Cap´ıtulo 4: Polinomios ´ Miguel Angel Olalla Acosta [email protected] ´ Departamento de Algebra Universidad de Sevilla

Diciembre de 2015

Olalla (Universidad de Sevilla)

Cap´ıtulo 4: Polinomios

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Contenido

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Introducci´on a los polinomios

2

Divisibilidad

3

M´aximo com´ un divisor

4

Factorizaci´on en Q[x]

5

Factorizaci´on en Z/Zp[x]

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Introducci´ on a los polinomios

Definici´on de polinomio

Definici´on (Polinomio) Sea A un anillo, un polinomio con coeficientes en A es una expresi´on de la forma a(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 , con ai ∈ A. Dos polinomios son iguales si lo son coeficiente a coeficiente. Se denota por A[x] al conjunto de todos los polinomios cuyos coeficientes son elementos de A.

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Introducci´ on a los polinomios

Grado de un polinomio

Definici´on (Grado) El grado de un polinomio a(x), notado grado(a(x)), es el mayor entero n tal que an 6= 0. El polinomio cuyos coeficientes son todos nulos se llama polinomio nulo y se denota por 0. Por convenci´ on el grado del polinomio nulo es grado(0) = −∞.

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Introducci´ on a los polinomios

Algunas definiciones

Notaci´on Sea a(x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ A[x] con an 6= 0. Llamaremos t´ ermino l´ıder de a(x) al t´ermino an x n , coeficiente l´ıder a an y t´ ermino constante a a0 . Un polinomio se dice m´ onico si su coeficiente l´ıder es 1. El polinomio a(x) se dice constante si es a(x) = a0 , es decir, si es nulo o de grado 0.

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Introducci´ on a los polinomios

El anillo A[x]

Teorema El conjunto A[x] con la suma y producto habituales es un anillo. Adem´as: Si A es un anillo conmutativo, A[x] es conmutativo. Si A es un anillo con elemento unidad, A[x] tiene elemento unidad. Si A es dominio de integridad, A[x] es dominio de integridad.

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Introducci´ on a los polinomios

Unidades de A[x]

Teorema Un polinomio de A[x] es una unidad si y s´ olo si es una constante y es una ∗ unidad en A. Es decir, el grupo A[x] de las unidades de A[x] es el grupo A∗ de las unidades de A.

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Divisibilidad

Divisi´on eucl´ıdea de polinomios

Teorema (Teorema de divisi´ on) Sea k un cuerpo y sean f (x) y g (x) dos polinomios de k[x], con g (x) 6= 0. Entonces existen dos u ´nicos polinomios q(x) y r (x) tales que f (x) = q(x) · g (x) + r (x) y grado(r (x)) < grado(g (x)). Corolario (Teorema del resto) Sea un polinomio f (x) ∈ k[x], y sea un elemento del cuerpo a ∈ k. Entonces f (a) es el resto de dividir f (x) por x − a.

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Divisibilidad

Divisibilidad Definici´on (Divisibilidad) Sean f (x) y g (X ) dos polinomios de A[x], decimos que g (x) divide a f (x), y lo escribimos g (x)|f (x) si existe un polinomio h(x) tal que f (x) = g (x) · h(x). Observaci´on Un polinomio divide a cualquier polinomio no nulo de k[x] si y s´olo si es una constante no nula. En k[x] g (x)|f (x) si y s´ olo si el resto de dividir f (x) entre g (x) es nulo. En k[x], si g (x)|f (x) y f (x)|g (x) entonces grado(f (x)) = grado(g (x)) y f (x) = a · g (x) donde a ∈ k \ {0} es una constante no nula. Olalla (Universidad de Sevilla)

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Divisibilidad

Ra´ız de un polinomio Definici´on (Ra´ız de un polinomio) Se dice que un elemento a ∈ A es ra´ız del polinomio f (x) ∈ A[x] si f (a) = 0. es decir, si al sustituir x por a en f (x) se obtiene el valor 0. Corolario (Teorema de la ra´ız) Sea un polinomio f (x) ∈ k[x] de grado positivo. Entonces f (x) tiene una ra´ız a ∈ k si y s´olo si es divisible por x − a. Definici´on (Multiplicidad de una ra´ız) Sean f (x) ∈ A[x] un polinomio y a ∈ A una ra´ız. Se llama multiplicidad de a al mayor entero positivo m tal que (x − a)m divide a f (x). Corolario (D’Alembert) Un polinomio no nulo f (x) ∈ k[x] de grado n tiene a lo sumo n ra´ıces distintas en k. Olalla (Universidad de Sevilla)

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M´ aximo com´ un divisor

M´aximo com´un divisor Definici´on (M´aximo com´ un divisor) Sean f (x) y g (x) dos polinomios con coeficientes en k. Un polinomio d(x) ∈ k[x] se dice que es un m´ aximo com´ un divisor de f (x) y g (x), y se escribe d(x) = mcd(f (x), g (x)), si verifica: 1. d(x)|f (x) y d(x)|g (x). 2. Si e(x) es otro polinomio que divide a f (x) y a g (x) entonces e(x)|d(x). Proposici´on El m´aximo com´ un divisor de dos polinomios es u ´nico salvo producto por constantes no nulas.

