5. SEMEJANZA

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Longitud, área, volumen y semejanza  Áreas y volúmenes de pirámide y cono Teorema de Tales y teorema de Pitágoras  Problemas topográficos  Razones trigonométricas. Propiedades  Resolución de triángulos rectángulos 

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1. LONGITUD, ÁREA, VOLUMEN Y SEMEJANZA. 

AMPLIANDO POLÍGONOS

Aquí tienes dibujados algunos polígonos. Dibuja estos mismos polígonos en las tramas que siguen. Observarás que, al hacerlo, hemos aumentado su tamaño, los hemos ampliado. Mide, en cada caso, el área, el perímetro y los ángulos. Compáralos con el original. ¿Qué permanece?. ¿Qué cambia?.

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AMPLIANDO CUBOS

Aquí tienes un cubo de lado (arista) 1. Su superficie es 6 y su volumen 1.

Utilizando cubitos unidad como este construye un cubo de lado 2 y un cubo de lado 3. ¿Qué permanece?. ¿Qué cambia?. Halla las áreas y los volúmenes de los tres cubos. ¿Qué relación existe entre las áreas?. ¿Y entre los volúmenes?. Página 3

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RAZÓN DE SEMEJANZA Dos polígonos (o dos sólidos) son semejantes si tienen la misma forma. Dos polígonos (o sólidos) semejantes tienen las siguientes propiedades: 1) Los lados homólogos son proporcionales Es decir, los cocientes entre sus longitudes son iguales. Este valor común se llama razón de semejanza.

A' B'  2 AB  D' C'  2 DC    B' C'  2 BC  A' D'  2 AD 

De donde:

A' B' B' C' D' C' A' D'    2 AB BC DC AD

Se dice que la razón de semejanza de ABCD a A’B’C’D’ es r = 2 y que la razón de semejanza de A’B’C’D’ a ABCD es r'  1 2 . 2) Los ángulos homólogos son iguales. 3) Entre los perímetros hay una relación, de forma que el cociente entre los perímetros es igual a la razón de semejanza. P’ = 2 P En general:

P’ = rP siendo r la razón de semejanza.

4) Entre las áreas hay una relación cuadrática, de forma que el cociente entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza. A'  2 2  A En general: A'  r 2  A siendo r la razón de semejanza. 5) Entre los volúmenes de dos sólidos semejantes hay una relación cúbica, de forma que el cociente entre los volúmenes es igual al cubo de la razón de semejanza. Osea: V'  r 3  V El volumen de un cubo C’ es 216 veces el volumen de otro cubo C. ¿Cuál es la razón de semejanza?. Si la arista de C’ es 24 cm, ¿cuál es la arista del cubo C?. Página 4

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AMPLIACIONES Y REDUCCIONES

Con una fotocopiadora podemos hacer ampliaciones y reducciones. Una ampliación del 25% significa que 100 milímetros del original se convierten en 125 milímetros en la copia. Una reducción del 30% significa que 100 milímetros del original se convierten en 70 mm en la copia. Utilizando regla y compás, intenta reproducir los dibujos que siguen en dos casos: a) Con una reducción del 50%. b) Con una ampliación del 75%.

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ESCALAS

En los mapas suelen utilizarse distintos tipos de escalas (generalmente de reducción). Por ejemplo, una escala de 1: 10000 significa que 1 centímetro del dibujo representa 10000 cm en el original. a) En un mapa a escala de 1: 5000000, ¿cuál será la longitud real correspondiente a las longitudes sobre el mapa de 3 cm; de 5 cm; de 10 cm?. b) Si la escala con la que se hizo un mapa está en la relación de 1: 400000, ¿cuántos km 2 tendrá en la realidad una superficie que en el mapa mide 15 cm2 ?. c) Tenemos un triángulo construido a escala 1: 2000. ¿Qué superficie representa en la realidad, sabiendo que la base del triángulo mide 54’6 mm y la altura 48’7 mm ?. d) Un campo tiene forma triangular y sus lados miden 550 m, 680 m y 840 m. Calcula su área.

