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Índice Análisis de las dimensiones y el formato del folio. ....................................................................... 3 Determinación del cuadrado en función del área de trazado. ...................................................... 28 Determinación del círculo en función del cuadrado y el área de trazado. ................................... 37 La razón entre las figuras del círculo y el cuadrado. ................................................................... 50 Relación del perímetro de la circunferencia con la longitud del folio. ....................................... 60 El factor de cuadratura del círculo y el gnomon para la latitud de la ciudad de Roma. .............. 67 Homo ad quadratum y homo ad circulum: la tradición de la geometría de regla y compás. ...... 74 Anexo I: Cálculo del radio del círculo en el que se inscribe el hombre del canon...................... 83 Anexo II: Cálculo gráfico de la circunferencia en función de la raíz cuadrada de 2................... 85 Anexo III: El Hombre de Vitruvio de Giacomo Andrea. ............................................................ 89
NUEVAS APORTACIONES A LOS ESTUDIOS GEOMÉTRICOS DEL HOMBRE DE VITRUVIO DE LEONARDO DA VINCI RAFAEL FUSTER RUIZ JORDI AGUADÉ TORRELL
El análisis de la representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci indica que las figuras del círculo y el cuadrado en las cuales se inscribe el hombre del canon en sus dos posiciones, en reposo y movimiento, se pueden trazar de forma sencilla y muy precisa a partir de las proporciones del folio. Este aspecto, que ha sido pasado por alto en los estudios que se han realizado sobre la relación que Leonardo establece entre las dos figuras, abre nuevas vías para la interpretación y comprensión de la composición, un trazado que pone de manifiesto el talento del genio italiano a la hora de abordar el estudio de las proporciones del cuerpo humano pero también su destreza en el uso de la regla y el compás y sus conocimientos sobre geometría. En palabras de Leonardo, «la simplicidad es la sofisticación definitiva» y su representación, inspirada en el canon antropométrico recogido por el ingeniero romano Marco Vitruvio Polión, es una buena prueba, pues sintetiza en un trazado, sorprendente por su aparente simplicidad, algunas de las claves de una tradición según la cual todo en la naturaleza puede ser expresado mediante el lenguaje de las matemáticas. El Hombre de Vitruvio de Leonardo no es solo la representación de un canon sobre las proporciones ideales del cuerpo humano, sino también un teorema geométrico de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado y entre éstas y el formato de la cuartilla de partida basado en la raíz cuadrada de 2; un trazado en donde se conjugan continente y contenido, el arte y la ciencia, formando una estructura armónica que es producto de una cuidadosa planificación que fue ejecutada con una precisión admirable.
Palabras clave Formato del folio. Rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. Sección áurea. Proporción 5/3. Cuadratura del círculo. Latitud geográfica.
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ANÁLISIS DE LAS DIMENSIONES Y EL FORMATO DEL FOLIO. En 1490 Leonardo dibujó, a tinta y lápiz sobre papel, la figura de un hombre desnudo en dos posiciones: en reposo, con los brazos en cruz y las piernas juntas en forma de “T”, y en movimiento, con los brazos y las piernas extendidos adoptando la forma de una “X”1. En sus dos posiciones, la figura humana se inscribe en las figuras de un cuadrado y un círculo cuyos centros están situados en el sacro y el ombligo; estableciéndose una relación cuyo objetivo es describir las proporciones ideales del cuerpo humano según las indicaciones transmitidas por Vitruvio en su tratado de arquitectura, tal y como dejó escrito el mismo Leonardo en unas anotaciones realizadas en el folio2.
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Las expresiones “Hombre en T”, “Hombre en X”, “Hombre en I” y Hombre en Y” son términos
empleados por Luis Castaño Sánchez a lo largo de su investigación sobre la representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo para describir las posturas de los modelos de Leonardo da Vinci, de Vitruvio y de Giacomo Andrea de Ferrara. Para más información se pueden consultar los artículos de Luis Castaño Sánchez: Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp.5-14 (Figuras 5-16 y Figura 21). 2
El tratado de Vitruvio, escrito en torno al siglo I d.C., es una obra compuesta por diez libros que recogen
la teoría y la práctica de la arquitectura en la antigüedad clásica, entre los que destacan los relativos a los conceptos de simetría, proporción y aquéllos otros que versan sobre las medidas que debe guardar toda edificación, pero también el cuerpo humano, pues se trata de construcciones divinas. Es una fuente documental muy valiosa por la información que aporta sobre la pintura y la escultura griegas y romanas. Como escribe Román Hernández, en referencia al tratado de Vitruvio, «en general, el texto contenido en el citado libro debe entenderse como la transmisión antigua más notable y que mayor repercusión tendría en el futuro, puesto que será punto de partida para que eruditos y artistas posteriores establezcan sus correspondientes teorías sobre la proporción. Su importancia estriba, en gran medida, en la aportación de un nuevo concepto al estudio de las proporciones en el arte, ya que se trata del único texto -si exceptuamos el relato de Diodoro acerca de los escultores del periodo arcaico griego influenciados por los egipcios- merced al cual se aportan, por primera vez, números en relación a las proporciones. Dicho texto parece estar orientado a establecer una relación sencilla entre las medidas de la figura humana con su estatura total, mediante razones de números bajos.» González Román Hernández, El legado de Vitruvio III. 1: La primera aportación numérica al canon de proporción. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, julio, agosto, septiembre, Barcelona, 2005, pp. 99-109.
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El cuerpo humano ha sido tomado como modelo y expresión de la naturaleza desde que Protágoras afirmase que “el hombre es la medida de todas las cosas, de las que son mientras son y de las que no son mientras no son”. Así lo entendió también Vitruvio, que expone las proporciones ideales del homo bene figuratus que instauraron la teoría del homo ad quadratum, según la cual la altura de un hombre es igual a la longitud de sus brazos extendidos, por lo que la figura queda inscrita en un cuadrado, y la teoría del homo ad circulum, que sitúa al hombre en posición decúbito supino, con los brazos y las piernas extendidos, inscrito en un círculo cuyo centro natural se sitúa en el ombligo. El tratado de arquitectura de Vitruvio, escrito a principios del siglo I en griego y latín clásicos, que nos ha llegado no contiene ilustraciones, por lo que ha sido variadas las representaciones de los principios geométricos y arquitectónicos descritos por el ingeniero romano3. En lo que respecta al modelo del canon antropométrico que nos ocupa, las representaciones más antiguas son de la Edad Media, aunque se trata de vagas expresiones de los principios geométricos sobre proporciones que recoge Vitruvio en su tratado de arquitectura. Hasta finales del siglo xv nadie había tratado de averiguar, regla y compás en mano, cómo inscribir en un círculo y en un cuadrado la figura de un hombre del canon ateniéndose a las proporciones descritas en el capítulo I del Libro III del tratado de arquitectura4.
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«El tratado de Vitruvio llega a los renacentistas sin ilustraciones originales. El dibujo de Leonardo es
la genial interpretación de un texto confuso. Su simple comparación con los dibujos de otros ilustradores del romano, justifica el elogio de Vasari: (…) distante del resto de los hombres, sus cualidades aparecen como otorgadas por Dios y no adquiridas por industria humana.» Ernesto Fernández, Platón, Leonardo y el Sistema del Monte Carmelo (Reflexiones sobre los Principios de la Medida). 4
«El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca
arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en su ombligo y trazando una circunferencia, ésta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies. La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado: si se mide desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que la que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con la escuadra. Por tanto, si la naturaleza ha formado el cuerpo humano de modo que sus miembros guardan una exacta proporción respecto a todo el cuerpo, los antiguos fijaron también esta relación en la realización completa de sus obras, donde cada una de sus partes guarda una exacta y
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El primero en abordar el problema, alrededor de 1480, fue el arquitecto Francesco di Giorgio Martini, quien realizó un boceto, aunque no se corresponde en muchos aspectos con el texto original del canon, sobre todo, y lo que es más importante, en cuanto a que el centro del círculo deber situarse en el ombligo para la posición con los brazos y las piernas extendidos. En esta representación del canon, el hombre se inscribe en las figuras de un círculo y un cuadrado cuyos centros están situados en el sacro (Figura 1).
Fig. 1. El hombre de Vitruvio de Francesco di Giorgio. Trattato di architettura civile e militare, Turín, Biblioteca Reale, codice Saluzziano 148, f. 6v.
Leonardo interpretó el canon de otra forma, partió del texto de Vitruvio, pero introdujo algunos cambios, como apunta Luis Castaño en sus trabajos5. Mantuvo el esquema del hombre inscrito en un círculo con centro en el ombligo, aunque para una figura de pie y movimiento, con los brazos extendidos en forma de “X”, añadiendo la posición del cuerpo en reposo, con las piernas juntas y los brazos en cruz, inscrito a su vez en un cuadrado cuyo centro se sitúa en el sacro6. Esta forma de separar los centros de las puntual proporción respecto a la forma total de su obra. Dejaron constancia de la proporción de las medidas en todas sus obras, pero sobre todo las tuvieron en cuenta en la construcción de los templos de los dioses, que son un claro reflejo para la posteridad de sus aciertos y logros, como también de sus descuidos y negligencias». Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9. 4
Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN:
84-206-7133-9, pp 82-83. 5
Luis Castaño Sánchez, La cuestión de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.
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«Los comentaristas y los ilustradores de Vitruvio a lo largo de la historia han propuesto soluciones muy
diferentes en cuanto a la posición de las piernas y los brazos para inscribir la figura del hombre del canon en un círculo. Ghiberti y C. Martínez con los brazos extendidos en cruz; Leonardo, Durero y Juan de Arfe levantados a la altura de la cabeza; Cesariano los dibujó con un ángulo de 45 grados y Cornelius Agrippa los dispuso verticalmente.» González Román Hernández, El legado de Vitruvio III. 1:
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figuras del círculo y el cuadrado es novedosa, aunque al parecer, y como sabemos por las recientes investigaciones de Claudio Sgarbi, es probable que Leonardo se hubiese inspirado en una representación del canon del arquitecto Giacomo Andrea (ver Anexo III)7. En cualquier caso, el hecho que sean dos los centros de gravedad de la figura del cuerpo humano es lo que convierte su propuesta del canon antropométrico de Vitruvio del artista italiano en la más interesante. Es natural que haya sido objeto de numerosos estudios sobre los aspectos geométricos y matemáticos que se desprenden de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon. Han pasado cinco siglos, pero la composición sigue despertando curiosidad, invitando a profundizar en la naturaleza de las claves de la más célebre de las representaciones sobre las proporciones del cuerpo humano. A pesar de que los centros de las dos figuras no se encuentran en la misma posición, o quizás precisamente por ello, al contemplar la composición se percibe una sensación de equilibrio que no se ve alterada por la asimetría, más bien al contrario, pues le confiere un particular dinamismo. Podría parecer que el propósito de las anotaciones realizadas por Leonardo en el folio sea ilustrar las razones del sistema de proporciones del canon descrito por Vitruvio; no obstante, también se refieren a la relación geométrica que
La primera aportación numérica al canon de proporción. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, septiembre, Barcelona, 2005, p.5. 7
En la representación de Giacomo Andrea la disposición de las figuras del círculo y el cuadrado en las
que se inscribe el hombre del canon es exactamente la misma que la de Leonardo. Claudio Sgarbi asumió inicialmente que el dibujo hallado en la biblioteca Ferrara tenía que ser una copia del que hizo Leonardo, puesto que las correspondencias entre las dos representaciones son demasiado evidentes para considerar que se deben a una coincidencia. Pero cuando estudió la representación con detalle pudo observar muchas correcciones innecesarias si el ilustrador hubiese partido previamente de la ilustración de Leonardo, lo que le llevó a concluir que la solución de colocar los centros de las figuras del círculo y el cuadrado en el ombligo y el sacro, quizás fuese anterior a la propuesta de Leonardo. Posteriormente, Claudio Sgarbi descubrió que la ilustración había sido realizada por el arquitecto Giacomo Andrea de Ferrara, que fue amigo de Leonardo como sabemos por sus notas y que, además, era un gran conocedor del tratado de arquitectura de Vitruvio (ver Anexo II). Claudio Sgarbi, Giovanni Giocondo umanista, architetto e antiquari, Centro Intenazionalle dei Studi di architettura Andrea Palladio, Marsilio Editori, Venecia, 2014. Pp. 121-138.
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establece entre las figuras del círculo y el cuadrado. Como escribe Pedro Tomás Vela, «las figuras aparentan haber sido trazadas con el único propósito de enmarcar la figura del hombre y se representan dibujadas con unas medidas adecuadas para dicha finalidad, sin que se presuma la existencia de cualquier otra relación aparentemente distinta entre ellas. Sin embargo, esa relación existe y como se verá, está perfectamente definida, aunque muy bien disimulada»8. No se equivoca, porque tras la disposición de las figuras del círculo y el cuadrado se adivina la presencia de un enigma que, como podremos ver, contiene el enunciado del problema y su solución. En este trabajo nos centraremos en la manera de trazar las dos figuras en busca del orden interno de la composición. Sabiendo lo exigente que era el artista italiano es lógico pensar que no comenzara el trazado sin antes haber analizado en profundidad aquello que se disponía a representar y que para ello hubiese buscado una estrategia geométrica para establecer las líneas maestras de la composición, que pasaría por tener que apoyarse en el formato de la cuartilla. En efecto, y como podremos comprobar, si se aplican unos pequeños márgenes, es posible determinar, en función de la anchura del folio, la ubicación y las dimensiones del cuadrado y, a partir de éstos, el centro del círculo y la medida del radio. Sin embargo, lo más sorprendente es que el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon en su posición en movimiento resulta ser el doble de la longitud del folio de partida. Un problema geométrico que podría plantearse de la siguiente forma: escoger una cuartilla y trazar a continuación una circunferencia cuyo perímetro sea dos veces su longitud. Resolver este problema no tiene nada de sencillo, pues tendremos que partir de un folio con unas proporciones muy concretas, como al parecer hizo Leonardo, que por una serie de razones deberán ser las de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2. Todo un rompecabezas geométrico que cuesta creer sea debido a una casualidad, más bien al contrario, pues del análisis geométrico que hemos realizado se desprende que habría una tercera figura en la composición, además del círculo y el cuadrado, que no ha sido tenida en cuenta, y ésta sería el rectángulo que forma la cuartilla de partida, el marco a partir del cual se vertebra el orden geométrico de la composición de Leonardo sobre las proporciones del cuerpo humano. De este modo, no solo es posible dibujar con gran precisión las figuras del círculo y el cuadrado,
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Pedro Tomás Vela, El Hombre de Vitruvio.
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sino hallar las razones de su ubicación respecto al folio de partida, como era preceptivo durante el Renacimiento, cuando en la pintura se introdujeron las reglas de perspectiva y el lienzo adquirió un protagonismo que antes no tenía, convirtiéndose en el marco a partir del cual se estructuraba geométricamente la composición. Como Leonardo no dejó nada escrito sobre esta cuestión, ni tampoco indica en sus notas que la representación del canon antropométrico de Vitruvio oculte un orden basado en las proporciones del folio, no podemos demostrar que el trazado sea el que realmente concibió, pero tampoco es nuestro objetivo. Nos hemos limitado a realizar un análisis de las correspondencias geométricas entre las figuras del círculo y el cuadrado y entre éstas y el formato del folio, así como proponer una forma sencilla de dibujarlas a partir de estos parámetros. Como podría parecer lo más lógico, todos los estudios sobre las relaciones geométrico-matemáticas entre las dos figuras dibujadas por Leonardo parten de una de ellas para hallar la otra. Sin embargo, en algunos casos las propuestas llegan a ser bastante complejas, teniendo que recurrir a intrincadas operaciones geométricas que nada o muy poco tienen que ver con el trazado original. El papel lo admite todo, y en matemáticas siempre hay una forma de llegar del punto A al punto B, aunque según el principio de la navaja de Ockham la solución más sencilla sea siempre la más probable. Ésta ha sido nuestra máxima: buscar la forma de trazar las figuras del círculo y el cuadrado con el menor número de movimientos que sea posible. El modelo que proponemos, aunque introduce una nueva variable en la ecuación, permite dibujar las dos figuras de forma sencilla teniendo en cuenta, además, las anotaciones de Leonardo en relación al canon descrito por Vitruvio. La variable que facilita el trazado es de orden geométrico, pues se trata de un modelo, como hemos dicho, basado en las proporciones de la cuartilla, un formato bien conocido en el Renacimiento gracias, entre otras fuentes, al tratado de arquitectura del ingeniero romano9.
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«La importancia que adquirió el texto vitruviano en el Renacimiento viene refrendada por la primera y
extensa edición de Vitruvio por Fray Giacondo, Venecia (1511), quien al comienzo del tercer libro introduce dos grabados para ilustrar el tema que tratamos. Por su parte, Cesarino, en el Vitruvio de cómo (1521), muestra dos completas ilustraciones a las que titula Humani corporis mensura et ab eo omnes symmetrias eurythmiatas et proportionatas geometrico schemate invenire ut adest figura. En una de ellas vemos una figura con cabeza demasiado pequeña y las piernas y los pies demasiado grandes».
