Cap´ıtulo 1

´ Algebra Objetivos Recordar las principales operaciones con expresiones algebraicas.

1.1.

N´ umeros

Los n´ umeros naturales se denotar´an por N y est´an constituidos por 0, 1, 2, 3. . . Con estos n´ umeros podemos hacer sumas, multiplicaciones y potencias, pero al hacer restas aparecen los n´ umeros negativos. Por ello hay que definir un nuevo conjunto de n´ umeros. Los n´ umeros enteros, que denotaremos por Z, son los naturales y sus respectivos negativos, 0, ±1, ±2, ±3 . . . Con los n´ umeros enteros y naturales no podemos hacer todas las divisiones, ya que hay cocientes que no son enteros. Por ello hay que extender los n´ umeros enteros. Los n´ umeros racionales, que denotaremos por Q, incluyen, adem´as de los enteros, las fracciones de la forma a/b, donde a, b son enteros. A´ un as´ı, hay n´ umeros que no son racionales, como las ra´ıces, y n´ umeros como π o e. Esto requiere una extensi´on adicional, para formar el conjunto de n´ umeros reales, R, que incluye a los n´ umeros racionales, de modo que a cada n´ umero real se le asocia un u ´ nico n´ umero sobre la recta. Muchas veces denotaremos la recta real como un intervalo (−∞, ∞), donde ∞ quiere denotar una magnitud infinita que ser´ıa mayor que cualquier real. Del mismo modo, −∞ es menor que cualquier real, aunque ninguno es un n´ umero en sentido estricto.

1.2. 1.2.1.

Operaciones elementales M´ ultiplos y divisores

Todo n´ umero se puede dividir, sin dejar un resto, por s´ı mismo o por la unidad, al menos. 1

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

2

Los n´ umeros naturales que s´olo son divisibles por ellos mismos y la unidad se llaman n´ umeros primos. Ejemplo 1.2.1 Son primos 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. . . Todo n´ umero natural se descompone en producto de sus factores (divisores) primos. Ejemplo 1.2.2 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3, 35 = 5 · 7, 64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26 . Dos n´ umeros se dicen primos entre s´ı si no tienen factores comunes. Ejemplo 1.2.3 35 y 16 son primos entre s´ı, pero 9 y 12 no lo son, ya que ambos son divisibles por 3. Los n´ umeros pares, los que acaban en 0, 2, 4, 6 u 8, son divisibles por dos. Los n´ umeros cuyas cifras suman 3 o m´ ultiplo de tres son divisibles por tres. Los n´ umeros cuyas dos u ´ ltimas cifras son un m´ ultiplo de cuatro (00, 04, 08, 12, 16, 20, 24. . . ) son divisibles por cuatro. Los n´ umeros que terminan en 0 ´o 5 son divisibles por cinco. Los n´ umeros cuyas tres u ´ ltimas cifras son un m´ ultiplo de ocho (000, 008, 016, 024, 032, 040, 048. . . ) son divisibles por ocho. Los n´ umeros cuyas cifras suman 9 o m´ ultiplo de nueves son divisibles por nueve. Ejemplo 1.2.4 48 es divisible por tres (sus cifras suman 4 + 8 = 12 = 3 · 4), pero no por nueve. Ejemplo 1.2.5 1120 es divisible por cuatro ( 20 = 4 · 5), y por ocho (120 = 8 · 15). La descomposici´on en factores primos se obtiene dividiendo primero tantas veces como sea posible por dos, luego por tres, luego por cinco, siguiendo con la lista de n´ umeros primos, hasta llegar a un n´ umero primo. Ejemplo 1.2.6 Descomposici´on de 360 en factores primos. Comenzamos por 2: 360 = 2 · 180, 180 = 2 · 90, 90 = 2 · 45. Seguimos por 3: 45 = 3 · 15, 15 = 3 · 5 y cinco es primo ya. Por tanto, 360 = 23 · 32 · 5. 360 180 90 45 15 5 1

2 2 2 3 3 5

Llamamos m´ aximo com´ un divisor de un conjunto de n´ umeros naturales al mayor n´ umero natural que divide a todos ellos. Se obtiene descomponi´endolos en factores primos y multiplicando los factores comunes con el menor exponente.

