CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLOGICO agropecuario No. 2

Hidrodinámica.

Cd. Delicias, Chih. 2015.

Situación problema para el estudio de la hidrodinámica.

Definición de conceptos

Gasto o Caudal. Ecuación de continuidad Ecuación de Bernoulli.

Teorema de Torricelli Tubo de Pitot .

Medidor de Venturi

Hidrodinámica Objetivo temático: Resolverás problemas de aplicación práctica de hidrodinámica, mediante el análisis, aplicación crítica y reflexiva de sus conceptos, principios, teoremas, modelos matemáticos.

Situación problema para el estudio de la hidrodinámica. A

Observa los diagramas del aparato circulatorio (A) y de una red de distribución de agua B (B). En cierto sentido, tanto el aparato circulatorio como la red de distribución de agua son sistemas similares. Determina las partes que son análogas en uno y en otro sistema de acuerdo con lo que observas en los diagramas. Utiliza la siguiente tabla para anotar las similitudes. Sistema circulatorio

Sistema de abastecimiento de agua

similar similar a similar a similar a a existen diferentes diámetros de Si observas, en ambos casos

arterias, venas, vasos sanguíneos, etc.; así como también en la red de agua existen diferentes diámetros. Si el diámetro de una tubería se reduce de manera uniforme, ¿la cantidad de agua que sale por el extremo delgado es igual a la cantidad de agua que entra por el otro extremo?

Si colocas una manguera en el jardín de tu casa y colocas un dedo en la salida de agua ¿Qué le ocurre a la rapidez del flujo de agua cuando pasa por la salida estrecha de la manguera? El tanque elevado en el diagrama de distribución de agua ¿qué rol juega en el mismo? ¿Qué podría sustituirlo? ¿Qué parte del cuerpo realiza esa función? ¿Te has preguntado cómo se mide la cantidad de agua que consumimos en nuestros hogares? Cd. Delicias está dentro de una red de sistemas de riego, el módulo 3 y 5 son los principales, todos hemos vistos los canales de riego al llegar al CBTa, hemos visto a los regadores utilizar sus “pipas” para regar. ¿Cómo crees que midan la cantidad de agua que suministran los canaleros a los agricultores? Escribe en tu cuaderno tus hipótesis y predicciones para cada uno de los cuestionamientos que encontraras en el texto, posteriormente compáralo con los integrantes del equipo al cual te integraras, finalmente presente al grupo las conclusiones obtenidas en el equipo.

Introducción. Cuando observamos el agua de un río correr, cuando bebemos agua de un vaso, cuando abrimos la llave de la toma de agua de nuestra casa, cuando contratamos el servicio de gas natural por medio de tuberías subterráneas, tienen lugar muchos fenómenos que a simple vista no notamos e incluso podemos llegar a pensar que no existen. Estos fenómenos están presentes en la Naturaleza. Las actividades cotidianas arriba mencionadas involucran algo en común, el desplazamiento de fluidos. Hasta aquí, nuestro estudio de los fluidos se ha limitado a los fluidos estáticos. Ahora nos concentraremos en el estudio de los fluidos cuando están en movimiento, y para ello haremos uso de algunos de los conceptos que aprendiste en las secciones anteriores, como densidad y presión. En otras palabras, describiremos la dinámica de los fluidos en función de sus propiedades globales. Sin embargo, cuando se trata de fluidos reales, no es fácil describir su movimiento, ya que se producen fenómenos muy complejos que todavía no se comprenden por completo. Por ejemplo, ¿has observado el flujo de un canal de agua de riego o el movimiento de las partículas de humo en el aire? En ocasiones aparecen comportamientos impredecibles, muy difíciles de explicar. Por esto, como es habitual en física, haremos uso de un modelo simplificado que, a pesar de sus limitaciones, resulta muy efectivo para entender el comportamiento de los fluidos en movimiento. La hidrodinámica es la parte de la física que se encarga de estudiar el comportamiento de los fluidos en movimiento, ya sean confinados en recipientes, en una tubería o actuando bajo la acción de la gravedad.