Sugerencia: Dibuja un triángulo a escala y mide su altura sobre dicho dibujo.

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PLANO DE UNA CASA

Este es el plano de una casa dibujado a escala 1: 100; es decir que 1 cm del plano representa 1 m en la realidad. Averigua las dimensiones – largo y ancho – del salón. Halla la superficie de la cocina y la superficie total del piso. ¿Qué precio tendrá en piso, si se paga a 109611 pesetas el metro cuadrado?.

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PIRÁMIDE DE KEOPS

Haz una reproducción a escala de la gran pirámide de Keops, sabiendo que su altura mide 138 metros y que su base es un cuadrado de 227 metros de lado. Utiliza un recortable de cartulina con el desarrollo plano adecuado y las solapas necesarias.

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TRIÁNGULOS

a) Construye con regla y compás un triángulo cuyos lados miden 10 cm, 8 cm y 6 cm. Construye otro triángulo cuyos lados midan 12 cm, 16 cm y 20 cm. ¿Son semejantes?. ¿Por qué?. b) Construye los triángulos ABC y A’B’C’ con los siguientes datos. ¿Son semejantes?. ¿Por qué?. A=60º A’=60º

AB = 4 cm A’B’ = 6 cm

BC = 6 cm B’C’ = 9 cm

c) Construye los triángulos ABC y A’B’C’ con los siguientes datos: ¿Son semejantes?. ¿Por qué?. A=45º A’ = 45º

AB = 4 cm A’B’= 5 cm

BC = 6 cm B’C’ = 9 cm

Dos triángulos son semejantes si: 1) Tienen los tres lados homólogos respectivamente proporcionales. 2) Tienen dos lados homólogos respectivamente proporcionales y un ángulo homólogo respectivamente igual. 3) Tienen dos ángulos homólogos respectivamente iguales. Estas propiedades se conocen como criterios de semejanza de triángulos. 

MÁS TRIÁNGULOS

Los lados de un triángulo miden 5 cm, 8 cm y 7 cm. Construye un triángulo semejante a él sabiendo que su perímetro mide 40 cm.

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COMETA

Una cometa de forma romboidal tiene diagonales de 50 cm y 75 cm. Queremos construir otra cometa con la misma forma pero un poco más grande. Exactamente, queremos añadir 10 cm a la diagonal menor para que mida 60 cm. ¿Cuántos cm deberemos añadir a la diagonal de 75 cm?.

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BASE Y ALTURA

La base y la altura relativa de un triángulo miden 4 cm y 5 cm, respectivamente. Calcula la base y la altura de un triángulo semejante que tenga un área igual a 90 cm2. Página 6

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DOS ROMBOS

La razón de semejanza entre dos rombos es de 4 3 , y el área del mayor es de 192 cm2. Calcula el área del rombo menor.

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PATIO

Un patio tiene forma de cuadrilátero, ABCD, con dos lados paralelos. Medimos: AB = 5 m y AD = 12 m. Además sabemos que OA = 13 m y que OB = 16 m. ¿Cuánto mide BC?. ¿Cuánto mide DC?.

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LETRAS DESCONOCIDAS

Sustituye las letras por los valores numéricos que les corresponden:

2. ÁREAS Y VOLÚMENES DE TRONCOS DE PIRÁMIDE Y CONO 

DEL TRONCO A LA PIRÁMIDE Si conocemos las dimensiones de un tronco de pirámide, ¿podemos determinar las dimensiones de la pirámide de la que procede?. Observa en la figura adjunta que, por semejanza de los triángulos AMN y ABC, se cumple:

AM MN  AB BC

y

AN MN  AC BC

lo que permite calcular la altura y la arista lateral de la pirámide si se conocen la altura, la arista lateral y las aristas básicas del tronco de pirámide. Para hallar los segmentos MN y BC puedes usar el teorema de Pitágoras o propiedades del polígono de que se trate. 1) Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral 9 cm. Trazamos un plano paralelo a la base a 2 cm de ella, obteniendo así un tronco de pirámide. ¿Cuál es la arista lateral de este tronco de pirámide?. 2) Las aristas de las bases de un tronco de pirámide hexagonal regular miden 18 cm y 8 cm, y su arista lateral es de 26 cm. Calcula la altura y la arista lateral de la pirámide correspondiente. Ten en cuenta que el lado de un hexágono regular coincide con el radio de su circunferencia circunscrita. Página 7

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TRONCO DE CONO En la industria encontramos con frecuencia piezas de forma cónica, si bien, puede suceder que éstas no sean un cono propiamente dicho, sino una parte de él; por ejemplo, vasos, tapones de corcho, etc. Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano obtenemos otra cuerpo geométrico denominado tronco de cono. Si el cono es recto y el plano de corte es paralelo a la base, obtenemos un tronco de cono recto. En otro caso, obtenemos un tronco de cono oblicuo, como puedes ver en la siguiente figura.

Tronco de cono recto

Tronco de cono oblicuo

Un cono de revolución tiene 13 cm de generatriz y 5 cm de radio de la base. Si lo cortamos con un plano paralelo a la base que pasa por un punto de la generatriz distante del vértice 5’2 cm, calcula la altura del tronco de cono recto resultante.

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RELACIÓN EN UN TRONCO

1) Sean R y r los radios de las bases de un tronco de cono recto, cuya altura es h y cuya generatriz es g. ¿Qué relación existe entre R, r, h y g?. 2) Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución son 80 cm y 40 cm, y la altura 30 cm. Calcula la generatriz de dicho tronco de cono. Calcula también la altura del cono del cual procede dicho tronco de cono.

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DESARROLLO PLANO DE UN TRONCO DE CONO Para obtener el desarrollo plano de un tronco de cono recto haremos un corte a dicho tronco a lo largo de la generatriz y desplegaremos la figura sobre el plano. El resultado es el siguiente:

Dibuja en una cartulina, utilizando regla y compás, el desarrollo plano de un tronco de cono recto de altura 12 cm, cuyas bases menor y mayor tengan por diámetros 4 cm y 22 cm, respectivamente. A continuación, recórtalo y móntalo. Página 8

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ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE Si cortamos una pirámide por un plano paralelo a la base se obtiene un tronco de pirámide, que es el sólido comprendido entre la base y el plano de corte. En un tronco de pirámide recto y regular, sus caras son trapecios isósceles y como el área del 1 trapecio es A = b + b'   a , contando el 2 número de trapecios es fácil deducir que:

AL 

1  P + P'   a 2

AT  AL  Ab  Ab' donde P y P’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas. 1) Halla las áreas lateral y total de un tronco de pirámide regular cuadrangular sabiendo que su altura es 20 cm, la base mayor está inscrita en una circunferencia de 4 cm de radio y el área de la base menor es la mitad del área de la mayor. 2) El área de la superficie total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas es 1666 cm 2. Las áreas de las bases son 144 cm2 y 324 cm2 respectivamente. Halla la apotema del tronco.

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COMPARA VOLÚMENES

1) Construye un prisma y una pirámide de igual base e igual altura. Móntalos prescindiendo de la cara básica y comprueba que el volumen del prisma es triple que el de la pirámide, llenando la pirámide de arena tres veces consecutivas y vertiendo su contenido en el prisma. 2) En una pirámide, la sección producida por un plano paralelo a la base determina con el vértice una nueva pirámide semejante a la anterior. Halla la razón entre sus volúmenes teniendo presente la razón entre las áreas de sus bases, así como la razón entre sus alturas.

