CAPITULO 2. ELEMENTOS Y OPERACIONES DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cuando nos encontramos con dos o más términos algebraicos en un conjunto relacionado, los matemáticos dicen que tratamos con una “expresión algebraica”. Las expresiones algebraicas son pues un conjunto de términos que originalmente eran independientes, entre sí. La forma en que los “términos algebraicos” se unen entre sí para formar “expresiones algebraicas” es a través de dos operaciones exclusivamente: la suma y la resta. Simplificación De la suma y la resta de términos algebraicos se deriva una importante función llamada simplificación que consiste un crear un solo término algebraico cuando dos o más términos asociados por la resta o la suma tienen letras idénticas, o sea que sus exponentes también son iguales. Ejemplo: .b+ b - e= ,

x3 – 2x3 +3x3=

-w - 4w - 6w=,

x+2y-3x-6y=

La simplificación consiste en sumar o restar únicamente los números de aquellos términos algebraicos cuyas letras sean idénticas (idénticas en este caso significa que las potencias de esas letras SEAN LAS MISMAS). Ejemplo: son idénticas (b + b) ó estos otros (2d –d); pero no son iguales (b2 + b) ó (d –d3). Otro caso de simplificación se produce cuando aparecen dos o más números solos: 2 + 5ó4-6 La simplificación entonces opera del siguiente modo: si las letras son idénticas, entonces se simplifican los números de esas letras. Ejemplos de letras idénticas (b + b) = (1b +1b) = 2b; (2d + d) = 2d +1d = 3d

Ejemplos de letras iguales (b2 + b) = (b2 + b)

y (d –d3) = (d –d3) Es decir,

para estos términos no opera la simplificación, se quedan como están. Otro ejemplo de simplificación: 5b + 2c –b – b2 + 3 + c; primero se agrupan los términos idénticos (5b – b) + (+2c + c) – b2 +3; luego se simplifica la expresión 4b - b2 + 3c +3 otro ejemplo: a2+1 + a3-1 - a4 -2 + a –2 =

a+ a2 + a3 - a4 como ninguna

letra es idéntica a otra la simplificación sólo operó con los números Para tener una idea general de cómo opera la simplificación estúdiese el siguiente cuadro Regla para ejercer el proceso de simplificación de términos algebraicos cuyas letras son idénticas. Operación

Signo

Números

Letras

Unir términos positivos

Más +

Se suman

No cambian

Unir términos negativos

Menos -

Se suman

No cambian

Cuando el término positivo es mayor

Más +

Se restan

No cambian

Cuando el término negativo es mayor

Menos -

Se restan

No cambian

Ejemplos .b+ b= 2b,

-w - 4w - 6w= -11w,

x3 – 2x3 +3x3= 2x3,

2y - 6y= – 4y

La suma de expresiones algebraicas. La suma algebraica reúne en una sola expresión algebraica dos o más términos algebraicos que antes eran independientes, sin cambio en sus signos, números y letras. . (+ab) más (+ac) =

ab + (+ac)

. (+x) más (–y) =

x + (–y)

(+5g) más (+4r) = 5g + (+4r) (-n) más (+b)

=

-n + (+b)

(+d) más (-3d)

=

d +(-3d)

La operación de sumar términos algebraicos Para sumar dos o más términos de una expresión algebraica se escriben unos a continuación de los otros, con sus propios signos, ab + (+ac) = ab + ac x + (–y) = x - y 5g + (+4r) = 5g + 4r -n + (+b) = -n + b d +(-3k) = d –3k la operación de sumar se hace de acuerdo al siguiente cuadro: Cuadro que muestra la operación de sumar de dos o más términos algebraicos Operaciones

Suma (+)

Signos (+ y -)

Los términos algebraicos NO cambian de signo. Si el término es + entonces el signo es + Si es – entonces es -

