Cálculo III- Diferencial-TVMCD-Generalización Diferenciabilidad

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES f : A  R2  R  x, y   z  f  x, y 

Sea

0

y

f es diferenciable en P0

P0   x0 , y0   A

  B P0   A :  P  x0  h, y 0  k   B P0   f P0   f  x0  h, y0  k   f  x0 , y0 

 f x  x0 , y 0  h  f y  x0 , y0  k   h, k  a  R, b  R

y

 h, k 

lim

 h , k   0 , 0 

h2  k 2

0

En las condiciones anteriores, si llamamos  a la función

 : R2  R h, k   f x P0 h  f y P0 k

observamos que  es una transformación lineal con coeficientes f x  P0  y f y P0  , en término de la cual se puede expresar la definición de diferenciabilidad de la función f en el punto P0 como sigue: f es diferenciable en P0  

transformación lineal tal que

f  x0  h, y 0  k   f  x0 , y0    h, k 

lim

h , k 0 , 0 

donde

 : R2  R h, k   f x P0  h  f y P0  k

h  x  x0 ,

0 h2  k 2 k  y  y 0 y  x, y  es un punto del dominio de f próximo a P0.

Definición 0 f : A  R2  R Sea y P0   x0 , y0   A tal que f es diferenciable en P0 .  x , y   z  f  x, y  La transformación lineal  : R2  R h, k   f x P0  h  f y P0  k es la “diferencial de f en P0” y usamos para ella la notación Los valores de la df P0 se denotan df P0 (x – x0, y – y0) calculan en h = Δx = x – x0 y k = Δy = y – y0.

x  x0 , y  y 0 

ó

df p0 ó d z P0 . d z P0 (x – x0, y – y0) cuando se

 f x  x 0 , y 0   x  x 0   f y x 0 , y 0   y  y 0 

Esto es,

d f

Tomando

f  x, y   x y calculando df P0 resulta que df P0  dx  x . Tomando

P0

calculando df P0 resulta que

f  x, y   y y

df P0  dy P0  y . Luego ponemos

d f P0  x  x 0 , y  y 0   f x  x 0 , y 0  d x  f y x 0 , y 0  d y

Observamos que df p es una función de las cuatro variables x, y, dx, dy. Interpretación geométrica La ecuación z  f  x0 , y 0   f x  x0 , y 0  x  x0   f y  x0 , y 0   y  y 0  en Q0 a la superficie z  f  x, y 

x, y   A , gráfica de f ,

representa al plano tangente

y por definición 1

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d f P0  x  x0 ,  y  y0   f x x0 , y0   x  x0   f y  x0 , y0   y  y0  d f P0  x  x0 , y  y0  = z  f  x0 , y0 

Comparando las dos igualdades resulta: Entonces la

d f P0  x  x0 , y  y0 

es la variación que experimenta la cota del plano tangente a la

gráfica de f en Q0 , cuando pasamos del punto P0   x0 , y0  al punto P   x0  h, y0  k  , según muestra la figura siguiente. z

S



Q

 (h, k) Q0

T R 





z (P0 )

dz (P0) y

D 

P0 

P

x

En la misma se visualiza una porción de S, superficie de ecuación z  f  x, y   x, y   A y del plano  tangente a la misma en Q0, imagen en S de P0, donde f es diferenciable. Los puntos Q y T son respectivamente las imágenes de P en la superficie S y en el plano  . Podemos observar a  z P0  , d f P0  x,  y  y la aproximación entre ambos cuando el punto P se acerca a P0. Se observa también el término adicional   x,  y  que tiende a 0 cuando P tiende a P0. Expresada la definición de diferenciabilidad de la función aplicación lineal  resulta que lim

f x0  h, y0  k   f  x0 , y0    h, k 

 h , k   0 , 0 

Del cual se sigue que:

f

h2  k 2

lim

 h , k   0 , 0 

en el punto P0 en término de la

0

 f x0  h, y0  k  f x0 , yo   h, k   

0

Entonces cuando “h” y “k”son pequeños, esto es cuando x  x0 e y  y0 vale que:

f  x0  h, y0  k   f  x0 , y0    h, k  = df P0  x  x 0 , y  y 0   z P0   d P0  x  x0 , y  y0 