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Cuando comenzamos este estudio, uno de nuestros objetivos era determinar con la mayor exactitud la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado. Pronto nos dimos cuenta que esto implicaba el tener en cuenta las dimensiones del folio, y para ello necesitábamos contar con una reproducción que se ajustase a sus medidas reales. Solo así sería posible realizar un análisis del trazado con un error que no fuese superior al de una milésima por metro. Lo cierto es que, con algunas excepciones, no se ha prestado atención a las dimensiones del folio y, menos aún, a sus proporciones10. Según Frank González Román Hernández, Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del homo ad circulum y ad quadratum. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p. 8. 10
Luis Castaño midió en 2011 la regla y los lados del cuadrado dibujados por Leonardo y advirtió que su
longitud era de 180 mm exactos. Esto nos ha permitido calibrar el escalado de la imagen digital de la representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo que hemos realizado a partir de las medidas que nos han proporcionado los responsables de la Galleria de l’Academia de Venecia. Estos datos nos permiten conocer el grado de aproximación que alcanzamos con la propuesta de trazado para dibujar las figuras del círculo y el cuadrado a partir de las proporciones del folio. Para Luis Castaño la medida de 180,00 mm es un dato al que no se le habría prestado toda la atención que merece y tendría una gran importancia para los estudios de metrología de los sistemas de medidas del mundo antiguo en relación al canon recogido por Vitruvio en su célebre tratado de arquitectura y a la representación de Leonardo da Vinci. En función de este dato, desarrolla sus investigaciones sobre la cuadrícula de 24 palmas y derivadas y sus relaciones con los sistemas de medidas antiguos y el sistema métrico decimal. Según sus investigaciones estos sistemas de medidas derivarían todos ellos de un sistema de medidas original cuya unidad central es un canon (modelo humano ideal) basado en un Hombre de 1'80 m. Para más información consultar los artículos de Luis Castaño Sánchez: Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y Metrología Histórica: Una nueva propuesta.» En efecto, la cuadrícula de 24 palmas se encuentra en la base del canon antropométrico de Vitruvio como escribe el mismo Leonardo en las notas del célebre folio: «Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: Una palma es la anchura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro palmas, un antebrazo es la anchura de seis palmas, la altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Estas eran las medidas que usaba en sus edificios. Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en 1/14 y extiende los brazos, levantándolos hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triángulo equilátero.» Manuel Franco Taboada también ha estudiado esta cuadrícula de 24 palmas en relación al sistema de medidas de origen griego del canon antropométrico de Vitruvio. Como él mismo escribe: «De todas las interpretaciones gráficas del texto de Vitruvio, en lo que se refiere a esta descripción proporcional, la más literal es la de Rusconi. En ella observamos al hombre inserto en una
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Zöllner mide 344,00 x 244,00 mm, aunque al parecer no es un dato del todo correcto11. Según indica Valeria Poletto, directora del Gabinetto di disegni e stampe de la Galleria de l’Academia de Venecia, donde se encuentra guardado, sus dimensiones son 246,00 x 345,00 mm, y éstas son a las que nos atendremos para el escalado de la imagen digital del folio que emplearemos para el análisis geométrico de la representación de Leonardo. Pero antes de comenzar con el análisis de la composición es necesario subrayar algunos de los problemas que nos hemos encontrado y las soluciones que hemos adoptado. La mayor dificultad radica en establecer el escalado de la imagen digital del folio necesario para extrapolar la longitud de la regla dibujada por Leonardo, que debe ser igual a la de los lados del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Es una operación en la que un pequeño error en la determinación de las dimensiones del folio a partir de los márgenes puede producir desviaciones de hasta unos 2 mm en la longitud de la regla. La irregularidad de los bordes impide precisar el rectángulo a partir del cual establecer las dimensiones absolutas del folio. Admitiendo que cabe este pequeño margen de error, que es de aproximadamente un 1,00%, una vez escalada la imagen digital de modo que mida 246,00 x 345,00 mm, la longitud de la regla es efectivamente de unos 180,00 mm.
cuadrícula de 24 celdas, que se corresponden con la menor de las subdivisiones dadas por Vitruvio en relación a la altura total del hombre: el palmo Vemos que 4 dedos hacen un palmo y que 6 palmas hacen un codo, lo que se manifiesta por la posición quebrada del brazo izquierdo, que llama nuestra atención y domina la composición, y que, en consecuencia, 4 codos hacen un hombre (4x6). Por último 24 palmos hacen la altura total, cuestión que queda evidenciada por la cuadrícula. La medida de la cabeza, que desde la barba hasta la coronilla, es la octava parle de todo el cuerpo, se manifiesta magistralmente en el dibujo, por el hecho de modificar la dimensión de la cuadrícula. Para Vitruvio, el rostro, medido desde la barba a lo alto de la frente y la raíz de los cabellos, es una décima parte del total, y dado que éste son 24 cuadrículas, el dibujo muestra que equivale a 2'4. La división del mismo en tres partes iguales, es también patente, 1/3 desde el mentón a la nariz; desde ésta al entrecejo, otro tercio; y otro igualmente desde allí hasta la raíz de los cabellos, donde comienza la frente. Igualmente, la palma de la mano, desde el nudo de la muñeca hasta el extremo del dedo corazón, es 1/10 del total. Cuatro palmos hacen un pie, y el pie es la sexta parte de la altura del cuerpo.» Actas del VII Congreso Internacional de expresión gráfica arquitectónica. Donostia, 14, 15 y 16 de Mayo de 1998. Vol. 2, 1998, Alea. ISBN 8483730391, pp. 345-360. 11
Frank Zöllner, L’uomo vitruviano di Leonardo da Vinci, Rudolf Wittkower e l’angelus novus di Walter
Benjamin, extracto de Raccolta Vinciana, Fascículo XXVI, Milán.
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Si nos fijamos en los lados del cuadrado descubrimos que no es perfecto. Sus longitudes oscilan entre los 179,60 mm y los 180,00 mm; unas desviaciones que son despreciables a efectos prácticos, pues es imposible obtener una precisión en el trazado por debajo de la milésima de metro. Para corroborar la medida de la regla obtenida con el escalado de la imagen digital nos ha sido de gran ayuda el trabajo de Luis Castaño sobre el sistema métrico que empleó Leonardo para realizar la representación del canon antropométrico. Según las medidas que pudo tomar en una visita que realizó a la Galleria de l’Academia de Venecia, tanto la regla como los lados del cuadrado miden 180,00 mm, tal y como se desprende del escalado de la imagen digital que previamente habíamos realizado a partir de las medidas que Valeria Polleto nos ha proporcionado12. También hemos contado con la colaboración de Martin J. Kemp, especialista en la obra de Leonardo, a quien agradecemos que se haya preocupado por comprobar la validez de las medidas de la regla y de los lados del cuadrado sobre un facsímil que se guarda en el Departamento de Historia de la universidad de Oxford13. Ha podido verificar que, en efecto, los lados del cuadrado presentan ligeras desviaciones, evidenciando la dificultad que entraña el trazar sobre el papel una simple figura empleando la regla y el compás, pero que en ningún caso sus longitudes son inferiores a los 179,00 mm ni superiores a los 180,00 mm.
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Según Luis Castaño, quien pudo contrastar estos datos tomando las medidas sobre el folio original, el
lado izquierdo del cuadrado es algo menor, de unos 179,00 mm. El cuadrado dibujado por Leonardo no es perfecto, al igual que el círculo, y presenta ligeras irregularidades, tanto en la perpendicularidad como en las longitudes de los lados. A pesar de ello, el grado de definición del trazado de Leonardo es admirable. Estos errores solo son visibles al ampliar la imagen hasta un grado de precisión que era inconcebible en aquella época. Por otra parte, Leonardo en sus anotaciones se refiere a un cuadrado perfecto, de modo que estas leves variaciones no deben ser tenida en cuenta, se trata de errores en la ejecución del trazado. 13
Leonardo da Vinci. Le proporzione del corpo umano secondo Vitruvio, Litografia del disegno di
Leonardo. Electa, Soprintendenza per i Beni Artistici e Storici di Venezia, Milán, 1999, edition of 1,000.
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En la siguiente tabla se muestran las medidas de los lados del cuadrado según Luis Castaño, Martin J. Kemp y según la imagen digital que hemos escalado considerando que las dimensiones del folio son 246,00 x 345,00 mm (Tabla 1). Segmento
Valor 1
Valor 2
Valor 3
Media
Lado superior
180,00 mm
179,00 mm
180,00 mm
179,67 mm
Lado inferior
180,00 mm
180,00 mm
180,05 mm
180,02 mm
Lado derecho
180,00 mm
179,00 mm
179,98 mm
179,66 mm
Lado izquierdo
179,00 mm
180,00 mm
179,80 mm
179,60 mm
Media
179,75 mm
179,50 mm
179,97 mm
179,74 mm
Tabla 1. Medidas del cuadrado en el cual se inscribe el hombre del canon según Luis Castaño (valor 1), Martin J. Kemp (valor 2) y la imagen digital empleada en este trabajo (valor 3), una vez escalada considerando que las dimensiones de la cuartilla son 246,00 x 345,00 mm y de la regla dibujada por Leonardo 180,00 mm.
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Hay que tener en cuenta, en lo que se refiere a las posibles desviaciones del trazado, el grado de precisión con el que trabajó Leonardo. Ahora tomamos medidas con una regla dividida en milésimas de metro, mucho más exacta que la que pudo emplear el polímata florentino14. Según el canon recogido por Vitruvio, la altura del hombre ideal es de 24 palmas. Cada palma se divide a su vez en 4 dedos, que es la unidad métrica mínima del sistema, tal y como está indicado en la regla dibujada en el folio (Figura 2).
Fig. 2. Divisiones de la regla dibujada por Leonardo que indican que la altura del hombre del canon es de 24 palmas, como apunta en las notas basadas en el tratado de Vitruvio que incluyó en la representación 15.
Si la regla tiene una longitud de 180,00 mm (± 0,26 mm), entonces la unidad mínima del sistema métrico es de 1,875 mm (180,00 mm entre 96 dedos), lo que significa que
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Se puede observar que las marcas correspondientes a la quinta y a la sexta palma, a izquierda y derecha,
presentan una pequeña irregularidad. 15
Las imágenes de este artículo en las que aparece una cuadrícula de 24 palmas y derivadas, para ilustrar
las razones geométricas entre las figuras del círculo y el cuadrado y también su relación con la hipótesis del trazado en función de las proporciones del folio, están basadas en los trabajos sobre el canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci de Luis Castaño Sánchez, quien desde el 2011 desarrolla sus investigaciones metrológicas sobre dicha cuadrícula en relación a un canon que estaría basado en un hombre de 1,80 m. Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. Para más información sobre esta cuadrícula en relación al canon antropométrico vitruviano según Leonardo da Vinci se puede consultar también el artículo de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.
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Leonardo trabajaba casi con la mitad de la precisión que nos ofrece en la actualidad una regla dividida en milímetros. A pesar de ello, el trazado es muy preciso si tenemos en cuenta además los factores que pueden producir desviaciones. En primer lugar, por la técnica empleada. Si dibujamos un cuadrado de 10 cm con un lápiz cuya punta tenga el grosor de 1 mm, tendremos una desviación que será del mismo orden de magnitud. En segundo lugar, hay que contemplar los posibles errores cometidos en la ejecución del trazado, que se acumulan tras cada uno de los movimientos realizados con la regla y el compás. Hoy en día gracias a los ordenadores trabajamos con una precisión que hubiese dejado estupefacto al mismísimo Leonardo y que, sin duda, le hubiese sido de gran ayuda16. Por último, hay que añadir el grado de error del escalado de la imagen digital que hemos realizado, pues en toda toma de medidas se contempla siempre un margen de desviación. Teniendo en cuenta todos estos factores, la longitud de la regla y, por lo tanto, de los lados del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon, es de 180,00 mm (± 0,26 mm). Si escalamos la imagen digital considerando esta magnitud, es decir, tomando como referencia la longitud de la regla en lugar de las dimensiones del folio, las medidas cuadran con las indicadas por los responsables de la Galleria de l’Academia de Venecia, es decir, 246,00 mm de ancho por 345,00 mm de largo (± 1,00 mm). Pero hay otro motivo por el cual creemos que la escala basada en una regla de 180,00 mm es correcta, y es que se trata de una magnitud de la que se desprende el valor de la palma, una unidad métrica cuyos orígenes se encuentran en el sistema griego, sistema del que habría partido Vitruvio para la descripción del canon antropométrico. Las divisiones que hizo Leonardo en la regla no dejan lugar a dudas. Si convenimos que tiene una longitud
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Estas diferencias minúsculas en torno a las milésimas de metro podrían parecer poco importantes, pero
nos impiden obtener resultados exactos cuando tratamos de distinguir entre una operación basada en la sección áurea (1,618…) o una división en función de una proporción de 5/3 (1,667…) que es parte del problema que plantea el análisis geométrico de la representación del hombre del canon de Leonardo que abordaremos en este trabajo.
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de 180,00 mm, cada una de las 24 divisiones mide 7,5 mm o, lo que es lo mismo, el valor teórico de 1/10 de palma17.
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El redescubrimiento de Platón, propiciado por la reedición del tratado de Vitruvio que fue difundido
por Petrarca, inspira las teorías métricas durante el Renacimiento. Según algunos investigadores, el origen de este modelo antropométrico se remontaría al sistema metrológico griego y éste, a su vez, al antiguo sistema de medidas egipcio. Como recoge en sus artículos Luis Castaño, el llamado “Patrón de Maya”, un listón de madera del siglo XIV a.C., mide 525 mm y está dividido en 7 palmas, por lo que cada palma mide 75,00 mm, un patrón que, por otro lado, y como advierte Luis Castaño, se remontaría al modelo de medidas sumerio. Para más información consultar los artículos de Luis Castaño Sánchez, Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp. 14-16, pp. 18-19, Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, p. 6. Según Frank Zöllner, los orígenes del sistema métrico y, por lo tanto, de la cuadrícula de 24 palmas en la que se basó Leonardo para dibujar el Hombre de Vitruvio se encuentran en la antigua Grecia. Como él mismo escribe: «el sistema metrológico de origen griego es un modelo antropométrico basado en un sistema duodecimal de particiones (3, 4, 6, 12, 24, 48 y 96) en función de la altura del hombre según patrones de antiguos cálculos fraccionarios, cuyo uso puede remitirnos a la práctica de la arquitectura». Frank Zöllner, L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, p. 335. Para Stephen Skinner los orígenes del sistema de medidas antropométrico vitruviano en base duodecimal recogido por Leonardo se remontarían al antiguo Egipto: «el Hombre de Vitruvio, obra de Leonardo, cuyo propósito original era mostrar cómo la medida del codo de los antiguos egipcios podía aplicarse a las dimensiones del hombre.» Stephen Skinner, Geometría Sagrada, Ediciones Gaia, 2007, Madrid, ISBN 978-84-8445201-0, p. 129.
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La siguiente figura corresponde a la imagen digitalizada del folio que hemos empleado para realizar el análisis geométrico. Su dimensiones son de 2584 x 3570 píxeles (218,78 x 302,26 mm), tienen una resolución de 300 píxeles y una profundidad de 24 bits. La escala de 10 píxeles por milímetro permite tomar medidas mediante cualquier programa de edición de imágenes sin tener que realizar ninguna conversión (Figura 3).
Fig. 3. El Hombre de Vitruvio. Dibujo a tinta y lápiz sobre papel (carta bianca de 246,00 x 345,00 mm) y escala digital de 10 píxeles por milímetro considerando que la regla dibujada por Leonardo mide 180,00 mm.
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Hasta aquí los problemas relacionados con la determinación de las dimensiones del folio y el escalado de la imagen digital. Veamos ahora las ventajas y los inconvenientes del trazado propuesto en este trabajo basado en las proporciones de la cuartilla que empleó Leonardo. Lo más interesante del modelo de trazado es que, con independencia de las medidas del folio, al partir de sus proporciones la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado es la misma para todas las escalas, por lo que es posible dibujarlas a partir de simples fracciones de números enteros, aunque esto suponga perder algo de precisión respecto a sus dimensiones máximas al optar por establecer unos márgenes que ayudan a centrar y ajustar la composición del trazado a realizar. Con el trazado basado en las proporciones del folio, y partiendo de sus dimensiones máximas (246,00 x 345,00 mm), llegamos a un cuadrado que mide 184,50 mm, un valor muy por encima del esperado. Para obtener un cuadrado cuyos lados midan exactamente 180,00 mm tenemos que contemplar unos márgenes, y restar 2,50 mm a la anchura y 2,25 mm a la longitud del folio, quedando un área de trazado final de 240,00 x 340,00 mm. En adelante nos referiremos a este rectángulo con el nombre de “área de trazado”. En la Figura 4 se puede ver la diferencia entre las dimensiones máximas del folio y las del área de trazado una vez establecidos los márgenes.
Fig. 4. De color amarillo las dimensiones del folio (246,00 x 345,00 mm), y de color rojo las correspondientes al área teórica de trazado (240,00 x 340,00 mm).
Lo más lógico es que para realizar el trazado Leonardo hubiese establecido un marco, que aprovecharía para fijar la cuartilla de papel y centrar la composición respecto a los márgenes que, como hemos visto, son algo irregulares. De hecho, el eje vertical sobre el que se sitúan los centros del círculo y el cuadrado no se encuentra a la misma distancia de los bordes del folio, teniendo que restar 2,75 mm al lado derecho y 1,65 mm al 17
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izquierdo para que sean equidistantes. Si aceptamos que nuestra hipótesis es correcta, sin referencias es imposible trazar las figuras a partir de las proporciones del folio. Sin un marco que acote el área de trazado se hace difícil colocar el compás en los bordes y las esquinas sin disponer de un punto a partir del cual asegurar el trazo18. En las siguientes figuras se puede ver el resultado del trazado basado en las proporciones del folio para mostrar el orden de magnitud del error sin contemplar los márgenes y la exactitud del mismo si los tenemos en cuenta (Figuras 5 y 6).