Leonhard Euler (1707-1783) fue el primero en reconocer que el movimiento de los fluidos sólo puede expresarse en forma relativamente sencilla, si se supone que los fluidos son incompresibles y se desprecian los efectos de rozamiento y viscosidad. En la realidad no sucede así, por lo que los análisis que hagamos nos ayudan para hacer una estimación del comportamiento de los fluidos en movimiento en los que la viscosidad afecta poco. Dada esta idea de Euler, consideraremos a partir de este momento que los fluidos tienen un comportamiento ideal, es decir, para facilitar la comprensión de estas características debemos tomar en cuenta las siguientes reglas:  Los líquidos son incompresibles.  La viscosidad no afecta el movimiento del fluido, es decir, la fricción ocasionada por el paso del líquido en las paredes de la tubería se considera despreciable.  El flujo del líquido a través de las tuberías es estable y estacionario, es decir, no hay turbulencias. Si colocamos una partícula dentro del fluido, ésta debe seguir la misma trayectoria y adquirir la misma velocidad del flujo.  Es un fluido irrotacional. Es un fluido que al pasar por una rueda de aspas no la hace girar, es decir, sólo presenta movimiento de traslación.

Definición de conceptos Flujo y líneas de flujo. El movimiento continuo de gases o líquidos por canales o tuberías recibe el nombre de flujo.

Consideremos el movimiento de un fluido de un modo idealizado. De acuerdo a esto, el flujo de un fluido puede ser de dos tipos. Por una parte, se dice que un flujo es estacionario o laminar, cuando cada partícula del fluido sigue una trayectoria uniforme que no se cruza con la trayectoria de las otras partículas. De esta manera, las partículas forman capas o láminas y se mueven sin que haya mezcla significativa de partículas de fluido vecinas. Por otra parte, cuando el fluido se mueve con una rapidez superior a cierta rapidez crítica, el flujo se vuelve turbulento. Este tipo de flujo se caracteriza por ser irregular debido a la presencia de remolinos, como ocurre en las zonas en que los ríos se encuentran con obstáculos. Se considera un flujo uniforme cuando la velocidad, la densidad y la presión de un fluido no solo son invariable en cada punto, sino que son iguales en todos los puntos; el flujo además de estacionario, es uniforme. Para caracterizar la fricción interna de un fluido cualquiera se usa un parámetro conocido como viscosidad. Cuando un fluido es más viscoso, entonces hay mayor fricción entre sus capas, lo que dificulta su movimiento, de manera análoga a la acción de la fuerza de roce por deslizamiento entre dos superficies.

La trayectoria que describe un elemento de fluido en movimiento se denomina línea de flujo o de corriente. Estas líneas nos dan una idea de la velocidad de los elementos del fluido, mientras más juntas estén en un área determinada, más rápido pasaran los elementos del fluido por allí. En la figura en 1 y 3 podríamos establecer casi la misma velocidad, la cual es menor que en 2.

Gasto o Caudal. Cuando el agua fluye por una tubería o bien, cuando la sangre fluye por nuestras venas, es común hablar de gasto o caudal, que se define como el volumen de líquido que circula a través de la sección transversal por unidad de tiempo. Matemáticamente se expresa mediante la siguiente ecuación: 𝑽

𝑮 = 𝒕, donde: G = gasto o caudal en m3 / s, litros/min, cm3/s, etc. V= volumen de líquido, en m3, litros, cm3/s, etc. t= tiempo que tarda en fluir el líquido. El gasto de un fluido también puede conocerse si se conoce el área (A) de la sección transversal del conducto o tubo por el cual fluye el líquido y su velocidad (υ). Si consideramos la figura de la derecha, el volumen V del líquido contenido en el tubo desde el punto 1 al 2, se obtiene multiplicando el área A de la sección transversal, por la distancia “d” recorrida por el líquido entre esos puntos, en el tiempo “t” que tardó en fluir el líquido del punto 1 al 2. Pero como la velocidad del fluido es constante, dicha distancia se obtiene multiplicando

la velocidad “υ” por el tiempo “t”, por lo tanto el volumen se obtiene así: V =Ad =Aυt, donde: V = volumen, υ = velocidad y t = tiempo. Sustituyendo en 𝐺 = t nos queda:

𝑉 𝑡

el volumen tenemos 𝐺 =

Aυt 𝑡

, eliminamos

G = Aυ, donde: G = gasto, A = área de la sección transversal, υ = velocidad. Esta ecuación también es ampliamente utilizada para el cálculo del gasto.

