La función logaritmo à Definición de la función logaritmo natural. Se sabe que una primitiva o antiderivada de la función f(x) = x n es la función F(x) = x n +1 / (n+1), es decir n +1 n In + 1M + cte. à x âx = x
Esta fórmula es válida sólo cuando n ¹ −1. Cuando n = −1 se tiene una situación muy especial. En este caso la función en el integrando es f(x) = 1/x, la cual no esta definida en x = 0. Sin embargo, esta función es continua en (0, ¥), y, cuando 0 < a < b, la integral b
à âxx , a
representa el área bajo la curva y = 1/x en el intervalo [a, b]. Una propiedad muy importante de esta integral es que para cualquier número real q > 0,
à
bq
aq
b
â x x = à â x x. a
Antes de avanzar más, puede ser conveniente consultar en la ayuda en línea de Mathematica la funció su uso con integrales definidas e indefinidas. El símbolo de integral se introduce usando la palette. Por ejemplo, para a = 1 y b = 2 se obtiene: 2
In[40]:=
à H1.0 xL â x 1
y con q = 3, se obtiene: In[41]:=
à
2*3
1 *3
H1.0 xL â x
Lo anterior se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera: El área bajo la curva y = 1/x en el intevalo [1, 2] es igual al área bajo la misma curva en el intervalo [3, 6]. La siguiente gráfica ilustra esta situación: In[67]:=