Fig. 5. De color amarillo el cuadrado de 184,50 mm y la circunferencia resultantes de aplicar el trazado partiendo de las dimensiones máximas del folio (246,00 x 345,00 mm). Fig. 6. De color rojo el cuadrado de 180,00 mm y la circunferencia que se obtienen con el mismo trazado, pero teniendo en cuenta unos márgenes de 2,25 mm y 2,50 mm de donde se desprende un área de trazado de 340,00 x 240,00 mm), y que son coincidentes con las figuras dibujadas por Leonardo en un 99,96%.
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Otra de las razones que refuerzan la teoría del marco de trabajo es que, de no aplicarse, la irregularidad
de los bordes del folio, sobre todo en cuanto a su longitud, donde la diferencia es más notable, impiden contemplar un área de trazado completa, es decir, quedan espacios vacíos en los márgenes, cosa que no sucede con el área de trazado de 240 x 340 mm, ya que al partir de los valores mínimos del folio toda la superficie queda cubierta.
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Las figuras resultantes del trazado propuesto partiendo de las dimensiones máximas de la cuartilla son mayores que las dibujadas por Leonardo, y sus centros se sitúan algo por encima de los centros reales. Por el contrario, si consideramos los márgenes, el trazado es exacto, y por ello creemos que hay razones para proponer una hipótesis sobre la relación de las figuras del círculo y el cuadrado con las proporciones de la cuartilla. Se hace difícil pensar que Leonardo, sin ser consciente de ello, hubiese logrado un grado de aproximación que es, en el peor de los casos, del 98%, lo que se traduce, en cuanto a las dimensiones de las figuras se refiere, en un error de uno por cada cien milímetros, una diferencia que apenas es perceptible a simple vista. En todo caso, y aún admitiendo estas pequeñas discrepancias, subrayar que éstas no afectan al análisis geométrico de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado, ya que se trata de un cálculo basado en las proporciones del folio. La reducción de sus dimensiones máximas de 246,00 x 345,00 mm a las del área de trazado de 240,00 x 340,00 mm no altera el formato, es más, gana en precisión al pasar de una proporción de 7/5 a una que es igual a la raíz cuadrada de 2, un aspecto que, como veremos, sería parte fundamental de la concepción del trazado. Una vez aclarada la problemática que plantean las dimensiones del folio y establecido el orden del rango de error del trazado basado en sus proporciones, veamos qué podemos decir sobre el formato que escogió Leonardo para su representación del Hombre de Vitruvio.
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Es sorprendente que nadie haya reparado en la importancia de las proporciones de la cuartilla de partida. Al dividir la longitud por la anchura el cociente resultante es una aproximación a la √2 de un 99,17%, es decir, una proporción de 7/5. Un rectángulo que se obtiene, por lo tanto, a partir del abatimiento de la diagonal del cuadrado sobre uno de sus lados (Figura 7). Bucher llamó diagon a este tipo de rectángulos y Wolfgang von Wersin lo describió como uno de los doce ortoedros más apreciados en la historia de la arquitectura19.
Fig. 7. Rectángulo igual a la √2.
Si consideramos los valores del área de trazado (240,00 x 340,00 mm), el cociente resultante es 1,414; una aproximación a la √2 aún más precisa, de un 99,83%. En este
trabajo nos referiremos al cuadrado a partir del cual se obtiene la longitud total del rectángulo del folio (ABCD) con el nombre de “cuadrado rector” (CDEF), para diferenciarlo del cuadrado dibujado por Leonardo en el que se inscribe el hombre del canon en su posición en reposo con los brazos en cruz (Figura 8).
Fig. 8. “Cuadrado rector” base del rectángulo igual a la √2 (CDEF).
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Los agrimensores y constructores romanos conocían bien esta forma de trabajar con rectángulos y las
empleaban en sus proyecciones topográficas para establecer los trazados de ciudades, campamentos, parcelas agrícolas y edificios mediante el uso de cuerdas y estacas y otros instrumentos de medición tales como la groma.
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Del cuadrado, que podríamos decir que es un rectángulo en donde la relación entre sus lados es de 1 a 1, se derivan los llamados rectángulos dinámicos mediante una sencilla operación geométrica. El rectángulo cuya proporción es igual a la raíz cuadrada de 2 se construye a partir de un cuadrado, llevando la diagonal sobre la prolongación de su base. Si repetimos la operación y abatimos la diagonal del nuevo rectángulo sobre la prolongación del lado mayor, obtendremos entonces un rectángulo cuyos lados están en una relación que es igual a la raíz cuadrada de 3 (Figura 9).
Fig. 9. Reglas de formación de los rectángulos dinámicos a partir de las sucesivas diagonales.
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Una particularidad de este tipo de rectángulos que tiene que ver con la tradición constructiva recogida en el tratado de Vitruvio es que, al restar al “cuadrado rector” la longitud total del folio, se forma en la parte superior un rectángulo (ABEF) cuyos lados (BF y EF) son los catetos de un triángulo pitagórico 5/12/13, una de las escuadras más apreciadas por los ingenieros y constructores romanos (Figura 10)20. Más adelante veremos que este rectángulo juega un papel importante en el trazado, pues su perímetro (ABEF) es igual al doble de la longitud del folio (AC = BD = 2 ABEF).
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Fig. 10. Escuadra pitagórica 5/12/13 que se forma en los rectángulos igual a la √2.
Esta escuadra ha sido estudiada por Carlos Sánchez Montaña en su trabajo sobre la orientación de
Lucus Augusti, la actual ciudad de Lugo. En referencia a su uso en la fundación de las ciudades romanas escribe que: «la ciudad sagrada de Augusto cumplía de manera exacta cada uno de los ritos geométricos, que el culto a Jano-Quirino-Arkho establecía. El proyecto redactado por Marco Agripa, y determinado en el códice escrito por él mismo siguiendo la petición de Octavio Augusto, posee una geometría de orden universal, "una cosmografía, a partir de la cual, y siguiendo un complejo sistema de proporciones, se establece, en el orden de lo sensible, una distribución análoga al orden cósmico. Su forma, según el rito de Jano y de geometría igual a su templo, tenía planta cuadrada, formada por una cuadrícula de doce por doce cuadras, dividida en cuatro barrios orientados de acuerdo a los cuatro puntos cardinales, e igual que el templo, que tenía doce columnas, la ciudad tenía doce puertas de entrada. La ciudad se implanta en el territorio de acuerdo a la escuadra pitagórica 5-12-13 y sigue lo estipulado en el proyecto redactado por Marco Agripa, en cuanto a la ordenación de sus calles, espacios públicos y edificios. Cada uno de ellos se rige de acuerdo a la misma escuadra pitagórica en sus proporciones. La ciudad cumple las reglas de los Collegia Fabrorum del siglo I a.C., herederas de la tradición de la Ciencia Sagrada que los Arkhitekton han sabido utilizar a lo largo de los siglos». Carlos Sánchez Montaña, La geografía sagrada de Augusto, http://symbolos.com/carlossanchez/carlossanchez.htm.
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Sigamos con el análisis del formato de la cuartilla. Como prueba de la importancia que los rectángulos basados en la diagonal del cuadrado han jugado y juegan en la historia, y no solo en el campo de la arquitectura y en el mundo del arte, sus proporciones son las mismas que las que emplea la moderna industria papelera para establecer el estándar del formato DIN21. La idea subyacente del modelo consiste en hallar la mejor forma de aprovechar el papel para disminuir los costes de producción. En la denominada serie A, la plantilla base es una cuartilla de papel, denominada A0, que tiene una superficie de un metro cuadrado22. En un pliego de papel con este formato, sus lados guardan una proporción tal que, dividiéndolo por la mitad de su longitud, cada una de las mitades sigue guardando las mismas proporciones respecto a las del pliego inicial. Para que se cumpla esta propiedad los lados del rectángulo deben guardar la siguiente relación, siendo x e y los lados mayor y menor respectivamente:
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Formatos que se encuentran recogidos en las normas ISO 216 e ISO 416.
22
Los tamaños de papel normalizados ISO son los establecidos por las normas DIN alemanas en 1922,
que fueron sucesivamente aceptados por otros países europeos. Las normas DIN, en lo referente a tamaños de papel, determina un formato básico cuyo origen es un rectángulo de 1 m 2 de superficie y cuyos lados mayor y menor guardan una relación igual a raíz de 2. De estas dos condiciones se obtiene un rectángulo cuyos los lados miden 1189 x 841 mm. Estas son las medidas del formato básico de la llamada serie A0. Los formatos son todos proporcionales entre sí, es decir la relación entre los lados es siempre la raíz cuadrada de 2.
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Las dimensiones del folio que empleó Leonardo son algo superiores, 246,00 x 345,00 mm, frente a los 297,00 x 210,00 mm del actual DIN-A4, pero sus proporciones son exactamente las mismas, y están basadas, por tanto, en las propiedades geométricas del rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, como se puede ver en Figura 11, en donde hemos superpuesto el folio sobre una plantilla del estándar ISO 216 basado en el sistema métrico decimal. Fig. 11. Formato de papel ISO 216. El folio empleado por Leonardo vendría a ser un DIN A4.
En la tradición arquitectónica hindú se recogen hasta 72 formas de dividir un rectángulo siguiendo estrictos criterios de proporcionalidad y semejanza, aunque se pueden resumir en tres reglas, como se muestra en la Figura 12.
Fig. 12. Reglas de división de un rectángulo según criterios de proporcionalidad y semejanza.
Todo indica que Leonardo conocía bien las reglas de proporcionalidad y semejanza que son aplicables a este tipo de rectángulos, y que las empleó para establecer los puntos de referencia a partir de los cuales trazar las figuras del círculo y el cuadrado en las que inscribir el hombre del canon en sus dos posiciones. 24
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Una de las evidencias que indican que Leonardo pudo servirse del “cuadrado rector” derivado del rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 es que el lado superior coincide con la posición de los brazos en cruz del hombre del canon, en el punto donde los dedos medios tocan el cuadrado que es igual a su altura (Figura 13).
Fig. 13. El punto donde los dedos medios del hombre del canon tocan el cuadrado que es igual a su altura coincide con el lado superior del “cuadrado rector” a partir del cual se obtienen las dimensiones totales del folio (246,00 x 345,00 mm), de color amarillo, o bien las dimensiones del área de trazado (240,00 x 340,00 mm), de color rojo, una vez aplicados los márgenes.
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El establecimiento de los márgenes no solo ayuda a centrar la composición, puesto que, y como hemos indicado, el centro del ombligo no se encuentra a la misma distancia de los bordes del folio a derecha e izquierda, sino que permite trazar el “cuadrado rector” de modo que el lado superior coincida con el punto señalado por los dedos del hombre del canon (Figura 14).
Fig. 14 . Detalle de los puntos del cuadrado señalados por los dedos del hombre del canon y correspondencias con el lado superior del “cuadrado rector”. De color amarillo las dimensiones máximas del folio y de color rojo las del área teórica de trazado.
Hay otro detalle que refuerza la teoría del “cuadrado rector” como eje vertebrador de la composición. Leonardo trazó un segmento a la altura de los hombros, probablemente para servir de guía al comenzar el trazado, que también coincide con el lado superior del “cuadrado rector” del folio de partida (Figura 15).
Fig. 15. Detalle del segmento dibujado entre los hombros, a la altura de los brazos extendidos en cruz, a la misma altura que el punto donde el dedo medio de la mano derecha toca el lado del cuadrado.
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No son más que indicios, aunque reveladores. Una vez descubierta la importancia que juega el formato del folio en la composición, veamos cómo podemos servirnos de sus proporciones para dibujar las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon en sus dos posiciones.
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DETERMINACIÓN DEL CUADRADO EN FUNCIÓN DEL ÁREA DE TRAZADO. La representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo es la obra de un consumado anatomista que estaba acostumbrado a emplear la geometría como herramienta para describir la estructura de aquello que observaba. Para el análisis de las proporciones del cuerpo humano en sus dos estados, en movimiento y reposo, se basó en las dos figuras capitales de la geometría: el círculo y el cuadrado. Se ha escrito mucho sobre la singular disposición que establece entre ellas y esto ha provocado cierta dispersión. Ahora bien, si aceptamos todas las teorías, nos encontramos ante varias posibles soluciones, algunas más rigurosas y otras no tanto, sin saber a ciencia cierta cuál de ellas es la que realmente aplicó el artista italiano. El problema radica en la dificultad para integrar en un modelo las diferentes propuestas, con el fin de hallar los puntos en común. El trazado basado en las proporciones del folio que vamos a plantear puede ayudar a establecer unos valores máximos y mínimos y, por lo tanto, una serie de magnitudes ponderadas que, teniendo en cuenta los márgenes de error, permitan determinar los valores teóricos a partir de los cuales evaluar cada una de las propuestas, de modo que sea posible descartar aquéllas que se desvíen demasiado del rango de valores esperado.
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Como ejemplo veamos el interesante análisis realizado por Ernesto Fernández23. Leonardo trazó varios segmentos sobre la figura del hombre del canon siguiendo las indicaciones del patrón de proporciones de Vitruvio. Como se puede ver en la Figura 16, las divisiones realizadas a la altura del pecho, el sacro y las rodillas coinciden con las indicadas por las intersecciones de los lados de un polígono de ocho lados que es conocido con el nombre de Estrella de Brunés24.
Fig. 16. Divisiones sobre la figura del hombre del canon (de color amarillo) y correspondencias con las intersecciones de las diagonales que unen los puntos medios de los lados del cuadrado.
El canon antropométrico vitruviano se basa en un sistema de particiones duodecimal en función de la altura del hombre ideal según los patrones de cálculos fraccionarios. Se trata de un sistema métrico de doble naturaleza que, por un lado, toma como patrón las diferentes partes del cuerpo humano y, por otro, se rige por un modelo en función de fracciones de números enteros. Inspirándose en estas ideas, Leonardo escribió en el folio el siguiente párrafo. «Vitruvio, el arquitecto, explica en su obra sobre arquitectura que la naturaleza dispone las medidas del cuerpo humano de la siguiente manera: Una palma es la anchura de cuatro dedos, un pie es la anchura de cuatro palmas, un antebrazo es la anchura de seis palmas, la altura de un hombre son cuatro antebrazos, un paso son cuatro antebrazos y veinticuatro palmas son un hombre. Estas eran las medidas que usaba en sus edificios. Si abre tanto las piernas de forma que su altura disminuya en
23
Ernesto Fernández, Platón, Leonardo y el Sistema del Monte Carmelo (reflexiones sobre los principios
de la medida. 24
La estrella de Brunés se construye con las diagonales que unen los puntos medios de los lados de un
cuadrado con sus vértices. Se llama así por Tons Brunés, arquitecto danés del siglo XX que la empleó para analizar edificios, monumentos y otras obras de arte de la antigüedad.
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1/14 y extiende los brazos, levantándolos hasta que los dedos medios estén a la altura de la parte superior de su cabeza, el centro de los miembros extendidos estará en el ombligo y el espacio que comprenden las piernas formará un triángulo equilátero.» Según Frank Zöllner, se trata de un canon antropométrico cuyos orígenes nos remiten a la práctica de la arquitectura en la antigua Grecia y cuya serie fraccionaria es 3, 4, 6, 12, 24, 48, 96. Lo más destacado de este modelo de particiones es la definición de las proporciones de las diferentes partes del cuerpo humano como fracciones de la altura total del hombre del canon, como ha sido preceptivo desde sus orígenes en arquitectura y escultura, pues las dimensiones se definen como partes de una magnitud previamente establecida25. Leonardo indicó estas divisiones con unas líneas trazadas sobre la figura del hombre del canon bajo el cuello, en los hombros, los codos y las muñecas; y a la altura del pecho, el pubis y las rodillas. Las correspondencias con las intersecciones de los lados de la Estrella de Brunés son consecuencia de este sistema de fraccionario de particiones descrito por Vitruvio en su tratado de arquitectura.
25
«La disposición de los templos depende de la simetría, cuyas normas deben observar escrupulosamente
los arquitectos. La simetría tiene su origen en la proporción, que en griego se denomina analogía. La proporción se define como la conveniencia de medidas a partir de un módulo constante y calculado y la correspondencia de los miembros o partes de una obra y de toda la obra en su conjunto. Es imposible que un templo posea una correcta disposición si carece de simetría y de proporción, como sucede con los miembros o partes del cuerpo de un hombre bien formado.» Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, pp 82.
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Según el canon de Vitruvio, la altura del hombre del canon es de 4 codos26. La Estrella de Brunés revela este aspecto, pues las intersecciones de las diagonales que unen los puntos medios de los lados del cuadrado también dividen el cuadrado en 4 partes, por lo que se trata de un método geométrico equivalente a la división del cuadrado con una cuadrícula de 4 x 4 codos (Figura 17).
26
Fig. 17. Cuadrícula de 4 x 4 codos y divisiones según el canon (de color amarillo). Obsérvense las marcas en la regla correspondientes a las 6 palmas que hacen 1 codo27.
«El cuerpo humano lo formó la naturaleza de tal manera que el rostro, desde la barbilla hasta la parte
más alta de la frente, donde están las raíces del pelo, mida una décima parte de su altura total. La palma de la mano, desde la muñeca hasta el extremo del dedo medio, mide exactamente lo mismo; la cabeza, desde la barbilla hasta la coronilla, mide una octava parte de todo el cuerpo; una sexta parte mide desde el esternón hasta las raíces del pelo y desde la parte media del pecho hasta la coronilla, una cuarta parte. Desde el mentón hasta la base de la nariz, mide una tercera parte de la altura del rostro; desde la base de la nariz hasta las cejas, otra tercera parte y desde las cejas hasta las raíces del pelo, la frente mide igualmente otra tercera parte. Si nos referimos al pie, equivale a una sexta parte de la altura del cuerpo; el codo, una cuarta parte, y el pecho equivale igualmente a una cuarta parte. Los restantes miembros guardan también una proporción de simetría, de la que se sirvieron los antiguos pintores y escultores famosos, alcanzando una extraordinaria consideración y fama. Exactamente de igual manera, las partes de los templos deben guardar una proporción de simetría perfectamente apropiada de cada una de ellas respecto al conjunto total en su completa dimensión.» Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. III, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, pp 82-83. 27
Para más información sobre la cuadrícula de 24 palmas y el canon antropométrico de Vitruvio según
Leonardo consultar los trabajos de Manuel Franco Taboada, op. cit. La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12 y op. cit. Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci.