Flujo de masa. El flujo de masa es la cantidad de masa de un líquido que pasa por un conducto en la unidad de tiempo. 𝐹=

𝒎 𝒕

,

donde: F = flujo másico, m = cantidad de masa

que circula y t = tiempo. De la definición de densidad tenemos 𝜌 =

𝑚 𝑉

Despejando m tenemos m = ρV Si sustituimos en la ecuación de flujo tenemos: 𝐹 = ρ

𝑉 𝑡

𝑽

Como 𝑮 = 𝒕 , entonces F = ρG, donde: F = Flujo másico, ρ = Densidad del fluido, G = gasto

Ejemplo 1: A través de un tubo de 8.0 cm de diámetro fluye aceite a una rapidez promedio de 4.0 m/s. ¿Cuál es el flujo Q en m3/s y m3/h? Solución: Datos. D = 8.0 cm = 0.08 m υ = 4.0 m/s La ecuación G = Aυ, tenemos la velocidad (υ) pero desconocemos el área de la sección transversal del tubo, misma que podemos calcular con: A = πr2, sustituyendo obtenemos: G = πr2 υ = π (0.040 m)2 (4.0 m/s) = 0.020 m3/s Sabemos que 1 hr = 3600 seg, convirtiendo los segundos a hora calculamos el gasto en m3/hr. 𝑠

G = (0.020 m3/s)(3 600 ℎ𝑟)= 72 m3/hr Respuesta: G = 0.020 m3/s, y G = 72 m3/hr Ejemplo 2: Por una tubería fluye agua con un gasto de 1.6 m3/s. Determina la rapidez del agua en un punto donde el radio de la tubería es de 0.5 m. Solución: Datos. G = 1.6 m3/s r = 0.5 m En la ecuación G = Aυ, observamos que ya tenemos el gasto G y con el radio r podemos calcular el área de la sección transversal, por lo que, despejando de la ecuación de gasto la rapidez υ tenemos:

𝐺

𝑚3 𝑠

1.6

υ = 𝐴 = π (0.5 m )2 = 2.03 Respuesta: υ = 2.03

𝑚 𝑠

𝒎 𝒔

Ecuación de continuidad. Cuando pasa agua o cualquier otro fluido por una tubería o un tubo, como se muestra en la siguiente figura, el volumen de agua que entra por un extremo debe ser igual al volumen de agua que sale por el otro, es decir: V1 Volumen de agua o cualquier otro fluido entrante

El volumen de agua que entra V1 debe ser igual al que sale V2

=

V2 Volumen de agua o cualquier = otro fluido Nota: no confunda el volumen V1 ysaliente V2 con velocidad (υ) Si se conoce las velocidades de entrada (υ1) y de salida (υ2) del agua (o fluido), así como las áreas (A1 y A2) de las secciones transversales del tubo, y partiendo del hecho de que el volumen V1 se midió en el mismo intervalo de tiempo (t) que el volumen V2, entonces la ecuación anterior se convierte en: A1 υ1 t= A2 υ2 t, Al simplificarse dado que el tiempo es el mismo, se obtiene: A1 υ1 = A2 υ2

