 De los ejercicios resueltos se puede comprobar empíricamente el siguiente teorema : Teorema: Dados ai y b j números reales y dados los polinomios de la forma
an xn an1 xn1 an2 x n2 .... a1 x a0
y
bm xm bm1 x m1 bm2 x m2 .... b1 x b0 entonces
0 si n < m an x n an 1 x n 1 an 2 x n 2 .... a1 x a0 an si n = m se c umple que: lim m 1 x b x m b bm 2 x m 2 .... b1 x b0 b m m m 1 x (depende) si n > m Ejercicios. Resuelva cada uno de los siguientes límites al infinito:
2 x7 4 x 6 x17 8 x8 6 x 2 3 x
1) lim
x
2) lim
x
3) lim
x 2x x 9
5
6) lim
3
x
4 x5 6 x 7 3x 7 3x 2 x5 x 3x x 2 2
7 s
x
x 4 2 x 2 3x 7
x
4) lim
5) lim
9
4 5s s 7 6 64s 6 5 1 s
7) lim
x
x 2 3x 1 4 x 4 x2 5 3 5 x 2 8 x8 6 x 5 3 x3 2 x x 2 5
8x 6 x2 x
2 8) lim 10 x 4 x 2 x x
21
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
10 x 2 2 9) lim x 5x 7 4 10) lim
11) lim
x
(3x 2 2 x 2)3 4 x 3 5 x x 3
x
3
x 2 3x 2 3x x x 2 1
12) lim 4 z 2 2 z 3 4 z 2 7 9 z z
x 2 4 x 1 ( x 1)3
Respuesta a los ejercicios anteriores
3 6)R:0 7)R:+ 2 1 8) R:+ 9) R:1,01 10) R:+ 11) R:+ 12) R: 4
1) R : 2)R:0 3)R:0 4)R:3 5)R:
Límites infinitos. Cuando al sustituir el valor de la variable en el límite, el resultado es ó - , se debe resolver los límites laterales (es decir por la derecha y por la izquierda), así 1) lim x 2
x2 x2 1 1 lim lim se deben resolver los límites 2 x 4 x2 ( x 2( x 2) x2 x 2 0
xlim 2 1 laterales así: lim x 2 x 2 lim x2
1 1 x2 0 no existe el límite 1 1 x 2 0
Ejercicios. Resuelva cada uno de los siguientes límites infinitos:
3w 6 2 1) w2 w 4
6) lim
t 5 2) lim t 4 t 4
7) lim
lim
x 0
3x 4 x 1 x 2 1
4
2 z ln(2) 3) lim z 3 z 3 a 4) lim a 7 a 7 sen( x) 3 5) lim x 0 x
(4 x e x ) 2 2 x ln( x 1)
4
8)
4s 12 lim s 3 9 s 2
2
Respuesta a los ejercicios anteriores 2 : 7 : 1 : 1) R : 2)R:+ 3)R:+ 4)R: 5)R: + 6) R:+ 7) R: 8) R: + 2 : 7 : 1 :
22
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Continuidad Otra aplicación de los límites es el de continuidad de una función. Dada una función f(x) definida en un intervalo I, se dice que esta función es continua en un punto c I si cumple las siguientes tres propiedades: 1.
f (c) existe y está bien definida
2.
lim f ( x) existe
3.
f ( x) = lim f ( x) (es decir, el resultado de la primera propiedad es igual al resultado en la
x c
x c
segunda propiedad) Si no se cumpliera al menos una de las tres anteriores propiedades, se dice que la función es discontinua. La función es continua en un intervalo I , si es continua en cada punto c I Ejemplos. 1) Dada la función s( x) 3 5x 4 6 , es s( x) una función continua en x = 1? Para probar esto considerar c = 1, entonces 1.1 s(1) 3 5(1) 4 6 3 9 3(3) 9 1.2 lim s( x) lim(3 5 x 4 6) 9 x 1
x 1
1.3 s(1) lim s( x) se cumple la continuidad para x = 1 x 1
log( x e( x 1) ) si x 1 2) Considere la función h( x) Analice si la función es continua en x = 1 4 x 5 si x 1 2.1) h(1)
log(1 e(11) ) log(2) 4 4
2.2) lim h( x) lim x 5 4 2 x 1
x 1
2.3)se cumple la igualdad h( x) = lim h( x) ? x 1
No se cumple la igualdad porque
log 2 2 , por lo tanto la función no es continua, es decir es 4
discontinua en x= 1 23
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA (
3) Considere la siguiente función f(x) = {
} Encuentre el valor de a para que
la función sea continua en x = Solución (
( )
)
(
( )
( )
-
3.3 Si se cumple la propiedad 3) entonces 3 = -
a= ( (
4) Considere la siguiente función g(x) =
√
{ Es g(x) una función continua en el conjunto de los números reales? Solución 4.1 Para x = -1 4.1.1) g(-1) = ln(--1) + 1 = ( ( ( ( 4.1.2) { ( ( ( ( )
}
0
+
1
=1
(
por lo tanto
(
4.1.3 Se cumple la tercera propiedad si:
(
por lo tanto g(x) es continua
en x= -1 4.2 Para x = 0 (
4.2.1) g(0) =
=e (
4.2.2)
(
(
(
)
{ √
( por lo tanto
(
(
)
, por lo que g(x) es discontinua en x = 0
24
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
df dx
)
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
ln( x) 1 si x 1 5)Sea g x una función continua definida por: g ( x) e( x 1) 3( x x 3 ) si 1 x 0 x 1 1 si x 0 x Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales 5.1) Si x = -1 5.1.1) ln (1) + 1 = 1
a) lim e( x 1) 3( x x3 ) e0 3(0) 1 g ( x) 1 5.1.2 lim g ( x) x 1 xlim x 1 1 (ln( x ) 1 1 b) xlim 1 5.1.3) [ ln (1) + 1] = lim g ( x) 1
Entonces la función g(x) es continua en x = -15
x 1
5.2 Si X=0 5.2.1 g(0) = e
(01)
3(0 03 ) e 0 e 3.2.2
2 x 1 1 x 1 1 0 x 1 1 x 1 1 a) lim lim xlim x 0 x 0 0 x 0 x x x 1 1 x 1 1 x 1 1 lim g ( x) lim lim g ( x)noexiste xlim x 0 1 x 0 x 0 2 x x 1 1 x 1 1 ( x 1) 3( x x3 ) e1 3(0) e b) lim e x 0
por lo tanto la función f(x) no es continua en x = 0, entonces g(x) es una función discontinua en el conjunto de los números reales Ejercicios 1) Diga si la siguiente función f(x) es continua en x= -2
x2 x 1 x 1 ____________ sí ___ x 2 f ( x) x 3 2 _______________ sí __ 2 x x 1
25
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 2)
Diga si la función g(x) es continua en el conjunto de los número reales,
4 x x 2 si x2 4 x 3) Es la función continua en x=2 y en x=3? Compruebe su respuesta
x 2 4 x 11 f x = 3x 5 11 3x
5 2 x 3x 5 2 2 4) Es f x = x 4 x 3 2 x 9 x 2 3x 2
si
5 x 2
si si
2 x3 3 x
si si
x2 2 x3 continua en IR
si
3< x
si
3=x
2x2 x 3 x3 2 x 2 6 x 5 5 6) Es la función continua en IR?, si n x = 12 x x 2 12 x 3 4 3 2 3x 30 x 27 x x4 5x2 4 x 2 3 x 2 7) Es
la
función
6 x 22 x 10 2 x2 5x 2 2 x x6 p x = 2 12 x 7 x x2 6 x 9 2 9 x
continua
2
en
si
x 2
si
2 x3
si
x3
x=-2
si
x 1
si
x = 1
si
1 x 1
si y
x>1 en
x=3?
26
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
df dx
)
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 8) Encuentre el valor de k para que la función m(x) sea continua en x=3, si k x x m x = xk 2 3
9) Encuentre
el
si
x3
si
3 x
valor
x g x = xk 3 x
5k 2
de
k
para
si
x2
si
2 x
que
g(x)
sea
continua
3x 5k six 4
10) Encuentre el valor de k para que la función m( x)
x 2 3k six 4
en
x=2?
sea continua en x=4
11) Averigue el valor de la variable k para que g(x) sea continua en x=1
( { 12) Encuentre el valor de las variables a y b, para que f(x) sea continua en x =-2 y en x = 2, si
(
{
13) Encuentre el valor de las variables a y b, para que f(x) sea continua en IR, si
xa b f x = 3x 1 a bx
si si
x2 2 x3 3 x
si
14) Encuentre el valor de las variables k y m, para que g(x) sea continua en IR
2kx m g x = mx 2 2mx k
si si si
x 1 1 x 2 x2
15) Encuentre el valor de las variables k y m, para que h(x) sea continua en x=-1 y x=2
3kx m h x = x2 4x 8 2mx 4k
si si si
x 1 1 x 2 x2 27
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
df dx
)
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
III Derivadas Sea f(x) una función definida en el conjunto de los números reales. La derivada de la función f(x),
f ( x h) f ( x ) h
denotada con f’(x) es f’(x) =
si este límite existe
Ejercicios. Encuentre la derivada de cada expresión por medio de la definición 2) f ( x) 2 x 3
y 3 x 1
1)
1 x 3
4) h( x)
5) l ( x)
5x 7 2x
3) s( x) 4 x x
2
6) s ( x)
3
7 x3 x2
Reglas de derivación
1) f ( x) k f '( x) 0 2) f ( x) kx f '( x) kx ' 3) f ( x) u v f '( x) u ' v ' 4) f ( x) u.v f '( x) u ' v v ' u u u 'v v 'u f '( x) v v2 6) gof '( x) g '( f ( x)) f '( x)
5) f ( x)
nx
2.
x
10. (cotx) csc 2 x
n 1
1. x n
1
n
n
n x
n 1
4.
a lna e e
5.
lnx 1
6.
log a x
7.
senx cosx
8.
cosx senx
9.
tanx sec 2 x
3. a x
x
x
x
11. 12. 13. 14.
x
1 xlna
secx secx tanx cscx cscx cotx arcsenx arccosx
1 1 x2 1 1 x2
arctanx
1 1 x2 1 16. arccotx 1 x2 1 17. arcsecx x x2 1 1 18. arccscx x x2 1 15.
28
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Ejemplos. Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones 1)
2 y 5 s s3 s
2
3
1 19 7 5 2 4s3 4 y 5 3 s s 3 5s 3 s 6 2 5s 3 20s 3 4s 3 s s s 2
95 163 140 34 20 38 y' s s s 3 3 3 m( x) e x e sen ( e ) 2 x e ex sen e 2 2)
m`( x) e x 0 2ex e1 e 0 2
n 1
2r r
n 1
2r r
3) l (r ) r
l (r ) r
2 n 1
2 n 1
7r 3 r
ex
ln(2)
sen(ex)
e e cos(ex) 2 ex sen(ex)
7 r r 2r 3
ex
n 2
r
3n
7r
n 4
r
1
3 n 2
3 n l `(r) 2 n 2 r n 1 3nr 3n 1 7 n 4 r n 3 n r 2 2
1
4) y 5arcsen( x) 3x x 3 ln( x) x
3 4
1 x 1 3 y ' 5 3 ln(3) 3x 2 7 2 x 1 x 4x 4
1 ( sen x e 2 x ) 5x x e tan(2 e) 1 cos( x)(e2 x ) 2e2 x sen x 5 x ln(5) x e ex e1 5 x y' tan(2 e)
5) y
6) l x 2 x 1 csc x 3
se utilizala fórmula de producto l ' x 2 csc x 3 csc x cot x 2 x 1
29
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
7) y cos(e2 x ) ln 3 5 x 1 5 y ' sen(e 2 x )e 2 x (2) 3ln 2 5 x 5x 2 5x 8) y
sec( x)
3 x
4
e 5x
ln( 2 x )
(sec( x) tan g ( x) 3(4) x3 6 5 x (5) sec( x) 3x 4 1 1 y` 2 6 2x 2x 5 x 9) y 4 arctan(5 x3 2) 5 sen( x 4 e x 4 x ) 4 1 1 2 4 x x 5 cos( x 4 e x 4 x )(4 x 3 e x 4 x ln(4) y' 4 (15 x ) sen ( x e 4 ) 3 2 1 (5 x 2) 5
10) m x ln sec 3x csc2 3x e23 3
3sec 3x tan 3x 3 3 m ' x 2 csc2 3x cot 3x 2 ln sec 3x sec 3x 3 3 3x 2 arctan 3 3x 2 x2 3 x 2 3x 2 1 s ' x 3arctan 2 3x 2 6x 2 1 9 x4 x 2
11) s x
s ' x
8
x 2
12) f x arctan x f x
2
5
18 x arctan 2 3x 2
1 1 9 x4
x3 4 x3 x 7 x x3 2 x x3
53 3 1 3 1/2 3 3 3 3 x x 4 x x x 7 xx x 14 xxx 1 x2
30
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
512 1 1/2 1 f x x 4 x 7 x 14 x 1 x2 f x
13) g x
12 517 1 2 2 x 7 14 x 1 x2 5 x
16 x 8 17 x 4 1 sen x log 3 x 1 x 3
g x 16 x 5 17 x 1 1x3 sen x log 3 x 1 g x 80 x 6 17 x 2 3x 2 cos x
1 x 1 ln 3
23 3x 5 x x 4 14) h x tan e 2 2 x x3 4 2 h x 3 x 3 x 3 5 x 3 x 3 xx 3 4 x 3 tan e 2 2 x 4 3
37 h x 3 x 5 x x 2 4 x 3 tan e 2 2 x 5 3
8 7 310 3 h x 5 x 5 x 2 x 3 12 x 4 2 x ln 2 3
15) f x sec x e x
2x log x x3
f x sec x tan x e x sec x e x
2 x ln 2 x3 3x 2 2 x 1 6 x x ln10
Ejercicios. Encuentre la primera derivada de cada función 1) 2)
2 y 7 4 x arccos 3e
x e 2x
y arctan( x) ln 4 sen( x) x
3 5
9
1
s s 7 s 5 s 7 3) y= (4s5 -6s)3 s2 4) l(x) 9sec(x) ln
x1/3 x 4 x 4 6 x log( x) x5
31
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 5) m( z ) 6) 7)
7z 4z z3 -e(z 6 5sen( z ) 2 z
4)
e5 z 1 z
y z 9 9z cos(5z) z 4 sen( ) 4arctan( z)
g ( x) 6 x12 8x 3x ln( x) sen( x)
8)
y ln sen(2 x) x 4 6 x 3
9)
y 4x x4 4 ln(4 x) 4 x ln(4x ) ln(4) ln(4 x 4)4
10) g ( x)
5
3 e x arctanx sen(2 e4 ) csc x lnx
4 2 11) h x x ln 3x 1
3 2 12) m x 7 x log5 2 x
x3 5 x 7 8 4 log(8) 8 x x 8 8 x 8
13) y ln
x 3 2 14) s x log 2 x (2 4 x ln sen e
15) f ( x)
6(1 x 2 ) arccos(5 x 6 e2 x) 2 3 5 ( x 3) sen(3x x)
16) n x e
2x 6
csc 3 x 2
ln
x
2 7 x3 5 x3 ln 2 x2 3 x 2 4 tan 2 x 1 17) f x x 4 18) g x 20)
3 2x 5 3x 4 csc 2 x 3
19)
y 3x1 5x2 4
m( x) 3cos(lnx) tan5 ( x4 2 x2 )e5 x
sen 4 x cos 2 5 x 21) i x tan( x) 4
e x xe arcct (sen(4 x 2)) 5 22) j ( x) 2 sen 2 x 4x 9 23)
g ( x) log3 (7 ) ln 2 (3x2 5) arc tan(e x )
24) m( x) 2(2 x 3) cos(e 4 ) ln(7e) log (2) x x
x
32
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 25) g ( x)
5sen(4 x 2) log(3x 2 6 x) cos( x)
5 9 2x 26) y tang x sen(4 x 3x) 7e 3
(2 x 5) ln( sen( ) 1) 2
27) s( x) 8arctan(3x9 2) cos 28) f ( x)
tan3 ( x) s en(6 x2 1) x
1 x 3 7 x 2 ln sen e 2 2 x
29) k x tan2
2 x7 e x arcsenx tan3 ln 2 e4 30) b x secx lnx 3
csc2 x 2
31) 3
sen 2 3e x 3x3 tan 2
Derivada de orden superior Es derivar la derivada, así la segunda derivada o derivada de orden 2 es derivar la primera derivada, la derivada de orden 3 o tercera derivada es derivar la segunda derivada y así sucesivamente Encontrar la derivada de orden 5 de y 3x x 2 8x 5
7
3
y 3x5 x 7 2 8 x3 y´ 15 x 4 7 x 6 24 x 2 y '' 60 x 3 42 x 5 48 x y ''' 180 x 2 210 x 4 48 y 'v 360 x 840 x 3 y v 360 2520 x 2 Ejercicios. Encontrar la derivada de orden 3 en las siguientes funciones 1)
2x 4 y ln x 1
(3x 5) ex
3)
y
4)
y 5cos(3x x)
2) y (3x 5) ( x 6) 5) r ( z) 4sec( z) tan( z) 2
33
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Derivación Implícita 4 x 2 2 y 3x5 y 7 3 cos(2 x y 3 ) 8 x 2 y´(15 x 4 y 7 3 x 5 7 y 6 y´) sen(2 x y 3 )(2 3 y 2 y´) 2 y´3x5 7 y 6 y´3 y 2 y´sen(2 x y 3 ) 2 sen(2 x y 3 ) 15 x 4 y 7 8 x y´[2 3 x5 7 y 6 3 y 2 sen(2 x y 3 )] 2 sen(2 x y 3 ) 15 x 4 y 7 8 x 2sen(2 x y 3 ) 15 x 4 y 7 8 x y´ 2 3x5 7 y 6 3 y 2 sen(2 x y 3 ) Ejercicios. Encuentre las siguientes derivadas implícitas 1) 2)
( ( (
√
3)
4) 2 xy 7 x ln y 1 5x 2
3
5) 5 2 x y sen yx 1 3tan x 2 y 6) 2 xy 2 sen x 2 x 4 7)
ex y sen( x y) cos(3 y 2 ) 5x
8)
y 9 x5 y 7 x2 8 sen(2 x y)
9) 5 y e e
( x y )
2 xy 4 y3 1
10) e xy 4 x xy e
x y
9
Recta tangente y normal Otra aplicación de la derivada es la de conocer la recta tangente o normal (perpendicular u ortogonal a una curva dada en un punto específico 1) Considere la función y 4 x5 e( x 1) .
