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ALGEBRA Y GEOMETRÍA I DPTO. DE MATEMÁTICA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA F.C.E.I.A – U.N.R
SUPERFICIES
ING. RICARDO F. SAGRISTÁ
-2006-
-Álgebra y geometría I -
SUPERFICIES.1.- Ecuaciones de superficies. Ya hemos estudiado la superficie más sencilla que puede presentarse: el plano. Sabemos ya que la ecuación de un plano, referido a un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, es de primer grado en las variables x, y, z (coordenadas de un punto genérico del mismo), es decir: 0
1
La ecuación puede escribirse por brevedad así: , , 0 operaciones a que están sometidas en (1) las variables x, y, z.
2 en la que representa las
Con este convenio si ₁ ₁, ₁, ₁ pertenecen al plano, sus coordenadas han de satisfacer las ecuaciones 1 2, es decir se cumplirá: ₁ ₁ ₁ 0 o bien ₁, ₁, ₁ 0 . Más general ahora, llamaremos ecuación de una superficie a la relación que liga las coordenadas de un punto genérico de la misma. Si esa relación es de la forma , , 0 dicha superficie podrá caracterizarse como el siguiente lugar geométrico de punto del espacio: , , ; , , 0
Para llegar a la ecuación de la superficie, llamaremos con , , a las coordenadas de un punto de la misma y escribiremos las condiciones que representen que efectivamente dicho punto pertenece a la superficie definida.Una superficie puede definirse, dando una propiedad común a todos sus puntos. También puede definírsela por el movimiento de una línea en el espacio sujeto a ciertas condiciones.2.- Algunos ejemplos sencillos: Superficies cuyas ecuaciones contienen una sola variable: Ejemplo 1: supongámonos estudiar la superficie caracterizada así: , , ; 4 La ecuación de la superficie es entonces: ² 4 0 ; ; , 2
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la que se descompone así: 2 ! 2 0 entonces la superficie puede caracterizarse en forma equivalente así: , , , 2 2 0 , , ; 2 0 " , , ; 2 0 Es decir nuestra superficie S, está formada por dos planos paralelos al plano coordenado YZ. Ejemplo 2: Estudiar la superficie siguiente: , , /² 6 0
La ecuación ² 6 0 tiene las raíces % 2 ; 3 Entonces : ² 6 2 3 0 ; , , luego , , , 2 " , , , 3, es decir dos planos paralelos al plano coordenado XY. Si la ecuación no tiene raíces reales, el lugar geométrico considerado es el conjunto vacio.-+
3.- Superficies cilíndricas con generatrices paralelas a los ejes Estudiemos la superficie generada por un recta, llamada generatriz que se desplaza manteniéndose paralela al eje Oz, y apoyándose en la curva Γ contenida en el plano XY, llamada directriz. Supongamos que la ecuación de la directriz en su plano sea: ( 0 ; 3 .
Sea ₀ ₀, ₀, ₀ en un punto perteneciente a la curva Γ, luego sus coordenadas deben verificar la ecuación (3) es decir será ( ₀₀ 0 .