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Así pues, hay una cuadrícula de 24 x 24 celdas implícita en el cuadrado que divide la altura del hombre del canon en 4 partes iguales (Figura 18).
Fig. 18. División del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon en 24 palmas de 7,5 mm y correspondencias con las divisiones indicadas por Leonardo (de color amarillo) según el sistema metrológico basado en las proporciones del cuerpo humano descrito por Vitruvio28.
28
Las imágenes que empleamos en este artículo en las que aparece una cuadrícula de 24 palmas y
derivadas, que empleamos para ilustrar algunas de las razones geométricas entre las figuras del círculo y el cuadrado y también de su relación con la hipótesis del trazado en función de las proporciones del folio, están basadas en los trabajos sobre el canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci de Luis Castaño Sánchez, quien desde el 2011 desarrolla sus investigaciones metrológicas sobre dicha cuadrícula en relación a un canon que estaría basado en un hombre de 1,80 m. Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. Para más información sobre esta cuadrícula en relación al canon antropométrico vitruviano según Leonardo da Vinci se puede consultar también el artículo de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.
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Como veremos, estas divisiones son la base del sistema fraccionario a partir del cual se puede obtener una aproximación a la relación de las figuras del círculo y el cuadrado y está en consonancia con los movimientos de regla y compás necesarios para realizar el trazado en función del formato de la cuartilla que proponemos en función de las razones de la raíz cuadrada de 2. Comencemos por el trazado del cuadrado que será igual a la altura del hombre del canon y, por lo tanto, la razón del modelo antropométrico. Partimos del área de trazado una vez aplicados los márgenes al folio (240,00 x 340,00 mm). Como se muestra en la Figura 19, es tan sencillo como dividir el “cuadrado rector” (ABCD) del rectángulo de partida en dos partes iguales y, a continuación, trazar las diagonales del rectángulo que se forma en la mitad superior (ABEF). El punto de intersección de las diagonales con la vertical media de la cuartilla es el centro del cuadrado buscado, el punto donde se ha de ubicar el sacro del hombre del canon.
Fig. 19. Determinación del centro del cuadrado a partir de las semidiagonales del “cuadrado rector” del rectángulo de partida igual a la √2.
Leonardo procede mediante la división en 4 partes del “cuadrado rector” de modo que la determinación del centro del cuadrado sea coherente con las proporciones del folio. De ello resulta que éste se sitúa a 180,00 mm del borde inferior, que es, además, la medida de los lados del cuadrado y, por lo tanto, también de la regla que indica la escala y el patrón métrico de la representación.
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Obsérvese la precisión del trazado basado en las proporciones de la cuartilla en la determinación de la ubicación del sacro/coxis, que queda perfectamente indicado por la intersección de las diagonales de la mitad superior del “cuadrado rector” (Figura 20).
Fig. 20. Aproximación del método de trazado propuesto para hallar el centro del cuadrado correspondiente a la ubicación del sacro/coxis del hombre del canon.
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El siguiente paso consiste en determinar la longitud de los lados del cuadrado. De hecho, como hemos indicado, es una medida que ya tenemos, pues es la distancia desde el centro del cuadrado que acabamos de obtener (a) al borde inferior del área de trazado. Basta con trazar las diagonales del rectángulo que se forma desde este punto al borde inferior del folio y en su intersección (o) colocar el centro del compás y a continuación, con una abertura hasta el centro del cuadrado (oa), trazar un círculo como se muestra en la Figura 21. El diámetro horizontal de este círculo (2oa’) es el lado inferior del cuadrado buscado.
Fig. 21. Determinación del lado inferior del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Su longitud es de 180,00 mm.
Sencillamente hemos transformado el “cuadrado rector” en otro cuyos lados miden ¾ partes o, lo que es lo mismo, hemos aplicado una reducción de un 25% al ancho del área de trazado:
La corrección que supone aplicar al folio los márgenes nos permite obtener un resultado exacto en función de una simple fracción de números enteros al mismo tiempo que nos permite trazar las figuras del círculo y el cuadrado de una forma muy sencilla. El cuadrado está implícito en el diseño de la composición desde el momento en que establecemos el “cuadrado rector” a partir del rectángulo de partida, en este caso, el área de trazado de 240,00 x 340,00 mm.
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Ya solo queda hallar el resto de los lados del cuadrado a partir del segmento de 180,00 mm (Figuras 22 y 23).
Fig. 22 Trazado del cuadrado a partir del lado inferior del mismo. Fig. 23. De color rojo el área de trazado de 240,00 x 340,00 mm y el cuadrado de 180,00 x 180,00 mm obtenido que es coincidente con el dibujado por Leonardo.
Así tenemos que, tanto la ubicación del centro del cuadrado respecto a las proporciones del folio como la determinación de sus medidas se resuelven, una vez aplicados los márgenes, sin tener que recurrir a operaciones geométricas complejas. Llegados a este punto, y tomando como referencia el cuadrado dibujado y el “cuadrado rector”, el trazado del círculo también resulta igual de sencillo, porque de hecho también está implícito en el marcaje basado en el formato de la cuartilla.
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DETERMINACIÓN DEL CÍRCULO EN FUNCIÓN DEL CUADRADO Y EL ÁREA DE TRAZADO. Una vez dibujado el cuadrado, veamos cómo hallar el centro y la medida del radio del círculo en el que se inscribe el hombre del canon con los brazos y las piernas extendidos en forma de “X”. De esta operación se ha de inferir la razón de la relación entre las dos figuras, que es un aspecto fundamental para profundizar en la dimensión geométrica de la composición. Según una teoría muy extendida Leonardo obtuvo el centro del círculo, donde se sitúa el ombligo, en función de la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a su altura (Figura 24).
Fig. 24. Posición del ombligo del hombre del canon en función de la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a su altura (ab/bc = bc/ca = 1,618…).
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Se ha escrito mucho sobre la presencia de la sección áurea en el trazado. El debate entre partidarios y detractores sigue abierto. Quienes no están de acuerdo argumentan que el resultado no es del todo exacto y, además, Leonardo no menciona nada al respecto en las anotaciones que escribió en el folio, que sí se refieren, por el contrario, al sistema de fracciones del canon que describe Vitruvio en su tratado29. En parte estamos de acuerdo con este último razonamiento. Es evidente que las notas referidas al canon vitruviano tienen su importancia, pero eso no quiere decir que contemplen todos los aspectos que están presentes en el trazado, como sucede con la hipótesis sobre el papel que juegan las proporciones del folio en la composición. Toda obra de arte se rige por un orden interno que no siempre es visible a primera vista ni queda recogido en los escritos; es parte del secreto del artista, ámbito exclusivo del creador. Es más interesante y enriquecedor para los destinatarios de las obras de arte no ser simples espectadores pasivos y adoptar una actitud participativa, lo que supone un esfuerzo para desentrañar los mensajes que nos transmiten de forma velada. Por otro lado, en cuanto a la falta de precisión del trazado basado en la sección áurea, efectivamente, el punto indicado, aunque muy aproximado, se sitúa 2,00 mm por encima de la posición del ombligo30 (Figura 25).
29
Marco Vitruvio Polión, El origen de las medidas del Templo, Capítulo I del Libro Tercero.
30
No somos los primeros en advertir que el ombligo no divide la altura del Hombre de Vitruvio en la
sección áurea, sino en una razón que, aunque muy próxima, no es exactamente el Número de Oro, es decir, 1,618. Stephen Skinner escribe en su libro Geometría Sagrada que «el círculo de Leonardo se ha trazado tomando como centro el ombligo, de acuerdo con la suposición de que este punto divide la altura de un hombre según la razón phi. Leonardo era un maravilloso observador y dibujó su hombre de Vitruvio tomando modelos reales, pero el resultado fue una razón de 1,656.» Stephen Skinner, Geometría Sagrada, ediciones Gaia, Madrid, 2007, p. 129. ISBN 978-84-8445-201-0. Luis Castaño también ha estudiado este aspecto de la composición del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci que se desprende de la cuadrícula de 24 palmas que permite refutar la teoría de que la posición del ombligo divide la altura en la sección áurea. En sus investigaciones, en cuanto a la refutación de la teoría de la sección áurea, llega a unas razones de 180/110 = 1,63…, 180/112,5 = 1,6; 180/109,8 = 1,639…, esta última relacionada con una unidad de 61 dedos = 109,8 mm. Luis Castaño, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp.5-10, pp. 35-36 (Figuras 8, 9, 10 11 y 12 Figura 12), op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio, pp. 7-9, y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, p. 9. (Figuras 16 y 17). Otro de los investigadores que se ocupa de esta
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Fig. 25. Detalle de la posición del ombligo y punto señalado por la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a su altura.
Según la sección áurea, el centro del ombligo tendría que estar a 111,25 mm de la base del cuadrado, que es la medida del radio del círculo en el que se inscribe el hombre del canon con los brazos y las piernas extendidos; mientras que según la imagen digital del folio, el radio mide 109,18 mm (± 0,28 mm). Esta diferencia podría parecer que está dentro del margen de error esperado, sin embargo, si en lugar de fijarnos en la longitud del radio tomamos el diámetro tenemos que, en el caso de la sección áurea, tendría que medir 222,50 mm, cuando en la imagen digital del folio es de 218,36 mm (± 0,56 mm); una desviación que se multiplica hasta alcanzar los 4,14 mm, demasiado considerable para que sea debida a un error de Leonardo en la ejecución del trazado, pues el cuadrado queda prácticamente inscrito en el círculo (Figura 26).
cuestión es Carlos Piera quien, basándose en los trabajos de C. Calvimontes, desarrolla un trazado con el que llega a una razón entre las figuras del círculo y el cuadrado de 1,642, un cociente que tan sólo difiere en un 0,004% con el que llegamos mediante el trazado basado en las proporciones del folio, por lo que ambos métodos de trazado, aunque diferentes en su desarrollo, llegan a una aproximación prácticamente idéntica a las figuras dibujas por Leonardo. Para más información Carlos M. Piera, “Leonardo da Vinci y la cuadratura humana”, Madrid, 2002.
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Fig. 26. De color blanco el círculo obtenido en función de la sección áurea del lado del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon, y cuyo radio mide 180,00 mm/1,618 = 111,25 mm.
Ante esta evidencia, no creemos que la determinación del círculo en el que se inscribe el hombre del canon se obtenga mediante la sección áurea y, por lo tanto, que el cociente entre las figuras del círculo y el cuadrado sea exactamente el Número de Oro, aunque se aproxime mucho. El llamado Número de Dios se refiere en algunos contextos al Número de Oro, esto es, la solución positiva de la ecuación (1+√5)/2 = 1,618…; pero en otros a una proporción de 5/3 = 1,667. Depende de la precisión que quiera ser aplicada o pueda ser alcanzada. La diferencia entre los dos cocientes es del orden de la milésima de metro, inapreciable y completamente despreciable en la gran mayoría de las ocasiones, como sucede con las medidas de una persona, las proporciones de un altar, un pórtico o una catedral. Ahora bien, desde una perspectiva estrictamente geométrica es posible
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distinguir entre las dos razones. El rigor del cálculo nos debe permitir alcanzar la precisión que es necesaria. En la representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo, si contemplamos en los cálculos hasta el segundo decimal, nos encontramos con una discrepancia que es más importante de lo que parece a primera vista, pues afecta a la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado como se puede apreciar en la imagen anterior (Figura 26).
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Si la obtención del círculo no es una operación geométrica basada en el Número de Oro debe tratarse de una proporción de 5/3 y, por lo tanto, tiene que haber otra forma de determinar la posición del centro del círculo y la medida de su radio. De entre todas las propuestas conocidas hay una que destaca por su simplicidad y precisión. El trazado del círculo se obtiene con una rotación de 45º del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Su diámetro es la distancia de la base del cuadrado al vértice superior del cuadrado rotado (ab) (Figura 27).
Fig. 27. Determinación del círculo a partir de la rotación 45º del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon.
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Efectivamente, la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado con este método se acerca más a una proporción de 5/3 que al cociente de la sección áurea:
Con este método es posible trazar el círculo a partir del cuadrado de forma mucho más exacta que con el método basado en la sección áurea. Si consideramos que los lados del cuadrado miden 180,00 mm, el diámetro del círculo obtenido es de 108,70 mm. Según la imagen digital del folio su medida ponderada es 109,18 mm, una diferencia de solo 0,48 mm. Una excelente aproximación, con la ventaja de ser una propuesta sencilla que facilita el trazado del círculo.
Fig. 28. Detalle de la determinación del círculo a partir de la rotación de 45º del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon.
De todas las propuestas de trazado de las figuras del círculo y el cuadrado, ésta es la que nos parece más elegante por su sencillez, aunque el resultado es que el radio del círculo es algo menor que el del círculo dibujado por Leonardo. Con el trazado basado en las proporciones del folio podemos determinar el centro del círculo con mayor precisión, sin abandonar el área de trazado, y no solo en función del cuadrado sino también, y esto es lo más importante, del “cuadrado rector” indicado por un rectángulo que es igual a la raíz cuadrada de 2.
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Para ello basta con situar el centro del compás en el punto donde el lado del cuadrado corta la línea que divide el “cuadrado rector” en dos partes (A) y, con una abertura hasta el lado superior del mismo (B), trazar un arco. Repetimos la operación con el lado opuesto del cuadrado. La intersección de sendos arcos (O) es el centro del círculo donde se ha de ubicar el ombligo. La medida del radio queda determinada en este mismo movimiento: es la longitud que va del punto de intersección hallado (O) al lado inferior del cuadrado (C), donde es tangente a la circunferencia obtenida (Figuras 29 y 30).
Fig. 29. Determinación del centro del círculo (O). Fig. 30. Longitud del radio del círculo (OC).
Es un movimiento sencillo, dentro de los márgenes del área de trazado, que aprovecha los puntos hallados en el paso anterior, allí donde el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon intersecta con la mitad (A) y el lado superior del “cuadrado rector” determinado por las proporciones del folio (B).
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Una vez hallada la forma de trazar el círculo hemos comparado la medida del radio que obtenemos con la imagen digital del folio. Como sucede con el cuadrado, el círculo que dibujó Leonardo no es perfecto. Necesitó al menos dos movimientos con el compás. Se aprecian los puntos donde comienzan y acaban los dos semicírculos. Es por esta razón que hemos optado por considerar un valor ponderado, contemplando las longitudes de los semicírculos de los ejes de las abscisas y las ordenadas y de otros cuatro escogidos aleatoriamente (Tabla 2).
Eje
Valor 1
Valor 2 (aleatorio)
Valor 3 (aleatorio)
Media
X
109,44 mm
109,31 mm
109,00 mm
109,25 mm
Y
109,17 mm
109,26 mm
108,90 mm
109,11 mm
Media
109,31 mm
109,29 mm
108,95 mm
109,18 mm
Tabla 2. Longitudes de los radios de los semicírculos en la imagen digital del folio considerando una regla que mide 180,00 mm y valores ponderados.
El radio del círculo mide entre 108,95 y 109,44 mm, es decir, una diferencia en torno al medio milímetro (0,49 mm). La medida ponderada es, por tanto, de 109,18 mm (± 0,25 mm). Con el trazado llegamos a un radio de 109,37 mm (ver Anexo I), una desviación de apenas dos décimas de milímetro que es del mismo orden que el grosor de la pluma que empleó Leonardo. Si el trazado del círculo a partir del cuadrado y los puntos indicados por la intersección con el “cuadrado rector” no es el que concibió resulta sorprendente haber dado con una solución mediante la cual alcanzamos la misma precisión que logró el artista italiano con su trazado. Puede que hayamos encontrado una solución alternativa o un método equivalente a partir del cual se pueden extraer conclusiones interesantes sobre la articulación geométrica de la composición del canon vitruviano en función de las proporciones de la cuartilla.
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El resultado del trazado se puede ver en la siguiente imagen. Destacado de color rojo el marco del área de trazado (240,00 x 340,00 mm) y los puntos de marcaje a partir de los cuales se puede trazar el círculo en función del “cuadrado rector” y el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon. Al contemplar los márgenes, el resultado supone una aproximación de un 99,82%, por debajo de la décima de milímetro, por lo que no hemos tenido que dibujar las figuras del círculo y el cuadrado ya que son prácticamente iguales a las dibujadas por Leonardo (Figura 31).
Fig. 31. De color rojo las líneas de apoyo del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y del “cuadrado rector” del folio de partida que permiten trazar los arcos que determinan la figura del círculo. 46
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La diferencia entre el trazado propuesto en este trabajo y el basado en la sección áurea es que para hallar el centro del círculo no solo partimos de la longitud del lado del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon, sino también de los puntos indicados por las proporciones del folio, por lo que tanto su ubicación como la medida del radio se encuentran en función de dos factores en lugar de solo uno. Esto tiene la ventaja de aumentar la precisión del trazado al contar con puntos de referencia previamente determinados, aunque también el inconveniente de que en caso de cometer algún error se multiplique por dos. A pesar de ello, y como se puede ver en la siguiente imagen, el método es bastante más preciso que el basado en la sección áurea (Figura 32).