Calcule la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto de abscisa 1. También la ecuación de la línea recta normal en el mismo punto. Si x =1 entonces el punto es , y´
20 x 4 e( x 1) 2 4 x5 e( x 1)
entonces
34
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
1.1 ) ecuación de línea recta: m
19 13 19 13 entonces y m es la b 2 3 2 3 2 3 2 3
ecuación de la línea recta tangente 1.2)
19 2 3 m perp 19 2 3
ecuación de la línea recta normal: Si
m
ecuación de la línea recta normal es y
2 3 21 3 x 19 19
entonces
la
2) Considere la curva definida por f(x) = xsen(x) + 5x 2.1) Determinar la ecuación de la línea recta tangente a f(x) en el punto cuya abscisa es 0 a) Si x = 0 entonces y = 0 , P(0,0) b)
f’(x) = sen(x) + xcos(x) + 5
c) m = sen(0) + (0)cos(0) + 5 = 5 d) Entonces b = 0 por lo que la ecuación de la recta tangente es y = 5x 2.2) Determinar la ecuación de la línea recta normal a f(x) en el punto cuya abscisa es 0 Si m
1 x y P(0,0), entonces la ecuación de la recta normal es y 5 5
3) Determine las ecuaciones de las líneas rectas tangente a la curva x 2 3xy y 2 5 en el punto donde la ordenada es 1. Si y=1 entonces x=-4 y x=1, por lo tanto hay dos líneas tangentes una en el punto (-4,1) y otra en el punto (1,1) Derivando queda 2 x 3 y 3xy`2 yy` 0 y`
2 x 3 y 3x 2 y
Punto (1,1)
m
5 1 b 2 y x 2 es la ecuación de la línea recta tangente en este punto 5
Punto (-4,1)
m
5 1 1 b 1 y x 1 es la ecuación de la línea recta tangente en este punto 10 2 2 35
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
df dx
)
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Ejercicios. Resuelva cada ejercicio 1) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva de ecuación y = 4x - en los puntos de la curva en los cuales la ordenada es y = 3 2) Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la curva de ecuación -5=y que contienen la abscisa x = 2 3) Considere la ecuación sen(2x + y) – 3x = 4y. Encuentre la ecuación de la línea recta tangente a la curva de ecuación dada y que contiene el punto Q(0,0) 4) Determine la ecuación de la línea recta tangente y normal a la ecuación y=√ en el punto de abscisa x = 1 5) Considere la curva
2 x 5 x5 y 3 y 2 3 5 y
Encuentre la ecuación de la línea recta
que contiene el punto ( 1,-1) y que: 5.a) es tangente a la curva de ecuación dado 5.b) es normal a la curva de ecuación dada 6) Considere la curva 3x 2 x y 4 y 14 3
5
2
Encuentre la ecuación de la línea recta que
contiene el punto ( 2,1) y que: 6.a) es tangente a la curva de ecuación dado 6.b) es normal a la curva de ecuación dado
7) Sea la curva de ecuación Encuentre la ecuación que contienen el punto (2,3) y que: 7.a) es tangente a la curva de ecuación dado 7.b) es normal a la curva de ecuación dado 8) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) línea(s) recta(s) tangente(s) a la curva x 4 y 5 2
sabiendo que la ordenada es y=1. También encuentre la(s) línea(s) recta(s) normal(s) 9) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva y3 cos xy 2 x en x= 0 10) Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangentes a la curva de ecuación
x2 y ( x y)2 25 2 x 2 3 y 4 ln(3 3 4) en el punto (1,2) 11) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva
de ecuación
y 6 xy 5 y 6 en el punto de abscisa -1 2
36
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 12) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la curva
de ecuación
x y 4 xy 5 si ordenada es 1 2
REGLA DE L’HÔPITAL En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de L'Hôpital o regla de L'Hôpital-Bernoulli usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma
0 o 0 . La aplicación de esta regla frecuentemente convierte una forma
indeterminada indeterminada en una forma determinada, permitiendo así evaluar el límite fácilmente. Sean f y g, g 0, dos funciones tales que se cumple:
lim x a
f x 0 y lim
g x 0 ó lim
x a
x a
Entonces se cumple que lim x a
f x
y
lim x a
g x
f x 0 fi : o g x 0
Y la regla de L'Hôpital establece que lim x a
f x = lim g x x a
f x g x
Ejemplos: Utilizando la regla de L’Hopital resuelva los siguientes límites
x2 4 x2 5x 6
lim 1)
x 2
x2 4 0 = 2 x 5x 6 0
lim x 2
lim
2)
x
lim
x
lim
x
L ' H lim x 2
2x 4 lim 2 x 5 1 x2
x2 4 4 x2 5x 6
3x3 5 x 4 x 2 6 x3 6
3x3 5 x 4 9 x2 5 fi : L ' H lim x x 2 6 x3 6 2 x 18 x 2 18 x 18 fi : L ' H lim lim x 2 36 x 36 x
L' H 3x3 5 x 4 1 x 2 6 x3 6 2
fi :
37
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Sin embargo hay algunos casos en los cuales al realizar la sustitución, ésta no es de la forma
0 o 0
por lo que mediante alguna manipulación algebraica puede llevarse el ejercicio a tener la forma indeterminada para aplicar L'Hôpital. Caso I: Forma: 0 Sean f y g dos funciones tales que se cumple:
lim x a
f x
g x 0
lim
y
x a
x a
x a
f x 1 g x
f x g x lim x a
lim x a
f x 0
y
lim x a
g x
f x g x fi : 0 o 0 entonces
Entonces se cumple que lim
lim
O
o lim x a
f x g x lim x a
Y en cualquiera de los casos da la forma indeterminada fi :
g x 1 f x
0 dando pie a utilizar la regla o 0
de L'Hôpital. Ejemplo:
lim x 0
lim x 0
lim x 0
senx ln x
fi : 0
ln x fi : 1 csc x senx 1 x lim x 0 cos x 1 senx senx
L ' H lim x 0
sen 2 x 0 fi : x cos x 0
1 x cot x csc x
L ' H , lim x 0
haciendo extremos y medios
2senx cos x 0 = = 0 lim x 0 cos x xsenx 1
senx ln x 0
Caso II: Forma Sean f y g dos funciones tales que se cumple:
lim
f x
lim
f x g x fi : entonces debemos de intentar resolver la operación y de
x a
x a
y
lim x a
g x . Entonces se cumple que
no ser posible entonces debemos resolver el siguiente límite:
38
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
g x f x 1 = lim xa f x
lim xa
g x f x 1 lim xa f x c
g x f x lim 1 = lim xa x a f x
Calculando c g x c lim fi L'H xa f x 1 1 x senx fi : 0 0 senx x cos x 1 fi : L ' H xsenx fi : 0 L ' H lim x 0 0 senx x cos x senx 0 1 1 0 cos x cos x xsenx = 2 lim x 0 x senx
lim x 0
Ejemplos 1) lim x 0
lim x 0
lim
x ln x
lim
ln x x 1 = lim x x
x
2) x
fi :
x lim
x
ln x 1 x xlim
Vuelvo al limite solicitado:
Calculo c: c lim
ln x fi : x 1 x 0 = 1 1
x
lim
x
x
ln x 1 xlim x c
ln x x 1 1 0 x lim x ln x
L'H
lim
x
x
Caso III: Potencia indeterminada: f orma: 0 , ,1 0
0
Sean f y g dos funciones tales que se cumple alguna de las siguientes condiciones:
lim x a
f x 0
y
lim
g x 0
lim
f x
g x
y
lim
g x 0
lim
f x
g x
x a
x a
fi : 00
O
lim x a
f x
x a
x a
fi : 0
O
39
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
f x 1
lim x a
g x
lim
y
x a
f x
lim x a
g x
fi : 1
Entonces para calcular el límite se procede:
f x
lim x a
g x
lim
e
x a
ln f x
lim xa
g x
e
ln f x
g x
c
Calculamos c
ln f x
lim x a
g x
g x ln f x
= lim x a
f :0
Calculo este limite pues es el caso 1. ln x x
lim
Ejemplo:
1)
xx
lim
x 0
fi : 00 lim
eln x e x
x 0
x0 c
calculando c c lim
ln x x lim
x 0
x 0
L ' H lim
x 0
1 x = 1 x2
fi : 0
x ln x
lim
1 0 lim x 0 1 x
lim
x 0
x 0
2)
lim x 0
cot x
senx
fi : 0 lim x 0
e
ln cot x
e
fi :
x x e0 1
lim
senx
ln x 1 x
x0
ln cot x
senx
c
calculando c c lim x 0
lim
x 0
lim x 0
lim x 0
ln cot x ln cot x 1 csc x senx
senx
lim x 0
fi :
senx ln cot x
fi : 0
L'H
1 csc 2 x csc 2 x csc 2 x cot x cot x = lim lim x 0 csc x cot x csc x cot x x 0 csc x cot 2 x 1 csc x sen 2 x senx senx lim lim lim 0 lim 2 2 2 x 0 x 0 x 0 x 0 cos x cot x cos xsenx cos 2 x sen 2 x
cot x
senx
e0 1
Más ejemplos. Encuentre los siguientes límites aplicando L´Hopital 40
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 1) lim x 0
4 x 1 cos x 4 0 1 cos 0 0 1 1 0 f .i. sen x x cos x sen 0 0 cos 0 00 0
4 x 1 cos x L`H 4 sen x 4 sen x lim lim sen x x cos x x0 cos x cos x sen x x x0 cos x cos x x sen x
lim x 0
lim x 0
4 sen x 4 sen 0 4 x 1 cos x 40 2 lim 2 x 0 2cos x sen x x 2cos 0 0 sen 0 2 0 sen x x cos x
2)
x2 x 1 2 1 x2 x 1 L ' H 2x 1 2 1 lim lim x x = x x x x x e e x e e x e e e e 0 e e 0 2 L'H 2 2 2 2 x x 1 lim x x = =0 lim x x 0 x e e x e e 0 e e
lim
2 4 17 x 2 4 17 1 2 4 16 2 2 0 = f .i. x 1 3x 1 2 3 1 1 2 4 2 22 0 1 1 3 4 4 L ' H 4 17 x 2 17 x 2 3x 1 lim lim lim 3 x 1 x 1 x 1 1 3x 1 2 3 4 4 17 x 3 2 3x 1
3) lim
4 12 4 163
1 3 4 212
1 3 4 212
2 4 17 x 1 1 1 1 lim x 1 3 23 3 8 24 3x 1 2 24
1 1 1 1 x ln x 1 x ln x 1 1 ln1 1 1 0 0 1 0 5) lim 3 lim 3 lim 2 x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 3 x 2 x 3x 2 3 x 3 3 1 3 0 1 3 1 2 1 3 2 0 L'H
1
1 1 2 2 1 1 x ln x 1 lim x 1 lim 3 x 1 6 x x 1 x 3 x 2 6 1 6 6
L'H
3x 3 f .i. x x 5 4 54 5
6) lim
x
3x 3x L ' H 3x ln 3 3x ln 3 ln 3 3 ln 3 lim 0 lim lim lim lim 0 0 x 5 4 x x 5 4 x x 4 x ln 4 x 4 x ln 4 x ln 4 4 ln 4
41
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 3 x 1 1 1 1 1 0 7) lim f .i. x 1 x3 2 1 3 2 2 2 0 3
1 3 2 x 1 2 x 3 2 1 3 2 4 4 x 1 4 lim 3 x lim lim x 1 x 1 1 3 3 x1 x 3 2 3 x3 2 33 1 3 3 x2 2 x3
3
lim x 1
x cos x sen x 0 cos 0 sen 0 0 0 0 f .i. x2 02 0 0
8) lim x 0
lim
x 0
3
L'H
x cos x sen x L ' H 1 cos x x sen x cos x lim cos x xsen x cos x lim x 0 x 0 x2 2x 2x
lim
x sen x
x 0
lim x 0
2x
x cos x sen x sen x sen 0 0 0 = =0 lim x 0 x2 2 2 2
1 1 0 x 9) lim 2 x 1 1 e 2 1 1 e 1 e 0 f .i. x 1
1
1 1 e x 1 e 1 e0 0 lim 2 x 1 1 e x lim f .i. x 1 1 0 x 1 2 x 1 2 1
1
1 1 ex e 2 2 L `H 2 e x 2 x 1 x x lim lim lim x x x 1 2 2 x 2 2 2 2 2 x 1 2 x 1 1 x
4 1 4 1 2 x x e x 4 e 4 2 e 4 x 4 x 1 x x x x2 lim lim lim x x x 2 x 2 2 2 x 2 1 x
e
1
0
1
1
2
0 4 1 2 4 2
0
1 4e0 4 2 lim 2 x 1 1 e x 2 x 2 2
42
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 10) lim x 2 ln x 2 2 2 ln 2 2 0 ln 0 0 f .i. x 2
1 ln x 2 L ' H lim x 2 ln x 2 lim lim x 2 x 2 x 2 1 x 2 1 2 x 2 x 2 1 1 x2 lim lim lim x 2 (2 2) 0 lim x 2 ln x 2 0 x 2 x 2 x 2 1 1 x 2 1 x2 x2 x2
tan 0 f .i. Calculo en radianes: RAD 2 2 2
11) lim x 2 tan x x
2
x L'H 1 1 2 lim x tan x lim x lim lim 2 csc x 2 2 cot x x cot x x x x
2
2
2
2
1 lim s en 2 x sen 2 1 lim x tan x 1 lim 1 2 x 2 x x 2 2 2 s en 2 x
12) lim 1 e x ln x 2 lim 1 e0 ln 02 0 f .i. x 0
x 0
ln x 2 ln 02 lim 1 e ln x lim f .i x 0 x 0 1 1 1 e x 1 e0 x
2
1 L'H
lim x 0
x2 1
2 x
1 e
x 2
L'H
lim x 0
lim x 0
e x
4 1 e x e x 1 e xe x
2 x ex
x
lim x 0
1 e
2 1 e x xe
x
2
0 f .i 0
x 2
4 1 e0 e0 1 e 0 e 0
0
0 0 lim 1 e x ln x 2 0 x 0 1 43
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
1 x
1 0
1 x
13) lim xe 0 e 0 e 0 f .i.