Consideremos la generatriz que pasa por P₀. Como esa recta es por definición paralela al eje Oz, sea normal al plano coordenado XY y un punto * ₀, ₀, ₀ de ella verifica también la ecuación (3) pues se cumple que ( ₀₀ 0 independientemente del valor de z.Una superficie como la que estudiamos se llama cilíndrica de generatriz paralela al eje z y de directriz Γ. Podemos asimismo expresarla como el siguiente lugar geométrico de puntos del espacio: 3
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en donde la ecuación f(xy)=0 es la ecuación de la superficie en estudio. De igual modo los siguientes lugares geométricos son respectivamente superficies cilíndricas
Siendo sus ecuaciones , respectivamente. Ejemplo 3: El plano es un caso particular de superficie cilíndrica cuya directriz es la recta generatriz paralela al eje z
y de
ax + by = d ; z=2
Fig.2
ax + by =d ; z=1 ax + by =d ;
z
ax + by =d ; z=0
Ejemplo 4: La ecuación z²=2px, pensada en el espacio, es decir y, es la ecuación de una superficie cilíndrica cuya directriz es la parábola z²=2px (curva contenida en el plano XZ) y de generatriz paralela al eje y. La ecuación de la superficie cilíndrica es z²=2px. La ecuación de la directriz es z²=2px, y=0
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4.- Ecuaciones de curvas en el espacio En los sencillos ejemplos anteriores vimos como es posible representar una superficie dada en un sistema de coordenadas cartesianas, mediante una ecuación , , 0. Las curvas pueden ser dadas como intersección de dos superficies lo que equivale a decir por dos ecuaciones simultáneas o sistema de dos ecuaciones. Nosotros ya hemos estudiado un caso particular: la línea recta en el espacio, determinada por dos planos: / , , ; % % % % 0 0 , , ; 0 siendo en este caso la ecuación: % % % 0 2 1 % 0
En general, si (% , , 0 y ( , , 0 son las ecuaciones de dos superficies, la curva de intersección de ambas: estará formada por los puntos cuyas coordenadas satisfacen las dos ecuaciones o sea esa curva intersección 3 es: Γ , , ; (% , , 0 0 , , ; ( , , 0 Se dice brevemente que la intersección está dada por el sistema ( , , 02 1 % ( , , 0 También una curva en el espacio, referida a un sistemas de coordenadas cartesianas ortogonales, puede ser representada analíticamente por sus ecuaciones paramétricas: ( 7; 8 7; 9 7 en donde , , son las coordenadas de un punto corriente de la curva, coordenadas éstas que son funciones del parámetro t. Esta forma es particularmente adecuada para la descripción de curvas generadas por el movimiento de un punto en el espacio. En este caso el parámetro t es el tiempo y la posición del punto (o sea de sus coordenadas) queda completamente determinado para cada instante t. Nosotros ya conocemos un caso particular: las ecuaciones para métricas de la recta: % 7 ;% / : % 7 ; 2 % 7 ;< Otro ejemplo importante son las ecuaciones: ! cos 7 ; ! ?@A 7 ; B ! 7 donde a y k son constantes y P(x,y,z) el punto corriente. Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva, llamada hélice circular.
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Ella está contenida en el cilindro, de generatrices paralelas al eje z, de ecuación: ² ² ², que se obtiene eliminando t entre las dos primeras ecuaciones ² ² ?² 7 ² ² ?@A² 7 cos 7 ?@A 7 = Aquí el parámetro t es el angulo de giro sobre el plano XY, a partir del eje Ox. Si t aumenta en 2π según las ecuaciones de esta curva, x e y no varían, en efecto: Dcos 7 cos 7 2E ; ?@A 7 ?@A 7 2EF, pero en cambio z aumenta en la cantidad G B 2E 7 B7 2EB, que es independiente de t y que recibe el nombre de paso de la hélice.
