Cuadriláteros

1 CUADRILATEROS

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos. ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes RECTANGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos. CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes. TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos. Los lados paralelos del trapecio se llaman bases. TRAPECIO ISOSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paralelos congruentes. TEOREMA. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero TESIS: m DAB

m BCD

m CDA

360º

1. definición de diagonal.

1. Se traza la diagonal AC 2. m  m  m CDA

180º

3. m 

180º

m 

m ABC

m ABC

4. m

m m CDA m m m ABC 360º 5. m(  BCD)+m(  DAB)+m(  CDA)+m(  ABC) = 360º

2. En ADC la suma de los ángulos interiores es 180º 3. En ABC la suma de los ángulos interiores es 180º 4. Suma de 2 y 3 5. De 4. Adición de ángulos.

TEOREMA: En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: AB 1. ABCD es un paralelogramo 2. AB  DC; AD  BC 3. Se traza la diagonal AC . 4. 1 4

DC y AD

BC

1. De hipótesis 2. De 1. Definición de paralelogramo 3. Definición de diagonal 4. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.

Cuadriláteros

5. 3

2

2

5. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas 6. Propiedad reflexiva

6. AC AC 7. ADC ABC 8. AD

BC

9. AB

DC

7. De 4, 5, 6. A – L – A 8. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero AB DC y AD BC TESIS: ABCD es un paralelogramo 1. Se traza la diagonal AC .

1. Definición de diagonal

2. AD

2. De hipótesis

BC; DC AC

3. AC 4. ADC 5. 3 2

AB

3. Propiedad reflexiva

ABC

6. AD  BC 7. 4

1

8. AB  DC 9. ABCD es un paralelogramo.

4. De 2 y 3. L – L – L 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. De 5. Por formar ángulos alternos internos congruentes 7. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 8. De 7.Por formar ángulos alternos internos congruentes. 9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo

TEOREMA En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: DAB

1. DC

AB y AD

2. AC AC 3. ADC ABC 4.  ADC  ABC

BC

BCD y ADC

ABC

1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes 2. Propiedad reflexiva. 3. De 1 y 2. L – L – L 4. De 3. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

Cuadriláteros

3

Para demostrar la otra parte trace la diagonal DB . TEOREMA: Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero A C y D B TESIS: ABCD es un paralelogramo

1. m(  A) = m(  C) 2. m(  B) = m(  D) 3. m(  A)+m(  B)+m(  C)+m(  D) = 360º 4. 2m(  A)+2m(  B) = 360º 5. 2 m(  A)+m(  B) = 360º 6. m(  A)+m(  B) = 180º 7. AD  BC 8. 2m(  A)+2m(  D) = 360º 9. 2 m(  A)+m(  D) = 360º 10. m(  A)+m(  D) = 180º 11. AB  DC

12. ABCD es un paralelogramo

1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De hip. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° 4. Sustitución de 1 y 2 en 3 5. De 4 factorizacion 6. De 5. Transposición de términos 7. De 6. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas. 8. De sustituir 1 y 2 en 3 9. Factor común 10. Álgebra 11. De 10. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas. 13. De 7 y 11. Definición de paralelogramo.

TEOREMA Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero

DC

AB; DC  AB

TESIS: ABCD es un paralelogramo.

1. DC

AB

2. DC  AB 3. DCA CAB 4. AC AC ABC ADC 5.

1. De hipótesis 2. De hipótesis 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas 4. Propiedad reflexiva 5. De 1, 3, 4. L – A – L

Cuadriláteros

4

6.  DAC

 ACB

7. AD  BC 8. ABCD es un paralelogramo.

6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes. 7. De 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes 8. De 2 y 7. Por tener los lados opuestos paralelos.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y congruentes. La demostración se deja como tarea. TEOREMA Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero AP PC y DP PB

1. DP PB y AP PC 2. DPC APB 3. DPC APB 4.  DCP  PAB 5. DC  AB 6. DC

AB

7. ABCD es un paralelogramo

1. De hipótesis. 2. Opuestos por el vértice 3. De 1 y 2. L – A – L 4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 5. De 4. Por formar ángulos alternos internos congruentes. 6. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo las diagonales se bisecan. La demostración se deja como tarea. COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES: 1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. 2. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de rectas paralelas son congruentes 3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud 4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes 5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los vértices. NOTA: El reciproco no se cumple

Cuadriláteros

5

EJERCICIOS RESUELTOS 1)

 CD  BA Hallar x, y.

2) HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

DM MC DC 2 AD TESIS: AM MB

1. AD

1. De hipótesis

DC 2

2. M es punto medio de DC 3. DM

MC

DC 2 AD

4. DM MC 5. ADM es isósceles. 6. m(  ) = m(  ) 7. AD

BC

8. MC BC 9. MCB es isósceles. 10. m(  ) = m(  ) 11. m(  D)+m(  C) = 180º 12. m(  ) + m(  ) + m(  D) = 180º 13. 2m(  )+m(  D) = 180º 14. m(  ) + m(  ) + m(  C) = 180º

2. De hipótesis. Definición de punto medio 3. De hipótesis y de 2 4. De 1 y 3. Ley transitiva 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. De 5. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes. 7. De hipótesis. los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva. 9. De 8. Definición de triangulo isósceles. 10. De 9. La misma razón de 7. 11. Por ser ángulos consecutivos en un paralelogramo 12. En el ADM los ángulos interiores suman 180º 13. Sustitución de 6 en 12 14. En el MCB la suma de los ángulos interiores es 180°

Cuadriláteros

6

15. 2m(  16. 2m(  360º 17. 2m(  18. 2 m( 

)+m(  C) = 180º )+m(  D)+2m(  )+m(  C) =

15. Sustitución de 10 en 14 16. Adición de 13 y 15

)+2m(  )+180º = 360º )+m(  ) = 180º

17. Sustitución de 11 en 16 18. De 17. Factor común y transposición de términos 19. De 18. Algebra 20. Por formar un par lineal 21. Sustitución de 19 en 20 22. De 21. Transposición de términos 23. De 22. Definición de perpendicularidad.

19. m(  )+m(  ) = 90º 20. m(  )+m(  AMB)+m(  ) = 180º 21. 90º+m(  AMB) = 180º 22. m(  AMB) = 90º 23. AM

MB

3) HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

DM

AC y BN

AC

TESIS: DMBN es un paralelogramo.

1. AD  CB 2. DAC BCA 3. DMA y CNB son rectángulos 4. AD 5.

BC

DMA

CNB

6. DM

BN

7. DM

AC y BN

AC

8. DM  BN 9. DMBN es un paralelogramo.

1. De hipótesis. Definición de paralelogramo 2. Por ser alternos internos entre paralelas 3. De Hipótesis. Definición de triangulo rectángulo 4. De hipótesis. Lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. 5. De 3, 2, 4. Por tener congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo. 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 7. De hipótesis. 8. De7. Por ser perpendiculares a la misma recta. 9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes.

4) HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo. DM y BN son bisectrices

1. m (  ADC) = m (  ABC) 2. m (  ADM) = m (  NBC)

1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. Por ser mitades de ángulos congruentes y de 1

Cuadriláteros

7

3. NCB 4. AD

MAD

BC

AMD BNC 6. DM BN 5.

7. AM

NC

8. AB  DC y AB

DC

9. MAB DCN 10. AMB CND 11. MB

DN

12. DMNB es un paralelogramo.

3. Por ser alternos internos entre paralelas ( AD  BC ) 4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 5. De 2, 3, 4. A – L – A 6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas 10. De 8, 9,7. L – A – L 11. De 10. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 12. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos congruentes.