lim xe lim
x 0
1
1 x L'H
e lim x 0 1 x 0 x
ex
lim
1 x2
1
lim e x x 0
1 x2
1 x 0
x 0
1 x2
x 0
1
1 0
e e f .i. 1 1 x 0
1
Si . lim e x e 0 e
x 0
1
1
Si lim e x e 0 e 0
x 0
1
Entonces lim e x No existe
2 14) lim x e
x 0
1 x
02 e
lim xe x No existe x 0
1 02
0e 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 f .i. x e 1 x e 1 0 1 1 0 0 0
15) lim x 0
x e x 1 1 x e x 1 0 e0 1 0 1 1 0 1 lim x lim lim f .i. x 0 e 1 x 0 x e x 1 x x0 x e x 1 0 e0 1 0 1 1 0 L'H
1 ex 1 e0 1 1 0 f .i. 0 0 x 0 e x 1 xe x e 1 0e 1 1 0 0
lim
L'H
1 1 1 e x e x ex lim lim lim x x 0 (2 x) x 0 e x e x xe x x 0 2e x xe x x 0 20 2 e (2 x)
lim
x 1 1 1 1 1 f .i. x 1 ln x 1 1 ln1 0 0
16) lim x 1
44
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
x ln x x( x 1) ln x x 2 x ln1 12 1 0 1 lim lim lim x 1 x 1 x 1 ( x 1) ln x ln x x1 ( x 1) ln x (1 1) ln1 0
1 2 x2 x 1 2x 1 L'H 1 2 x2 x 1 2 1 0 x lim x lim lim x 1 x 1 x1 ln x x 1 x1 ln x x 1 ln1 1 1 0 ln x x x L'H
lim x 1
4 x 1 4 1 3 1 1 2 1 1 x 1
x 3 1 lim x 1 x 1 ln x 2
1 1x lim xe x e f .i. 17) x
1 1 1 lim xe x x lim x e x 1 e 1 e0 1 1 1 0 x x 1
1
e x 1 e 1 e0 1 1 1 0 lim x 1 1 0 0 0 x 1 x
e
L'H
lim
x
1 x2
1 2 x
1 x
lim e e x
1
1x e 1 lim xe x 1 x 0
Ejercicios. Resolver los siguientes ejercicios utilizando el método de L’Hopital
e x ln(1 x) 1 lim x 0 x2 1) cos(2 x) cos(3x) 2) lim x 0 x2 1 x ln x 3) lim x1 1 cos( x) cos 2 x 2cos x 1 x 0 x 2 xsenx
4) lim
e x e x 2 x 0 2 cos(2 x) 2
5) lim
1 2 lim x 0 1 cos( x) x 2 4 7) lim 2 x0 x 1 cos x 6)
1 1 x x e 1 1 x 9) lim x 1 x 1 ln x 8) lim x 0
10)
sen( x 1) x1 ln(2 x 1)
lim
45
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
ln(1 x) senx x 0 xsenx 2 1x 2 12) lim x e x x
x 2e x x 1 e 2 x
11) lim
13)
16) lim
1
x x 3 17) lim x 3 3
lim x sen( x )
x0
14) lim (2 1) x
18)
2 x 1
lim (e x) x
x
1 x
x
1
x x2 15) lim x 2 2
PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAMBIO Definición: La derivada f´(a) es la razón instantánea de cambio de y = f(x) con respecto a x si x =a En un problema de razones de cambio relacionadas, el propósito es calcular la razón de cambio de una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad (la cual podría medirse más fácilmente). El procediendo consiste en obtener una función que relacione las dos cantidades y luego aplicar derivación implícita para diferenciar ambos miembros de la ecuación planteada con respecto al tiempo t. Estos problemas se resuelven siguiendo los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5.
Leer el problema cuidadosamente Realizar una ilustración, de ser posible, de la situación planteada. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo. Identificar las razones y los datos que se conocen, así como la razón que se busca. Escribir una fórmula o ecuación que relacione las variables. De ser posible, trabajar con una sola variable. 6. Derivar la ecuación encontrada Ejemplo. 1. En un lago en calma se deja caer una piedra, lo que provoca ondas circulares. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 3 dm por segundo. Cuando el radio es 8.5 dm, ¿a qué ritmo está cambiando el área A de la región circular?
Para resolver el problema, después de leer y comprender el problema Se realiza un diagrama que exprese el problema Se está hablando del área del círculo es decir A r 2 46
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Los datos dados son:
Si A r 2
dr dA 3dm / seg . Se desea conocer ? si r =8.5dm dt dt
dA dr 2 r , sustituyendo dt dt
dA 2 (8.5)(3) =51 dt
Por lo tanto el ritmo de cambio del área del lago es de 51 dm2 / seg
2. A un depósito cilíndrico (de base circular) de 50 dm de radio, le está entrando agua a razón de 25
. Calcular la velocidad con que varía la altura del agua dentro del cilindro.
Igualmente se comprende el problema y se realiza un dibujo El volumen del cilindro es V Abase h V r 2h Sabiendo que r = 50 dm y
dV dh 25dm3 / seg , ? dt dt
V Abase h V r 2 h V 50 h 2500 h 2
derivando la fórmula y sustituyendo
dV dh 2500 sustituyendo dt dt dh 1 dh 25 = 2500 dt 100 dt
La altura del agua dentro del cilindro varía a una razón de
1 dm / seg 100
Ejercicios 1) Sean x y y dos funciones derivables relacionadas por la ecuación y = x2 + 5. Calcular dy para x = 2 sabiendo que dx = 5 dt dt 2) Se deja caer una piedra en un lago en calma provocando ondas y círculos. El radio del círculo exterior crece a un ritmo constante de 1 pie/seg. Cuando el radio es 5 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área de la región circular perturbada? 3) El área de un círculo está cambiando a razón de 12cm2/min. Calcule el ritmo de cambio del radio cuando a) r = 2 cm b) . r = 14 dm 4) Las caras de un plato de metal se dilata con el calor a razón de 0.2cm2/seg, Cuando el diámetro del mismo es 12 cm, cuál es la razón de cambio del radio?
47
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 5) Un incendio que comenzó en un terreno seco se extiende formando un círculo. El radio del círculo crece a razón de 1.8 m/min. Calcule la rapidez con que crece el área del círculo cuando el radio es 45 m. 6) Se bombea aire en el interior de un globo esférico a razón de 8.5 pulg3/min. Calcular el ritmo de cambio del radio cuando el radio es 5 pulgadas. 7) Si el volumen de un globo esférico aumenta a razón de 100cm3/seg, con qué rapidez crece el radio si el diámetro es 50 cm. 8) Se inyecta aire a un globo esferico a razón de 20 pies3/min. A que razón varia el radio cuando éste mide 3 pies 9) En un cono invertido, la altura h cambia a razón de -0.5 pies/seg y el radio a razón de -0.2 pies/seg. Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio es r = 1 pie y la altura h = 2 pies 10) En un cono invertido, la altura h cambia a razón de 2.3 pies/seg y el radio a razón de 5.2 pies/seg. Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio es r = 3 pie y la altura h = 6 pies 11) Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido con radio de la base igual a 3m y 6m de altura. Si se le bombea agua con un gasto de 2 m3/min, calcule la velocidad con qué sube el nivel del agua cuando la profundidad alcanza 4 metros 12) Una escalera de 12 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 1.5pie/seg, con qué velocidad se desliza el extremo superior por el muro, cuando el extremo inferior está a 7 pies de la pared? 13) Una escalera de 18 pies de longitud se apoya en un muro vertical. Si su extremo inferior se resbala y se aleja de la pared a una velocidad de 3pies/seg, con qué velocidad se desliza el extremo superior por el muro, cuando el extremo inferior está a 8.2 pies de la pared? 14) La altura de un triángulo aumenta con una velocidad de 1 cm/min, mientras que su área lo hace a una velocidad de 2 cm2/min. Con qué velocidad aumenta la base del triángulo cuando la altura es 10 cm y el área es 100 cm2 15) Un automóvil a viaja hacia el oeste a 50 millas /hora y otro automovil B viaja hacia el norte a 60 millas/hora. Ambos automóviles van hacia la intersección C de los caminos. A qué velocidad se aproximan los autos entre sí cuando A se encuentra a 0.3 millas y B a 0.4 millas de la intersección. 16) Un corredor que trota a razón constante de 9Km/h pasa por un punto P hacia el norte. Diez minutos más tarde una mujer que trota hacia el este a razón constante de 10 km/h 48
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA pasa por el mismo punto. Cuán rápido varia la distancia entre los corredores veinte minutos después de que la mujer pasa por P? (Recuerde d = v . t) 17) Un corredor que trota a razón constante de 8.3Km/h pasa por un punto M hacia el sur. Veinte minutos más tarde una mujer que trota a razón constante de 9.5 km/h pasa por el mismo punto hacia el oeste . Cuán rápido varia la distancia entre los corredores veinte minutos después de que la mujer pasa por M. 18) Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por un radar situado a 3 millas del sitio de lanzamiento. Cuál es la velocidad vertical del cohete en el instante en el que su distancia a la estación de radar es 5 millas y su distancia aumenta a razón de 5000 mill/hora 19) Un hombre de 6 pies de altura camina con una velocidad de 8 pies/seg alejándose de una luz callejera al tope de un poste de 18 pies. Con qué rapidez se mueve el extremo de su sombra sobre el suelo cuando él está a 100pies del poste de luz 20) Una persona camina en línea recta a razón de 4pies/seg. En el piso a 20 pies de distancia del camino (formando ángulo resto con el suelo) hay un faro que se mantiene dirigido hacia el caminante. A qué velocidad gira el faro cuando el sujeto se encuentra a 15 pies del punto del camino más cercano al faro?
