Índice: Tema

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Unidad I. Operaciones fundamentales del algebra ----------------------------- 15 1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico -------------------- 15 2. Notación algebraica. -------------------------------------------------------------- 18 3. Valor numérico de una expresión algebraica --------------------------------- 23 4. Leyes de los exponentes enteros positivos. ---------------------------------- 24 5. Suma y restas de polinomios ---------------------------------------------------- 26 6. Multiplicaciones de monomios ---------------------------------------------------30 7. Multiplicaciones de polinomios por polinomios. --------------------------- 33 8. División de monomios. ------- ---------------------------------------------------- 36 9. División de polinomios por monomios. --------------------------------------- 38 10. Productos notables. --------------------------------------------------------------- 43 11. Factorización de polinomios. --------------------------------------------------- 47 12. Ejercicios. --------------------------------------------------------------------------- 51

Unidad II. Fracciones algebraicas. -----------------------------------------------------53 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Simplificación de fracciones algebraicas. ------------------------------------53 Adicción de fracciones algebraicas. -------------------------------------------58 Mínimo común múltiplo de polinomios. ------- ---------------------------- 61 Fracciones con denominadores distintos. -----------------------------------64 Multiplicación de fracciones. ------------------------------------------68 División de fracciones. ---------------------------------------------------------71 Operaciones combinadas y fracciones complejas. -----------------------73

Unidad III. Exponentes y radicales. ---------------------------------------------------77 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Leyes de los exponentes. ------------------------------------------------------77 Exponentes enteros negativos y cero. --------------------------------------78 Exponentes fraccionarios. -----------------------------------------------------81 Leyes de los radicales. ---------------------------------------------------------85 Adición y sustracción de radicales. -----------------------------------------89 Multiplicación y división de radicales. ---------------------------------------91

Unidad IV. Ecuaciones lineales. -------------------------------------------------------95

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1. 2. 3. 4.

Ecuaciones de primer grado. --------------------------------------------------95 Ecuaciones de primer grado con una incógnita. --------------------------97 Ecuaciones que contienen quebrados. ----- -------------------------------103 Solución de problemas mediante las ecuaciones de primer grado------104

5. Ejercicios.

-----------------------------------------------------------------------108

Unidad V. Sistemas de ecuaciones. --------------------------------------------------110 1. 2. 3. 4.

Resolución de sistemas lineales. ---------------------------------------------110 Resolución de ecuaciones simultáneas con más de dos incógnitas. ----117 Resolución de ecuaciones simultáneas por determinantes. ----------118 Problemas que dan lugar a un sistema de ecuaciones con dos o más incógnitas.-----------------------------------------------------------------121 5. Ejercicios. ------------------------------------------------------------------------124

Unidad VI. Ecuaciones cuadráticas. ------------------------------------------------127 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Forma general de la ecuación de segundo grado. ----------------------127 Resolución de las ecuaciones cuadráticas puras. ----------------------128 Resolución de las ecuaciones cuadráticas mixtas incompletas. -----128 Resolución de las ecuaciones cuadráticas completas. ------------------129 Ecuaciones que comprenden radicales de segundo orden. ------------135 Ecuaciones reducibles a una de segundo grado.------------------------- 137 Problemas que implican ecuaciones de segundo grado.----------------138 Ejercicios.----------------------------------------------------------------------- 139

Unidad VII. Inecuaciones. ------------------------------------------------------------- 142 1. 2. 3. 4. 5.

Generalidades sobre desigualdades. -------------------------------------142 Propiedades de las desigualdades. -------------------------------------- 143 Resolución de las inecuaciones. ------------------------------------------ 144 Inecuaciones simultáneas. -------------------------------------------------- 146 Ejercicios. ---------------------------------------------------------------------- 147

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UNIDAD I OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA. 1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico. Notación y terminología algebraica.