SECANTE Una secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas. TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P) Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante. HIPOTESIS:    mns

AB

BC

TESIS: DE

EF

1. Por D se traza una paralela a r1, que corta 1. Postulado de la paralela.



a n en G. O sea DG  AB 2. AD  BG 3. ABGD es un paralelogramo 4. AB

DG

5. Por E se traza una paralela a r1, que corta

 a s en H. O sea EH  BC

6. BE  CF 7 BCHE es un paralelogramo

2. De hipótesis. 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo 4. De 3. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 5. Postulado de la paralela 6. De hipótesis. 7. De 5 y 6. Definición de paralelogramo

Cuadriláteros

8. BC

8 8. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 9. De hipótesis

EH

9. AB

BC 10. EH DG

10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva.

11.  ABG

 DGE

12.  ABG

 BCH

11. De 3. AB  DE . Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 12. De hipótesis. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas 13. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 14. De 13. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas 15. De 11, 12, 14. Propiedad transitiva 16. De 1 y 5. Propiedad transitiva del paralelismo 17. De 16. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 18. De 17, 15 y 10. A – L – A 19. De 18. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes

13. BC  EH 14.  BCH

 EHF

15.  EHF

  DGE 16. DG  r1  EH 17.  GDE

 HEF

DGE EHF 19. DE EF 18.

CONSTRUCCION: Dividir un segmento dado en 5 partes congruentes.

TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULO El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de ese lado. HIPOTESIS: M es punto medio de AC N es punto medio de BC

1) MN  AB TESIS:

2) MN  1. En MN existe un punto Q, tal que MN 2. CN

NB

AB 2

1. Construcción

NQ y unimos B con Q 2. De hipótesis. Definición de punto medio

Cuadriláteros

9

3.  CNM  QNB CMN BQN 4. 5.  C  NBQ

3. Por ser opuestos por el vértice 4. De2, 1,3. L – A – L 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes. 7. De 6 y de hipótesis. A – M – C

6. BQ  AC 7. BQ  AM 8.

CM

9. CM

8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. De hipótesis. Definición de punto medio

BQ MA MA

10. De 8 y 9. Propiedad transitiva

10. BQ 11. ABQM es un paralelogramo 12. MQ  AB

11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos y congruentes. 12. De 11. Definición de paralelogramo

13. MN  AB

13. De hipótesis M – N – Q

14. MQ

AB

15. MN

NQ

14. De 11. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 15. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

16. MN 17. MN

MQ 2 AB 2

16. De 15. N es punto medio de MQ . 17. Sustitución de 14 en 16.

TEOREMA Una recta paralela a un lado de un triangulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado. HIPOTESIS: MN  AB M es punto medio de AC TESIS: N es punto medio de BC 1. Por N se traza una paralela a AM ,

1. Construcción

corta a AB en D. 2. MN  AD 3. ADNM es un paralelogramo 4. CM

MA

ND

5.  B

 MNC

2. De hipótesis, de 1. A – D – B 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo 4. De hipótesis y de 2. Lados opuestos de un paralelogramo son s 5. De hipótesis. Por ser ángulos correspondientes formados por rectas paralelas

Cuadriláteros

10

6.  C

 DNB

MNC DBN 8. CN NB 7.

9. N punto medio de BC .

6. De 1. Por ser ángulos correspondientes formados por rectas paralelas 7. De 4, 5, 6. L – A – A 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 9. De 8. Definición de punto medio.

DEFINICION: El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama base media. TEOREMA DE LA BASE MEDIA La base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida la semisuma de las medidas de las bases del trapecio. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con

DC  AB E y F son puntos medios de los lados no paralelos

1.EF  AB  DC TESIS:

2.EF 1. 2. 3. 4. 5. 6.

  DF corta a AB en P  DFC  BFP C FBP   CF FB

AB DC 2

1. Construcción

9. EF  AP

2. Por ser opuestos por el vértice 3. De hipótesis. Por se alternos internos entre paralelas 4. De hipótesis. F es punto medio de CF 5. De 2, 3 y 4. A – L – A 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes. 7. De 6. Definición de punto medio 8. De hipótesis. 9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el ADP.

