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Radicación Sea

“a”

un número real cualquiera, y “n” un número natural mayor que 1, se

llama raíz n – esima de

a todo número real “x”, que satisface la ecuación xn = a.

“a”

Si la ecuación no tiene solución “a”

√

no tiene raíz n – esima.

siempre que se verifique

Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice Si n = 3, es la raíz cúbica Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente

Como consecuencia de las reglas sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que 4

81a 4  3a y  3a

5

 32b 5  2b

 

 9x 2  no tiene raíz en

(Conjunto de números reales)

En general se cumple: a)

Si n es par, todo número real positivo tiene dos raíces una positiva y otra negativa. Los números reales negativos no tienen raíz n – esima cuando n es par.

b) Si n es impar, todo número real a tiene una raíz n – esima del mismo signo que a.

Ejemplos

Resultados

√ √ √ √

No existe en el conjunto de números reales

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Propiedades 1) Para hallar la raíz enésima de una potencia, se divide el exponente entre el índice, siempre que la raíz sea exacta. ⁄

√

2) Raíz enésima de un producto, es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de los factores, siempre que las operaciones sean posibles √

√

√

3) El producto de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice, cuyo radicando es el producto los radicandos de los radicales dados. √

√

√

4) Raíz enésima de un cociente, es igual al cociente de las raíces enésimas de cada uno de sus términos, siempre que las operaciones sean posibles. √

√

√

5) El cociente de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo índice cuyo radicando es el cociente de los radicandos de los radicales dados. √

√

√

6) El valor de un radical no altera si se multiplican o dividen exactamente por un mismo número y el exponente. √

√

√

√ Página 2 de 16

Colegio Técnico Nacional “Arq. Raúl María Benítez Perdomo” Matemática Primer Curso 7) La raíz enésima “m” de la raíz enésima “n” de un número es igual a la raíz de índice “mn” de dicho número. m n

a  m n a

Hallar las raíces aplicando la propiedad 1:

1)

2)

3

3)

4)

3

4

a 4b8

x4

5)

27 b6

6)

36 x 8 n 4

7)

4

16 a 4 b 8

125 m6 n 3

8)

3

64 m 3 n 9

64 x 4 y 2 z 2

Radicales semejantes Dos o más radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando √

√

√

Reducción de radicales semejantes: se realiza la suma de dos o más radicales semejantes es otro radical semejante cono ellos, cuyo coeficiente y signo resulta de la suma de los coeficientes de los radicales dados, con sus respectivos signos

Reducir los radicales semejantes

1)

4 a 4 a 3 a 2 a

6)

5 3a  8 3a  3a

2)

4 ab  3 ab  5 c  c

7)

10 5  8 5  3 5  7 5

3)

23 ax  43 bx  33 ax  43 bx

8)

 5 7  10 7  8 7  6 7

9)

x x x 3 3 3 2 3 6

4) 5)

3 3 7 5  5  3

1 1 3 2a  a 2a  2a 3 2 2

10) b2 a  2b2 a  5b2 a  3b2 a

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Simplificación de Radicales Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión. Reducir un radical es cambiar su forma sin cambiar su valor. Un radical queda reducido a su más simple expresión sí: a) b) c) d)

El radicando no contiene factores con exponentes igual o mayor que el índice. El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor común aparte del 1 (uno) No aparece ninguna fracción dentro del radical, No aparece ningún radical en el denominador de una fracción.

Simplificación Cuando la cantidad subradical o radicando tiene factores con exponentes mayores o iguales al índice. En este caso se extraen del radical los factores posibles Ejemplos √

√

√

se procede a escribir las potencias de tal forma que el cociente entre el exponente y el índice sea exacto =

se aplica la regla del producto para extraer los factores del radicando (aquelos que sean iguales o mayores que el índice) es la simple expresión

√𝑎

5 6

2) 2 8 x y

𝑎 √𝑎



2 22  2  x4  x  y6 

2  21  x 2  y 3 2 x 

Se procede a descomponer en sus factores y se aplica la regla del producto, al descomponer se disponen los factores de tal forma que el cociente entre exponente e índice sean enteros

Se aplica la regla del producto para extraer factores del radicando, aquellos que son mayores o iguales al índice multiplicando los factores

