Cálculo Diferencial e Integral I

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General Lic. Bulmaro Pacheco Moreno Director Académico Profr. Adrián Esquer Duarte Director Administrativo C.P. Gilberto Contreras Vásquez Director de Planeación Dr. Jorge Ángel Gastélum Islas Director Financiero Lic. Oscar Rascón Acuña CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Módulo de Aprendizaje. Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Todos los derechos reservados. Primera edición 2008. Impreso en México. DIRECCIÓN ACADÉMICA Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280 Registro ISBN, en trámite. COMISIÓN ELABORADORA: Elaboración: Librada Cárdenas Esquer Lourdes Torres Delgado Supervisión Académica: Jesús Arely Meza León Diseño de Portada: María Jesús Jiménez Duarte Edición: Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Martha Elizabeth García Pérez Coordinación General: Profr. Adrián Esquer Duarte Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2008. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México La edición consta de 3,468 ejemplares.

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Ubicación Curricular COMPONENTE:

GRUPO:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

FÍSICO-MATEMÁTICO Y ECONÓMICOADMINISTRATIVO

Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.

HORAS SEMANALES: 03

CRÉDITOS: 06

DATOS DEL ALUMNO Nombre: ______________________________________________________ Plantel: _________________________________________________________ Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________ Domicilio: _____________________________________________________ ______________________________________________________________

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Mapa Conceptual de la Asignatura CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Inician con el conocimiento de

Límites y continuidad Conforman las

Derivadas Se aplican

Funciones elementales

Funciones trascendentes Para derivar se usan

Reglas de derivación Se utilizan en

Aplicaciones A problemas de

Valores máximos y mínimos

Optimización en las ciencias naturales y sociales

Graficado de curvas complejas

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Índice Recomendaciones para el alumno ...................................................................... 7 Presentación.........................................................................................................8 UNIDAD 1. LÍMITES ................................................................................... 9 1.1. Límites. ..........................................................................................................11 1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.........................................11 1.1.2. Teorema o propiedades de los límites ...............................................16 1.1.3. Límites de funciones polinomiales, racionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. .................................18 1.1.4. Límites infinitos y límites en el infinito .................................................23 1.2. Teorema de continuidad de una función .....................................................29 1.2.1. Condiciones de continuidad ...............................................................30 1.2.2. Teoremas de valor intermedio y de valores extremos ........................33 Sección de tareas ................................................................................................35 Autoevaluación .....................................................................................................45 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................47 UNIDAD 2. LA RAZÓN DE CAMBIO Y LA DERIVADA .............................. 49 2.1. La derivada ...........................................................................................................51 2.1.1. Razón de cambio promedio e instantánea ..............................................51 2.1.2. La derivada como razón de cambio instantánea ....................................56 2.1.3. Interpretación geométrica de la derivada ................................................57 2.1.4. Diferenciabilidad en un intervalo ...............................................................61 2.2. Reglas de derivación ............................................................................................65 2.2.1. Reglas de la potencia ................................................................................65 2.2.2. Reglas del producto y del cociente de funciones ...................................68 2.2.3. Regla de la cadena ....................................................................................69 2.2.4. Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas............................................................................71 2.2.5.- Derivadas de funciones: exponencial y logarítmicas ..............................76 2.3. Derivación implícita...............................................................................................77 2.4. Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal ..........................................................................................................81 Sección de tareas ................................................................................................87 Autoevaluación .....................................................................................................97 Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................101

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Índice (continuación) UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS APLICACIONES ....................................................................... 103 3.1. Aplicaciones de la primera derivada................................................................... 105 3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio de primera derivada .................................................................................. 105 3.1.2. Derivadas de orden superior .................................................................... 111 3.1.3. Cálculos de Valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada...................................................................................... 111 3.1.4. Funciones crecientes y decrecientes ...................................................... 114 3.2. Concavidad.......................................................................................................... 118 3.2.1. Criterio de la segunda derivada. .............................................................. 118 3.2.2. Puntos de inflexión .................................................................................... 120 3.2.3. Trazado de Curvas .................................................................................... 121 3.3. Aplicaciones de la derivada................................................................................. 123 3.3.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ......................................... 123 3.3.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas y sociales.................................................................................................... 127 Sección de tareas ............................................................................................... 131 Autoevaluación .................................................................................................... 139 Ejercicio de reforzamiento ................................................................................... 141 Claves de respuestas .......................................................................................... 143 Glosario ............................................................................................................... 144 Bibliografía ........................................................................................................... 146

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Recomendaciones para el alumno El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral I. No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes recomendaciones: Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos temáticos a revisar en clase. Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase. Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican. Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados. Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en cada unidad. Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario que aparece al final del módulo. Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del Colegio: www.cobachsonora.edu.mx

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Presentación El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje, pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales. La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos naturales y sociales, tales como: ƒ ƒ ƒ

La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y leyes. El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de sus impactos social, económico y ambiental. La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para elegir adecuadamente sus estudios superiores.

En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología. La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones para su problemática.

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Unidad 1 Límites. Objetivo: El alumno: Resolverá problemas de límites en las ciencias naturales, económicas administrativas y sociales a partir de la aplicación y el empleo de sus teoremas mediante el análisis de su comportamiento gráfico, con una actitud analítica y participativa.

Temario: ¾ Límites. ¾ Teorema de continuidad de una función.

Cálculo Diferencial e Integral I

Mapa Conceptual de Unidad CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

LÍMITES

LÍMITES

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

NOCIÓN INTUITIVA

CONDICIONES DE CONTINUIDAD

TEOREMA O PROPIEDADES

TEOREMAS DE VALORES INTERMEDIO Y EXTREMO

FUNCIONES

INFINITOS Y EN EL INFINITO

10

Límites

1.1.

LÍMITES

1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales. Investigaremos qué sucede con las imágenes de f(x) cuando los valores de la variable independiente (en este caso x) se acercan al valor específico x=c, tanto por la derecha como por la izquierda. Haremos esto tabulando los valores de la función para los valores de x cada vez más cercano al número. Consideramos la función f(x)=x+5 cuando x se acerca a -2. x -2.1 -2.01 -2.2001 -2.0001 -2.00001

x -1.9 -1.99 -1.999 -1.9999 -1.99999

F(x) 2.9 2.99 2.999 2.9999 2.99999

F(x) 3.1 3.01 3.001 3.0001 3.00001

Como podemos observar que cuando x se acerca a -2 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 3, esto es, cuando x está muy cerca de 2, f(x) está próximo a 3. Este comportamiento se representa matemáticamente por medio del concepto de límites de una función, decimos en este caso que 3 es el límite de la función, cuando x tiende a -2 y lo escribimos como: F(x) Izquierda

3 cuando x

-2

derecha

La abreviación Lim fue usada, por primera vez, por Ginebrino Simón A.J. Ihuilier (1750-1840) en 1786 y la usó también Cauchy.

La noción que se adquiere de que f(x) tiende al número L cuando x tiende al número C, se detiene en general como la noción intuitiva de límite de la siguiente manera: Si los valores de f(x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a un número (único) L, cuando x se acerca a un número A por ambos lados, entonces concluimos que “El límite de f(x) es L cuando x tiende a C”. El límite de una función se puede denotar de 2 formas: Lim f(x) = L

ó

F(X) = L1 SI X

C

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Cálculo Diferencial e Integral I

Aquí también podemos definir los límites laterales como: A) L, es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a C por la izquierda y lo representamos como: Lim f(x)=L cuando xC se observa que f(x) se aproxima a L2 X C Propiedades de los límites laterales: El límite de la función f en x=c existen sus límites laterales y estos son iguales, por lo que tenemos: Lim f(x) = lim = lim f(x) X C X C X C Pero si sucede lo contrario, cuando los límites laterales son diferentes, se dice que el límite no existe y se representa como: Lim f(x) =E Ejemplo 1. Dada la función f(x)= x2-25 X–5 Elabora la tabla y la gráfica de la función y determina lim f(x) X Es importante saber que la existencia de una función f no depende si f está realmente definida C, sino solamente si f está definida para x cerca de C.

x 5.1 5.01 5.001 5.0001 5.00001 Derecha

x 4.9 4.09 4.009 4.0009 4.00009

F(x) 10.1 10.01 10.001 10.0001 10.00001

5

F(x) 9.9 9.99 9.999 9.9999 9.99999

Izquierda

Podemos observar que cuando x se acerca a 5 por la izquierda o por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 10, esto es cuando x está muy cerca de 5, f(x) está próxima 6 y lo escribimos como: F(x) 10 cuando x 5 O en su forma formal: lim X2 - 25 = 10 X- 5

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.límitesmatemáticos.c om

12

Límites

Al graficar la función, se observa que efectivamente, los valores de la función andan cerca de 10 cuando x se encuentra alrededor de 5. F(x) 10

