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Capítulo 3 Números Índice 3.1.
Introducción
En temas anteriores se ha tratado de caracterizar la distribución de una o más variables mediante una serie de medidas (posición, dispersión, ...). En este tema se aborda el problema de la comparación de una serie de observaciones respecto a una situación inicial, jada arbitrariamente. La resolución de este problema requiere un análisis detenido de los dos aspectos siguientes: -Fijación arbitraria de la situación inicial a la que se referirán las comparaciones, ya que ésta condicionará el resultado de la comparación. -Comparación de magnitudes simples o complejas, según se consideren una o más magnitudes, respectivamente. El instrumento que utilizaremos para realizar estas comparaciones serán los números índice.
Un número índice es una medida estadística que permite estudiar los cambios que se producen en un magnitud simple o compleja con respecto al tiempo o al espacio. De nición 3.1.1
EJEMPLO. Coste de la vida en una ciudad el presente año en comparación con la del año anterior (tiempo). Coste de la vida en una ciudad comparado con el coste de la vida en otra ciudad (espacio).
Por simplicidad, sólo se considerará el caso de magnitudes temporales, aunque los métodos que se describirán son también aplicables al espacio.
3.2.
Números índices simples
Sea X una magnitud simple, y sean x0 , x1 , ..., xt , ..., los valores de dicha magnitud en los instantes sucesivos 0, 1, ..., t, ...
Se denomina índice simple de la magnitud X en el periodo t respecto al periodo 0, a la razón, x De nición 3.2.1
It/0 =
1
t
x0
.
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Apuntes de Estadística aplicada al turismo
Generalmente suele expresarse en %. Al periodo 0 utilizado como periodo de comparación se le denomina periodo base o de referencia. A t se le denomina periodo actual o corriente. El índice simple es una magnitud adimensional, que permite comparar la evolución de una magnitud en sucesivos periodos, así como la evolución de dos o más magnitudes en un mismo periodo. EJEMPLO. Las cifras de ventas en miles de millones de pesetas de unos grandes almacenes desde el año 1990 hasta 1995 son Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Ventas 12 14 18 18 19 15 I año/1990 100 116.7 150 150 158.3 125 14 × 100 = 116.7, lo que signi ca que las ventas en 1991 aumentaron un 16.7 % con I1991/1990 = 12 respecto a 1990.
3.2.1.
Índices simples más usuales
Los índices simples más usuales son Precio relativo, de nido como la razón entre el precio de un bien en el periodo actual, y el precio del mismo en el periodo base, Pt/0 =
pt . p0
Cantidad relativa, de nido como la razón entre la cantidad consumida (o producida) de
cierto producto en el periodo actual, y la cantidad consumida (o producida) del mismo en el periodo base, Qt/0 =
qt . q0
Valor relativo, de nido como la razón entre el valor de cierto producto en el periodo actual, y el valor del mismo en el periodo base, donde se de ne el valor de un bien en un
periodo como el producto del precio de ese bien por la cantidad producida (o consumida), Vt/0 =
3.2.2.
q t pt = Pt/0 Qt/0 . q0 p0
Propiedades de los índices simples
Propiedad circular. It/0 = It/t0 It0 /0 . Inversión. I0/t =
1 It/0
.
Encadenamiento. It/0 = It/t−1 It−1/t−2 ...I1/0 .
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Tema 3
Compatibilidad con el producto. Si X e Y son dos magnitudes simples y Z = XY , Z X Y entonces It/0 = It/0 It/0 .
X Y . = It/0 Homogeneidad. Si Y = aX , entonces It/0
3.3.
Números índices complejos
En un gran número de ocasiones no estamos interesados en comparar precios, cantidades o valores de bienes individuales, sino en comparar dichas magnitudes para grandes grupos de bienes. El objetivo que nos proponemos a continuación es sintetizar en un único índice la información suministrada por los índices simples de cada uno de los diferentes bienes, al que denominaremos índice complejo. Distinguiremos dos tipos de índices complejos: Índices complejos no ponderados, que dan igual importancia a todos los bienes. Índices complejos ponderados, donde cada bien lleva asociado un peso o ponderación. 3.3.1.