Números

Letras

Se simplifican si los términos tienen Las letras no cambian letras idénticas

Lo importante de este caso es que los signos de identificación de los términos algebraicos (positivos y negativos) NO sufren cambios. los términos algebraicos simplemente se unen vinculados por los signos de identificación de

cada término. Para hacer más claro este concepto empezaremos con cantidades negativas: Decidimos “sumar –2s a –3d”. Esto quiere decir que debemos unir “–2s” a “–3d” a través de una suma. Si lo expresamos paso a paso, el primero sería: (-2s) + (-3d) el segundo y último paso quedaría: –2s –3d. Advertencia: Como puede notarse, aunque las cantidades son negativas, la suma (que se identifica con el signo +) los unió sin modificar ninguno de los elementos de ambos términos. Pero ese conjunto es ahora una expresión algebraica y no dos términos algebraicos independientes. Nótese que los números y las letras de los términos tampoco cambiaron debido a que las letras de los términos NO son idénticos. Otro ejemplo: súmese los siguientes seis términos: b, -c, -d, v, -x – 3. El operador lo que debe observar al leer esta orden lógica sería lo siguiente: (+b), (-c), (-d), (+v), (-x), (-3) Por tanto la respuesta sería: (+b)+(-c)+(-d)+(+v)+(-x)+(-3) que sería igual a: + b - c - d + v - x - 3 una vez operados la ley de signos de la suma. Puede suceder que exista previamente una expresión algebraica, por ejemplo +a +b que se desee ser sumada a otra expresión, por ejemplo +c +5. La forma de escribir algebraicamente esta operación sería la siguiente:

(a+b) + (c+5) = +a +b +c +5. -c +d sumalo a: x -y = (-c +d) +(x -y) = -c + d + x - y Ejemplo: La suma de a “y” b es: (+a) +(+b) = a + b También la suma ac “y” –bd es una suma que se expresa así: ac +(–bd) = ac – bd Operación de sumar términos cuyas letras son idénticas a través de la simplificación. Ejemplo: (+5ab) + (+10ab) = primer paso se analizan los signos. Como son positivos ambos términos el resultado será positivo segundo paso se suman los números 5 + 10 Tercer paso, se escribe el signo, la suma resultante y se añaden las letras: (5ab) + (10ab) = 15ab Caso en que los signos de los términos son negativos. (-10sf) + (-10sf) Primer paso se identifica el signo del nuevo término que será negativo. Segundo paso se suman las cantidades 10 + 10 = 20 Tercer paso se escribe el signo, en número de la suma y se añaden las letras. Éstas sin cambio. (-10sf) + (-10sf) = -20sf Caso en que la suma agrupa términos con signos contrarios y letras idénticas, por ejemplo (-6xy) + (+10xy) = el proceso es el siguiente: Primer paso identificar el signo del número mayor (en este caso 10, positivo) Segundo paso restar el número mayor al menor. Esto es: 10-6= 4

Tercer paso escribir el signo del número mayor, el nuevo número y añadir las letras del término = 4xy Véase el caso donde la cantidad negativa es mayor a la positiva: (-8bn)+ (+4bn) Primer paso identificar el signo del número mayor. O sea el signo del 8 (-) Segundo paso restar el número mayor al menor 8-4 =4 Tercer paso escribir el signo del número mayor, el nuevo resultado y añadir las letras sin cambio: -4bn Advertencia. Por acuerdo de los matemáticos si el primer término de una expresión algebraica es positivo su signo se omite, no así el resto de las cantidades positivas. La resta de términos algebraicos. Reúne en una sola expresión algebraica dos o más términos algebraicos que antes eran independientes, a través de la orden de restar. Ejemplo: de –4a reste 7k ; algebraicamente se vería de la siguiente manera: -4a –(+7k) = Operación para restar. A continuación del minuendo se escribe el sustrayendo CAMBIANDO DE SIGNO A TODOS SUS TÉRMINOS. . (+ab) menos (+ac) = . (+x) menos (–y) =

ab - (+ac) x - (–y)

(+5g) menos (+4r) = 5g - (+4r)

(-n) menos (+b)

=

-n - (+b9)

(+d) menos (-3d)

=

d - (-3d)

