TEMA 3: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

´ Algebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A)

Curso 2007-2008

1

2

1.

Anillos y cuerpos

Definici´ on 1. Un anillo viene dado por un conjunto R y por dos operaciones binarias definidas sobre R, denominadas usualmente suma y producto, y representadas por los s´ımbolos + y ·, de forma que: (R, +) es un grupo conmutativo, cuyo elemento neutro denotaremos por 0, (R, ·) es un monoide, cuyo elemento neutro denotaremos por 1, se verifican las leyes distributivas del producto respecto de la suma: ∀a, b, c ∈ R, a · (b + c) = a · b + a · c, (b + c) · a = b · a + c · a. Si adem´as se verifica la propiedad conmutativa para el producto, se dice que el anillo es conmutativo. Definici´ on 2. Un elemento a perteneciente a un anillo R es una unidad, si existe un elemento b ∈ R tal que a · b = 1 = b · a. Si a es una unidad en R, como consecuencia de los resultados estudiados en el Tema 2, sabemos que existe un u ´nico elemento b perteneciente a R verificando que a · b = 1 = b · a, el cual se denomina el inverso de a, y se denota por a−1 . Definici´ on 3. Un cuerpo es un anillo conmutativo (R, +, ·) en el cual todo elemento distinto de cero es una unidad. Ejemplos 4. 1. (Z, +, ·) es un anillo conmutativo, pero no es un cuerpo. 2. Ejemplos t´ıpicos de cuerpos son Q, R y C, con las operaciones suma y producto usuales. 3. Si m es un n´ umero entero mayor o igual que 2, entonces Zm es un anillo conmutativo respecto de las operaciones suma y producto de clases. El anillo (Zm , +, ·) es un cuerpo si y s´olo si m es un n´ umero primo.

2.

Matrices. Definiciones generales.

Dados dos n´ umeros naturales m, n > 0 y un conjunto X, una matriz de orden m × n con coeficientes en X es una colecci´on formada por m · n elementos de X (no necesariamente distintos) dispuestos en m filas y n columnas. Denotamos por Mm×n (X) el conjunto de todas las matrices de orden m × n con coeficientes en X. Usaremos principalmente las primeras letras may´ usculas A, B, C, . . . del alfabeto para representar matrices. Dada una matriz A, cuando queramos referirnos a los elementos que componen A, escribiremos A = (ai,j ), significando que ai,j es el elemento que aparece en la fila i-´esima y columna j-´esima de A. Decimos que dos matrices A = (ai,j ) y B = (bi,j ), ambas pertenecientes a Mm×n (X), son iguales, y escribimos A = B, si para todo i ∈ {1, 2, . . . , m} y para todo j ∈ {1, 2, . . . , n} se verifica que ai,j = bi,j .

3

Una submatriz de A es aquella matriz que resulta al suprimir algunas filas y/o columnas de A. La diagonal principal de la matriz A = (ai,j ) es la sucesi´on a1,1 , a2,2 , . . . formada por todos los elementos de A cuyo ´ındice de fila es igual a su ´ındice de columna. Para una matriz A = (ai,j ) ∈ Mm×n (X), la matriz traspuesta de A es la matriz t A = (bi,j ) ∈ Mn×m (X) tal que para cualesquiera i, j se verifica que bi,j = aj,i . Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual n´ umero de filas que de columnas. Una matriz de orden n × n, diremos simplemente que es una matriz cuadrada de orden n. A veces tambi´en representaremos el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n con coeficientes en X como Mn (X). Una matriz cuadrada A = (ai,j ) se dice que es una matriz sim´ etrica si ai,j = aj,i , para t cualesquiera i, j, es decir, si A = A . Sea R es un anillo y A ∈ Mn (R). Decimos que A es una matriz triangular superior (respectivamente, triangular inferior) cuando son nulos todos los elementos situados por debajo (respectivamente, por encima) de la diagonal principal de A. A se denomina matriz diagonal, si es triangular superior y triangular inferior, es decir, si todo elemento que no est´a en la diagonal principal de A es igual a cero. A es una matriz escalar, si es diagonal y adem´as todos los elementos de su diagonal principal son iguales. A se dice que es una matriz antisim´ etrica si ai,j = −aj,i , para cualesquiera i, j, es decir, si A = −At . 3.

Operaciones con matrices

Sea K un cuerpo y sean las matrices A = (ai,j ) y B = (bi,j ) pertenecientes a Mm×n (K). La matriz suma de A y B, es la matriz A+B = (ci,j ) de nuevo perteneciente a Mm×n (K), tal que ci,j = ai,j + bi,j para cualesquiera i y j. Es inmediato comprobar que (Mm×n (K), +) es un grupo abeliano cuyo elemento neutro es la matriz nula de orden m × n, es decir, aquella en la que todos sus elementos son iguales a 0 ∈ K. Dado un elemento λ ∈ K, llamado escalar, y una matriz A = (ai,j ) ∈ Mm×n (K), el producto de λ por A, es la matriz λ · A = (bi,j ) ∈ Mm×n (K) tal que bi,j = λ · ai,j , para todo i y j. Para cualesquiera λ, λ1 , λ2 ∈ K y A, B ∈ Mm×n (K), se verifican las siguientes propiedades: 1. λ(A + B) = λA + λB 2. (λ1 + λ2 )A = λ1 A + λ2 A 3. λ1 (λ2 A) = (λ1 · λ2 )A 4. 1 · A = A El conjunto Mm×n (K), por ser un grupo abeliano respecto de la suma de matrices y por verificar estas cuatro propiedades se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Ahora definimos el producto de dos matrices.