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Otra aplicación de la derivada son los problemas de máximos y mínimos. Para resolverlos en forma similar a los problemas anteriores se debe: 1. Leer el problema, tratar de entenderlo y de poderse, realizar un dibujo 2. Identificar los datos que se dan y Anotar los datos que se dan . 3. Escribir una fórmula que relacione los datos anteriores para optimizar basada en los datos brindados Trabajar con el menor número de variables utilizando los datos brindados 4. Derivar la fórmula anterior, igualarla a cero para encontrar los valores críticos 5. Encontrar la segunda derivada y sustituir los valores críticos para determinar si son máximos o mínimos con criterio de la segunda derivada. (Recordar que si el resultado es positivo, existe un mínimo y si el resultado es negativo hay un máximo en ese valor crítico). Para encontrar el punto (x,y) se sustituye ese valor encontrado en la función original y ese resultado es el punto (x,y) máximo o mínimo
Ejemplo 1)Se desea encontrar las dimensiones y el costo mínimo de construcción de una caja rectangular con base cuadrada y sin tapa la cual tiene un volumen de 2.75 de volumen sabiendo que el costo del metro cuadrado de los lados es de $0.80 y del fondo es de $1.2, además se sabe que el costo por mano de obra es de $4. 49
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA (paso1) dibujo X
y X
(paso 2)
Sea x la medida del lado del fondo (que es cuadrado) sea y la medida de la altura de la caja, entonces
2.75 x 2 y 2.75 y = 2 3 x V =2.75 m V = x2 y
(paso 3)
C = (1.20)(x 2 ) (0.80)( xy)(4) 6 entonces sustituyendo “ y ” resulta 2.75 C ( x)= (1.20)(x 2 ) (3.20)( x) 2 6 x 8.80 C ( x)= (1.20)(x 2 ) 6 x
(paso 4)
C '( x) 2.4 x
8.8 8.8 8.8 0 2.4 x 2 x3 x 1.54 , 2 x x 2.4
así 1.54 es un valor crítico (paso 5)
17.6 sustituyendo el valor crítico en la segunda derivada x3 C ''(1.54) 0 el costo es mínimo si x 1.54 y sustituyendo C ''( x) 2.4
y=
2.75 2.75 y 1.16 2 x (1.54)2
Así las dimensiones de la caja que generan un costo mínimo son x 1.54 , y 1.16
8.80 6 14.56 dólares 1.54
Entonces el costo mínimo que se pide es C = (1.20)(1.54) 2
2)En una lámina de cartón de dimensiones de 80 cm y 50 cm de lado respectivamente, se desea recortar en cada esquina un cuadrado de lado x para construir una caja (ver figura) Calcular la medida del lado x para que el volumen de la caja sea máximo. Recordar que el volumen de un paralelepípedo de lados x, y, altura z, es V= xyz
V (80 2 x)(50 2 x) x = 4x 3 260 x 2 400 x x 10 valor crítico V ´ 12 x 2 520 x 400 0 = 12 x 2 520 x 400 x 3.33(de sec har ) V´´= 24x-520 V´´(10) f(y) Teorema Criterio de crecimiento y decrecimiento Sea f una f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) 1. Si f´(x) > 0 para todo x en (a,b), f es creciente en [a,b] 2. Si f´(x) < 0 para todo x en (a,b), f es decreciente en [a,b] 3. Si f´(x) = 0 para todo x en (a,b), f es constante en [a,b] Estrategia para encontrar los intervalos donde una función es creciente o decreciente 1. Localizar los números críticos de f en (a,b) 2. Evaluar el signo de f´(x) en cada uno de los intervalos que esos números críticos determinan sobre la recta real 3. Usar el teorema anterior para decidir si la función crece ó decrece Criterio de la primera derivada Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo (a,b) que contiene a c. Si f es derivable en ese intervalo, excepto quizás en c, entonces f(c) puede clasificarse así: 1. Si f´(x) cambia en c de negativa a positiva f(c) es un mínimo relativo 2. Si f´(x) cambia en c de positiva a negativo f(c) es un máximo relativo Concavidad de una función: Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I, entonces 1. Si f’’(x) > 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I. 2. Si f’’ (x) < 0 para todo x en I, la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I. Punto de inflexión Si la concavidad cambia de sentido en una gráfica y hay una recta tangente, se dice que ese es un punto de inflexión Teorema puntos de inflexión Si (c, f( c) ) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f, entonces o bien f’’(c ) = 0 o f’’(c ) no está definida en x = c ( no se da la biyección) Criterio de la segunda derivada Sea f una función tal que f´´(c ) = 0, cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto que contiene a c Si f’’( c) > 0 entonces el punto (c,f (c )) es un mínimo relativo Si f´´( c) < 0 entonces el punto (c,f (c )) es un máximo relativo Si f´´( c) = 0 entonces este criterio no existe y ha de recurrirse al criterio de la primera derivada. 54
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Estrategia para analizar la gráfica de una función 1. Determinar el dominio 2. Hallar las intersecciones con los ejes 3. Hallar las asíntotas 4. Monotonía. Localizar los valores de la variable donde la primera derivada de la función es cero o no está definidos, estos son puntos críticos. Con estos resultados estudiar crecimiento y decrecimiento de la función. Se pueden ver en este momento los máximos y mínimos aplicando el criterio de la primera derivada 5. Concavidad. Similar al punto anterior, analizar para la segunda derivada de la función, con estos resultados estudiar posibles puntos de inflexión y concavidad. 6. Encontrar máximos y mínimos con criterio de la segunda derivada (evaluar puntos críticos en la segunda derivada), esto si no se hizo en el punto 4) 7. Hacer cuadro de variación que consiste en recopilar la información encontrada 8. Trazar la gráfica de la función con base en los datos recopilados en el cuadro de variación Recordar que: f es par si f(-x) = f(x) entonces es simétrico respecto al eje f es impar si f(-x) = -f(x) entonces f es simétrico respecto al origen Ejemplos I 1) Determine, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua), de la función:
x2 x 1 m( x) x 1
1.1 Asíntota Vertical
x2 x 1 lim m ( x ) lim x1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 es asíntota vertical lim m( x) 2 x 1 lim m( x) lim x x 1 x1 x 1 x 1 1.2 Asíntota Oblicua: La asíntota es y x 2 1.3 Asíntota Horizontal
x2 x 1 lim x x 1 no existe asíntotas horizontales 2 lim x x 1 x x 1 2) Encuentre si existen las ecuaciones de las asíntotas en la función s( x) x 2 x 9 5
Asíntota Vertical: no existe
3
Asíntota Oblicua: no existe
Asíntota Horizontal: no existe porque
55
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
lim ( x5 2 x3 9)
x
3)
lim ( x5 2 x3 9)
y
x
Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s vertical (si existe) que posea la
x2 4 x 3 x2 9 x 2 4 x 3 ( x 3)( x 1) x 1 h( x) , x 3 0 x 3 es A.V. x2 9 ( x 3)( x 3) x 3
función h( x)
lim x 1 2 x 3 lim x 3 x 3 0 lim x 3
x 1 x3 x 1 x3
4) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s horizontal (si existe) que posea la función s( z ) 2 z 1
lim 2 z 1 no existe asíntota horizontal si x
z
lim 2 z 1 1 y 1 es asíntota horizontal
z
5) Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s oblicua (si existe) que posea la función
f ( x) x e
1 x
1 lim x e x , por lo tanto hay que buscar la ecuación de la asíntota oblicua que es x
una línea recta de la forma y = mx+b 1 1 1 x x e x xe e m lim 1 1 0 1 m 1 xlim 1 xlim x x x x 1 1 x b lim x e x lim e x 1 y=x+1 es la ecuación buscada x x
6) Encuentre las ecuaciones de las asíntotas que posea la función
h( x)
x3 2 x 2 5 x2 2
(6pts)
Asíntota Vertical: no existe porque x 2 2 nunca es cero
x3 2 x 2 5 x x2 2
Asíntota Horizontal: no existe porque lim
56
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
x3 2 x 2 5 2 x3 2 x 2 5 x 2 b lim (1) x 2 por Asíntota Oblicua: m lim 1 2 x x x x 2 lo tanto la ecuación de la asíntota oblicua es y x 2 Ejercicios. I Determine en cada función, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua)
x 2 49 x2 9 2x 5 r ( x) ( x 4) 2
g( x)
x 4 7 x3 9 x3 8 x 2 4
h( x )
s ( x) 7 x 4 9 x 5
II Considere la función . Encuentre los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo
x 6 x5 5x 15 20 x2 2( x 2)( x 2 4 x 7) sabiendo que su segunda derivada es m ''( x) m( x) 2 x 4x 3 ( x 1)3 ( x 3)3 4 x 12 8( x 5) v( x) sabiendo que su segunda derivada es v ''( x) 2 ( x 2) ( x 2) 4 g ( x)
III En cada función determine los intervalos de monotonía (es decir los intervalos en que la función es decreciente y en los que la función es creciente)
x2 2 x 3 j ( x) ( x 1) 2
r ( x) x 3ln( x)
f ( x)
x3 4 x2
V Más ejemplos Realice el análisis completo, cuadro de variación y trace la gráfica de la función
m( x) x3 3x 2 3 : 1. Dominio: IR
x 0 y 3 (0,3) y 0 (0.88, 0)(2.53, 0)(1.34, 0)
2.Intersección con los ejes: si
3. Asíntotas: No existen 4. Primera derivada. Valores críticos. Monotonía
x 0 f '( x) 3x 2 6 x f '( x) 0 3x 2 6 x 0 son valores críticos x 2 57
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA En el intervalo , 0 , f '( x) 0 la función f ( x) es creciente (
en el intervalo
En el intervalo 0, 2 , f '( x) 0 la función f ( x) es decreciente (
en el intervalo
En el intervalo 2, , f '( x) 0 la función f ( x) es creciente ( Aquí se nota que en x = 0 hay un máximo relativo
5. Segunda derivada. Posibles puntos de inflexión. Concavidad f ''( x) 6 x 6 f ''( x) 0 x 1 0 x 1 es posible punto de inflexión
En el intervalo ,0 , f ''( x) 0 f ( x) la función f ( x) es cóncava hacia abajo en el intervalo
En el intervalo 0,1 , f ''( x) 0 la función f ( x) es cóncava hacia abajo en el intervalo
En el interval0 1, 2 , f ''( x) 0 f ( x) es cóncava hacia arriba en el intervalo
En el intervalo 2, , f ''( x) 0 f ( x) es cóncava hacia arriba en el intervalo
6. Máximos y mínimos Basado en el criterio de la segunda derivada, se evalúa cada valor crítico en la segunda derivada es decir si x 0 f ''(0) 6(0) 6 f ''(0) 0 en x 0 hay un máximo relativo el cual es (0,3)
si x 2 f ''(2) 6(2) 6 f ''(2) 0 en x 2 hay un mínimo relativo el cual es (0, 1)
7. Cuadro de variación x f(x)
-0.88
0
1
1.34
0
3
1
0
f’(x)
f’’(x)
2
2.53
-1
0
+
8. Trazo de la gráfica
58
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
4 x 12 16 4 x . Sabiendo que la primera derivada es g '( x) y 2 ( x 2) ( x 2)3 8 x 40 que la segunda derivada es g ''( x) , encuentre. ( x 2)4 VI. Sea la función g ( x)
1) 2) 3) 4)
Valores críticos Monotonía (intervalos de crecimiento y de decrecimiento) Posibles puntos de inflexión Concavidad (intervalos donde es cóncava hacia arriba y/o hacia abajo)
(6 puntos)
Do min io : Dg ( x ) IR 2 1) Valor crítico: g '( x)
16 4 x 16 4 x 0 0 16 4 x x 4 es valor crítico 3 ( x 2) ( x 2)3
g`( x) 0 en , 2 g ( x) decrece en el intervalo 2) Monotonía g`( x) 0 en 2, 4 g ( x) crece en el intervalo
g`( x) 0 en 4, g ( x) decrece en el intervalo 3) Posibles punto de inflexión
g ''( x)
8 x 40 0 8 x 40 x 5 es punto de inflexión ( x 2)4
59
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
g``( x) 0 en , 2 g ( x) es cóncava hacia abajo en el intervalo 4)Concavidad: g``( x) 0 en 2,5 g ( x) es cóncava hacia abajo en el intervalo
g``( x) 0 en 5, g ( x) es cóncava hacia ariba en el intervalo VII: A continuación se presenta el cuadro resumen (cuadro de variación) de la función f ( x) 6 x4 8x3 , el cual falta de completar. Complete el cuadro y realice gráfico de la función x
0
2/3
1
4/3
f ´( x) 24 x3 24 x 2
f ´´( x) 72 x 2 48x
+
f ( x) 6 x 4 8 x 3
Solución
0
2/3
1
4/3
f ´( x) 24 x3 24 x 2
f ´´( x) 72 x 2 48x
+
f ( x) 6 x 4 8 x 3
0
1.63
-2
0
Trazo de la gráfica
60
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA VIII. Más Ejercicios. Dadas las funciones, realice en cada caso el análisis completo: dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas, intervalos de monotonía y l valores críticos, máximos y mínimos, posibles puntos de inflexión ,concavidad, cuadro de variación y trazo de gráficas 1)
f ( x)
x2 x 1 6 x2 2 x 2 , sabiendo que f '( x) y f ''( x) , 2 x 1 ( x 1)3 ( x 1)
2)
g ( x)
4 x 12 4(4 x) 8( x 5) , sabiendo que g '( x) y g ''( x) 2 3 ( x 2) ( x 2) ( x 2)4
3) m( x)
4) f ( x)
x3 x 2 ( x 3) 6x , m '( x ) , m ''( x) 2 3 ( x 1) ( x 1) ( x 1) 4
x3 4 ( x 2)( x 2 2 x 4) 24) , si f '( x ) y f ''( x) 4 2 3 x x x
5) y 4 x 3x 4 3
2
6) f ( x)
x2 7) s ( x) x 1
x3 x 2 4 x2
8 ) l ( x) x 4 x 9) 4
3
Otros ejemplos IX.
Dada la siguiente información realice el cuadro resumen y la grafica de f:
lim f x 1
D f : IR 4, 4 x : 3, 0 3, 0 f x 0 :
f x 0 :
lim f x lim f x
x
x 4
x 4
9 y : 0, 16 f x 0 :
, 4 ; 4,0 0, 4 ; 4,
f x 0 :
4, 4 , 4 ; 4,
Solución. Tabla Resumen:
f x
f x
-4
-3
0
3
4
+
_
_
_
_
+
+
+
+
_
_
_
f x 1
0
9 16
0
1
61
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Ahora se traza la grafica de la función a partir de los datos del resumen.
X. Ejemplos XI. Dada la siguiente información realice el cuadro resumen y la grafica de f:
lim f x 1
D f : IR 2
lim f x
x
x 2
1 f 1 1 f 2 2 f x 0 : , 1 ; 0, 2
3 x : 1, 0 0, 0 , 0 y : 0, 0 2 1 f x 0 : ,1 2 1 f x 0 : , ; 1, 2 ; 2, 2
1 2
-1
0
f x 0 :
3 2
1
1,0 ; 2,
2
f x
_
+
+
_
_
_
+
f x
_
_
+
+
_
_
_
f x 1
0
-2
0
1
0
1
Ahora se traza la grafica de la función a partir de los datos del resumen.
1 -1
1
2
62
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
IV Integrales o antiderivadas Se dice que una función F es una antiderivada o primitiva de la función f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x I
x n 1 C ,n 1 n1
1.
n x dx
2.
x dx ln x C
11.
tanx dx ln secx C
ax C lna
12.
cotx dx ln senx C
13.
5.
e dx e C senxdx cosx C
secx dx ln secx tanx C cscx dx ln cscx cotx C
6.
cosx dx senx C
15
7.
sec
8.
csc
9.
secx tanx dx secx C
dx 1 x 16. arcsec C 2 2 a a x x a 1 dx x 17 2 arctan 2 a a x a 2 18. sen x dx 1 (x senx cosx) C 2 19. cos 2 x dx 1 (x senx cosx) C 2
1
3. a x dx 4.
x
x
2
x dx tanx C
2
x dx cotx C
10.