Esta igualdad expresa que “La variación f  x0 , y 0  de la función cuando pasamos del punto  x0 , y0  a

x, y 

con x  x0 e y  y0 es aproximadamente igual a d f P0  x  x0  ,  y  y0  , la diferencial de f

en P0 calculada en  x  x0 , y  y0  ”. 2 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez

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Resulta entonces, en el caso f diferenciable en P0 , que podemos aproximar los valores de f en un entorno de P0 con los de una transformación afín (traslación de una lineal): A  x, y   f  x 0 , y 0   f x  x 0 , y 0   x  x 0   f y  x 0 , y 0   y  y 0  tal que f  x, y   A  x, y 

Esto es: si  x, y   B P0  .

f  x, y   f  x 0 , y 0   f x  x 0 , y 0   x  x 0   f y x 0 , y 0   y  y 0 

Si observamos que el segundo miembro de la expresión anterior, da la coordenada “z” de los puntos del plano tangente a la gráfica de f en P0, es clara la afirmación siguiente: “Geométricamente en un entorno de P0 donde f es diferenciable, se puede aproximar la superficie gráfica de f con el plano tangente a la misma en el punto  x0 , y0 , f  x0 , y0  ”. Observación Es importante darse cuenta que la diferencial de una función f se define en la hipótesis de diferenciabilidad de f. Esto significa que únicamente podemos usarla como aproximación lineal para f cuando ésta es diferenciable. Ejemplos de Aplicación 1.- Sea

f : R2  R

x, y   z  3xy  x 2

Hallar  z y dz en el punto P0  1, 2 para x  0,01 y y  0,02 .

 z = f 1  0,01; 2  0,02  f 1, 2 = (3.1,01.2,02 – (1,01)2 ) - (3.1.2 – 12) = (6,1206 – 1,0201) - 5 = 5,1005 – 5 =0,1005

f x  x, y   3 y  2 x  f x 1, 2  (3.2 - 2.1)  4

f y  x, y   3 x  f x 1, 2   3.1  3

d 1, 2  z 0,01, 0,02  = f x 1, 2  x  f y 1,2  y = 4. 0,01 + 3. 0,02 = 0,04 + 0,06 = 0,1

La función f de este ejemplo es diferenciable en (1, 2) (pues es un polinomio) y para valores de x  0,01 y y  0,02 pequeños comparados con x  1 e y  2 se verifica que z  dz. Además

vemos que

f 1,01; 2,02   5,1005  5  0,1  f 1, 2   d 1, 2  0,01, 0;02  . Luego podemos

aproximar los valores de f f 1, 2 más d 1, 2  0,01, 0;02  .

en un entorno del punto

1, 2

donde

f

es diferenciable con

  2.- Encuentre una aproximación lineal para la función f  x, y   e x seny en el punto P0 = 1,  .  2 La función f es diferenciable en P0 luego una aproximación lineal para f en P0 es la función:

          g  x, y  = f 1,   f x 1, x  1  f y 1,  y   = e  e x  1  0. y   = ex . 2 2  2  2  2   Conclusión 0

Si f : A  R 2  R es diferenciable en P0  A entonces: 1) La superficie gráfica de f tiene en el punto Q0   x0 , y0 , f  x0 , y0  plano tangente de ecuación: 3 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez

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z  f  x0 , y 0   f x  x 0 , y 0   x  x 0   f y  x 0 , y 0   y  y 0  2) Podemos obtener una aproximación lineal para f en un entorno de P0 , ésta es:   x, y   B P0  f  x, y   f  x0 , y0   f x  x0 , y0   x  x0   f y  x0 , y0   y  y0  En términos geométricos esto significa que en las proximidades de P0 podemos reemplazar la superficie gráfica de f por el plano tangente a la misma en P0 . DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 0 f : A  R2  R y P0   x0 , y0   A la diferencial de f en P0 calculada en dx  x , y   z  f  x, y  y dy incrementos de las variables independientes es:

Dada

d f P0 dx , dy   f x  x 0 , y 0  d x  f y  x 0 , y 0  d y

La diferencial llamadas a veces diferencial total es una función de cuatro variables independientes: las coordenadas x e y del punto interior del dominio de f en el que se estudia la diferencial y los incrementos dx y dy de las variables independientes. Si f es diferenciable en P interior de su dominio y la d f P tiene derivadas parciales de segundo orden respecto de las variables x e y continuas en P , podremos construir d P d P f  que se llama diferencial segunda de f en P y se indica d P2 f . Esta tiene la forma:





d P2 f dx, dy  = d P d P f dx, dy  dx, dy 

=

 f P    f P      f P     f P    dx  dy  dx  dx  dy  dy x x y y x y  

=

 2 f P   2 f P   2 f P  2  dx   2 dx dy  dy 2 2 2 x  y x y

De la misma manera, si f tiene derivadas parciales continuas respecto a x e y hasta el orden 3 en P podremos construir d P d 2 P f  que se llama diferencial tercera de f en P y se indica d P3 f .

