Story Transcript
Calculo Integral
2007
Centro de Desarrollo Educativo [CDE] [Acuerdo No. MSB120051404 de Fecha 15 de Marzo 2005]
http://www.utea1.net http://www.mxgo.net
[C.T. 14PBJ0076Z]
1
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
1
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO COORDINACIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA
BMIS MATEMÁTICAS VI
DOCUMENTO BASE
Guadalajara, Jalisco Febrero de 2008
2
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
2
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO MATEMÁTICAS VI DIRECTORIO SECRETARIO DE EDUCACIÓN JALISCO LIC. MIGUEL ANGEL MARTÍNEZ ESPINOSA COORDINADOR DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA LIC. EDUARDO DÍAZ BECERRA DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR MTRO. JOSE MANUEL BARCELÓ MORENO DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA MTRA. DIMNA SILVIA GONZÁLEZ HERNÁNDEZ
Academia:
3
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
3
UNIDAD 1. Diferenciales e integral indefinida. 1.1 La diferencial. • Definiciones de
x
y f ' x x
Introducción. Hasta ahora hemos representado la derivada de y f (x) por la notación: dy f ' ( x) dx esta fracción ordinaria es un símbolo que representa el límite del cociente y cuando x tiende a cero. x Definición. Si f ' ( x) es la derivada de f (x) para un valor particular de x , y x es un incremento de x , arbitrariamente elegido, la diferencial de f (x) , que se representa por el símbolo df (x) , se define por la igualdad dy (A) df ( x) f ' ( x)x x . dx Si f ( x) x , entonces f ' ( x) 1 y (A) se reduce a
dx x
Así, cuando x es la variable independiente, la diferencial de x( dx) es idéntica a x . Por tanto, si y f (x) , (A) puede, en general, escribirse en la forma: dy f ' ( x)dx
dy dx dx
(B)
La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la varia ble independiente.
4
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
4
• Interpretación gráfica de dy . Construyamos la curva y f (x) siguiente figura:
Sea f ' ( x) el valor de la derivada de P. Tomemos dy PQ . Entonces, dy f ' ( x)dx tg PQ QT PQ QT PQ Luego dy , o sea df (x) , es el incremento ( QT ) de la ordenada de la tangente, correspondiente a dx . Esto da la siguiente interpretación de la derivada como fracción: Si se representa por dx un incremento arbitrariamente elegido de la variable independiente x para un punto P( x, y) en la curva y f (x) , entonces la derivada: dy f ' ( x) tg , dx
dy representa el incremento correspondiente de la ordenada de la tangente en P.
5
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
5
• Reglas de la diferenciación. Puesto que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, se sigue inmediatamente que las fórmulas para hallar las diferenciales son las mismas para obtener las derivadas, con sólo multiplicar cada una de ellas por dx . En consecuencia, las fórmulas para diferenciación son:
d (c) 0 . d (u v w) du dv dw
2. 4.
d ( x) dx d (cv) cdv
5.
d (uv) udv vdu
6.
7.
d ( x n ) nx n1dx
8.
d (v n ) nv n1dv u vdu udv d v2 v dv d (ln v) v
1. 3.
u du d c c log e d (log v) dv v d (e v ) e v dv d (senv) cos vdv
9. 10ª. 11ª. 13.
d (tgv ) sec 2 vdv d (sec v) sec v tgvdv dv d (arcsenv) 1 v2 dv d (arctgv ) 1 v2
15. 17. 19. 21. 23.
d (arc sec v)
dv v v 1 2
10. 11.
d (a v ) a v ln adv
12. 14.
d (u v ) vuv1dv ln u u v dv d (cos v) senvdv
16. 18.
d (ctgv ) csc 2 vdv d (csc v) csc v ctgvdv dv d (arccos v) 1 v2 dv d (arcctgv ) 1 v2 dv d (arc csc v) v v2 1
20. 22. 24.
Para hallar diferenciales, lo más fácil es hallar la derivada, y multiplicar el resultado por dx . La operación de hallar diferenciales se llama diferenciación. x3 Ejemplo 1. Hallar la diferencial de y 2 x 3 2 2 x 3 ( x 3)d ( x 3) ( x 3)d ( x 3) dy d 2 Solución: ( x 2 3) 2 x 3
6
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
6
( x 2 3)dx ( x 3)2 xdx (3 6 x x 2 )dx . ( x 2 3) 2 ( x 2 3) 2
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 .
Ejemplo 2. Hallar dy de la expresión
dy
2b 2 xdx 2a 2 ydy 0
Solución:
Ejemplo 3. Hallar d de
2b 2 xdx b 2 x 2 dx 2a 2 y a y
2 a 2 cos 2
2d a 2 sen2 2d
Solución:
Ejemplo 4. Hallar d arcsen(3t 4t 3 )
d arcsen(3t 4t 3 )
Solución:
d
a 2 sen2
d
d (3t 4t 3 )
1 (3t 4t 3 ) 2
3dt 1 t 2
PROBLEMAS: Hallar la diferencial de cada una de las siguientes funciones: x a 1. y x 3 3x 2. y a x 3. y ax b 5. s ae bt 7. sena 9.
cos x a a x x
4. 6. 8.
y x a2 x2 u ln cv y ln senx
10.
s e t cos t
12.
u ev 1
14.
y
16.
s e at senbt
18.
y ln 3
11.
y
13.
y
15.
2sen
17.
ctg
19.
Si x 2 y 2 a 2 , demostrar que dy
a2 x2
2
ax ax
6x 5 4 3x
xdx y
• La diferencial como aproximación del incremento.
7
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
7
En la figura del artículo anterior de la interpretación gráfica de dy , es claro que y( QP' en la figura) y dy( QT ) son aproximadamente iguales cuando dx( PQ) es pequeño. Cuando solamente se desea un valor aproximado del incremento de una función, es más difícil, la mayor parte de las veces, calcular el valor de la diferencial correspondiente y emplear este valor. Ejemplo 1. Hallar un valor aproximado del volumen de una cáscara de 200mm de diámetro exterior y 1mm de espesor. Solución.
El volumen V de una esfera de diámetro x es: 1 (1) V x 3 . 6 Evidentemente, el volumen de exacto de la cáscara es la diferencia V entre los volúmenes de dos esferas macizas de diámetros 200mm y 198mm, respectivamente. Pero como se pide solamente un valor aproximado de V , hallaremos dV . De (1) y (B) tenemos:
1 dv 1 2 dV x 2 dx , puesto que x 2 dx 2 Sustituyendo x = 200, dx = -2, obtenemos dV = 125,600mm3, aproximadamente, no teniendo en cuenta el signo cuyo significado es, tan sólo, el de exponer que V disminuye al aumentar x. El valor exacto es V 124,400mm3 . Adviértase que la aproximación es aceptable porque dx es relativamente pequeño, es decir, es pequeño en comparación con x (=200); si no, el método sería inaceptable. Ejemplo 2. Calcular un valor aproximado de tg 46°, empleando diferenciales, dados tg 45° = 1, sec 45° = 2 , 1° = 0.01745 radianes. Solución. Sea y = tg 46°, entonces según (B) (1) dy sec 2 xdx . Al pasar x a x + dx, y pasa, aproximadamente, a y + dy. Sustituyamos en (1), x = ¼ (45°) y dy = 0.0175. Se obtiene dy = 0.0350, y como que y = tg45° = 1, resulta y + dy = 1.0350 = tg46°, aproximadamente. (Tablas de cuatro decimales dan tg46° = 1.0355.)
• Errores pequeños. Una segunda aplicación de las diferenciales es la de determinar la influencia que tienen pequeños errores en los datos en el cálculo de magnitudes.
8
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
8
Ejemplo 1. Se mide el diámetro de un círculo, y se halla que es 5.2 cm con un error máximo de 0.05 cm. Halla un valor aproximado del máximo error que puede cometerse al calcular el área del círculo por la fórmula: 1 (1) (x = diámetro) A x 2 . 4 Solución. Evidentemente, el error máximo exacto con que se obtiene A será la alteración (A) de su valor, hallado según la fórmula anterior, cuando x cambia de 5.2 cm a 5.25 cm. Un valor aproximado del error en el área es el valor correspondiente de dA . Por tanto, 1 1 dA xdx X 5.2 X 0.05 0.41cm 2 . 2 2 Errores relativos y errores expresados en tanto por ciento. Si du es el error de u , la razón es: du (2) error relativo; u du (3) 100 error expresado en tanto por ciento. u El error relativo puede hallarse directamente por derivación logarítmica. Ejemplo 2. Hallar el error relativo y el error expresado en tanto por ciento en el ejemplo anterior. Solución. Tomando en (1) logaritmos naturales 1 ln A ln 2 ln x 4 1 dA 2 dA 2dx Derivando: , y A dx x A x Sustituyendo,
x 5.2 ,
dx 0.05 ,
hallamos:
Error relativo de A 0.0192 ; error expresado en tanto por ciento 1
92 %. 100
PROBLEMAS. 1. Si A es el área de un cuadrado de lado x , hallar dA . Construir una figura que muestre el cuadrado, dA y A . Sol. dA 2 xdx
9
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
9
2. Hallar una fórmula aproximada del área de una corona circular de radio r y anchura dr . ¿Cuál es la fórmula exacta?. Sol. dA 2rdr; A (2r r )r 3. ¿Cuál es un valor aproximado del error que puede cometerse al calcular el volumen y el área de un cubo de arista 6 cm, si se comete un error de 0.02 cm al medir la arista?. Sol. Volumen, 2.16cm 3 ; área, 1.44cm 2 4. Las fórmulas para el área y el volumen de una esfera son: y S 4r 2 V 4 / 3r 3 Si al medir el radio se obtiene 3 m., a) ¿Cuáles son los errores máximos aproximados de S y V si las medidas son seguras hasta 0.01 m?, b) ¿Cuál es en cada caso el error máximo expresado en tanto por ciento?. Sol. a) S.0.24m 2 ; V .0.36m 3 ; b) S.2 / 3% ; V .1% 5. Demostrar por medio de diferenciales que, aproximadamente: 1 1 dx 2 x dx x x 6. Hallar una fórmula aproximada para el volumen de una cáscara cilíndrica delgada de extremidades abiertas si el radio es r, la altura es l y el espesor e. Sol. 2rle . 7. Se ha de construir una caja en forma de cubo, de 1dm 3 de capacidad. ¿Con qué exactitud debe construirse la arista interior para que el error en el volumen no sea mayor de 3 cm 3 de más o de menos? Sol. error 0.01cm . 8. Si y x 2 / 3 y el error posible en la medición de x es 0.9 cuando x=27, ¿Cuál es el error posible de valor de y? Empléese este resultado para obtener valores aproximados de (27.9)2/3 y (26.1) 2/3 . Sol. 0.2; 9.2; 8.8. Usando diferenciales, hallar un valor aproximado de cada una de las siguientes expresiones: 9. 66 10. 98 11. 3 120 12. 3 1010 1 13. 1 / 96 14. 15. 5 35 16. 4 15 51 17. Si ln 10 2.303 , obtener un valor aproximado de ln 10.2 por medio de diferenciales. Sol. 2.323 18. Si e 2 7.39 , obtener un valor aproximado de e 2.1 por medio de diferenciales. Sol 8.13
10
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
10
19. Dados sen60 0.86603 , cos 60 0.5 y 1 0.01745 radianes, calcular, empleando diferenciales, los valores de cada una de las siguientes funciones, con cuatro decimales: a) sen62 ; b) cos 61 ; c) sen59 , d) cos 58 Sol. a) 0.8835 ; b) 0.4849 ; c) 0.8573 ; d) 0.5302
1.2 La integral indefinida. • Antiderivadas. En el cálculo diferencial hemos aprendido a calcular la derivada f ' ( x) de una función dada f (x) , operación que se indica por: d f ( x) f ' ( x) , dx o bien, si empleamos diferenciales, por: df ( x) f ' ( x)dx . Los problemas del cálculo integral dependen de la operación inversa (Antiderivadas), a saber: Hallar una función f (x) cuya derivada: (1) f ' ( x ) ( x)
es conocida.