4

Sean las matrices A = (ai,k ) ∈ Mp×q (K) y B = (bk,j ) ∈ Mq×r (K). Obs´ervese que el n´ umero de columnas de A es igual al n´ umero de filas de B. La matriz producto de A y B, es la matriz de orden p × r que representaremos por A · B = (ci,j ), siendo ci,j =

q X

ai,k · bk,j ,

k=1

para cualesquiera i y j. Vemos que el elemento que ocupa la fila i-´esima y columna j-´esima en la matriz A · B se obtiene sumando el resultado de multiplicar cada elemento de la fila i-´esima de A por el correspondiente de la columna j-´esima de B. Ejemplo 5. Dadas las matrices con coeficientes en R,     1 4 0 −1 1 −2 1 5 , A= y B =  8 −1 1 5 3 −4 −1 0 2 3 entonces  A·B =

1 −2 1 5 3 −4





   1 4 0 −1 −16 6 0 −8 5 = ·  8 −1 1 . 33 17 −5 −2 −1 0 2 3

Obs´ervese que en este ejemplo el producto B · A no tiene sentido, pues el n´ umero de columnas de B es distinto del n´ umero de filas de A. La justificaci´on de la definici´on anterior para el producto de matrices se encuentra en la estrecha relaci´on existente entre las matrices y un tipo especial de aplicaciones denominadas aplicaciones lineales y que ser´an estudiadas m´as adelante. Cuando multiplicamos dos matrices estamos haciendo la composici´on de dos aplicaciones lineales. La matriz identidad de orden m es la matriz Im = (ai,j ) ∈ Mm×m (K) tal que  1 si i = j, ai,j = 0 si i 6= j. Para cualquier A ∈ Mm×n (K) se verifica que Im · A = A = A · In . Por tanto cada matriz identidad se comporta como un elemento neutro para el producto de matrices. Insistiendo nuevamente en la estrecha relaci´on existente entre matrices y aplicaciones, comp´arese la propiedad anterior con la siguiente que ya vimos en el Tema 1: Para cualquier aplicaci´on f : X → Y , se verifica 1Y ◦ f = f = f ◦ 1X . El producto de matrices verifica las siguientes propiedades, siempre que ´estas tengan sentido: 1. A(BC) = (AB)C, 2. A(B + D) = AB + AD y (B + D)E = BE + DE, 3. (λA)B = λ(AB), con λ ∈ K.

5

Obtenemos que (Mm (K), +, ·) es un anillo, el cual s´olo es conmutativo para m = 1. Por ejemplo,             1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 · = y · = . 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 Como consecuencia, varias identidades aritm´eticas que se verifican en los anillos conmutativos, dejan de ser ciertas en general en Mm (K). La identidad (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 que se verifica en cualquier cuerpo K, en general no se verifica en Mm (K). Concretamente, si A, B ∈ Mm (K), entonces (A + B)2 = A2 + AB + BA + B 2 , valor que en general no es igual a A2 + 2AB + B 2 , ya que A · B 6= B · A. Un comentario similar puede hacerse acerca de la identidad x2 − y 2 = (x + y)(x − y). Ejercicio 6. Dadas las matrices A y B pertenecientes a M2 (R) y tales que     3 0 −1 −2 A+B = y A−B = , 2 1 0 3 calc´ ulese la matriz A2 − B 2 . Como en general (A + B) · (A − B) 6= A2 − B 2 , calculamos previamente cada matriz, a continuaci´on su cuadrado y por u ´ltimo la diferencia entre ambas.       3 0 −1 −2 2 −2 2A = (A + B) + (A − B) = + = , 2 1 0 3 2 4 con lo cual     1 2 −2 1 −1 A= = . 4 1 2 2 2 Por otra parte,     3 0 2 1 B= −A= . 2 1 1 −1 Elevando al cuadrado, obtenemos     0 −3 5 1 2 2 A = y B = , 3 3 1 2 y por consiguiente, 2

2

A −B =

4.



−5 −4 2 1

 .

Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Forma normal de Hermite por filas. Recordemos que K denota un cuerpo. Referido a una matriz A ∈ Mm×n (K):

Definici´ on 7. Decimos que una fila es nula, si est´a formada s´olo por ceros.

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Definici´ on 8. El Pivote o t´ ermino l´ıder de una fila no nula es el primer elemento no nulo de dicha fila de izquierda a derecha. Definici´ on 9. A est´a en forma escalonada por filas si verifica las siguientes condiciones: 1. Si A tiene filas nulas, ´estas estar´an agrupadas en la parte inferior de la matriz. 2. El pivote de cada fila no nula estar´a situado siempre m´as a la derecha que el pivote de cualquier fila anterior a ella. Definici´ on 10. A est´a en forma escalonada reducida por filas, cuando est´a en forma escalonada por filas, el pivote de cada fila no nula es igual a 1, y adem´as verifica que todos los elementos que aparecen en la misma columna que un pivote, ya sea por encima o por debajo de ´el, son todos cero. Ejemplos 11. Sean las matrices    1 0 2 1 0 0 ,B =  0 A= 0 0 −1 −4 0