Fig. 32. Detalle de la aproximación a los centros de las figuras del círculo y el cuadrado del trazado basado en las proporciones del folio según el marcaje en función del “cuadrado rector”.
La ubicación del ombligo queda establecida milimétricamente y el círculo, a diferencia del obtenido con la sección áurea, se corresponde con el dibujado por Leonardo con una precisión difícil de superar a nivel práctico, pues supondría trazar un círculo cuyo margen de error estuviese por debajo de la décima de milímetro. Otro aspecto destacado del trazado basado en las proporciones del folio es que las dos figuras se encuentran implícitas en el primer paso, al trazar las diagonales del “cuadrado rector” para dibujar el cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon, lo que refuerza la hipótesis de que se trata de un diseño concebido a partir de las proporciones del folio. El trazado se desarrolla al modo de las progresiones geométricas, en las cuales la razón de un término a otro de la serie viene determinada en función del número inmediatamente anterior. De esta manera, Leonardo habría establecido un orden que le 47
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permitió dibujar con precisión las figuras del círculo y el cuadrado, encadenando uno tras otro los movimientos de regla y compás y apoyándose en las proporciones de la cuartilla de partida. Se trata de una disposición estudiada, que revela una estrategia bien definida que, además, fue resuelta de forma impecable, con gran sentido práctico, de modo que se cumpliese la premisa, tan apreciada por el artista italiano, de que la simplicidad es la sofisticación definitiva. La particular disposición de las figuras del círculo y el cuadrado responde, por tanto, a un orden que permite articular un conjunto de relaciones que constituyen una auténtica teoría de las proporciones, y no solo como una cuestión exclusivamente antropométrica. Basta un ejemplo. Como consecuencia de este orden, la razón de la posición del centro del ombligo en la cuartilla es coherente, como es lógico, con el formato del folio basado en la raíz cuadrada de 2, pero también es la misma que hay entre las figuras del círculo y el cuadrado, es decir, la clave que nos permite profundizar en la comprensión de la composición en su dimensión geométrica (Tabla 3).
Longitud Área de trazado
Valor
Distancia del ombligo al lado superior del folio
Razón
340,00 mm
140,63 mm
2,42
Tabla 3. La razón de la posición del ombligo respecto al borde superior del folio es 1 + √2 = 2,42.
Como se puede ver en la Tabla 3, la razón de la ubicación del ombligo respecto al borde superior del folio es de 340,00/140,63 = 2,417… ≈ (1+√2); que es la misma, solo que dividida entre 2, que se da entre el lado del cuadrado y el diámetro del círculo, esto es, 180,00/218,74 = 1,207… ≈ (1+√2)/2. El orden interno de la composición basado en la raíz cuadrada de 2 es el eje vertebrador de las relaciones que se establecen entre las geometrías de las figuras del círculo y el cuadrado (ver anexo II). La representación del canon de Leonardo se asemeja a un poliedro de múltiples caras donde cada una refleja,
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como si de un holograma se tratase, las propiedades del conjunto de relaciones del sistema de proporciones al que pertenece31. Si, por el contrario, consideramos que las correspondencias entre las figuras del círculo y el cuadrado y entre éstas y las proporciones del folio son debidas a la casualidad, el problema es aún mucho mayor, pues habría que demostrar un hecho insólito, y es que ¿cuántos trazados hubiera tenido que hacer Leonardo para, sin tan siquiera buscarlo, conseguir vincular todas las variables que intervienen en esta ecuación geométrica? A saber, en cuanto al continente, las proporciones del folio; y en cuanto al contenido, las dimensiones del cuadrado y del círculo y, lo que es más importante, la unión de ambos factores, es decir, la posición de los centros de las figuras en relación a la cuartilla de partida. Tendríamos en ese caso 98 probabilidades en contra de nuestros razonamientos en lugar de tan solo 2, tal y como se desprende del orden de error del trazado propuesto, incluso sin contemplar los márgenes del folio.
31
Es importante anotar que el cociente que se desprende de la relación entra las figuras del círculo y el
cuadrado es de 5/3 = 1,667, si consideramos el lado del cuadrado dividido entre el radio del círculo, o bien de (1 + √2)/2 = 1,207… si tomamos el lado del cuadrado entre el diámetro.
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LA RAZÓN ENTRE LAS FIGURAS DEL CÍRCULO Y EL CUADRADO. Una vez halladas las dos figuras, y con independencia de las dimensiones del folio, pues como hemos visto el trazado que proponemos es un cálculo proporcional que arroja el mismo resultado, con y sin márgenes, el cociente entre las longitudes del radio del círculo y el lado del cuadrado al que llegamos es:
Como era de esperar, es un cociente superior al obtenido con el método basado en la sección áurea y algo menor que el correspondiente a una proporción de 5/3, aunque mucho más próximo a ésta última. En la siguiente tabla se muestran las aproximaciones de las razones de la sección áurea y de la proporción de 5/3 al cociente que se desprende de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado según el trazado basado en las proporciones del folio (Tabla 4).
Razón
Aproximación al cociente obtenido con el trazado propuesto (1,646)
Tabla 4. Aproximaciones del cociente obtenido con el trazado basado en las proporciones del folio a las razones de la sección áurea y de la proporción de 5/3.
Esta pequeña diferencia podría parecer insignificante, pero no lo es en absoluto. Pasar de un coeficiente de precisión del 98,30% a uno del 98,74% es la diferencia que supone lograr trazar el círculo en el que se inscribe el hombre del canon con absoluta precisión. Llegados a este punto hagamos una recapitulación de los movimientos realizados para dibujar las figuras del círculo y el cuadrado. El trazado propuesto se basa en tres operaciones: el establecimiento del “cuadrado rector” a partir de las proporciones del folio, la obtención del centro del cuadrado y la longitud de sus lados a partir de éste y, 50
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por último, la determinación del centro del círculo y la medida del radio a partir de los dos cuadrados anteriores. Sobre las dos primeras operaciones, que son las que nos permiten dibujar el cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon, todo indica que son correctas, como atestiguan las correspondencias con las proporciones del folio y el segmento guía dibujado por Leonardo sobre la figura del hombre del canon, a la altura de los hombros, que coincide con el lado superior del “cuadrado rector”. Es la determinación del centro del círculo y de la medida del radio el movimiento que admite varias aproximaciones como hemos visto: la basada en la sección áurea, la propuesta en este trabajo y una tercera, aún por describir, que debería arrojar exactamente una razón de 5/3 entre las longitudes del lado del cuadrado y el radio del círculo. Pero entonces, ¿cuál fue el método que empleó Leonardo? Lo más razonable es cotejar el grado de error de cada uno para comparar los resultados con las medidas del folio. En la Tabla 5 se muestran las longitudes del radio del círculo para las tres posibles soluciones junto al grado de aproximación de cada una de ellas al círculo dibujado por Leonardo. Razón
Radio del círculo
Aproximación al radio del círculo en el folio
5/3 Trazado propuesto Sección áurea Tabla 5. Aproximaciones a las longitudes del círculo y la medida del radio según las tres posibles soluciones del trazado.
Aunque los tres métodos son muy aproximados, la razón que más se acerca a la longitud del radio del círculo, según podemos comprobar en la imagen digital del folio, es la que se desprende del trazado propuesto (1,65), y ésta es más cercana a una proporción de 5/3 (1,67), que a la razón de la sección áurea (1,62) que, como hemos visto, es la que presenta la mayor desviación respecto al círculo dibujado por Leonardo. Veamos ahora las evidencias que se desprenden del trazado basado en las proporciones del folio y del sistema fraccionario descrito por Vitruvio que apuntan en la dirección de que se trata de una razón que tiende a una proporción de 5/3.
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Para comenzar, el modelo propuesto parte de la anchura del área de trazado para hallar la longitud del lado del cuadrado aplicando una razón de ¾. Es un método extremadamente adecuado dado el sistema de particiones del canon descrito por Vitruvio, pues al basarse en el 4 y el 6 y, ampliado a sus factores primos, también en el 2 y el 3, es una razón que aparece de forma natural. Por otro lado, en la Figura 31 se puede ver que la cuadrícula de 24 palmas se ajusta perfectamente al “cuadrado rector” del folio de partida y también a las divisiones realizadas sobre la figura del hombre del canon cuya altura es, tal y como indica la regla dibujada por Leonardo, de 4 codos de 6 palmas cada
Fig. 33. Correspondencias del “cuadrado rector” y las divisiones realizadas por Leonardo sobre la figura del hombre del canon con la cuadrícula de 24 palmas32.
uno (Figura 33).
32
Para más información sobre la relación del canon antropométrico de Vitruvio según Leonardo y la
cuadrícula de 24 palmas se pueden consultar los trabajos de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12 y op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci.
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Continuando con el análisis del trazado, el método basado en las proporciones del folio y, por lo tanto, en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, reafirma el hecho que la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado sea más bien una proporción de 5/3, en detrimento de la sección áurea, pues se trata de la misma proporción que aparece en los rectángulos que se forman en la intersección entre el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y el “cuadrado rector” del folio de partida (Figuras 34 y 35).
Fig. 34. Rectángulo con una proporción de 5/3 que se forma en la intersección entre el cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon y el “cuadrado rector” del folio de partida. Fig. 35. Rectángulo equivalente con una proporción de 6/5.
En la Figura 33, el lado mayor del rectángulo es igual al lado del cuadrado, por lo que el lado menor mide 240,00 mm – (180,00 mm/2) = 150,00 mm. Este rectángulo de 150,00 x 180,00 mm tiene una proporción de 6/5, equivalente a una de 5/3 (Figura 32), solo que en lugar de indicar la razón entre el lado del cuadrado y el radio del círculo es respecto al diámetro del mismo. En este rectángulo el lado menor es al mayor como el lado del cuadrado al diámetro del círculo en los que se inscribe el hombre del canon, una razón de (1+√2)/2.
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Subrayar que en la determinación del cuadrado en función del área teórica de trazado se encuentra implícita la relación que éste deberá tener con el diámetro del círculo; la razón subyacente a un modelo de trazado en donde se conjugan continente y contenido como consecuencia de una estudiada planificación geométrica33. Estos rectángulos de proporciones 5/3 y 6/5 son coherentes con el sistema métrico empleado por Leonardo, basado en una cuadrícula de 24x24 palmas según el canon de Vitruvio. Si consideramos una cuadrícula equivalente de 6x6 pies (de 4 palmas cada uno), como indican las divisiones en la regla, y el lado superior del “cuadrado rector” del folio de partida se forma un rectángulo de 3x5 pies (Figura 36). En este rectángulo el lado menor es la mitad de la longitud del lado del cuadrado (3 pies = 90,00 mm) y el lado mayor la longitud del mismo hasta el lado superior del “cuadrado rector”, donde señalan los dedos del hombre del canon (5 pies = 150,00 mm).
Fig. 36. Cuadrícula de 6 x 6 pies y rectángulo de 90,00 x 150,00 mm con una proporción de 5/3 (de color amarillo)34.
Destacar la lógica subyacente en el trazado de las figuras del círculo y el cuadrado en función del formato de la cuartilla. El orden que rige las proporciones del hombre del canon respecto a las figuras del círculo y el cuadrado es el mismo que hay entre éstas y las dimensiones del folio; pero también es el que se infiere del sistema métrico del canon vitruviano según el cual la altura del hombre del canon es de 6 pies de 4 palmas cada uno. 34
Para más información sobre la cuadrícula de 24 palmas del canon antropométrico de Vitruvio según
Leonardo se pueden consultar los trabajos de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo
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Otro aspecto métrico destacado, como ya han advertido otros investigadores, entre ellos Carlos Piera y Luis Castaño, aunque emplean otros métodos que nos son los que hemos utilizado en este trabajo para el trazado de las figuras del círculo y el cuadrado a partir de las proporciones del folio, es que de los múltiplos de la cuadrícula de 24 palmas y derivadas se desprenden varias posibles soluciones a la relación entre ambas figuras, de modo que se pueden determinar con un alto grado de aproximación los centros y las longitudes de las figuras del círculo y el cuadrado de modo que solo tengamos que emplear el compás para trazar la circunferencia35. Así por ejemplo, si en lugar de la cuadrícula de 24 palmas empleamos una de 48 medias palmas (7,5 mm/2 = 3,75 mm) el centro del cuadrado se sitúa a 24 de estas unidades (24 x 3,75 mm = 90,00 mm) y el centro del círculo a 29 (29 x 3,75 mm = 108,75 mm); por lo que el cociente entre las longitudes de los lados del cuadrado y del diámetro del círculo es de 24/29 = 0,828. Este cociente multiplicado por 2 es 1,655…, prácticamente la misma razón a la que hemos llegado con el trazado basado en las proporciones del folio. En este sentido, hay otras propuestas para este cálculo de las que se desprenden cocientes muy próximos (Figura 37).
da Vinci, y también de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio. 35
Para más información sobre la refutación de la presencia de la sección áurea en la representación del
Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci se pueden consultar los estudios de Carlos M. Piera, op. cit., Leonardo da Vinci y la cuadratura humana, Madrid, 2002 y Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, pp.5-10, pp. 35-36 (Figuras 8, 9, 10 11 y 12 Figura 12), op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio, pp. 7-9, y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, p. 9. (Figuras 16 y 17). Estos autores ya advirtieron que el ombligo no se corresponde con la sección áurea de la altura del hombre del canon de Leonardo.
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Fig. 37. Posición del sacro/coxis y el ombligo correspondientes a los centros del cuadrado (24 unidades) y del círculo (29 unidades) en función de una cuadrícula de 48 x 48 unidades de 3,75 mm (1/10 de media palma)36.
La diferencia entre la posición del ombligo y la del sacro es, casualmente, de 5 medias palmas o, lo que es lo mismo, de 10 dedos (10 x 1,875 mm = 18,75 mm), es decir, 10 veces la unidad mínima del sistema métrico basado en el canon descrito por Vitruvio. De todas formas, este método basado en una cuadrícula de 48 medias palmas, aunque se ajusta a la perfección a la métrica vitruviana, es más bien teórico, pues es necesario dibujar con mucha precisión todas y cada una de las divisiones, lo que repercute en la posibilidad de cometer errores. Así pues, el trazado propuesto no solo es coherente con el formato de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 de la cuartilla, sino también con la proporción de 5/3 y con el sistema métrico indicado por la regla dibujada por Leonardo. En la Tabla 6 se muestran las aproximaciones a la medida ponderada del radio, según la imagen digital del folio (109,18 mm), de la longitud del radio si consideramos que su relación con el cuadrado es una proporción de 5/3 o bien el cociente que se desprende
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Para más información sobre los orígenes y las medidas de la cuadrícula de 24 palmas del canon
antropométrico de Vitruvio según Leonardo da Vinci se pueden consultar los trabajos de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, y también de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.
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de los métodos que tienden a esta razón, esto es, según el trazado propuesto y el canon métrico de una cuadrícula de 48 x 48 medias palmas.
Razón
Radio del círculo
Aproximación a la medida del radio en el folio
5/3 Cuadrícula 48/29 Trazado propuesto Tabla 6. Aproximaciones a la medida del radio en el folio a partir de los métodos que tienden a la proporción de 5/3, el basado en una cuadrícula de 48 “medias palmas” y según el trazado propuesto en este trabajo.
A pesar de que los tres métodos arrojan un resultado casi idéntico, el cociente obtenido con el trazado propuesto sigue siendo el que más se aproxima a la medida ponderada del radio del círculo dibujado por Leonardo. Las diferencias son del mismo orden de error que tenemos en la determinación de las medidas a partir de la imagen digital del folio, por lo que no podemos distinguir cuál es realmente el método que empleó Leonardo37. No olvidemos que analizamos el trazado con la ayuda de un ordenador, lo que nos permite realizar cálculos que contemplan una infinidad de decimales, sin embargo, y en el mundo real, ir más allá de un milímetro por metro es algo complicado, por no decir que imposible. También hay que recordar que medimos el folio y las figuras con un sistema métrico mucho más preciso que el que pudo utilizar Leonardo en el siglo
37
XV.
De hecho, hemos llegado a cuatro soluciones cuya desviación es del orden de un milímetro por metro.
La diferencia en la medida del radio del círculo según los valores máximos y mínimos, de las razones de la sección áurea y de una proporción de 5/3, es de 3,25 mm. Si restamos el milímetro correspondiente al grado de error del modelo, se queda en 2,25 mm, que repartidos a derecha e izquierda de las figuras supone una desviación de 1,13 mm; y esto considerando la razón de la sección áurea, que la que más se desvía. Si tomamos los valores del trazado propuesto para la relación entre las dos figuras y el de una proporción de 5/3, que es el máximo, la diferencia es tan solo de 1,37 mm. Si restamos el grado de error, la desviación queda en 0,37 mm, por debajo de la milésima por metro, por lo que resulta prácticamente imposible distinguir una razón de otra.
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Invitamos a los lectores más atrevidos a que cojan un folio y regla y compás en mano ejecuten el trazado. Podrán comprobar que lograr la precisión que alcanzó Leonardo no es tan fácil como parece. Sumados todos estos factores, el grado del error que manejamos explicaría la minúscula desviación que dificulta la tarea de discernir si se trata exactamente de una proporción de 5/3, de la cual se obtiene un círculo cuyo radio debería medir 108,00 mm, o el cociente que se desprende del trazado basado en el formato del folio, con el que llegamos a un radio de 109,37 mm; aunque éste último es mucho más próximo al que se observa en la imagen digital del folio. En la Figura 38 se puede apreciar la diferencia que hay entre los dos métodos, que prácticamente se corresponde con los bordes internos y externos de las figuras dibujadas por Leonardo.