Índices complejos no ponderados
Para resumir la información obtenida a través de los índices simples de cada bien, estos índices promedian los simples, utilizando para ello la media aritmética, media geométrica, media armónica y media agregativa. Consideremos N magnitudes simples, X1 , X2 , ..., XN , con valores x10 , x20 , ..., xN 0 , en el periodo base, y valores x1t , x2t , ..., xN t , en el periodo actual, Periodo base Periodo actual Índices simples x10 x20
x1t x2t
I1 = x1t /x10 I2 = x2t /x20
xi0
xit
Ii = xit /xi0
xN 0
xN t
IN = xN t /xN 0 .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
Se de nen los siguientes índices complejos no ponderados, Media aritmética de índices simples, N 1 X Ii I¯t/0 = N i=1
Media geométrica de índices simples, G It/0 = (I1 × I2 × ... × IN )1/N
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Apuntes de Estadística aplicada al turismo
Media armónica de índices simples, N H It/0 = PN i=1
1/Ii
Media agregativa de índices simples. A It/0
PN x1t + x2t + ... + xN t i=1 xit = PN = x10 + x20 + ... + xN 0 i=1 xi0
EJEMPLO. Precio Índices simples Artículo 1970 1971 1970 1971 Leche 10 12 100 120 Queso 15 20 100 133.3 Mantequilla 80 80 100 100 Media aritmética,
120 + 133.3 + 100 = 117.76 I¯1971/1970 = 3
Media geométrica G I1971/1970 = (120 × 133.3 × 100)1/3 = 116.95
Media armónica H I1971/1970 =
3 1 120
+
1 133.3
+
1 100
= 116.12
Media agregativa A I1971/1970 =
3.3.2.
12 + 20 + 80 × 100 = 106.67. 10 + 15 + 80
Índices complejos ponderados
Los índices complejos no ponderados presentan el inconveniente de no considerar la diferente importancia relativa que puede tener cada una de las magnitudes simples. Cuando esto sea así, es necesario asociar a cada magnitud simple, y por tanto a sus índices, una ponderación que mida su peso relativo dentro del conjunto en que se considere. Sea wi la ponderación asociada a la magnitud Xi , y por tanto al índice Ii . Se de nen los siguientes índices complejos ponderados, Media aritmética ponderada, PN
wi Ii . I¯t/0 = Pi=1 N i=1 wi
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Tema 3
Media geométrica ponderada, G It/0
=
(I1w1
×
I2w2
× ... ×
INwN )1/w
donde w =
,
N X
wi .
i=1
Media armónica ponderada, H It/0
PN
= Pi=1 N
wi
wi i=1 Ii
.
Media agregativa ponderada A It/0
PN w1 x1t + w2 x2t + ... + wN xN t i=1 wi xit = PN . = w1 x10 + w2 x20 + ... + wN xN 0 i=1 wi xi0
EJEMPLO. Consideremos los datos del ejemplo anterior con las siguientes ponderaciones Leche Queso Mantequilla w1 = 70 w2 = 20 w3 = 10 En este caso, se tienen las siguientes medias ponderadas, Media aritmética, 120 × 70 + 133.3 × 20 + 100 × 10 = 120.6 I¯1971/1970 = 70 + 20 + 10
Media geométrica G I1971/1970 = 12070 × 133.320 × 10010
Media armónica H I1971/1970 =
100 70 120
+
20 133.3
+
10 100
1/100
= 120.6
= 120.48
Media agregativa A I1971/1970 =
12 × 70 + 20 × 20 + 80 × 10 × 100 = 133.3. 10 × 70 + 15 × 20 + 80 × 10
Observación. Los índices complejos, ponderados o no, no veri can, en general, las propiedades señaladas para los índices simples.
3.4. 3.4.1.
Tipos de índices complejos ponderados Índice de Laspeyres
Precios Es la media aritmética ponderada de los índices simples de precios, siendo el coe ciente de ponderación para el artículo i, wi = pi0 qi0 , es decir, el valor de la cantidad consumida del
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Apuntes de Estadística aplicada al turismo
artículo i en el periodo base con precios de dicho periodo. LPt/0
PN
PN
w i Pi Pi=1 N i=1 wi
=
=
pit i=1 pi0 qi0 pi0 PN i=1 pi0 qi0
PN
i=1 = PN i=1
pit qi0 pi0 qi0
=
cantidad año base a precios actuales cantidad año base a precios año base Es una medida de la variación de los precios para cantidades jas (año base). =
Cantidades De manera análoga se de ne el índice de Laspeyres para cantidades, LQ t/0
PN
PN
i=1 wi Qi P N i=1 wi
=
=
qit i=1 pi0 qi0 qi0 PN i=1 pi0 qi0
PN
i=1 = PN i=1
pi0 qit pi0 qi0
=
cantidad actual a precios año base cantidad año base a precios año base Es una medida de la variación de las cantidades a precios jos (año base). =
EJEMPLO. Artículo A Artículo B Artículo C Año P Q P Q P Q 1980 2 8 3 5 1 3 1981 3 7 4 6 2 3
3.4.2.