Izquierda

derecha

A veces nos preguntamos por qué tenemos que hacer tanto procedimiento para determinar que lim x+5 = 3 X -2 Cuando por sustitución directa de x= -2 se encuentra el mismo resultado en la forma por demás más simple. Recuerda que aquí nos interesa encontrar el concepto de límite de una función y no el proceso mecánico para evaluar o determinar un límite. Debes observar que en casos como lim X2 -25 X–5 Si se sustituye x por 5 no es posible, esto nos lleva a una determinación en que para determinarlo requiere de artificios que nos permitan simplificar el factor que produce la indeterminación, en este caso sólo con factorizar así: (x-5)(x+5) = x+5, si x=5 X–5 Esto se verá cuando se apliquen los teoremas de límites en funciones independientes. Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén lim f(x) para la función: f(x) =2/x-2/ si x0, entonces 1. log m.n = logm + logn 2. log m/n = logm-logn 3. log mn=nlogm

22

Límites

1. En los ejercicios siguientes hallar el límite (si existe); a) Lim x2 + 1 = x -1 x+1

x

b) Lim sen x = ▲/3

c) Lim (4 – x/2) x 4

d) Lim √2x2 – 2 = x 3

e) Lim tg (▲x) x 3

f) Lim x3 – 27 3

x

g) Lim (1+▲x)3-1 ▲ 0 ▲x i) Lim esenx = x 2¶

x

EJERCICIO 3

h) Lim x-3 = 3 x2-9

j) Lim cosx 90° ctgx

x

k) Lim [ln-2x – ln (2x+3) + ln (ex) + elnx] = x 1 L) Lim esenx/x . e 1-cosx/x = x 0 M) Lim ln x3 – ln7x = x -1 2. Anota las cuatro funciones trigonométricas en donde nos dice que si c no está en el dominio de la función dada, el límite no existe. 3. Realizar la gráfica de los siguientes límites ilustrando donde la función no está definida o si está ya definida. a) Lim x - 4 X 4 X2 – X-12

b) Lim (x2-4x+1) X 2

c) Lim x3 -27 X 3 X2-9

d) Lim √25-X2 X 4

1.1.4. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO. Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha aproximado a algún número real. Trataremos ahora con límites donde x aumenta o disminuye sin fronteras. Se aplican las siguientes definiciones informales. A. Si x aumenta sin límites, se dice que tiende hacia un infinito positivo. Esto se designa por: x +∞ B. Si x decrece sin límite, se dice que tiende a un infinito negativo. Esto se designa por: x -∞

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Cálculo Diferencial e Integral I

Consideremos la función f donde f(x) =1/x para {x : x>0} como se ilustra en la figura siguiente:

5 f(x) = 4 1/x para x >0 3 2 1 1 2 3 4 5

La gráfica muestra que x se hace más y más grande, el valor de la expresión 1/x se aproximará más y más hacia cero, simbólicamente, esto es: Lim 1/x =0 x +∞ Otro ejemplo, probablemente menos obvio, puede encontrarse en la función f donde: F(x) = 3x2 X2+1 Esta función se ilustra en la figura siguiente, como también la tabla, mostrándonos lo que sucede a f(x) cuando x se hace inusitadamente mayor. x F(x)

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1 3/2

2 12/5

3 27/10

4 48/17

5 75/26

10 300 100

100 30000 10001

1000 3000000 1000001

10000 300000000 100000001

Límites

Puede verse que según x aumente sin límite a través de reales positivas, f(x) se aproxima a 3, simbólicamente podemos afirmar esto de las siguientes maneras: F(x)

3 cuando x

+∞ o x +∞

Lim [3x2/x2+1] = 3

3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

123456

Podemos hacer a f(x) tan cercano a 3 como se desee, haciendo a x lo suficientemente grande. Esto es, decir que el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 3 (If (x)-3l) sea tan pequeño como se desee (menor que ε) haciendo a x lo suficientemente grande (mayor que algún número N>0). Esto es también verdad para f(x) 3 según que x -∞. La siguiente definición define formalmente el límite de una función cuando x aumenta y disminuye sin límite. Definición 1. Lim f(x) = L si y sólo si para todo ε>0; эN>0 x +∞ Tal que I f(x) - Ll N Definición 2. Lim f(x) = L si y solo si para toda ε >0, ЭN1/3 entonces ½ es el mayor exponente. 6. Lim (5 – 2/x2) = Lim 5 – Lim 2/x2 = 5-0 = 5 x ∞ x ∞ 7. Lim 2x -1 = 2x/x – 1/x = 2 – 0 = 2/1 = 2 x ∞ x+1 x/x + 1/x 1 + 0 8. Lim n = Lim n/n = Lim 1 = 1/1 = 1 x ∞ n+1 x ∞ n/n+1 x ∞ 1+1/n 9. Sea f(t) el nivel de oxígeno en un estanque, donde f(t)= 1 es el nivel normal (sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando t =0, se arroja materia orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de oxígeno en el estanque viene dado por:

TAREAS 3 y 4

Páginas 39 y 41.

F(t) = t2 – t + 1 t2 + 1 27

Cálculo Diferencial e Integral I

¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el límite para t tendiendo al infinito? Solución: Cuando t = 1, 2 y 10, los niveles de oxígeno. F(1) = 12 -1 + 1 =1/2 = 50% 1 semana 12+1 F(2) = 22 – 2 + 1 = 3/5 = 60% 2 semanas 22 + 1 F(10) = 102 – 10 + 1 = 91/101 = 90.17 10 semanas 102 +1 Lim t2 – t + 1 = 1- 1/t + 1/t2 = 1 – 0 + 0 = 1 = 10% x ∞ t2 + 1 1 + (1/t2) 1 + 0 Contesta lo que se te pide. 1. Determina el signo que debe tener ∞ en las siguientes funciones al aplicar límites infinitos: A) Lim 6x = x 3- x-3 B) Lim x2 = x 2+ 4-x C) Lim 3x – 2 = x 1-/4 4x + 1 2. Resuelva los siguientes límites en el infinito: A) Lim 4x3 + 9x2 + 3x = x ∞ 6x3 + 3x + 5 B) Lim 10x2 + 5x – 3 = x ∞ 5x2 + 3x – 5 C) Lim 10x5 -3x4 + 3x2 = x ∞ 14x9 -5x7 + 3x2 + 5

28

Límites

1.2.

TEOREMA DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el proyecto. Por ejemplo, cuando vamos caminando y encontramos un charco de agua, tenemos que brincar para poder seguir nuestro camino. En las gráficas se presenta el mismo caso; es decir, en ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En caso contrario, cuando no despegamos el lápiz del papel decimos que la función es una función continua. Y cuando lo despegamos es una función discontinua. Analizaremos las siguientes figuras para obtener la definición de continuidad y discontinuidad de una manera intuitiva (informal). F(x)

C

x

f(x)

c

En forma intuitiva se puede decir que la gráfica que representa a esta función, puede dibujarse en un trazo interrumpido. Concluimos que es una función continua.

x La gráfica que representa esta función, da un salto; o sea, hay un trazo interrumpido. Concluimos que es una función discontinua.

En el subtema siguiente llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a establecer las condiciones para que una función sea continua.

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Cálculo Diferencial e Integral I

1.2.1. CONDICIONES DE CONTINUIDAD. Sea la función: 1. f(x) = (x+2)(x-5) x–5 Gráfica de la función: 9 8 7 6 5 4 3 2 1

f(x)

X 1 2 3 4 5 6 7

En esta función f(x) no está definida, esto nos dice que para toda x ε R, excepto cuando x=5, hay una ruptura en la gráfica en x=5 concluimos que la función f es discontinua en x=5 y continua para todos los otros valores de x≠5. Consideramos la función g: 2. g(x) =

x cuando x≠3 2 cuando x=3

No por el hecho de que g(x) está definida para todos los números reales x, hay una ruptura en su gráfica en x=3 y debemos afirmar que g es discontinua en 3, teniendo a una función definida en algún punto c es una condición necesaria para la continuidad en ese punto pero no suficiente para asegurar que la continuidad exista. La siguiente definición explica la situación: Definición. Se dice que es una función f es continua en c si y sólo si las tres condiciones siguientes son verdaderas. I. f(c) está definida II. Lim f(x) existe x c III. Lim f(x) = f(c) x c Si cualquiera de estas tres condiciones falla, decimos que f es discontinua en el elemento c. Continuidad es un intervalo abierto: Decimos que una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. 30

Límites

Una función que es continua en toda la recta real (-∞+ -∞) se llama continua en todas partes. Existen dos tipos de discontinuidad, las evitables y las esenciales. Por lo general, la discontinuidad es evitable cuando se rompe por factorización o cuando podemos cambiar alguna de las condiciones de la función, y será esencial cuando no podemos hacer lo anterior. Si no se cumple cualquiera de las condiciones anteriores, entonces la función será discontinua en ese punto. Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes casos: 1. Una división entre cero. 2. Extraer una raíz de índice para una cantidad negativa. Si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente y no se presenta ninguno de los dos casos anteriores, la función será continua para ese valor. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en los puntos que se te indican: 1. f(x) =

2 si x= 1 2x2 + x – 3 si x ≠ 1 x–1

Aplicando las tres condiciones: I. f(x) existe f(1)=2 cumple II. Lim f(x) existe Lim (2x+3)(x-1) = Lim 2x+3 x c x c = 2(1)+3 =2+3=5 cumple Se factoriza 2x2 + x -3: (2x+3) (x-1) III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) no cumple ya que 2≠5 x c x c Es discontinua en x=1 2. F(X) 1/x-3 aplicando las tres condiciones de continuidad, Primeramente se toma x-3 del denominador y se iguala a cero para despejar x. x-3 =0 , x= 3 f(c) existe f(3) no existe por lo que f es discontinua en x=3 3. f(x) =

2x + 1 2x – 1

cuando x ≥ 5 cuando x < 5

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Cálculo Diferencial e Integral I

Aplicando las tres condiciones de continuidad: I. f(c) existe f(5) = 2(5) + 1 = 10 + 1 = 1 cumple II. Lim f(x) existe Lim 2x – 1 = 2(5) – 1 = 10 – 1 = 9 cumple x c x 5 III. Lim f(x) = f(c) Lim f(x) ≠ f(c) o sea 11 ≠ 9 no cumple x c x c Es discontinua en x= 5 EJERCICIO 3

Contesta lo que se te pide. 1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. a) f(x) 0 x2 – 1 b) f(x) = 3x + 5 c) f(x) =1/2 + x d) f(x) = x2 – 9 x+3 e) f(x) = √x-1 f) f(x) = 3x, si x ≥ 3 6x , si x ≤ 3 g) f(x) =

9x, si x 9

h) f(x)=

x+3, si x= 3 x-3 3x, si x>3 X2, si x 0 si x ≤ 0 si 0 < x ≤ 1

Unidad 2 Las razones de cam b i o y l a derivada.

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económicoadministrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

El libro de la naturaleza “El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él… Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está escrito… Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos matemáticos). Galileo Galilei Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos.

Temario: ¾ ¾ ¾ ¾

La derivada. Reglas de derivación. Derivación implícita. Ecuaciones de la tangente y normal longitudes de la subtangente y subnormal.

Cálculo Diferencial e Integral I

Mapa Conceptual de Unidad La Derivada

Se obtiene por

Derivación implícita Las reglas de derivación

Razón de cambio promedio e instantánea.

Regla de la potencia

De las cuales obtenemos

Interpretación geométrica de la derivada Para concluir en

Las cuales son

La diferenciabilidad en un intervalo

Graficado de curvas complejas

Reglas del producto y del cociente

Regla de la cadena

Derivadas de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Las cuales se emplearán en

Ecuaciones de la tangente y normal, longitudes de la subtangente y subnormal.

50

Las razones de cambio y la derivada

2.1.

LA DERIVADA

Durante los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio. El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y como puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo. La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII: 1. 2. 3. 4.

Gottgried Wilhem Leibniz (16461716) Como matemático, su nombre está unido al del gran Newton, como coautor del cálculo infinitesimal

El problema de la tangente. El problema de la aceleración. El problema de máximos y mínimos. El problema del área.

Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.

2.1.1. Razón de cambio promedio e instantáneo. En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente de una recta llamada “m” y se concluyó lo siguiente: a) La pendiente de toda recta paralela al eje “x” es cero.

b)

La pendiente de una recta que forma un ángulo positiva.

c)

Una recta paralela al eje “y” no tiene pendiente.

d) Si la recta forma un ángulo negativa.

θ

θ

entre 0° < θ < 90° es

entre 90° < θ < 180° la pendiente es

51

Cálculo Diferencial e Integral I

Veamos la siguiente gráfica.

y = f ( x) = mx + b

y=f(x) P2

y2 y1

∆y

P1

∆x x1

x2

Sea P1 ( x1 , y 2 ) yP2 ( x2 , y 2 ) dos puntos de la recta. Recuerda que la pendiente del segmento P1 y P2 se define:

m=

y 2 − y1 x2 − x1

Y por lo tanto:

m=

∆y ∆x

∆ Es una letra griega llamada delta. Que significa: CAMBIO.

Donde:

∆x = x2 − x1 . Es la diferencia de las abscisas (x) ∆y = y 2 − y1 . Es la diferencia de las ordenadas (y) Por lo tanto:

∆y se lee como “razón de cambio de “y” con respecto a “x”. ∆x

La razón de cambio:

∆y es el mismo para cualquier par de puntos que se ∆x

tomen en la línea recta. Para demostrar esto veamos lo siguiente: Tomamos la ecuación de la recta:

( y − y1 ) = m( x − x1 )

P1 ( x1 , y 2 ) yP2 ( x2 , y 2 ) dos puntos de la recta y − y1 m= 2 es la pendiente de la recta que pasa x2 − x1

Sean y

por dos puntos.

52

( y − y1 ) = m( x − x1 ) Es la ecuación de la recta de la forma punto pendiente

Las razones de cambio y la derivada

Y como " x" y " y" de la ecuación ( y − y1 ) = m( x − x1 ) pueden tomar cualquier valor que satisfaga esa ecuación; es decir, es válida para cualquier punto por donde pasa la recta. Entonces:

( y − y1 ) = m( x − x1 ) quedaría: ( y 2 − y1 ) = m( x2 − x1 ) Y despejando la pendiente tenemos: y − y1 m= 2 x2 − x1 Esto demuestra que la pendiente es la razón de cambio promedio. Por lo tanto podemos definir que:

Razón de cambio promedio.

Sea f una función tal que y = f (x ) y P1 ( x1 , y 2 ) yP2 ( x2 , y 2 ) un par de puntos de f . Definimos la razón de cambio promedio de “y” con respecto a “x” como:

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = x2 − x1 ∆x x2 − x1

Razón de cambio instantáneo. Sea y = f (x) una función definida en todos puntos del intervalo de cambio instantáneo de la función en x.

( x, y ) Definimos la razón

∆y

lim ∆x x →0

O bien:

lim x →0

f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1

De acuerdo a lo anterior, podemos decir que la diferencia entre ambas es que la razón de cambio promedio es una razón de incrementos, mientras que la razón de cambio instantáneo es el límite de una razón de incrementos.

53

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejemplo 1. Determinar la razón de cambio promedio de la función

f ( x) = 3 x + 1 en el intervalo [3,7] Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

x

y = f (x)

∆x

∆y

3

f (3) = 10

4 −3 =1

f (4) − f (3) = 13 − 10 = 3

4

f (4) = 13

5− 4 =1

5

f (5) = 16

6 −5 =1

6

f (6) = 19

7 − 6 =1

7

f (7) = 22

f (5) − f (4) = 16 − 13 = 3 f (7) − f (6) = 22 − 19 = 3

Paso 2.- Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = Observamos la tabla para sustituir los x2 − x1 ∆x x2 − x1 resultados y tenemos:

∆y 3 = =3 ∆x 1 Por lo tanto la razón de cambio promedio de la función en el intervalo de 3. Ejemplo 2. Determinar la razón de cambio promedio de la función:

f ( x) = 5 x 2 + 2 x − 6 En el intervalo [−1,4] Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

x

x1 = −1 x2 = 4

54

y = f (x) f ( x1 ) = −3 f ( x2 ) = 82

∆x

4-(-1)= 5

∆y

82-(-3) = 85

[3,7] es

Las razones de cambio y la derivada

Paso 2.- Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) = = ∆x x2 − x1 x2 − x1 ∆y y 2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 ) 85 = = = = 17 3 ∆x x2 − x1 x2 − x1 ∆y = 17 ∆x

Geométricamente,

∆y = 17 es la pendiente de la recta secante que une ∆x

Los puntos (-1,-3) y (4,82).

Ahora veremos problemas en donde interviene la razón de cambio Instantáneo. Ejemplo 3. Las leyes de la física indican que si un cuerpo cae libremente a una distancia de “s” pies en “t” segundos, entonces

S = 16t 2

Hallar

∆s en el intervalo de valores de t ∈ [3,3.5] ∆t

Solución: Paso1.- Realizar una tabla de valor como ésta:

t

t1 = 3 t 2 = 3 .5

y = s (t ) s (3) = 144 s (3.5) = 196

∆s

∆t

196 - 144 = 52

3.5 - 3 = 0.5

El símbolo "∈" significa pertenece o está en.

Paso 2.- Sustituir en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

∆s s 2 − s1 s (t 2 ) − s (t1 ) 52 = = = = 104 ∆t t 2 − t1 t 2 − t1 0.5 ∆s = 104 ∆t

Y como vimos en la materia Física I, la siguiente definición:

∆s desplazamiento = = velocidad promedio del cuerpo en el intervalo del ∆t tiempo

tiempo. Por lo tanto: La razón de cambio instantáneo es:

∆s pies = 104 ∆t seg.

55

Cálculo Diferencial e Integral I

EJERCICIO 1

En equipo: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los miembros de tu equipo. 1.- Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan. a) y = x , para 2

x ∈ [-3, 4]

b) y = x (7 x − 3) , para x ∈ [1, 6] 2

2.- Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se se te da en las siguientes funciones: a) y = x2 + 5x – 8, x e [1,1.2]

b) y = x2 + 2x, x e [1, 1.5]

Respuesta:

Respuesta:

∆y = 7.2 ∆x

∆y = 4.5 ∆x

c) Hallar ∆y, dado que y = x2 – 3x + 5, y ∆x = 0.01. Entonces, ¿cuál es el valor de “y” cuando x = 4.9? Respuesta: ∆y = - 0.0699 Y = 14.9301 3.- Resuelve los siguientes problemas. a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas. Recordar que: V = 4 ∆ r3 3 b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son: 0, 29, 55, 78, 97, 114, 128, 138 y 145. c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145] d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Si o no. e ¿A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, cuál es límite real en que la velocidad se va aproximando? f) Realiza la gráfica.

2.1.2. La derivada como razón de cambio instantánea. En el tema anterior se llegó a que una razón de cambio instantáneo es una Función definida en todos los puntos del intervalo [x, x + ∆x] si ∆x>0; En el intervalo [x + ∆x, x] si ∆x 0 para toda x de (a, c) y f ´( x ) < 0 para toda x de (c, b), entonces

f (c) es un máximo local (o relativo) de f . (es decir: si f ´(x) cambia de positiva a negativa en c ). (ii) Si f ´(x) < 0 para toda x de (a, c) y f ´( x ) > 0 para toda x de (c, b), entonces f (c) es un mínimo local (o relativo) de f . (es decir: si f ´(x) cambia de negativa a positiva en c ). f ´(x) tiene el mismo signo a ambos lados de c, entonces f (c) no es un (iii) Si extremo local de f .

Máximo relativo en

Mínimo relativo en

En vista de los teoremas anteriores, podemos establecer ahora un procedimiento muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua f en un intervalo cerrado I .

107

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función.

 1  En I = − ,2  2  Paso 1.- Encuentra los puntos críticos de f en I . f ( x ) = −2 x 3 + 3 x 2

a) Derivamos la función:

f ´(x) = −6 x 2 + 6 x

b) E igualamos a cero f ´(x) para obtener las raíces x1 , x 2 . Resolviendo la siguiente ecuación cuadrática tenemos. Los valores del Intervalo como son:

−

1 2

y

2

se

consideran puntos críticos sólo por ser puntos frontera de I . (Teorema del punto crítico).

− 6x 2 + 6x = 0 6 x(−x + 1) = 0 Por lo tanto: 6x = 0 y

x1 = 0

− x +1 = 0

x2 = 1

Los puntos críticos son: −

1 ,0,1,2 2

Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo. a) En

x=−

1 tenemos: 2

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 f (−1 / 2) = −2(−1 / 2) 3 + 3(−1 / 2) 2

⇒

f (−1 / 2) =

f (−1 / 2) = 1 b) En x1 = 0 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f ( x) = −2(0) 3 + 3(0) 2 f (0) = 0 c) En x2 = 2 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f (2) = −2(2) 3 + 3(2) 2 f (2) = −4 d) En

x = 1 tenemos:

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 ⇒ f (1) = 1 108

f (1) = −2(1) 3 + 3(1) 2

2 3 + ⇒ 8 4

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Acomodando los datos en una tabla, tenemos:

x

f ( x)

-1/2

1

0

0

1

1

2

-4

El valor máximo es 1 y el valor mínimo es -4.

4

y = -2X^3+3X^2

3 2 1 −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4

Esta es la gráfica correspondiente a la función

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2

Ejemplo 2.- Encuentra los valores máximos y mínimos de la siguiente función. f ( x) = x 2 + 3 x En I = [− 2,1] Paso 1.- Encuentra los puntos críticos de a) Derivamos la función:

f en I .

f `( x) = 2 x + 3 b) E igualamos a cero f ´(x) para obtener la raíz x1 . f ( x) = x 2 + 3x

⇒

Resolviendo la siguiente ecuación tenemos.

2x + 3 = 0 3 x1 = − 2 Los puntos críticos son:

3 − ,−2,1 2

109

Cálculo Diferencial e Integral I

Paso 2.- Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos valores será el máximo; el menor, el mínimo. a) En

x=−

3 tenemos: 2

f ( x) = x 2 + 3x

⇒ f (−3 / 2) = (−3 / 2) 2 + 3(−3 / 2) ⇒ f (−3 / 2) = −

9 4

b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos, nuestra tabla de valores queda de la siguiente manera:

x

f ( x)

-3/2 -2 1

-9/4 -2 4

El valor máximo es 4 y el valor mínimo es -9/4. 4

y = x^2+3x

y

3 2 1 x −4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

−1 −2 −3 −4

Esta es la grafica correspondiente a la función

f ( x) = x 2 + 3 x

INDIVIDUAL. EJERCICIO 1 Identifique los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos,

realiza la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones, compara los resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

I = [0,3] 3 b) f ( x) = x 3 − 3x + 1 en I = (− ,3) 2 3 2 c) h(t ) = 4t + 3t − 6t + 1 en I = [− 2,1] a)

110

f ( x) = − x 2 + 4 x

en

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

3.1.2. Derivadas de orden superior.

TAREA 1

f y produce una nueva función f ´ . Si ahora se deriva f ´ se producirá otra función como f `` (se lee “f biprima) y que se llama segunda derivada de f . Esta a su vez puede ser derivada para producir f ´´´, que se llama la tercera derivada de f , etcétera. Por ejemplo, sea La operación derivada toma una función

Página 131.

f ( x) = 3x 3 − 5 x 2 + 3x − 9 Entonces

f ´(x) = 9 x 2 − 10 x + 3 f ´´(x) = 18 x − 10 f ´´´(x) = 18 f ´´´´(x) = 0 Dado que la derivada de la función cero es cero, todas las derivadas de mayor orden serán cero.

EJERCICIO 2

INDIVIDUAL. Encuentra la primera, segunda, tercera, cuarta derivada de las siguientes funciones. Entrégaselas a tu profesor para su revisión

f ( x) = 5 x 3 + 4 x 2 − 6 x − 6 2 2) f ( x) = −8 x − 9 x − 3 2 4 3) f ( x) = (5 x − 9) 4) f ( x) = sen(3 x) 1)

3.1.3. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la segunda derivada. Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA: Sean f ´ y f ´´ dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo abierto (a, b) que contenga a c . Supóngase que

f ´(x) = 0 .

f ´´(x) < 0, f (c) es un máximo local de f . (ii)Si f ´´(x) > 0, f (c) es un mínimo local de f . (i)Si

111

Cálculo Diferencial e Integral I

Ejemplo 1.- Para f ( x) = x 2 − 6 x + 5 , use la prueba de la segunda derivada para identificar máximos y mínimos. Paso 1.- Derivar la función.

f ( x) = x 2 − 6 x + 5 ⇒

f `( x) = 2 x − 6

Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar el valor de x1

2x − 6 = 0 x=3 ⇒

x1 = 3

Este es un punto crítico. Paso 3.- Sustituimos en la segunda derivada.

f ´´(x) = 2

f ´´(3) > 2 (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva.) f ´´(x) > 0, f (c) Es un mínimo local de f . Y en la primera derivada f ´(x) = 2 x − 6 ⇒ f ´(3) = 2(3) − 6 f ´(3) = 0 f (3) Es un mínimo local. f ( x) = x 2 − 6 x + 5 ⇒ f (3) = (3) 2 − 6(3) + 5 ⇒ f (3) = −4 . Paso 4.- Tabulamos para señalar los valores máximos y mínimos. x

f(x)

3

-4

El valor mínimo de la función es -4.

Ejemplo 2.- Calcula los valores máximos y mínimos aplicando el criterio de la segunda derivada de la función.

f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 2 Paso 1.- Derivar la función

f `( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 Paso 2.- Igualamos a cero la primera derivada para encontrar las raíces de

x1 , x2

6 x 2 − 6 x − 12 = 0 x2 − x − 6 = 0 ( x − 2)( x + 1) = 0 x1 = 2 y x2 = −1 Los cuales son puntos críticos.

112

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Paso 3.- Sustituimos las raíces en la segunda derivada.

f ´´(x) = 12 x − 6 f ´´(2) = 18

f ´´(2) = 12(2) − 6 ⇒

Por el criterio de la segunda derivada como

f ´´(2) > 0 hay un mínimo en

x1 = 2 . Y

por

otro

lado,

para

⇒ f ´´(−1) = −18 Por lo tanto, para este valor

x2 = −1 tenemos:

f ´´(−1) = 12(−1) − 6

f ``(−1) < 0 entonces hay un máximo en x2 = −1 .

Paso 4.- Calculamos las coordenadas y tabulamos. X

f(x)

-1

9

2

-18

f ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 12 x + 2 f (−1) = 2(−1) 3 − 3(−1) 2 − 12(−1) + 2 f (−1) = 9 El valor del máximo está en (-1,9). Y es 9 f (−1) = 2(2) 3 − 3(2) 2 − 12(2) + 2 f (−1) = −18 El valor del mínimo está en (2,-18). Y es -18.

EN EQUIPO:

Calcula los valores máximos y mínimos de las siguientes EJERCICIO 3 funciones, utilizando el criterio de la segunda derivada. 1)

f ( x) = 2 x 3 − 6 x + 3

2)

f ( x) = −2 x 3 + 3x 2 + 12 x + 15

3)

f ( x) = x 3 + x 2 − 5 TAREA 2

Página 133.

113

Cálculo Diferencial e Integral I

3.1.4.- Funciones crecientes y decrecientes. Considere la gráfica de la figura 1 y de la figura 2. A nadie sorprenderá que se diga f decreciente a la izquierda de c y creciente a la derecha., entonces existe un mínimo en c de la función; por lo tanto, existe un máximo en el caso contrario. Pero para asegurarse que estamos de acuerdo en las técnicas, precisamos las definiciones. y y=f(x)

Decreciente

Creciente

c

x

Figura 1

DEFINICION: Definamos una función f sobre un intervalo (abierto, cerrado o ninguno de los dos). Se dice que: (i) f es creciente sobre I si, para cada par de números x1 y x2 que pertenezcan a

I,

x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) (ii) f es decreciente sobre I si, para cada par de números x1 y x2 que pertenezcan a I , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) (iii) f es estrictamente monótona sobre I si es creciente o decreciente sobre I.

TEOREMA DE MONOTONIA: Sea f una función continua en un intervalo interior de I . (i) Si f ´(x) > 0 para toda x interior a

I y diferenciable en todo punto

I , entonces f es creciente en I . (ii) Si f ´(x) < 0 para toda x interior a I , entonces f es decreciente en I .

114

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

y y=f(x) Decreciente

Creciente f`(x)>0

f`(x) 0 entonces la función es creciente en ese intervalo.

6 x + 12 > 0 x > −2

La función es creciente en el intervalo ( −2, ∞)

f `( x) < 0 entonces la función es decreciente en ese intervalo. 6 x + 12 > 0 x < −2 La función es decreciente en el intervalo (−∞,−2)

Si

Paso 3.- Realizar la grafica de la función. X -3 -2

f(x) -6 -9

f`(x) -6 0

Monotonía Decreciente Punto de separación de intervalos

-1 0 1

-6 3 18

6 12 18

Creciente Creciente Creciente

115

Cálculo Diferencial e Integral I

Existe un mínimo que es -9 En esta tabla se ve claramente los resultados obtenidos en el paso anterior. y = 3x^2+12x+3

y

x

f ( x) = 3 x 2 + 12 x + 3 .

Esta es la gráfica de la función

Ejemplo 2.- Encuentre en que intervalos la función es creciente y decreciente. f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7 Paso 1.- Encuentra la derivada.

f `( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 = 6( x + 1)( x − 2) Las desigualdades se resuelven: Tipo I: Caso1. (a)(b)>0 → a>0 y b>0 Caso2. (a)(b)>0 → a 0 y ( x − 2) > 0 caso2. ( x + 1) < 0 y ( x − 2) < 0 x > −1 y x>2 x < −1 y x < 2 (− ∞,−1) (2, ∞)

En estos intervalos la función es creciente. Si f `( x) < 0 entonces la función es decreciente en ese intervalo.

( x + 1)( x − 2) < 0

( x + 1)( x − 2) < 0 Caso1.- ( x + 1) < 0 y ( x − 2) > 0 caso 2.- ( x + 1) > 0 y ( x − 2) < 0 x < −1 x > −1 y x < 2 Y x>2 (− ∞,−1)y (2, ∞ ) (− 1,2)

b)

En estos intervalos la función es decreciente. Los puntos de separación son el -1 y el 2; ellos dividen el eje de las x en tres intervalos que son: (− ∞,−1), (− 1,2 )y (2, ∞ )

116

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Paso 3.- Realizar la grafica de la función. Tomando valores que pertenecen a esos intervalos que obtuvimos en el paso anterior y sustituyendo en la función podemos obtener la siguiente tabla de valores. X -3 -2 -1

f´(x) 60 24 0

f(x) -38 3 14

monotonía Creciente Creciente

0 1 3

-12 -12 24

7 -6 -2

Decreciente Decreciente Creciente

Tiene un máximo en (-1,14)

Punto de separación de intervalos

En el intervalo (− ∞,−1) tomamos -2 y lo sustituimos en la derivada:

f ´(x) = 6 x 2 − 6 x − 12 f ´(−2) = 6(−2) 2 − 6(−2) − 12 f ´(−2) > 0 Esto comprueba de que la función es creciente en este intervalo. y = 2x^3-3x^2-12x+7

TAREA 3

Página 135. Esta es la gráfica de la función

f ( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 7

EN EQUIPO:

EJERCICIO 4

Calcula los intervalos en que cada una de las funciones siguientes es creciente o decreciente. Realiza su gráfica y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

f ( x) = x 2 − 4 x + 2 2 2) f ( x) = 2 x − x 3 3) f ( x) = x − 1

1)

117

Cálculo Diferencial e Integral I

3.2.

CONCAVIDAD

3.2.1.- Criterio de la segunda derivada. Observemos las figuras a y b que a continuación se indican; si un punto A(x, y) describe una curva, la tangente en A varía en la forma siguiente: La pendiente de tangente aumenta cuando el punto “A” describe el arco; de donde la primera derivada es una función creciente de x, por lo tanto, su segunda derivada es positiva. Cuando la tangente queda por debajo de la curva, el arco es cóncavo hacia arriba figura a.

TEOREMA DE CONCAVIDAD: Sea f una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto

I.

f ´´(x) > 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia arriba en I . (ii) Si f ´´(x) < 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . (i) Si

Ejemplo 1.- Usa el teorema de concavidad para determinar donde es cóncava Al inicio de la Unidad se vio cómo encontrar puntos críticos. (Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces).

hacia arriba y donde es hacia abajo de la siguiente función.

f ( x) = x 3 − 12 x Paso 1.- Encuentra la primera y segunda derivada de la función.

f ´(x) = 3x 2 − 12 Los puntos críticos son: -2,2

118

f ´´(x ) = 6 x

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Paso 2.- Aplicando el criterio de la segunda derivada. (i) Si f ´´(x) > 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia arriba en

I.

6 x > 0 ⇒ x > 0 la función es cóncava hacia arriba en (0, ∞) (ii) Si f ´´(x) < 0 para toda x de I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . f ´´(x ) = 6 x 6 x < 0 ⇒ x < 0 la función es cóncava hacia abajo en (−∞,0) Paso 3.- Tabular para graficar la función. X

f(x)

f´´(x)

-3

9

-18

-2

16

-12

0

0

0

2

-16

12

Aquí podemos ver que la segunda derivada es menor que cero. Aquí la segunda derivada es mayor que cero.

Además, la función tiene un máximo en el punto (-2,16) y un mínimo en el punto (2,-16). El valor del máximo es 16 y el valor del mínimo es -16. y 16

x −21 −18 −15−12 −9 −6 −3

3

6

9

12 15 18 21

−16

Esta es gráfica de la función f ( x) = x 3 − 12 x

119

Cálculo Diferencial e Integral I

3.2.2.- Puntos de inflexión. Si la concavidad de una curva cambia de sentido, entonces la segunda derivada cambia de signo, y en consecuencia es igual a cero en el punto de inflexión.

f una función continua en c . Decimos que (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f si f es cóncava hacia arriba a un lado de c y cóncava hacia abajo en el otro lado. Ver la siguiente PUNTOS DE INFLEXION: Sea

figura.

Puntos de inflexión

Cóncavo hacia arriba

Cóncavo hacia abajo

Cóncavo hacia arriba

EJEMPLO 1.- Calcula los puntos de inflexión de la siguiente función.

f ( x) = x 4 + 2 x 3 − 7 Paso 1.- Calculamos la primera y segunda derivada.

f ´(x) = 4 x 3 + 6 x 2 f ´´(x) = 12 x 2 + 12 x Paso 2.- Igualamos a cero la segunda derivada.

12 x 2 + 12 x = 0 12 x( x + 1) = 0 12 x = 0 x1 = 0

Y x +1 = 0 Y x 2 = −1 Tenemos que los puntos críticos son x= 0 y x=-1.

120

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Paso 3.- Analizamos con valores alrededor de estos puntos críticos en la segunda derivada realizando una tabla de valores. x

f(x)

f´´(x)

Signo de la 2da. derivada

-2

-7

24

+

-1

-8

0

-1/3

-8

-24/9

-

-3

-

-1/2 0

-7

0

1

-4

24

Alrededor del -1 cambia de signo, quiere decir que: (-1,8) es un punto de inflexión y el (0,-7) es otro punto de inflexión.

+

Paso 4. - Realizar la gráfica. y = x^4+2x^3-7

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

−1 −13 −12 −11 −10−9−8−7−6−5−4−3−2−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10 −11 12

y

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314

3.2.3.- Trazado de curvas. Para bosquejar la gráfica de una función y = f ( x) procedemos en la forma siguiente como se ilustra en el ejemplo 1, haciendo todo lo que se vio anteriormente en toda esta unidad.

EJEMPLO 1.- Encuentra los puntos críticos, calcula los valores máximos y mínimos, determine en que intervalo la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y, además, señala los puntos de inflexión. Dibuje después la gráfica.

f ( x) =

1 3 x − 2x 6

121

Cálculo Diferencial e Integral I

Paso 1.- Encuentra la primera y segunda derivada.

f ´(x) =

1 2 x −2 2

Los puntos críticos son: x1 = −2 y

x2 = 2 .

f ´´(x) = x Paso 2.- Aplicamos el teorema de monotonía. Para un valor de x < x1 y x > x1 , podemos realizar la siguiente tabla X -3

f(x) 3/2

f´(x) 5/2

f´´(x) -3

-2

8/3

0

-2

-1

11/6

-3/2

-1

8 (−2, ) Punto de inflexión 3 f ´(x) < 0 f Es decreciente.

0

0

-2

0

(0,0) Es un punto de inflexión

1

-11/6

-3/2

1

f ´(x) < 0 f Es decreciente

2

-8/3

0

2

3

-3/2

5/2

3

f ´(x) > 0 f Es creciente.

(2,−8 / 3) Punto de inflexión. f ´(x) > 0 f Es creciente.

Paso 3.- Aplica el Teorema de concavidad. La segunda derivada ( f ´´(x) > 0 ) es positiva desde (0, ∞) , por lo tanto es cóncava hacia arriba en ese intervalo. La segunda derivada ( f ´´(x) < 0 ) es negativa desde ( −∞,0) , por lo tanto es cóncava hacia abajo en ese intervalo. Paso 4.- Realizar la gráfica.

y = 1/6x^3-2x

y 7 6 5 4 3 2 1

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8

122

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

EJERCICIO 5

EN EQUIPO : Encuentra los puntos críticos, calcula los valores máximos y mínimos, determina en qué intervalo la función es creciente o decreciente, cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y además señala los puntos de inflexión. Dibuje después la gráfica. 1)

f ( x) = x 3 + 2 x 2 − 4

2)

f ( x) = x 2 − 4 x − 1

3.3.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.matematicastyt.cl/... /inicio.htm

3.3.1.- Problemas prácticos de máximos y mínimos. Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande, menor costo, menor tiempo, más voltaje, la mayor productividad, menor esfuerzo, más resistente, etcétera, se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de máximos y mínimos. Se presentan los siguientes casos: a) En el primero, el problema incluye una función específica que permite su solución. b) En el segundo caso, la función se desconoce y es necesario obtenerla utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema, o únicamente con los datos disponibles. c) En ambos casos, para obtener la solución se recomienda: 1) De ser posible trazar una gráfica. 2) Asignar una incógnita a cada una de las cantidades que se citan en el problema. 3) Seleccionar la cantidad a obtener su máximo o su mínimo y expresarla en función de las otras cantidades. 4) Si resulta una función de una sola variable aplicamos los procedimientos ya estudiados para obtener los máximos y los mínimos.

PROBLEMA 1.- Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace su recorrido de t4 2 15 minutos según la ecuación s = 144t − + 100 ; si se mide el tiempo y el 4 espacio en metros, calcula: a) Distancia que recorre el móvil. b) Velocidad máxima que alcanza. c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

123

Cálculo Diferencial e Integral I

RESOLUCION: a) Distancia que recorre en 15 minutos. La primera derivada en física se le llama velocidad y a la segunda derivada se le llama aceleración.

s = f (t ) = 144t 2 −

t4 + 100 4

Cuando t = 15 tenemos:

f (15) = 144(15) 2 −

(15) 4 + 100 ⇒ f (15) = 19,844 min 4

b) Velocidad y aceleración.

f ´(t ) = 288t −

4t 3 4

⇒ f ´(t ) = 288 − t 3 ⇒ f ´´(t ) = 288 − 3t 2

Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo, debe haber aceleración (positiva) en el momento en que la aceleración es cero; y pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a disminuir; por esto, el punto crítico es cuando a = 0 (aceleración igual a cero).

a = f ´´(t ) = 288 − 3t 2 288 − 3t 2 = 0 − 3t 2 = −288 288 t2 = 3 t = 96 = 9.8 min es un punto crítico.

Entonces:

Analizamos en la aceleración:

a = 288 − 3t 2 Con t = 9.8 Para un valor menor de t = 9.8 , sea t = 9 f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(9) = 288 − 3(9) 2 = 45 La f ´´(t ) > 0 . (La aceleración resultó positiva) Para un valor mayor de t = 9.8 , sea t = 10

f ´´(t ) = 288 − 3t 2 f ´´(10) = 288 − 3(10) 2 = −12 La

f ´´(t ) < 0 . (La aceleración resultó negativa)

Como pasa de positiva a negativa, decimos que existe un máximo en t = 9.8 . Y la velocidad máxima en ese tiempo es:

f ´(t ) = 288 − t 3 f ´(t ) = 288 − (9.8) 3 = 1881.21 v = 1881.21m / min

124

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.

s = f (t ) = 144t 2 −

t4 + 100 4

f (9.8) = 144(9.8) 2 −

(9.8) 4 + 100 = 13,829.76 − 2305.67 + 100 = 11,624m 4

SOLUCION: El móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos; a los 9.8 minutos alcanza su máxima velocidad de 1881.21 m/min., habiendo recorrido 11,624 metros.

PROBLEMA 2.- Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares adyacentes idénticos, cada uno de 900 metros cuadrados de área, como se muestra en la figura. ¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de barda?

y x PLANTEAMIENTO: Área = A = 1800m2 Perímetro = P

A = 2 xy P = 4x + 3y

Paso 1.- Como no estamos acostumbrados a utilizar dos incógnitas, despejaremos una de ellas de la ecuación del área. Y la sustituiremos en la ecuación del perímetro, ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales.

A = 2 xy 1800 = 2 xy 1800 y= 2x y=

900 x

P = 4x + 3y  900  P( x) = 4 x + 3   x  2700 Así quería el perímetro en función de “x”. P ( x) = 4 x + x

125

Cálculo Diferencial e Integral I

Paso 2.- Derivamos P(x).

P ( x) = 4 x +

2700 x

Esta función también se puede expresar de la siguiente

manera:

P ( x) = 4 x + 2700 x −1 Ya que así es más fácil para derivarla. P´(x) = 4 − 2700 x −2 Es decir:

P´(x) = 4 −

2700 x2

Paso 3.- Igualamos a cero la derivada para obtener sus raíces.

P´(x) = 4 − 4−

2700 x2

2700 = 0 Despejamos “x”. x2

2700 = −4 x2 x = 675

x = (15) 2 (3) = 15 3 Este es un punto crítico. Paso 4.- analizamos los valores de la primera derivada para x = 15 3 = 25.98 Tomamos un valor menor a x = 25.98 , sea x = 24 .

P´(x) = 4 −

2700 x2

P´(24) = 4 − La P´(x) < 0

126

2700 = −0.6875 (24) 2

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Tomamos un valor mayor a x = 25.98 , sea x = 27 .

P´(27) = 4 − La

2700 = 0.2962 (27) 2

P´(x) > 0

Eso quiere decir que tiene un mínimo en x = 25.98

900 x 900 y= = 34.64 25.98 y=

SOLUCION: Los valores que deben medir “x” y “y” son: x = 25.98 y y = 34.64 y la mínima cantidad de barda que se necesita es de 207.84 metros.

3.3.2.- Aplicaciones en las ciencias naturales, económicoadministrativas y sociales. PROBLEMA 3.- Una maquiladora puede vender 1,000 aparatos por mes a $5.00 cada uno; si acepta bajar el precio unitario en dos centavos, podrá vender 10 piezas más. Calcula cuántas piezas se deben vender para obtener la utilidad máxima y cuál sería el ingreso al venderlas. PLANTEAMIENTO: 1000+x número de unidades por vender.

 x 5 − 0.02  = 5 − 0.002 x Precio de cada unidad.  10  Paso 1.- El ingreso I es igual al número de unidades por el precio unitario.

Vocabulario económico: Como la economía tiende a ser el estudio de fenómenos discretos, su profesor puede definir el costo marginal de x como el costo de producir una unidad adicional, esto es,

C ( x + 1) − C ( x)

Y

dC dx

Es el costo marginal

I = (1000 + x)(5 − 0.002 x)

I = 5000 + 5 x − 2 x − 0.002 x 2 I = 5000 + 3x − 0.002 x 2 Paso 2.- Calculamos la derivada de I .

I = f ( x) = 5000 + 3x − 0.002 x 2 f ´(x) = 3 − 0.004 x Paso 3.- Igualamos a cero la derivada para obtener las raíces.

3 − 0.004 x = 0 3 x= 0.004

x = 750 Punto crítico. 127

Cálculo Diferencial e Integral I

Tomamos un valor poco menor a x = 750 , sea x = 700

f ´(x) = 3 − 0.004 x f ´(700) = 3 − 0.004(700) f ´(700) = 0.200 La f ´(x) > 0

Tomamos un valor poco mayor a x = 750 , sea x = 800

f ´(800) = 3 − 0.004(800) f ´(800) = −0.200 La f ´(x) < 0 Como pasa de positivo a negativo, decimos que existe un máximo en x = 750 . SOLUCION: El ingreso es máximo si se vende 1000 +750 =1750 piezas a $4.98 cada una; se obtiene un ingreso de $8,715.00 pesos.

¿Cómo crees que se calculan los ingresos? Los Ingresos se calculan multiplicando el precio de artículos vendidos

PROBLEMA 4.- El director de una editorial ha observado que si fija el precio de un determinado libro, $20, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho Ingreso? PLANTEAMIENTO:

I = Ingreso x = número de pesos en que se incrementa el precio del libro. 20 + x = es el nuevo precio del libro. 400 x = es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que aumenta el precio. 10,000 − 400 x = es el nuevo número de ejemplares vendidos. Entonces la función que representa al ingreso en términos del número de pesos en que se aumenta el precio del libro es:

I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) para saber más y enriquecer el tema, visita el sitio www.http://actividadesinfor. webcindario.com/.com/deri vadasaplicaciones.htm www.cidse.itcr.ac.cr/cursos -linea/calculodiferencial.

128

Esta función I (x ) recibe el nombre de función objetivo, porque es la función que requiere optimizar.

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

SOLUCION: PASO1.- Aplicar el criterio de la primera derivada; se deriva y se iguala a cero la función resultante, para encontrar el valor de x.

I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) I ´(x) = (1)(10,000 − 400 x) − 400(20 + x) I ´(x) = 10,000 − 400 x − 8000 − 400 x I ´(x) = 2000 − 800 x Igualando a cero tenemos:

− 800 x + 2000 = 0 Por lo tanto, despejando el valor de x tenemos:

− 2000 − 800 x = $ 2 .5

x=

Que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio del libro para obtener el máximo Ingreso.

TAREA 4

De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el máximo Ingreso. Para calcular el Ingreso máximo se sustituye x=2.5 en la función objetivo y resulta:

I ( x) = (20 + x)(10,000 − 400 x) I (2.5) = (20 + 2.5)(10,000 − 400(2.5)) I (2.5) = 202,500.00 Que representa el máximo Ingreso.

EQUIPO:

Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de máximos y

Páginas 137.

EJERCICIO 6

mínimos, compara con tus compañeros los resultados obtenidos y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- El costo total de producir y vender 100x unidades de una mercancía particular por semana es C ( x ) = 1000 + 33 x − 9 x + x encuentre: a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo. b) El costo marginal mínimo. 2

2.- Para la función precio dada por P ( x ) =

3

800 − 3 encuentre el número de x+3

x1 de unidades que hace máximo el ingreso total y establezca el valor de éste. ¿Cuál es el ingreso marginal cuando se vende el número óptimo x1 de unidades? 3.- El gas de un globo esférico se escapa a razón de 1,000

cm 3 en el mismo min

instante en que el radio es de 25cm. a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio? b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?

129

Cálculo Diferencial e Integral I

130

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 1

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

INSTRUCCIONES: Identifica los puntos críticos. Usa después el criterio de la primera derivada para calcular los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión. 1)

f ( x) = −3x 2 ; I = [− 2,2]

2)

f ( x) = x 2 + 5 x + 2 ; I = [− 3,4]

3)

f ( x) = x 2 + 6 x − 1; I = [0,3]

4)

f ( x) = x 2 − 3x; I = [− 2,1]

5)

f ( x) = −4t 3 + 3t 2 − 6t + 1; I = [− 2,1]

131

Cálculo Diferencial e Integral I

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

132

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 2

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

INSTRUCCIONES: Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y utiliza el criterio de la segunda derivada para encontrar los valores máximos y mínimos. Entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1) f ( x ) = x − 3 x + 2 3

2

2)

f ( x) = x 3 − 4 x + 5

3)

f ( x) =

4)

f ( x) = 3x 4 − 4 x 3

1 4 x +1 4

133

Cálculo Diferencial e Integral I

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

134

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 3

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

INSTRUCCIONES: De las siguientes funciones encuentra en qué intervalos son crecientes y decrecientes; además, señala de dónde a dónde es cóncava hacia arriba o hacia abajo, y encuentra los puntos de inflexión e indica en qué punto tiene un máximo o un mínimo y realiza su gráfica. 1) f ( x ) = 4 x − 2 x

2

2) f ( x ) = 4 x + 9 x − 13 3

2

3) f ( x ) = x + 5 x + 6 2

4) g (t ) = t − 9t 4

5) g ( x ) = x − 27 3

6) f ( x ) = x − 3 x 6

7) f ( x ) = ( x − 3)

8) f (t ) = 9 − t

4

2

2

135

Cálculo Diferencial e Integral I

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

136

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Nombre ____________________________________________________________

TAREA 4

Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________ Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de las derivadas.

1.- Suponga que un ranchero escoge hacer tres corrales adyacentes, cada uno de 900 metros cuadrados de área, como se muestra en la figura, ¿Cuánto deben medir x y y para hacer mínima la cantidad de barda que se necesita?

y

x 2.- Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 15 centímetros de largo por 9 de ancho; cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados, como se muestra en la figura, encuentre las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?

x x 9

x

15

15- 2x 9-2x

3.- La compañía ZEE fabrica abrigos que vende al precio de P ( x ) = 10 − 0.001x dólares, donde x es el número producido cada mes. Su costo mensual total es

C ( x) = 200 + 4 x − 0.01x 2 . La producción máxima es de 300 unidades. ¿Cuál sería la utilidad máxima mensual y qué nivel de producción da esta utilidad?

137

Cálculo Diferencial e Integral I

Revisión: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

138

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

Nombre _________________________________________________________ AUTOEVALUACIÓN

Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la opción que consideres correcta.

1.

El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) = 3 x + 6 x + 1 utilizando el criterio de la primera 2

derivada en el intervalo I = [−2,1] es:

(−1,−2) y el valor máximo está en (1,10) B) El valor mínimo está en (−1,2) y el valor máximo está en (−1,10) C) El valor mínimo está en (−1,4) y el valor máximo está en (−1,9) D) El valor mínimo está en (1,5) y el valor máximo está en (1,10)

A) El valor mínimo está en

2.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) =

x4 +1 , según el criterio de la segunda derivada x2

son: A) El valor mínimo está en (−2,2) y un máximo está en ( 2,6) . B) El valor mínimo está en (1,2) y un mínimo está en (−1,2) .

(5,2) y un mínimo está en (−2,2) . D) El valor mínimo está en (1,6) y un máximo está en (−1,5) . C) El valor mínimo está en

3.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función f ( x ) = x − 6 x + 8 , según el criterio de la segunda derivada son: A) El valor mínimo está en (0,2) y un máximo está en ( 2,−3) . 3

2

(−4,2) y un máximo está en (4,6) . C) El valor mínimo está en (4,−24) y un máximo está en (0,8) . D) El valor mínimo está en (−2,0) y un máximo está en (0,6) .

B) El valor mínimo está en

4.- Los intervalos en que la función f ( x ) = 3 x + 6 x + 1 es creciente o decreciente son: 2

A) En ( −∞,−1) es decreciente y en ( −1, ∞) es creciente.

(−∞,−2) es decreciente y en (2, ∞) es creciente. C) En (−∞,1) es decreciente y en ( −1, ∞) es creciente. D) En (−∞,−5) es decreciente y en ( −4, ∞) es creciente.

B) En

5.- La concavidad de la siguiente función f ( x ) = 2 x − 6 x + 3 está dada en los intervalos: 3

2

(−∞,3) y cóncava hacia arriba en (3, ∞) . B) Cóncava hacia abajo en (−∞,1) y cóncava hacia arriba en (1, ∞) . C) Cóncava hacia abajo en ( −∞,−1) y cóncava hacia arriba en ( −1, ∞) . D) Cóncava hacia abajo en (−∞,−4) y cóncava hacia arriba en (3, ∞) . A) Cóncava hacia abajo en

139

Cálculo Diferencial e Integral I

6.- Los puntos de inflexión de la siguiente función f ( x ) = ( − x + 2) son: 3

A) (5,0) y (3,2) B) ( −1,4) y ( 2,3)

(2,0) D) (3,2) C)

7.-Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuyo producto sea de 288 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo. Los números son: A) Un número es el 12 y el otro es el 24 . B) Un número es el 10 y el otro es el 20 . C) Un número es el − 12 y el otro es el − 24 . D) Un número es el 11 y el otro es el 22 . 8.- Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuya suma sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo de otro sea el producto máximo; el valor de este es: A) Cuando x = 6 se obtiene un máximo igual a 3,456 . B) Cuando x = 3 se obtiene un máximo igual a 1,289 . C) Cuando x = 8 se obtiene un máximo igual a

8,496 . D) Cuando x = 6 se obtiene un máximo igual a 3,956 . 9.- Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 metros, de manera que el rectángulo sea de área máxima. El área y sus dimensiones son: 2

A) El área máxima es de 1600m ; las dimensiones del rectángulo son de 40m por lado.

3600m 2 ; las dimensiones del rectángulo son de 60m por lado. 2 C) El área máxima es de 2500m ; las dimensiones del rectángulo son de 50m por lado. 2 D) El área máxima es de 4900m ; las dimensiones del rectángulo son de 70m por lado. B) El área máxima es de

10.- En la manufactura y venta de x unidades de cierta mercancía la función precio p y la función costo C (en dólares) están dados por:

p( x) = 5.00 − 0.002 x C ( x) = 3.00 + 1.10 x

Determine el nivel de producción que produce la máxima utilidad total. A) La utilidad máxima es de p (995) = $1998.25

p (562) = $898.25 C) La utilidad máxima es de p ( 255) = $698.55 D) La utilidad máxima es de p (975) = $1898.25

B) La utilidad máxima es de

ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE ¾ Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te invitamos a continuar con esa dedicación. ¾ Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es necesario que nuevamente repases los temas. ¾ Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu profesor. 140

Consulta las claves de respuestas en la página 141.

Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones

EJERCICIO DE REFORZAMIENTO 1

Nombre _________________________________________________________ Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________ Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión. 1.- Encuentra los puntos críticos, los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando el criterio de la primera derivada. Realiza su gráfica.

I = [−2,2] . b) f ( x ) = 3 x − 6 x + 1 en I = [−3,2]

a) f ( x ) = x + 5 x en 2

3

2.- Calcula la primera, segunda, tercera, cuarta derivada si existe de las siguientes funciones. a) f ( x ) = 5 x − 6 x + 3 x + 9 4

3

b) f ( x ) = (8 x − 6 x ) 3

5

c) f ( x) = csc(4 x) 3.- Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones. Realiza su gráfica. a) f ( x ) = 5 x + 2 x + 1 2

b) f ( x ) = −6 x − 3 x + 6 3

2

4.- Encuentra en que intervalos la función es creciente o decreciente, utiliza las funciones del ejercicio 1. 5.- utiliza el teorema de concavidad para determinar donde es cóncava hacia abajo o hacia arriba y además indica cuales con los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Realiza la gráfica. a) f ( x ) = x − 2 x + 2 4

3

b) f ( x ) = x + 2 x + 1 3

2

RESUELVE LOS SIGUIENTGES PROBLEMAS DE APLICACIONES DE MAXIMOS Y MÍNIMOS. 6.- Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono circular recto que tiene como radio b = 4cm y como altura a = 12cm . Ver la figura.

7.- El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles es de $8000 y hay un costo directo de $110. Por cada unidad producida. Escriba una expresión C (x ) , el costo total de fabricar muebles en un mes.

141

Cálculo Diferencial e Integral I

142

Claves de Respuestas UNIDAD 1

UNIDAD 2

UNIDAD 3

1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. A

1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. D 8. D 9. C 10. B 11. A 12. D

1. A 2. B 3. C 4. A 5. B 6. C 7. A 8. A 9. B 10. D

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Glosario CÁLCULO DIFERENCIAL

Estudia el incremento en las variables; puede ser la distancia recorrida por un objeto en movimiento en un tiempo determinado. CONCAVIDAD Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba) cuando su segunda derivada es positiva. CONVEXIDAD Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa) cuando su segunda derivada es negativa DERIVADA La derivada de una función respecto a una variable es el límite del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero. DIFERENCIACIÓN Es el proceso de calcular derivadas. FUNCIÓN Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la CRECIENTE variable independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) también aumenta. FUNCIÓN Una función es decreciente cuando al aumentar la variable DECRECIENTE independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y) disminuye. FUNCIÓN Es aquella en la es posible expresar una variable en EXPLÍCITA términos de la otra. FUNCIÓN IMPLÍCITA Es aquella en la que no se le puede despejar la variable independiente de la variable dependiente. Es decir, no es posible expresar una variable en términos de la otra. LIMITE DE UNA Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente FUNCIÓN cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo. PUNTO DE Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un INFLEXIÓN cambio en la concavidad de la gráfica. RAZÓN Es comparar dos cantidades por cociente. RECTA NORMAL Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de contacto a la curva en dicho punto. VELOCIDAD Es la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo. VELOCIDAD Es la distancia entre la primera posición y la segunda, PROMEDIO dividida entre el tiempo consumido. FUNCIÓN Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento de X le corresponda uno y solamente uno de los elementos de Y. DOMINIO DE UNA Es el conjunto de los elementos del conjunto. FUNCIÓN RANGO DE UNA Es el conjunto de los elementos del conjunto y que son FUNCIÓN imagen de un valor X. LÍMITES DE UNA Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente, FUNCIÓN cuando el valor de la variable independiente se acerca a un valor fijo. EVALUAR O Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten DETERMINAR EL convertir a una función indeterminada a una función LÍMITE DE UNA determinada. FUNCIÓN COC IENTE GRÁFICA DE UNA Representación en un sistema rectangular de coordenadas FUNCIÓN de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera) de una función particular. PAR ORDENADO Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del punto. Al valor de X se llama abcisa y el valor de Y se llama 144

CONTINUIDAD

ordenada. Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el dominio de f(x) y si:

1) f(c) está definida 2) Lim f(x) existe x c 3) Lim f(x)=f(c) x c LÍMITES LATERALES Son una herramienta desarrollada para dar lugar a precisiones. DISCONTINUIDAD Cuando una función no cumple con las tres condiciones de continuidad. RAZÓN Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra. PENDIENTE DE UNA La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación RECTA por ø y la pendiente por m tenemos: Tanø =m DERIVADA DE UNA Existencia de límite: (definición) FUNCIÓN Lim f(x+h) – f(x) razón de cambio instantáneo x 0 h PENDIENTE DE UNA La pendiente de una curva en p(x,f(x)), punto de la curva de CURVA ecuación Y= f(x), es f´(x1), pendiente de la tangente a la curva en p. LEYES DE Si M > 0 y N > 0 entonces; LOGARITMOS 1. Log M . N = Log M+ Log N 2. Log M/N = Log M – Log N 3. Log MN = N Log M DISCONTINUIDAD Es cuando f(x) está definida y al cambiar el valor de la función REMOVIBLE En x0 produce una función que es continua en x0. DISCONTINUIDAD Una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto DE SALTO Lim f(x) como Lim f(x) existen y Lim f(x) ≠ Limf(x) x x0x x0+ x x0x x0+ tal discontinuidad no es removible. TEOREMA DE Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo VALOR número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0 INTERMEDIO en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c TEOREMA DE Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M VALOR EXTREMO y un valor máximo M en el infinito. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES Y LA FUNCIONES EXPONENCIALES SON INVERSAS RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO

∆Y = cambio en Y = f(x+h) – f( ∆X cambio en X h

VELOCIDAD PROMEDIO DE UN CUERPO EN UN INTERVALO DE TIEMPO

∆S = desplazamiento ∆t tiempo

alnx = x Ln(ax) = x

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Bibliografía General

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AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill. FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de la Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V. FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill. MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica. PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Prentice Hall. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.