14.
cscx cotx dx cscx C
dx x arcsen C 2 a a x2
Ejemplos. Resolver
1)
5 1 3 8 x 9 5 x 6 x dx Primero se debe expresar la integral de la suma y resta,
como la suma y resta de las integrales así: 5 5 1 1 3 3 8 I = x 9 5 x 6 x dx = x dx - 9dx + 5x 8 dx - 6x dx
63
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Se resuelve cada una por separado y luego se da la solución final uniendo los resultados parciales
x
1 dx dx ln( x) c x
1
9dx 9x c
5
5
8 8 5x dx 5 x dx
3 6 x dx
13
40 8 x c 13
3x 4 c 2 entonces
5 13 1 40 8 3x 4 3 8 I= x 9 5 x 6 x dx ln( x) 9 x x c 13 2
1
x
2)
2
sec2 ( x) e dx x x 4
3 4 1 I 2 sec2 ( x) e dx x 2 dx 4 x 2 dx sec 2 ( x)dx edx x x x 1 8 I tan( x) ex c x x
3)
5 2cos 2 x 2sen2 x dx cos 2 x
5 2 cos 2 x sen 2 x 5 2 1 5 2 cos 2 x 2sen 2 x dx = dx dx 2 2 cos x cos x cos 2 x 3 1 2 cos2 x dx =3 cos2 x dx = 3 sec xdx 3 tan x C 4)
5
csc x sec x dx 5
csc x sec x dx
=
5
1 1 cos x senx sea u senx du cos x dx 5 senx cos xdx 5 udu = 5
dx 5 senx cos xdx
u2 5 5sen 2 x C dx C 2 csc x sec x 2 64
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
df dx
)
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
5)
dx
12 73 x 1 8 x x dx
3 3 12 73 7 7 x x x 8 x x dx
3 4 141 7 7 x x 8 x dx
x 1 8x
7
x
1 14
x3
3 7
4 7
dx x dx 8 x dx 4
15
15
x 1 8x 7
x3
=
x3
dx
4 1 7
4
11
14 x 14 7 x 7 56 x 7 C 15 4 11
1414 x15 7 7 x 4 56 7 x11 C 15 4 11
dx
3 1 7
7
x x x 8 C 1 3 4 1 1 1 14 7 7
11
x14 x 7 x7 8 C 15 4 11 14 7 7
1 1 14
x 1 8x
Algunas veces no es posible resolver una integral en forma inmediata o directa, por lo que se debe
f ( g ( x) g´( x)dx se debe realizar una sustitución f ( g ( x) g´( x)dx f (u)du . Para aplicar esto se resolverán
recorrer a una sustitución, así si se cumple que
u g ( x) du g´( x)dx, así las siguientes integrales
2 4 x3 e2 x dx . En forma similar a las anteriores se expresa la integral de sumas o/y 6) 4 1 ex x restas como las sumas y/o restas de integrales
4 x3 2 4 x3 e2 x 2 e2 x dx dx x4 1 ex x4 1 e x dx
4 x 3
2
x4
4 x x 4 dx Esta integral se resuelve por sustitución así:
dx 2
3
u 4 x 3 du 12 x 4 dx
du x 4 dx 12
u 4x 4 x x 4 dx 1 2u du 1 2 c 2 2 3
12
12 ln 2
3
12ln 2
c (*)
65
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
e2 x 1 e x dx se resuelve también por sustitución
2x x x Recordemos que e e .e
exex (u 1) du x x 1 ex dx u du du u u ln(u) c 1 e ln(1 e ) c
que u 1 e , x
(**)
e2 x exex x x dx 1 ex 1 ex dx sea u 1 e du e dx , se ve
por
lo
que
finalmente
la
integral
3 2 4 x e2 x 24 x x x x4 1 e x dx 12ln 2 (1 e ) ln(1 e ) c [de (*) y (**)] 3
3 2x
1 x
7)
3
1 x
2
dx
dx
2
2x 1 2x dx 3 dx dx 3arctan x ln 1 x 2 C 2 2 1 x 1 x 1 x2 1
(La integral
1 x
y la integral
1 x
2x
ln ( x)
8) I =
dx por fórmula es arctan x c
2
x
2
dx se resuelve por sustitución dando ln 1 x 2 C )
1 dx cos 4 x tan(4 x)
Nuevamente se debe dividir la integral de la suma y resta como la suma y resta de las integrales:
ln ( x)
x
La integral
1 ln ( x) 1 dx dx dx cos 4 x tan(4 x) x cos 4 x tan(4 x)
ln ( x) dx se resuelve por sustitución: x
sea, u ln( x) (derivando)du
dx x
ln( x) c ln ( x) u2 dx udu c x 2 2 2
66
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA . La integral
1
cos 4 x tan(4 x) dx
cos 4 x
1 dx sen 4 x cos 4 x cos 4 x
dx
cos 4 x sen 4 x dx sen 4 x cosec(4 x)dx
ln cosec(4 x cot an(4 x) 4
c
ln ( x) ln( x) + ln cosec(4x cot an(4x) c 1 Así = dx x 2 4 cos 4 x tan(4 x) 2
9)
x
73
x 4 1dx
du x 3dx 4 1 1 du 1 1 43 3 43 4 3 3 3 x x x 1 dx = u 1 u = u 1 u du u u du 4 4 4 4 7 7 4 3 x4 1 3 x4 1 3 3 1 u3 u3 33 u7 33 u4 C x 7 3 x 4 1dx 4 C 4 7 28 16 28 16 3 3
x
73
x 4 1 dx u x 4 1 u 1 x 4 du 4 x 3dx
x
10)
2
x2 dx 4x 5
x2 du dx sea u x 2 4 x 5 du 2 x 4 dx du 2 x 2 dx x 2 dx 4x 5 2 du x2 1 du 1 x2 1 2 x2 4 x 5 dx = u2 = 2 u = 2 ln u C x 2 4 x 5 dx 2 ln x 4 x 5 C
x
2
11)
sen
sen
x dx
x dx x
x
sea u x du
1 2 x
dx
2sen u du 2 sen u du 2 cos u C
2du sen
1 dx x
x dx 2 cos x
xC 67
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
x2 2x dx 12) 3 x 3x 2 1
x
u x3 3x 2 1
x 2x dx 3x 2 1 2
3
du 3 u
13)
du 3x 2 6 x dx
1 1 du 3u
du 3 x 2 2 x dx
du x 2 2 x dx 3
1 x2 2 x 1 ln u C 3 dx ln x 3 3 x 2 1 C 2 3 x 3x 1 3
z 1
z 1 dz
u 1 1 du u 2 du z 1 dz u z 1 u 1 z du dz z 1 u u z 1 u 2 2 u u du 1 u du u 2 ln u C z 1 dz z 1 2 ln z 1 C 14)
3 p3 2 p 3 p 2 1 dp
3 p3 0 p 2 2 p 3 3 p3 0 p 2 3 p
p2 0 p 1 3p
3 p3 2 p 3 p3 p 2 1 dp 3 p p 2 1 dp
p3 p 3 3 p2 1 3 p dp ln p 2 1 3arctan p C p2 1 p2 1 2 2 15)
4k 3 10k 2 6k 13 dk 2k 5
4k 3 10k 2 6k 13 4k 10k 3
2
2k 5 2k 2 3
6k 13 6k 15 2 4k 3 10k 2 6k 13 2 2k 3 2 dk 2 k 3 dk 3k ln 2k 5 C 2k 5 2k 5 3 68
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Ejercicios. Resuelva cada una de las siguientes integrales 1.
(5sen( x)
2.
(5cos x 4x )dx
5 8x)dx
cos x
1 senx tan x sec x dx
18.
2x
3
3.
e
2 x
19.
e
8. 9.
2
7e x 2e x dx
x 2 x 9 dx log(2) 3cos(2x) e
(5 x 3)
3 4
3 x x dx x2
11.
sen(ln x)cos(ln x) dx x e8 x 2 5x e4 x 1 x 4 x5 e
13.
14.
x
4 x 1
4x 1
dx
x- 7 dx 6
x 2 - 9x + 3 2x - 9 dx 15. 16.
x
2x 4 dx x 4 x 3 2
e 2 x 1 9e 2 x dx 4 2k 3 22. 9 dk k 8 k 5 21.
2
10.
12.
1 e x
8x4 1 x5 1 x ln x dx
20.
2 ln( x) sen( x) dx 6. 3x 5 9 x x 7.
1 4 x dx 2 x3
3e x dx
47 3 4. x x (2 x 5) dx 1 5. ( x 2 1 2 )dx x 1
17.
x ln(1 x 2 ) ( x2 1) dx
dx
23.
sen(2x) cos(2x) 9 x dx
24.
4e
25.
dx
x
4 e x dx
sen( z 1) cos ( z 1)dz 6
2 tan( z 4 ) ( z 4) dz 2x 4 27. 7 x 2 dx x5
26.
28.
3
5 z
3
sec x tan x cs cx tan xdx
ex 29. ln(2 e ) dx 2x 1 e 2x 2sen ( x ) cos( x) dx 30. 3 x 31. [3 5 2 x tan 2 x ] dx
2
32. [ecos s sen s
1 ds 9 s2 69
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
33.∫(
√
+ 7) dx
2u 15u 3 1 5 34. du 3 5 1 u2 5u u e 2 p 1 log p dp 2 p 1 p 35. eu du u 36. 2 4e 37.
4x 6 x 3x 7dx 4x
38.
2x
4 dx 9
2 e ln x tan dx 40. 2 x 4 1 4x
tan(3x)sec(3x)dx
33 x e tan x sec2 x 9 42. 6x 1 3
9 5
dx
2e3 x eco tan x csc2 x 2dx 43. 6x 1 e
2x 3x 2 2 x 1 ln 2 e dx 1 x 2 x
44.
4
2 x log3 (18) x tan( x )dx
45.
x
1 1 47. dr 1 cos r csc5r tan 5r tan r
k k4 5 dk 49. 20 2k 3 (k 9) s 1 50. tan(5s) ds s 4
senx ln 4 39. (5 cos x e )dx
41.
1
e 3 x2 senx 48. dx 3x 2 2 cos x
2
3 3
sen(3s)
tan(3s) sen(3s) tan(3s) ds
46.
5r 4 2r 3 4 5 dr 51. 3 x 3 r 3r 2
m2 4 5m 7 52. dm m 2 m 1 y y3 2 y dy 53. 2 sec (2 ) 5 y 2
2 z 2 3 4 z cos(4z ) dz 54. sen(4 z ) 3 z 2 7a 9
55.
3a 4 a
56.
2 (m 3)
2
2a 3 da 3a 5
5
2
m2 dm 5 m4
70
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
ex 2 4sec x 1 e2 x ln e dx 57.
58. 3x 2 4 x 5 1 1 dx x3 2 x 2 5 x ln(3) x 2 2 x
Respuesta a algunos de los ejercicios anteriores 5 x 3
1) R : 5cos(x) 5x 4 x 2 c
9) R: 2x -
3sen(2 x) e + 2 5
+c
2)R:5sen(x)-x 4 +c 3)R:
11) R:
1 +3e x +c 2x 2e
sen 2 (ln(x)) + c 2 9
4) R: 4 4 4-
8 x5 729 x 2 -9x 4 + 54 x3 +c 5 2
x3 5)R: + x +arctan(x) + c 3 3 5
6) R: 5x +
10 9
4x e4 x ln e 1 25 x 5 12) R: 2ln x 4 c 4 4 9
13) R:
e
14) R: x -
2
9 x ln ( x) -cos(x) + c 10 2
4 x 1
2
c
13 c x6
15) R: ln/x 2 -9x+3/ + c
3
2x 2 7) R: e x+ 7e -2 x + +c 3 2
7
x
e
5
3 8 x 2 72 x 2 8) R: +54x 2 + c 7 5
ln 2 (1 x 2 ) 16) R: +c 4
17) R: -ln/1-sen(x)/ + sec(x) + c
Integración por partes Algunas integrales contienen un producto y/ cociente y en numerosas ocasiones es posible resolverlas utilizando este método. El método de partes se basa en la derivada de un producto, así
uv ´ u´v v´u uv dx u´vdx uv´dx uv u´vdx uv´dx uv´dx uv u´vdx ´
Para escoger quien será la función “u” en la integral se puede utilizar la letra “LIATE” en ese orden: L= Logaritmica, I=inversas, A = algebraica, T = trigonométrica, E = exponencial. Ejemplos
71
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
1) xsen( x)dx sea u =x du=dx, dv=sen( x)dx v cos( x)
xsen( x)dx uv vdu xsen( x)dx x cos( x) cos( x)dx x cos( x) sen( x) C 2) xe x dx sea u =x du=dx, dv =e x dv e x dx v =e x
xe dx xe dx x
x
uv vdu xe x e x dx xe x e x C
3) 4 ln(5 x)dx 4 ln(5 x)dx sea u =ln(5 x) du=
dx , dv=dx v x x
ln(5x)dx uv vdu dx 4 ln(5 x)dx 4 xln(5 x) x 4xln(5 x) 4 x C x 4) arcsen( x)dx sea u =arcsen(x) du=
dx 1 x2
arcsen( x)dx
uv vdu
arcsen( x)dx
xarcsen(x) x
x
dx 1 x2
dx 1 x2
dx 1 x2
se resuelve por sustitución
sea u =1-x 2 du=-2xdx
x
, dv =dx dv dx v =x
du xdx 2
1 du 1 21 1 12 2 u du 2u C 1-x C 2 2 2 u
arcsen( x)dx xarcsen(x)+ 1-x 2 C
72
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
5) x 2 e3 x dx sea u =x 2 du=2xdx, dv =e3 x dx dv e3 x dx v =
x e
2 3x
e3 x 3
dx uv vdu
e3 x e3 x x 2 e3 x 2 3x x e dx x 3 3 2 xdx 3 3 xe dx 2 3x
2
Para xe3 x dx sea u =x du=dx, dv =e3 x dv e3 x dx v =
xe
3x
e3 x 3
dx uv vdu
e3 x e3 x 3x xe dx xe 3 dx xe 9 C x 2 e3 x 2 3 x e3 x 2 3x x e dx xe C 3 3 9 3x
6)
3x
7x dx 7 xe x dx x e
sea u =x du=dx, dv =e x dx dv e x dx v =-e x
xe dx uv vdu 7 xe dx xe e x
x
x
x
dx xe x e x C
Ejercicios
1) 3) 5)
2 xe dx x cos( x)dx x ln( x)dx 3x
x
7)
sen( x) dx
9)
ln( x) dx x2
arcsen( x)dx 4) x arccos( x)dx 6) ln ( x)dx 2)
2
2
8)
(3x 5)e
4x
dx
10) 3xsen (3x )dx
73
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
ANEXOS Áreas de algunas figuras geométricas
Volúmen y áreas de algunas figuras geométricas
Larson, Ron. Hoestetler, Robert. Edwards, Bruce. Cálculo. Octava edición. Mc.Graw-Hill Interamericana 74
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
RECOPILACIÓN DE EXÁMENES
75
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
I cuatrimestre 2013 Cálculo I sábado 09 de febrero del 2013 Primer Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos . 1. Dada la función h(x), determine
(f) lim h( x) x 2
(6 puntos) 2. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado). a) lim z 1
log( z 1) z 1
(4 puntos)
x3 7 x 22 x 2 6 x 2 x 3 4
(6 puntos)
c)
lim 3x 1x 62
(7 puntos)
d)
3 7n n3 25n 2 1 lim n n 2
b) lim
x 3
(7 puntos)
ln( x) 1 six 1 ( x 1) 3 3. Sea g x una función continua definida por: g ( x) e 3( x x ) si 1 x 0 x 1 1 six 0 x
76
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
II cuatrimestre 2013 cálculo I sábado 08 de junio del 2013 Primer Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos 1) Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
3x3 2 x 5 log( x 1)
(4 ptos)
2.2)
x2 x 2 lim x 2 3 x7
(7 ptos)
2.3)
lim
2.4)
lim
lim
2.1)
x 0
x a
a 2 2ax x 2 xa x 2 2a 2 x
x
(7 ptos)
3x 2 4 x 3x 2 7 x5
(6 ptos)
k 2 x 3 si x 1 2) Considere la función s(x) definida por: s( x) 2 4kx si x 1 Determine para que valores de
k ( k IR), la función dada es continua en x=1
3) Dada la función f(x), determine los límites
(10 puntos)
(6 puntos)
1) lim f ( x)
2) lim f ( x)
3) lim f ( x)
4) lim f ( x)
5) lim f ( x)
6) lim f ( x)
x
x 1
x 5
x 4
Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales
x 2
x
(10 puntos)
77
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
II cuatrimestre Cálculo I sábado 06 de julio 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 42pts Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .
Indicaciones generales: 1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, 2. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 3. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. 4. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. 5. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. 6. No se permite el uso de calculadora programable. 7. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte. Calcule la primera derivada de cada una de las siguientes funciones.
1.
y
x3 x 5 x 4 6 x log( x) e x cot( x)
(8 pts)
2.
m( x) ar ct an(5x 4 2ln x) tan 4 ( xe x )
(9 pts)
3.
e x y sen( x 3 y) cos(4 y 2 ) 5
(9 pts)
II Parte. Encuentre la segunda derivada de la función
s( z ) sen3 (5z 8)
(8 pts)
78
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA III Parte. Considere la función
y 4 x5 e( x 1) .