3

1.2. OPERACIONES ELEMENTALES Ejemplo 1.2.7 M´aximo com´ un divisor de 24, 36 y 30. 24 = 23 · 3 ,

36 = 22 · 32 ,

30 = 2 · 3 · 5 ,

mcd (24, 36, 30) = 2 · 3 = 6 .

Obviamente, el m´aximo com´ un divisor de un conjunto de n´ umeros primos entre s´ı es la unidad. Ejemplo 1.2.8 El m´aximo com´ un divisor de 35 y 16 es mcd (35, 16) = 1. Una manera sencilla de calcular directamente el m´aximo com´ un divisor de dos n´ umeros a, b es el algoritmo de Euclides. Para ello, dividimos a, el mayor, por b, el menor y nos quedamos con el resto r1 . Luego dividimos b por r1 y nos quedamos con el resto, r2 . Luego dividimos r1 por r2 y nos quedamos con el resto r3 . Iteramos el proceso hasta llegar a restos ri , ri+1 tales que el resto de su cociente ri /ri+1 es nulo. El m´aximo com´ un divisor es precisamente el u ´ ltimo divisor, mcd (a, b) = ri+1 . Ejemplo 1.2.9 M´aximo com´ un divisor de 135 y 75. Aplicamos el algoritmo de Euclides. a = 135 , b = 75 , a = b + 60 ⇒ r1 = 60 , b = 75 , r1 = 60 , b = r1 + 15 ⇒ r2 = 15 , r1 = 60 , r2 = 15 , r1 = 4r2 , de donde concluimos que mcd (135, 75) = r2 = 15. El algoritmo de Euclides se puede usar para calcular el m´aximo com´ un divisor de m´as de dos n´ umeros, a1 , . . . , aN . S´olo hay que calcular el m´aximo com´ un divisor de dos de ellos, b1 = mcd (a1 , a2 ), b2 = mcd (b1 , a3 ), b3 = mcd (b2 , a4 ),. . . , hasta llegar al u ´ ltimo, bN −1 = mcd (bN −2 , aN ), que es precisamente el m´aximo com´ un divisor de todos ellos. Ejemplo 1.2.10 M´aximo com´ un divisor de 24, 36 y 30. Calculamos primero el m´aximo com´ un divisor de a = 36 y b = 30, a = b + 6 ⇒ r1 = 6 , b = 5r1 ⇒ mcd (36, 30) = 6 . Repetimos el proceso para c = 24, d = 6, pero como c = 4d, obtenemos directamente que mcd (24, 36, 30) = 6. Llamamos m´ınimo com´ un m´ ultiplo de un conjunto de n´ umeros al menor n´ umero natural que es m´ ultiplo de todos ellos. Se obtiene descomponi´endolos en factores primos y multiplicando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Ejemplo 1.2.11 El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 24, 36 y 30. mcm (24, 36, 30) = 23 · 32 · 5 = 360 . Si los n´ umeros son primos entre s´ı, el m´ınimo com´ un m´ ultiplo es el producto de los n´ umeros.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

4

Ejemplo 1.2.12 El m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 35 y 16 es mcm (35, 16) = 35 · 16 = 560. Una propiedad interesante de las factorizaciones es que el producto del m´aximo com´ un divisor y el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de dos n´ umeros es igual al producto de los n´ umeros, mcd (a, b) · mcm (a, b) = a · b .

1.2.2.

Fracciones

Una fracci´ on es un cociente a/b de dos n´ umeros naturales, llamados numerador, a, y denominador, b. Si el numerador es menor que el denominador la fracci´on se llama propia. Si, por contra, el numerador es mayor que el denominador, la fracci´on se llama impropia. Ejemplo 1.2.13 3/5 es una fracci´on propia, pero 3/2 es una fracci´on impropia. Obviamente, existen infinitas maneras de representar una fracci´on, ya que si multiplicamos numerador y denominador por el mismo n´ umero c, obtenemos la misma fracci´on, (ac)/(bc) = a/b. Todas estas fracciones se dicen equivalentes. Dos fracciones a/b, c/d son equivalentes, a/b = c/d, si y s´olo si ad = bc. Ejemplo 1.2.14 2/3 y 4/6 son dos fracciones equivalentes, pero 2/3 y 3/5 no lo son. Una fracci´on se llama irreducible cuando numerador y denominador no se pueden dividir a la vez por ning´ un n´ umero natural, es decir, no se pueden simplificar m´as. Ejemplo 1.2.15 2/3 es una fracci´on irreducible, pero 4/6 no lo es, ya que podemos simplificar numerador y denominador, dividi´endolos por dos.