5.- Superficies cilíndricas (caso general).- Cilindro Un cilindro o superficie cilíndrica, es generada por una recta generatriz que se mantiene paralela a una dirección dada y apoyándose en un curva 3 (directriz) contenida en un plano no paralelo a la recta (Fig.5). Sean las ecuaciones de la generatriz que suponemos paralela al vector ;H ;% , ; , ;< pasa por I I , I , I I 7 ;% 8 : I 7 ; 2 4 I 7 ;< o bien I I I 7 ;% ; ;<
Un punto , , pertenecerá a la superficie cilíndrica si y solo si sus coordenadas satisfacen estas ecuaciones (4), en las que I I , I , I debe desplazarse a su vez sobre la directriz 3. Sean las ecuaciones de la misma 1
(% , , 02 (5) ( , , 0
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La condición de apoyarse la generatriz sobre la directriz se obtiene pensando que el punto P₀ (x₀,y₀,z₀) debe verificar las ecuaciones (5), es decir, de (4) obtenemos: I = 7 ;% I 7 ; , I 7 ;<
Como decíamos por pertenecer P₀ a la directriz 3 tenemos: 6 1
(% D 7 ;% , 7 ; , 7 ;< F 02 ( D 7 ;% , 7 ; , 7 ;< F 0
Eliminando t entre las ecuaciones (6) se obtiene la ecuación de la superficie cilíndrica. Ejemplo 5: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya generatriz tiene coeficientes directores (1,1,1) y la directriz viene dada por la intersección de los planos: 1 02 Γ1 0 Las ecuaciones de la generatriz son:
De donde:
I I I 7 1 1 1
I 7 ;% ; I 7 ; ; I 7 ;<
Como P₀ se mueve sobre 3, sus coordenadas deben de verificar las ecuaciones de ella: 7 7 7 1 02 1 7 7 7 0 Es decir: 7 1 02 1 7 0 Eliminando t entre estas dos últimas ecuaciones: 2 2 1 0, ecuación de la superficie cilíndrica buscada, que en este caso es un plano, cosa que se puede deducir al principio por ser la directriz 3, una recta.
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Ejemplo 6: Hallar la ecuación de una superficie cilíndrica cuya directriz es la curva 19 4 2 =5 y la generatriz en la recta de coeficientes directores (1,-2,3). Los puntos de la superficie cilíndrica, deben de satisfacer a la familia de rectas paralelas: 5 I I = 7 1 2 3
7
En la que el punto P₀ (5, y₀, z₀) es un punto que a su vez se desplaza sobre la directriz contenida en este caso en un plano paralelo al plano coordenado YZ. De (7) tenemos: I 27 I 37 Como 5 7 , reemplazando: I 2 5 I 3 5 que reemplazamos en la ecuación de la directriz: 9 3 15 4 2 10 1 que es la ecuación buscada. Por razones obvias, esta superficie se llama cilindro hiperbólico. 6.- Superficies cónicas.Estudiemos ahora el lugar geométrico generado por una recta (generatriz) que gira de manera que uno de sus puntos (llamado vértice) queda siempre fijo y apoyándose sobre una curva 3 (directriz) Fig.6. Dicho lugar geométrico recibe el nombre de superficie cónica o brevemente cono. Tratemos te obtener su ecuación.
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Sean: N % , % , % el vértice y ( , , 02 1 % las ecuaciones de la directriz 3, ( , , 0 P₀ (x₀, y₀, z₀) un punto de la superficie cónica, perteneciente a la directriz. Por lo que ha de verificarse 8 1
(% ₀, ₀, ₀ 02 ( ₀, ₀, ₀ 0
La generatriz correspondiente del cono será: S % I % ! T Q % 9 % I % ! T 2 R Q % I % ! % T P %
que es la recta que une P₀ con el vértice V.