10. EF  AB

10. De 9 y 1. A – B – P

11. AB  DC

11. De hipótesis

12. EF  AB  DC

12. De 10 y 11. Propiedad transitiva

DCF DF

PBF

FP

7. F es punto medio de DP 8. E es punto medio de AD

13. EF 14. EF 15. BP

AP 2 AB BP 2 DC

13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en un triangulo. 14. De 13. Adicion de segmentos 15. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes

Cuadriláteros

16. EF

11

AB

16. Sustitución de 15 en 14.

DC 2

TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media) Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases, esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con DC  AB M es punto medio de AD  MN  AB  DC C–N–B 1. 2. 3. 4. 5.

TESIS: N es punto medio de BC . 1. De hipótesis M es punto medio de AD 2. De 1. Definición de punto medio AM MD  3. De hipótesis MN  AB  DC 4. De 3 y 2. Por el teorema fundamental del BN NC paralelismo 5. De hipótesis y 1. N es punto medio de BC

TEOREMA El punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo equidista de los vértices. O de otra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa. HIPOTESIS: Triangulo ABC es rectángulo M es el punto medio de la hipotenusa CB TESIS: 1)AM

MB MC BC 2)AM 2

1. Por M se traza una paralela a AB , que

1. Construcción

corta a AC en N 2. N es punto medio de AC

3. m(  CNM) = m(  CAB) = 90º 4. MN es altura 5. CMA es isósceles. 6. AM

MC

2. De 1. Si por el punto medio de un lado de un triangulo se traza una paralela a un lado, cortara al otro lado en su punto medio. 3. De hipótesis y de 1. Por ser correspondientes entre paralelas 4. De 3. Definición de altura. 5. De 1 y 4. Una mediana es altura. 6. De 5. Definición de triangulo isósceles.

Cuadriláteros

12

7. MC

MB

8. AM

MC

7. De hipótesis. Definición de punto medio.

MB

8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M es punto medio.

BC 2

TEOREMA Las medianas de un triangulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que G está a 2/3 de cada vértice. HIPOTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G AG

TESIS: BG

1. M y N son puntos medios de BC y AC 2. NM  AB; NM

AB 2

2 AM 3 2 BN 3

1. De hipótesis. Definición de mediana 2. De 1. Teorema de la paralela media en

ABC

3. Sean P y Q los puntos medios de

3. Todo segmento tiene un punto medio

AG y BG respectivamente. AB 4. PQ  AB; NM 2 NM  PQ

4. De 3. Teorema de la paralela media en triangulo AGB 5. De 2 y 4. Propiedad transitiva

5.

NM

PQ

6. NPQM es un paralelogramo 7. PG

GM

8. PG 9. AP

AP PG

10. AP

PG GM

11. AP

PG

12. AG

2 AM 3

9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

GM

2 AM 3

6. De 5. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes. 7. De 6. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio 8. De 3. Definición de punto medio

1 AM 3

10. De 9. Definición de fracción 11. De 10. Aritmética. 12. De 11. Adición de segmentos.

De la misma forma se demuestra que BG = 2/3 BN

Cuadriláteros

13 EJERCICIOS

1)

HIPOTESIS:

ABC es isósceles con CA CB E, D, F son puntos medios.

TESIS: DECF es un rombo

2) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal. 3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo se cortan en un punto llamado incentro.

4)

EJERCICIOS PROPOSICIONES DE VERDADERO – FALSO: 1. Un triangulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. ( ) 2. Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triangulo isósceles es paralela a la base. ( ) 3. La mediana de un triangulo es perpendicular a la base. ( ) 4. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios 5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas ( ) 6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas de ángulos alternos internos. ( ) 7. En un triangulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de 30º ( ) 8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulos interiores del mismo lado de la transversal son complementarios. ( ) 9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. ( ) 10. Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. ( ) 11. Las diagonales de un paralelogramo son congruentes. ( ) 12. Las diagonales de un rectángulo son congruentes, ( )