1.2.3.

Operaciones con fracciones

Para sumar o restar fracciones hay que reducirlas a denominador com´ un, a+c a c + = , b b b

a c a−c − = . b b b

Ejemplo 1.2.16 1/3 + 4/3 = 5/3. Un denominador com´ un puede ser el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de todos ellos. Ejemplo 1.2.17 2/15 + 1/9 − 3/5 = 6/45 + 5/45 − 27/45 = −16/45. Tambi´en es u ´ til reducir a denominador com´ un para comparar fracciones. Una fracci´on a/b es menor que otra fracci´on c/b si a < c. Es decir, con igual denominador, es mayor la fracci´on con mayor numerador. Ejemplo 1.2.18 ¿Qui´en es mayor 3/5 o 7/11?

5

1.2. OPERACIONES ELEMENTALES

Como 3/5 = 33/55 y 7/11 = 35/55, obtenemos que la fracci´on mayor es 7/11, ya que su numerador es mayor, una vez reducidas a com´ un denominador. M´as sencillo es multiplicar o dividir fracciones, ac a c · = , b d bd

a/b ad = . c/d bc

En el fondo, dividir es multiplicar por el inverso del divisor,  c −1 d

1.2.4.

=

a/b a  c −1 ad = · . = c/d b d bc

d , c

Potencias

Elevar un n´ umero a una potencia natural (exponente) es multiplicarlo por s´ı mismo tantas veces como indica el exponente. an = a · · a} . | ·{z n veces

De aqu´ı se infiere que am · an = am+n . N´otese que a = a1 y que a0 = 1, si a 6= 0. Ejemplo 1.2.19 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 = 32 · 32 = 3 · 33 . Una propiedad importante de los exponentes es (an )m = a(n·m) = anm . Ejemplo 1.2.20 24


3

= 212 = 4096.

Definimos la potencia negativa, como la inversa de la correspondiente potencia positiva, a−n = 1/an . Ejemplo 1.2.21 2−3 = 1/8. Con estas reglas, es f´acil simplificar cocientes de potencias, an = an · a−m = an−m . am Ejemplo 1.2.22 23 /25 = 2−2 = 1/4. Los productos y cocientes de potencias con el mismo exponente se pueden agrupar, an  a n an bn = (ab)n , = . bn b Ejemplo 1.2.23 22 32 = 62 = 36.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

6

1.2.5.

Ra´ıces

√ La ra´ız n-´esima es la operaci´on inversa de la potencia n-´esima. y = n x si y n = x. El n´ umero x se denomina √ √ radicando, y n es el ´ındice. La ra´ız cuadrada, n = 2, se denota x := 2 x. Un n´ umero complejo tiene n ra´ıces n-´esimas distintas, pero si el n´ umero es real, la situaci´on es distinta: Si n es par y x es real positivo, tiene dos ra´ıces reales, una positiva y una negativa. Si n es par y x es real negativo, no tiene ra´ıces reales. Si n es impar, x tiene una u ´ nica ra´ız real. Ejemplo 1.2.24 9 tiene dos ra´ıces cuadradas, 3, −3. En cambio 8 tiene por ra´ız c´ ubica 2, ya que 23 = 8. Las ra´ıces se pueden expresar como potencias fraccionarias, las mismas propiedades que las potencias enteras, x

−1/n

√ = 1/ n x ,

√ √ √ n x n y = n xy ,

√ r n x x , = n √ n y y

q n

√ n x = x1/n , con

√ x=

m

√ x.

mn

Esto √ nos permite definir potencias con cualquier exponente fraccionario, am/n = n am . Y simplificar ´ındices y exponentes, √ √ kn n am = akm . Tambi´en podemos agrupar ra´ıces o potencias si los exponentes no son iguales, tomando un exponente com´ un. Ejemplo 1.2.25

√ √ √ 12 4 a6b= a3 b 2 .