Al variar P₀ desplazándose sobre 3, siempre se verificaran las ecuaciones (8) y la recta describirá el cono. Para obtener la ecuación del mismo, habrá entonces que eliminar x₀, y₀, z₀ entre las dadas ecuaciones (8) y (9). Para efectuar esa eliminación, conviene poner en las ecuaciones (9) el % T
parámetro en la forma y despejar: I 7 % % U 7 % % 2 I 7 % % :
sustituyendo estos valores en (8), se tiene:
(% D7 % % , 7 % % , 7 % % F 0
( D7 % % , 7 % % , 7 % % F 0
2
La ecuación de la superficie cónica se obtendrá al eliminar t entre las dos últimas ecuaciones. Como las variables x, y, z, aparecen únicamente en los binomios % ; % ; % resulta que al eliminar t nos quedará la ecuación de la superficie cónica de la forma: 10 D % ; % ; % F 0 es decir una ecuación en la que las variables pueden ser consideradas iguales a % ; % ; % . 9
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Esta ecuación (10) tiene un propiedad importante, la de ser homogénea, es decir la de tener todos sus términos la misma dimensión con respecto a las variables % ; % ; % . Para demostrar esta afirmación, pensaremos primero que el vértice V que está en el origen de coordenadas, es decir en este caso sea % = % = % = 0, quedando la ecuación (10) de la superficie cónica función de x, y, z: o sea , , 0. Ahora bien si I , I , I pertenece a la superficie, I , I , I han de verificar la ecuación, es decir será I , I , I 0 pero en ese caso también la verificara el punto VI , V I , VI es decir VI , V I , VI 0 11
(En donde λ es un parámetro real), pues las ecuaciones = VI ; = VI ; = VI son las ecuaciones para métricas de una recta que pasa por el origen y por P₀, es decir una generatriz de la superficie cónica. Por lo tanto para que se verifiquen (11) la función , , 0 ecuación de un cono cuyo vértice está en el origen de coordenadas ha de ser homogénea n las tres variables x, y, z (esta condición no es suficiente, ej. ² ² ² 0 es homogénea en x, y, z. Su única solución es (0,0,0). Si el vértice V tiene coordenadas x₁, y₁, z₁, no todas nulas podemos pensar en hacer una traslación de ejes al vértice. Como ya sabemos las coordenadas referidas al nuevo sistema de ejes serán % ; % ; % y la ecuación del cono tomará la forma ya conocida (10). Tenemos ahora de nuevo el caso del cono con su vértice en el origen, aplicando la conclusión recién vista, afirmamos que la ecuación (10) es homogénea en las tres variables que en este caso son % ; % ; % . Ejemplo 7: Hallar la superficie cónica cuya directriz es: Γ U 12 7@ y el vértice V≡ (0, 0,0), la ecuación generatriz será (si x₀≠0; y₀≠0; z₀≠0) I I I como cualquiera sea el punto donde se apoye la generatriz, tendrá z₀ = c tenemos I I de donde I ! ; I ! 10
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Reemplazando en la primera ecuación de la directriz: ² ² ² 1 ² ² ² o sea ² ² ² 0 ² ² ² que es la ecuación del cono buscada. ¿Cómo son las secciones que se obtienen al seccionar el cono, con planos paralelos al plano coordenado XY? Ejemplo 8: Hallar la ecuación del cono de vértice V= (2, 1, 4) y directriz 0 2 1 ² ² ² 4 0 Las ecuaciones de la generatriz que pasa por el vértice y un P₀ de la directriz son: 2 1 4 1 I 2 I 1 I 4 7 Despejando I , I , I las reemplazamos en las ecuaciones de la directriz: 7 2 2 7 1 1 7 4 4 0 2 1 D7 2 2F D7 1 1F D7 4 4F 4 0 despejando t de la primera 1 7 1 reemplazando a la segunda tenemos la ecuación buscada: 3 2 2 3 2 2 4 4 3 4 1 0 Ejemplo 9: Hallar la ecuación del cono elíptico con vértice V≡(2,-1,3) y cuya directriz es la elipse perteneciente al plano XY: Γ 14² ² 12 0 las ecuaciones de la generatriz que pasa por V y por un punto P₀ de 3 son: 2 1 3 1 I 2 I 1 3 7 pues el punto P₀ de apoyo de la generatriz sobre la directriz sea P₀(x₀, y₀, z₀). De ellas obtenemos: 3 2 3 I , I 3 3 que reemplazadas en la primera ecuación de la directriz nos da: 4 3 2 3 3 ² 11
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7.- Superficies de revolución: Se llama superficie de revolución a aquella que se obtiene haciendo rotar una curva contenida en un plano alrededor de una recta del mismo plano. La recta en cuestión se llama eje de rotación. Los puntos de la generatriz describen circunferencias contenidas en planos normales al eje, cuyo centro está en este último y se llaman paralelos de la superficie. Los planos que pasan por eje, cortan a la superficie según curvas llamadas meridianos de la superficie. tratemos ahora de hallar la ecuación de estas superficies.- Para ello consideremos los ejes coordenados tales que el eje Oy sea el eje de rotación y que el plano coordenado YZ sea el que contenga a la generatriz.- Fig. 7 La ecuación de la generatriz será entonces de la forma: 12) , 0 ; 0