Comprueba que se cumple que:

VPIRAMIDEGRANDE VPIRAMIDEPEQUEÑA

1  Ab  h 3  k3 1  A'b h' 3

siendo k la razón entre las alturas de dichas pirámides.

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VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE Al cortar una pirámide por un plano paralelo a su base, se obtiene una pirámide más pequeña y un tronco de pirámide. Para hallar el volumen de un tronco de pirámide basta considerarlo como diferencia de dos pirámides:

VTRONCO  VPIRAMIDEGRANDE  VPIRAMIDEPEQUEÑA 1) Las aristas de las bases de un tronco de pirámide hexagonal regular miden 18 cm y 8 cm, y su arista lateral es de 26 cm. Calcula su volumen, así como su área total. 2) Una pirámide cuadrangular regular tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral 9 cm. Se desea calcular el volumen del tronco de pirámide producido por un plano paralelo a la base a 2’1 cm de distancia de ella. Página 9

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ÁREA Y VOLUMEN DE UN TRONCO DE CONO Observa el desarrollo plano de un tronco de cono y fíjate que se parece al desarrollo plano de un tronco de pirámide regular.

1) Utilizando el teorema de Pitágoras, averigua la relación existente entre R, r, h y g, siendo R y r los radios de las bases del tronco de cono, h su altura y g su generatriz. 2) Teniendo en cuenta las expresiones del área lateral y total correspondientes al tronco de pirámide, deduce que el área lateral y total de un tronco de cono vienen dados por las fórmulas:

A L    g  R + r 



A T    g  R + r   R 2  r 2

y



3) Utilizando la expresión del volumen de un tronco de pirámide, deduce que el volumen de un tronco de cono viene dado por la fórmula: V =





1   h  R 2  r 2  R  r 3



SÓLIDO

Calcula el volumen de este cuerpo:

3. TEOREMA DE TALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS. 

EL TEOREMA DE TALES El teorema de Tales afirma que: Si dos rectas concurrentes r y s se cortan por dos segmentos paralelos AB y A’B’, se obtienen dos triángulos OAB y OA’B’ que OA' OB' AB'   son semejantes. Es decir: OA OB AB

a) Para dividir el segmento AB en 5 partes iguales, trazamos por un extremo del segmento una recta r concurrente con AB y sobre ella a partir de A trazamos con ayuda del compás 5 segmentos iguales. La última división la unimos con B y por el resto de divisiones trazamos paralelas a B5 que determinan en AB los cinco segmentos iguales buscados. ¿Por qué son iguales dichos segmentos?. Página 10

b) Fijándote en el procedimiento anterior, busca un método que permita dividir el segmento AB en tres partes proporcionales a los segmentos x, y, z de la figura. ¿En qué teorema te basas?.

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PUZZLES SOBRE PITÁGORES En un triangle rectangle, els costats menors són els que formen l'angle recte. S'anomenen catets. El costat major s'anomena hipotenusa i s'oposa a l'angle recte. En la figura, b i c són els catets, a és la hipotenusa. El teorema de Pitàgores diu: 2

2

a =b +c

2

L'àrea del quadrat construït sobre la hipotenusa és igual a la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catets. I açò és veritat només si el triangle és rectangle. Per a veure que és cert que ocorre açò sempre que el triangle siga rectangle, observa el puzle següent:

Observa què els dos quadrats grans són iguals. Si a cadascun d’ells li suprimim quatre triangles iguals, de costats a, b i c, resulta: a 2 en el primer i b 2  c 2 en el segon. Per tant, ha de complir-se què: a 2  b 2  c 2 .

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En la següent figura es mostra, a manera de tangram, una demostració del teorema de Pitàgores. Còpia la figura i amb l'ajuda d'unes tisores, retalla-la pels traços discontinus. Superposa convenientment les peces obtingudes sobre el quadrat major de manera que pugues comprovar el teorema de Pitàgores.