Calcule la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa 1 (5 pts)
Calcule la ecuación de la línea recta normal a la curva dada en el punto cuya abscisa III cuatrimestre 2013
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N
Sábado 05 de octubre del 2013
Primer Examen Parcial
(3 pts)
Puntaje: 40pts.
Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Indicaciones generales: 8. 9. 10. 11. 12. 13.
Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte. Dada la función f(x), determine los siguiente límites 1)
4)
lim f x x 0
lim f x
x 2
2)
5)
lim f x x 3
lim f x
x 2
(vale 6 puntos)
lim f x
3)
6)
x
lim f ( x) x 5
II Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
79
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
(3a ea 1) 2 a 0 4a ln(2a 1)
(4 puntos)
2 x3 6 x 2 24 8 x x 2 x3 8
(6 puntos)
1) lim
2) lim
4
3) lim
x
4) lim x 3
3x 4 2 x 1 1 2x 1
(7 puntos)
12 x 3
(9 puntos)
1 x x2 7
III Parte Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales. Es g(x) una función continua en x=-2 y x = 3?
5 x g ( x) 4ax+b 7x 2
(8 puntos)
si x -2 si -2< x < 3 si x 3
I cuatrimestre 2013 Segundo Examen Parcial Puntaje: 40pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos Cálculo I sábado 09 de marzo del 2013 I Parte Considere cada función y encuentre la derivada y´ 1)
1
y 5arcsen( x) 3x x3 ln( x)
2) y
sec( x)
3 x
e 5x
x
3 4
4
ln( 2 x )
3) y cos(e2 x ) ln 3 5 x
4) y 4arctan(5 x3 2) 5 sen( x 4 e x 4 x ) 5)
4 x2 2 y 3x5 y 7 3 cos(2 x y3 )
6) Considere la curva definida por f(x) = xsen(x) + 5x 6.1) Determinar la ecuación de la línea recta tangente a f(x) en el punto cuya abscisa es0 6.2) Determinar la ecuación de la línea recta normal a f(x) en el punto cuya abscisa es0
80
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 02 de noviembre del 2013 Segundo Examen Parcial Puntaje: 45pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´ Indicaciones generales: 14. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, 15. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 16. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. 17. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. 18. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable. 19. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico. I Parte. Considere cada expresión y encuentre la primera derivada 1)
m( x) e x log 2 ( x 1) 2 xe ex csc e 2
2)
y tan 7 ln 4r 2 +9ln(arctan(5r
3)
f (v ) v e
v 4 2
3
x
5 sen(ex)
))
arc sen v5 3v)
(9 ptos)
(9 ptos)
(9 ptos)
II Parte.
30( x 2 1) 5 Verifique que si y 2 entonces la segunda derivada y´´ 3 x 3 x 2 3
(9 ptos)
III Parte Determine las ecuaciones de las líneas rectas tangente a la curva x 2 3xy y 2 5 en el punto donde la ordenada es 1.
(9 ptos)
81
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Cálculo I
I cuatrimestre 2013 Tercer Parcial Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2:15 hrs.
Sábado 6 de abril
Indicaciones generales: 1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 2. No se responden preguntas relativas a la solución de los ejercicios, solo las relativas a la redacción de los enunciados. 3. No se permite abandonar el recinto de examen salvo que dé por terminada la prueba.
4.
En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. Por lo tanto NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas.
I Parte. Determine, si existen, la ecuación de cada asíntota (vertical, horizontal, oblicua), de la función m( x)
x2 x 1 (necesita realizar todos los cálculo) x 1
(vale 5 puntos)
II Parte. Aplique la regla de L’Hopital para calcular cada límite (no olvide indicar la indeterminación en cada caso)
e x ln(1 x) 1 lim x 0 x2 1 2 2) lim x 0 1 cos( x) x 1)
3)
2
lim (2 x 1) x 1
x
(5 puntos) (6 puntos)
(7 puntos)
III Parte. Realice el análisis completo, cuadro de variación y trace la gráfica de la función
f ( x) x 3 3 x 2 3
(17 puntos)
Cálculo I sábado 27 de julio 2013 II cuatrimestre Tercer Examen Parcial Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos .
Indicaciones generales: Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos.
82
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte Considere la función s( x)
2 x3 3x 5 . Encuentre todas las asíntotas de la x2 6
función s( x) , si las posee, realizando todos los cálculos necesarios.
(6 pts)
II Parte. Resuelva utilizando L’Hópital cada uno de los siguientes límites. No olvide establecer la indefinición
e2 x e2 x 1. lim x 0 x cos 2 ( x)
(6 pts)
1 1 2. lim x 0 ln( x 1) x
(9 pts)
1
x x 3 3. lim x 3 3
(7 pts)
III Parte. Sea la función g ( x) x 4 4 x3 .
Establezca los posibles puntos de
inflexión y los intervalos, si existen, en los cuales la función g ( x) es cóncava hacia arriba y los intervalos, si existen, donde g ( x) es cóncava hacia abajo (7 pts)
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tercer Examen Parcial
puntaje: 40 pts
Sábado 23 de noviembre de 2013 Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Indicaciones generales: I Parte.
Resuelva utilizando L’Hopital cada uno de los siguientes límites.
No olvide
establecer la indefinición
83
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
e2 x cos(3x 4 ) x 0 2 x sen( x 2 )
(8 puntos)
1 1 lim x 0 ln( x 1) x
(8 puntos)
1. lim
2.
1
3. lim 1 x ln( x )
(8 puntos)
x
II Parte Considere la función
s ( x)
x( x 2 5) 1 . x2 2 x
Encuentre
las ecuaciones de todas las
asíntotas de la función s( x) , realizando todos los cálculos necesarios.
(8 puntos)
III Parte. Resuelva el siguiente problema. Un recipiente de base rectangular para almacenamiento y con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 16
. En su base, el largo es el doble del ancho. Encuentre
las dimensiones (largo, ancho, alto) que minimizan el área.Recuerde: +
V l a h ; A=
(8 puntos
Cálculo I
, I cuatrimestre 2013, IV examen parcial Puntaje: 40 pts
Indicaciones generales: 1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 2. No se responden preguntas relativas a la solución de los ejercicios, solo las relativas a la redacción de los enunciados. 3. No se permite abandonar el recinto de examen salvo que dé por terminada la prueba.
4.
En el cuaderno de examen, único medio en el cual se realiza el examen, deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio.
5.
NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas o de integrales
I Parte. Resuelva el siguiente problema Encontrar la Utilidad máxima U, sabiendo que el Ingreso I es x 2 500 y el costo C es x 2 40 x . Recuerde que U = I – C (8 puntos) 84
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA II Parte. Resuelva cada integral. 2 1 1) 2 4 x e2 x tan( x) dx x
2)
sen(ln( x)) x 2 1 x x 1 dx
3)
x
4)
xe
3
(8 puntos)
(8 puntos)
(8 puntos)
x 2 4 x x 2 dx x2 1
(8 puntos)
cos x senx dx
Cálculo I sábado 24 de agosto 2013 II cuatrimestre Cuarto Examen Parcial Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Indicaciones generales: Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico.
I Parte Resuelva el siguiente problema de optimización.
Vale 8 puntos
En una lámina de cartón de dimensiones de 60 cm y 50 cm de lado respectivamente, se desea recortar en cada esquina un cuadrado de lado x para construir una caja (ver figura) Calcular la medida del lado x para que el volumen de la caja sea máximo. Recordar que el volumen de un paralelepípedo de lados x, y, altura z, es xyz
85
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA II Parte Resuelva cada una de las siguiente integrales
1
sec2 ( x) e dx x x 4
1)
x
2)
e4 x 4x 4x e tan( e ) dx 2 x e 1
3)
x
2
3
4 x2
Vale 8 puntos
Vale 8 puntos
x dx 3x 4
Vale 8 puntos
III Parte. Considere los siguientes datos respecto a la función g(x), realice completo el cuadro de variación y dibuje la gráfica de la función g(x)
Dg ( x ) : IR 1 ;
g (1) 3;
g(5)= -3;
g(7)= -1;
Intersección con eje x: 0.5,0 y 3,0 intervalo
g(x)
Vale 8 puntos
lim g ( x) 0 ;
x
lim g ( x)
x 1
Intersección con eje y:
g´(x)
g´´(x)
, 1
1,1
1,3
3,5
5, 7
7,
0, 2
86
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Cálculo I
III cuatrimestre 2012
IV parcial Puntaje: 50 pts
Tiempo máximo: 2 ½ hrs. Nombre……………………………..……. Carné……. Grupo Indicaciones generales: 1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada, si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 2. No se responden preguntas relativas a la solución de los ejercicios, solo las relativas a la redacción de los enunciados. 3. No se permite abandonar el recinto de examen salvo que dé por terminada la prueba.
4.
En el cuaderno de examen deben aparecer escritos todos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. Por lo tanto NO se permite el uso de calculadoras graficadoras ni tablas de derivadas.
1) Resuelva el siguiente problema. Vale 10 puntos Contiguo a una larga pared recta de cemento se desea cercar un terreno rectangular, dividiéndolo en tres partes con dos cercas paralelas al lado menor como se muestra en la figura. Se desea aprovechar la pared de cemento que ya existe como uno de los lados. Para cercarlo se cuenta con 800 metros de valla metálica. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que el área sea la mayor posible?
2) Resuelva cada uno de las siguientes integrales (Vale 10 pts c/u) 2.1) ∫
(
(
2.2 ∫
(
(
2.4 ∫
(
(
-
] dx (
2.3 ∫(
√
+ 7) dx
( ]dx
87
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
EXÁMENES RESUELTOS
88
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 08 de enero del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 36 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´ SOLUCION I Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
log(r 1) 2r cos(r ) 5 r 1 1
1) lim r 0
log(r 1) 2r cos(r ) log(0 1) 20 cos(0) 0 1 1 2 5 5 1 1 0 r 1 1 0 1 1
lim
r 0
lim 2)
x a
x 2 2ax a 2 a2 x2
lim x a
x 0
lim x 0
lim x 0
2
(7 ptos )
3 2 x 3 x 3 2 x 3 x 3 2x 3 x lim 2 2 3 2 x 3 x x 0 2x x 2 x x
2x
3 2x 2
x
x(2 x 1) 5
4)
2
3 2x 3 x 2x2 x
3) lim
x 0
(5 ptos)
x 2ax a ( x a) ( x a) lim lim 0 2 2 x a x a ( x a ) x a ( x a ) a x 2
lim
(3 ptos)
lim
x
2
3 x
2
lim
lim
3 2x 3 x 3x 3 2x 3 x
x 0
x 0
2x
3 2x 3 x
2
x
(2 x 1)
3 2x 3 x 3
3 2x 3 x
3 2 3
32 x5 x 15
(7 ptos)
3 16 x 2 3x
1 15 1 15 x5 25 4 5 x 5 25 4 5 x x 32 x x 15 x x 21 lim lim lim x x 4 2 3 3 3 16 x 2 3x x 3 x 42 3 x 2 42 x x 5
5
5
II Parte Analice la continuidad de g(x) en el conjunto de los números reales y determine si g(x) una función continua (8 ptos)
89
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
1 log( x) g ( x) 4( x x 2 ) +5( x 1) x 1 1 x
si x -1 si -1 x 0 si x > 0
si x = -1 a) g(-1)=1+log(1)=1 lim 4( x x 2 ) +5( x 1) 1 b) lim g ( x) x 1 g ( x) 1 xlim x 1 1 1 log( x ) 1 xlim 1 c) g(-1) lim g ( x) x 1
1= 1
por lo tanto g(x) es continua en x= -1
x=0 a) g(0)=4(0 02 ) +5(01) =0+5=5 x 1 1 x 1 1 x 1 1 lim lim x 1 1 xlim x 0 x 0 x x 0 x b) lim g ( x) x 0 4( x x 2 ) +5( x 1) 5 xlim 0 por lo tanto g(x) es discontinua en x= 0
1 x 1 1 2 no existe lim g ( x) x 0 x
III. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites
1. lim f x 2 x
( 6 ptos)
4. lim f ( x) no existe x 2
2. lim f x 2
5. lim f ( x) 0
3. lim f x 0
6. lim f ( x) 0.5
x 0
x 0
x 3
x
90
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tercer Examen Parcial Puntaje: 40 pts Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos Solución I Parte. Desarrolle por L`Hopital cada uno de los siguientes límites:
1 cos( x) 3x (5pts) x 0 x cos( x) sen( x ) 1 cos( x) 3x 0 sen( x) 3 3 lim ( L`H ) lim x 0 x cos( x) sen( x) x 0 cos( x) xsen(x) cos( x) 0 2
1. lim
2.