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M´ aximo com´ un divisor

M´aximo com´un divisor Algoritmo (de Euclides) Sean f (x) y g (x) dos polinomios no nulos con grado(f (x)) ≥ grado(g (x)). Entonces, haciendo divisiones sucesivas se obtiene: f (x) g (x) r (x)

= q(x) · g (x) + r (x) = q0 (x) · r (x) + r1 (x) = q1 (x) · r1 (x) + r2 (x) .. .

grado(r (x)) < grado(g (x)) grado(r1 (x)) < grado(r (x)) grado(r2 (x)) < grado(r1 (x))

rn−2 (x) = qn−1 (x) · rn−1 (x) + rn (x) grado(rn (x)) < grado(rn−1 (x)) rn−1 (x) = qn (x) · rn (x). Este proceso es finito y mcd(f (x), g (x)) = rn (x). Es decir, el m´aximo com´ un divisor de dos polinomios siempre existe.

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M´ aximo com´ un divisor

Identidad de B´ezout

Teorema (Identidad de B´ezout) Sean f (x) y g (x) dos polinomios de k[x] no nulos y sea d(x) = mcd(f (x), g (x)). Entonces existen unos polinomios a(x), b(x) ∈ k[x] tales que d(x) = a(x) · f (x) + b(x) · g (x).

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Factorizaci´ on en Q[x]

Polinomio irreducible Definici´on (Polinomio irreducible) Un polinomio no nulo p(x) ∈ k[x] se dice irreducible si no puede descomponerse como producto de dos polinomios no constantes.

Si p(x) ∈ k[x] es un polinomio irreducible y p(x) = f (x) · g (x) entonces uno de los dos factores es constante.

Todo polinomio de grado 1 es irreducible. Un polinomio de k[x] de grado 2 o 3 es irreducible si no tiene ra´ıces en k.

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Factorizaci´ on en Q[x]

Ra´ıces en Q[x] Calcular las ra´ıces de un polinomio f (x) ∈ Q[x] es equivalente a buscar las de cualquier polinomio a · f (x) con a ∈ Z \ {0}. En particular podremos suponer que, a efectos del c´alculo de ra´ıces, el polinomio f (x) est´a en Z[x] (es decir, todos sus coeficientes son enteros).

Proposici´on (Regla de Ruffini) Sea el polinomio f (x) = an x n + · · · + a1 x + a0 , ai ∈ Z, i = 0, 1, . . . , n, de grado n > 0. Supongamos que f (x) tiene una ra´ız racional α = a/b con a y b primos entre s´ı. Entonces a|a0 y b|an . Olalla (Universidad de Sevilla)

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Factorizaci´ on en Q[x]

Lema de Gauss

Definici´on (Contenido de un polinomio) Dado un polinomio f (x) ∈ Z[x] no nulo, se llama contenido de f (x), y se denota por c(f ), al m´aximo com´ un divisor de sus coeficientes. Se dir´a que un polinomio es primitivo si su contenido es 1. Teorema (Lema de Gauss) El producto de dos polinomios primitivos es un polinomio primitivo.

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Factorizaci´ on en Q[x]

Lema de Gauss

Corolario (4.4.2) Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio de grado n > 0 que se descompone, en Q[x], en producto de dos polinomios no constantes. Entonces f (x) se descompone en Z[x] como producto de dos polinomios de esos mismos grados Corolario (4.4.3) Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio primitivo de grado n > 0. Entonces f (x) es reducible en Z[x] si y s´olo si lo es en Q[x].

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Factorizaci´ on en Q[x]

Criterio de Eisenstein

Proposici´on (Criterio de Eisenstein) Sea f (x) un polinomio de grado n > 0 con coeficientes enteros f (x) = an x n + · · · + a1 x + a0 . Supongamos que existe un n´ umero primo p ∈ Z que divide a todos los coeficientes, salvo a an , y cuyo cuadrado p 2 no divide a a0 . Entonces f (x) es irreducible en Q[x].

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Factorizaci´ on en Q[x]

Reducci´on a polinomios primitivos

El estudio de la irreducibilidad de polinomios en Q[x] se puede reducir al de polinomios primitivos con coeficientes enteros: Primera reducci´ on: Para todo polinomio f (x) ∈ Q[x] existe un d ∈ Z tal que d · f (x) = h(x) es un polinomio con coeficientes enteros. Para obtener la descomposici´ on de f (x) basta calcular la de h(x). Luego podemos considerar s´ olo polinomios con coeficientes enteros. Segunda reducci´ on: Sea f (x) ∈ Z[x]. Sabemos que f (x) = c(f ) · h(x), donde h(x) ∈ Z[x] es primitivo. Para obtener la descomposici´on de f (x) en Q[x] es suficiente calcular la de h(x). As´ı que podemos considerar s´ olo polinomios con coeficientes enteros y primitivos.

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Factorizaci´ on en Z/Zp[x]

Factorizaci´on en Z/Zp[x] Sea f (x) = an x n + · · · + a1 x + a0 ∈ Z[x] un polinomio primitivo. Si ai = ai + Zp ∈ Z/Zp, pondremos f (x) = an x n + · · · + a1 x + a0 ∈ Z/Zp[x].

Proposici´on (3.7.2) Sea p un primo que no divida a an . Si f (x) es irreducible en Z/Zp[x] entonces f (x) es irreducible en Q[x]. Ejemplo (El rec´ıproco no es cierto) f (x) = x 2 + 2 es irreducible en Q[x] pero f (x) = x 2 es reducible en Z/Z2[x]. Olalla (Universidad de Sevilla)

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