d P3 f dx, dy  = d P d P3 f dx, dy dx, dy  

  2 f P   2 f P     2 f P  2   dx   2 dx dy  dy 2  dx 2 2 x x x y y 

  2 f P   2 f P     2 f P  2   dx   2 dx dy  dy 2  dy 2 2  y x x y y 

=

 3 f P   3 f P   3 f P   2 f P  3 2 2  dx   3  dx  dy  3 dx  dy   dy 2 3 2 2 2 x x y x y y

Puede fácilmente probarse por inducción que si f tiene derivadas parciales continuas respecto a x e y hasta el orden n en P podremos construir la d Pn f que se llama diferencial enésima de f en P . Esta tiene la forma:

d Pn f dx, dy  = 4 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez

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 n   n f P   n   n f P   n f P   n f P  n n 1 n 1      dx    dx  dy  ...   dx  dy  ...  dy n n   n 1   n k k n x y 1   x  y k  x  y n n  n   f P  =    n k k dx n k dy k y k 0 k   x =

n

    Esta última fórmula puede expresarse simbólicamente: d f dx, dy    dx  dy  f P  y  x En la que primero debe desarrollarse formalmente, por medio del teorema del binomio, la expresión de la derecha y luego debe sustituirse: n P

n

    n f P   ; dx  f P  por  xn x 

    k  1, n  dx   x 

nk

k

    n f P   dy  f P  por  x n k  y k  y 

y

n

    n f P   dy  f P  por  yn  y 

Ejemplo

f : R2  R

1.- Sea

 x, y  

z  3 xy  x

2

Hallar d 2 z en el punto P0  1, 2 .

f x  x, y   3 y  2 x  f xx  x , y    2  f xy  x, y   3  f xx 1, 2    2  f xy 1, 2   3 f y  x, y   3 x  f yy  x, y   0  f yy 1, 2   0

d 21, 2  f dx, dy  =

 2 f 1, 2   2 f 1, 2   2 f 1, 2  2  dx   2 dx dy  dy 2 2 2 x y x y

=  2 dx 2  2.3 dx dy  0 dy 2 =  2 dx 2  6 dx dy xy si  x, y   0, 0 y f 0, 0  0 x  y2 ¿Existe la diferencial tercera de f en 0, 0 ? Vimos que lim f  x, y  no existe. Luego f no es diferenciable en 0, 0 por lo tanto no existe f  x, y  

2.- Sea

2

 x , y   0, 0 

d 0, 0  f . Tampoco existen la diferencial segunda, ni la tercera de la función f.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL 



Sea f : D  R 2  R diferenciable en el interior de D . Sean A D y B  D tales que el segmento de extremos A y B está contenido en el interior de D , entonces existe C perteneciente al segmento AB tal que

f B   f  A  f C  B  A .

Haremos luego la demostración del teorema, utilizando la Regla de la Cadena para la derivación de las funciones compuestas. Veremos ahora una interpretación geométrica para la tesis del teorema. Interpretación geométrica 

Suponemos que valen las hipótesis del Teorema del Valor Medio para

f : D  R 2  R , A D



y B  D con A  B . Entonces existe C  AB tal que: f B   f  A  f C   B  A 5 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez

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Si A  B  B  A  0 la igualdad de la tesis se puede dividir miembro a miembro por B  A y

f B   f  A f C   B  A  B A B A

se obtiene Pero sabemos:

f B   f  A   ms B A

A   x A , y A , f  x A , y A 

siendo " ms " la pendiente de" s ", recta que une los puntos

y B   xB , yB f  xB , yB  y está contenida en el plano vetical que tiene por

traza en z  0 a la recta que contiene a AB . f C   B  A BA  f C   D B  A f C  BA BA BA

Además:

(por propiedades del producto escalar y de la derivada direccional de una función diferenciable). Mientras que según la conocida interpretación geométrica de la derivada direccional D B A f C  B A

mide la pendiente de la recta tangente en el punto C    xC , yC , f  xC , yC  , cota de C en la supreficie S , a la curva "  " intersección de la superficie gráfica de f con el semiplano vertical cuya traza en el plano XOY es la semirecta que contiene al segmento AB . 