LP1981/1980
P3 pi,1981 qi,1980 3×8+4×5+2×3 × 100 = = P3i=1 × 100 = 147.05 2 × 8 + 3 × 5 + 1 × 3 p q i,1980 i,1980 i=1
LQ 1981/1980
P3 pi,1980 qi,1981 7×2+6×3+3×1 = Pi=1 × 100 = × 100 = 102.94 3 2×8+3×5+1×3 i=1 pi,1980 qi,1980
Índice de Paasche
Precios Se de ne como la media armónica ponderada de los índices simples, siendo los coe cientes de ponderación, wi = pit qit , es decir, el valor de la cantidad consumida del artículo i en el periodo actual con precios actuales. P Pt/0
PN =
wi Pi=1 N wi i=1 Pi
PN = PN
i=1
pit qit
pi0 i=1 pit qit pit
PN
i=1 = PN i=1
pit qit pi0 qit
Es una medida de la variación de los precios para cantidades jas (año actual).
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Tema 3
Cantidades De manera análoga se de ne el índice de Paasche para cantidades, Q Pt/0
PN
i=1 wi
= PN
wi i=1 Qi
PN
i=1 pit qit
= PN
qi0 i=1 pit qit qit
PN
i=1 = PN i=1
pit qit pit qi0
Es una medida de la variación de las cantidades a precios jos (año actual). EJEMPLO. Con los datos del ejemplo anterior, P3 pi,1981 qi,1981 3×7+4×6+2×3 P × 100 = 145.7 P1981/1980 = Pi=1 × 100 = 3 2×7+3×6+1×3 i=1 pi,1980 qi,1981 Q P1981/1980
3.4.3.
P3 pi,1981 qi,1981 3×7+4×6+2×3 = Pi=1 × 100 = × 100 = 102. 3 3 × 8 + 4 × 5 + 2 × 3 p q i,1981 i,1980 i=1
Índice de Fisher
Precios Se de ne como la media geométrica del índice de Laspeyres y el índice de Paasche, P Ft/0
q P = LPt/0 Pt/0 .
Q Ft/0
q Q = LQ t/0 Pt/0 .
Cantidades Análogamente,
EJEMPLO. Con los datos del ejemplo anterior, P F1981/1980 =
√ 147.05 × 145.7 = 146.37
Q F1981/1980 =
3.4.4.
√
102.94 × 102 = 102.46
Comparación de los índices de precios
- El índice de Laspeyres mantiene siempre la misma cesta de la compra (cantidades en el periodo base), mientras que el índice de Paasche compara el precio de la cesta de la compra de cada año con el precio de la misma cesta en el año base. - El índice de Paasche usa cestas variables. Las diferencias que se observen en este índice son debidas a cambios en los precios o al efecto de variaciones en la cesta de la compra
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Apuntes de Estadística aplicada al turismo
- El índice de Laspeyres suele dar mejores resultados, aunque al no variar la cesta de la compra, ésta puede quedar obsoleta, y utilizar productos que ya no se consuman, proporcionando información errónea. Sin embargo, se utiliza más que el de Paasche, ya que en este último se tiene que determinar la cesta anualmente, lo que resulta más costoso. 3.4.5.
Propiedades
(a) No veri can la propiedad circular. (b) En general se tiene que Lt/0 ≤ Ft/0 ≤ Pt/0 . (c) Se tiene que m´ın Ii,t/0 ≤ Lt/0 , Ft/0 , Pt/0 ≤ m´ax Ii,t/0 . i
i
(d) El índice de Laspeyres y el de Paasche no cumplen la inversión. El de Fisher sí, Ft/0 =
(e) Se tiene que
(f) Se tiene que
Pt/0 =
1 , L0/t
PN
pit qit
Vt/0 = PNi=1 i=1
3.5.
pi0 qi0
1 . F0/t
Lt/0 =
1 . P0/t
Q P P = Pt/0 Lt/0 = Pt/0 LQ t/0 .
Índice de precios al consumo (IPC)
El IPC es un índice cuyo objetivo es medir la evolución y cambio de nivel de los precios del conjunto de bienes y servicios consumidos por los hogares (personas) residentes en España. 3.5.1.
Metodología del IPC
Su elaboración corre a cargo del Instituto Nacional de Estadística (INE) y entre sus características, tenemos: (a) Periodo base: Actualmente es el año 2006 (b) Periodo de referencia de los precios: Los datos de precios corrientes se recogen desde el primer trimestre de 2004 hasta el cuarto de 2005. (c) Estrato de referencia: Es el conjunto de población residente en viviendas familiares en España. La estructura de gasto se determina a través de la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares (ECPF) que contempla una muestra de 8.000 hogares. A partir de dicha estructura se construye la llamada cesta de la compra.
