3. 2. Pendiente de una recta. Definición 3. 3. Y

Se llama Angulo de Inclinación α de una recta L, al que se forma entre el eje X en su dirección positiva y la recta L, cuando esta se considera dirigida hacia arriba (0º ≤ α ≤ 180º).

L

α O

X

Definición 3.4. Se denomina Pendiente de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación α. Se denota por m. Es decir m = tg α. Nota. 3.3. De las propiedades de la función tangente se deduce que: a) Toda recta paralela al eje X (o bien perpendicular al eje Y) tiene pendiente cero, ya que en este caso α = 0º y tg 0º = 0. b) Toda recta perpendicular al eje X (o bien paralela al eje Y) no tiene pendiente, ya que en este caso α = 90º y tg 90º no está definida. Teorema 3.3. Si P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta. y − y1 con P1 = x1 ≠ x2 Entonces la pendiente de L es m L = 2 x 2 − x1 Demostración. Sea α el ángulo de inclinación de la recta L. (ver Fig. 3.5) Y

Como las rectas P1 B y A1 A2 son paralelas entonces ∠ α = ∠ P2 P1 B (ángulos correspondientes).

P2

En el triángulo rectángulo P1 B P2 se tiene:

P1 B

m = tg α =

BP2 P1 B

=

y 2 − y1 ; x1 ≠ x2 x 2 − x1

X

α A1

A2

Nota 3.4. a) El valor de m dado por el teorema 3.3 no está definido para x 1 = x 2; este caso corresponde a una recta paralela al eje Y, de la que se observó anteriormente, no tiene pendiente.

b) El orden en que se toman las coordenadas para calcular la pendiente de una recta no tiene importancia, ya que: y 2 − y1 y − y2 = 1 ; x1 ≠ x2 x 2 − x1 x1 − x 2 Ejemplo 3.5. Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (– 4, – 2) y (– 5, – 3). También hallar el ángulo de inclinación. Solución. m=

−3+ 2 −1 = = 1. −5+4 −1

Además ∠ α = TG -1 (1) = 45º.

Teorema 3.4. m2 − m1 con m2m1 ≠ –1. Donde m1 1 + m2 m1 es la pendiente de la recta Inicial L1 y m2 es la pendiente de la recta Terminal L2, del ángulo θ.

Un ángulo θ formado por dos rectas se determina por tg θ =

Demostración. Y

L2

Por geometría elemental en triángulo ABC se tiene que α2 = α1 + θ (un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos). Luego: θ =α2 – α1, entonces

L1 θ C

tgα 2 − tgα 1 m − m1 = 2 , 1 + tgα 2 tgα 1 1 + m2 m1 m2 m1 ≠ – 1 ya que m2 = tg α2 y m1 = tg α1 tg θ = tg (α2 – α1) =

0

A

α1

α2 B

X

Ejemplo 3.6.

Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por los puntos (– 2, 1) y (9, 7) y la recta final pasa por el punto (3, 9) y el punto A cuya abscisa es – 2. Hallar la ordenada de A. Solución.

6 11 , despejando se tiene: m = 17 . Por ⇒ g θ = tg 45º = 1 = 2 6 5 1 + m2 11 9− y 9− y 9− y 17 m2 = = . Luego, = ⇒ y = – 8. 5 5 5 3 − (−2)

7−3 6 m1 = = 9 − (−2) 11 Teorema 3.3,

m2 −

Corolario 3.1.

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Demostración.

Sean L1 y L2 dos rectas, de pendientes m1 y m2 respectivamente y θ el ángulo formado por ellos. m − m1 = 0, m2m1 ≠ – 1, entonces, ⇒) Si L1  L2 entonces θ = 0º o θ = 180º, luego tg θ = 2 1 + m2 m1 m2 – m1 = 0 ⇒ m2 = m1. 0 ⇐ ) Si m1 = m2 entonces tg θ = ⇒ tg θ = 0 ⇒ θ = 0º o θ = 180º, luego L1  L2. 2 0 + m1 Corolario 3.2.