La operación de restar términos algebraicos Para restar dos o más términos de una expresión algebraica se escribe el minuendo sin cambios y al sustrayendo (pueden ser varios términos) se le cambia el signo. Ejemplo. ddf - (+df) = ddf - df v - (-t +r) = v + t - r 5s - (+4r) = 5s - 4r -m - (+c -y ) = -m - c + y b - (-3h) = b + 3h Sintéticamente el comportamiento de las expresiones algebraicas a través de la resta se muestran en el esquema siguiente: Cuadro que muestra la operación de restar de dos o más términos algebraicos Operaciones Signos (+ y -) Números Letras Los términos del Se simplifican si los Las letras no cambian en Resta (-) sustrayendo cambian términos tienen una operación de resta de signos. literales idénticas Si el término es + entonces es – Si es – entonces es + La operación de restar ordena cambiar los signos de aquellos términos que hacen de sustrayendo. En nuestro ejemplo la operación de -4a –(+7k), sería la siguiente:

Primer paso. Cambio de signo del sustrayendo -4a –(+7k) =

-4a -7j

Como los términos son diferentes no se requiere mayores operaciones. Ejemplo con resta de dos términos: de 2c “reste” -4b + 5r, entonces tenemos 2c - ( -4b +5r) = -2c +4b -5r Puede suceder que exista previamente una expresión algebraica, por ejemplo a +b que se le desee restar otra expresión, por ejemplo c +5. La forma de escribir algebraicamente esta operación sería la siguiente: (a+ b) – (c+5) Primer paso cambio de signos del sustrayendo sería a+ b – c – 5 No hay necesidad de hacer otra operación Otros ejemplos diversos de resta Ejemplo: reste 4a2 de –5a, tenemos que -5a2 - (+4a) = -5a2 -4a Ejemplo: de 7x restar –4z, tenemos que 7x - (-4z) = 7x +4z Ejemplo de resta de términos, con letras idénticas: -5h - (+4h) = Primer paso, se cambian los signos del sustrayendo - 5h - 4h Como los términos son idénticos se requiere efectuar una simplificación Segundo paso, se determina el signo del nuevo término. Como se trata de dos signos negativos, el resultado es negativo Tercer paso, se suman los números 5 +4 = 9 Cuarto paso se construye el nuevo término empezando por el signo, el nuevo resultado y al final las letras, éstas sin modificaciones = –9h

Suma y resta combinada de polinomios Agrupa en una sola expresión algebraica dos o más términos algebraicos independientes a través de combinar dos operaciones: la suma y la resta. Ejemplo: (3d +5g –f)

“suma” (b+h)

“resta” (8u-t)

Operación combinada de suma y resta Cuando aparece un problema algebraico que combina sumas y restas. Primero se realizan las sumas de los términos correspondientes. Se identifican los términos a los que le afecta la resta (sustrayendo). Le sigue el cambio del signo al sustrayendo. Algebraicamente el problema anterior se resolvería de la siguiente manera: [(3d +5g -f) + (b+h)] - (8u-t)

=

3d +5g - f +b +h - 8u +t

RESUMEN DE LA RESTA Y LA SUMA DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA: Cuando varios términos reciben la orden de unirse por los signos de identificación (+ -) ellos se comportan a través de leyes lógicas: Si la orden es sumar el signo de los términos no cambia Si la orden es restar el signo de los términos del sustrayendo cambian Si aparecen términos con letras idénticas, éstos se simplifican.

Operación de la simplificación de términos algebraicos La simplificación empieza 1) ordenando las letras. De la más cercana al inicio del alfabeto a la más lejana, sin importar su signo. 2) Se deja al final el término donde sólo hay números. 3) Se agrupan a través de paréntesis los términos que tengan letras idénticas, sin importar su signo (+ -), entonces 4) se procede a simplificar. Combinado de Suma y simplificación: Una expresión matemática puede combinar sumas entre diferentes expresiones algebraicas. Ellas se expresan así: -b suma 2a +3b -c y suma -4a+5b. Algebraicamente se expresaría así: [- b + (2a +3b -c)] + (- 4a+5b) Para facilitar la operación se puede recurrir al siguiente procedimiento: Se escriben los términos con letras idénticas uno abajo del otro. Aquellas que no lo son se ponen a los lados y resultan independientes. Después se simplifican. -b 2a +3b -c -4a +5b___ total