O bien, puesto que en el Cálculo integral es usual emplear diferenciales, podemos escribir: (2) df ( x) f ' ( x)dx ( x)dx y enunciar el problema del Cálculo integral como sigue: Dada la diferencial de una función , hallar la función. La función f (x) que así se obtiene se llama una integral de la expresión diferencial dada; el procedimiento de hallarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el signo integral delante de la expresión diferencial dada; así, (3)
f ' ( x)dx f ( x) ,
que se lee la integral de f ' ( x)dx es igual a f (x) . En general, el signo integral o integral de. Por ejemplo, a) Si f ( x) x 3 , entonces f ' ( x)dx 3x 2 dx , y
3x
2
se lee
dx x 3 .
b) Si f ( x) senx , entonces f ' ( x)dx cos xdx , y
cos xdx senx
11
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
11
c) Si f ( x) arctgx , entonces f ' ( x)dx dx
1 x
2
dx ,y 1 x2
arctgx
Nota: La diferenciación y la Integración son operaciones inversas. • Constante de integración. Integral indefinida. Del artículo anterior se sigue que: por ser
d ( x 3 ) 3x 2 dx , tenemos 3x 2 dx x 3 ;
por ser
d ( x 3 2) 3x 2 dx , tenemos 3x 2 dx x 3 2 ;
por ser
d ( x 3 7) 3x 2 dx , tenemos 3x 2 dx x 3 7 ;
En general, como:
d ( x 3 C ) 3x 2 dx ,
siendo C una constante cualquiera, tenemos:
3x
2
dx x 3 C
La constante arbitraria C se llama constante de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Puesto que podemos dar a C cuantos valores queramos, se sigue que si una expresión diferencial dada tiene una integral, tiene también una infinidad de integrales que difieren sólo en constantes. Por tanto, f ' ( x)dx f ( x) C ; y puesto que C es desconocida e indefinida, la expresión integral indefinida de f ' ( x)dx .
f ( x) C
se llama la
El valor de C puede determinarse en el caso en que se conozca el valor de la integral para algún valor de la variable, y de eso veremos muchos ejemplos en el siguiente tema.
• Determinación de la constante de integración por medio de condiciones iniciales. Como se ha indicado anteriormente, la constante de integración puede hallarse, en un caso dado, cuando conocemos el valor de la integral para algún valor particular de la variable. En realidad, para poder determinarla es necesario tener algunos datos además de la expresión diferencial que se ha de integrar.
12
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
12
Por ejemplo: Hallar una función cuya primera derivada sea 3x 2 2 x 5 , y tenga el valor 12 cuando x 1. Solución. (3x 2 2 x 5)dx es la expresión diferencial por integrar. Ahora bien,
(3x
2
2 x 5)dx x 3 x 2 5x C ,
siendo C la constante de integración. Por las condiciones de nuestro problema, este resultado debe ser igual a 12 cuando x 1; es decir, que 12 1 1 5 C , o sea, que C=7 .
Por tanto, x 3 x 2 5x 7 es la función buscada. • Significado geométrico de la constante de integración. Ilustraremos con ejemplos el significado geométrico de la constante de integración. Ejemplo 1. Determinar la ecuación de la curva cuya tangente en cada punto tenga de pendiente 2x. Solución.
Puesto que la pendiente de la tangente a una curva en un punto dy cualquiera es , tenemos, por hipótesis, dx dy 2x , dx o sea,
dy 2 xdx
integrando
y 2 xdx , o sea,
(1)
y x2 C
siendo C la constante de integración. Ahora bien, si damos a C varios valores, digamos 6, 0, -3, entonces (1) de las ecuaciones:
y x2 6 ,
13
y x2 ,
y x2 3
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
13
cuyos lugares geométricos son parábolas (véase la siguiente figura), con sus ejes en el eje de las y y que cortan a este eje a las distancias 6, 0, -3, respectivamente, del origen. Todas las parábolas (1) tienen el mismo dy valor de ; es decir, tienen la misma dirección dx (o pendiente) para el mismo valor de x. Se advertirá también que la diferencia de sus ordenadas permanece la misma para todos los valores de x. Por tanto, todas las parábolas pueden obtenerse trasladando una cualquiera de ellas a lo largo del eje de las y, puesto que en este caso el valor de C no afecta la pendiente de la curva. Si en este ejemplo imponemos la condición adicional de que la curva pase por el punto (1, 4), entonces las coordenadas de ese punto deben satisfacer (1), lo que da 4 = 1 + C, o sea, C = 3. Luego la curva particular que se pide en la parábola y x 2 3 .
Ejemplo 2. Hallar la ecuación de una curva tal que en un punto cualquiera de ella la pendiente de la tangente sea igual a la razón de la abscisa a la ordenada, cambiando de signo. Solución. La condición del problema se expresa por la ecuación,
dy x dx y o sea, separando las variables. ydy xdx
integrando,
y2 x2 C 2 2
o sea, x 2 y 2 2C Esta ecuación representa una familia de circunferencias concéntricas con el centro en el origen.
14
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
14
Si se impone la condición de que la curva debe pasar por el punto (3, 4), entonces 9 + 16 = 2C. Luego la curva particular que se pide es la circunferencia x 2 y 2 25 . • Significado físico de la constante de integración. Los siguientes ejemplos ilustran lo que se entiende por significado físico de la constante de integración. Ejemplo 1. Hallar las leyes que rigen el movimiento de un punto que se mueve en línea recta con aceleración constante. dv Solución. Puesto que la aceleración es constante, digamos f, tenemos: dt dv o sea, Integrando. f , dv fdt . dt (1) v ft C .
Para determinar C, supongamos que la velocidad inicial sea v 0 ; es decir, sea v v0 cuando t 0 . Esos valores sustituidos en (1), dan: v0 0 C . O sea, C v0 . Luego (1) se convierte en: (2) v ft v0 Condiciones iniciales T V S o Puesto que v
(3)
v0
s0
ds obtenemos de (2), dt
ds o sea, ft v0 , dt s 1 2 ft 2 v0 t C .
ds ftdt v0 dt .
Integrando,
Para determinar C, supongamos que la distancia inicial sea s 0 , es decir, sea s s0 cuando t 0 . Esos valores, sustituidos en (3), dan s0 0 0 C , o sea,
15
C s0 .
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
15
Luego (3) se convierte en: (4)
s 1 2 ft 2 v0 t s0
Sustituyendo en (2) y (4) los valores f = g, v0 = 0, s 0 = 0, s = h, obtenemos las leyes del movimiento de un cuerpo que cae en el vacío partiendo del reposo, a saber, y h 1 2 gt 2 . v gt Eliminando t entre estas ecuaciones, tenemos v 2 gh . Ejemplo 2. Estudiar el movimiento de un proyectil que tiene una velocidad inicial v 0 , siendo el ángulo de tiro y despreciando la resistencia del aire. Solución. Tomemos el plano X0Y como el plano del movimiento, 0X como horizontal y 0Y como vertical; y supongamos que el proyectil parte del origen. Supongamos que sólo la fuerza de la gravedad influye en el proyectil. En este caso la aceleración será cero en el sentido horizontal y –g en el sentido vertical. Luego, dv y dv x y Integrando, g . 0 dt dt v y gt C2 y v x C1
y
Pero v0 cos = componente horizontal de la velocidad inicial. v0 sen = componente vertical de la velocidad inicial. Luego, (5)
C1 v0 cos v x v0 cos
Pero según, v x
16
y y
dx dt
y
vy
C2 v0 sen , lo que da, v y gt v0 sen . dy , dt
por tanto (5) da,
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
16
dx v0 cos dt dx v0 cos dt
o sea,
Integrando, obtenemos: (6) x v0 cos t C3
(7) (8)
y y
dy gt v0 sen , dt dy gtdt v0 sendt
y 1 / 2 gt 2 v0 sen t C4
y
Para determinar C3 y C4, observamos que cuando t = 0, x = 0 y y = 0. Sustituyendo esos valores en (6), tenemos C3 = 0 y C4 = 0. Luego, y x v0 cos t , y 1 / 2 gt 2 v0 sen t Eliminando t entre (7) y (8), obtenemos,
y xtg
(9)
gx 2 2v0 cos 2 2
Esta ecuación, que representa una parábola, es la ecuación de la trayectoria del proyectil.