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es – 1. Demostración.

Sean L1 y L2 dos rectas, de pendientes m1 y m2 respectivamente y θ el ángulo formado por ellos. ⇒) Si L1 ⊥ L2 entonces θ = 90º, luego del Teorema 3.4., en términos de la cotangente, se tiene 1 + m2 m1 que: cot θ = = 0; m 1 ≠ m 2 (cot 90º = 0º) entonces 1 + m2m1 = 0 ⇒ m2m1 = – 1. m 2 − m1 0 ⇐) Si m2m1 = – 1 ⇒ cot θ = = 0; entonces θ = 90º, luego L1 ⊥ L2. m2 − m1 Ejemplo 3.7.

Sea el triángulo isósceles de vértices P = (– 1, 4), Q = (0, 1) y R = (2, 5). Verificar que la recta que une P y el punto medio de la base QR , es perpendicular a QR . Solución. y 5

Sea M el punto medio de QR entonces sus coordenadas son:

R

P M

0+2 5 +1 = 1; ym = = 3, luego 2 2 3− 4 −1 pendiente de PM es m1 = = 1 − (−1) 2 5 −1 Pendiente de QR es m2 = = 2. 2−0

xm =

Q

x

-5

-5

5

Como m2m1 = – 1 entonces PM y QR son perpendiculares.

Ejemplo 3. 8.

Verificar si los tres puntos P = (– 1, – 5), Q = (1, 3) y R = (7, 12) son colineales (es decir están en una misma recta). Solución. 3 − (−5) = 4. Si R esta en la recta PQ , la recta RQ debe 3 − (−1) coincidir con ella de modo que deben tener la misma pendiente.

La recta PQ tiene pendiente m1 =

La pendiente de recta RQ es m2 =

12 − 3 3 = . Como m 1 ≠ m 2 se tiene P, Q, y R no son 7 −1 2

colineales. Ejemplo 3.9.

Verificar por medio de pendientes que los cuatro puntos A = (6, 2), B = (8,6), C = (4, 8) y D = (2, 4) son los vértices de un rectángulo. Solución.

Considerando el cuadrilátero de lados AB , BC , DC y AD como en la figura se tiene:

C

B

5

D

A

-5

5

-5

Entonces: 6−2 6−2 −1 mAB = =2 mBC = = 8−6 8−6 2 8−4 4−2 −1 mDC = =2 mAD = = 4−2 2−6 2 Como: mAB = mDC entonces AB  DC mBC = mAD entonces BC  AD mAB. mBC = – 1 entonces AB ⊥ BC mDC. mAD = – 1 entonces DC ⊥ AD Luego el cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y los lasos adyacentes perpendiculares, por lo que se concluye que ABCD es un rectángulo.

Ejercicios Propuestos.

1. Determinar el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos. a) (4, 6) y (1, 3) b) ( 3 , 2) y (0, 1) c) (2, 3 ) y (1, 0) d) (2, 4) y (– 2, 4) 2. Si los puntos (3, 0); (4, 5) y (6, 2) son los vértices de un triángulo. a) Verificar que es un triángulo rectángulo. b) Calcular el área del triángulo. c) Calcular los ángulos interiores del triángulo. 3. La recta L1 forma un ángulo de 60º con la recta L2. Si la pendiente de L2 es 1 determinar la pendiente de L1. 4. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por los puntos (– 3, 2) y (8, 6) y la recta final pasa por los puntos (2, 8) y el punto A cuya ordenada es – 7. Hallar la abscisa de A. 5. Demostrar que los puntos (2, 2), (5, 6), (9, 9) y (6, 5) son los vértices de un rombo, sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 6. Si la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (– 1, – 1) es perpendicular a la recta que pasa por (– 4, 1) y (k, – 3). Hallar k. 7. Usando el concepto de pendiente de una recta, demuestre en cada caso siguiente que los tres puntos A, B y C son colineales. a) A = (– 6, 6), B = (– 1, 3) y C = (4, 5) b) a) A = (1, – 13), B = (2,– 7) y C = (– 1, 2)