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Tema 3
(d) Cesta de la compra: Es el conjunto de bienes y servicios para los que se recogen los precios mensualmente. Se consideran 491 artículos que se agrupan en 12 grandes grupos. (e) Ponderaciones: Representan la importancia relativa que cada artículo de la cesta de la compra tiene frente a los demás. Estas ponderaciones se actualizan periódicamente a través de la información suministrada por la ECPF y son secretas. (f) Los grupos de gasto son:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
Alimentos y bebidas no alcohólicas Bebidas alcohólicas y tabaco Vestido y calzado Vivienda Menaje Medicina Transporte Comunicaciones Ocio y cultura Enseñanza Hoteles, cafés y restaurantes Otros
(g) Fórmula utilizada: Se usa un índice de Laspeyres encadenado, que consiste en referir los precios de los artículos del periodo corriente a los precios del año inmediatamente anterior. (h) El IPC es dinámico y exible y permite adaptarse a los cambios de mercado y los hábitos de consumo (i) El IPC se emplea como medida de in ación, para revisar contratos de arrendamiento, pensiones, salarios y actualización de primas de seguro.
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Apuntes de Estadística aplicada al turismo
3.6.
Problemas
1. El 30 de Enero de 2003, una empresa pagó una nómina de 3 millones de euros a sus 88
empleados. El 30 de Enero del siguiente año, dicha Empresa aumentó en 10 sus empleados y pagó una nómina de 4,3 millones de euros más que en Enero de 2003. Halle: (a) El número índice del número de empleados para Enero de 2004. (b) El número índice del gasto en nómina para Enero de 2004. (c) El número índice del costo medio por empleado para Enero de 2004.
2. En 2005 el precio de un artículo de consumo bajó un 20 % con respecto al año anterior,
pero aumentó un 50 % con respecto al año 2000. Halle el número índice del precio de 2004 tomando como año base 2000.
3. En una empresa los costes de producción son: Salarios a obreros 45 % Materias primas 35 % Gastos de administración 20 % Los salarios se adaptan al índice de coste de la vida que ha pasado de 150 a 168 en los últimos 5 años, en este tiempo las materias primas se han encarecido un 8 % y los gastos de administración no se han modi cado. Calcular el incremento del coste de producción en este periodo de tiempo.
4. De distintas empresas se tienen los siguientes datos sobre salarios medios mensuales (en decenas de miles de euros) y número de empleados para distintos años.
Salarios
No Empleados
Empresas 2002 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2005 A B C D
5 6 6.2 8
5.5 6.5 6.3 8.2
5.9 6.9 6.6 8.5
6.2 7.2 7 8.7
1000 980 950 900 3700 3750 3650 3800 2000 2000 1900 1950 300 400 400 400
Calcular: (a) Los índices de Laspeyres de cantidad, con base 2002. (b) Los índices de salarios de Paasche, con base 2002.
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Tema 3
5. Conocidos los precios y cantidades de tres artículos de consumo correspondientes a los años 2001 a 2005:
2001 2002 2003 2004 2005 ARTICULOS P Q P Q P Q P Q P Q A 2 10 2 12 3 15 4 20 4 18 B 5 12 6 10 6 5 7 6 8 5 C 10 3 11 2 12 3 12 1 13 2 (a) Determine los números índices de precios de Laspeyres y Paasche. (b) Compara estos valores con los correspondientes a índices complejos no ponderados (m.aritmética y armónica). Tómese como base el año 2001 en todos los casos.
6. El propietario de un apartamento tenía pactado en 2002 un alquiler con su inquilino de 600 euros mensuales. Si en 2005 quiere revisarle el alquiler en base a los incrementos del IPC en esos años, cuyos índices han sido: AÑOS 2002 2003 2004 2005 I. P. C. 108.3 105.5 103.3 103.8 ¾Cuál será el nuevo alquiler mensual?
7. En España entraron 3187,9 millones de dólares en 2004 por el concepto de turismo y 3405,2
millones en 2005. Si el dólar estaba en 2004 a 0,96 euros y en 2005 a 0,92 ¾cuál es la variación en euros de la entrada de divisas entre los dos años?
8. A partir de la siguiente información: Carbón Hierro Año P Q P Q 2005 5 2 8 3 2006 4 3 6 4 Sabiendo que el peso del carbón es el triple que el del hierro, obtener el valor del índice complejo ponderado de 2006 con respecto a 2005, para los precios y cantidades indicadas utilizando la media agregativa.
9. Supongamos que la beca de un estudiante en 2001 era de 2400 euros y en 2004 de 2650 euros. Se sabe que el IPC ha pasado de 122.9 a 133.4 en esos años. ¾Cómo se ha modi cado el poder adquisitivo del estudiante? ¾Cuál debería de haber sido el importe de la beca en el 2004 para que su nivel de vida no hubiera cambiado respecto al año 2001?