4 x3 y 3 2 x

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Simplificar 1)

3

81a 6 b 4

5)

20 x3

2)

8 6 18 6) 6 x y z

x3 16 x 3 3) 2 4)

4

4 125m3n5 5

7)

64 a6 b8 c 4

15 32a6 b7 2

Cuando existe un factor común entre el índice de la raíz y todos los exponentes de los factores de la cantidad radical. En este caso se dividen el índice y los exponentes por el factor común (se aplica la propiedad número 6) Ejemplo 1)

6

625 x 8 

6 4 6 2 6 5 x x  x 54 x 2 

6 x

se realizan los mismos pasos que en el ejercicio anterior

como existe entre el índice y los exponentes de los factores del radicando un factor común dos, se divide entre el factor común.

2 4 2 3 5 2 x 2  x 5 2 x  x 3 25 x

Simplificar 1)

6

36 a 2

5)

4

25a6 b2c10

2 2 2) 4 x y

6 9 6) 12 64 x y

3 3) 6 125 y

7)

8

625a12b4c8

2 4 4) 8 16 x y

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Cuando dentro del radical existe una fracción

1) 3

y x



2

no es la forma más simple dado que aparece dentro de la raíz una fracción, por lo que se procede a amplificar la fracción por una expresión conveniente de tal forma a que el denominador pueda extraerse de la raíz

3

y yx xy 3 3 x2 x2  x x3

se extrae de la raíz

como en los casos anteriores

Simplificar los siguientes radicales

a  x a  2) 3 8 1 3) 3 2  x x  4) 3 3 9y 1)

5)

4

ax  16 y 2

6) 3 5

32 x  y2

7) a 3

8x  a

Simplificar

√

1)

√

2) 3)

9) 2

3

27 a 3b7 

10)

4) √

11)

5) √

12)

√

6)

8)

4

32a 5b6

3 5 32y10 z 9 2

50 ab 2 a 6 27y 9 z 6 4

13) 2a

a 3b4

7)

3 54x6 y 8

14)

15)

3 4 625 y10 z 9 5

16) a

3 27y6 z 9

17) 2x

6 16 y10 z6

18)

2 5 25y10 z 5 5

4 48a 4 y10 z 8

1 3 81a7 c 9 2 Página 6 de 16

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Suma y resta con radicales Lo primero que habrá que hacer es simplificar todos los radicales que sean posibles. Finalmente se reducen los radicales semejantes (si los hay) +

√

Simplificar:

√

No olvidemos, que cada signo de suma y resta me separa un término de otro

√

Primeramente se simplifican los términos +

√

√

√

+ √

√ +

√

√

√

se extraen algunos de los factores de las raíces

√

( + )√

se reducen los radicales semejantes

√

𝑎 +

√

√ 𝑎

√

𝑎

√ 𝑎

√ 𝑎

Ejercicios √

1)

√

+ √ + √

+ √

2)

√

3)

√

+ √

4) √

√

5) √

√

√

6) √

√

+ √

7)

√

√

√

8)

√

– √

+ √

9) √ 10)

√

√

+ √

√ √

√ +

11) √

√

√

√

Ejercicios de repaso. Simplifica los siguientes radicales 1) 2 2)

4

3

27 a 4b 2

4 a 4 b6 5 3

3) a 3 24 x y

4) 2

2 a 9 6

5) 2 6 27 x y

6)  5 7  10 7  8 7  6 7 7)  19 x a  15 b  20 x a  7 b 8) 6 50  3 8  5 32 Página 7 de 16

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9)

49 x 2 y  25 z  9 x 2 y  144 z

10)

225a 2b  144c  25a 2b  36 c

Multiplicación de radicales Si los radicales tienen el mismo índice se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales simplificando el resultado si es posible; √

√

se multiplican los coeficientes y las cantidades subradicales.