TERNAS PITAGÓRICAS

a) El trío (3, 4, 5) es una terna pitagórica, ya que 32  4 2  5 2 . Averigua si son pitagóricas las siguientes ternas: (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (15, 20, 25) y (20, 21, 29). Construye triángulos rectángulos cuyos lados tengan dichas dimensiones.

1 1 c  h  a  b , ya que un cateto 2 2 a b puede considerarse como base y el otro como altura. Por lo tanto: c  h  a  h . De donde: h  . c

El área del triángulo rectángulo ABC de la figura es igual a S 

Es decir: en todo triángulo rectángulo se cumple:  El área es igual al semiproducto de los catetos.  La altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de los dos catetos partido por la hipotenusa. b) En los triángulos rectángulos del apartado (a), halla el área y la altura relativa a la hipotenusa.

4. PROBLEMAS TOPOGRÁFICOS. 

ANCHURA DE UN RÍO

a) Un grupo de exploradores ha de cruzar un río. La profundidad de éste obliga a construir un puente, para lo cual disponen de árboles de un bosque próximo. Necesitan conocer la anchura del río. ¿Cómo la calcularían rápidamente de manera aproximada?. b) En la figura adjunta se indica un posible procedimiento para medir la anchura del río. Explica detalladamente en qué consiste. ¿Qué ocurre si la distancia Ax es demasiado grande?. P Página 12

x A x c) En la siguiente figura se describe otro método que es una modificación del anterior. ¿En qué consiste?. Explícalo detalladamente. ¿Qué relación existe entre AP y BC?. Si BC=5 metros, ¿cuánto vale la anchura del río AP ?.

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ALTURA DE UN EDIFICIO

Las normas municipales de cierta ciudad exigen que la relación entre la altura de los edificios y la anchura de la calle sea de 2 / 3. a) ¿Qué ángulo forman los rayos solares con la horizontal cuando empiezan a dar en la acera?. b) Si la altura ocupada por un piso es aproximadamente 3 metros, ¿cuántos pisos se permiten como máximo en las calles de 18 metros de anchura?. ¿Y en las calles de 24 metros de anchura?.

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EL TEODOLITO Para hallar la altura de un edificio, basta considerar el triángulo OAB de la siguiente figura, que es una representación a escala del triángulo original:

Conocido el ángulo x y la distancia OA en el original, basta medir sobre el triángulo dibujado a escala la distancia AB y transformarla posteriormente teniendo en cuenta la escala empleada.¿Cómo podemos medir exactamente el ángulo x en el original?. Para obtener con precisión la medida del ángulo x se utiliza un aparato llamado teodolito, que consiste en dos círculos graduados situados en dos planos, horizontal y vertical, que pueden girar. Con este instrumento se pueden medir ángulos situados en planos verticales y también horizontales.

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a) Construye un teodolito con ayuda de dos círculos graduados, cartulina, madera y regla graduada. b) Utiliza el teodolito que has construido para averiguar la relación entre la altura del edificio donde vives y la anchura de tu calle.

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ALTURA DE UNA TORRE

Con ayuda de un teodolito y de una cinta métrica hemos obtenido las medidas indicadas en la siguiente figura. Averigua la altura de la torre, construyendo previamente un dibujo a escala. Da como aproximación de dicha altura la media de los valores obtenidos en la clase.



MEDIDA DE ÁNGULOS Para medir ángulos se utilizan como unidades los grados ( º ), minutos ( ‘ ) y segundos ( “ ) sexagesimales, de manera que una circunferencia tiene 360º, un grado tiene 60’ y un minuto 60”. Podemos expresar un ángulo en grados o bien en grados, minutos y segundos. Por ejemplo: 42º 27’ 62” equivale a 42.467222º

52.123611º equivale a 52º 7’ 25”

Esta transformación se puede hacer con la calculadora científica, usando la tecla º ‘ “ con la que podemos transformar grados, minutos y segundos en grados. Para efectuar la transformación inversa basta pulsar SHIFT º ‘ “ . Ejemplo: para efectuar el producto 3  23º 14’ 18” basta proceder así: 23