Tambi´en es u ´ til reducir un para poder √ ra´ıces o potencias a un√´ındice com´ compararlas. Una ra´ız n a es menor que otra ra´ız n b si a < b. Es decir, con igual ´ındice, es mayor la ra´ız con mayor radicando. Ejemplo 1.2.26 ¿Cu´al es mayor

√ √ 3 3 o 2?

√ √ √ √ √ Como 3 3 = 6 9 y 2 = 6 8 est´a claro que 3 3 es el mayor. Para simplificar cocientes en los que aparecen ra´ıces cuadradas, es conveniente eliminar las ra´ıces del denominador, multiplicando y√dividiendo por el √ radical conjugado. El radical conjugado de a + b c es a − b c. √ √ Ejemplo 1.2.27 Simplificar ( 2 − 1)/(2 − 3). √ √ √ √ √ √ 2−1 2−12+ 3 √ = √ √ =2 2−2+ 6− 3. 2− 3 2− 32+ 3

1.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.3. 1.3.1.

7

Expresiones algebraicas Polinomios

Una expresi´ on algebraica es cualquier combinaci´on de letras, variables, y n´ umeros, coeficientes, ligados por las operaciones elementales de suma, resta, multiplicaci´on, divisi´on, potenciaci´on y radicaci´on. Un monomio es una expresi´on algebraica en la que las u ´ nicas operaciones con las variables son la multiplicaci´on y la potencia con exponente natural. Un polinomio est´a formado por sumas y restas de varios monomios. Ejemplo 1.3.1 3xy 3 − x2 es un polinomio, pero 3x − 4x2 no lo es. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios. El monomio de grado cero se denomina t´ ermino independiente. El grado de una variable de un monomio es el exponente de esa variable. El grado de una variable de un polinomio es el mayor de los grados de la variable de sus monomios. Ejemplo 1.3.2 El grado del polinomio 3x2 y + 5x − 6y es tres. El grado de la variable x es dos y el de la variable y, uno. La suma, resta, multiplicaci´on y potencia de polinomios sigue las mismas reglas que las correspondientes operaciones con n´ umeros. S´olo que hay que agrupar y simplificar los t´erminos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes. Ejemplo 1.3.3 (2xy − x)(y − 2) = 2xy 2 − 5xy + 2x. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 , (a + b)(a − b) = a2 − b2 , (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 , (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 , (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc .

1.3.2.

Divisi´ on de polinomios

Dividir dos polinomios, p(x), q(x), consiste en hallar dos polinomios, d(x), el cociente, y r(x), el resto, de modo que p(x) = q(x)d(x) + r(x). El grado del resto tiene que ser inferior al grado del dividendo. Para calcular la divisi´on, se procede de manera an´aloga a la divisi´on num´erica. Si el resto es cero, se dice que p(x) es divisible por q(x). Ejemplo 1.3.4 Divisi´on de p(x) = 5x4 + 3x3 − 2x + 1 y q(x) = x2 − 1.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

8

x+6 5x4 + 3x3 − 2x + 1 = 5x2 + 3x + 5 + 2 . x2 − 1 x −1 El proceso de divisi´on se simplifica si el divisor es de la forma x + a. En este caso podemos aplicar la regla de Ruffini. Escribimos los coeficientes de los monomios del dividendo, ordenados en grado decreciente, incluyendo los que sean nulos. A la izquierda, escribimos el t´ermino independiente del divisor, cambiado de signo. Bajamos el primer coeficiente, lo multiplicamos por el n´ umero que hemos escrito a la izquierda y se lo sumamos al siguiente coeficiente. Repetimos el proceso hasta agotar los coeficientes. El u ´ ltimo n´ umero proporciona el resto. Los restantes n´ umeros son los coeficientes del cociente, que es de grado una unidad inferior al del dividendo. Ejemplo 1.3.5 Divisi´on de p(x) = 5x3 + 3x2 − 2x + 2 por q(x) = x + 2. 5 −2

3 −2 2 −10 14 −24 , 5 −7 12 −22

de donde leemos el cociente, 5x2 − 7x + 12 y el resto, −22. Este procedimiento es muy pr´actico para encontrar divisores de un polinomio p(x) con coeficientes enteros, ya que los u ´ nicos divisores de la forma x + a tienen que tener una a que divida al t´ermino independiente de p(x).