con coeficientes en   0 2 1 1 5 ,C =  0 1 3 0

R:    7 4 −6 1 −7 0 0 9 0 1 2 ,D =  0 0 1 0 8 . 0 0 0 0 0 0 1 5

A no est´a en forma escalonada por filas, pues no se cumple la condici´on 1. B no est´a en forma escalonada por filas, pues no se cumple la condici´on 2. C est´a en forma escalonada por filas, pero no est´a en forma escalonada reducida por filas, a´ un cuando todos los pivotes son iguales a 1. D est´a en forma escalonada reducida por filas. Definici´ on 12. Una transformaci´ on u operaci´ on elemental sobre las filas de la matriz A puede ser: 1. Intercambiar la posici´on de dos filas: Fi ↔ Fj . 2. Multiplicar todos los elementos de una fila por un escalar λ no nulo: Fi ← λFi . 3. Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar cualquiera: Fi ← Fi + µ · Fj . Dada una matriz A, pretendemos transformar A en una matriz escalonada reducida por filas empleando un n´ umero finito de operaciones elementales de filas. Definici´ on 13. Diremos que dos matrices A, B ∈ Mm×n (K) son equivalentes por filas, y escribiremos A ∼ B, si A = B, o bien se puede ir desde A hasta B aplicando un n´ umero finito de operaciones elementales por filas. Es inmediato comprobar que la relaci´on binaria ∼ definida sobre Mm×n (K) es una relaci´on de equivalencia. Proposici´ on 14. Si A, B ∈ Mm×n (K) son ambas matrices escalonadas reducidas por filas y A ∼ B, entonces A = B. Esta proposici´on se puede demostrar por inducci´on sobre n. Corolario 15. Toda matriz A ∈ Mm×n (K) es equivalente por filas a una u ´nica matriz H ∈ Mm×n (K) escalonada reducida por filas, la cual se denomina la forma normal de Hermite (por filas) de A.

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Obs´ervese que una vez que hemos calculado una matriz B en forma escalonada por filas para una matriz A, el n´ umero de filas no nulas que aparecen en la forma normal de Hermite de A sigue siendo el mismo que el que aparece en B. Definici´ on 16. El rango por filas, o simplemente, rango de la matriz A es el n´ umero de filas no nulas que aparecen en cualquier matriz escalonada por filas que sea equivalente por filas con la matriz A. Ilustramos el c´alculo de la forma normal de Hermite con algunos ejemplos. Ejemplo 17. Calc´ ulese la forma normal de Hermite por filas de la matriz   3 −2 1 −2 0 A =  −1 −3 1 −1 −4  ∈ M3×5 (Q). −4 0 4 −1 5 Aplicando las operaciones de filas indicadas obtenemos

A

   F2 ←F2 −3F1 1 3 −1 1 4 1 3 −1 1 4 F ←F +4F  3 −2 1 −2 0  3 ∼3 1  0 −11 4 −5 −12  −4 0 4 −1 5 0 12 0 3 21     1 3 −1 1 4 1 3 −1 1 4 F ←F3 +11F2  0  0 1 1 4 −2 9  3 ∼ 4 −2 9  , 0 −11 4 −5 −12 0 0 48 −27 87

F1 ↔F2 F1 ←(−1)F1

∼

F3 ←F3 +F2 F2 ↔F3

∼



de lo cual deducimos que el rango de A vale 3. Por u ´ltimo, para obtener la forma escalonada reducida por filas, aplicamos en primer 1 lugar la operaci´on elemental F3 ← 48 F3 y obtenemos   1 3 −1 1 4  0 1 4 −2 9  . 87 0 0 1 −27 48 48 Una vez que todos los pivotes son 1, aplicamos las operaciones     F1 ←F1 +13F3 1 0 −13 7 −23 1 0 0 −5/16 9/16 F1 ←F1 −3F2 F ←F −4F  0 1 4 −2 9  2 ∼2 3  0 1 0 1/4 7/4  , ∼ −27 87 0 0 1 −27/48 87/48 0 0 1 48 48 obteniendo la forma normal de Hermite de la matriz dada. Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, el c´alculo de la forma escalonada reducida se hace engorroso al tener que trabajar con fracciones. Hay que decir que en la mayor´ıa de nuestras aplicaciones tan s´olo requeriremos el c´alculo de una forma escalonada (no necesariamente reducida) equivalente a la matriz inicial.

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Ejemplo 18. Calc´ ulese la forma escalonada reducida por filas de la matriz   6 2 1 4 A =  5 3 1 3  ∈ M3×4 (Z7 ). 4 6 3 5 El elemento a1,1 lo escribimos como −1 facilit´andose los c´alculos con ello, pues en Z7 se verifica que 6 = −1. Otra posibilidad ser´ıa multiplicar la primera fila por 6 (ya que 6−1 = 6 en Z7 ), obteniendo un pivote de valor 1 con el que siempre es m´as f´acil trabajar. Aplicando las operaciones de filas indicadas obtenemos       F2 ←F2 +5F1 −1 2 1 4 −1 2 1 4 −1 0 −1 1  5 3 1 3  F3 ←F∼3 +4F1  0 −1 6 2  F1 ←F∼1 +2F2  0 −1 6 2 . 4 6 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 Multiplicando ambas filas por −1 resulta  1  0 0

la forma normal de Hermite por filas:  0 1 6 1 1 5  0 0 0

En los cap´ıtulos siguientes utilizaremos las matrices para resolver problemas relacionados con espacios vectoriales. De manera similar a como hemos hecho para las filas, se pueden definir referido a las columnas de una matriz los conceptos de matriz escalonada, forma normal de Hermite y rango. 5.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Recordemos que K representa un cuerpo. Definici´ on 19. Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ ognitas es un sistema de ecuaciones de la forma   a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1 .. ... ... ... .  ... am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm donde los elementos ai,j y bi de K se llaman coeficientes y t´ erminos independientes, respectivamente, y los elementos xj , cuyos posibles valores se suponen en K, se llaman inc´ ognitas. Definici´ on 20. Se llama soluci´ on del sistema, a toda n-tupla (α1 , . . . , αn ) de elementos de K que satisface simult´aneamente las m ecuaciones del sistema. Definici´ on 21. Resolver el sistema, es determinar el conjunto (el cual puede ser vac´ıo) formado por todas las soluciones del sistema.