º‘“ 23

14

º‘“

18

º‘“



3

=

SHIFT

º‘“

23.233333 23.238333 69.715

de manera que:

69º 42’ 54”

3  23º 14’ 18” = 69º 42’ 54”

a) Efectúa estas operaciones entre ángulos, expresando el resultado en grados, minutos y segundos: 1) 34º 16’ 52” + 24º 12’ 50” 2) 64º 42’ 16” – 15º 12’ 36” 3) 5  12º 34’ 46” b) En un cuadrilátero el ángulo A vale 64º 25’ y el B vale 104º 35’. ¿Cuánto valdrán los ángulos C y D, sabiendo que los dos son iguales?.

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

RADIANES Si rodeas un bote o una lata de conservas con un hilo y comparas la longitud de la circunferencia del bote con su diámetro, verás que dicha longitud, L, es un poquito más de tres veces el diámetro.

El cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número un poco mayor que tres, tiene infinitas cifras decimales que no forman periodo (es decir, es un número irracional) y se llama número .. L    3.1415927... La longitud de la circunferencia es L    D  2    R D Un radián es un ángulo cuyo arco tiene la misma longitud que el radio. Para averiguar cuántos radianes tiene una circunferencia, calcularemos el número de radios que contiene. Así: Una circunferencia tiene

L 2R   2 radianes. Y como una circunferencia tiene 360º, resulta que: R R

360º equivalen a 2 radianes. a) ¿Cuántos grados, minutos y segundos mide un radián?. b) Expresa en radianes los siguientes ángulos: 1) 27º 15’

2) 87º 30’ 42”

3) 90º

4) 45º

5) 30º

6) 60º

c) Expresa en grados, minutos y segundos los siguientes ángulos: 1) 0’5 radianes

2)

 radianes 3

3)

 radianes 6

4)

5 12

5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. PROPIEDADES. 

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Todos los triángulos aquí dibujados son rectángulos, es decir tienen un ángulo recto. La hipotenusa es el lado de mayor longitud; los catetos son los otros dos lados.

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a) ¿Cuáles de dichos triángulos tienen la misma forma?. Clasifícalos según el criterio de “tener la misma forma”. b) Mide, con ayuda de un transportador, los ángulos de cada triángulo. ¿Qué conclusiones obtienes?. c) Dibuja varios triángulos que tengan la misma forma que éste:



RAZONES TRIGONOMÉTRICAS En un triángulo rectángulo ABC, llamamos:

cateto opuesto AC b   hipotenusa BC a cateto contiguo AB c cos B    hipotenusa BC a cateto opuesto AC b tan B    cateto contiguo AB c sen B 

Las funciones que asignan a cada ángulo x, su seno, coseno y tangente, se llaman funciones circulares: x  sen x x  cos x x  tan x a) Comprueba que

sen x  tan x cos x

b) Comprueba que sen x  cos x   1 2

2

Esta última propiedad puedes verla aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC de la figura. 

USA TU CALCULADORA En tu calculadora dispones de las teclas SIN , COS , TAN . Con ellas puedes hallar los valores del seno, coseno y tangente de un ángulo dado. Por ejemplo: 65º

sin

0.9063077

43º

sin 0.6819983

65º

cos 0.4226182

43º

cos 0.7313537

65º

tan 2.1445069

43º

tan

0.932515

a) Con ayuda de tu calculadora completa la siguiente tabla y extrae de ella toda la información que puedas sobre las funciones circulares: ángulo (grados) SIN COS TAN

0

10

20

30

40

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50

60

70

80

90

b) Dos ángulos son complementarios si su suma vale 90º. Habrás observado en la actividad del apartado anterior que sen 10º = cos 80º y que cos 10º = sen 80º. Y evidentemente, los ángulos de 10º y 80º son complementarios. ¿Se cumple esta propiedad siempre que se trate de ángulos complementarios?. c) Si los ángulos A y B son complementarios, esto es, A+B=90º, entonces

sen A  cos B  . Observa la siguiente figura y averigua cos A  sen B 

geométricamente por qué es cierta esta propiedad: d) En la calculadora puedes hallar el seno, coseno y tangente cuando el ángulo está dado en grados sexagesimales o en radianes, indistintamente. 