1.3.3.

Ecuaciones y divisores de polinomios

Una ecuaci´ on es una expresi´on matem´atica con variables y n´ umeros en la que interviene el signo igual, que s´olo se verifica para ciertos valores de las variables. En esta secci´on hablaremos de ecuaciones polin´omicas, en las que la expresi´on es un polinomio. Por contra, una identidad es una expresi´on matem´atica con variables y n´ umeros en la que interviene el signo igual, que se verifica para todos los valores de las variables. Ejemplo 1.3.6 x3 − 3x2 + 1 = 0 es una ecuaci´on polin´omica de grado tres, pero (x − 1)2 = x − 2x + 1 es una identidad. Para manejar los polinomios, es preferible expresarlos como producto de polinomios de grado bajo. Con coeficientes reales es posible expresar un polinomio como producto de polinomios de grados uno y dos. Con coeficientes complejos, bastan polinomios de grado uno. Llamamos cero o ra´ız de un polinomio p(x) a un n´ umero a que verifique la ecuaci´on p(a) = 0. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n ra´ıces distintas. Un n´ umero a es ra´ız de un polinomio p(x) si y s´olo si (x − a) es divisor de p(x), es decir p(x) = (x − a)q(x). Por tanto, hallar ra´ıces de un polinomio es un procedimiento para factorizarlo. La u ´ nica ra´ız de un polinomio de grado uno es f´acil de obtener. ax + b = 0 ⇔ x = −b/a .

1.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

9

Las dos ra´ıces, complejas o reales, de un polinomio de grado dos son tambi´en conocidas, √ −b ± b2 − 4ac 2 ax + bx + c = 0 ⇔ x = . 2a Si el discriminante, b2 − 4ac, es positivo, tenemos dos ra´ıces reales. Si es nulo, tenemos una u ´ nica ra´ız real, doble. Si es negativo, tenemos dos ra´ıces complejas. Las ecuaciones bicuadradas, de la forma ax4 + bx2 + c = 0, se reducen a ecuaciones de segundo grado, ay 2 + by + c, mediante el cambio y = x2 y se √ pueden, por tanto, resolver, primero en y, y luego en x = ± y. Se pueden resolver exactamente por radicales todas las ecuaciones de grado cuatro o menor. Por tanto, para factorizar polinomios de grado superior, tendremos que buscar factores de grado uno por otros m´etodos, como la regla de Ruffini, que nos permite hallar las ra´ıces enteras de un polinomio. Si un polinomio de grado n, p(x) = an xn +· · · a1 x+a0 tiene n ra´ıces b1 ,. . . ,bn , entonces lo podemos factorizar como p(x) = an (x − b1 ) · · · (x − bn ). Ejemplo 1.3.7 Factorizar el polinomio 2x5 − 8x4 + 2x3 + 12x2 . Sacamos factor com´ un 2x2 (x3 − 4x2 + x + 6) y factorizamos por la regla de Ruffini el polinomio restante, p(x) = x3 − 4x2 + x + 6. Como las ra´ıces enteras de un polinomio tienen que ser divisores del t´ermino independiente, s´olo pueden ser ra´ıces enteras los divisores enteros de 6, es decir, ±1, ±2, ±3, ±6. Como p(−1) = 0, p(2) = 0, p(3) = 0, est´a claro que las ra´ıces son -1, 2, 3 y, por tanto, el polinomio se puede factorizar como 2x5 − 8x4 + 2x3 + 12x2 = 2x2 (x + 1)(x − 2)(x − 3) . Otra manera hubiera sido recurrir a la regla de Ruffini, que nos va dando las factorizaciones, 1 −4 1 6 −1 −1 5 −6 , 1 −5 6 0 de donde obtenemos que −1 es una ra´ız y que p(x) = (x + 1)(x2 − 5x + 6). Este u ´ ltimo polinomio lo podemos seguir factorizando por la regla de Ruffini o con la f´ormula de la ecuaci´on de segundo grado. En cualquier caso, 2x5 − 8x4 + 2x3 + 12x2 = 2x2 (x + 1)(x − 2)(x − 3) . La regla de Ruffini se puede extender a ra´ıces fraccionarias. Un polinomio con coeficientes enteros p(x) = an xn + · · · + a0 s´olo puede tener ra´ıces fraccionarias de la forma a/b donde a es divisor del t´ermino independiente, a0 , y b es divisor del coeficiente del t´ermino de mayor grado, an . Ejemplo 1.3.8 Factorizar el polinomio p(x) = 12x3 − 20x2 + x + 3. Los numeradores de la ra´ıces fraccionarias s´olo pueden ser ±1, ±3, los divisores enteros de 3. Los denominadores de las mismas s´olo pueden ser divisores de 12, es decir, ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 ±12.