Si Q es un punto de la generatriz, al girar alrededor del eje Oy, describe como ya hemos dicho una circunferencia de centro C y radio CQ, que es la Z que es la figura en (12): Al pasar entonces el punto Q a la posición P, el radio CQ se mantiene igual al CP. Este último puede expresarse como √ , si llamamos con x, y, z las coordenadas de P. es claro que en este giro alrededor del eje Oy, la y no varía. Luego la relación que deben cumplir las coordenadas x, y ,z de un punto P perteneciente a la superficie es la misma (12) pero con el z = CQ reemplazando por el valor \ √ , es decir ], ^ _ 0
que es la ecuación buscada. Resumiendo entonces, si la generatriz está en el plano coordenado YZ, y su ecuación es , 0, la ecuación de la superficie de revolución de
eje Oy, se obtiene reemplazando z. por √ en dicha ecuación de la curva generatriz. 12
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Un razonamiento similar permite concluir que si la generatriz por ejemplo gira alrededor del eje Oz, y está contenido en el plano ZY, siendo su ecuación ) 0, la ecuación de la superficie de revolución será ]^ , _ 0 Ejemplo 10: La generatriz es la curva de ecuación: 1; 0 el eje de giro en el Ox. La ecuación de la superficie de revolución es: ² 1 Si el eje de giro es el eje Oz entonces la ecuación de la superficie de revolución respectiva es: ² 1
Ejemplo 11: Ecuación de la generatriz: ² 2G ; 0 el eje, de giro el eje Oz. La superficie de revolución que se engendra tiene por ecuación: ² ² 2G 8.- Superficies esféricas: Si r es un numero real positivo y C un punto fijo del espacio se llama superficie esférica de centro C y radio r, al lugar geométrico de los puntos P, tal que su distancia a C sea r. Es decir: HHHH| a , |\ Si ahora tomamos un sistema de ejes coordenados de referencia (con la base canónica asociada) en el que C≡ (a, b, c) y recordamos que la expresión: HHHH| b ² |\ nos da la distancia entre los puntos (a, b, c) y (x, y, z) del espacio, entonces la superficie esférica puede caracterizarse así: \ , , : /² la condición: 13 /² es cumplido solo por dos puntos de la superficie esférica, por solo ellos. Es por lo tanto la ecuación de esta superficie. 13
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Si el centro coincide con el origen de coordenadas la ecuación se reduce a la expresión: ² ² ² /² Si desarrollamos la ecuación (13) tenemos ahora: 14) 2 2 2 0 en la que / c / . Es claro que toda ecuación del tipo anterior que cumpla con la condición: d 0 será la de una superficie esférica de centro (a, b, c) y radio r tal que: / según hemos dicho. Si esta expresión diera cero el único punto que verifica la ecuación es el punto (a, b, c). Se dice en ese caso que la superficie esférica da radio nulo. Si la expresión diera negativa no existe superficie esférica (conjunto vacío). La ecuación más general posible de 2º grado en tres variables es: 15 e f \ g h i j k l 0 donde por lo menos uno de los coeficientes de los términos de 2º grado es distinto de cero. Vemos que la ecuación (14) es un caso particular de la (15) donde: i 2 ; j 2; k 2 l / ; e f \ Y 0; g h 0 La ecuación de la superficie esférica es una ecuación de 2º grado en tres variables. Pero no toda ecuación de 2º grado representa una superficie esférica como es fácil verificar. En efecto observando la ecuación (14) vemos que para que una ecuación de 2º grado represente una superficie esférica es necesario que sean iguales los coeficientes de x², y², z², y que sean nulos los coeficientes de los términos rectangulares xy, xz, zy. Es decir empleando la notación de (15) que sean: 16 e f \ Y 0 ; h i 0 Ejemplo 12: Sea la ecuación: 2 4 6 2 0 queremos averiguar el centro y el radio de la superficie cilíndrica. Agrupando los términos en x² y x tenemos (completando cuadrados) 2 1 1 4 2 4 6 3 9 Reemplazando: 1 2 3 14 2 0 1 2 3 16 hemos llevado a nuestra ecuación a la forma (13) y en ella reconocemos que el centro es C (-1,2,-3) y el radio r = 4.