Si el ángulo está expresado en grados sexagesimales, activa previamente el modo DEG , lo que se consigue pulsando las teclas MODE 4 . Este modo está activado por defecto.



Si el ángulo está expresado en radianes, debes activar el modo RAD , lo que se consigue pulsando las teclas MODE 5 .

Utilizando los modos DEG y RAD de la calculadora, halla el seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos: 75º; 27º 13’; 32º 15’ 23”; 0’75 rad; 1’2 rad; 3 2 rad.



HALLANDO ÁNGULOS En tu calculadora dispones de la tecla SHIFT . Con ella puedes obtener un ángulo conocida una determinada función circular. Así: 0’5 SHIFT SIN da un ángulo cuyo seno es 0’5. 0’7 SHIFT COS da un ángulo cuyo coseno es 0’7. 1’3 SHIFT TAN da un ángulo cuya tangente es 1’3. Según que la calculadora esté en modo DEG o en modo RAD, el resultado vendrá expresado en grados o en radianes.

a) ¿Cuánto miden los ángulos que se obtienen al pulsar las secuencias anteriores de teclas?. b) Sabiendo que sen x = 0’7, halla cos x y tan x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y radianes. c) Sabiendo que cos x = 0’62, halla sen x y tan x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y radianes. d) Sabiendo que tan x = 2, halla sen x y cos x. Expresa el ángulo x en grados sexagesimales y en radianes.



COMPLETA CON LA CALCULADORA

Completa la siguiente tabla, utilizando la calculadora: X (GRADOS) X (RADIANES) SIN X COS X

0’94

45 0’82

TAN X

3 2 3’5

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1

6. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. 

ALTURA DE UN GLOBO

Desde dos puntos, A y B, situados como indica la figura, medimos, con ayuda del teodolito, los ángulos a y b, resultando ser, respectivamente, 45º y 39º. Si la distancia entre los puntos A y B es de 500 metros y el punto C es inaccesible, ¿cuál es la altura a la que se encuentra el globo?.



UN TUNEL

¿Qué longitud tendrá el túnel ABCD?. ¿Cuál será su profundidad BP?.



EL OVNI

¿A qué altura se encuentra el ovni O?.



DIAGONALES DE UN ROMBO

Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm.



COMETAS

En un concurso de cometas, dos niños, separados por 120 m de distancia, tienen desplegadas sus cometas sobre el plano vertical mediante 80 y 160 m de cordel en el instante en que éstas colisionan. ¿A qué altura del suelo colisionan los cometas?. Si caen verticalmente por su propio peso, ¿qué distancia habrá de caminar cada uno de ellos para recogerlas?.

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

LADOS DESCONOCIDOS

a) En el triángulo ABC de la siguiente figura se conocen el lado AC = 300 m y los ángulos B = 23º y C=51º. Halla el lado desconocido BC.

b) En el triángulo ABC de la siguiente figura se conocen los lados AB = 190 m y AC = 235 m y se sabe también que B=105º. Halla la medida del lado desconocido BC.



PARCELA

Una parcela tiene forma triangular y sus dimensiones son 270 m, 240 m y 225 m. Halla la medida de los ángulos. Calcula también el área de la parcela.



ÁREA Y PERÍMETRO

En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 10 cm y los ángulos iguales miden 70º. Calcula su área y su perímetro.



ESCALERA

Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál es su inclinación si su base dista 2 m de la pared?.



POSTE

Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el horizonte?.

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