• La integral indefinida y las reglas para la integración inmediata de diferenciales algebraicas, exponenciales y trigonométricas. El Cálculo diferencial nos ha proporcionado una regla general para obtener la derivada y la diferencial. El Cálculo integral no da una regla general correspondiente, que pueda aplicarse fácilmente en la práctica para la operación inversa de la integración. Cada caso necesita un trato especial, y se llega a la integral de una expresión diferencial dada por medio de nuestro conocimiento de los resultados de la diferenciación. Es decir, resolvemos el problema contestando la pregunta, ¿qué función, diferenciada, producirá la expresión diferencial dada? La integración es, pues, un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se forman tablas integrales conocidas, que se llaman tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas. Si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral. Si no está registrada, miraremos por varios métodos, de reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los métodos se sirven de artificios que sólo práctica puede sugerir. De todo resultado de diferenciación puede deducirse siempre una fórmula para integración. Las dos reglas siguientes son útiles para la reducción de expresiones diferenciales a integrales inmediatas.
17
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
17
a)
La integral de una suma algebraica de expresiones diferenciales es igual a la misma suma algebraica de las integrales de esas expresiones.
Demostración.
Diferenciando la expresión,
du dv w ,
siendo u, v, w funciones de una sola variable, obtenemos, du dv dw .
(du dv dw) du dv dw .
(1) b)
Un factor constante puede escribirse o delante del signo integral o después de él.
Demostración.
Diferenciando la expresión,
a dv
adv .
obtenemos,
adv a dv
(2)
A causa de la importancia de estas dos reglas, las escribiremos como fórmulas al principio de la lista siguiente de “integrales inmediatas” o “formas elementales ordinarias”. INTEGRALES INMEDIATAS
(du dv dw) du dv dw adv a dv dx x C
(1) (2) (3)
v n 1 v dv n 1 C dv v ln v C n
(4) (5)
(n 1)
ln v ln c ln cv.
(7)
a C ln a v v e dv e C
(8)
senvdv cos v C
v a dv
(6)
18
[Haciendo C = ln c.]
v
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
18
cos vdv senv C sec vdv tgv C csc vdv ctgv C sec vtgvdv sec v C csc vctgvdv csc v C tgvdv ln cos v C ln sec v C ctgvdv ln senv C sec vdv ln(sec v tgv) C csc vdv ln(csc v ctgv ) C dv 1 v v a aarctg a C
(9)
2
(10)
2
(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)
2
2
dv 1 va ln C 2 2a v a a dv 1 av ln C (19ª) 2 a v 2 2a a v dv v arcsen C (20) a a2 v2 (19)
v
(21)
(22)
(23)
2
dv v2 a2
ln(v v 2 a 2 ) C
v 2 a2 v 2 a v dv a v arcsen C 2 2 a 2 v 2 a v 2 a 2 dv v a2 ln(v v 2 a 2 ) C 2 2 2
2
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.
Comprobar las siguientes ilustraciones:
x 61 x7 1. x dx C C 6 1 7 x3/ 2 2 2. x dx x1 / 2 dx C x3/ 2 C 3/ 2 3 3 2 3 2 3. 2 x 5x 3x 4 dx 2 x dx 5x dx 3xdx 4dx 6
19
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
19
x 4 5 x 3 3x 2 2 x dx 5 x dx 3 xdx 4 dx 4x C 2 3 2 3
2
Nota: Aunque cada integración requiere una constante arbitraria, escribimos sólo una constante que representa la suma algebraica de ellas.
2a
b 3c3 x 2 dx 2ax 1 / 2 dx bx 2 dx 3cx 2 / 3 dx 2 x x x1 / 2 x 1 x5 / 3 1 / 2 2 2/3 b 3c C 2a x dx b x dx 3c x dx 2a 1/ 2 1 5/3 b 9 4a x cx 5 / 3 C x 5
4.
5.
a
2/3
3 9 9 x3 x 2 / 3 dx a 2 x a 2 / 3 x 7 / 3 a 4 / 3 x 5 / 3 C 7 5 3
SUGESTION. En primer lugar, desarrollar el cubo del binomio.
6.
a
2
b x 2
2
xdx a 1/ 2
2
b2 x2 3b 2
3/ 2
C
SOLUCION. Esta integral puede reducirse a la forma (4). En efecto, se puede introducir el factor después del signo integral, delante de compensan mutuamente.
a 7.
b2 x2
2
2
b
b2 x2 3b 2
1/ 2
xdx
xdx , y su recíproco delante del signo integral. Estas operaciones se
v a 2 b 2 x 2 , n 1 / 2 , dv 2b 2 xdx .)
(Compárese con (4),
a
2b 2
1 2b 2
a
2
b2 x2
2b 1/ 2
2
1 v3/ 2 xdx 2 v1 / 2 dv 2 C , según(4) 3b 2b
3/ 2
C
3axdx 3a 2 ln b 2 c 2 x 2 C 2 2 c x 2c 3axdx xdx Solución. b 2 c 2 x 2 3a b 2 c 2 x 2
2
Esta integral se parece a (5). Si introducimos el factor delante de él, no se alterará el valor de la expresión.
según (2) 2c 2
después del signo integral y su recíproco
v b 2 c 2 x 2 , dv 2c 2 xdx .) xdx 3a 2c 2 xdx 3a dv 3a Luego, 3a 2 2 2 ln v C , según(5) 2 2 2 2 2 2 v 2c b c x 2c b c x 2c 3a 2 ln b 2 c 2 x 2 C 2c (Compárese con (5),
8.
x 3 dx x2 x3 x ln x 1 C x 1 2 3
20
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
20
Solución. En primer lugar, dividiendo el numerador por el denominador, resulta:
x3 1 x2 x 1 . x 1 x 1 Sustituyendo en la integral, empleando (1) e integrando, obtenemos la solución.
9.
2x 1
2 x 3dx x ln 2 x 3
2
Solución. Dividiendo
C 2x 1 4 1 . Sustituir y emplear (1), etc. 2x 3 2x 3
PROBLEMAS
Verificar las siguientes integraciones:
x5 C 5 3x 5 / 3 3. x 2 / 3 dx C 5 1.
5.
4 x dx
dx 3
3x 2 / 3 C 2
x 2dt 2 7. 2 C t t dx 9. 2x C 2x
x
dx
2.
x
4.
6.
3ay
8.
10.
2
dx x
1 C x
2 x C 2
dy ay 3 C
2 x ax C 3 3t 4 / 3 C 3t dt 4
ax dx 3
2 x 5 / 2 6 x 5 / 3 10 x 3 / 2 3x C 5 5 3 x2 2 x3 2 4x 2 2 x 2 12. 13. 2 dx C dx 2 x 4 x C 6 x x 2 x 11.
3/ 2
2 x 2 / 3 5 x 3 dx
6x 5 / 2 4x 3 / 2 C 5 3 3/ 2 2a bx a bx dx C 3b x 3x 2dx
x 3 6x 5 dx x 2 dy 17. a by
14.
16.
18.
a bt 3 C a bt dt
19.
a4 t 4 C 2
21.
20.
2
3b
21
t 3 dt a4 t 4
15.
x2 x 2
t 2 dt
a bt
3 2
2
x3 6 x 5 ln x C 3 a by C b
2 x 2
dx
6
3
C
1 C 3b a bt 3
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
21
22.
sen
2
3 senx sen 3 x senx cos xdx C C 2
x cos xdx
3 3 v senx , dv cos xdx , n 2 . cos axdx 2 b senax 24. C a b senax 2 x 3dx ln x 2 3x C 26. 2 x 3x ae b 28. d 2 ln ae b C ae b
SUGERENCIA. Emplear (4), haciendo
x x x 23. tg sec 2 dx tg 2 C 2 2 2
x 2 dx ln 2 x 3 2 x3 3 C e 2 s ds 27. 2 s 1 / 2 ln e 2 s 1 C e 1 25.
• Integración por sustitución trigonométrica, de expresiones que contienen a2 u2 ; u2 a2 Ejemplo 1. Demostrar la siguiente integración:
4 9 x 2 dx
x 2 3x 4 9 x 2 arcsen C 2 3 2
Demostración. Compárese con (22) y sean
4 9 x 2 dx
v 3x , a 2 4 ; entonces dv 3dx . Por tanto,
1 1 4 9 x 2 3dx a 2 v 2 dv . 3 3
Empleando (22) y haciendo v 3x , a 2 4 , tenemos la solución.
Ejemplo 2. Demostrar la siguiente integración:
3x 2 4 x 7dx Demostración.
Si
1 3x 2 3x 2 4 x 7 25 3 ln 3x 2 9 x 2 12 x 21 C 6 18
3x 2 4 x 7 3 x 2 / 3 25 / 9 3 v 2 a 2 2
v x 2 / 3 , a 5 3 . Entonces, dv dx .
3x 2 4 x 7dx 3 v 2 a 2 dv . Empleando (23) y haciendo v x
22
2 5 , a , obtenemos el resultado. 3 3
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
22
PROBLEMAS
Verificar las siguientes integraciones:
x 1 1 9 x 2 ln(3x 1 9 x 2 ) C 2 6
1 9 x 2 dx
2.
x2 x 2 1dx x 4 ln x x 2 4 C 4 4
3.
25 9 x 2 dx
4.
3 2 x x 2 dx
x 1 x 1 3 2 x x 2 2arcsen C 2 2
5.
5 2 x x 2 dx
x 1 5 2 x x 2 2 ln x 1 5 2 x x 2 C 2
6.
10 4 x 4 x 2 dx
1.
23
x 25 3x 25 9 x 2 arcsen C 2 6 5
2x 1 9 10 4 x 4 x 2 ln 2 x 1 10 4 x 4 x 2 C 4 4
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
23
UNIDAD 2: Integral definida y los métodos de integración. 2.1 Integral definida. • La notación de sumatoria. Para un cálculo más conveniente de las estimaciones de áreas, necesitamos una notación más concisa para la suma de varios números . El símbolo
n
i 1
ai se
utiliza para abreviar la suma de los n números a1 , a2 , a3 ,........, an : n
a i 1
El símbolo
i
a1 a 2 a3 a n .