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Ahora bien, las condiciones (16) si bien son necesarias no son suficientes, para poder afirmar que una ecuación del tipo (15) representa una superficie esférica. En efecto, consideremos la ecuación siguiente 1 0 en la cual e f \ ≠ 0 ; h i 0. Pero el conjunto ? , , ; 1 0 m Tratemos entonces de encontrar condiciones suficientes para que una ecuación del tipo (15) represente una superficie esférica. En ella hagamos entonces e f \ Y 0 ;h i 0 e e e i j k l 0 Dividiendo por A, tenemos: i j k l 0 e e e e Completando los cuadrados tenemos: i i j j k k k l n o 0 2e 4e 2e 4e 2e 2e 4e e i j k i j k 4el 2e 2e 2e 4e La expresión anterior será efectivamente una superficie esférica si el 2º miembro es positivo, lo que exige i j k 4el d 0 que es la condición suficiente buscada. 9.- Estudio elemental de las cuadráticas. Ecuaciones reducidas Elipsoide: Propongámonos estudiar la superficie llamada elipsoide cuya ecuación es la siguiente: 1
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en donde a, b, c son números reales positivos. Esta ecuación muestra que si el punto P≡ (x, y, z) pertenece al elipsoide, el punto de coordenadas (-x, y, z) también pertenece a ese elipsoide. Ello significa que el plano coordenado ZY es un plano de simetría. Por razones análogas son también planos de simetría del elipsoide los planos coordenados ZX y XY. Estos planos de simetría se llaman planos principales. Las intersecciones de los planos de simetría entre sí nos dan los ejes coordenados, que son a su vez ejes de simetría del elipsoide pues si el punto P pertenece al mismo, también ha de pertenecer al él el punto (-x, -y, z), lo que significa que el eje Oz es un eje de simetría. Con un razonamiento similar se prueba que los ejes Ox y Oy son también ejes de simetría.
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El elipsoide es por fin, simétrico con respecto al origen de coordenadas, como fácilmente puede comprobarse pueda si el punto P(x, y, z)pertenece al elipsoide, el punto (-x, -y, -z) también satisface la (17) y por lo tanto pertenece al elipsoide. Por ese motivo el origen, recibe el nombre de centro de simetría de la superficie.
Fig. 8
Los seis puntos p, 0,0); 0, p, 0); 0,0, p), son como puede verificarse, los puntos del elipsoide donde este corta a los ejes Ox, Oy, Oz respectivamente reciben el nombre de vértices. Los segmentos de longitudes 2a, 2b, 2c se llaman ejes del elipsoide. Las longitudes a, b, c se llaman entonces semiejes.Las intersecciones del elipsoide con los ejes coordenados se llaman trazas o secciones principales del mismo; las mismas son elipses cuyas ecuaciones son:
U 1; : 12 ; U 12 0 0 0 sobre el plano XY, sobre el plano XZ, sobre el plano YZ. Una sección con un plano de ecuación z=h paralelo al plano XY es: 9 1 ; 9 18 o bien 1; 9 n o 9 n o 9 Esto es la ecuación de una elipse, si |h| c, también en (18) es fácil ver que la intersección con el plano z = h, es vacía.