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Las matrices  a1,1 . A =  .. am,1

a1,2 .. . am,2

... .. .

 a1,n ..  ∈ Mm×n (K), . . . . am,n

 b1 B =  ...  ∈ Mm×1 (K), bm 

se denominan matriz de los coeficientes y matriz de los t´ erminos independientes, respectivamente. Las matrices     a1,1 a1,2 . . . a1,n b1 x1 .. .. .. ..  ∈ M (A|B) =  ... X =  ...  m×(n+1) (K), . . . . am,1 am,2 . . . am,n bm xn se denominan matriz ampliada y matriz de las inc´ ognitas, respectivamente. Con la notaci´on anterior es posible expresar el sistema de la forma A · X = B, que se denomina la expresi´on matricial del sistema. Definici´ on 22. Un sistema se dice incompatible si no tiene ninguna soluci´on, y se dice compatible si tiene al menos una soluci´on. Los sistemas compatibles pueden tener una o varias soluciones. Definici´ on 23. Un sistema se dice compatible determinado, y escribimos S.C.D., si tiene una u ´nica soluci´on, y se dice compatible indeterminado, y escribimos S.C.I., si tiene m´as de una soluci´on. Definici´ on 24. Dos sistemas de ecuaciones lineales sobre las mismas inc´ognitas se dicen equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones. Vemos a continuaci´on que las operaciones elementales sobre las filas de una matriz nos permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales. Proposici´ on 25. Dado un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es (A|B), si realizamos operaciones elementales sobre las filas de dicha matriz y obtenemos otra matriz (A0 |B 0 ), entonces el sistema correspondiente a esta nueva matriz es equivalente al sistema inicial. Obs´ervese que como consecuencia de la propiedad anterior, dos sistemas de ecuaciones lineales sobre las mismas inc´ognitas, son equivalentes si y s´olo si sus matrices ampliadas son equivalentes, es decir, tienen la misma forma normal de Hermite. Supongamos un sistema S de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es (A|B) y tras aplicarle ciertas operaciones elementales de fila obtenemos una matriz escalonada (A0 |B 0 ) que representa a un sistema S 0 . Denominamos inc´ ognitas principales de S a aquellas 0 que corresponden a los pivotes de la matriz A . Las restantes inc´ognitas se denominan secundarias o par´ ametros. Si rg(A0 ) < rg(A0 |B 0 ), entonces en S 0 existir´a una ecuaci´on de la forma 0x1 + · · · + 0xn = b, con b 6= 0, la cual es incompatible. Por tanto

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S tambi´en ser´a un sistema incompatible. Por el contrario, si rg(A0 ) = rg(A0 |B 0 ), tendremos un sistema compatible pues en cada ecuaci´on de S 0 basta pasar al miembro de la derecha aquellos t´erminos en los que aparece una inc´ognita secundaria. Para cada valor que le asignemos a cada uno de los par´ametros, el hecho de que A0 est´e en forma escalonada, nos proporciona un u ´nico valor para cada inc´ognita principal. Por tanto, 0 0 0 cuando rg(A ) = rg(A |B ) tenemos un sistema compatible. En dicho caso, el sistema ser´a compatible determinado si y s´olo si no existen inc´ognitas secundarias, lo cual equivale a que rg(A0 ) = rg(A0 |B 0 ) = n´ umero de columnas de A0 . Puesto que rg(A) = rg(A0 ) y 0 0 rg(A|B) = rg(A |B ), obtenemos el resultado siguiente. Teorema 26. (Teorema de Rouch´ e-Frobenius) El sistema AX = B es compatible si y s´ olo si se verifica que rg(A) = rg(A|B). El sistema AX = B es compatible determinado si y s´ olo si se verifica que rg(A) = rg(A|B) = n´ umero de inc´ognitas. Este tipo de m´etodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se denominan m´ etodos de eliminaci´ on iterada. Definici´ on 27. Un sistema AX = B se dice homog´ eneo, si la matriz B de los t´erminos independientes est´a formada por ceros. Todo sistema homog´eneo es compatible, pues siempre admite la soluci´on x1 = 0, . . . , xn = 0, que se denomina la soluci´ on trivial. Ejemplo 28. Resu´elvase el siguiente sistema   x + 3y x − 2y  2x − 14y



1  1 2 Como

+ 5z = 1 + 3z = 2 + 2z = 7

(A|B) =    F2 ←F2 −F1 1 3 5 1 1 3 5 1 3 5 1 F ←F −2F F ←F −4F −2 3 2  3 ∼3 1  0 −5 −2 1  3 ∼3 2  0 −5 −2 1  . −14 2 7 0 −20 −8 5 0 0 0 1 rg(A) = 2 6= rg(A|B) = 3, el sistema es incompatible. 



Ejemplo 29. Resu´elvase el siguiente sistema   x + 3y x − 2y  2x − 14y



en el cuerpo R:



F2 ←F2 −F1 1 3 5 1 F3 ←F3 −2F1  1 −2 3 2  ∼ 2 −14 2 6

en el cuerpo R: + 5z = 1 + 3z = 2 + 2z = 6

(A|B) =    1 3 5 1 1 3 5 1  0 −5 −2 1  F3 ←F∼3 −4F2  0 −5 −2 1  . 0 −20 −8 4 0 0 0 0 

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Como rg(A) = 2 = rg(A|B), entonces el sistema es compatible. Adem´as, al ser rg(A) = rg(A|B) = 2 < 3 = n´ umero de inc´ognitas, el sistema es compatible indeterminado (S.C.I.). Por tanto x1 , x2 son las inc´ognitas principales, mientras que x3 es la u ´nica inc´ognita secundaria.  x + 3y = 1 − 5z − 5y = 1 + 2z Llamando z = λ (par´ametro), obtenemos las expresiones param´etricas   x = 85 − 19λ  5    y = −1 − 2λ 5 5      z= λ que representan a todas las soluciones del sistema.