(la letra griega sigma mayúscula) indica la suma de los
términos a i cuando el índice i de la suma asume valores enteros sucesivos de 1 a n. Por ejemplo, la suma de los cuadrados de los primeros 10 enteros positivos es: 10
i
2
12 2 2 32 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
i 1
= 385. EJEMPLO 1. 7
( K 1) 2 3 4 5 6 7 8 35 K 1 6
2 n 1 5
j 1
n
21 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 4 8 16 32 64 126
1 j 1 j
2
1
1 1 1 1 3019 0.8386 4 9 16 25 3600
Es fácil verificar las sencillas reglas para las sumas, n
ca i 1
24
n
i
c ai
y
(1)
i 1
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
24
ai bi ai bi n
n
n
i 1
i 1
i 1
desarrollando cada suma.
(2)
Observe que si ai a (una constante) para i 1,2,3,.........., n , entonces la ecuación (2) implica, n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
a bi a bi a a ........ a bi , n términos y por tanto, n
n
i 1
i 1
a bi na bi
(3)
En particular, n
1 n
(4)
i 1
La suma de las k-ésimas potencias de los primeros n enteros positivos, n
i
k
1k 2 k 3k .......... n k ,
i 1
se utiliza de manera común en el cálculo de áreas. Los valores de esta suma para k 1,2,3 están dados por las fórmulas siguientes: n n(n 1) 1 2 1 (5) i n n. 2 2 2 i 1 n n(n 1)(2n 1) 1 3 1 2 1 (6) i2 n n n 6 3 2 6 i 1 n
i
3
i 1
n 2 (n 1) 2 1 4 1 3 1 2 n n n 4 4 2 4
(7)
EJEMPLO 2.
2i 10
10
10
i 1
i 1
3i 2 i 2 3 i 2
2
i 1
10 11 21 10 11 3 605 6 2
EJERCICIOS. Use las ecuaciones anteriores del (1 al 7) para determinar las sumas de los problemas siguientes: 8
10
1.
4i 3
2.
3i
4.
10
3.
i 1
25
2
1
5 2 j j 1
i 1
2k 3k 6
2
k 1
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
25
8
5.
6.
i
8.
r 1
6
7.
i 1 100
9.
i
3
i2
i 5
r 1r 2
3
3i 2
i 1
2
10
2k 1 k 1 100
2
10.
i 1
i
3
i 1
• Área limitada por la gráfica de una función continua y f x en un intervalo a, b y f x 0 . La siguiente figura 2.1 muestra la región R que está bajo la gráfica de la función creciente f, con valores positivos, y por arriba del intervalo [a, b]. Para aproximar el área A de R, elegimos un entero fijo n y dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos y
[ x0, x1 ], [ x1 , x2 ], [ x 2 , x3 ],..........[ xn1 , xn ], todos con la misma longitud,
x
ba n
(8)
(Figura 2.1) En cada uno de estos subintervalos, levantamos un rectángulo inscrito y un rectángulo circunscrito.
26
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
26
Como se indica en la siguiente figura 2.2, el rectángulo inscrito sobre el i ésimo subintervalo xi 1 , xi tiene altura f xi 1 , mientras que el i -ésimo rectángulo circunscrito tiene altura f x1 . Como la base de cada rectángulo tiene longitud x , las áreas de estos rectángulos son,
f xi 1 x
f xi x
y
(9)
respectivamente. Al sumar las áreas de los rectángulos inscritos para i 1,2,3,...., n , obtenemos la subestimación, n
A n f xi 1 x
(10)
i 1
del área real A. De manera análoga, la suma de las áreas de los rectángulos circunscritos es la sobreestimación, n
A n f xi x
(11)
i 1
la desigualdad An A A n implica que n
n
i 1
i 1
f xi1 x A f x1 x ( A n subestimación, y
(12)
A n sobrestimación)
Las desigualdades en (12) se invierten si f (x) fuera decreciente (en ves de creciente) en [a, b]. (¿Por qué?) (Véase la siguiente figura).
27
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
27
(Figura 2.2)
28
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
28
Una ilustración como la de la figura anterior sugiere que si el número n de subintervalos es muy grande, de modo que x sea muy pequeño, entonces la diferencia entre las áreas A n y A n de los polígonos inscritos y circunscritos será muy pequeña. Por tanto, ambos valores serán cercanos al área real A de la región R. En realidad, si f es creciente o decreciente en todo el intervalo [a, b], entonces los pequeños rectángulos de la figura 2.1 (que representan la diferencia entre A n y
A n ) se puede ordenar en una “pila”, como se indica a la derecha de la figura. Esto implica que,
A n A n f (b) f (a) x
(13)
Pero x b a n 0 cuando n . Así, la diferencia entre las sumas del lado izquierdo y el derecho de (12) tiende a cero cuando n , mientras que A no cambia cuando n . Esto implica que el área de la región R está dada por, n
n
A lim f xi 1 x lim f xi x n
n
i 1
(14)
i 1
El significado de éstos límites es simple: podemos determinar A con el grado de precisión deseado si calculamos cualquiera de las sumas en la ecuación (14) con un número n suficientemente grande de intervalos. Al aplicar la ecuación (14) recordemos que
x
ba n
(15)
Observe también que: (16) xi a ix para i 0,1,2,3,.........., n , pues xi está a i “pasos” de longitud x a la derecha de x0 a .
EJEMPLO 1.
Calcular el área que aproximamos en la figura 2.2, el área de la región bajo la gráfica de f ( x) x 2 en el intervalo [0, 3] en n subintervalos, todos de la misma longitud. Solución.
Entonces las ecuaciones (15) y (16) implican, 3 3 3i y x xi 0 i n n n
para i 0,1,2,3,.........., n .Por tanto,
29
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
29
n
n
f x x x i 1
i
i 1
2
i
Entonces, la ecuación (6) para n
2
3i 3 27 n x 3 i 2 n i 1 i 1 n n n
i
2
implica
27 1 3 1 2 1 1 1 1 n n n 27 2 . 3 2 6 3 3 2n 6n
f ( x )x n i 1
i
Cuando calculamos el límite cuando obtenemos, 1 1 1 A lim 27 2 9 n 3 2n 6n
n , con la ecuación (14)
pues los términos 1/(2n) y 1/(6n2) tienden a cero cuando n .
EJEMPLO 2.
Determine el área bajo la gráfica de f x 100 3x 2 de x 1 a x 5 .
(Figura 2.3) Solución. Como se muestra en la figura 2.3, la suma f xi x da el área del polígono rectangular inscrito. Con a = 1 y b = 5, los ecuaciones (15) y (16) implican, 4 4 4i y x xi 1 i 1 . n n n
30
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
30
Por tanto, n 4i 2 4 1 f ( x ) x 100 3 i n n i 1 i 1 n
24i 48i 2 4 388 n 96 n 192 n 97 2 1 2 i 3 i2 n n i 1 n n n i 1 n i 1 i 1 388 96 1 1 192 1 1 1 n 2 n 2 n 3 n3 n 2 n n 2 n 3 2 6 n 2 144 32 276 2. n n n
[Hemos aplicado las ecuaciones (4) y (6)]. En consecuencia, el segundo límite de la ecuación (14) es, 144 32 A lim 276 2 276 n n n que es el área buscada.
EJERCICIOS
En los siguientes problemas, calcule primero (en términos de n) la suma: n
f ( x )x i 1
i
para aproximar el área A de la región bajo y f (x) sobre el intervalo [a, b]. Determine después A exactamente (como en los ejemplos 1 y 2) mediante el límite cuando n . 1. 2. 3. 4. 5.
f ( x) x en [0, 1]. f ( x) x 2 en [0, 2].
f ( x) x 3 en [0, 3]. f ( x) x 2 en [0, 2]. f ( x) 5 3x en [0, 1]. 6. f ( x) 9 x 2 en [0, 3].
• Concepto de integral definida mediante sumatorias de Riemann. En la sección anterior utilizamos rectángulos inscritos y circunscritos para establecer las sumas,
31
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
31
n
i 1
f xi 1 x
y
n
f ( x )x i 1
i
(1)
Las sumas de aproximación de la ecuación (1) son ambas de la forma, n
f (x i 1
* i
)x
(2)
donde xi* es algún punto seleccionado en el i -ésimo subintervalo xi 1 , xi (ver siguiente figura 2.4).
(Figura 2.4) Las sumas de la forma (2) aparecen como aproximaciones en una amplia variedad de aplicaciones y forman la base para la definición de la integral. La integral de f de a a b mediante algún límite, cuando x 0 de sumas como las que aparecen en (2). Nuestro objetivo es partir de una función bastante general f y definir un número real i (la integral de f ) que –en el caso especial f es continua y con valor positivo sobre [a, b]- será igual al área bajo la gráfica de y f (x) . Comenzamos con una función f definida en [a, b], que no necesariamente es continua o positiva. Una partición P de [a, b] es una colección de subintervalos,
x0 , x1 , x1 , x2 , x2 , x3 ,.............., xn1 , xn de [a, b] de modo que
a x0 x1 x2 x3 xn1 xn b La norma de la participación P es el máximo de las longitudes,
xi xi xi 1
32
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
32
de los subintervalos en P y se denota
P . Para obtener una suma como la de (2),
necesitamos un punto xi* en el i -ésimo subintervalo para cada i , 1 i n . Una colección de puntos,
S x1* , x2* , x3* ,.........., xn*
donde xi* en xi 1 , xi (para cada i ) es una selección para la partición P.
Definición Suma de Riemann. Sea f una función definida en el intervalo [a, b]. Si P es una partición de [a, b] y S una selección para P, entonces la suma de Riemann para f determinada por P y S es: n
R f (xi* )xi i 1
(3)
También decimos que esta suma de Riemann está asociada con la partición P.
El punto xi* en la ecuación (3) es simplemente un punto elegido del i -ésimo subintervalo xi 1 , xi . Es decir, puede ser cualquier punto de este subintervalo.