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El elipsoide se encuentra entonces totalmente comprendida entre los planos z = p c ; ∀x, ∀y. De igual manera las secciones planas, paralelas a los planos coordenados XZ, YZ, son elipses cuyos semiejes decrecen si los planos se alejan y el elipsoide se encuentra también totalmente entre los planos x = p a, e y = pb. El elipsoide es entonces una superficie cerrada. Si a= b se verifica fácilmente en (17) teniendo en cuenta lo dicho en el punto 7.- que el elipsoide es de revolución cuyo eje es el eje Oz. Su ecuación es en este caso: 1 Si b = c, o, a = c, tendremos entonces un elipsoide de revolución cuyo eje coincide con el eje OX y Oy respectivamente. Si a = b = c, el elipsoide se transforma en una esfera de ecuación: El hiperboloide de una hoja Estudiemos ahora la superficie llamada hiperboloide de una hoja cuya ecuación es: 1 19 El examen de esta ecuación pone de inmediato de manifiesto, que esta superficie es simétrica: a).- Con respecto a cada uno de los planos coordenados b).- Con respecto a los ejes coordenados c).- Con respecto al origen Para comprobar estas afirmaciones, se procede igual que para el caso del elipsoide. También podemos deducir de (19) que las intersecciones del hiperboloide de una hoja con los ejes Ox y Oy son respectivamente los puntos: (±a, 0, 0) ; (0, ±b, 0) pero el hiperboloide no corta al eje Oz pues no hay solución real para la ecuación – 1 Las trazas de esta superficie con los planos coordenados son: 1, 0 ; 1, 0
Sobre el plano XZ
Sobre el plano XY
;
1, 0
Sobre el plano YZ
La primera de las cuales, es una elipse de semiejes a y b. Las otras dos ecuaciones representan hipérbolas cuyos semiejes reales son a y b respectivamente. En cuanto a las ecuaciones de las secciones planas, que se obtienen con planos paralelos al plano XY y de ecuación z = h, se obtienen remplazando en la ecuación (19) obteniéndose: 17
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9 1 proponemos al lector que verifique, que se trata de elipses para todo h real y cuyos semiejes aumentan cuando h crece en valor absoluto. Análogamente las secciones del hiperboloide con planos paralelos al plano XZ, se obtienen considerando la intersección del mismo con planos de ecuación y = k. B 1 Proponemos como ejercicio demostrar que estas secciones planas son hipérbolas para cualquier para cualquier valor de k excepto para k=b. Si y = k = pb, de (19) se obtiene que la sección correspondiente es un par de rectas de ecuaciones: p , p es decir contenidas en un plano paralelo al XZ. Igualmente se estudian las secciones de hiperboloide con planos de ecuación r, que dejamos también como ejercicio para el lector. Si a = b el hiperboloide de ecuación (19) se transforma en una superficie de revolución cuyo eje es el Oz y de ecuación 1 9sG@/rs@ @ ;A 9t @ /@ur;sóA Por último diremos que las ecuaciones: 1 1 representan también hiperboloides de una hoja. El hiperboloide de dos hojas.Estudiemos ahora la superficie llamada hiperboloide de dos hojas cuya ecuación es : 1 20 Por de pronto podemos afirmar que esta superficie es simétrica con respecto a cada uno de los planos y ejes coordenados y con respecto al origen. Los puntos de intersección del hiperboloide con el eje Oz son los puntos: (0,0, c) y (0,0,-c) esta superficie no corta a los ejes Ox ni Oy. Sus intersecciones con los planos coordenados XZ y YZ son respectivamente. 1 , 0 y 1, 0 que representan hipérbolas de igual semieje real c. 18
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El hiperboloide de dos hojas corta al plano XY, pues no hay soluciones reales para la ecuación – 1 Las secciones planas que se obtienen seccionando la superficie en estudio con los planos de ecuación z=h son elipses si |9| d ; si |9| w , no hay intersección y si 9 ± se obtienen los ya conocidos puntos de intersección con el eje Oz, resultado que proponemos verificar como ejercicio al lector. Las secciones que se obtienen con planos de ecuaciones B, son hipérbolas cuyos semiejes crecen al crecer k en valor absoluto como es fácil verificar.