Cuadriláteros

14

13. Un rectángulo es un paralelogramo. ( ) 14. Un paralelogramo es un rectángulo ( ) 15. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un cuadrado. ( ) 16. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las bases. ( ) 17. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan mutuamente. ( ) 18. La base media de un trapecio biseca a las diagonales ( ) 19. Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectángulo forman un rombo. ( ) 20. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. ( ) 21. Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son perpendiculares.( )

EJERCICIOS: 1. AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m (  B) = 120º, hallar m (  BAC). 2. En un paralelogramo ABCD, m(  A) = 2 m (  B). Hallar m(  A ) 3. En el triangulo ABC. AD DB (A – D – B), m(  C) = 90º, m (  B ) = 30º. AC = 35 cm. Hallar BD y la mediana CD 4. ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos.

5. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC BF es bisectriz de ABC TESIS: DE  FB

6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles. 7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo. 8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares.

Cuadriláteros

15

9. HIPOTESIS: SRQT es un paralelogramo QL es la bisectriz de TQR SM es la bisectriz de TSR TESIS: SLQM es un paralelogramo.

10. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en E. TESIS: E es el punto medio de FG

11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtiene un paralelogramo. 12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo forman un rombo. 13.

14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio, biseca a la paralela media del trapecio. 15. HIPOTESIS: M y N son puntos medios de las bases del trapecio. E y F son los puntos medios de los lados no paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales.

1)EP

QF

TESIS: 2)ES

SF

3)S es punto medio de PQ

Cuadriláteros

16

16. HIPOTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA CB D, E, F son puntos medios TESIS: CDEF es un rombo 17. HIPOTESIS; ELMN es un cuadrilátero A, B, C, D son puntos medios de los lados del Cuadrilátero. TESIS: CA y DB se bisecan mutuamente.

18. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo P es el punto medio de AD Q es el punto medio de BC TESIS: AR

RS

SC

19. Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero, entonces el cuadrilátero es un rombo. 20.

21

Cuadriláteros

17

22. HIPOTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto medio de medio de BC . AH HR y BG GS TESIS:

1)S C R 2)CR

CS

AYUDA: Trazar BR y AS 23. En el trapecio isósceles ABCD. AD el triangulo APB es isósceles.

BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que

24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de BD . AB  CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un

paralelogramo. Ejercicios tomados de los siguientes textos:  Geometría Euclidiana de Nelson Londoño  Geometría Euclidiana de Hemmerling  Curso de Geometría. Reunión de profesores  Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli  Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

Cuadriláteros

18 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILATEROS

 HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de  ADC BF es bisectriz de  ABC A–E–B;D–F–C TESIS: DE  FB m(ADC ) 2 m(ABC ) 2. m(2) 2 3.m(  ADC)=m(  ABC) m(ADC ) 4. m(2) 2 5. m(  1) = m(  2) 6. C A 7. 3 4

1. m(1)

8. DC  AB

1. De hipótesis. Definición de bisectriz 2. De hipótesis. Definición de bisectriz 3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 4. Sustitución de 3 en 2. 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva. 6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 7. De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo del segundo. 8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes

9. 4 5 10. 3 5 11. DE  FB  Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con DC  AB A B TESIS: ABCD es un trapecio isósceles 1. Se trazan las alturas DH y 1. Construcción auxiliar CE  2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB 2. DH  CH 3. 4. 5. 6. 7.

DC  HE HECD es un paralelogramo DH CE A B DHA CEB

3. De hipótesis. DC  AB 4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo. 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 6. De hipótesis. 7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un cateto y un ángulo agudo congruentes.

Cuadriláteros

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8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos s 8. AD BC 9. ABCD es un trapecio 9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles. isósceles  Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo AE es bisectriz de  DAB BE es bisectriz de  ABC TESIS: AE EB

1. m(1)

1. De hipótesis. Definición de bisectriz m(DAB ) 2

2 m(1)

m(DAB )

2

2. De hipótesis. Definición de bisectriz

m(ABC ) 2 m(2) m(ABC ) 2 3. m(  DAB) + m(  ABC) = 180° m(2)