33
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
33
(Figura 2.5) Pero cuando calculamos las sumas de Riemann, por lo general elegimos los puntos de la selección S de algunas formas sistemáticas, como se ilustra en la figura 2.5. Ahí mostramos diferentes sumas de Riemann para la función f ( x) 2 x 3 6 x 2 5 en el intervalo [0, 3]. La figura 2.5(a) muestra los rectángulos asociados con la suma según los extremos izquierdos, n
Rizq f ( xi 1 )x
(4)
i 1
en donde cada xi* se elige como xi.1 , el extremo izquierdo del i -ésimo subintervalo xi 1 , xi de longitud x (b a) / n . La figura 2.5(b) muestra los rectángulos asociados con la suma según los extremos derechos,
34
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
34
n
Rder f ( xi )x
(5)
i 1
en donde cada xi* se elige como xi , el extremo derecho de xi 1 , xi . En cada figura, algunos de los rectángulos están inscritos y otros están circunscritos. La figura 2.5(c) muestra los rectángulos asociados con la suma según los puntos medios, n
Rmed f (mi )x ,
(6)
i 1
xi 1 xi , 2 es el punto medio del i -ésimo subintervalo xi 1 , xi . Las líneas punteadas de la figura 2.5(c) representan la ordenada de f en tales puntos medios. xi* mi
donde
EJEMPLO 1.
En la fig 2.2. calcular las sumas de los extremos izquierdos y derechos para f ( x) x 2 en [0, 3] con n = 10 subintervalos, mediante la notación para la suma, además de calcular la suma análoga utilizando los puntos medios. La figura 2.6 muestra un rectángulo de aproximación típico para cada una de estas sumas.
(Figura 2.6) 3 Con a = 0, b = 3 y x (b a) / n , vemos que el i -ésimo punto de 10 subdivisión es , 3 xi a i x i . 10
35
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
35
El i -ésimo subintervalo, así como su punto medio, 1 1 3i 3 3 3 2i 1 , mi xi 1 xi i 2 2 10 10 20 aparecen en la figura 2.7.
(Figura 2.7) Con xi* xi 1
3 i 1 , obtenemos la suma según los extremos izquierdos en la 10
ecuación (4), 2
3 3 Rizq f xi 1 x (i 1) 10 i 1 i 1 10 27 7695 0 2 12 2 2 ....... 9 2 7.695 1000 1000 ecuación (6) del tema de la notación de sumatoria]. n
10
Con xi
[Usando la
3 i , obtenemos la suma según los extremos derechos en la 10
ecuación (5), Rder
2
27 3 3 f xi x i 12 2 2 32 .... 10 2 10 10 1000 i 1 i 1 10395 10.395 [Usando la ecuación (6) del tema de la 1000 n
10
notación de sumatoria]. Por último, con xi* mi
3 2i 1 , obtenemos la suma según los puntos 20
medios en la ecuación (6), 2
3 3 Rmed f mi x 2i 1 10 i 1 i 1 20 27 35910 12 32 5 2 ....... 17 2 19 2 8.9775 4000 4000 La suma según los puntos medios es mucho más cercana, al valor real 9, que cualquier suma según los extremos (para el área bajo la gráfica de y x 2 en [0, 3]). n
10
36
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
36
EJEMPLO 2.
La figura 2.8 ilustra las sumas de Riemann para f ( x) senx en 0, con base en n = 3 subintervalos: 0, / 3 , / 3,2 / 3 y 2 / 3, de longitud x / 3 con puntos medios / 6 , / 2 y 5 / 6 .
37
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
37
(figura 2.8) Las suma según los extremos izquierdos es,
2 n Rizq x f xi 1 sen0 sen sen 3 3 i 1 3
3 3 3 0 1.81 3 2 2 3
Es claro de la figura, que la suma según los extremos derechos tienen el mismo valor. La suma correspondiente según los puntos medios es, Rmed
5 sen sen sen 3 6 2 6
1 2 1 2.09 1 2 3 3 2
(El área exacta bajo un arco de la curva es 2). En el caso de que una función f que tenga valores positivos y negativos en [a, b], es necesario considerar los signos indicados en la figura 2.9 cuando interpretemos geométricamente la suma de Riemann de la ecuación (3). En cada subintervalo xi 1 , xi , tenemos un rectángulo con ancho xi y “altura” f ( xi ) . Si
f ( xi ) 0 , entonces este rectángulo está arriba del eje x; si f ( xi ) 0 , está bajo el eje x. La suma de Riemann R es entonces la suma de las áreas con signo de estos rectángulos; es decir, la suma de las área de aquellos rectángulos que están arriba del eje x menos la suma de las áreas de aquellos debajo del eje x.
38
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
38
(Figura 2.9) Si los anchos xi de estos rectángulos son todos muy pequeños (es decir, si la norma P es pequeña), entonces parece que la suma de Riemann R aproximará el área de a a b bajo y f (x) sobre el eje x, menos el área bajo el eje x. Esto sugiere que la integral de f de a a b deba definirse al obtener el límite de las sumas de Riemann cuando la norma P tiende a cero: n
I lim f xi xi P 0
i 1
(7)
La definición formal de la integral se obtiene al decir con precisión lo que significa que este límite exista. En resumen, significa que si P es suficientemente pequeña, entonces todas las sumas de Riemann asociadas con P están muy cerca del número I. Definición. La integral definida. La integral definida de la función f de a a b es el número
n
I lim f xi xi P 0
i 1
(8)
siempre que el límite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. La ecuación (8) significa que, para cada número 0 , existe un número 0 tal que n
I f ( xi )xi
i 1
para cada suma de Riemann asociada con una participación arbitraria P de [a, b] para la que P .
39
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
39
La notación usual para la integral de f de a a b, debida al filósofo y matemático alemán G. W. Leibniz, es n
I f x dx lim f xi xi b
P 0
a
i 1
(9)
Los números a y b son el límite inferior y el límite superior de la integral, respectivamente; son los extremos del intervalo de integración. La función f (x) que aparece entre el signo de integral y dx es el integrando. Como el índice de la suma, la variable independiente x es una “variable muda”; se puede reemplazar por cualquier otra variable sin afectar el significado de la ecuación (9). Así, si f es integrable en [a, b], podemos escribir
b
a
b
b
a
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du .
La definición dada, de la integral definida, se aplica solamente cuando a b , pero es conveniente incluir también los casos a = b y a > b. La integral se define en estos casos como:
a
b
a
f ( x)dx 0
(10)
y a
a
f ( x)dx f ( x)dx , b
(11)
siempre que exista la integral del lado derecho. Así, el intercambio de los límites de integración invierte el signo de la integral. La definición de la integral se puede reformular en términos de sucesiones de suma de Riemann, como sigue: La integral como límite de una sucesión. La función f es integrable en [a, b], con integral I si y sólo si
lim Rn I n
(12)
para cada sucesión entra Rn 1 de sumas de Riemann asociadas con una
sucesión de particiones Pn 1 de [a, b] tales que Pn 0 cuando n
40
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
40
Cualquier suma de Riemann asociada con una partición regular se puede escribir en la forma
f x x . n
i 1
(13)
i
donde la ausencia de un subíndice en x significa que la suma está asociada a una partición regular. En tal caso, las condiciones P 0, x 0 yn son equivalentes, de modo que la integral de una función continua se puede definir de manera un tanto sencilla:
b
a
n
n
f ( x)dx lim f ( xi )x lim f ( xi )x n
x 0
i 1
(14)
i 1
EJEMPLO 3.
Utilice sumas de Riemann para calcular
b
a
xdx
donde a < b. Solución. Consideremos f ( x) x y xi xi , donde ba y xi a i x x n La suma de Riemann de la ecuación (13) es entonces n
n
i 1
i 1
n
n
i 1
i 1
f ( xi )x (a i x)x (ax)1 (x) 2 i 2
ba ba n n n 1 n n 2 [Utilizando las ecuaciones en (4) y (5) del tema anterior]. 1 2 1 a b a b a . 2 2n Como 1 /( 2n) 0 cuando n , se sigue que b 1 2 a xdx a b a 2 b a 1 1 1 1 (15) b a a b a b 2 a 2 2 2 2 2 a
41
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
41
(Figura
2.10 y 2.11)
Las figuras 2.10 y 2.11 ilustran dos de los casos del ejemplo 3. En cada caso, la ecuación (15) coincide con la suma de las áreas con signo indicadas. El signo menos de la figura 2.10 representa el hecho de que el área debajo del eje x se mide con un número negativo.
EJERCICIOS.
En los problemas del 1 al 10, calcule la suma de Riemann n
f (x i 1
i
)x
para la función indicada y una partición regular del intervalo dado en n subintervalos. Utilice xi xi , el extremo derecho del i -ésimo subintervalo xi 1 , xi . 1. f ( x) x 2 en [0, 1]; n = 5. 3. f ( x)
1 en [1, 6]; n = 5. x
2. f ( x) x 3 en [0, 1]; n = 5. 4. f ( x) x en [0, 5]; n = 5.
5. f ( x) 2 x 1 en [1, 4]; n = 6.
6. f ( x) x 2 2 x en [1, 4]; n = 6.
7. f ( x) x 3 3x en [1, 4]; n = 5.
8. f ( x) 1 2 x en [2, 3]; n = 5.
9. f ( x) cos x en [0, ]; n = 6.
10. f ( x) senx en [0, 1]; n = 6.
42
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
42
2.2 Técnicas de integración. • Integración por partes. Si u y v son funciones de la misma variable independiente, tenemos, según la fórmula para la diferenciación de un producto.
d (uv) udv vdu , o sea, trasponiendo,
udv d (uv) vdu . Integrando, resulta la fórmula inversa:
udv uv vdu ,
(A)
que se llama fórmula de integración por partes. Tal vez no podamos integrar udv directamente; pero esta fórmula hace que su integración dependa de la de dv y vdu , que pueden ser formas fáciles de integrar. Este método de integración por partes es uno de los más útiles del cálculo integral. Para aplicar esta fórmula en un caso dado, debe descomponerse la diferencial dada en dos factores, a saber, u y dv . No pueden darse instrucciones generales para la elección de esos factores, pero son útiles las siguientes: a) dx es siempre una parte de dv ; b) debe ser posible integrar dv ; c) cuando la expresión para integrar es el producto de dos funciones, ordinariamente es mejor elegir la de apariencia más complicada, con tal que pueda integrarse, como parte dv . Los siguientes ejemplos enseñarán en detalle como se aplica la fórmula: EJEMPLO 1. Hallar
Solución. Sean entonces,
x cos xdx ux du dx
y y
dv cos xdx ; v cos xdx senx .