6.

Matrices invertibles o regulares

Definici´ on 30. Una matriz cuadrada A ∈ Mm (K) se dice regular, si existe otra matriz B ∈ Mm (K) tal que A · B = Im = B · A. La matriz B, caso de existir, es u ´nica y recibe el nombre de la matriz inversa de A, y se denota por A−1 . Las matrices regulares tambi´en se denominan matrices invertibles o no singulares. Las matrices cuadradas no regulares se llaman matrices singulares. El conjunto formado por todas las matrices regulares que pertenecen al anillo Mm (K) es un grupo con respecto al producto, se representa por GLm (K) y se denomina el grupo lineal general. Claramente, si A, B ∈ GLm (K), entonces A · B ∈ GLm (K) y (A · B)−1 = B −1 · A−1 . Nos proponemos ahora ver c´ omo se pueden utilizar las operaciones elementales de filas para saber cu´ ando una matriz cuadrada es regular, y en caso afirmativo calcular su inversa. Una matriz elemental de orden m es aquella que se obtiene aplicando a la matriz identidad Im una operaci´on elemental de filas. Ya que hay tres tipos de operaciones elementales por filas, tenemos tres tipos de matrices elementales. Por ejemplo, las matrices       1 0 0 0 0 1 1 0 0  0 5 0 ,  0 1 0  y  0 1 0  7 0 1 1 0 0 0 0 1 son matrices elementales, correspondiendo ´estas a las operaciones elementales de filas F2 ← 5F2 , F3 ← F3 + 7F1 y F1 ↔ F3 , respectivamente.

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Si E es una matriz elemental de orden m que representa una operaci´on elemental Θ, entonces es lo mismo aplicar la operaci´on Θ a una matriz A ∈ Mm×n (K) que calcular E · A. Como consecuencia de lo anterior, si las matrices A y B son equivalentes por filas, entonces existen matrices elementales E1 , E2 , . . . , Er−1 , Er de orden m tales que B = Er Er−1 · · · E2 E1 A. Observamos adem´as que toda matriz elemental es una matriz regular (¿por qu´e?). Por u ´ltimo recordemos que en un grupo, si b · a = 1 entonces a = b−1 y b = a−1 . Proposici´ on 31. Para una matriz A ∈ Mm (K), son equivalentes: 1. 2. 3. 4.

A es regular, rg(A) = m, La forma de Hermite por filas de A es Im , A se puede escribir como producto de matrices elementales.

Demostraci´on. Sea H la forma normal de Hermite por filas de A, y sean E1 , E2 , . . . , Er−1 , Er matrices elementales de orden m tales que H = Er Er−1 · · · E2 E1 A. (1) ⇒ (2) Supongamos que A es regular. Obs´ervese que Er Er−1 · · · E2 E1 A es entonces una matriz regular por ser producto de matrices regulares. Si rg(A) < m, entonces la igualdad H = Er Er−1 · · · E2 E1 A nos dir´ıa que una matriz regular tiene al menos una fila formada ´ıntegramente por ceros, lo que es imposible. (2) ⇒ (3) Es evidente. (3) ⇒ (4) Si Im = H = Er Er−1 · · · E2 E1 A, entonces A = (Er Er−1 · · · E2 E1 )−1 = −1 E1−1 E2−1 · · · Er−1 Er−1 , que es un producto de matrices elementales. (4) ⇒ (1) Es inmediato puesto que cada matriz elemental es regular.  Recalcamos el siguiente hecho que est´a inclu´ıdo en la demostraci´on de la propiedad anterior: “Si tras aplicar determinadas operaciones elementales de filas a la matriz A resulta que Er Er−1 · · · E2 E1 A = Im , en tal caso podemos concluir que A−1 = Er Er−1 · · · E2 E1 .” De este modo obtenemos el siguiente m´etodo basado en operaciones elementales de fila para calcular la inversa de una matriz regular A. Partimos de la matriz ampliada (A|Im ) y aplicamos a la matriz de la derecha (inicialmente Im ) las mismas operaciones elementales de fila que vayamos aplicando a la matriz A. Cuando alcanzamos la forma normal de Hermite para A, si la matriz ampliada es (Im |B) entonces B = A−1 . Caso de que la matriz que aparece a la izquierda no sea Im , entonces A no ser´a regular, y por tanto no existir´a A−1 . Ejemplo 32. Estudiese si la matriz siguiente con coeficientes en R es regular, y en caso afirmativo calc´ ulese su matriz inversa:   1 2 A= . 3 5

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Aplicando el m´etodo anterior, resulta    1 2 1 0 F2 ←F2 −3F1 1 2 ∼ 3 5 0 1 0 −1  F2 ←(−1)F2 1 ∼ 0 Por tanto rg(A) = 2, A es regular y  −1 A =

1 0 −3 1



F1 ←F1 +2F2

∼

0 −5 2 1 3 −1 −5 2 3 −1



1 0 −5 2 0 −1 −3 1



 .

 .

Para cerrar esta secci´on, comentaremos que el rango de una matriz, que lo hemos definido a partir de operaciones de filas, se podr´ıa haber definido a partir de operaciones de columnas, o bien simultaneamente permitiendo ambas. Se puede demostrar que independientemente de la forma de definirlo, el valor obtenido es el mismo. Por tanto si A ∈ Mm×n (K), se verifica que rg(A) = rg(At ).

7.

Determinante de una matriz cuadrada.