Esta expresión matemáticamente recibe el nombre de ecuación de continuidad y representa una expresión de la ley de la conservación de la masa, pues como los volúmenes de entrada y salida son iguales, las masas de fluido también deben ser iguales en la entrada y en la salida. Al analizar la ecuación de continuidad se deduce que el agua, o cualquier otro fluido, fluye más rápido donde el área de la sección transversal del tubo es más angosta y fluye más lento donde el área de la sección transversal es más ancha. Este análisis permite comprender por qué el agua fluye más rápido en lugares donde el río es más angosto. Revisa los siguientes enlaces: https://www.youtube.com/watch?v=RfXwjZz7yus

Ejemplo 3: Un acueducto de 14 cm de diámetro interno (d.i.) surte agua (a través de una cañería) al tubo de la llave de 1.00 cm de d.i. Si la rapidez promedio en el tubo de la llave es de 3.0 cm/s, ¿cuál será la rapidez promedio en el acueducto? Solución: Datos. Vamos a considerar el punto 1 como la llave y el punto 2 el acueducto, tenemos entonces: D1 = 1.00 cm D2 = 14 cm υ1 = 3.0 cm/s υ2 = ? Los dos flujos son iguales. De la ecuación de continuidad se sabe que G = A1 υ1 = A2 υ2 𝐴

υ2 = υ1 𝐴1 sabemos que el A = πr2 sustituimos en la expresión 2

anterior: πr21

= υ1 πr2 , tenemos como factor común a π, el cual eliminamos 2

dando como resultado: r21

1

υ1 r2 , sustituyendo datos υ2 = (3.0 cm/s) (14)2 = 0.015 cm/s 2

Ejemplo 4. Cuando el agua fluye por una manguera de 2.5 cm de diámetro lo hace con una rapidez de 1.5 m/s. Calcula: a) El diámetro que debe tener una boquilla o reducción de la manguera para que el agua salga con velocidad de 8.0 m/s. b) El gasto a través de esa manguera en m3/s y litros/min. Solución. Datos: D1 = 2.5cm υ1 = 1.5 m/s Para el inciso a) υ2 = 8.0 m/s,

D2 = ?

b) G =? De la ecuación de continuidad tenemos A1 υ1 = A2 υ2 La cual también puede estar expresada como: El área también la podemos calcular con A =

πD2 4

, por lo que la

ecuación anterior quedaría: πD21 4

𝛖1 =

πD22 4

π

𝛖2 , eliminamos los factores comunes , despejamos 4

de la ecuación la incógnita D2 y tenemos: D2 = √

𝐷12 𝛖1 𝛖2

=√

(1.5

𝑚 )(2.5 𝑐𝑚)2 𝑠 𝑚 8 𝑠

= 1.0825 cm

b) Calculo del gasto G. G = A1 υ1 =

πD21 4

𝛖1 =

π (0.025 m)2 4

𝑚

(1.5 𝑠 ) = 0.00074 m3/s.

Sabemos que 1m3 = 1000 litros, y un min = 60 seg. por lo que al convertir el anterior resultado tenemos: 0.00074

𝑚3 1000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑠

[

𝑚3

][

60 𝑠𝑒𝑔 𝑚𝑖𝑛

] = 44.4 litros/seg.

Resultado: a) D2 = 1.0825 cm b) G = 0.00074 m3/s y G = 44.4 litros/seg. Ejemplo 5: https://www.youtube.com/watch?v=zNP33Wdg164

Ejemplo 6: https://www.youtube.com/watch?v=AJQXYGMjzzs

Ecuación de Bernoulli. Como indicamos desde que iniciamos esta unidad, trabajaremos con fluidos que son incompresibles, no viscosos e isotrópicos. Si un fluido tiene estas características y además se determina que fluye a régimen permanente y de forma irrotacional podemos, si conociéramos su rapidez, presión y energía potencial, especificar otras características del fluido. Las leyes de la dinámica para cuerpos sólidos, vistas en Física I, son aplicables también a los fluidos. Debido a que no tienen forma propia, se hacen las consideraciones citadas al principio de esta sección, respecto a los fluidos ideales. Daniel Bernoulli (1700-1782), físico suizo, estudió el comportamiento de los líquidos y aplicó precisamente una de estas leyes: la ley de conservación de la energía, al comportamiento de un líquido en movimiento.