√

y luego se simplifica

Observación, si no se desea descomponer 16, el producto resultante de 2 y 8. Se puede descomponer cada uno de los factores y luego multiplicar √ √ 𝑥

√

√ 𝑥 𝑦

𝑥 √𝑥 𝑦

Halla el producto 1) 2) 3)

3b  2 12a  5ab

2

3

4) 2m

4 a 2b  a 4

3

m 2 n  2n

3 7

5)

10a 2b4 4

6) a

m3 n 3

50xy 2  3

4 a 2b 2

1 49 x 3 y 5 1  3 6 a 4b4 a

Si los radicales son compuestos se puede resolver aplicando la propiedad distributiva o como el producto entre polinomios Ejemplo 1





Multiplicar  5 7  2 3  2 2 2

5 7

2 3



 2 2 2

 10 14

4 6

Simplificando  2 2

 2 22 2

El producto queda:  10 14  4 6  4

= Página 8 de 16

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Ejemplo 2 Multiplicar

2

2 3 3

2 2

3 3

2

2 3

 2 22

3 6

+

2 2 3



 6 32

2 6

4



 18

6

Reduciendo términos semejantes nos queda  22  6

Resuelve 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

 5 2  3 3 3 3  =  a  2 b  c 2 ab  =  2  2 5  3 3 2  = 2 5  3 3 5  3   3 2  3 3 2  3   3 a  5 b 2 a  b    a  b  2 b 2 a  b  b  

8) Halla el área de: a) Un cuadrado cuyo lado mide 2 6 cm





b) Un rectángulo sabiendo que la base mide 3  2 7 cm y la altura es de c) Un trapecio rectángulo sabiendo que las bases miden

2



3  1 cm respectivamente y su altura es de



7 cm



3  2 cm

y

3cm

d) Un triangulo cuya base mide 3 6 cm y la altura 4 3cm 9) 3 4 x 2 y  3 2 xy 4  10)

3a  2 12ab  5b 

2 4 4 11) 5 4 a y  5 8 a y 

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División de radicales Si los radicales tienen el mismo índice se dividen los coeficientes entre sí y los radicandos simplificando el resultado si es posible. Dividir √

√ √

se dividen los coeficientes y los radicandos:

se simplifican los radicales

√

√

𝑥 𝑦

√

√

√ 𝑥 𝑦

𝑦 √𝑥𝑦

Resolver

1) 2)

4x 5 

y 3 x 2 y  3 xy

3) 15 4)

2x2

28a6 b3c  12 7 a 2bc

6 12x 4 y 3 z  3 6 x 2 y

9 5 5) 10 4 x y  5 4 xy

Potencia de un radical Se eleva el coeficiente y el radicando a dicha potencia y luego se simplifica si es posible. Ejemplo 1: ( 2a3 3 x )  4

Elevando a la cuarta el coeficiente y cada factor radicando 24 a 4

3 4 4 3 x 

Se puede simplificar el radical, descomponiendo en factores 16 a 4

3 3 3  3x3 x 

48a 4 x 3 3 x

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Ejemplo 2:



a 2 b

2 

Se aplica la regla del cuadrado de un binomio



a 2 b

2   a 2  2 a 2 b   2 b 2

Elevando y simplificando a  4 ab  4b

Recuerda: el cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término

Resolver 1) ( √ 2) ( √

) )

3) (√

√ )

4) ( √ + √ ) 5) ( √ 6) (√

) √

)

Racionalización de denominadores Racionalizar significa hacer racional una expresión que es irracional Recuerda una expresión algebraica es racional cuando la parte literal no está afectada del símbolo de radicación, y es irracional cuando existe parte literal que está afectada por el signo radical.

Racionalización del denominador de expresiones algebraicas Dada una expresión algebraica cuyo denominador involucra radicales, se llama racionalización del denominador de dicha expresión al proceso por el cual se determina otra expresión algebraica que no involucra radicales en el denominador y que es equivalente a la expresión algebraica dada Para racionalizar se amplifica la fracción por una expresión llamada factor racionalizante.

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Ejemplo 1

√

Se descompone el radicando y se amplifica la fracción por una expresión conveniente, de tal manera que el denominador quede una expresión racional.