Sustituyendo en (A),
x cos xdx xsenx senxdx xsenx cos x C EJEMPLO 2. Hallar
Solución. Sean
43
x ln xdx . u ln x
y
dv xdx ;
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
43
du
Entonces,
x2 . 2 x2 x 2 dx x ln xdx ln x 2 2 x x2 x2 ln x C 2 4
dx x
Sustituyendo en (A),
EJEMPLO 3. Hallar
xe
ax
y
v xdx
dx
Solución. Sean
u e ax
y
dv xdx ;
entonces,
du e ax adx y
v xdx
x2 2
x2 x 2 ax xe dx e 2 2 e adx x 2 e ax a 2 ax x e dx 2 2 ax
sustituyendo en (A),
ax
2 ax
ax
Pero integrar x e dx es menos sencillo que integrar xe dx . Este hecho indica que no hemos elegido nuestros factores convenientemente. En lugar de eso, sean: ux y dv e ax dx ; e ax entonces y . v e ax dx du dx a e ax e ax ax sustituyendo en (A), xe dx x dx a a xe ax e ax e ax 1 2 C x C . a a a a En algunos casos es necesario aplicar la fórmula de integración por partes más de una vez, como en el ejemplo que sigue. EJEMPLO 4. Hallar
Solución. Sean
x e 2
ax
u x2
dx . y
dv e ax dx ;
e ax entonces, y v e dx du 2 xdx a ax ax e 2 ax 2 e sustituyendo en (A), x e dx x a a 2 xdx x 2 e ax 2 (1) xe ax dx . a a La integral del segundo miembro puede hallarse aplicando otra vez la fórmula (A). De esta manera obtenemos, ax
44
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
44
eax 1 x C . a a Sustituyendo este resultado en (1) se tiene, ax xe dx
2 ax x e dx
x 2 e ax 2e ax 1 e ax 2 2 x 2 2 x C C x a a a a a2 a
EJEMPLO 5. Demostrar que,
sec zdz 1/ 2 sec ztgz 1/ 2 lnsec z tgz C 3
Demostración. Hagamos u sec z entonces, du sec ztgzdz
y y
dv sec 2 zdz ; v tgz .
sec zdz sec ztgz sec ztg 3
sustituyendo en (A),
2
zdz .
En la nueva integral, efectuemos la sustitución tg 2 z sec 2 z 1 . Entonces obtenemos, 3 3 sec zdz sec ztgz sec zdz lnsec z tgz C . Trasponiendo al primer miembro la integral del segundo miembro y dividiendo por 2, tenemos el resultado buscado. EJEMPLO 6. Demostrar que, ax e sennxdx
e ax asennx n cos nx C a2 n2
u e ax
dv sennxdx ; cos nx entonces . du ae ax dx y v n Sustituyendo en la fórmula (A), el resultado es,
Demostración. Sean
y
e ax cos nx a ax e cos nxdx n n Integremos por partes la nueva integral. Sea y u e ax dv cos nxdx ; sennx entonces . du ae ax dx y v n Luego, según (A), e ax sennx a ax ax (3) e cos nxdx n n e sennxdx . Sustituyendo en (2), obtenemos: e ax a 2 ax ax (4) e sennxdx n 2 asennx n cos nx n 2 e sennxdx . Las dos integrales de (4) son idénticas. Trasponiendo la del segundo miembro, y despejando la integral se obtiene el resultado buscado. (2)
45
ax e sennxdx
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
45
Entre las aplicaciones más importantes del método de integración por partes se encuentra la integración de: a) diferenciales que contienen productos, b) diferenciales que contienen logaritmos, c) diferenciales que contienen funciones trigonométricas inversas. PROBLEMAS.
Demostrar las siguientes integraciones. 1). xsenxdx senx x cos x C 2).
ln xdx x(ln x 1) C
3).
xsen 2dx 4sen 2 2 x cos 2 C
4).
x cos nxdx
5).
u sec udu utgu ln cos u C
6).
vsev 3vdv 14 v
7).
2 y sennydy
8).
xa
9).
x n 1 1 x ln xdx n 1 ln x n 1 C
10).
x e
11).
e cos d
12).
t e cos tdt
x
x
x
cos nx xsennx C n n2
2
2
x
2
1 vsen6v 1 cos 6v C 12 12
2 cos ny 2 ysenny y 2 cos ny C n n3 n2
1 x dx a x 2 C ln a ln a
n
46
2 x
dx e x 2 2 x x 2 C
e sen cos C 2 e t sent cos t C 2 1
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
46
• Cambio de variable. Integración por sustitución de una nueva variable; racionalización. De las funciones algebraicas no racionales, es decir, las que contienen radicales, no se pueden integrar en términos de funciones elementales sino unas pocas, hablando relativamente. En algunos casos, sin embargo, sustituyendo una nueva variable, estas funciones pueden transformarse en funciones equivalentes que o son racionales o se encuentran en la lista de las formas elementales ordinarias. El método de integrar una función no racional, reemplazando la variable por una nueva variable de manera que el resultado sea una función racional, se llama a veces integración por racionalización. Este es uno de los artificios más importantes en la integración. Ahora vamos a tratar algunos casos más importantes de esta clase. Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de x. Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de x puede transformarse en forma racional mediante la sustitución,
x zn siendo n el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de x. En efecto, x, dx y cada radical pueden entonces expresarse racionalmente en términos de z. EJEMPLO 1. Demostrar que
x1 / 2 dx 4 3 / 4 4 3/ 4 1 x 3 / 4 3 x 3 ln 1 x C Solución. Aquí n = 4. Por tanto, sea x z 4 . Entonces,
x1 / 2 z 2 ,
x3/ 4 z 3 ,
dx 4 z 3 dz .
x1 / 2 dx z2 z5 3 4 z dz 4 1 x3/ 4 1 z 3 1 z 3 dz 2 z2 4 4 dz z 3 ln 1 z 3 C 4 z 3 3 3 1 z 1/ 4 Sustituyendo ahora z x , tenemos la solución. De donde,
La forma general de la expresión irracional que se trata aquí es, 1 R x n dx 1 n
en donde R representa una función racional de x .
47
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
47
Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de a + bx. Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de a + bx puede transformarse en forma racional mediante la sustitución,
a bx z n siendo n el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de la expresión a + bx. En efecto, x, dx y cada radical pueden entonces expresarse racionalmente en términos de z.
1 x
EJEMPLO 2. Hallar
dx
. 1/ 2 1 x Solución. Supóngase que 1 x z 2 . Entonces, 1 x1 / 2 z . (1 x) 3 / 2 z 3 y dx 2 zdz . dx 2 zdz dz 3 2 2 3/ 2 1/ 2 z z z 1 1 x 1 x 2arctgz C 3/ 2
2arctg 1 x C después de sustituir el valor de z en términos de x. 1/ 2
La integral general que se trata aquí tiene la forma 1 R x, a bx n dx
en donde R representa una función racional. PROBLEMAS.
5x 9dx
1.
x 9x
2.
x
3. 4. 5. 6. 7.
3/ 2
2 x
2 ln
x 3 x 3
C
x dx 1 x 1 3 x ln arctg C 2 3 2 x 3x 4 x 1 6 dx x1 / 3 3 ln C x x3/ 4 1 x1 / 3 x 3 / 2 x1 / 3 dx 2 9 / 4 2 13/ 12 6 x1/ 4 27 x 13 x C x 2 dx 6x 2 6x 1 4 x 15 / 2 124 x 13 / 2 C dx 8x 3 / 8 x1 / 8 1 2 ln 4arctgx 1 / 8 C 1/ 8 x 5 / 8 x1 / 8 3 x 1 xdx 22a bx a bx 3 / 2 b 2 a bx C 3
48
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
48
8.
y
3
a y dy
3 4 y 3a a y 4 / 3 C 28
x 1 1 dx
x 1 4 x 1 4 ln x 1 1 C x 1 1 dx 2 2/3 1/ 3 10. 3 x a 3x a 3 ln 1 3 x 3 C 1 x a 3
9.
11.
t 5dt
t 4
t2
2 t 2 2arctg
t2 C 2
• Integración de potencias de funciones trigonométricas. Consideraremos ahora la integración de algunas diferenciales trigonométricas que se presentan con frecuencia y que pueden integrarse fácilmente, transformándose en integrales inmediatas por medio de reducciones trigonométricas sencillas. Caso I. Integrales de la forma
sen
m
u cos n udu .
En el caso de que m o n sea un número entero positivo impar, no importalo que sea el otro, esa integración puede practicarse por medio de transformaciones sencillas y aplicando la fórmula siguiente: v n 1 n (4) v dv C n 1 Por ejemplo, si m es impar, escribimos,
sen 2 u 1 cos 2 u entonces la integral toma la forma, (1)
(suma de términos que contienen cos u) sen u du.
Puesto que senudu d (cos u) , cada término que se debe integrar tiene la forma v n dv siendo v cos u . Análogamente, si es n el que es impar, basta escribir,
cos n u cos n1 u cos u , y emplear la sustitución cos 2 u 1 sen 2 u . Entonces la integral se convierte en, (2)
49
(suma de términos que contienen sen u) cos u du.
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
49
Solución.
sen x cos xdx . xdx sen x cos x cos xdx 2
EJEMPLO 1. Hallar
5
sen x cos (Según sen x cos sen x1 sen x cos xdx sen x 2sen x sen x cos xdx senx cos xdx 2 senx cos xdx senx cos xdx 2
5
2
2
2
2
4
2
2
4
4
2sen 5 x
x 1)
6
2
sen 3 x
2
6
sen 7 x
Según (4) C 3 5 7 Aquí v senx , dv cos xdx y n 2,4 y6 respectivamente.
sen
1 xdx 2 cos 3 1 x 2 cos 1 x C 2 3 2 2 Demostración. Sea 1 x u . Entonces x 2u , dx 2du . Sustituyendo, 2 3 1 3 (3) sen 2xdx 2 sen udu . Ahora bien, 3 2 2 sen udu sen u senudu 1 cos u senudu EJEMPLO 1. Demostrar que
3
senudu cos 2 usenudu cos u 1 cos 3 u C 3 Empleando este resultado en el segundo miembro de (3), y sustituyendo u 1 x , tenemos la solución. 2 PROBLEMAS.