Antes iniciar la explicación matemática, revisa los siguientes videos sobre algunos fenómenos y aplicaciones que pueden explicarse a través de la ecuación de Bernoulli.

https://www.youtube.com/watch?v=fb7bQ9o4leo

https://www.youtube.com/watch?v=BW0UmTEMMAc

Veamos cuál pudo ser el razonamiento de Bernoulli Si consideramos el flujo de un líquido por la tubería que se muestra en la figura siguiente, podemos asegurar que dicho líquido tiene tres tipos de energía: 1) Energía cinética, puesto que representa una masa en movimiento, es decir el fluido lleva cierta velocidad. Dicha energía se obtiene así: 1 𝑚υ2 2 2) Energía potencial gravitacional, debido a que el líquido se encuentra en el campo gravitacional terrestre. Esta energía se obtiene así: 𝐸𝑐 =

Ep = mgh donde “h” es la altura a la que se encuentra el líquido de un cierto nivel que se toma como referencia. 3) Energía de presión, producida por la presión mutua que ejercen las moléculas del líquido entre sí, por lo que el trabajo realizado para un desplazamiento de las moléculas es igual a esta energía de presión. Como la energía de presión es igual al trabajo realizado W, entonces Epresión = W = Fd. 𝐹

Pero como presión P = 𝐴, entonces, F = PA, por lo que la energía de presión puede expresarse así: Epresión = PAd

El producto del área de la sección transversal del tubo o conducto, al multiplicarse por la distancia (d) recorrida por el líquido, es precisamente el volumen (V) del líquido que pasa del punto 1 al 2, esto es: V = Ad Entonces la energía de presión se expresa: Epresión = PV Por otro lado el volumen (V) del líquido se puede expresar en 𝑚 𝑚 términos de su densidad, así: ρ = 𝑉 , por lo que: V = ρ y por lo tanto Epresión = =

𝑃𝑚 ρ

Aplicando la ley de conservación de la energía, la suma de la energía cinética, más potencial, más la energía de presión en el punto 1, es igual a la suma de estas mismas energías en el punto 2: Ec1 + Ep1 + Epresión1 = Ec2 + Ep2 + Epresión2 Sustituyendo estas energías por sus expresiones, obtenemos: 𝑚υ12 𝑃1 𝑚 𝑚υ22 𝑃2 𝑚 + 𝑚𝑔ℎ1 + = + 𝑚𝑔ℎ2 + 2 ρ1 2 ρ2 Multiplicando cada término de la expresión anterior por ρ/m, nos queda: ρυ12 ρυ22 𝑃1 + + ρgℎ1 = 𝑃2 + + ρgℎ2 2 2 Esta es la forma más común de expresar la ecuación fundamental de la hidrodinámica, conocida como Ecuación de Bernoulli. Esta ecuación, obtenida por Bernoulli, supone el flujo de un líquido ideal incompresible, por lo que la densidad del líquido no cambia al pasar del punto 1 al punto 2. También se considera insignificante la viscosidad del líquido, por lo que se supone que no hay pérdida de energía por fricción.

A pesar de lo anterior, la ecuación de Bernoulli nos permite resolver situaciones de líquidos reales sin incurrir en errores considerables, ya que la pérdida real de energía es insignificante comparada con la magnitud de las otras energías que intervienen. Veamos un par de características de la Ecuación de Bernoulli: Aunque la ecuación de Bernoulli se dedujo a partir de un líquido en movimiento, también es aplicable a un líquido en reposo. En este caso υ1 = υ2 = 0 y dicha ecuación se transforma en la conocida ecuación fundamental de la hidrostática: P2 = P1 + ρgh Donde se ha sustituido la diferencia de alturas (h1 – h2) por “h”. Si el líquido fluye por una tubería que no tiene desniveles, entonces h1 = h2 y la Ecuación de Bernoulli se reduce a: ρυ12 ρυ22 𝑃1 + = 𝑃2 + 2 2 Para que se dé esta igualdad, debe ocurrir lo siguiente: si la velocidad del fluido en el punto 1 es grande, la presión debe ser pequeña y viceversa, confirmando lo visto anteriormente en la ecuación de continuidad. Al término

ρυ2 2

se le llama presión dinámica.