lim x 2 9 ln( x 3)
(7pts)
x 3
lim x 2 9 ln( x 3) 0() lim x 2 9 ln( x 3) lim
x 3
lim
x 3
x 3
1 x 3 2 x
x
2
x2 9
9
x 3
2
ln( x 3) ( L`H ) 1 x2 9
( x 3)(x 3) ( x 3)(x 3) 2 lim lim lim 0 x 3 2 x ( x 3) x 3 x 3 2 x( x 3) 2x 2
2
1
3. lim x 1 2 x 4
(8pts)
x 2
1
1
1 ln x 1 (0) x2 2 x 4
lim x 1 2 x 4 1 y lim x 1 2 x 4 ln y lim x2
x2
ln x 1 0 1 ln x 1 lim L`H x2 2 x 4 x2 2 x 4 0 1 1 1 1 1 1 lim x 1 lim ln y y e 2 lim x 1 2 x 4 e x2 x 2 2( x 1) x2 2 2 2 lim
II Parte. 4ª. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s vertical (si existe) que posea la función h( x)
x2 4 x 3 x2 9
(3pts)
91
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
h( x)
x 2 4 x 3 ( x 3)( x 1) x 1 , x 3 0 x 3 es A.V. x2 9 ( x 3)( x 3) x 3
lim x 1 2 x 3 lim x 3 x 3 0 lim x 3
x 1 x3 x 1 x3
4b. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s horizontal (si existe) que posea la función s( z ) 2 z 1 (3pts)
lim 2 z 1
z
lim 2 z 1 1 y 1 es asíntota horizontal
z
4c. Encuentre la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)s oblicua (si existe) que posea la función
1
f ( x ) x e x
(4pts)
1 lim x e x , por lo tanto hay que buscar la ecuación de la asíntota oblicua x
que es una línea recta de la forma y = mx+b 1 1 1 x x x x e e e m lim lim 1 1 lim 1 0 1 m 1 x x x x x x 1 1 b lim x e x x lim e x 1 y=x+1 es la ecuación buscada x x
III Parte. Resuelva el siguiente problema Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso con márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1.5 cm de anchura. Obtener las dimensiones que minimizan la superficie total del papel
(10pts)
x+3
y +4 1.5
Si x, y, son los lados de la superficie del texto impreso, entonces xy 18 y
18 x
El área a minimizar es A ( x 3)( y 4) 92
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
18 54 4) A 18 4 x 12 x x
sustituyendo A=( x 3)(
54 54 0 4 2 x 13.5 x 13.5 =3.68 es punto crítico 2 x x 108 108 A``(x) 3 A``(3.68) 0 el área es mínima si x = 3.68, y = 4.89 x 3.683 A`(x) 4
Y las dimensiones que minimizan el área total son 6.68 cm de largo y 8.89 cm de ancho
Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos SOLUCIÓN
Cuarto Examen Parcial
Puntaje: 35
4 x 12 . Sabiendo que la primera derivada es ( x 2)2 16 4 x 8 x 40 y que la segunda derivada es g ''( x) , encuentre. g '( x) 3 ( x 2) ( x 2)4 5) Valores críticos 6) Monotonía (intervalos de crecimiento y de decrecimiento) 7) Posibles puntos de inflexión 8) Concavidad (intervalos donde es cóncava hacia arriba y/o hacia abajo)
I Parte. Sea la función g ( x)
(6 puntos)
Do min io : Dg ( x ) IR 2 4) Valor crítico: g '( x)
16 4 x 16 4 x 0 0 16 4 x x 4 es valor crítico 3 ( x 2) ( x 2)3
g`( x) 0 en , 2 g ( x) decrece en el intervalo 5) Monotonía g`( x) 0 en 2, 4 g ( x) crece en el intervalo
g`( x) 0 en 4, g ( x) decrece en el intervalo 6) Posibles punto de inflexión
g ''( x)
8 x 40 0 8 x 40 x 5 es punto de inflexión ( x 2)4 g``( x) 0 en , 2 g ( x) es cóncava hacia abajo en el intervalo
7) Concavidad: g``( x) 0 en 2,5 g ( x) es cóncava hacia abajo en el intervalo
g``( x) 0 en 5, g ( x) es cóncava hacia ariba en el intervalo
93
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA II Parte. A continuación se presenta el cuadro resumen (cuadro de variación) de la función
4 f ( x) 6 x4 8x3 , que interseca al eje x en el punto , 0 . Complete el cuadro y realice 3 gráfico de la función (8 puntos)
x
0
2/3
1
4/3
f ´( x) 24 x3 24 x 2
f ´´( x) 72 x 2 48x
+
f ( x) 6 x 4 8 x 3
0
1.63
-2 0
Gráfico. (8 puntos)
III Parte. Resuelva cada una de las siguientes integrales 1)
5
z 4z3 z 6 dz z
(5 puntos) 1 5
z 4z z 6 z 4z3 z 6 dz dz dz dz dz z z z z z 4 1 3 dz z 2 z 5 dz 4 z dz dz z 5z 5 4 3 z ln/ z / c 5
2)
3
sen(ln(r )) log(7) dr r
(4 puntos)
94
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
sen(ln(r )) sen(ln(r )) log(7) dr dr log(7)dr r r sen(ln(r )) Para dr r dr sen(ln(r )) sea u=ln(r) du= dr sen(u )du cos(u ) c cos(ln(r )) c r r sen(ln(r )) log(7) dr cos(ln(r )) log(7)r c r
3)
sen ( x) cos( x)dx
(5 puntos)
4
sea u=sen(x) du=cos(x) dx 4 4 sen ( x) cos( x)dx u du
4)
u5 sen 5 (x) c c 5 5
ex 3 2 4e x x x 4 dx
(7 puntos)
ex ex 3 x x 4 dx dx x 3 x 4dx 2 4e x x 2 4e ex du Para dx, sea u=2 4e x du 4e x dx e x dx x 4 2 4e 1
1 2
2 4e x 2
1 du 1 1 u du u C C 1 4 4 2 2 2 4e 2 u 3 1 3 1 1 1 x 2 2 2 1 1 2u u (2 4e ) x 2 2 2 u du 2 u du 4 C 2 4 e C 4 4 3 1 6
e
x
x
dx
1 2
Para x 3 x 4dx sea u=x-4 du=dx, también u+4=x 7
4
7
1 4 43 3u 3 12u 3 3( x 4) 3 3 3 3 x x 4dx (u 4) u du u 4u du 7 4 C 7 3( x 4) 3 C
95
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 21 de junio del 2014 Primer Examen Parcial Puntaje: 40 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos . SOLUCIÓN I Parte. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6ptos )
1) lim f ( x) : no
3) lim f ( x) 2
5) lim f ( x) 4
2) lim f ( x) = +
4) lim f ( x) 1
6) lim f ( x) 0
x 2
x
x 1
x 0
x 3
x
II Parte Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado). 1)
lim
r 0
(3r er 1)2 4 4r ln(2r 1) 0
(3 puntos)
x3 1 0 ( x 1)( x 2 x 1) ( x 2 x 1) 3 lim lim 2) lim (5 puntos) x 1 ax bx a b x 1 x 1 0 ( x 1)(a b) ( a b) a b 3) lim x 3
lim x 3
x2 2 x 6 x2 2 x 6 0 x2 4 x 3 0
x2 2x 6 x2 2x 6 x2 2x 6 x2 2x 6 x2 2 x 6 x2 2 x 6 lim 2 x 3 x2 4x 3 x2 4x 3 x 2 x 6 x 2 2 x 6
x2 2 x 6
lim
( x 2 4 x 3)
lim
( x 3)( x 1)
x 3
x 3
(6 puntos)
2
x2 2x 6
2
x2 2x 6 x2 2x 6 lim x 2 2 x 6 x 2 2 x 6 x3 ( x 3)( x 1) x 2 2 x 6 x 2 2 x 6 4( x 3) 4 4 1 lim x 3 2 2 2 2 x 2x 6 x 2x 6 ( x 1) x 2 x 6 x 2 x 6 2(6) 3
96
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
3
lim
4)
7 x 1 3
x2 7 2 x
x
7 7 x 3 3 1 1 x 3 3 1 1 x x lim 1 (6 puntos) x 7 7 2 x 1 2 2 x x 1 2 2 x x x
3
lim
x
III Parte. Considere la función g(z) definida a continuación. Analice la continuidad de la función en el conjunto de los números reales. Justifique su respuesta (5 puntos)
ex g (x) 4 x 1 e
si x > 1 si x = 1 si x > 1
1) g(1)=4 lim ( x 1 e) e x 3 2) lim g ( x) g ( x) e lim x x 3 x 3 limxe3 e 3) g(1) ? lim g ( x) x 3
4
e
g (x) no es continua en x = 1
IV. Encuentre la primera derivada de las siguientes expresiones y= (3 e z ez ) arctan(z)
1)
y´ (3 e z ez ) arctan(z) y´ (3 e z e) arctan(z)
2) y
y´
7
x
( 4 ptos)
1 (3 e z ez ) 1 z2
7x 4x 5 2ln( x) 3cos( x)
( 5 ptos)
2 ln(7) 4 2 ln( x) 3cos( x) 3sen( x) 7 x 4 x 5 x 2 2 ln( x) 3cos( x)
97
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N) Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos
Segundo Examen Parcial
Puntaje: 50 pts
Solución I Parte. Encuentre la primera derivada cada una de las siguientes ecuaciones 1.
m(w) ln w3 tan(ln( w)) ew 6
m´( w)
2.
y7
1 w tan(ln( w)) e w 3
(7pts)
2 1 3 w 2 3w tan(ln( w)) sec (ln( w)) w w e 0
3 cos(2 x e) 2 arccos x 4 5x 3e
3 cos(2 x e) 2 y7 arccos x 4 5x 3e
(8pts) 1
3 cos(2 x e) 7 2 arccos x 4 5x 3e
6 x x 1 3 cos(2 x e) 7 2sen(2 x e) 4 5 x 4 ln(4) 5 3 cos(2 x e) y´ 0 2 x 7 4x 5x 4 5 x xy 3 3. e 2 x 4 sen(2 x 3 y) x (8pts)
e xy y e xy y´x 2 2 cos(2 x 3 y ) 3 y´cos(2 x 3 y) 3 x 2 e xy y´x 3 y´cos(2 x 3 y ) e xy y 2 2 cos(2 x 3 y ) 3x 2 y´
e xy y 2 2 cos(2 x 3 y ) 3 x 2 e xy x 3cos(2 x 3 y )
II Parte Considere la función x 2 y 2 2 x 3 y 0 . Encuentre las ecuaciones de las líneas rectas tangente y de la línea recta normal a la función en los puntos donde la ordenada es 1
y
la abscisa es
positiva
(7 pts)
x 1 P(1,1) si y=1 x 2 (1)2 2 x 3(1) 0 x 2 2 x 3 0 x 3 P(3,1) Se considera entonces P(1,1)
y´
2 xy 2 2 m 4 b 3 y 4 x 3 es la ecuación de la línea recta tangente 2 x2 y 3
Si m 4 m
1 5 1 5 b y x es la ecuación de la línea recta normal 4 4 4 4 98
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA III Parte. Por L´Hopital resuelva cada uno de los siguientes límites 1.
1 1 lim x 0 senx x
(7 pts)
1 1 x sen( x) 0 1 1 lim lim lim x 0 senx x 0 senx x x x0 xsen( x) 0 1 cos( x) 0 sen( x) 0 L´H lim L´H lim 0 x 0 sen( x ) xcos(x) x 0 cos( x ) cos(x) xsen(x) 0 20 2.
lim x
3 4 ln( x )
(7 pts)
x 0
lim x
x 0
3 4 ln( x )
0 y lim x 0
3 4 ln( x )
x 0
ln y lim x 0
3 3ln( x) ln( x) lim x 0 4 ln( x ) 4 ln( x)
3 3 3 x 4 ln( x ) L´H lim 3 ln y 3 y e lim x e3 x 0 1 x 0 x IV Parte. Resuelva el siguiente problema
(6 pts)
A un depósito cilíndrico (de base circular) de 50 dm de radio, le está entrando agua a razón de 25
. Calcular la velocidad con que varía la altura del agua dentro del cilindro.
(Recordar que V Abase h )
V Abase h V r 2h Sabiendo que r = 50 dm y
dV dh 25dm3 / seg , ? dt dt
V Abase h V r 2 h V 50 h 2500 h 2
dV dh 2500 sustituyendo dt dt dh 1 dh 25 = 2500 dt 100 dt La altura del agua dentro del cilindro varía a una razón de
1 dm / seg 100
99
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Cálculo Diferencial e Integral I (II-215N)
Tercer Examen Parcial
Puntaje: 35 pts
Tiempo máximo: 2.30 horas Solución I Parte. Resuelva cada una de las siguientes integrales
3x 2 5 2 2 dx ln(4) x3 x x2 1
1.
(5 puntos)
2 3x 2 5 2 3x 2 5 2 2 dx sea I= ln(4) ln(4)dx dx 3 3 x x x x2 1 x x2 1
3x
5
2
x3
2
9 x 4 30 x 2 25 30 9 x2 25 3 dx dx (9 x 25x )dx 30 ln/ x / 2 C 3 x x 2 2x
ln(4)dx ln(4) x C x
2
dx = arcsec(x)+C x2 1 9x2 25 I 30 ln/ x / 2 ln(4) x arcsec(x)+C 2 2x sen( z ) 2) z 2 z 1 dz 1 cos( z )
(7 puntos)
sen( z ) sen( z ) I z 2 z 1 dz dz z 2 z 1dz 1 cos( z ) 1 cos( z ) sen( z ) 1 cos( z ) dz sea u=1 cos( z ) du sen( z )dz du sen( z )dz sen( z ) du 1 cos( z ) dz u ln/ u / C ln/1 cos( z ) / C
z
2
z 1 dz sea u=z+1 du=dz. Tambien u-1=z
1 1 3 1 52 2 2 2 2 2 2 2 z z 1 dz ( u 1) ( u ) du ( u 2 u 1)( u ) du u 2 u u du 7
5
3
7
5
3
2u 2 u2 u2 2( z 1) 2 ( z 1) 2 ( z 1) 2 4 2 C 4 2 C 7 5 3 7 5 3 7
5
3
2( z 1) 2 ( z 1) 2 ( z 1) 2 I ln/1 cos( z ) / 4 2 C 7 5 3 e x 23 x 3. 6 x dx x 1
(7 puntos) 100
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
e x 23 x I x 1 26 x
e
e
x
x
x
e x 23 x dx dx dx 1 26 x x
dx sea u= x du
dx dx 2du 2 x x
dx 2 eu du 2eu C 2e
C x 23 x 23 x du 3x 3x 3x dx = 1 26 x 1 (23 x )2 dx sea u=2 du 2 ln(2)(3)dx ln(2)(3) 2 dx x
23 x 1 du 1 1 3x 1 26 x dx 3ln(2) 1 u 2 3ln(2) arctan(u) C 3ln(2) arctan(2 ) C 1 I 2e x arctan(23 x ) C 3ln(2) x2 II Parte. Considere la función m(x)= ( x 1)( x 3)
( x 2 4 x 5) 1) Si la primera derivada es m´(x)= , determine ( x 1)2 ( x 3) 2
(5 puntos)
valores críticos (si existen) la monotonía (intervalos de crecimiento y/o decrecimiento) máximos y mínimos de la función
D m ( x ) =IR- 1,3 0=
( x 2 4 x 5) 0 ( x 2 4 x 5) no existen valores críticos 2 2 ( x 1) ( x 3)
en ,1 , m´( x) 0 m(x) decrece( ) en 1,3 , m´( x) 0 m(x) decrece( ) en 3, , m´( x) 0 m(x) decrece( ) No existen máximos ni mínimos 2) Si la segunda derivada de la función m(x) es m´´(x)=
2( x 2)( x 2 4 x 7) , determine ( x 1)3 ( x 3)3
Posibles puntos de inflexión Intervalos de concavidad (hacia arriba y hacia abajo)
(5 puntos)
101
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
df dx
)
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
0=
2( x 2)( x 2 4 x 7) 2( x 2)( x 2 4 x 7) 0 x 2 es posible punto de inflexión 3 3 ( x 1) ( x 3)
en ,1 , m´´( x) 0 m(x) cóncava hacia abajo ( ) en 1, 2 , m´´( x) 0 m(x) cóncava hacia arriba ( ) en 2,3 , m´´( x) 0 m(x) cóncava hacia abajo ( ) en 3, , m´´( x) 0 m(x) cóncava hacia arriba ( ) III Parte. Considere el siguiente cuadro de variación (cuadro resumen). Realice la gráfica que corresponde según los datos del cuadro (6 puntos) Cuadro de variación x
-2
f’(x)
f’’(x)
f(x)
1
0 +
2
-0,25
1
Optativa: Escoja una de las integrales siguientes y resuélvala paso a paso. (5 Puntos) 1.
1
z ln ( z) dz 3
2.
z e
2 2z
dx 102
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Examen Parcial Puntaje: 50 pts.