4. 2m(  1) + 2m(  2) = 180° 5. m(  1) + m(  2) = 90° 6. m(  E) = 90° 7. AE

EB

1. M es punto medio de AD y N es punto

3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos en un paralelogramo son suplementarios 4. Sustitución de 1 y 2 en 3 5. De 2. Algebra 6. De 5. Los ángulos interiores de un triangulo suman 180° 7. De 6. Definición de perpendicularidad

1. De hipótesis

medio de BC 2. MN es la base media del trapecio

2. De hipótesis. Definición de base media

3. MN  DC

3. De 2. La base media es paralela a las bases 4. De 3 y M – P – Q – N

4. MP  DC

5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un lado de un triangulo se traza una paralela a u n lado, esa paralela pasa por el punto medio del otro lado. Continuar con la demostración y demostrar que Q es el punto medio de la diagonal DB. 5. En

ADC : P es punto medio de AC

Cuadriláteros

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 HIPOTESIS: ELNM es un cuadrilátero A, B, C, D son los puntos medios de los lados del cuadrilátero. TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente.

1. Se traza la diagonal EN 2. D es punto medio EM y C es punto medio de MN 3. DC es paralela media en el EMN EN ; DC  EN 2 5. A es punto medio de EL y B es punto medio de LN 6. AB es paralela media en el ELN

4. DC

EN ; AB  EN 2 8. DC AB y DC  AB 9. ABCD es un paralelogramo

7. AB

10. AC y DB se bisecan

1. Construcción auxiliar 2. De hipótesis 3. De 2. Definición de la paralela media en un triangulo. 4. De 3. Teorema de la paralela media 5. De hipótesis. 6. De 5. Definición de la paralela media en un triangulo. 7. De 6. Teorema de la paralela media 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva 9. De 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos. 10. De 9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

Cuadriláteros

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HIPOTESIS: BT es altura A–P–B AC y PS PR TESIS: PR + PS = BT 1. Se traza PQ BT

BC

2. AC BT 3. PQ  AC 4. PR AC 5. BT AC QT 6. PR  QT

AC

7. RPQT es un paralelogramo 8. PR QT 9. BT = BQ + QT 10. BT = BQ + PR 11. PQB y PSB son rectángulos 12.  A

 ABC

13.  QPB

A

14.  QPB  ABC 15. PB PB 16. PQB PSB

17. BQ = PS 18. BT = PS + PR

1. Construcción auxiliar. 2. De hipótesis. Definición de altura. 3. De 1 y 2. Por ser perpendiculares a la misma recta 4. De hipótesis 5. De hipótesis. Definición de altura 6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta 7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo 8. De 7. Los lados opuestos de un son congruentes 9. Suma de segmentos 10. Sustitución de 8 en 9. 11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo rectángulo. 12. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes. 13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 14. De 12 y 13. Propiedad transitiva 15. Propiedad reflexiva 16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo y la hipotenusa congruentes. 17. De 16. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes. 18. Sustitución de 17 en 10.

En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triangulo APB es isósceles.

1. DAB 2. AD

CBA

BC 3. AB AB 4. DAB CBA 5. 1 2

1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes 2. De hipótesis. 3. Propiedad reflexiva 4. De 1, 2, 3. L – A – L 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

Cuadriláteros

6.

22 6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes

APB es isósceles

 En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de BD . AB  CD . CH

AB ; con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo.

1. AHC es un triangulo rectángulo

1. HM es la mediana sobre la hipotenusa

2. HM

2. De 1. En un triangulo rectángulo la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. 3. De 2. Definición de triangulo isósceles. 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles. 5. Leer el ejercicio anterior 6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva. 8. De 7. Por formar ángulos correspondientes congruentes.

MA

MC

3. AMH es isósceles 4.  MAH  MHA 5. APB es isósceles. 6.  MAH  PBA 7.  MHA

 PBA

8. HM  BN 9. AC 10. BN

BD AM

11. BN AM HM 12. MHBN es un paralelogramo.

BN

9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes. 10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes. 11. De 10 y 2. Propiedad transitiva 12. De 11 y 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos.