GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES

10.

SEGMENTARIA

Esta forma se obtiene a partir de la forma general.

Ax  By  C  0  Ax  By  C  Ax By  1 C C x Y  1 C C A B

Ejemplo:

x  3y  7  0  x  3 y  7  Los denominadores son los cortes con los ejes. x  3y x y  1  1 7 7 7 7 1 3

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GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES

1. Recta que pasa por A y B en todas las formas A = (-3, 2) B = (5, 1)

AB = (5, 1) – (-3, 2) = (8, -1)

x  (3) y  2  8 1 Continua:

Punto pendiente

y2

Explícita:  x  3  8 y  16 General:

1 ( x  3) 8 

 x  13  8 y



y

 x  13 1 13  x 8 8 8

 x  8 y  13  0  x  8 y  13

Segmentaria:



x  8 y  13



x 8y  1 13 13



Paramétrica: x3 t 8



x  8t  3

y2 t 1  y  t  2

Vectorial: (x, y) = (8t – 3, -t + 2) = (8t, -t) + (-3, 2) = t (8, – 1) + (-3, 2)

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8

x y  1 13 13 8

GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES

2. Hallar la recta que pasa por A y por B en todas sus formas. A  1,3 B   1,5

Vectorial:  x, y   1,3    2,2

AB  B  A  AB   2,2 2 x 1 y  3 x  1 Continua: Punto pendiente: y  3   2 2 2 x y x y General: 2 x  2 y  8  0 Segmentaria:   1    1 8 8 4 4 2 2

Paramétrica:

Explícita:

y

x  1  2   y  3  2  2 x4 2

3. -Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por 5,3 y lleva la dirección u  i  2 j  (1,2) .

x   x, y   a  t u  5,3  t 1,2   5  t ,3  2t  Es la ecuación vectorial. Las ecuaciones paramétricas:

x  5t   y  3  2t 

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GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES

4. Obtener la forma general y explícita de la recta que pasa por A= (3, 4) con vector director (1, 3):

Ay  By  C  0  y  4  3 x  9  3 x  y  13  0 (Forma general) y  3 x  13 (Forma explícita)

5. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A (5,-2) y B (3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P (2,1) y Q (-5, -3):

53 26  4, y   4  4,4 2 2 4 7  v   5  2,3  1   7,4 m    7 4 7 x  4 y  12  0

Punto: x 

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y4 

7 x  4  4

GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y POSICIONES

6. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 3 unidades cuadradas: La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b. Siendo (a, 0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.

En nuestro caso b=3, entonces x0 2



y 3 3

3·a 2

3 a  2

.Entonces el vector es:(2, 0)-(0, 3)=(2,-3)

 3 x  2 y  6

La ecuación sería:

3x  2 y  6  0

7. Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009

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s: 3x-2y+1=0:

GEOMETRÍA-EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA 1. Hallar la recta que pasa por A y B en todas las formas A = (-3, 2)

B = (5, 1)

 PRIMERO CALCULAMOS EL VECTOR, RESTANDO LOS PUNTOS AB = (5, 1) – (-3, 2) = (8, -1)  NO IMPORTA EL ORDEN, NOS DARÍA LA MISMA DIRECCIÓN  Podemos empezar por cualquier forma, pero una forma bastante buena es empezar por la continua y seguir con las demás a partir de ella. :

x  (3) y  2  8 1 Continua:

y2

Punto pendiente

1 ( x  3) 8

Explícita:  x  3  8 y  16   x  13  8 y 

y

 x  13 1 13  x 8 8 8

General:  x  8 y  13  0 Segmentaria:

x y  1 x 8y 13   1 13  x  8 y  13  x  8 y  13  13 13  8

Paramétrica:

x3 t  x  8t  3 8 y2 t  y  t  2 1

Vectorial: (x, y) = (8t – 3, -t + 2) = (8t, -t) + (-3, 2) = t (8, – 1) + (-3, 2) Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009

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GEOMETRÍA-EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

2. Hallar la recta que pasa por A y por B en todas sus formas. Representar

A  1,3

B   1,5 AB  B  A  AB   2,2 

x  1  2   Vectorial:  x, y   1,3    2,2 Paramétrica: y  3  2  2 x 1 y  3 x  1 y 3   2 2 Continua:  2 Punto pendiente: x y x y  1  1 8 8 4 4 General: 2 x  2 y  8  0 Segmentaria: 2 2

Explícita:

y

2 x4 2

3. Hallar la recta que pasa por A=(2,1) y por B=(-2,3) en todas sus formas. 4. Hallar la recta que pasa por A=(1, -3) y por u  (1,2) en todas sus formas.

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GEOMETRÍA-EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA 5. Calcular la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por 5,3 y lleva la dirección u  i  2 j . x   x, y   a  t u  5,3  t 1,2   5  t ,3  2t  Ecuación vectorial.