Los resultados de los estudios de Bernoulli se pueden resumir así: “La presión que ejerce un líquido que fluye por un conducto es mayor cuando el líquido fluye a bajas velocidades, y menor cuando aumenta la velocidad de flujo”. Es decir, cuando las líneas de flujo se aproximen entre sí, la presión en dicha región será menor.

“En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las energías cinética, potencial y de presión que ejerce un líquido se mantiene constante, es decir, la suma de estas energías en un punto determinado, es igual a la suma de dichas energías en cualquier otro punto”. Ejemplo 7. Un tubo horizontal tiene la forma que se presenta en la fi gura siguiente. En el punto 1 el diámetro es de 6.0 cm, mientras que en el punto 2 es sólo de 2.0 cm. En el punto 1, la velocidad del agua υ1 = 2.0 m/s y P1 = 180 Kpa. Calcule υ2 y P2 Solución. Datos. D1 = 6.0 cm D2 = 2.0 cm υ1 = 2.0 m/s P1 = 180 Kpa = 180,000 Pa υ2 = ? P2 = ? ρagua = 1000 kg /m3 Como hay dos incógnitas, se necesitarán dos ecuaciones. Para conocer υ2 se aplica la ecuación de continuidad A1 υ1 = A2 υ2, o r21

bien en forma simplificada esta ecuación quedaría: υ2 =υ1 r2 , 2

(6 𝑐𝑚)2

υ2 =2.0 m/s ( (2 𝑐𝑚)2 = (2.0 m/s) (9)= 18 m/s Para encontrar la P2 aplicaremos la ecuación de Bernoulli. Dado que es un tubo horizontal h1 y h2 serán iguales por lo que las

eliminamos de la ecuación , y despejamos de la misma P2, quedándonos la siguiente expresión: 𝑃2 = 𝑃1 +

ρυ21 2

−

ρυ22 2

1

= 𝑃1 + 2 ρ[υ12 − υ22 ]

Sustituyendo datos: 𝑃2 = 180,000

𝑁

1

+ 2 (1000 𝑚2

Pa = 20 Kpa. Resultados: υ2 = 18 m/s y 𝑷𝟐 = 𝟐𝟎 𝐊𝐩𝐚.

𝑘𝑔

𝑚

𝑚

) [(2 𝑠 )2 − (18 𝑠 )2 ]= 20,000 𝑚3

Ejemplo 8. El tubo que se muestra en la figura siguiente tiene un diámetro de 16 cm en la sección 1 y 10 cm en la sección 2. En la sección 1 la presión es de 200 kPa. El punto 2 está 6.0 m más alto que el punto 1. Si un aceite de 800 kg/m3 de densidad fluye a una tasa de 0.030 m3/s, encuentre la presión en el punto 2 si los efectos de la viscosidad son despreciables. Solución. Datos: D1 = 16 cm = 0.16 m D2 = 10 cm = 0.10 m P1 = 200 Kpa = 200,000 Pa h1 = 0 h2 = 6 m Ρaceite = 800 kg /m3 G = 0.030 m3/s P2 = ? Para conocer la velocidad en el punto 1 y 2 se aplica la ecuación de continuidad G =A1 υ1 = A2 υ2, sabemos que el área la calculamos con: A = πr2, de donde entonces obtenemos: 𝑮

υ1 = 𝑨 = 𝟏

𝑮

υ2 = 𝑨 = 𝟐

𝑚3 𝑠 π(0.8 m)2

0.030

𝑚3 𝑠 π(0.1 m)2

0.030

= 1.49 m/s = 3.82 m/s

Ahora se puede utilizar la ecuación de Bernoulli: ρυ12 ρυ22 𝑃1 + + ρgℎ1 = 𝑃2 + + ρgℎ2 2 2