Fig. 38. De color rojo el círculo obtenido con el trazado propuesto (109,37 mm) y de color amarillo el obtenido a partir de una proporción de 5/3 (108,00 mm).
Así pues, y aunque no tenemos la precisión necesaria para saber si la razón entre las figuras del círculo y el cuadrado es una proporción de 5/3 o bien la que se desprende del trazado basado en las proporciones del folio, que es prácticamente la misma que se puede obtener a partir de una cuadrícula de 24 palmas, de lo que no cabe duda es que las dos soluciones, que difieren en apenas unas décimas de milímetro, no solo se ajustan con gran precisión al trazado del hombre del canon, sino que responden a un modelo cuyas claves, basadas en la raíz cuadrada de 2, se encuentran en el formato del folio de partida.
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Ante los resultados del análisis geométrico de las figuras del círculo y el cuadrado en función de las proporciones del folio, nos encontramos con lo que se conoce como el «problema de la medida», según el cual hay que tener en cuenta los errores derivados de la misma operación de medir un objeto. En este caso, las dimensiones del folio son razonables y podemos llegar a una buena aproximación a su tamaño real. De cualquier forma, y a pesar de todos los factores que intervienen en la ejecución del trazado, la representación de Leonardo es tremendamente precisa. Las ligeras desviaciones que se observan son de un orden de magnitud tan pequeño que medidas tomadas de forma independiente por Luis Castaño, Martin J. Kemp y nosotros mismos apenas difieren en una milésima de metro o, lo que es lo mismo, son del mismo orden de magnitud que el grosor de la pluma empleada por Leonardo. Por otro lado, este estudio también pone de manifiesto la dificultad que entraña el análisis geométrico en cuanto al “problema de los números cercanos”. Los cocientes resultantes de las posibles soluciones al trazado de las figuras del círculo y el cuadrado son tan próximos que no podemos saber a ciencia cierta si la razón entre las dos figuras es de 5/3 o de 48/29, siendo las dos soluciones, además, coherentes con el formato del folio y con el sistema métrico empleado por Leonardo.
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RELACIÓN DEL PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA CON LA LONGITUD DEL FOLIO. Otro aspecto significativo, como resultado del trazado basado en las proporciones del folio, es que el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon resulta ser dos veces la longitud del folio de partida. Hay una propiedad geométrica de los rectángulos √2 que podría aportarnos algunas pistas sobre los motivos que llevarían a Leonardo a trazar el círculo en el cual se inscribe el hombre del canon a partir de las dimensiones de una cuartilla cuya proporción es igual a las de la raíz cuadrada de 2. Podría parecer algo obvio, pero es importante. Este tipo de rectángulos tiene la particularidad de que al restar a su longitud (AC = BD) el “cuadrado rector” (CDEF), se obtiene un nuevo rectángulo (ABEF) cuyo perímetro es 2 veces la misma longitud (2 x AC). Si consideramos que el rectángulo del área de trazado (ABCD) tiene una longitud de 340,00 mm, entonces el rectángulo ABEF tiene un perímetro que es 2 veces esa longitud, es decir, 2 x 240,00 mm + 2 x 100,00 mm = 680,00 mm (Figura 39). Como veremos a continuación, es muy probable que Leonardo tuviese en cuenta esta particularidad para el cálculo de la circunferencia en la que se inscribe
Fig. 39. Rectángulo (ABEF) que se forma al restar a la longitud del folio el “cuadrado rector” (CDEF) cuyo perímetro es el doble de la longitud del folio (AC + AB).
el hombre del canon (Figura 39).
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En efecto, si cortásemos la circunferencia por la mitad y desplegásemos los dos semicírculos resultantes hasta que llegaran a tocar los bordes del folio, tendrían prácticamente la misma longitud (Figura 40)38. Que el perímetro de la circunferencia sea, con un alto grado de aproximación, el doble de la longitud del folio no parece que sea algo accidental, sino más bien la consecuencia de trazar las figuras del círculo y el cuadrado teniendo en cuenta las proporciones de la cuartilla basadas en la raíz cuadrada de 2 o, dicho de otro modo, uno de los objetivos que marcaron la estrategia de Leonardo para plasmar su concepción del canon de Vitruvio.
Perímetro de la circunferencia
Fig. 40. De color amarillo las longitudes del folio y de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon (ad + bc ≈ 2π or ≈ 343,60 mm).
Longitud de la semicircunferencia
2 π x 109,37 mm = 687,21 mm
Tabla 7. Longitud de la semicircunferencia según la imagen digital del folio considerando que la regla mide 180,00 mm y aproximación a la longitud del folio y el área de trazado.
38
El trazado basado en las proporciones del folio es sensible a la propagación de errores. Así por ejemplo,
partiendo del área de trazado de 340,00 x 240,00 mm, un error de tan solo 1 mm en la determinación del centro del círculo dará como resultado un radio 1 mm más pequeño o más grande, que al multiplicarlo por 2 y por el número π para obtener el perímetro de la circunferencia, a pesar de ser porcentualmente el mismo grado de error, hará que éste aumente hasta los 6,20 mm.
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En la siguiente tabla se muestran los porcentajes de la aproximación del perímetro de la circunferencia obtenida con el trazado basado en las proporciones del folio a su longitud total y a la longitud del área de trazado (Tabla 8).
Longitud
Valor
Semicírculo
Aproximación
Folio
340,00 mm
343,60 mm
98,95%
Área de trazado
345,00 mm
343,60 mm
99,59%
Tabla 8. Aproximación del perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon a la longitud de los bordes del folio y de los bordes del área de trazado.
Es sorprendente la simplicidad y, a la vez, profundidad del trazado en función de las proporciones del folio, que es donde radica la belleza y originalidad de la composición. De hecho, se trata de una cuadratura del círculo sui generis entre el perímetro de la circunferencia y la longitud del folio. Si construimos un cuadrado con los lados mayores del rectángulo del área de trazado de 240,00 x 340,00 mm (ad = ef + eh y bc = fg + gh), las diagonales son entonces iguales a su anchura (eg = ab = dc = 240,00 mm). Lo más significativo es que la circunferencia de igual perímetro a este cuadrado (efgh) se corresponde con la dibujada por Leonardo (2π or).
Fig. 41. De color rojo circunferencia dibujada por Leonardo y el cuadrado de igual perímetro, igual al doble de la longitud del folio (ad + bc ≈ 2π or ≈ 687,20 mm).
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Bien podría estar aquí la solución al problema que ocupó al artista italiano, preocupado por describir las posiciones del hombre del canon, en reposo y movimiento, a partir de las dos figuras capitales de la geometría y el canon de Vitruvio. Si contemplamos esta hipótesis, es decir, que la clave de la composición se encuentra en el cálculo gráfico de la circunferencia en función de un rectángulo igual a la √2, y calculamos cuál debería ser la razón exacta de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado, podremos comparar el cociente que se desprende del modelo teórico con la razón a la que hemos llegado con el trazado propuesto (1,646) y con la proporción de 5/3 (1,667) para ver a cuál de ellas es la que más se aproxima. Veamos en primer lugar cuál debería ser la razón entre las longitudes del radio del círculo y el lado del cuadrado considerando que el perímetro de la circunferencia sea el doble de la longitud del folio. Como los lados del cuadrado son igual a la altura del hombre del canon, que es la magnitud a partir de la cual se obtienen las divisiones del sistema antropométrico, les asignaremos el valor de una unidad. De este modo, y como resultado de los cálculos, la medida del radio del círculo se corresponderá con la razón de éste con el cuadrado. Así tenemos que si los lados del cuadrado tienen una longitud de 1 unidad, la anchura del folio es de 4/3, como sabemos por el trazado basado en el formato del folio, y puesto que se trata de un rectángulo igual a √2, la longitud de la cuartilla es:
Como el perímetro de la circunferencia tiene que ser dos veces la longitud del folio, tenemos que debe medir:
Solo queda dividir entre 2π para hallar la longitud del radio de este círculo, cuyo valor es también el cociente que se desprende de la relación entre las figuras del círculo y el cuadrado:
π
π
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La inversa de esta razón es el cociente teórico de la relación entre las longitudes de las figuras del cuadrado y el círculo:
Un cociente que es prácticamente una proporción de 5/3. De este modo, llegamos a la formulación del modelo de trazado teórico sobre el cálculo gráfico de la circunferencia basado en un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2 que se puede expresar mediante la siguiente ecuación39: π
Ahora bien, aunque la correspondencia entre la longitud del folio y el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon sea exacta para esta razón, el radio del círculo correspondiente mide 108,00 mm, algo por debajo de la medida que se puede observar en la imagen digital del folio, más cercana a la del trazado propuesto mediante el cual llegamos, si recordamos, a una proporción de:
Para esta razón, la longitud del radio del círculo es de 109,37 mm, ajustándose con algo más de exactitud a la imagen digital del folio. No deja de ser una buena aproximación al
39
Si consideramos que partimos del ancho del área de trazado (240,00 mm), la longitud del cuadrado
viene dada por una razón de ¾, por lo que éste mide 180,00 mm. Si a partir de esta longitud calculamos el centro del círculo en función de una razón de 5/3, tenemos que el radio mide 108,00 mm, tan solo 0,04 mm por debajo del valor teórico ideal; una precisión del 99,95%, de donde se desprende un valor para el número
de 3,1426. Si dividimos el perímetro del círculo entre 2√2, para obtener de nuevo la longitud
del ancho del área de trazado, llegamos a una medida de 239,92 mm. La precisión de este método es, por lo tanto, de 239,92 mm / 240,00 mm = 0,99965, es decir, tiene una precisión del 99,97%.
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modelo teórico, pues supone tan solo un exceso de 1,37 mm, por debajo de la precisión de la regla que empleó Leonardo y que ya es el grosor del ombligo dibujado40. A la vista de estos resultados no podemos afirmar con certeza cuál de las dos soluciones es la correcta, pues apenas difieren en un milímetro respecto a la posición del centro del círculo. De todas formas, lo cierto es que las figuras del círculo y el cuadrado adquieren una nueva dimensión cuando se analizan en función de las proporciones de la cuartilla. Sirva este trabajo como una primera aproximación al problema geométrico que plantea la composición del canon vitruviano de Leonardo si consideramos el formato del folio. Puede que estemos equivocados en pensar que uno de los objetivos de Leonardo era el cálculo de la circunferencia a partir de un rectángulo raíz cuadrada de 2; pero de lo que no cabe duda es que el trazado propuesto, con independencia de las dimensiones del folio, permite dibujar las figuras del círculo y el cuadrado de forma sencilla y precisa, revelando aspectos hasta ahora desconocidos de la composición como la ubicación de las figuras en el folio, el papel que juegan las proporciones de la cuartilla y las razones de 3/4 y 5/3 y la relación con el sistema métrico indicado en la regla. Llegados a este punto, resulta inevitable preguntarse cuál fue el auténtico propósito de Leonardo. El cúmulo de resultados puede hacernos pensar que el trazado está basado en más principios matemáticos de los que en realidad requiere. Cualquier punto parece estar en relación numérica con el resto, y allí donde medimos encontramos relaciones notables. Una vez ajustadas las medidas y analizados todos los resultados, volvamos a contemplar la obra en su conjunto, tratando de acercarnos a la visión del artista con la perspectiva que nos proporciona el trazado basado en las proporciones del folio. Lo primero que percibimos es el equilibrio subyacente entre las medidas del folio y las proporciones de la composición. Aunque Leonardo se inspiró en el canon de Vitruvio, el análisis de la composición pone de manifiesto que quiso ir más allá de la estricta cuestión antropométrica, dejando constancia que las proporciones del hombre del canon forman parte de un conjunto de relaciones aún más extenso. Quiso expresar la idea de que el hombre y el universo son dos aspectos de una misma y poliédrica realidad, dos dimensiones interrelacionadas de forma que las leyes a partir de las cuales se establecen
40
Un segmento de 180,00 mm dividido en 96 partes, es decir, una unidad métrica mínima de 1,875 mm.
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las proporciones ideales del cuerpo humano sean también las mismas que gobiernan el cosmos, un universo que, en este caso, lo conforma el formato de la cuartilla de partida. Leonardo concibió su representación del canon vitruviano mediante una construcción geométrica que vincula continente y contenido. No hay más que preguntarse por el aspecto que tendría la composición si el círculo estuviese situado en cualquier otra posición. Mientras su diámetro no variase, el perímetro seguiría siendo equivalente a la longitud de la cuartilla; sin embargo, la estructura no sería coherente con sus proporciones. El círculo está situado allí donde debe estar para que no se vea afectada la armonía del conjunto. El ombligo se encuentra, respecto a los lados superior e inferior de la cuartilla, en relación a la raíz cuadrada de 2, y esto es lo que garantiza el equilibrio entre las figuras y entre éstas y la cuartilla. El hombre ante el universo, microcosmos frente a macrocosmos. Sin duda una de las herramientas más adecuadas para representar ésta confrontación dialéctica de la realidad es la geometría, de ahí la importancia de las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe el hombre del canon y del problema que plantea la transición de las líneas rectas a las curvas infinitas. Conseguir que un segmento recto y una línea curva formen parte de un mismo paradigma requiere resolver el cálculo gráfico de la circunferencia y enfrentarse a uno de los grandes problemas de la geometría clásica de regla y compás: el cálculo del número π y, por extensión, al de la cuadratura del círculo. Hoy sabemos que el número π es trascendente y, por tanto, no tiene representación geométrica. A pesar de ello, el genio italiano parece que halló una forma de calcular la circunferencia partiendo de un método basado en la raíz cuadrada de 2 que, aunque es un número irracional, no es trascendente, por lo que puede ser dibujado con regla y compás (ver anexo III).
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EL FACTOR DE CUADRATURA DEL CÍRCULO Y EL GNOMON PARA LA LATITUD DE LA CIUDAD DE ROMA. El hecho que el perímetro de la circunferencia en la que se inscribe el hombre del canon sea el doble de la longitud del folio nos remite al problema de la conversión de un arco (el perímetro del círculo) en un segmento recto (los bordes del folio) y, por lo tanto, al problema de la cuadratura del círculo. Hay otro detalle curioso en la composición de Leonardo en este sentido, aunque se trata tan solo de una especulación. En su posición con los brazos y las piernas extendidos, el hombre del canon se inscribe en un círculo cuyo centro se sitúa en el ombligo. No es la posición descrita por Vitruvio en su tratado, que es la de un hombre tumbado con los brazos estirados adoptando la forma de una “I”. Sin embargo, Leonardo decidió que la posición fuese en pie y con los brazos extendidos a la altura de la cabeza adoptando la forma de una “X”41. En esta posición, los dedos medios tocan el punto donde el cuadrado y el círculo se cortan. Por el contrario, en su posición con las piernas juntas y los brazos en cruz, los dedos solo pueden tocar el cuadrado. Pero, ¿qué sucede si aplicamos la misma lógica de la posición en forma de “X”? ¿Es relevante el punto que señalan los dedos del hombre del canon en su posición con los brazos en cruz? En la siguiente imagen hemos trazado, manteniendo como centro el ombligo, el círculo que corta el cuadrado en este punto que, no olvidemos, es el mismo indicado por el lado superior del “cuadrado rector” del folio de partida (Figura 42).
41
Tal y como indica Luis Castaño en sus trabajos Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da
Vinci y Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 11 y p. 40, Fig. 14.
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Fig. 42. Detalle de lo brazos en cruz (en forma de “T”) y de los brazos extendidos a la altura de la cabeza (en forma de “X”) señalando los puntos donde el cuadrado corta los dos círculos con centro en el ombligo.
Al trazar el círculo nos encontramos ante un resultado tan inesperado como exacto, pues su perímetro es igual al del cuadrado inscrito en el círculo dibujado por Leonardo, es decir, una cuadratura del círculo de las longitudes de las dos figuras con un grado de aproximación de un 98,73% (Figura 43)42.
42
La cuadratura del círculo es un problema matemático, sin solución geométrica, consistente en hallar,
con sólo regla y compás, un cuadrado con un área o un perímetro iguales a los de un círculo dado. Desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX muchos fueron los que buscaron sin éxito la solución. En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró que el número π es un número trascendente, que no tiene representación geométrica, lo que implica que es imposible cuadrar un círculo usando la regla y el compás. Sin embargo, otros piensan que la cuadratura del círculo ha de ser planteado como un problema geométrico y no solo como un problema matemático.
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Fig. 43. De color rojo el círculo con centro en el ombligo, cuyo radio está indicado por la posición de los brazos en forma de “T”, y el cuadrado de igual perímetro que resulta, a su vez, estar inscrito en el círculo correspondiente al hombre del canon en su posición en forma de “X”.
Es cierto que hay que dibujar un círculo y un cuadrado imaginarios, pero a partir de las figuras dibujadas por Leonardo. Por otra parte, y dada la exactitud del resultado, es lógico que se nos plantee una duda razonable. Pero, ¿por qué razón introduciría Leonardo el problema de la cuadratura del círculo en su representación del canon antropométrico? Por un lado, ha sido uno de los problemas que más quebraderos de cabeza ha costado a los mejores matemáticos y geómetras de todas las épocas, y el genio italiano no iba a ser menos. Según Augusto Marinoni, «uno de los problemas de geometría que absorbió a Leonardo fue el de la cuadratura del círculo. A partir de 1504 dedicó muchas páginas de sus cuadernos a esta cuestión, que también fascinó a su mentor Luca Pacioli»43. Mientras que estas investigaciones no produjeron apreciables progresos en matemáticas Leonardo creó una multiplicidad de complejos y preciosos diseños" Aprovechando que para establecer las proporciones del hombre del canon en
43
Augusto Marioni, http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit14/unit14.html.