√ √

√

√

Factor racionalizante

√

√

√

√

Product o

Hallamos la raíz del denominador

Simplificando el 2

Entonces 𝑥 √ 𝑦 𝑥 √ 𝑦 𝑦

Racionalizar los denominadores 1) 2)

3

2 4x 3

4

3

x

Ejemplo 2.

a



3)

b

3

a





x2  1  x1

x2  1 x2  1   x 1 x 1

Se descompone el polinomio

x 1  x 1

x  1x  1 x  1 x  12



x  1x  1 x  1

x 1



Factor racionalizante Simplificando (x + 1), se obtiene

x  1x  1 x  1

x 1

 x  1 x  1

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Racionalizar los denominadores

a 2  b2  ab x 2  2ax  x 2  xx

1) 2)

Ejemplo 3:

a 2 b a  b



a  b ; se considera que el índice es 2, y

En este caso el factor racionalizante es

atendiendo que x  y x  y   x  y ; es decir se completa el factor que falta para que su producto sea una diferencia de cuadrados. 2

a 2 a 1 a  a 1

a 2 b a  b



2



a b a  b



a  3 ab  2b a b

Se multiplican los numeradores y los denominadores en tre sí,

Racionalizar

3 x y x 2 y

1)



3 5 2 3  5  3 7 3 2  2 7  2

2) 3)

Simplificar 1) 2) 3) 4)

5)

√ √

6) 7)

√

√ √

√ √ √ √ √

√ √ √ √

√

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Práctico Nº 4 Simplificar

25 x 4 y 2 

1) 2 2)

4

5) 3

a  x

4

1  8

81a 4 b 9 

3) 3 24 x y  4 8

6)

4) 6 9 x6 y 8  7) 2 x 3 y  5 x 3 y  9 x 3 y  8)

3 x  20 x  45 x  27 x 

9)

49 x 2 y  25 z  9 x 2 y  144 z 

10)

2 a 25ab  12b 20 a 2b  3 2

11) a 75a bc



12) 2 a  b

2



 b 5ab c  2



a 3 b 



13) 2 5 





2 2 5 3 2 

14) a 12a y z  6 a y  4 3

15) 6

2

25a 5b 3c  3 5a 2bc 



16) Halla el perímetro y el área de un rectángulo sabiendo que la base mide 5 



y la altura mide 3 





3 cm

3 cm

17) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas dimensiones son

10 6 cm; 8 3cm y 3 2cm



3

2

18) 2 b c

 20) 2 21) 2

19) 2



2  2 2  3  2 2  3 5  a-b

22)

2  5a

23)

2  4x

3

4

24)

2a  2b  a-b

x2  4 y2 25)  x  2y

2  2  3 5 3 2 27)  2 5  2 x 2 y 28)  5 x  y 26)

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Ecuaciones con radicales A las ecuaciones donde la incógnita aparece bajo un signo radical, se las conoce como ecuaciones irracionales. Ejemplos

x 2  72  x  6

Resolver la ecuación

x 2  72  x  6

;

10 x  6  x  9

Para resolver primeramente es necesario racionalizar la expresión irracional, es decir, hacer que sea racional. Para ello se despeja la expresión irracional, dejándola en cualquiera de los miembros

x 2  72  6  x

Luego se eleva ambos miembros a un exponente igual al índice del

radical.

x

2

 72

  6  x 2

2

Se resuelve las operaciones (con este proceso queda racionalizada la ecuación)

x 2  72  36  12 x  x 2

Se resuelve la ecuación resultante

x 2  x 2  12 x  36  72

Despejando la incógnita

 12 x  36

x

Reduciendo términos semejantes

 36  12

Simplificando

x3

Solución de la ecuación, la cual es necesario verificar

Para la verificación se reemplaza el valor obtenido en la ecuación dada, y se verifica si ambos miembros son iguales

x 2  72  x  6 3 2  72  3  6

Reemplazamos el valor de x Resolvemos

9 36 6 6

Verifica la igualdad.

Entonces se puede decir que x  3 es la solución de la ecuación

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Resolver la siguiente ecuación

10 x  6  x  9

Resuelve las siguientes ecuaciones 1)

x4 3

2)

5y  6  6

3) x  4 x  5  10 4)

9 y 2  8  3 y  2

5)

x 2  39  3  x

6)

x2  2x  8  8  x

7)

4 z  1  7 3 z  35

8)

10 x  6  x  9

9) x 

4 x  5  10

10) 2 x  3  9  6 2 x  3

Al fin terminé la unidad de radicales

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