Verificar las siguientes integraciones: 3 3 1. sen xdx 13 cos x cos x C 2 3 2. sen cos d 13 sen C 2 3 3. cos send 13 cos C 3 2 4. sen 6x cos 6xdx 124 sen 6x C 3 4 5. cos 2sen2d 18 cos 2 C cos 3 x 3 6. sen 4 x dx csc x 13 csc x C sen 3 cos 2 d sec cos C
7.
50
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
50
cos xsen xdx 15 cos x 17 cos x C sen xdx cos x 2 3 cos x 15 cos x C cos xdx senx 2 3 sen x 15 sen x C 4
8.
3
5
5
9.
3
5
10.
7
3
5
5
• Fracciones parciales. Integración de fracciones racionales. Una fracción racional es aquella cuyo numerador y denominador son funciones racionales enteras, es decir, funciones en que la variable no está afectada de exponentes negativos o fraccionarios. Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, la fracción puede reducirse a una expresión mixta dividiendo el numerador por el denominador. Por ejemplo, x 4 3x 3 5x 3 x2 x 3 2 2 x 2x 1 x 2x 1 El último término es una fracción reducida a su más simple expresión, con numerador cuyo grado es menor que el del denominador. Fácilmente se ve que los otros términos pueden integrarse inmediatamente; por tanto, solamente tenemos que considerar la fracción reducida. Para integrar una expresión diferencial que contenga tal fracción, a menudo es necesario descomponerla en fracciones parciales más simples, es decir, reemplazarla por la suma algebraica de fracciones cuyas formas nos permitan completar la integración. Caso 1. Los factores del denominador son todos de primer grado, y ningún factor se repite. Corresponde a cada factor no repetido de primer grado, como x a , una fracción parcial de la forma, A , xa siendo A constante. La fracción dada puede expresarse como una suma de fracciones de esta forma. Los ejemplos muestran el método. EJEMPLO. Hallar
2 x 3dx
x
. x 2 2x Solución. Los factores del denominador son x, x 1, x 2 . Supongamos, 2x 3 A B C (1) . x( x 1)( x 2) x x 1 x 2 en donde A, B, C son constantes por determinar. Quitando denominadores de (1), obtenemos:
51
3
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
51
2 x 3 Ax 1x 2 Bx 2x Cx 1x 2 x 3 A B C x 2 A 2B C x 2 A . Puesto que esta ecuación es una identidad, igualamos los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros y obtenemos tres ecuaciones simultáneas, A BC 0 (3) A 2B C 2 2A 3 (2)
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (3), obtenemos, 3 1 5 A , C . B , 2 6 3 Sustituyendo estos valores en (1), resulta: 2x 3 3 5 1 . xx 1x 2 2 x 3x 1 6x 2 2x 3 3 dx 5 dx 1 dx . dx x( x 1)( x 2) 2 x 3 x 1 6 x 2 3 ln x 5 ln( x 1) 1 ln( x 2) ln c 2 3 6
ln
c( x 1) 3
5
3
x 2 ( x 2)
1
. 6
Un método mas breve para obtener de (2) los valores de A, B y C es el siguiente: Sea el factor x = 0; entonces 3 2 A ; A 3 . 2 Sea el factor x 1 0 , o sea, x 1; entonces 5 3B ; B 5 . 3 Sea el factor x 2 0 , o sea, x 2 entonces 1 6C ; C 1 . 6 En todos los casos, el número de constantes por determinar es igual al grado del denominador. Caso 2. Los factores del denominador son todos de primer grado, y algunos se repiten. En este caso a todo factor de primer grado repetido n veces, como corresponde la suma de n fracciones parciales de la forma, A
x a
n
52
B
x a
n 1
...........
x a n ,
L , xa
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
52
en donde A, B, .......,L son constantes. Estas fracciones parciales se integran fácilmente. Por ejemplo: Adx
x a EJEMPLO. Hallar
A x a dx n
n
A C (1 n)( x a) n1
x3 1
xx 1 dx . 3
Solución. Puesto que x – 1 entra tres veces como factor, suponemos, x3 1 A B C D . 3 3 2 x x 1 x 1 x 1 x( x 1)
Quitando denominadores. x 3 1 Ax 1 Bx Cxx 1 Dxx 1 . 3
2
x 3 1 A Dx 3 3 A C 2Dx 2 3 A B C Dx A .
Igualando los coeficientes de las mismas potencias de x, obtenemos las ecuaciones simultáneas, A + D =1 -3A+C–2D=0 3A+B–C+D=0 - A = 1. Resolviendo este sistema, se obtiene A = - 1, B = 2, C = 1, D = 2, y
x3 1
1 2 1 2 . 3 x x 13 x 12 x 1 xx 1
x3 1
xx 1
3
dx ln x
53
x
1
1 2 ln x 1 C x 1
x 1 2 x 1 ln
x 12
2
x
C .
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
53
PROBLEMAS.
Verificar las siguientes integraciones:
4 x 2dx
x
1.
x 2 2x
3
5x
ln
x 2 2x
x 12
C
3 dx ln x 3 x 2 1 C x x
2.
3.
4x
2
3
4 x 3dx
4.
1 2 x 12 x 3 ln C 2 8 x 3x x2
3
4 x
2
3
3x
2
2 x 2 1 dx 1 2 x 12 x 1 x ln C 3 2 4x x x2
5 x dx
x 1x 1
5.
2
z 2 dz
3
7.
54
y
ln x 1x 1
ln z 1
z 1
6.
2
2
1 C x 1
2 1 C z 1 2z 12
8 dy y 2 4 2 y 2 ln y 2 2 y C 3 2 2 y y 2y 4
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
54
UNIDAD 3:
Teorema fundamental del cálculo.
3.1. El teorema fundamental del cálculo y sus aplicaciones. • Integración aproximada: regla trapecial y regla de Simpson. Fórmula de los trapecios. Ahora demostraremos dos reglas para determinar aproximadamente el valor de: (1)
b
a
f ( x)dx
Estas reglas son útiles cuando la integración en (1) es difícil o no se puede efectuar en términos de funciones elementales. El valor numérico exacto de (1) es la medida del área de la superficie limitada por la curva, (2) y f (x) , el eje de las x y las ordenadas x = a, x = b. El valor de esa área puede determinarse, aproximadamente, sumando trapecios, como sigue: Divídase el segmento b-a de OX (Fig 3.1) en n partes iguales; sea x la longitud de una parte. Sea las abscisas sucesivas de los puntos de división, x0 a , x1 , x 2 , ............. xn ( b) .
(Figura 3.1) Levántense en estos puntos las ordenadas correspondientes de la curva (2). Sean estas , y0 f ( x0 ) , y1 f ( x1 ) , y 2 f ( x2 ) , . . . . . . ., y n f ( xn ) .
55
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
55
Únanse las extremidades de las ordenadas consecutivas por líneas rectas (cuerdas); de esta manera se forman trapecios. Entonces, como que el área de un trapecio es igual a la semisumas de las bases por la altura, obtenemos,
1 1
2
y0 y1 x
área del primer trapecio,
2
y1 y2 x
área del segundo trapecio,
. . . . . . . . . . 1 y y x área del enésimo trapecio. n 2 n Sumando, obtenemos la fórmula de los trapecios, (T)
1 1 Área y 0 y1 y 2 .......... y n1 y n x . 2 2
Es evidente que cuanto mayor sea el número de intervalos (es decir, cuanto mas pequeño sea x ), tanto más se acercará la suma de las áreas de los trapecios al área bajo la curva. 12
EJEMPLO 1. Calcular
1
x 2 dx por la fórmula de los trapecios, dividiendo de x 1 a
x 12 en once intervalos. b a 12 1 Solución. Aquí x 1 . El área de que se trata esta bajo la curva n 11 y x2 . Sustituyendo en esta ecuación las abscisas, x 1,2,3,4,..........,12 .
obtenemos las ordenadas y 1,4,9.......144 . Luego según (T),
Area 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 1 144 1 577 1 . 2 2 2 Por integración, 12
1
12
x3 x dx 575 2 . 3 3 1 2
Luego, en este ejemplo el error de la fórmula de los trapecios es menor que una parte entre trescientos.
56
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
56
EJEMPLO 2. Hallar el valor aproximado de
I
2
0
4 x 3 dx según (T), tomando
n = 4. Solución. Sea y 4 x 3 . En este caso, x 0.5 , Hágase una tabla de valores de x y y como la que se muestra. Aplicando (T). x 0 0.5 1 1.5 2
Y 2,000 2,031 2,236 2,716
y0
y1 y2 y3
3,464 y 4
I 1,000 2,031 2,236 2,716 1,732X 0.5 4,858 . Si tomamos n = 10, obtenemos I = 4,826, mejor aproximación.
PROBLEMAS.
Calcular los valores aproximados de las siguientes integrales por la fórmula de los trapecios, empleando los valores indicados de n. Verificar los resultados efectuando las integraciones. dx ; x
n = 7.
x 25 x 2 dx ;
n = 10.
64 x 2 dx ;
n = 8.
16 x 2 dx ;
n = 6.
10
1.
2.
5
4.
5.
4
6.
2
3
0 8
3.
4 3
0
0
0
57
dx 4 x3
;
1 x 3 dx ;
n = 4.
Sol. 1,227
n = 4.
3,283
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
57
10
8.
9.
8
2 3
4 x2
10.
3
20 x 4 dx ;
n = 5.
x 2 16 x 4 dx ;
n = 4.
12.
x 2 3x dx ;
n = 5.
13.
4
4
7.
3
0 5
1
0 6
3
1
44.17
126 x 3 dx ;
n = 4.
34.78
n = 6.
9.47
xdx 10 x 3 x 2 dx
1
14.
n = 5.
xdx
2 2
11.
125 x 2 dx ;
2 3
10 x
2
;
n = 6.
;
n = 4.