´ CAP´ITULO 1. ALGEBRA

10

Las ra´ıces posibles son, pues, ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/4, ±1/6, ±1/12, ±3/2, ±3/4, ±3. Evaluando el polinomio en estos valores podemos obtener las ra´ıces fraccionarias, p(1/2) = 0, p(−1/3) = 0, p(3/2) = 0, con lo cual, p(x) = 12(x − 1/2)(x + 1/3)(x − 3/2) . O bien aplicando la regla de Ruffini a estos n´ umeros. Obviamente, pueden existir ra´ıces que no sean ni enteras ni fraccionarias, pero no las podemos obtener por estos m´etodos elementales. √ Ejemplo 1.3.9 La ecuaci´on x2 + 6x + 1 = 0 tiene por ra´ıces −3 ± 8, ninguna de ellas fraccionaria.

1.3.4.

Inecuaciones

Una aplicaci´on pr´actica de la factorizaci´on es la resoluci´on de inecuaciones. Una inecuaci´ on es una expresi´on matem´atica con variables y n´ umeros en la que interviene el signo mayor o menor, que s´olo se verifica para ciertos valores de las variables. Nos ocuparemos ahora de las inecuaciones polin´omicas. Para ello, es preciso factorizar el polinomio y averiguar en qu´e regi´on es positivo cada uno de los factores. Un t´ermino x − a es positivo si x > a y negativo si x < a. Un t´ermino x2 + ax + b sin ra´ıces reales es siempre positivo, as´ı que no afecta a la inecuaci´on y se puede eliminar. Recordar que al multiplicar una inecuaci´on por un n´ umero negativo, se intercambian los signos mayor y menor. Como notaci´on, escribiremos (a, b) para denotar el intervalo abierto de n´ umeros comprendidos entre a y b, excluidos ambos, a < x < b. Del mismo modo [a, b] denota el intervalo cerrado de n´ umeros comprendidos entre a y b, incluidos ambos, a ≤ x ≤ b. Las expresiones (a, b] y [a, b) se interpretan de manera an´aloga. Ejemplo 1.3.10 Resolver la inecuaci´on −2(x − 3)(x + 1)(x2 + 1) > 0. La inecuaci´on es equivalente a p(x) = (x − 3)(x + 1) < 0, ya que el t´ermino x2 + 1 es siempre positivo. Vemos las regiones en las cuales son positivos los factores. El polinomio es positivo donde el producto de los factores es positivo. Intervalo x−3 x+1 p(x)

(−∞, −1) +

(−1, 3) + -

(3, ∞) + + +

Por tanto, la inecuaci´on p(x) < 0 se verifica en el intervalo (−1, 3) tan s´olo. Un tipo especial de inecuaciones es aquel en el que aparece la funci´on valor absoluto,  a a≥0 |a| = . −a a ≤ 0 Ejemplo 1.3.11 |2| = 2, | − 2| = 2.

1.3. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

11

El valor absoluto puede aparecer en inecuaciones de la forma |x − a| < b, con b positivo, que en el fondo es un sistema de dos inecuaciones en una, −b < x − a < b ⇔ a − b < x < a + b , es decir, la soluci´on es x ∈ (a − b, a + b).