A la misma conclusión se arriba si cortamos el hiperboloide con planos de ecuación r , es decir paralelos al YZ. Si la ecuación (20) se transforma así: 1 que representa a un hiperboloide de dos hojas de revolución, cuyo eje coincide con el eje Oz. Por otra parte las ecuaciones: 1 ; 1 también representan a hiperboloides.
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El paraboloide elíptico: Estudiemos ahora la superficie llamada paraboloide elíptico de ecuación 2 21; d 0 Como siempre estudiemos primero las simetrías de la superficie. El paraboloide elíptico es simétrico con respecto a los planos YZ, ZX pero no con respecto al XY. Además es simétrico únicamente con respecto al eje Oz. No es simétrico entonces con respecto al origen de coordenadas. A las conclusiones anteriores se llega de la misma manera que hicimos para el elipsoide. El paraboloide pasa por el origen pero no corta a los ejes en ningún otro punto. Sus intersecciones con los planos coordenados tienen por ecuaciones: yz
x
{z
0 ?/@ @r ~2 ; x{z 22 ?/@ @r ~ ; 0 0
yz
|z }z
x}z 2 2 ?/@ @r 0 |z
La primera de las cuales representa al origen (0, 0, 0). Las otras dos representan parábolas. Las secciones con planos paralelos al plano XY dan elipses de ecuación: 2 o sea 1 2 9 2 9 Esta ecuación representa una elipse si c y h son del mismo signo en cambio si son de distinto signo la ecuación ultima no representa ninguna curva. Esto significa que si c > 0, la superficie está situada totalmente por encima del plano XY. Las secciones que se obtienen con planos paralelos al XZ B tienen por ecuación 1 B 2 que representan parábolas para distintos valores de k cuyos vértices se alejan del plano XY a medida que k aumenta.
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A la misma conclusión que se llega para las secciones paralelas al plano YZ.- r ; Si a=b la ecuación (21) se transformara así: 2 que representa un paraboloide de revolución cuyo eje coincide con el eje Oz. Además las ecuaciones: 2 ; 2 representan paraboloides elípticos.
,
El paraboloide hiperbólico: Sea la superficie llamada paraboloide hiperbólico cuya ecuación es: 2 22 Es simétrico con respecto a los planos coordenados YZ, ZX y con respecto al eje Oz. El paraboloide pasa por el origen de coordenadas y no tiene ningún otro punto en común con los ejes. Sus intersecciones con los planos coordenados son: 2 2 2 : ; U ; : 2 2 0 0 0 La primera de las cuales puede escribirse así: ] _] _ 0 lo que implica: ] _ 0 ó ] _ 0 es decir son dos rectas contenidas en el plano XY y que pasan por el origen. Las otras dos representan parábolas contenidas en los planos XZ y ZY respectivamente. En cuanto a las secciones con planos de ecuación 9 , es decir paralelos al XY sus ecuaciones se obtienen reemplazando en (22): 29 , ?@, 1 2 9 2 9 Esta ecuación representa para distinto valores de h hipérbolas, si c > 0 y h también el eje transversal es paralelo al eje Ox, si h en cambio es negativo el eje transversal es paralelo al eje Oy. Si h crece en valor absoluto, los planos respectivos se alejan del plano XY y los semiejes de las hipérbolas crecen indefinidamente.
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-Álgebra y geometría I -
En cuanto a las secciones con planos paralelos al XZ, es decir planos de ecuación B, se trata de curvas cuyas ecuaciones son del tipo 1 B 2 es decir son parábolas para distintos valores de k cuyos vértices se alejan del plano XY cuando k aumenta su valor absoluto. Si d 0, la concavidad es hacia arriba, si w 0, la concavidad es hacia abajo. A una conclusión similar se puede arribar para las secciones del paraboloide hiperbólico con planos de ecuación r, es decir planos paralelos al YZ. Se tiene 1 r 2
Las ecuaciones: 2 ;
2
son también paraboloides hiperbólicos.
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