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sus dos posiciones partía de las figuras del círculo y el cuadrado es posible que considerase incluir esta información, pues tal y como está planteada la cuadratura del círculo en la representación se puede inferir la latitud geográfica de la ciudad de Roma, como aparece recogida en el tratado de Vitruvio como ejemplo para la construcción de los cuadrantes solares. En la época del emperador Augusto, entre el 27 y el 23 a.C., cuando Vitruvio dedicó a Octavio César su famoso tratado de arquitectura, a la varilla de los relojes solares se le llamaba gnomon. Fijada verticalmente y midiendo la sombra que arroja en relación a su longitud es posible realizar observaciones relativas a la latitud geográfica del lugar44. La observación de la sombra equinoccial jugaba un papel esencial en la construcción de los cuadrantes solares y el correspondiente cálculo asociado a la latitud, conocido como la “altura del lugar al Polo”. Del rigor de este cálculo dependía el grado de exactitud de los relojes solares. Hoy en día gracias a la moderna cartografía es una tarea relativamente fácil, pero hasta el siglo XVIII estos conocimientos no estaban al alcance de cualquiera. Cuando los rayos solares del equinoccio inciden al mediodía sobre un gnomon vertical producen una sombra con un ángulo que es igual a la latitud geográfica del lugar, y de ahí que Vitruvio recomiende «tomar siempre la sombra equinoccial del lugar en que se hubieren de construir los relojes». Procediendo de esta forma, el cálculo basado en el gnomon aunque no es del todo exacto supone una buena aproximación. Vitruvio recoge
44
«Ciertamente es un fenómeno regulado por la mente divina, que proporciona una profunda admiración
a quienes consideran por qué la sombra del gnomon, en el equinoccio, es de una determinada longitud en Atenas, de otra diferente en Alejandría y también distinta en Roma; en Placencia su longitud es diversa, como lo es en otras partes del mundo. Esta es la causa de que sean muy diferentes los trazos y las sombras que proyectan los relojes, cuando nos referimos a un lugar o a otro: la longitud de las sombras en el equinoccio determina de un modo concreto la disposición de los analemas1, que actúan de referencia para fijar los husos horarios, de acuerdo con las sombras del gnomon y la ubicación geográfica de cada lugar. Se define el analema como un exacto diagrama que resulta de observar el curso del Sol y de constatar la sombra que va creciendo hasta alcanzar el solsticio de invierno; por medios arquitectónicos y gracias a los trazos del compás se posibilita descubrir los efectos del sol en el universo.» Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. IX, cap. I, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, p. 224.
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algunos ejemplos del cálculo de este cociente y escribe que «en Atenas cuatro partes de gnomon dan tres de sombra. En Rodas siete partes dan cinco. En Taranto once dan nueve. En Alejandría cinco dan tres. Y en todos los demás parajes hallamos diferentes por la naturaleza de las sombras equinocciales de los gnomones: y así siempre se deberá tomar la sombra equinoccial del lugar en que se hubieren de construir los relojes.»45
Fig. 44. Ejemplos de latitudes geográficas recogidas en el tratado de Vitruvio.
Para la latitud de Roma el factor gnomónico es de 8/9 = 0,889, como se muestra en la reconstrucción del gnomon equinoccial tal y como lo describe Vitruvio en el Capítulo VII del Libro IX (Figura 45)46. Hemos destacado el triángulo que forman en los
45
Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. IX, cap. VI, Alianza Editorial, 1995,
ISBN: 84-206-7133-9, p. 238. 46
«De sus estudios astronómicos debemos separar algunas nociones y debemos explicar el acortamiento
y la prolongación de los días, mes a mes. Veamos: mientras dura el equinoccio de primavera y de otoño, el Sol, situándose en Aries y en Libra, proyecta una sombra que equivale a ocho de las nueve partes del gnomon, en la latitud de Roma. Por la misma razón, la sombra será igual a tres de las cuatro partes del gnomon, en Atenas; en Rodas, cinco de las siete partes; en Tarento, nueve de las once partes, y en Alejandría, tres de las cinco partes; en otros lugares distintos encontramos que las sombras equinocciales son siempre diferentes, de acuerdo con la naturaleza. En base a este principio, debe tomarse la sombra equinoccial en el mismo lugar donde haya de construirse el reloj; y si, como sucede en Roma, la sombra equivale a ocho partes de las nueve que tiene el gnomon, descríbase en un lugar plano una recta y exactamente desde su parte central levántese a escuadra una perpendicular, que se denomina gnomon.» Marco Vitruvio Polión, Los diez libros de arquitectura, Lib. IX, cap. VI, Alianza Editorial, 1995, ISBN: 84-206-7133-9, p. 238.
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equinoccios el gnomon, su sombra al mediodía y el ángulo de incidencia de los rayos solares en ese momento (ABC).
Fig. 45. Gnomon equinoccial para la latitud de Roma. De color azul triángulo formado en los equinoccios por las longitudes del gnomon y la sombra que arroja al mediodía (ABC).
El mismo triángulo que se forma como se puede ver en la siguiente imagen (abc) en función de la relación de los radios de los círculos correspondientes a las dos posiciones de los brazos del hombre del canon (Figura 46).
Fig. 46. Cuadratura del círculo y gnomon equinoccial correspondiente a la latitud geográfica de la ciudad de Roma.
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Como se puede ver en la imagen anterior, los brazos del hombre del canon en sus dos posiciones, en reposo y movimiento, señalan el factor gnomónico correspondiente a la latitud de la ciudad de Roma. Podría parecer aventurado afirmar que Leonardo también incluyó información de carácter geodésico en su representación del Hombre de Vitruvio, pero lo cierto es que, sea o no una casualidad, es un resultado que merece mayor atención.
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HOMO AD QUADRATUM Y HOMO AD CIRCULUM: LA TRADICIÓN DE LA GEOMETRÍA DE REGLA Y COMPÁS. «Y tal y como Dios midió el gran instrumento del cielo con la misma medida, también midió con las mismas al hombre, en su pobre y pequeña estatura ..., y lo creó de tal manera, que miembro unido a miembro, no sobrepasara su medida justa, su peso justo.»47 Los problemas derivados de la práctica de los oficios constituyeron hace miles de años el punto de partida de las técnicas basadas en el rigor de los trazados geométricos. Los agrimensores del antiguo Egipto descubrieron que para obtener un ángulo recto puede hacerse con los valores 3, 4 y 5 como lados de un triángulo rectángulo, una fórmula que Pitágoras convirtió en el teorema por excelencia de la geometría, convirtiendo la observación empírica en reflexión científica48. Aproximadamente sobre el año 320 a.C., este corpus de conocimientos fue sistematizado por Euclides, momento en que se establecieron las bases de la geometría básica del plano, también conocida como de regla y compás, ya que solo son necesarios estos instrumentos para su desarrollo49. Se
47
Hildegarda de Bingen, Liber Divinorum Operum simplicis hominus, Columna 876 D, XCVII.
48
Durante la Edad Media, los conocimientos de geometría no se tomaban como valores en sí mismos,
sino como una herramienta de control formal. Así por ejemplo, la incorporación de números enteros a la geometría de ciertos polígonos permitió trabajar gráfica y métricamente dando entrada a cálculos proporcionales que permitieron salvar el escollo de tener que manejar los números irracionales implícitos en dichas geometrías. Es posible trazar un triángulo equilátero sin utilizar el compás mediante una regla y una relación de 7 unidades de lado por 6 unidades de altura; lo que implica una aproximación a la raíz cuadrada de tres que tiene un error de tan solo 18 milésimas; o mediante la relación 8/7, que es la misma aproximación, pero por exceso. Lo mismo ocurre con las razones 7/5 y 10/7, que son las aproximaciones, por defecto y exceso, a la raíz cuadrada de 2, y cuyo error es inferior a una centésima. 49
Euclides es considerado el padre de la geometría. Su tratado Los Elementos ha sido la obra más
consultada en la historia después de los textos sagrados de la Biblia y el Corán. Abelardo de Bath hizo una primera traducción del árabe al latín en torno al año 1070. Los teoremas geométricos de Euclides se mantuvieron casi sin variaciones hasta bien entrado el siglo XVIII.
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trata de una geometría compuesta por rectas, curvas, ángulos, polígonos y círculos; y vertebrada por criterios de semejanza y axiomas que sirven para resolver problemas relacionados con la medición de las extensiones y de las superficies50. El pensamiento de Platón también influyó de forma notable en la definición del concepto de geometría al plantear en el Timeo un mito cosmogónico, de raíz pitagórica, según el cual ciertas relaciones numéricas y formas geométricas reflejan la estructura armónica del cosmos y, como consecuencia, la ciencia y el arte debían regirse por dichas razones. Como resultado de esta concepción geométrica del espacio no solo se han desarrollado las teorías sobre simetría y proporción que se han aplicado en escultura y arquitectura; sino que también ha caracterizado estilos y épocas artísticas. Leonardo da Vinci, conocedor de las obras de Euclides y Arquímedes, escribió que «no existe ciertamente nada donde las ciencias matemáticas no puedan ser aplicadas», y recurrió a modelos geométricos para la descripción de observaciones físicas, mecánicas, aerostáticas, astronómicas e incluso arquitectónicas. Así por ejemplo, para el estudio de los fenómenos ópticos empleó los cuerpos piramidales y las reglas de la perspectiva, y para describir los movimientos de las fuerzas musculares se sirvió del análisis de las superficies curvas. Su representación del Hombre de Vitruvio ha pasado a la historia como un símbolo que recoge las principales ideas del pensamiento renacentista, sobre todo la que se refiere a la concepción del hombre como medida de todas las cosas. El
50
«Hasta la segunda mitad del VII a.C., el saber matemático tuvo en Grecia el carácter de conjunto de
técnicas y conocimientos de utilidad práctica, propio de las culturas arcaicas. Fueron las influencias del Próximo Oriente y la cultura egipcia las que permitieron que en sólo tres siglos se pasara de este nivel empírico a otro más intelectual, base de la ciencia geométrica occidental durante muchos siglos. Thales de Mileto puede ser considerado como el iniciador de una geometría de regla y compás y el primero en utilizar conceptos abstractos tales como los términos relación y proporción, que tanto juego han dado como vocablos ligados a la arquitectura. Pero el salto definitivo de la observación empírica a la reflexión científica se produjo con la escuela pitagórica que, centrada en la investigación aritmética, consolidó el espíritu científico reconocido por Proclo. Pitágoras, educado según Jámblico en las culturas egipcias y oriental, fue finalmente el artífice del teorema por el que la ciencia de los números alcanza su mayor proyección hasta la aparición del concepto de número irracional, alogos o incalculable, que sin embargo está presente en las figuras geométricas más simples, en los polígonos regulares, las más frecuentes en la geometría plana de regla y compás y la de los poliedros». José Antonio Ruiz de la Rosa, De geometría y arquitectura, RA: revista de arquitectura, ISSN 1138-5596, Nº. 3, 1999, pág. 22.
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canon vitruviano sitúa las medidas del cuerpo humano en el centro del sistema, ahora bien, son medidas sujetas a un orden superior determinado por las razones geométricas correspondientes a las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe en sus dos posiciones. El hombre del canon podría ser más alto o más bajo, solo es una cuestión de escala, pero las razones entre las diferentes partes del cuerpo respecto a su estatura, que es la razón del modelo de proporciones, serán siempre las mismas. Román Hernández escribe lo siguiente respecto a la relación entre arte y ciencia expresada mediante la unión de las figuras del círculo y el cuadrado: «el concepto de hombre microcosmos proporciona a los teóricos del Renacimiento la legitimación para un canon de belleza derivado como sabemos de la figura humana. La representación del hombre dentro del círculo y del cuadrado es, ya no sólo el diagrama de una coordinación elemental del hombre y del cosmos o la verdad de una historia sagrada como en el medievo, sino en primer lugar el símbolo de un canon de belleza resultante de la armonía del mundo. La imagen del homo ad quadratum y ad circulum es, en cierto modo, la encarnación de un arte unido a las matemáticas y a la geometría, expresión de la base racional de la belleza y por tanto ciencias fundamentales para la imitatio naturae»51. Reudenbach subraya que en la representación del canon de Vitruvio de Leonardo el significado básico de las figuras del círculo y el cuadrado, que desde la antigüedad ha sido una expresión de la coordinación entre el micro y el macrocosmos, se mantiene, aunque desplazada hacia un plano que es estrictamente matemático y geométrico52. Su concepción particular del canon vitruviano, a diferencia de otras propuestas, introduce una manifiesta asimetría en la composición que responde a una cuidadosa planificación. Las dos figuras tienen sobre el mismo eje centros distintos; en el homo ad circulum situado en el ombligo y en el homo ad quadratum en el sacro. Las claves de la
51
Román Hernández González, Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del
homo ad circulum y homo ad quadratum. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p 14. 52
H. FLASCHE, Similitudo templi. Zur Geschichte einer Metapher Deutsche Vierteljahrschrift für
Literaturwissenschaft und Geistesgeschichte, 23 23, 1949, pp. 81-125; cit. por REUDENBACH, p. 669.
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composición radican en la comprensión de esta asimetría que, como se desprende del análisis basado en las proporciones del folio, responde aproximadamente a una razón de 5/3, que puede inferirse del cálculo gráfico de la circunferencia a partir de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2, en consonancia con las particiones derivadas del sistema antropométrico de origen griego en relación a la altura del hombre del canon. Leonardo no solo recoge este canon, sino que se suma a una tradición cuya máxima expresión es la ciencia de la construcción. El modelo mediante el cual describe las proporciones del cuerpo humano es aplicable en el campo de la arquitectura53. Como apunta Frank Zöllner, «en el contexto de la revaloración en el Renacimiento de la interpretación matemática de Dios y del mundo, el Hombre de Vitruvio es una figura simbólica a partir de la cual se puede elaborar una teoría sobre el hombre como microcosmos, según la cual, como creación e imagen divina, es un reflejo de la perfección y la armonía del universo. La figura del hombre inscrita en un círculo y un cuadrado simboliza la correspondencia matemática entre micro y macrocosmos. Y para Wittkower también símbolo de la arquitectura, pues un edificio puede ser entendido metafóricamente como un cuerpo humano.»54 En Capítulo I del Libro III, Vitruvio se refiere a los conceptos de simetria y proportio como esenciales para los arquitectos, puesto que «no puede ningún edificio estar bien
53
«Al igual que el cosmos, ese microcosmos debía obedecer a las leyes universales, es decir, a las leyes
de la perfección geométrica, consideración que, como sabemos, se remonta al tratado de arquitectura de Vitruvio, asentándose la idea, a lo largo de los siglos medievales, de que la perfección de lo humano estaba en relación con Dios. Esto se llegó a convertir en una verdadera obsesión. Se trata de una cuestión que recogerán tanto Alcuino, San Agustín y Tomás de Aquino como Hildegarda, quienes consideraron al Homo quadratus como ideal de perfección y a Cristo como el creador de nuestro cuerpo. A Dios se le concebía, por tanto, como el creador del universo, aquel que con su compás creó la figura suprema que es el círculo. (…) En el pensamiento medieval, Dios era un geómetra, un matemático; la arquitectura divina no podía ser otra que la emanada de la perfección de las formas simples y, a la vez, absoluta como las circulares y las cuadradas». Román Hernández González, Interpretaciones y especulaciones acerca del concepto vitruviano del homo ad circulum y ad quadrtaum. Artículo publicado en Bellas Artes. Revista de Artes Plásticas, Estética, Diseño e Imagen, nº 0, Servicio de publicaciones Universidad de La Laguna, La Laguna, 2002, p. 4. 54
Frank Zöllner, L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter
Benjamin. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, p. 333.
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compuesto sin la simetría y proporción, como lo es un cuerpo humano bien formado»55. En efecto, las reglas de proporción vinculan formas con patrones basados en la simetría, por lo que la belleza del cuerpo humano o, dado el caso, de un edificio bien construido, está asociada al cumplimiento de una serie de normas que garantizan el equilibrio y la armonía del conjunto56. El más alto nivel de orden se alcanza con el menor número de formas y agrada a la vista no porque sea el producto de las formas en sí mismas, sino porque es resultado de ciertas combinaciones matemáticas, como sucede con la escala musical en donde los intervalos armónicos resultan de dividir una cuerda en medios, tercios y cuartos57. La armonía es un concepto abstracto que adquiere forma numérica
55
El del capítulo I del libro III del tratado de Vitruvio se presenta como una teoría sobre las proporciones
del cuerpo humano. Aunque es una teoría que aparece en una obra de carácter arquitectónico, establece, por un lado, una relación con unidades metrológicas y, por otro, con una teoría numérica basada en ciertos conceptos pitagóricos. Román Hernández González, El legado de Vitruvio III. 1: La primera aportación numérica al canon de proporción. Artículo publicado en UNO. Revista de Didáctica de las Matemáticas, Matemáticas: belleza y arte, nº 40, ed. Graó, Julio, agosto, septiembre, Barcelona, 2005, págs. 99-109. 56
«La importancia de la armonía musical para los arquitectos del Quattrocento y del Cinquecento, el
significado de la planta central de las iglesias que se construyeron en el Renacimiento y el Hombre de Vitruvio inscrito en un cuadrado y un círculo como canon antropométrico y su importancia, según Wittkower y otros investigadores, son símbolos de la arquitectura renacentista al tratarse de un canon de proporciones.» Frank Zöllner, L’uomo vitruviano di Leonardo Da Vinci, Rudolf Wittkower e l’Angelus Novus di Walter Benjamin. Estratto da «Raccolta Vinciana», Fascículo XXVI, p. 331. 57
Las figuras geométricas empleadas en la proyección de los trazados son básicamente tres: el círculo, el
cuadrado y el triángulo. Una vez escogidas, las formas se combinan de manera que las partes más pequeñas generen conjuntos mayores. Las técnicas de adición, sustracción y duplicación para obtener cuadrados y rectángulos de distinto tamaño son fundamentales para garantizar el equilibrio entre las diferentes partes del conjunto. Estas técnicas se pueden observar en edificios tardo-romanos de planta central y posteriormente también en el arte bizantino e islámico, para alcanzar sus más altas cotas de perfección en los métodos empleados en la construcción de las catedrales medievales. Mediante estos tipos de trazados, los arquitectos medievales «eran capaces de realizar operaciones gráficas sin la necesidad de utilizar escalas, ya que todos los elementos están referenciados respecto a uno fijado previamente. Esta trama sólo se descubre al realizar el correspondiente levantamiento gráfico del mismo. Es entonces cuando apreciamos la utilización de sencillas figuras geométricas para su elaboración: cuadrados, círculos y triángulos, que debidamente relacionados componen una planta»
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mediante las leyes de proporción, es decir, la concordancia matemática de las partes entre sí y entre éstas y el conjunto del que forman parte. La representación del canon de Vitruvio de Leonardo, como hemos podido ver, refleja a la perfección el concepto de armonía y proporción en base a una composición en la cual continente y contenido son las dos caras de la misma moneda, una descripción geométrica de las proporciones del cuerpo humano en la cual no intervienen factores que no puedan ser mensurables 58. Las mismas razones de las proporciones del hombre del canon son las que estructuran el trazado de las figuras del círculo y el cuadrado en las que se inscribe en función de un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2.
