División de Polinomios

Ejercicios de división de polinomios

www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel [email protected]

c 2007-2008 MathCon ⃝

Contenido

1. Introducción

2

2. División de monomios

3

3. División de un polinomio por un monomio

5

4. División de un polinomio por un polinomio

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Introducción Uno de los temas más complicados es la división de polinomios, principalmente porque las operaciones no son muy frecuentes en muchos cursos. De hecho la división no es más que una multiplicación por un inversos multiplicativos. Otras de las propiedades usadas en la división se listan a continuación: 1. Ley de los signos: a) + entre + da + b) − entre + da − c) + entre − da − d) − entre − da + 2. Ley de los exponentes: a) Al dividir potencias con la misma base, las potencias se restan: an = an−m am Haremos uso también de la siguiente notación: 1. Un monomio es un término como ax, donde a representa una constante y se llama coeficiente y x representa una variable y se llama indeterminada. 2. Un binomio tiene la forma de la suma de dos monomios: por ejemplo ax + bx2 . 3. Polinomio se usa para denotar a la suma de más de dos monomios, por ejemplo ax + bx2 + cx3 .

1

División de monomios 1. −a2 b entre −ab Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: −a2 b −ab

=

+a2−1 b1−1

= a1 b0 = a·1 = a Paso 2 Por lo tanto

−a2 b =a −ab

2. 16m6 n4 entre −5n3 Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: 16m6 n4 −5n3

= = =

Paso 2 Por lo tanto

16 6 4−5 m n 5 16 − m6 n−1 5 16m6 − 5n

−

16m6 n4 16m6 = − −5n3 5n

3. am+3 entre am+2 Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: am+3 am+2

= am+3−(m+2) = am+3−m−2) = a

2

2. División de monomios

4

Paso 2 Por lo tanto

am+3 =a am+2

1 3

4. 3m4 n5 p6 entre − m4 np5 Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: 3m4 n5 p6 1 − m4 np5 3

3 = − m4−4 n5−1 p6−5 1 3 = −9m0 n4 p1 = −9n4 p

Paso 2 Por lo tanto

5. −

3m4 n5 p6 = −9n4 p 1 4 5 − m np 3

1 x−3 m+5 2 3 a b c entre ax−4 bm−1 15 5

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: −

1 x−3 m+5 2 a b c 15 3 x−4 m−1 a b 5

Paso 2 Por lo tanto −

1 15 = − ax−3−(x−4) bm+5−(m−1) c2 3 5 1 1 4 2 = − a b c 9 1 = − ab4 c2 9

1 x−3 m+5 2 a b c 1 15 = − ab4 c2 3 x−4 m−1 9 a b 5

Algunos errores comúnmente hechos:

Observación 1 Multiplicar (−a)(bc) no es igual a (−ab)(−ac).

División de un polinomio por un monomio

3

Observación 2 En la división de un polinomio por un monomio se hace uso de la ley distributiva a(b + c) = ab + ac.

1. 4x8 − 10x6 − 5x4 entre 2x3 Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: 4x8 − 10x6 − 5x4 2x3

Paso 2 Por lo tanto

4x8 10x6 5x4 − − 3 3 3 2x 2x 2x 5 8−3 6−3 = 2x − 5x − x4−3 2 5 = 2x5 − 5x3 − x1 2 5 = 2x5 − 5x3 − x 2 =

4x8 − 10x6 − 5x4 5 = 2x5 − 5x3 − x 3 2x 2

2. 4ax+4 bm−1 − 6ax+3 bm−2 + 8ax+2 bm−3 entre −2ax+2 bm−4 Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: 4ax+4 bm−1 − 6ax+3 bm−2 + 8ax+2 bm−3 −2ax+2 bm−4

4ax+4 bm−1 6ax+3 bm−2 8ax+2 bm−3 − + −2ax+2 bm−4 −2ax+2 bm−4 −2ax+2 bm−4 x+4−(x+2) m−1−(m−4) = −2a b x+3−(x+2) m−2−(m−4) +3a b =

−4ax+2−(x+2) bm−3−(m−4) = −2a2 b3 + 3a1 b2 − 4a0 b1 = −2a2 b3 + 3ab2 − 4b

3. División de un polinomio por un monomio

6

Paso 2 Por lo tanto 4ax+4 bm−1 − 6ax+3 bm−2 + 8ax+2 bm−3 = −2a2 b3 + 3ab2 − 4b −2ax+2 bm−4