Introducción al álgebra. El álgebra es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas. Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética. En el desarrollo del álgebra, el uso de una letra para representar un numero fijo pero desconocido proviene de los griegos; sin embargo, el uso de una o varias letras para representar toda una clase de números no se concibió sino basta finales del siglo XVI. Durante todos los siglos en que los babilonios, egipcios, griegos, hindúes y árabes trabajaron en álgebra, no se les ocurrió la idea de usar letras en lugar de números. Estos pueblos hicieron su álgebra trabajando con expresiones concretas pero no usaron un símbolo como la "x" para la incógnita. LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en: LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales.

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INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas.

VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras tras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ". Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS". De lo anterior hacemos la siguiente observación: VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO: Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo: Sí x = 1

sí x = 2

Y =2(1)

Y = 2(2)

Y=2

sí x = 3 Y = 2(3)

y=4

y=6

CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro.

TRADUCCIÓN DE EXPRESIONES DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE ALGEBRAICO Y VICEVERSA. Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta. Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te clara confianza para iniciar nuestro estudio algebraico. 16

En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender. EJEMPLOS: LENGUAJE ALGEBRAICO: I.-

LENGUAJE COMUN: Tres objetos cualesquiera.

x .y, z.

a+b 2

2.- La semisuma de dos números 3.- La suma de dos veces un numero mas

2n + 3n = 5n

tres veces el mismo numero es igual a cinco veces dicho número. 4.- El cubo de un numero menos el

w³ - 2w

del mismo numero.

m p ÷ n p

5.- El cociente de dos Fracciones comunes

LENGUAJE COMUN:

LENGUAJE ALGEBRAICO:

5n –2n = 3n

Cinco veces un numero restado

dos

veces el mismo numero es igual a tres veces dicho numero. a² + b²

Suma de los cuadrados de dos números. 2πr

EI doble producto de π por r(radio). 2 (u -v)

El doble de la diferencia de dos números.

A = (l)(a)

El área de un rectángulo es igual al producto de su largo par su ancho.

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2. NOTACIÓN ALGEBRAICA. Identificación de los elementos de una expresión algebraica.

En la notación algebraica el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo: EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de

literales y números que conforman una 0 más operaciones algebraicas. EJEMPLOS: X ; 7z² ; 2ª + 5b; √8x;

x2 + a2 ; etc. x+a

En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos. TERMINO ALGEBRAICO.- Es cualesquiera de las partes de uno expresión que consta de

uno o vario símbolos no separados entre si por el signo ( +) o (-). EJEMPLOS: 3x² ; 2mn; u/3; ,√5y³ ; 4x²y; etc. ELEMENTOS DE UN TERMINO.- Los elementos que constituyen un termino son: el

signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Términos POR EL SIGNO.- Los términos que van precedidos del signo ( + ), se de

nominan "POSITIVOS"; los que van precedidos del signo (-), se denominan "Negativos". EJEMPLOS : 8x²y; 2x/3y; 5x; 7uvw } TERMINOS POSITIVOS -6xy²; -3m/n; -ax ; -8mn } TERMINOS NEGATIVOS. Cuando un termino no es afectado por ningún signo, se considera positivo, ya que el signo (+ ) suele no escribirse en términos positivos:

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COEFIClENTE.- Es generalmente el primero de los factores que conforman un termino; el

coeficiente puede ser de dos clases, por ejemplo: COEFICIENTE Numérico.- Es el factor numérico de un termino.

EJEMPLO: "El coeficiente numérico del termino 5ax es 5" COEFICIENTE LITERAL.- Es el factor literal de un termino.

EJEMPLO: "El coeficiente literal del termino mby es m”. Es importante señalar que el coeficiente siempre va acompañado del signo del término. EJEMPLO: " -2by el coeficiente numérico es -2 .. Cuando un termino no tiene coeficiente numérico indicado, se sobreentiende que su coeficiente es la unidad. EJEMPLO: "axy = 1 axy "

Monomios Clases de monomios (términos)

Termino entero es el que no tiene denominador con literal como: 5a, Termino fraccionario es el que tiene denominador literal como: -

4

3

ab,

2 a 5

3a b

Termino radical es el que no tiene radical, como los ejemplos anteriores, e irracional el que

tiene radical, como:

ab ,

3

3b . 2a

Términos homogéneos son los que tienen el mismo grado absoluto. Así,

6x y 2

3

son homogéneos porque ambos son de quinto grado. 19

4 4x y

,y

Términos heterogéneos son los de distinto grado absoluto, como 5a, que es de primer grado, y 3a², que es de segundo grado. Polinomios

Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios. Son polinomios en varias variables:

6x + 7 y 2

3

8 xy − 7 x + y − 3 No son polinomios porque la variable: −2

6x + 7x + 8 9x + 8x +

tiene exponente negativo. tiene un radical.

y

y

2/3

tiene exponente fraccionario.