-2a +7b -c

Combinado de resta y simplificación: Una expresión algebraica puede combinar restas y simplificaciones de varias expresiones algebraicas y pueden presentarse de la siguiente manera: 4x -3y +z resta 2x +5z -6. Algebraicamente ese problema se expresa de la siguiente manera: (4x -3y+z) - (2x+5z-6); que restando queda 4x -3y +z -2x -5z +6 y que simplificando queda 2x +3y -4z -+6. O de la otra manera: 4x -3y+ z -2x

-5z +6

2x -3y -4z +6 Combinado de suma, resta y simplificación Las

expresiones

algebraicas

puede

simplificaciones y pueden presentarse así:

combinar

sumas,

restas

y

De a2 resta la suma de 3ab -6 con

3a2 -8ab +5. Que algebraicamente se expresa: a2 - [(3ab-6) + (3a2-8ab+5)] De acuerdo al procedimiento vertical que hemos practicado puede sumar y simplificar de la siguiente manera: 3ab-6 3a2-8ab+5 que es igual a

3a2-5ab-1

Ahora aplique la resta y cambie el signo a los términos del sustrayendo

- (3a2 -5ab -1) = -3a2 +5ab +1 Ahora reúna al minuendo con el sustrayendo, o sea: a2 -3a2 +5ab +1 El último paso consiste en simplificar este resultado.

= -2a2 +5ab +1

Operación de sumar, restar y simplificar. Cuando una expresión algebraica presente alguna combinación de resta, suma y simplificación, primero realice las sumas que se piden, después identifique al sustrayendo y cambie de signos a los términos implicados. Por último simplifique toda la expresión. No olvide presentarlos organizadamente. Principie con la letra más cercana al inicio del alfabeto y sígase. Cuadro general de la suma, la resta y la simplificación. Operaciones Suma (+)

Resta (-)

Signos (+ y -) Los términos algebraicos No cambian de signo Si es + entonces es + Si es – entonces es Los términos algebraicos del sustrayendo cambian de signos. Si es + entonces es – Si es – entonces es +

Números Letras Se simplifican si los Las literales no términos tienen cambian literales idénticas Se simplifican si los Las literales no términos tienen cambian literales idénticas

Anexo teórico Las “expresiones algebraicas” se pueden clasificar en dos grupos (monomios y polinomios): 1. Los monomios. Una expresión algebraica que tiene uno y sólo un término algebraico. Recibe el nombre de monomio ejemplos: 3ab,

-5b, x2/4 y3,

abcdfg, √a se puede usar como sinónimo de “término algebraico” Un monomio es una expresión algebraica con un sólo término algebraico, por tanto sus vínculos entre sus componentes son los mismos que los del propio término algebraico (ver capítulo 1). Sus operaciones son multiplicar, dividir, potenciar y sacar raíz. 2. Polinomio. Tal nombre se le da a una expresión algebraica que combina dos o más términos algebraicos, es sinónimo de “expresión algebraica” y se rige por 1. símbolos y 2. signos1. 1 Los símbolos son los mismos que componen a los términos algebraicos (números y letras). 2 Signos de un polinomio. Existen tres clases de signos para agrupar polinomios 1. De agrupación 2. De relación (igualdad y diferencia), 3. De operación (+,-,/,·,^,¬) Signos de agrupación en un polinomio: Son los Paréntesis y corcheas () [] {}

1

Nota: Cuando los términos algebraicos dentro de la expresión son dos se le llama binomio, ejemplo: a + n, 3ab-5b, de tres, entonces es trinomio, 3ab-5b+x2/4y3 etc.

Ellos indican que la operación indicada (+,-,/,·,^,¬) por el paréntesis debe hacerse primero, antes de proseguir con el resto con las operaciones del resto de la expresión. Signos de relación en un polinomio: Aunque hay varios signos de relación, este curso sólo emplea el signo de igualdad y se lee: Igual a (=). Otros signos que pudieran ser: mayor que (>), menor que (