Se define la funci´ on determinante como una aplicaci´on det : Mn (K) −→ K que asigna a cada matriz A el valor num´erico de la expresi´on siguiente X sgn(σ) · a1,σ(1) · · · an,σ(n) σ∈Sn

donde Sn es el grupo sim´etrico de grado n, y para toda σ ∈ Sn , sgn(σ) = 1 ´o −1, seg´ un σ sea una permutaci´on par ´o impar. Dada una matriz A = (ai,j ) ∈ Mn (K), representaremos el determinante de A indistintamente por det(A) o bien por |A|. Obs´ervese que el determinante de una matriz cuadrada A se obtiene como la suma de todos los productos (afectados de un signo) de n elementos de A tomados de filas y de columnas distintas. Ejemplos 33. (Casos particulares) Cuando n = 1, si A = (a) entonces |A| = a. Cuando n = 2, si   a b A= , det(A) = a · d − b · c c d pues S2 = {1, α = (1, 2)} y sgn(1) = 1, sgn(α) = −1. Cuando n = 3, si   a b c A =  d e f  , det(A) = aei + bf g + dhc − ceg − bdi − f ha g h i

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identidad que se conoce como la regla de Sarrus. El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos que aparecen en su diagonal principal. La justificaci´on de esta propiedad utilizando la f´ormula anterior es simple, ya que en una matriz triangular de orden n, al elegir n elementos que est´en situados en filas distintas y en columnas distintas y que no sean los n que constituyen la diagonal principal, siempre al menos uno de ellos ser´a igual a cero. Para los n elementos de la diagonal principal, σ es la permutaci´on identidad, de donde sgn(σ) = 1, con lo cual det(A) se reduce al producto de tales elementos. La f´ormula anterior s´olo tiene inter´es te´orico y no es nada pr´actica para el c´alculo de determinantes pues si n vale por ejemplo 10, tendr´ıamos que calcular 10! = 3,628,800 sumandos (tarea s´olo aconsejable para tardes lluviosas). Veremos propiedades que nos van a permitir calcular determinantes de forma m´as f´acil. Damos antes unas definiciones referidas a filas de una matriz no necesariamente cuadrada y que ser´an generalizadas en el tema siguiente. Definici´ on 34. Una fila F es una combinaci´ on lineal de las filas F1 , F2 , . . . , Fr , si existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λr ∈ K, tales que F = λ1 F1 + λ2 F2 + · · · + λr Fr . Definici´ on 35. Las filas F1 , F2 , . . . , Fr son linealmente dependientes si existen escalares λ1 , λ2 , . . . , λr ∈ K, no todos nulos, tales que λ1 F1 + λ2 F2 + · · · + λr Fr = (0), la fila nula. Definici´ on 36. Las filas F1 , F2 , . . . , Fr se dicen linealmente independientes si no son linealmente dependientes, es decir, para cualesquiera escalares λ1 , λ2 , . . . , λr ∈ K, si λ1 F1 + λ2 F2 + · · · + λr Fr = (0), entonces necesariamente λ1 = λ2 = . . . = λr = 0. Observaci´ on: Las filas no nulas de una matriz en forma escalonada son linealmente independientes. De manera similar se definen estos conceptos para las columnas de una matriz. Proposici´ on 37. La funci´on determinante verifica las siguientes propiedades: 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su matriz traspuesta, es decir, |A| = |At |. Como consecuencia, todas las propiedades para determinantes referidas a filas, son igualmente v´ alidas para columnas. 2. Si se permutan dos filas de A, el determinante cambia de signo. 3. La aplicaci´on determinante es lineal en cada una de sus filas, es decir, a1,1 . . . a1,n a1,1 . . . a1,n .. .. .. .. .. .. . . . . . . y λai,1 . . . λai,n = λ · ai,1 . . . ai,n . . .. .. .. .. .. . . . . . . an,1 . . . an,n an,1 . . . an,n

15

a1,1 ... a1,n . . .. .. .. . xi,1 + yi,1 . . . xi,n + yi,n .. .. .. . . . an,1 ... an,n

a1,1 . . . a1,n .. .. .. . . . = xi,1 . . . xi,n . .. .. .. . . an,1 . . . an,n

a1,1 . . . a1,n .. .. .. . . . + yi,1 . . . yi,n . .. .. .. . . an,1 . . . an,n

.

4. El determinante de A es nulo si y s´ olo si sus filas son linealmente dependientes. En particular: a) Si hay dos filas proporcionales, entonces |A| = 0. b) Si alguna fila es nula, entonces |A| = 0. c) Si alguna fila es combinaci´ on lineal de otras, entonces |A| = 0. d ) Si a una fila se le suma una combinaci´ on lineal de otras, el determinante de la matriz as´ı obtenida no cambia de valor. 5. Si A, B ∈ Mn (K), entonces det(A · B) = det(A) · det(B). Demostraci´on. Supongamos que A = (aij ), B = (bjk ) y C = A · B = (cik ). Representamos la fila j-´esima de B por Bj y la fila i-´esima de C por Ci . Obs´ervese que Ci se obtiene como combinaci´on lineal de lasP filas de B usando como escalares los elementos ai1 , . . . , ain de A, con lo cual Ci = nj=1 aij Bj . Usando ´esto obtenemos   Pn   a B C1 1j j j=1   .. det(A · B) = det(C) = det  ...  = det  . Pn . Cn j=1 anj Bj Ahora aplicando las propiedades de linealidad obtenemos una suma de nn determinantes, de los cuales decartamos aquellos en los que aparezcan filas proporcionales. Por tanto s´olo dejamos aquellos en los que aparecen exactamente las filas B1 , . . . , Bn , con lo cual   B1 X
det(A · B) = sgn(σ) · a1,σ(1) · · · an,σ(n) · det  ...  = σ∈Sn Bn   ! B1 X sgn(σ) · a1,σ(1) · · · an,σ(n) · det  ...  = det(A) · det(B). σ∈Sn Bn  Es f´acil encontrar ejemplos de matrices A, B ∈ M2 (K) para las cuales det(A + B) 6= det(A) + det(B). Definici´ on 38. Dada una matriz A = (ai,j ) ∈ Mn (K), denotaremos por Ai,j a la submatriz cuadrada de orden n − 1 que se obtiene al suprimir la fila i-´esima y la columna j-´esima