Fórmula de Simpson (fórmula parabólica). En vez de unir las extremidades de las ordenadas sucesivas por cuerdas y formar trapecios, podemos obtener una mayor aproximación del área uniéndolas por arcos de parábolas y sumando las áreas bajo esos arcos. Un parábola con eje vertical puede hacerse pasar por tres puntos cuales quiera de una curva, y una serie de tales arcos se ajustará más estrechamente a la curva que a la línea quebrada formada por las cuerdas. La ecuación de tal parábola es de la forma y ax 2 2bx c y los valores de las constantes a, b y c pueden determinarse de manera que esta parábola pase por tres puntos dados. Dividimos el intervalo desde x a OM 0 hasta x b OM n en un número par (= n) de partes cada una igual a x . Por cada serie de tres puntos sucesivos P0 , P1 , P2 ; P2 , P3 , P4 ; etc., se trazan arcos de parábolas con ejes verticales. Las ordenadas de esos puntos son, y0 , y1 , y 2 ,....... y n , como se indica en la figura 3.2. Así, se reemplaza el área M 0 P0 P2 ..........Pn M n por una serie de “tiras parabólicas dobles” como M 0 P0 P1 P 2 M 2 , cuya extremidad superior es en cada caso un arco parabólico de y ax 2 2bx c . El área de cada una de esas tiras se obtiene empleando la fórmula, u 1 h y 4 y' y' ' 3
58
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
58
(Figura 3.2) Para la primera, h x , y y 0 , y' y1 , y' ' y 2 . Luego, área de la primera x y0 4 y1 y 2 . tira M 0 P0 P1 P2 M 2 3 Análogamente, x y 2 4 y3 y 4 , Segunda tira 3 x Tercera tira y 4 4 y5 y6 3 .......................... x y n2 4 y n1 y n Última tira 3 Sumando, obtenemos la fórmula de Simpson (siendo n par), (S)
Área
x y0 4 y1 2 y 2 4 y3 2 y4 ........ y n . 3
Como en el caso de la fórmula de los trapecios, cuanto mayor sea el número de partes en que se divide M 0 M n , tanto más se acercará el resultado al área bajo la curva.
59
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
59
EJEMPLO 1. Calcular
Solución.
10
0
Aquí x
x 3 dx por la fórmula de Simpson, tomando diez intervalos.
b a 10 0 1 . El área en cuestión es bajo la curva n 10
y x 3 . Sustituyendo las abscisas x 0,1,2,3,.......10 en y x 3 , obtenemos las ordenadas y 0,1,8,27,........1,000 . Luego, según (S),
Area 1 0 4 16 108 128 500 432 1,372 1,024 2,916 1,000 2,500 . 3 10
x4 Por integración, x dx 2,500 , de manera que en este ejemplo 0 4 0 la fórmula de Simpson da un resultado exacto. 10
3
EJEMPLO 2. Hallar el valor aproximado de
I
2
0
4 x 2 dx , según (S), tomando
n = 4. Solución. La tabla de valores se da en el ejemplo ilustrativo 2 del tema anterior. Por tanto, 0.5 I 2,000 8.124 4.472 10.864 3.464 4.821 . 3 Compárese el resultado dado por (T) cuando n = 10; a saber, 4.826. En este caso la fórmula (S) da mejor aproximación que (T) cuando n = 4.
PROBLEMAS.
Calcular por la fórmula de Simpson, los valores aproximados de las siguientes integrales, empleando los valores indicados de n. Verificar los resultados efectuando las integraciones. 1.
6
8
3
3.
2
60
xdx ; 4 x2
64 x 2 dx ;
n = 6.
2.
n=6
4.
4
7
0
4
x 25 x 2 dx ;
n = 4.
16 x 2 dx ;
n = 6.
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
60
Calcular los valores aproximados de las siguientes integrales según la fórmula de Simpson, empleando los valores n indicados. 4 2 dx 3 5. n = 4. 6. n = 4. 0 4 x 3 ; 0 1 x dx ; 8 5 xdx 3 7. ; n = 4. 8. n = 6. 126 x dx 2 3 4 x 2 ; 1 3 5 5 x dx 2 3 9. ; n = 4. 10. n = 6. 6 x dx 2 1 x 3 ; 1 4 5 xdx 3 3 11. ; n = 4. 12. n = 4. x x dx 2 5 x 3 ; 1 • Área entre dos gráficas. Áreas de superficies limitadas por curvas planas; coordenadas rectangulares. El área entre una curva, el eje de las x y las ordenadas correspondientes x = a y x = b viene dada por la fórmula: b
(B)
Area ydx , a
sustituyéndose de la ecuación de la curva el valor de y en términos de x. La fórmula (B) es fácil de recordar observando que el elemento de área es un rectángulo como CR (figura 3.3) de base dx y altura y . El área buscada ABQP es el límite de la suma de todos esos rectángulos (tiras) entre las ordenadas AP y BQ.
(Figura 3.3 y figura 3.4) Apliquemos ahora el teorema fundamental al cálculo del área de la superficie limitada por la curva x ( y) (AB en la figura 3.4), el eje de las y y las líneas horizontales y = c y y = d.
61
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
61
PRIMER PASO. Construiremos los n rectángulos como en la figura.
Evidentemente, el área que se busca es el límite de la suma de las áreas de estos rectángulos cuando su número tiende a infinito y la altura de cada uno tiende a cero. Representaremos las alturas por y1 , y 2 , etc. Tomaremos en cada intervalo un punto en la extremidad superior y designaremos las ordenadas de estos puntos por y1 , y 2 , etc. Entonces las bases son ( y1 ) , ( y 2 ) , etc., y la suma de las áreas de los rectángulos es, SEGUNDO
PASO.
n
( y1 )y1 ( y 2 )y2 .............. ( yn )y n ( yi )yi i 1
TERCER PASO. Aplicando el teorema fundamental se obtiene, n
lim ( yi )yi ( y )y . n
d
c
i 1
Luego el área entre una curva, el eje de las y y las líneas horizontales y = c y y = d viene dada por la fórmula, d
(C)
Área xdy , c
sustituyéndose de la ecuación de la curva el valor de x en términos de y. La fórmula (C) se recuerda pensando en el límite de la suma de todas las tiras horizontales (rectángulos) dentro del área buscada puesto que x y dy son la base y la altura, respectivamente, de una tira cualquiera. El elemento de área es uno de estos rectángulos. Significado del signo negativo delante de un área. En la fórmula (B), a es menor que b. Puesto que ahora interpretamos el primer miembro como el límite de la suma de n términos que resultan de yi xi haciendo i 1,2,3.........., n , se sigue que cuando y es negativo cada término de esa suma será negativo, y (B) dará el área con signo antepuesto. Esto significa que el área está debajo del eje de la x.
62
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
62
EJEMPLO 1. Hallar el área de una arcada de la sinusoide y senx . Figura
3.5 .
(Figura 3.5) Solución. Haciendo y = 0 y despejando el valor de x, encontramos, , x 0, 2 , etc. Sustituyendo en (B), b
a b
0 2
a
ÁreaOAB ydx senxdx 2 Además,
ÁreaBCD ydx senxdx 2 .
EJEMPLO 2. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola
semicúbica ay 2 x 3 , el eje de las y y las rectas y a y y 2a .
(Figura 3.6) Solución. Según (C) y la figura 3.6, el elemento de área es , 1
2
xdy a 3 y 3 dy Sustituyendo de la ecuación de la curva MN el valor de x. De aquí,
63
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
63
2 2a 1 3 ÁreaBMNC a 3 y 3 dy a 2 a 5 2 Obsérvese que a áreaOLMB .
3
32 1 1,304a 2
En el área dada por (B), uno de los límites es el eje de las x. En (C), uno es el eje de las y. Consideremos ahora el área limitada por dos curvas. EJEMPLO 3. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y 2 2 x y
la recta x y 4 (fig 3.7)
(Figura 3.7) Solución. Las curvas se cortan en A(2, -2), B(8, 4). Dividiremos la superficie en tiras horizontales por un sistema de paralelas a OX equidistantes, trazadas desde la parábola AOB hasta la recta AB. Sea dy la distancia de una parábola a otra. Consideremos la tira (véase la figura) cuyo lado superior tiene por extremos mlos puntos x1 , y , x2 , y . De estos puntos tracemos perpendiculares al lado inferior. Así se forma un rectángulo; su área es, (1)
dA x2 x1 dy .
x2 x1
Este es el elemento de área. En efecto, el área buscada es, evidentemente, el límite de la suma de todos estos rectángulos. Es decir, según el teorema fundamental, (2)
64
Área x2 x1 dy , d
c
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
64
en donde, x 2 y x1 son funciones de y, determinadas por las ecuaciones de las líneas que limitan la superficie. Así, en este ejemplo, de x y 4 encontramos x x2 4 y ; de y 2 2 x se obtiene x x1 1 y 2 . Luego, según (1), tenemos, 2 1 dA 4 y y 2 dy . 2 Esta fórmula es aplicable al rectángulo formado por cualquier tira. Los límites son c 2 (en A), d 4 (en B). Por tanto, 4 Área 4 y 1 y 2 dy 18 . 2 2
(3)
PROBLEMAS.
1. Hallar el área de la superficie limitada por la hipérbola xy a 2 , el eje de las x y las ordenadas x a y x 2a . Sol. a 2 ln 2 . 2. Hallar el área de la superficie limitada por la curva y ln x , el eje de las x y la recta x 10. Sol. 14,026. x 3. Hallar el área de la superficie limitada por la curva y xe , el eje de las x y la recta x 4 . Sol. 164.8 4. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola x y a y los ejes de coordenadas. 5. Hallar el área total de la hipocicloide x
2
3
y
2
3
a
2
3
.
Sol. 1 a 2 6 Sol. 3 a 2 8
Hallar las áreas de las superficies limitadas por las siguientes curvas. En cada problema trazar la figura, mostrando el elemento de área. 6. y 2 6 x , x 2 6 y . Sol. 12. 10. y 2 2 x , x 2 y 2 4x 7. y 2 4 x , 8. y 4 x , 2
x2 6y . 2x y 4 .
9. y 4 x 2 , y 4 4 x .
65
Sol. 8.
11. y 6 x x 2 ,
yx
Sol. 9.
12. y x 3x ,
yx
13. y 2 4 x ,
x 12 2 y y 2
Sol 10 2
3
3
Guía Descargada desde : http://www.mxgo.net Librería Digital / E-BOOKS Gratis
65