Por hipótesis, f es diferenciable en C  D , luego la curva intersección de la gráfica de f con el plano vertical que contiene al segmento AB tiene en el punto C , cota de C , recta tangente y su pendiente es igual a D B A f C  . B A

z

t

C 



s 

B S



A

O

y

D x

A 





C

Entonces: La tesis del teorema en el caso en que A  B , asegura que existe un punto C  en la curva intersección de la superficie " S " gráfica de f con el plano vertical que contiene al segmento AB , en el que la recta tangente tiene la misma pendiente que la secante que une los puntos A y B de dicha curva. Este resultado admite la siguiente representación gráfica: 6 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez

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GENERALIZACIÓN DE LA NOCIÓN DE DIFERENCIABILIDAD Generalizaremos la noción de diferenciabilidad a funciones reales de variable vectorial y luego a funciones vectoriales de variable vectorial. I) FUNCIONES REALES DE “n” VARIABLES REALES La generalización de la noción de diferenciabilidad a a estas funciones es inmediata, a partir de la definición dada para funciones de dos variables reales.Se expresa como sigue: Definición

f : A  Rn  R

Sea



0



y P0  x10 , ..., xn 0  A

x1 ,...., xn   f x1 , ...., xn 

f es diferenciable en P0  0 0 0 0 0 0   B P0  :  P x1  h1 , ...., xn  hn  B P0   z P0   f x1  h1 , ..., xn  hn  f x1 , ..., xn







 



 a1 h1  a2 h2 , ..., an hn   h1 , h2 ,..., hn 

 i  1, n ai  R y

lim

h1 ,... hn 0 ,...,0 

 h1 ,..., hn  2

h1  ...  hn

2

0

Se prueba que las funciones diferenciables en un punto interior de su dominio son continuas, admiten todas las derivadas parciales y todas las derivadas direccionales en dicho punto. Además valen para ellas los Teoremas del Valor Medio del Cálculo Diferencial y de Taylor. II) FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL Generalizaremos la noción de diferenciabilidad a funciones vectoriales de variable vectorial. Para ello, expresamos convenientemente la definición de diferenciabilidad para funciones reales de dos variables reales. 0 f : A  R2  R y P0   x0 , y0   A .  x , y   z  f  x, y  f es diferenciable en P0    : R 2  R transformación lineal tal que h, k   f x P0 h  f y P0 k

Definición

Sea

f  x0  h, y 0  k   f  x0 , y0    h, k 

lim

h , k 0 , 0 

0

h2  k 2

La transformación lineal  de R2 en R, a la que podemos asociar respecto de las bases canónicas la matriz 1  2 siguiente: ( f x P0  f y P0  ), es la diferencial de f en P0, que podemos poner:

df P0 : A  R 2  R  h f y P0  )   k  y P0 =  x0 , y 0  resulta que h = x  x0 y

h, k   ( f x P0  Como P =  x0  h, y 0  k 

h, k  = x  x0 , y  y 0    h, k  =  x  x0 , y  y 0  =  P  P0  y el límite

lim

h , k 0 , 0 

f  x0  h, y 0  k   f  x0 , y0    h, k  h2  k 2

y

k = y  y0 luego

h 2  k 2 = P  P0

0 7

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puede ponerse

lim

P  P0

f  P   f P0    P  P0  0 P  P0

Expresar la diferenciabilidad de una función real de dos variables reales en término de este límite, permite generalizar la noción de diferenciabilidad a funciones vectoriales de variable vectorial. Definición Sea

y f : A  Rn  Rm P   f1 P , f 2 P ,.........., f m P 

0

P0  A

f es diferenciable en P0    : R n  R m h1 , h2 ,......, hn   1 h1 ,..., hn , 2 h1 ,..., hn ,........,  m h1 ,..., hn  transformación lineal tal que