José Antonio Ruiz De La Rosa, Traza y simetría de la arquitectura. En la antigüedad y medievo. Publicaciones de la Universidad de Sevilla, 1987. 58
«El dibujo de Leonardo ilustra el concepto vitruviano que presenta como regla canónica el cuerpo
humano con perfectas proporciones, aquel que se inscribe en el cuadrado y en el círculo, por lo que no debe considerarse este dibujo como la representación del microcosmos, sino como un estudio de proporciones. este dibujo difiere enormemente de aquellas representaciones aparentemente idénticas que aparecen en los manuscritos de la Edad Media, porque no es el resultado de la especulación cosmológica, sino de los numerosos experimentos antropométricos que realizara el artista». Liber Divinorum Operum, Parte Iª, visión IV, para. 15, P. L. 197, col 814c; op. cit., F. SAXL, La vida de las imágenes, Alianza Forma, Madrid, 1989, ilust. 36a. Existe edición en castellano por V. Cirlot, Vidas y visiones de Hildegarda von Bingen, Siruela, Madrid, 1997.
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Fijémonos en un detalle que revela la coherencia geométrica del trazado que concibió Leonardo y que es producto, por lo tanto, de un minucioso plan geométrico en el que intervienen el formato del folio, las figuras del cuadrado y el círculo y la cuadrícula de 24 palmas indicada por la regla; variables que confluyen en un punto que se encuentra a 6 palmas del borde inferior del cuadrado (Figura 47).
Fig. 47. Detalle de la confluencia de las líneas del trazado que vertebran la composición59.
Como consecuencia de la rigurosa planificación geométrica del trazado a partir de las proporciones del folio se pueden realizar varios análisis, pero solo destacaremos dos ejemplos. En el primero, como se puede ver en las siguientes figuras, se pueden ver tres formas de obtener un rectángulo con idénticas proporciones que las del folio de partida en función de la disposición de la figura del cuadrado (Figuras 48, 49 y 50).
59
Para más información sobre la cuadrícula de 24 palmas del canon antropométrico de Vitruvio según
Leonardo se pueden consultar los trabajos de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, y también de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.
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Figuras 48, 49 y 50. Rectángulos con la misma proporción que el folio de partida.
En las siguientes imágenes se pueden ver, también en función del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon y el “cuadrado rector” del folio, otros rectángulos de proporciones notables (Figuras 51, 52 y 53).
Fig. 51. Rectángulo 4/3.
Fig. 52. Rectángulo Áureo.
Fig. 53. Rectángulo √5/2.
A partir del formato del folio basado en las proporciones de la raíz cuadrada de 2 y el cuadrado dibujado a partir de éste se pueden obtener una serie de rectángulos que ponen de manifiesto la gran versatilidad del modelo concebido por Leonardo, cuyo objetivo es, según palabras de Vitruvio, establecer a partir de un módulo constante y calculado las correspondencias entre las partes de una obra y toda la obra, es decir, siguiendo una serie de reglas empíricas basadas en modulaciones aritméticas. 81
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Cuando Leonardo se planteó cómo dibujar la figura de un hombre con las proporciones indicadas por Vitruvio de forma que se inscribiese en un cuadrado y en un círculo, empleó la herramienta que mejor conocía, partiendo de la tradición de la geometría de regla y compás para llegar a una solución nueva y original. Su propuesta del canon es la más sugestiva de cuantas se conocen, y no solo desde un punto de vista exclusivamente antropométrico, sino desde una perspectiva que engloba otras manifestaciones artísticas, desde la escultura a la arquitectura, pasando por la pintura y la música; pues en todas estas artes el orden de las obras viene dado por estructuras geométricas y matemáticas subyacentes. Es aquí donde radica la importancia de la representación del Hombre de Vitruvio, un magnífico ejemplo de cómo debe emplearse la geometría para describir aquello que observamos en la naturaleza, lo que nos brinda la oportunidad de poder desvelar las leyes que gobiernan el universo y nos proporciona una idea del lugar que ocupamos en este inmenso escenario. Según Boles y Newman, «el espacio es la arena de todas las interacciones y como tal es el común denominador de la naturaleza, las matemáticas y el arte. La naturaleza se define como relaciones en el espacio, la Geometría, aquélla parte de las matemáticas que describe las relaciones en el espacio y el arte lo que crea relaciones en el espacio». Una definición que a buen seguro hubiera suscrito el mismo Leonardo.
© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell
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ANEXO I: CÁLCULO DEL RADIO DEL CÍRCULO EN EL QUE SE INSCRIBE EL HOMBRE DEL CANON. En la siguiente imagen se muestra el trazado del círculo a partir del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon y de los puntos indicados por “cuadrado rector” de la cuartilla de partida (Figura 54).
Fig. 54. Cálculo del radio de la circunferencia (oa’) a partir del cuadrado y del “cuadrado rector” del folio.
Considerando que los lados del cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon miden 180,00 mm, el cálculo del radio del círculo es el siguiente. Necesitamos hallar el segmento oa’, por lo tanto hemos de resolver el cálculo del triángulo rectángulo odd’, del cual conocemos la longitud de su hipotenusa (od) y del cateto adyacente (dd’). Para hallar la longitud de la hipotenusa tenemos que el segmento dd’ es igual a la mitad de la longitud del cuadrado, es decir, 90,00 mm. Por otro lado, el segmento do es igual a 83
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la longitud del lado del cuadrado comprendida entre la mitad del “cuadrado rector” y su lado superior. Del borde inferior del folio al punto d’ en la base del cuadrado la longitud es 90,00 mm. Si sumamos el lado del cuadrado (ab) tendremos que 90,00 mm + 180,00 mm = 270,00 mm, por lo que para hallar el segmento bc solo tenemos que restar a esta longitud la medida del lado del “cuadrado rector”, es decir, 270,00 mm – 240,00 mm = 30,00 mm. El segmento da se determina de forma similar. Si a la longitud del lado del cuadrado (ab) le restamos el segmento hallado (bc) tenemos que 180,00 mm – 30,00 mm = 150,00 mm, por lo que el segmento da buscado es igual a esta longitud menos la longitud de la mitad del “cuadrado rector”, es decir, 150,00 mm – (240,00 mm/2) = 30,00 mm. Ahora ya podemos determinar la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo:
Por lo que la hipotenusa mide:
Así tenemos que el cateto menor del triángulo mide:
Ahora ya podemos hallar el radio del círculo que será igual a:
Por lo que éste mide:
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ANEXO II: CÁLCULO GRÁFICO DE LA CIRCUNFERENCIA EN FUNCIÓN DE LA RAÍZ CUADRADA DE 2. Del trazado de Leonardo basado en las proporciones del folio se desprende un cálculo gráfico de la circunferencia que supone una aproximación al número π que puede expresarse de la siguiente forma:
A partir de esta relación es posible llegar a un valor del número π de 3,1426… o, lo que es lo mismo, una aproximación a la relación entre el diámetro y el perímetro del círculo de un 99,96%. Una precisión más que suficiente para el propósito de Leonardo, pues el remanente inherente a la trascendencia del número π es tan minúsculo es despreciable ya que resulta imperceptible a simple vista, insignificante ante los inevitables errores de medida debidos, entre otros factores, al mismo grosor de la pluma empleada. Desde esta perspectiva, para llegar a una aproximación al número π que permita dibujar con precisión el círculo en el cual se ha de inscribir el hombre del canon, el optar por una proporción del folio igual a la raíz cuadrada de 2 es la más idónea, aunque es un método que no está exento de alguna dificultad. No olvidemos que el punto de partida de la composición es el canon antropométrico de Vitruvio, y que las relaciones métricas están basadas en divisores enteros y múltiplos de 2 y 3. Pero, ¿cómo obtener la relación de 9/10 para luego llegar a una aproximación al número π sin la necesidad de añadir nuevos elementos al trazado que desvirtuarían el mensaje original? El mayor problema reside en que para obtener una razón de 9/10 se necesita alguna operación que nos proporcione el número 5, requerido en el divisor de la proporción. Para ello, el genio italiano sorprende con su ingenio ya desde el primer movimiento del trazado, mediante el cual se obtiene el cuadrado en el que se inscribe el hombre del canon con los brazos en cruz y las piernas juntas. Como hemos visto, el citado cuadrado está en una proporción de 3/4 respecto a la anchura del folio. Para llegar a la proporción de 9/10 hay que multiplicar 3/4 por 6/5. Leonardo decidió que la ubicación del cuadrado en el folio sobrepasase el “cuadrado rector” en 1/6 parte de su longitud, de forma que
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quedasen 5/6 partes en su interior. Ya sabemos cómo emplear estas proporciones para hallar el diámetro del círculo en función de relaciones métricas. En la siguiente imagen podemos ver una forma equivalente de calcular la longitud del radio del círculo, pero utilizando regla y compás (Figura 55).
Fig. 55. Cálculo del radio de la circunferencia a partir del cuadrado y la cuadrícula de 6 palmas60.
Si trazamos la diagonal del rectángulo 5/3 hasta hacerla coincidir con la prolongación del lado superior del cuadrado, el segmento resultante desde este punto hasta el eje
60
Para más información sobre la cuadrícula de 24 palmas del canon antropométrico de Vitruvio según
Leonardo se pueden consultar los trabajos de Luis Castaño Sánchez, op. cit., Metrología Histórica: Una nueva propuesta, p. 36 Figura 10, p. 12, Figura 12, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio y op. cit., Estudio sobre el Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, y también de Manuel Franco Taboada, op. cit., La cuestión del centro de la figura humana a partir del Homo Bene Figuratus de Vitruvio.
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vertical del folio se corresponderá con el radio del círculo. Ahora bastaría con transportar esta medida para localizar el centro del círculo. Esta solución arroja un resultado excepcional para el cálculo gráfico de la circunferencia y, por lo tanto, del número π; aunque, como ya hemos indicado, el círculo resultante es algo más pequeño que el dibujado por Leonardo, por lo que no podemos afirmar con absoluta certeza que sea la solución correcta al enigma geométrico que nos planeta Leonardo. En efecto, este resultado permite encontrar un nuevo método para localizar la posición del ombligo que, junto con la posición del cuadrado nos permitirá trazar el círculo. Para ello, buscaremos el punto que, situado sobre un segmento igual a la √2, lo divida en dos partes relacionadas entre sí por la √2. Siendo “a” y “b” las distancias a los bordes superior e inferior del folio respectivamente, para encontrar este punto hay que resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Cuyas soluciones son:
La primera es interesante, pero para trazar el círculo hemos de salir del área de trazado. La segunda, por el contrario, nos proporciona una manera de hallar el centro del círculo mediante una sencilla operación geométrica dentro de los márgenes del área de trazado. Para ello partiremos de un nuevo “cuadrado rector”, aunque ahora situado en la parte superior del folio. La distancia del lado inferior de este “cuadrado rector” a la base del folio es:
Para multiplicarla por 2 basta con situar el compás sobre la base del nuevo “cuadrado rector” y con una abertura hasta el extremo opuesto de la base del folio trazar el círculo correspondiente.
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En la siguiente imagen se puede ver la operación para hallar el círculo en el que se inscribe el hombre del canon (Figura 56).
Fig. 56. Determinación del centro del círculo a partir del área de trazado y el “cuadrado rector”.
Una vez establecido el “cuadrado rector” en la parte superior del folio, basta con trazar un círculo cuyo centro está en la intersección del eje vertical con el lado inferior de este cuadrado. De esta forma obtenemos el centro del círculo. Ya solo queda dibujar el círculo en el que se inscribe el hombre del canon cuyo radio es la distancia al lado inferior del cuadrado que es igual a su altura. Con este método obtenemos un círculo con un diámetro que es prácticamente igual al dibujado por Leonardo, tan solo inferior en 0,3 mm. Estableciendo un margen adecuado podemos llegar al mismo diámetro que el dibujado. En realidad, tan sólo deberíamos desplazar hacia arriba el margen inferior 0,3 mm, obteniendo un área de trazado que además mejora la precisión de una razón igual a la raíz cuadrada de 2.
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ANEXO III: EL HOMBRE DE VITRUVIO DE GIACOMO ANDREA. En 2012 Claudio Sgarbi publicó un artículo en el cual presentaba los resultados de su trabajo sobre un infolio que había pasado desapercibido para los investigadores. Se trata de una representación del canon del Hombre de Vitruvio, hallada en la Biblioteca Comunale Ariostea de Ferrara, junto a una copia anónima de los Diez Libros de Arquitectura escritos por el arquitecto romano Vitruvio y otros dibujos, prácticamente idéntica a la de Leonardo61. Sgarbi descubrió que había sido realizada por Giacomo Andrea. Lo poco que sabemos de él es por Luca Pacioli, autor del tratado sobre la Divina Proporción, quien lo describe como un joven arquitecto, experto en la obra de Vitruvio, que era un gran amigo de Leonardo. También Leonardo menciona en sus notas una cena que tuvo con él en 1490, precisamente el año en que sale a la luz su representación del canon según Vitruvio. Como se puede ver, la disposición de las figuras del círculo y del cuadrado es la misma que la que estableció Leonardo para el canon de Vitruvio (Figura 55). Incluso la medida del cuadrado que es igual a la altura del hombre del canon es la misma en los dos casos: 180,00 mm, lo que resulta muy significativo pues ambos emplearon la misma escala, lo que significa que partieron del mismo sistema métrico. Este dato viene a reforzar la validez del escalado de la imagen digital del folio que hemos empleado para realizar el análisis geométrico de la
Fig. 55. Hombre de Vitruvio de Giacomo Andrea, Biblioteca Ariostea, Ferrara (Cart. Sec. XVI, Fol. Figurato, Classe II, N. 176, Fol 78V).
representación de Leonardo.
61
http://www.canonvitruviano.com/pdf/Claudio Sgarbi - All’origine dell’Uomo Ideale di Leonardo.pdf.
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Como se puede apreciar en la siguiente imagen, extraída del estudio de Claudio Sgarbi, las correspondencias entre las dos composiciones son más que evidentes (Figura 56).
Fig. 56. Imágenes superpuestas del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci y de Giacomo Andrea. Ilustración realizada por Matthew Edward.
El folio que utilizó Giacomo es algo más pequeño que el de Leonardo. Mide 214,00 x 302,00 mm. Es significativo, pues son prácticamente las mismas dimensiones que las de un folio del actual formato DIN A4. Giacomo se anticipó en cinco siglos al estándar que emplea nuestra moderna industria papelera. Lo más interesante, sin embargo, es que en el formato del folio empleado es exactamente el mismo que el que escogió Leonardo: un un rectángulo igual a la raíz cuadrada de 2; lo que vendría a demostrar la validez del trazado en función de las proporciones del folio que hemos desarrollado en este trabajo. Como se puede ver, otro detalle significativo es el escalado que hizo Giacomo Andrea de la figura del hombre del canon a partir de las dimensiones del folio para llegar a la imagen final, lo que demostraría que tanto él como Leonardo consideraban el marco de trabajo como una parte fundamental para realizar el trazado del hombre del canon.
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En las siguientes imágenes, extraídas también del estudio de Claudio Sgarbi, se puede ver cómo Giacomo escaló la figura del hombre del canon proyectándola sobre un folio de las mismas dimensiones para, a continuación, reducir su tamaño a la mitad (Figura 57).
Fig. 57. Proyección y escalado de la figura del Hombre de Vitruvio de Giacomo Andrea.
Demasiadas coincidencias. Es muy probable que Leonardo se inspirase en la ilustración realizada por Giacomo o incluso que hubiesen trabajado juntos en el estudio del canon de Vitruvio, pues no solo la disposición de las figuras del círculo y el cuadrado son idénticas, sino que además la escala también, pues el cuadrado en el cual se inscribe el hombre del canon mide 180,00 mm en los dos casos, una magnitud que, como hemos visto, se obtiene a partir del sistema métrico descrito en el tratado de arquitectura del ingeniero romano.
© Rafael Fuster Ruiz y Jordi Aguadé Torrell
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