Despejamos P2 y eliminamos h1 = 0 tenemos: ρυ12 ρυ22 𝑃2 = 𝑃1 + − − ρgℎ2 2 2 Sustituimos datos: 𝑘𝑔 𝑚 2 (800 𝑘𝑔 ) (3.82 𝑚 )2 (800 3 )(1.49 ) 𝑁 𝑠 𝑚3 𝑠 𝑚 𝑃2 = 200,000 2 + − 𝑚 2 2 𝑘𝑔 𝑚 − (800 3 )(9.81 2 )(6 m) 𝑚 𝑠

Resultado: P2 = 1.48 x 105 Kpa.

Ejemplo 9: https://www.youtube.com/watch?v=rqz-ieQERtI

Ejemplo 10: https://www.youtube.com/watch?v=7lkY1I7TnqE

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli. Al hecho de que la presión que ejerce un fluido depende de la velocidad con que fluye, se le han encontrado varias aplicaciones. Algunas de ellas se detallan a continuación:

Teorema de Torricelli La ecuación de Bernoulli puede ser aplicada para obtener la velocidad de salida de un líquido contenido en un recipiente, al cual se le hace un orificio en algún punto por debajo del nivel al que se encuentra la superficie libre del fluido.

En la figura podemos tomar como punto 1, un punto ubicado en la superficie libre y como punto 2, el punto en el cual se encuentra el orificio y aplicamos la ecuación de Bernoulli, tenemos: ρυ12 ρυ22 𝑃1 + + ρgℎ1 = 𝑃2 + + ρgℎ2 2 2 En este caso se pueden hacer las siguientes consideraciones: a) La velocidad del líquido en el punto superior podemos considerarla insignificante comparada con la velocidad de salida en el punto inferior. Por lo tanto, el término despreciarlo.

ρυ21 2

, podemos

b) Debido a que el punto 2 se encuentra en la llave o salida del fluido, prácticamente la altura h2 es igual a cero, por lo que también el término “ρgℎ2 ” podemos eliminarlo. c) La energía de presión es provocada por la presión atmosférica y dicha presión es la misma tanto en el punto que está en la superficie, como el punto 2 que hemos considerado en la salida del fluido del recipiente. En consecuencia, los términos P1 = P2 son iguales y pueden también eliminarse. Por tanto, de la ecuación de Bernoulli sólo nos quedan los siguientes términos: ρgℎ1 =

ρυ22 2

, de donde la densidad ρ es factor común para ambos

lados de la igualdad y lo podemos eliminar. De la ecuación resultante despejamos υ2 y obtenemos la siguiente expresión: υ2 = √2𝑔ℎ Esta ecuación fue deducida por nuestro ya citado físico italiano Evangelista Torricelli, quien resume su resultado en el teorema que lleva su nombre:

“La velocidad con la que un líquido sale por un orificio de un recipiente, es igual a la que adquiriría un cuerpo que se dejara caer libremente desde la superficie libre del líquido, hasta el nivel en que se encuentra el orificio”.

Ejemplo 9. Un tanque abierto tiene un orificio de 1.5 cm de radio, que se encuentra a 5 m por debajo del nivel de agua contenida en el tanque, ¿con qué magnitud de velocidad saldrá el agua del orifico? Solución. Datos. r= 1.5 cm h=5m g = 9.81 m/s2 De la ecuación υ = √2𝑔ℎ, observamos que contamos con los datos necesarios para encontrar la velocidad de salida, por lo que simplemente sustituimos en la misma: υ = √2(9.81

𝑚 𝑠2

)(5 𝑚) = 9.90 m/s

Resultado: υ = 9.90 m/s

Tubo de Pitot El tubo tiene una forma de L y al introducirse en el líquido en movimiento (como las aguas de un río), debido a la presión, el agua se eleva en el tubo hasta alcanzar cierta altura sobre la superficie de la corriente. Conociendo esta altura, la velocidad del fluido se obtiene con el Teorema de Torricelli: υ = √2𝑔ℎ

Las aeronaves utilizan tubos de Pitot para medir la velocidad del aire.