Sábado 11 de octubre del 2014 Primer Tiempo máximo: 2 horas y 15 minutos . Solución
I Parte Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado). 1)
2)
lim x y
8 1 5 1 lim 3 5 7 x x x ln x x e
(6 ptos)
x5 y 5 x3 y 2 x 2 y 3 0 lim 6 x y x x 2 y 4 x 4 y 2 y 6 0
(8 ptos)
x5 y 5 x3 y 2 x 2 y 3 x5 x3 y 2 y 5 x 2 y 3 x3 ( x 2 y 2 ) y 3 ( y 2 x 2 ) x 3 ( x 2 y 2 ) y 3 ( y 2 x 2 ) lim lim lim x 6 x 2 y 4 x 4 y 2 y 6 x y x 6 x 2 y 4 x 4 y 2 y 6 x y x 2 ( x 4 y 4 ) y 2 ( x 4 y 4 ) x y x 2 ( x 4 y 4 ) y 2 ( x 4 y 4 )
( x3 y 3 )( x 2 y 2 ) ( x y )2 ( x 2 xy y 2 )( x y ) ( x 2 xy y 2 ) 3y2 3 lim lim 2 2 2 2 2 2 3 x y ( x 2 y 2 )( x 4 y 4 ) x y x y ( x y) ( x y) ( x y ) ( x y )( x y ) 4 y 4y
lim
4
3)
lim
w
4 lim w
16w4 w2 3 2w3 4 2 w
3 16 w4 w2 2 w3 4 2 w
(8 ptos)
1 4 4 w4 16 3 w3 2 w2 w3 lim 2 w w 1 w
1 4 1 4 w4 16 4 16 w3 2 3 3 2 3 3 2 2 w w w 2 2 w lim lim 3.25 1 2 2 w w w 1 1 w w
1 2 z 3 III Parte. Considere la función h(z) definida a continuación. h(z)= 3sen( z 2) 1 2 z 2z 1 3 2 z
si z < 2 si z = 2 si z > 2
Analice la continuidad de la función en el conjunto de los números reales. Justifique su respuesta
1) h(2)=3sen(2 2) 1 1
(10 puntos)
103
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA z 2 2 z 1 3 z 2 2 z 1 3 z2 2z 1 3 0 2.1 lim = lim z 2 2 z 1 3 x 2 2 z 0 2 z x 2 2 2 2 z 2z 1 3 z2 2z 8 xlim xlim 2 2 2 2 2 z z 2 z 1 3 2 z z 2 z 1 3 2) lim h( z ) h( z ) 1 lim x 2 x 2 ( z 2)( z 4) ( z 4) lim 6 1 lim x 2 x 2 6 2 2 2 z z 2 z 1 3 z 2z 1 3 2 z 3 1 1 2.2 xlim 2
3) h(2) ?= lim h( z ) x 2
1
=
h(z) es una función continua en el conjunto de los números reales
1
I Parte. Dado el gráfico de la función f(x), determine los siguiente límites ( 6ptos)
lim h( x) 0
lim h( x) 2
lim h( x) no existe
x 0
x 2
lim h( x) 2
lim h( x) 4
x
x 4
x 6
lim h( x)
x 8
IV. Encuentre la primera derivada de las siguientes expresiones
(6 puntos c/u)
1)
1 2 2 sen( z ) cos( z ) ln( z ) ln( z ) 5 7 3 g ( z) z 7 3 z 1 g´( z ) z 7 z z 2 7 3 sen( z ) sen( z )
2)
f ( x) 2x arctan( x) e x f ´( x) 2x ln(2) arctan( x )
5 7
2x ex 2 1 x
104
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 14 de febrero del 2015 Primer Examen Parcial Puntaje: 50pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´ SOLUCION I Parte. Dada la función f(x), determine los siguiente límites
1) lim f ( x) 2
2) lim f ( x) 1
4) lim f ( x) 5
5) lim f ( x) no existe
x x 3
x 5 x 0
(6 puntos)
3) lim f ( x) 3 x 3
6) lim f ( x) x 4
II Parte. Calcule cada uno de los siguientes límites (justifique su resultado).
lim
1)
m1
2)
lim w3
5 4m2 3ln(m) 1 m 1 0
w3 3w2 2w 6 (1 w) w2 w 2
(3 puntos)
0 0
(8 puntos)
(1 w) w2 w 2 w 3 (1 w) w2 w 2 w3 (1 w) w2 w 2 w3 (1 w) w2 w 2 (1 w) w2 w 2 ( w2 2)( w 3) (1 w) w2 w 2 ( w2 2)( w 3) (1 w) w2 w 2 lim lim 2 2 2 w 3 w 3 2 2 (1 2 w w ) w w 2 (1 w) w w 2 lim
w3 3w2 2w 6
lim
( w2 2)( w 3)
lim
( w2 2)( w 3)
( w2 2)( w 3) (1 w) w2 w 2 lim ( w2 2) (1 w) w2 w 2 44 lim w 3 w 3 3 w
105
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA 1)
5 x 2 7 x 5 3x5 4 x
lim
lim
x
(7 puntos)
2 7 x 9 x9 2
x
5 x 2 7 x 5 3x5 4 x 2 7 x 9 x9 2
lim
x
7 4 5 x 2 2 1 5 x5 3 4 x x x x lim x 2 2 7 x 9 x9 1 8 x
7 4 5 2 1 x 5 3 4 x x x 2.24 8 2 9 2 7 x x 1 8 x
3x 3b xb x 2 0 x b b2 x 2 0
4) lim
(7 puntos)
3 x x b lim 3 x 3 b 3x 3b xb x 2 lim 2 2 x b x b (b x)(b x) x b b x (b x) 2b
lim
III Parte Determine el valor de k para que la función h(x) sea una función continua en IR (7puntos)
5kx -2 h( x) 2 x ( 2 2 x ) 2e 1)h(1) 2 x 2
si x < -1 si x = -1 si x > -1
lim 2e 2 4 x 1 2) lim h( x) 2 5k 2 k x 1 5 5kx -2 5k 2 xlim 1 4 4 3) Si k h(1) lim h( x) la función es continua para k x 1 5 5 ( 2 2 x )
IV Parte. Derive cada una de las siguientes funciones: 1)
f ´( z ) csc ( x) 2 2
2)
f ( z ) c t( z ) 2 z
3z 5 5cos( z ) 2 z 6
3z ln(3) 5cos( z ) 2 z 6 5sen( z ) 12 z 5 3z 5 5cos( z ) 2 z 6
2
x1/3 x 4 x 4 g ( x) ln( x) ln( x) x 14/3 x 1 x 9 5 x 1 14 17/3 g´( x) x 14/3 x 1 x 9 x x 2 9 x 10 ln( x) x 3
(7 puntos)
(7 puntos)
106
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
df dx
)
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
Cálculo Diferencial e integral 1 (II-215N) Sábado 15 de noviembre del 2014 Segundo Examen Parcial Puntaje: 50 pts. Tiempo máximo: 2 horas y 15´
Solución I Parte. Encuentre la primera derivada cada una de las siguientes ecuaciones 1. m( x) 3arcsen e2 x 7 x3 2 x cos4 5x 5x 3
m´( x)
1 e 7x 2x 2x
2. g ( z )
g´( z )
3
2
2e
2x
(9 puntos)
21x 2 2 cos 4 5 x 5x 4cos3 5 x 5 x sen 5 x 5 x 5 5 x ln(5) arcsen e2 x 7 x3 2 x
tan( z 4 z 9 ) (7 puntos) 2 z log(2 z ) 6 7 1 2 9 tan 7 ( z 4 z 9 )sec2 ( z 4 z 9 ) 1 36 z 8 2 z log(2 z ) 2 tan( z 4 z ) 7 2 z ln(10)
7
2 z log(2 z )
2
3. sec2 ( x2 y3 ) 2 x e xy
2sec( x y ) sec( x y ) tan( x y ) 2 x 3 y y´ 2 e 2
3
2
3
2
3
2
(8 puntos) xy
y y´x
2 x sec( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 )2sec( x 2 y 3 ) 3 y 2 y´sec( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 )2sec( x 2 y 3 ) 2 ye xy xy´e xy 3 y 2 y´sec( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 )2sec( x 2 y 3 ) xy´e xy 2 ye xy 2 x sec( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 )2sec( x 2 y 3 ) y´ 6 y 2 sec2 ( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 ) xe xy 2 ye xy 4 x sec2 ( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 ) y´
2 ye xy 4 x sec2 ( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 ) 6 y 2 sec2 ( x 2 y 3 ) tan( x 2 y 3 ) xe xy
II Parte. Resuelva utilizando L´Hopital, cada uno de los siguientes límites 1 x ln( x) 1. lim 3 (4 x 1 x 3 x 2
puntos)
1 1 x ln( x) 0 2 lim 3 L´H lim 2 x x 1 x 3 x 2 x 1 3 x 3 0 0 1
2. lim x 2 x 0
(1 e x )
(8 puntos)
107
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
y lim x 2
(1 e x )
x 0
ln( y ) lim ln x 2
(1 e x )
x 0
ln( y ) lim (1 e x ) ln x 2 0( ) x 0
2x x 2 x 2 ln x 2 2 x 1 e 2 1 e 2 0 x ln( y ) lim ( L´H ) ln( y ) lim lim lim x 2 x x x 0 1 x 0 x 0 x 0 e xe xe 0 x 2 x 1 e 1 e ( L´H ) ln( y ) lim
4 1 e x e x
x 0
e x xe x
(1 e x ) 0 0 ln( y ) 0 y e0 1 lim x 2 1 x 0 1
III Parte. Encuentre las ecuaciones de la línea recta tangente y la línea recta normal a la función de ecuación y
x3 1 3x en el punto donde la abscisa es 2
(8 puntos)
si x = 2 y = -3 P 2, 3
si y x 1 3x y´ 3
2 x3 1
3
Para la ecuación de la recta tangente
evaluando m
3x 2
3(2)2 2 23 1
3 1 b 1 la ecuación de recta tangente es y = -x-1
Para la ecuación de la recta normal
si m =-1 m n 1 b =-5 la ecuación de recta normal es y = x-5 IV Parte. Lea el siguiente problema, plante una solución y resuélvala paso a paso (6 pts) En un cono invertido la altura h cambia a razón de 2.3 pies/seg y el radio a razón de 5.2 pies/seg. Cuál es el ritmo de cambio del volumen cuando el radio r es 3 pies y la altura h es 6 pies
dh dr dV 2.3 pies / seg ; 5.2 pies / seg ; ? si r=3pies, h= 6pies dt dt dt r 2h dV dr r 2 dh V derivando 2rh sustituyendo datos 3 dt 3 dt dt dV 2(3)(6)(5.2) (9)(2.3) (207.9) 69.3 pies 3 / seg dt 3 3 2x 4 . Encuentre la segunda derivada 5x 1
Opcional: Considere la función y ln
(5 puntos)
108
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA Cálculo Diferencial e integral 1 (II-21 Sábado 21 de febrero del 2015 SegundoExamen Parcial Puntaje: 43pts Tiempo máximo: 2 horas y 15´ Indicaciones generales: 1. Realice cada ejercicio en forma clara y ordenada. 2. El examen se resuelve únicamente en el cuaderno oficial de examen de la Universidad. 3. El examen debe responderse con bolígrafo azul o negro. Si resuelve el examen con lápiz o usa corrector pierde el derecho a reclamos. 4. No debe tener hojas blancas ni otros en el pupitre, solo el cuaderno oficial. 5. Durante el examen, no se responde preguntas relativas a la solución de los ejercicios, sólo las relativas a la redacción de los enunciados 6. No se permite abandonar el recinto salvo que dé por terminada la prueba, ni antes de 30´ de empezar 7. En el cuaderno de examen deben aparecer escritos los procedimientos que le permitieron obtener la respuesta en cada ejercicio. No se permite el uso de calculadora programable. 8. Debe mantener apagados celulares, ipad o cualquier dispositivo electrónico. I Parte. Encuentre la primera derivada de cada una de las siguientes ecuaciones 3.
y tan cos(5 x 2) 7 x 4 2 x
(7pts)
4 x3 2 y´ sec2 cos(5 x 2) 7 x 4 2 x sen(5 x 2)(5) 7 x 4 2 x cos(5 x 2) 2 7 x4 2 x (3r 6 e5r )9 2. g (r ) (7pts) r 4 4r
g´(r ) 3.
9(3r 6 e5r )8 18r 5 5e5 r r 4 4r 4r 3 4r ln(4) (3r 6 e5r )9
r
4
4r
2
3 e xy e( x2 y ) cos(4 y)
(7pts)
3 e xy e( x 2 y ) cos(4 y) e xy y xy´ e ( x 2 y ) 1 2 y´ sen(4 y ) 4 y´ e xy y e xy xy´ e ( x 2 y ) 2 y´e ( x 2 y ) sen(4 y ) 4 y´ e xy xy´2 y´e ( x 2 y ) 4 y´ sen(4 y) e xy y e ( x 2 y ) y´
e xy y e( x 2 y ) e xy x 2 e( x 2 y ) 4sen(4 y)
II Parte. Encuentre el límite:
lim
x 0
lim
x 0
4 x 2 1 cos x sen x x cos x
(7pts)
4 x 2 1 cos x 8 x sen x 8 cos x 0 0 9 L´H lim L´H lim x 0 x 0 sen x x cos x 0 sen( x) x cos( x) 0 cos x cos x xsen( x) 0
109
CÁLCULO I
lim g ( x) ;
(
x k
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA III Parte. Considere la función y 10 x 2 4( x 1) . Calcule
(8pts)
Si x = -1 entonces y = 3 por lo tanto P(-1,3), también y´
20 x 4( x 1) ln(4) 2 10 x 4 2
( x 1)
y m
20 ln(4) 21.38629 3.564 por lo tanto 6 6
a) la ecuación de la línea recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa es 1 es y 3.564 x 0.564 b) la ecuación de la línea recta normal a la curva dada en el punto cuya abscisa es -1 es y 0.28x 3.28 IV Parte Escoja una de las siguientes preguntas y resuélvala 1. Determine y simplifique la segunda derivada de:
(7pts)
3z 2 y ln 4z 5
1 3(4 z 5) 4(3 z 2) 4 z 5 23 23 y´ 2 2 2 (4 z 5) 3 z 2 (4 z 5) 12 z 7 z 10 3z 2 4z 5 23 24 z 7 y´´ 2 12 z 2 7 z 10 2. Encuentre el límite:
1 y lim x 0 x
tan( x )
1 lim x 0 x
tan( x )
tan( x )
1 1 ln y lim ln ln y lim tan(x) ln 0() x 0 x 0 x x 1 1 ln x 2 sen 2 ( x) 0 x x ln y lim L´H ; ln y lim lim L´H x 0 1 x 0 1 x 0 x 0 tan(x) sen 2 ( x) ln( y ) lim x 0
3.
2sen( x) cos(x) 1 0 y e0 lim x 0 1 x
tan( x )
1
Las caras de un plato de metal se dilata con el calor a razón de 0.2 cm 2/seg, Cuando el diámetro del mismo es 12 cm, cuál es la razón de cambio del radio?
110
CÁLCULO I
lim g ( x) ; x k
(
)
df dx
f ( x)dx
PROF. NIDIA LEIVA; PROF. CARMEN MORA
dV dr 0.2cm 2 / seg ; se pregunta si r 6cm dt dt dV dr Como V r 2 2 r sustituyendo dt dt dr dr 0.2 0.2 2 (6) dt dt 12 La razón de cambio del radio es de 5.4 103 cm / seg Opcional. Resuelva una de las dos preguntas que no resolvió en el punto anterior (7pts)
111