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de A. El determinante de Ai,j se llama el menor complementario del elemento ai,j de A. Definimos el adjunto de ai,j , denotado por αi,j , como (−1)i+j · |Ai,j |. Se llama matriz adjunta de A a la matriz A = (αi,j ), es decir, la matriz cuadrada de orden n cuyos elementos son los adjuntos correspondientes de los elementos de A. Ejemplo 39. Dada la matriz 

 2 4 3 1 0  ∈ M3 (Q), A =  −1 7 −8 5 su matriz adjunta es 

 5 5 1 A =  −44 −11 44  . −3 −3 6 Como veremos en las siguientes propiedades, los adjuntos de una matriz se pueden utilizar para el c´alculo del determinante de la misma. Proposici´ on 40. (Desarrollo de Laplace para el determinante de una matriz) Sea A = (ai,j ) ∈ Mn (K). Entonces det(A) =

n X

ai,j · αi,j .

i=1

´ Este es el desarrollo de Laplace del determinante de A por los elementos de la columna j-´esima. Tambi´en: n X det(A) = ai,j · αi,j . j=1

´ Este es el desarrollo de Laplace del determinante de A por los elementos de la fila i-´esima. Esta proposici´on, junto con las propiedades ya vistas para los determinantes, nos da un m´etodo pr´actico para el c´alculo de los mismos. Se elige un elemento de la matriz como pivote, se hace el mayor n´ umero de ceros en su fila o columna mediante operaciones de columna o fila, y a continuaci´on se aplica uno de los desarrollos de Laplace. Ejemplo 41. Dada la matriz 

 3 5 −1 2  −1 10 2 3   ∈ M4 (Q), A=  7 −15 5 1  4 75 2 −4

calc´ ulese det(A).

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Observamos que la segunda columna es m´ ultiplo de 5, luego 3 3 5 −1 2 1 −1 2 −1 10 2 3 2 2 3 −1 det(A) = = 5 · 7 −3 7 −15 5 1 5 1 4 4 15 75 2 −4 2 −4

.

Elegimos como pivote el elemento a1,2 y hacemos ceros en la primera fila mediante las operaciones elementales de columna siguientes: C1 ← C1 − 3C2 ,

C3 ← C3 + C2 ,

C4 ← C4 − 2C2 .

0 1 0 0 −7 2 4 −1 det(A) = 5 · 7 16 −3 2 −41 15 17 −34

.

Desarrollando el determinante por la primera fila, −7 4 −1 1+2 7 det(A) = 5 · (−1) 16 2 −41 17 −34

.

Ahora podr´ıamos seguir reduciendo con respecto de un pivote, o aplicar ya directamente la regla de Sarrus. De cualquiera de las dos formas, det(A) = −9915. Ejemplo 42. Calc´ ulese el siguiente determinante x a b a x b ∆ = a b x a b c

sobre R: c c . c x

Observamos que en cada fila aparecen x, a, b, c una s´ola vez. Por tanto reemplazamos la primera columna por ella m´as la suma de todas las dem´as columnas, y a continuaci´on hacemos uso de la linealidad, obteniendo ∆ =

x+a+b+c x+a+b+c x+a+b+c x+a+b+c

a x b b

b b x c

c c c x

= (x + a + b + c) ·

1 1 1 1

a x b b

b b x c

c c c x

.

A continuaci´on a cada fila le restamos la primera, y despu´es aplicamos la f´ormula de Laplace, resultando una matriz triangular cuyo determinate es inmediato.

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∆ = (x + a + b + c) ·

1 a b c 0 x−a 0 0 0 b−a x−b 0 0 b−a c−b x−c

x−a 0 0 = (x + a + b + c) · b − a x − b 0 b−a c−b x−c

=

(x + a + b + c) · (x − a) · (x − b) · (x − c). Ahora vamos a ver una propiedad que nos permite saber mediante el uso de determinantes cu´ando una matriz cuadrada es regular. En dicho caso, adem´as nos permitir´a calcular su matriz inversa. Proposici´ on 43. Para toda matriz A ∈ Mn (K), se verifica que t

t

A · A = A · A = det(A) · In . La justificaci´on de esta propiedad est´a en la Proposici´on 40. Como consecuencia, obtenemos la siguiente forma alternativa para calcular la inversa de una matriz regular. Proposici´ on 44. Una matriz cuadrada A es regular, si y s´ olo si |A| = 6 0, en cuyo caso 1 t A. A−1 = |A| Ejemplo 45. Dada la matriz 

 2 4 3 1 0  ∈ M3 (Q), A =  −1 7 −8 5 estudiamos si es regular, y en caso afirmativo calculamos su inversa. Como det(A) = 33 6= 0, entonces A es una matriz regular (obs´ervese que si la matriz A estuviera definida en el cuerpo Z3 o Z11 , entonces no ser´ıa regular). Puesto que la matriz adjunta de A es   5 5 1 A =  −44 −11 44  , −3 −3 6 obtenemos que t   5 5 1 5 −44 −3 1  1  −44 −11 44  = 5 −11 −3  . = · · 33 33 −3 −3 6 1 44 6 

A−1

Finalmente, veamos c´omo se pueden utilizar los determinantes para el c´alculo del rango de una matriz. Proposici´ on 46. El rango de una matriz (no necesariamente cuadrada) es el mayor de los ´ ordenes de sus submatrices cuadradas regulares.