10xy z

la variable esta en el denominador.

EI polinomio esta constituido por términos

El término es la parte de un polinomio o expresión algebraica separada por los signos mas o menos. Ejemplo

4x² -5xy-√2y² son términos 4 x² ,5 xy, √2 y² E1 termino esta formado par coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores.

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Coeficiente

7

Exponente

x

2

y

Literales Generalmente se considera que el signo del término pertenece al coeficiente, que es el 5 -5x²y³ A cada uno de los elementos del termino se le conoce como "factor".

Clases de polinomios

Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal, por ejemplo: 2x³ + 7x – 8 ,

5x 3

2

+

x 3 + 5 8

Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo: 2a c + −7 b d Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par ejemplo: 2x² + 2xy + y² Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por Ejemplo:

3x + 2 y − 8

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Un polinomio será completo cuando sus términos contienen exponentes sucesivos en relación a una literal, por ejemplo:

x

5

+ 3x − 8x

3

Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último. Ordenar el siguiente polinomio:

− 3 y + 2 x − 7 x y + 18 − 5xy = 2 x − 7 x y − 5 xy − 3 y + 18 2

3

3

2

2

2

Grado de los polinomios

E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las potencias de las variables. Ejemplo:

Grado de un término en una sola variable: 6x³

3er grado.

2x

1er grado.

3³x

1er grado.

-3

grado cero porque -3x°

Grado de un término en varias variables: 72 x³ y³

6to grado

4 x² y³

5to grado

√3 x y²

3er grado

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3. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico. La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la expresión algebraica. ƒ

Si es de primer grado sólo tiene una solución.

ƒ

Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.

ƒ

Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente.

Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores. Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico o comprobamos la igualdad. Encontrar el valor numérico

¿Cuánto vale la siguiente expresión? 2x²- 3y Cuando x = 2 Y y = 4 2(2) ² - 3 (4) = 2(4) – 12 = 8 – 12 = -4

Podemos afirmar que el valor numérico para 2x² - 3y = -4, si sólo si 23

x =2 Y у = 4. Es decir, si el valor numérico de 2x² - 3y = -4, entonces x = 2 Y y = 4, y si x = 2 Y y =4, entonces 2x² - 3y = -4. Debemos saber, sin embargo, que si los valores de x y de y cambian, también cambiará el valor numérico de la expresión algebraica.

4. LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si

mismo; por ejemplo: a5 = (a) (a) (a) (a) (a)

La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es: N n – ésima potencia

a

Exponente (Entero positivo) Base

de a. Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes

enteros y positivos, dichas leyes son: Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término

de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:

n

n

(a ) (a ) = a Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de

la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias divididas”; Es decir:

am m−n =a n a

1 am = an an−m

(Si m > n)

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(Si n>m)

am m−n 0 = a = a =1 n a

(Si m = n)

Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino

de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:

(a ) = a m n

mn

Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente,

su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es decir:

(ab) = a b m

m m

Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del

dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división”; Es decir:

m

am ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = m b ⎝b⎠ a) (u 2 )(u 3 ) = u 2 + 3 = u 5

b)

m4 = m4− 2 = m2 2 m

c) (c 2 )3 = c ( 2 )(3) = c 6 3

23.a 3 8a 3 ⎛ 2a ⎞ d) ⎜ 2 ⎟ = ( 2 )(3) = 6 b b ⎝b ⎠

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5. SUMA Y RESTAS DE POLINOMIOS: SUMA O ADICIONES.- Operación que consiste en reunir dos o mas expresiones

algebraicas de una sola. Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes. EJEMPLOS:

SUMANDO