El medidor de Venturi El efecto Venturi consiste en la disminución de la presión de un fluido cuando fluye a través de la sección reducida de una tubería. Como hemos visto, la rapidez del fluido aumenta en el tramo angosto de la tubería para satisfacer la ecuación de continuidad, mientras que su presión disminuye por la conservación de la energía. El tubo de Venturi es una aplicación de este efecto presentada en el año 1797 por el físico italiano Giovanni Battista Venturi (17461822). Se trata de un dispositivo que sirve para medir la rapidez del flujo que lo atraviesa.

El medidor de Venturi consiste en un tubo de diámetro variable por el que circula el fluido. La diferencia de presión entre la región ancha y la región más estrecha puede medirse con un tubo vertical en forma de U conectando ambas regiones, el cual funciona como manómetro. Si se usa un líquido manométrico, como en el caso de la Figura de la derecha, la diferencia de altura del líquido en las ramas del tubo en forma de U permite medir la diferencia de presión entre las dos secciones a las que está conectado. Otra forma de conectar es el mostrado en la figura de la izquierda, se coloca un tubo en el punto 1 y otro en la parte angosta denominada garganta. Se puede deducir una expresión para la rapidez de flujo υ1 en función de las áreas transversales A1 y A2 y la diferencia de altura h en los tubos verticales, quedando: υ1 = √

2ρ𝐿 𝑔ℎ ρ((𝐴1 / 𝐴2 )2 −1)

De esta fórmula, podemos concluir que entre mayor sea la diferencia de alturas entre los dos tubos, mayor debe ser la velocidad del fluido en el estrechamiento. También podemos ver (un poco

más difícilmente) que a mayor diferencia entre las áreas 1 y 2, es mayor la velocidad en la parte estrecha. Se pueden medir directamente las presiones en la parte normal y en la parte angosta del conducto, colocando manómetros en dichas partes. Se puede demostrar que aplicando la ecuación de Bernoulli, la velocidad del líquido se obtiene con la siguiente expresión: υ1 = √

2 (𝑃1 − 𝑃2 ) 2

𝐴 ρ [ 12 −1] 𝐴2

Además de determinar la velocidad de los fluidos en un conducto, el efecto Venturi tiene otras aplicaciones: el suministro de gasolina de un motor con carburador se consigue utilizando un tubo de Venturi; los rociadores o atomizadores, como los utilizados para pintar, también aplican este efecto.

Ejemplo 10. Un medidor Venturi, como el de la figura en la parte inferior, tiene una sección transversal con área de 0.002 m2 en la parte ancha y 0.001 m2 en la parte angosta. ¿Cuál es el valor de la velocidad del agua que pasa por el medidor si la lectura del manómetro es de 22 cm? La densidad del mercurio es de 13,600 kg/m3 Solución. Datos. A1 = 0.002 m2 A2 = 0.001 m2 h = 22 cm = 0.22 m ρhg = 13,600 kg/m3 ρagua = 1000 kg/m3 υ1 = ? 2ρ𝐿 𝑔ℎ

Con la expresión υ1 = √ρ((𝐴

1 / 𝐴2 )

2 −1)

podemos calcular la

velocidad deseada, por lo que sustituimos datos en la misma: υ1 = √

𝑘𝑔 𝑚 )(9.81 2 )(0.22) 3 𝑚 𝑚 𝐾𝑔 0.002 𝑚2 2 1000 3 (( ) −1) 𝑚 0.001 𝑚2

2(13,600

= 4.42 m/s

La velocidad en la sección angosta se obtiene con la ecuación de continuidad: A1 υ1 = A2 υ2, de donde despejamos la υ2: υ2 =

𝑨𝟏 𝛖𝟏 𝑨𝟐

=

m s

(0.002 𝑚2 )(4.42 ) 0.001 𝑚2

= 8.84 m/s

Resultado: υ1 = 4.42 m/s y υ2 = 8.84 m/s