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La idea para demostrar esta propiedad es observar que si rg(A) = r, entonces la forma normal de Hermite para A contiene una submatriz cuadrada regular de orden r; concretamente aquella que contiene a los pivotes, siendo cualquier submatriz cuadrada de orden mayor o igual que r + 1 singular ya que siempre contendr´a una fila de ceros. Ejemplo 47. Calc´ ulese el rango de la matriz siguiente en R, usando la proposici´on anterior:   1 2 −1 4  1 2 −1 5  2 4 2 7 Al ser las dos primeras columnas proporcionales, calculamos 1 −1 4 1 −1 5 = −4 6= 0, 2 2 7 con lo cual rg(A) = 3. Ejemplo 48. Calc´ ulese el rango de la matriz siguiente sobre Q:   3 2 1 0 2  −3 −2 2 −1 −5   A=  3 2 4 −1 −1  4 1 −1 2 5 En primer lugar obtenemos el rango de A aplicando operaciones elementales de filas:   1 2 −2 −3 −1 1 2 F1 ←F1 −F4 F3 ←F3 +3F1   0 6 −2 −6  F4 ←F4 +4F1  0 0 6 F ←F +F A 2 ∼2 3 ∼  0 5 10 2 4 −1 −1  1 −1 2 5 0 5 7   −1 1 2 −2 −3 F2 ←(1/2)F2 3 −1 −3  F4 ←F4 −F3    0 0 ∼  0 5 10 −7 −10  , 0 0 −3 1 3 de donde deducimos que rg(A) = 3. Ahora obtenemos la misma conclusi´on usando determinantes. Partimos de la submatriz   2 1 B= −2 2 cuyo determinante es 6. Obs´ervese que si ampliamos B a la submatriz   3 2 1  −3 −2 2  , 3 2 4 

−1  0   3 4

 −2 −3 −2 −6   −7 −10  −6 −7

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´esta no es regular, pues sus dos primeras columnas son proporcionales. Ampliamos B usando la cuarta fila y obtenemos:   3 2 1 2 , C =  −3 −2 4 1 −1 cuyo determinate vale 15. Por tanto, rg(A) ≥ 3. Adem´as deducimos que: Las columnas de A 1,2 y 3 son linealmente independientes. Las filas de A 1,2 y 4 son linealmente independientes. Vemos ahora si C se puede o no ampliar a una submatriz regular de orden 4. Calculamos el determinante 3 2 1 0 −3 −2 2 −1 ∆= . 2 4 −1 3 4 1 −1 2 Usamos el elemento a2,4 como pivote y aplicando las operaciones de fila F3 ← F3 −F2 , F4 ← F4 + 2F2 , resulta 3 2 1 0 3 2 1 −3 −2 2 −1 2+4 = (−1) · (−1) 4 2 = 0, ∆ = · 6 4 2 0 6 −2 −3 3 −2 −3 3 0 pues F1 y F2 son proporcionales. Deducimos que la cuarta columna de A es combinaci´on lineal de las tres primeras. Ahora ampliamos C con la quinta columna y calculamos el determinante 3 2 1 2 −3 −2 2 −5 . ∆ = 2 4 −1 3 4 1 −1 5 Elegimos como pivote el elemento a4,2 y aplicamos las siguientes operaciones de columna: C3 ← C3 + C2 , C1 ← C1 − 4C2 , C4 ← C4 − 5C2 . Obtenemos −5 2 3 −8 5 −2 0 5 . ∆ = 2 6 −11 −5 0 1 0 0 Aplicando el desarrollo de Laplace resulta un determinante cuyo valor es cero. Por consiguiente podemos afirmar que rg(A) = 3, las columnas 4 y 5 son combinaci´on lineal de las columnas 1,2 y 3, y adem´as la fila 3 es combinaci´on lineal de las filas 1,2 y 4.

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8.

´ n de sistemas de ecuaciones La regla de Cramer para la resolucio lineales.

Definici´ on 49. Un sistema de ecuaciones lineales escrito en forma matricial como A·X = B, donde A ∈ Mm×n (K), se dice que es de Cramer si: 1. tiene igual n´ umero de ecuaciones que de inc´ognitas, es decir m = n, y 2. la matriz A de los coeficientes es regular, es decir, rg(A) = n. Por consiguiente un sistema de Cramer verifica que rg(A) = rg(A|B) = n, con lo cual todo sistema de Cramer es compatible determinado. Proposici´ on 50. (F´ ormula de Cramer.) Dado un sistema A · X = B de Cramer, con rg(A) = n, su u ´nica soluci´on viene dada por |Mi | xi = , para i = 1, . . . , n, |A| donde Mi es la matriz que se obtiene a partir de A reemplazando la columna i-´esima por la matriz B de los t´erminos independientes. Esta propiedad es consecuencia de las Proposiciones 40 y 44. En efecto, si el sistema es de t 1 Cramer, tenemos que A es una matriz regular y por tanto X = A−1 ·B. Como A−1 = |A| A, 1 obtenemos que xi = |A| (b1 · α1,i + · · · + bn · αn,i ). Finalmente, obs´ervese que el numerador de dicha expresi´on es el desarrollo de Laplace sobre la columna i-´esima para el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando la columna i-´esima de A por la matriz columna B. Ejemplo 51. Resu´elvase el siguiente sistema en R: 2x + 3y = 5 −x + 2y = 6

 .

Puesto que 2 3 −1 2 = 7 6= 0, el sistema es de Cramer (Obs´ervese que si el cuerpo fuera Z7 , el sistema no ser´ıa de Cramer). La u ´nica soluci´on del sistema viene dada por 1 5 3 −8 1 2 5 17 x= = , y= = . 7 6 2 7 7 −1 6 7