Igualando coordenadas se obtienen las ecuaciones paramétricas:

x5t   y  3  2t 

La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la parte positiva del eje de abscisas con la recta. 6. Obtener la forma general y explícita de la recta que pasa por A= (3, 4) con vector director (-1, 3): Ay  By  C  0  y  4  3x  9  (Forma general) 3x  y  13  0 y  3x  13 (Forma explícita)

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GEOMETRÍA-EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA 7. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A (5,-2) y B (3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por: P (2,1) y Q (-5, -3): 23 26  4, y   4, 4,4 2 2  v   5,2,3  1   7,4 

Punto: x  m

4 7  7 4

y4 

7 x  4  7 x  4 y  12  0 4

8. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

El punto medio es Prof: F. López- D. Legal: M-007076/2009

4

A  B  x1  x 2 y1  y 2   ,  2 2   2

GEOMETRÍA-EJERCICIOS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA 9. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 3 unidades cuadradas: La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b. Siendo (a, 0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes. 3·a 3 a  2 2 La ecuación sería: 3x  2 y  1  0

En nuestro caso b=3, entonces

10. Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x2y+1=0: El vector de s es (2, 3), y su pendiente m s  Si r y s son perpendiculares m s  

3 2

El vector director de r es (5B, 2), y su pendiente m r 

5B 3  1 3  , entonces:  B 2 2 mr 5

La recta queda: 2 x  3 y  C  0 Como el punto (3,-2) pertenece a la recta se cumple que: 2  3  3   2  C  0  C  0 Y la recta incógnita será: 2 x  3 y  0

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2 5B

GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y EN EL PLANO DEL ESPACIO

EJERCICIOS 1. Hallar en todas las formas la recta que pasa por P  3,  1, 2  y cuyo vector es E. VECTORIAL:

 x, y , z   3,1,2   t 1,2,1

x  3  t  E. PARAMÉTRICA:  y  1  2t z  2  t 

X 3

E. CONTINUA:

1



Y 1 2



Z 2 1

2 x  6  y  1  2 x  y  7  0

E. REDUCIDA:  y  1  2 z  4  2 z  y  3  0 

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 v  1,2,1 :

GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y EN EL PLANO DEL ESPACIO  2. Hallar en todas las formas la recta que pasa por P 1,2,3 y cuyo vector es v 3,2,4

E. VECTORIAL:  x, y , z  

1,2,3  t 3,2,4 

 x  1  3t   y  2  2t E. PARAMÉTRICA:   z  3  4t x 1 E. CONTINUA:

3



y2 2



z 3 4

E. REDUCIDA: 2 x  2  3 y  6  2 x  3 y  8  0  4 y  8  2 z  6  4 y  2 z  14  0

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GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y EN EL PLANO DEL ESPACIO

3. DISTINTAS ENUNCIADOS PARA CALCULAR UNA RECTA En vez de dar un punto y un vector, nos dan dos puntos. Lo primero que tenemos hacer es calcular el vector director, podemos restar indistintamente los puntos A y B porque darían dos vectores opuestos, pero de la misma dirección. También tenemos la misma ecuación si ponemos el punto A o el B. 4. Recta que pasa por dos puntos .A (1, 2, 1) y B (-1, 0,2). Con los dos puntos formamos un vector, escribiendo la recta en cualquier forma.  AB =

B-A = (-2, -2, 1)

x 1 y  2 z 1   2 2 1

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GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y EN EL PLANO DEL ESPACIO

x  y  2z  1 5. Hallar una recta que pasa por A=(1,2,1) y es paralela a la recta reducida:  . 2 x  3 y  z  2  Pasarlo a paramétrica.

Si son paralelas, tienen el mismo vector, para esto se halla la paramétrica.

2  2 Por Cramer. x 

 x  y  2  2  2 x  3 y  2   z   

1 2  2

1

2    3  5  5 2 2 5   1  x     1 1 1 1 5 5 2 3 2 3 x  1 

Forma paramétrica y  

z Tomamos ahora el punto A= (1, 2, 1)

y el vector el mismo (-1, -1, 1) para que sean paralelas. x  1 

x 1 y  2 z 1   En forma continua . En forma paramétrica y  2   1 1 1 z  1 

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GEOMETRÍA-ECUACIÓN DE LA RECTA Y EN EL PLANO DEL ESPACIO

x  2 y  z  2 6. Hallar la recta paralela a dos planos:  que pasa por un punto P = (2, 1,3). x  y  3 z  3  Hallamos la recta en la que se cortan los dos planos y tomamos el vector para hallar la recta que nos piden. Dos planos se cortan en una recta si no son proporcionales. La recta en paramétrica, para sacar el vector, que será el será el de la recta pedida. Lo resolvemos por Cramer.

2t 2 3  3t  1  8  7t x  1 2 3 7t  8  1 1 x   3 1 2t  2t  1  1 3  3t 2t  1 y   y   3 Vector = (-7, 2, 3)  3 3 z  t zt



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8

x  2 y 1 z  3 => 7  2  3