lim

f  P   f  P0    P  P0 

P  P0

P  P0

0

La transformación lineal “  ” se llama “diferencial de f en P0”, se denota df p0 .Como toda transformación lineal de Rn en Rm , fijadas las bases canónicas en dichos espacios, a la diferencial de f en P0 corresponde una única matriz m × n, la matriz jacobiana de f en P0 que se indica f '(P0) y tiene la forma: f 1 P0  f P    f1 P0  .............. 1 0   x x2 xn 1    f 2 P0  f 2 P0  f 2 P0   ...............    x  x x n  1 2  f P0  = ...........................................................    ...........................................................  ...........................................................    f m  P0  f m P0    f m  P0  ................  x x 2 xn   1 Entonces: df P0 : R n  R m

 h1     h2  h1 , h2 ,......, hn   f P0   .   .     hn  Observación: Definimos df p0 sólo cuando f es una función diferenciable en P0. Como para las funciones reales de dos variables reales se puede probar que si una función vectorial de variable vectorial es diferenciable en un punto interior de su dominio vale que:  la función es continua en dicho punto.  la función admite todas sus derivadas parciales en dicho punto.. Se prueba la siguiente condición necesaria y suficiente que permite determinar la diferenciabilidad de las funciones vectoriales estudiando la diferenciabilidad de sus componentes (funciones reales). 8 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez

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Teorema 0

f : A  Rn  Rm

Sea

y

P0  A

P   f1 P , f 2 P ,.........., f m P 

f es diferenciable en P0   j  1, n df P0 : R n  R m

fj

es diferenciable en P0. Entonces

h1 , h2 ,......, hn   d P f1 h1 , h2 ,......, hn , d P f 2 h1 , h2 ,......, hn ,..........., d P 0

Observación Para cada j  1, m

0

0



f m h1 , h2 ,......, hn 

f j : Rn  R

h1 , h2 ,......, hn  

f j h1 , h2 ,......., hn  y  j  1, m fj diferenciable en P0

implica:

df j P0  : R n  R  f j P0   x1

f j P0 

h1 , h2 ,......, hn   

x 2

Luego df j P0  h1 , h2 ,......, hn  =

............

f j P0 

h1 

f j P0    x n 

f j P0 

 h1     h2   .    h   n

h2  ............ 

x1 x 2 = f j P0  . h1 , h2 ,......, hn 

f j  P0  x n

hn

Ejemplos 1) Sea

f : R 2  R3

¿Es f diferenciable en P0  1,   ? Si existe, encuentre df p0 .

u, v   u cos v, u sen v, v funciones f1 u, v   u cos v , f 2 u, v   u sen v

Las y f 3 u , v   v tienen derivadas parciales 2 continuas en R por lo tanto, la condición suficiente para la diferenciabilidad indica que son diferenciables en R2 y en particular en P0  1,   . Por el teorema enunciado, f es diferenciable en P0 de lo que se sigue que existe df p0 y la matriz jacobiana de f en P0 es la matriz 3 2 que sigue:  f1 1,     u  f 1,   f 1,     2  u  f 3 1,     u y la diferencial de f en 1,   es:

f1 1,     v   cos v f 2 1,      =  sen v v   0 f 3 1,      v  df 1,   : R 2  R 3

1  h, k    0  0 

ó

 u sen v  1   u cos v  =  0  0 1  

0  1  . 1 

0  1  1 

 h h     =   k  k   k   

df 1,   : R 2  R 3

h, k    h,  k , k  9 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez

Cálculo III- Diferencial-TVMCD-Generalización Diferenciabilidad

2) Encuentre la diferencial de la función diferenciable

f : R3  R2

x, y, z   x 2  e y , x  y sen z 

en ( 1,1,  ).

La matriz jacobiana de f en ( 1,1,  ) es la matriz 3 2 :  f1 1,1,    x f 1,1,     f 1,1,    2 x 

f1 1,1,   y f 2 1,1,   y

f1 1,1,     z  =  2 x f 2 1,1,    1  z 

Entonces df 1,1,   : R 3  R 2 2 h1 , h2 , h3    1

ey sen z

0  2  = y cos z  1

e 0

0   1

df 1,1,   : R 3  R 2 e 0

 h1  0     h2  1    h3 

ó

h1 , h2 , h3  

 2 h1  e h2     h1  h3 

Ejercicios Pruebe que las funciones dadas son diferenciables y calcule el determinante de la matriz jacobiana de f en los puntos donde existe: f : R2  R2 f : R3  R3 a) b)  ,    cos ,  sen    ,  ,     sen cos ,  sen sen ,  cos 

10 Lic. María Teresa Pacios- Mg. Silvina Ruth Gómez