3 4

3. − an−1 xm+2 +

1 n m+1 2 n+1 m 2 a x − a x entre − a3 x2 8 3 5

Paso 1 Usando la ley de signos, y la ley de los exponentes (a0 = 1), obtenemos: 1 2 3 − an−1 xm+2 + an xm+1 − an+1 xm 4 8 3 2 3 2 − a x 5

3 1 n m+1 2 a x − an−1 xm+2 − an+1 xm 4 8 = + + 3 2 3 2 2 3 2 2 − a x − a x − a3 x2 5 5 5 15 n−1−(3) m+2−(2) = a x 8 5 − an−(3) xm+1−(2) 16 10 + an+1−(3) xm−(2) 6 15 n−4 m 5 10 = a x − an−3 xm−1 + an−2 xm−2 8 16 6

Paso 2 Por lo tanto 3 1 2 − an−1 xm+2 + an xm+1 − an+1 xm 15 n−4 m 5 10 4 8 3 = a x − an−3 xm−1 + an−2 xm−2 2 3 2 8 16 6 − a x 5

División de un polinomio por un polinomio

Observación 3 En una división de polinomios que tiene la forma: g

√h f r

f es llamado dividendo, g el divisor, h el cociente y r el residuo. Siempre obtendremos que: f =g·h+r

1. a2 + 2a − 3 entre a + 3 a2 Paso 1 Se dividen los primeros términos del dividendo y el divisor = a, el resultado es el primer a término del cociente:

a+3

√a a2 + 2a − 3

Paso 2 Se multiplica a por a + 3, se cambia el signo y se coloca abajo del dividendo:

a+3

√a a2 + 2a − 3 −a2 − 3a

Paso 3 Se realiza la suma.

a+3

√a a2 + 2a − 3 −a2 − 3a 0−a

4

4. División de un polinomio por un polinomio

Paso 4 Se dividen ahora

8

−a = −1, el resultado será el segundo término del cociente: a

a+3

√a − 1 a2 + 2a − 3 −a2 − 3a −a

Paso 5 Se multiplica −1 por a + 3 se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:

a+3

√a − 1 a2 + 2a − 3 −a2 − 3a −a a+3

Paso 6 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

a+3

Paso 7 Por lo tanto

√a − 1 a2 + 2a − 3 −a2 − 3a −a a+3 0

a2 + 2a − 3 =a−1 a+3

2. am4 − am − 2a entre am + a am4 Paso 1 Se dividen los primeros términos del dividendo y el divisor = m3 , el resultado es el am primer término del cociente: 3

am + a

√m am4 − am − 2a

Paso 2 Se multiplica m3 por am + a, se cambia el signo y se coloca abajo del dividendo: 3

am + a

√m am4 − am − 2a −am4 − am3

Paso 3 Se realiza la suma. 3

am + a

√m am4 − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a

4. División de un polinomio por un polinomio

Paso 4 Se dividen ahora

9

−am3 = −m2 , el resultado será el segundo término del cociente: am

am + a

3 2 √m − m 4 am − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a

Paso 5 Se multiplica −m2 por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:

am + a

3 2 √m − m 4 am − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2

Paso 6 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

am + a

Paso 7 Se dividen ahora

3 2 √m − m 4 am − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2 0 + am2 − am − 2a

am2 = m, el resultado será el tercer término del cociente: am

am + a

3 2 √m − m + m am4 − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2 0 + am2 − am − 2a

Paso 8 Se multiplica m por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:

am + a

3 2 √m − m + m 4 am − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2 0 + am2 − am − 2a −am2 − am

Paso 9 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

4. División de un polinomio por un polinomio

am + a

Paso 10 Se dividen ahora

10

3 2 √m − m + m 4 am − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2 0 + am2 − am − 2a −am2 − am 0 − 2am − 2a

−2am = −2, el resultado será el cuarto término del cociente: am

am + a

3 2 √m − m + m − 2 4 am − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2 0 + am2 − am − 2a −am2 − am 0 − 2am − 2a

Paso 11 Se multiplica −2 por am + a, se cambia de signo y se coloca abajo del residuo hasta ahora obtenido:

am + a

3 2 √m − m + m − 2 am4 − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2 0 + am2 − am − 2a −am2 − am 0 − 2am − 2a 2am + 2a

Paso 12 Se suma lo obtenido con los términos correspondientes:

am + a

Paso 7 Por lo tanto

3 2 √m − m + m − 2 am4 − am − 2a −am4 − am3 0 − am3 − am − 2a am3 + am2 0 + am2 − am − 2a −am2 − am 0 − 2am − 2a 2am + 2a 0

am4 − am − 2a = m3 − m2 + m − 2 am + a