CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería

5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Aplicando la definición de la derivada se tiene:

f ( x + h) − f ( x)

f ( x) = a x

a x+h − a x h→0 h→0 h h x a ( a h − 1) a xah − a x = Lim f ' ( x ) = Lim h→0 h→0 h h a h − 1) ( x f ' ( x ) = a Lim h→0 h h ( a − 1) = f ' 0 Lim ( ) h→0 h

f ' ( x ) = Lim

= Lim

Enunciado. Aplicando la definición de la derivada.

Resolviendo y factorizando.

Pero.

f ' ( x ) = f ' (0 )a x

Por lo anterior se puede decir que “La razón de cambio de cualquier función exponencial es proporcional a la propia función”. Derivada de a x y a u Tomando y = a x , Por definición de logaritmos se puede decir que :

a=e

Ln ( a

(

ax = e

)

, Elevando a la potencia x, se tiene::

Ln( a )

)

x

=e

x Ln ( a )

(

, para obtener la derivada:

)

d x d x Ln( a ) , que se puede resolver por la Regla de la Cadena, así: a )= e ( dx dx

(

) dxd ( e

(

) Ln ( a ) , aplicando la definición anterior:

d x ( a ) = e x Ln(a ) dx d x x Ln a a )= e ( ) ( dx

x Ln ( a )

)

d x a ) = ( ax ( dx 5.- Funciones Exponenciales y Logarítmicas

) Ln ( a )

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Aplicando la Regla de la Cadena, es posible entonces escribir:

d u ( a ) = ( au dx

) Ln ( a )

du dx

Siempre y cuando u sea una función continua y derivable en x. Ejemplo 1 : Hallar la derivada de y = 3x :

d x ( 3 ) = 3x Ln ( 3 ) , aplicando la definición anterior. dx Ejemplo 2 : Hallar la derivada de y = e x :

d x ( e ) = e x Ln ( e ) = e x ( 1 ) = e x , aplicando la definición anterior. dx Sen x Ejemplo 3 : Hallar la derivada de y = 3 ( ) :

(

)

d Sen( x ) d Sen x Sen x 3 = 3 ( ) Ln ( 3 ) ( Sen ( x ) ) = 3 ( ) Ln ( 3 dx dx

) ( Cos ( x ) )

x Derivada de y = e

Para hallar la derivada de y = e x se toman logaritmos en ambos lados de la igualdad,

Ln ( y ) = x Diferenciando implícitamente se tiene:

1 dy dy = 1 , de donde = y , o sea que y dx dx

dy =ex , dx

De donde se puede ser que se trata de una función que no cambia con la diferenciación. ( Función Indestructible ) Tratándose de y = e u , donde u es una función continua y deribable, se puede escribir: 5.- Funciones Exponenciales y Logarítmicas

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d (e u ) d (e u ) du du = = eu dx du dx dx Ejercicios Propuestos: Hallar las derivadas de las siguientes funciones: 1.

y = 32 x

3.

y=x

Sen ( x

5.

y=x

Ln ( x

7.

y = x 2x

9.

y = Cos ( x

)

)

2

2.

y = 2 x 3x

4.

y=2

6.

y = Cos ( x

8.

)

x

5.- Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Sec ( x

)

) y = 2 x Ln ( x )

x

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5 5

FUNCIONES TRASCENDENTES

FUNCIONES TRASCENDENTES

5.1.

Derivada de la función Logaritmo Natural

Para determinar la derivada de un logaritmo Natural se procede así:

y = Ln( x ) Ln ( x + ∆x ) − Ln ( x ) d Ln ( x ) ) = Lim , Por definición de la Derivada. ( ∆x → 0 dx ∆x d 1 x + ∆x Ln ( x ) ) = Lim Ln ( ∆x → 0 ∆x dx x

,

Por la regla del cociente en Logaritmos.

d ∆x 1 Ln ( x ) ) = Lim Ln 1 + ( ∆ → 0 x dx ∆x x

,

x d h Ln ( x ) ) = Lim Ln 1 + h ( h → +∝ x dx x

, donde

Factorizando dentro del logaritmo.

∆x = x

h

, luego

h → + ∝ si ∆x → 0

1 d h Ln ( x ) ) = Lim Ln 1 + ( → +∝ h dx x h 1 1 d Ln ( x ) ) = Lim h Ln 1 + ( → +∝ h dx x h d 1 1 Ln ( x ) ) = Lim Ln 1 + ( dx x h → +∝ h

Derivadas Funciones Trascendentes

Por tratarse de una constante.

h

,

Por la regla de la potencia para logaritmos.

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d 1 1 Ln ( x ) ) = Ln Lim 1 + ( h → +∝ dx x h

h

,

d 1 Ln ( x ) ) = Ln ( e ) , ( dx x d 1 Ln ( x ) ) = ( dx x

Limite de un logaritmo, como se vio es e

Por definición de e

,

pues

Ln(e ) = 1

Por la regla de la cadena es posible decir :

d 1 du Ln ( u ) ) = ( dx u dx 5.2. Derivada de la función Logaritmo en cualquier base Para obtener la derivada de y = Log a ( x ) , se procede de la siguiente manera: Por la definición de la función logaritmo, sea a y = x , Tomando Logaritmo a ambos lados de la igualdad: Ln a y = Ln ( x ) , de acuerdo con las propiedades de los logaritmos:

(

)

y Ln ( a ) = Ln ( x ) , despejando la variable dependiente: y=

Ln ( x

) , que es lo mismo que escribir Ln ( a )

Log a

( x )=

Ln ( x

) Ln ( a )

Para obtener la derivada, se procede entonces como si se tratara de un cociente, así:

d ( Loga dx

( x ) )=

d Ln ( x dx Ln ( a

d ( Log a dx

( x ) )=

d ( Ln ( x Ln ( a ) dx

d ( Log a dx

( x ) )=

1 1

Ln ( a

) )

, aplicando la derivada de un cociente:

))

)

1 , que de acuerdo con la Regla de la Cadena, se puede x

)

1 d ( u ) , agrupando términos se tiene: u dx

decir:

d ( Log a ( u dx

) )=

1

Ln ( a

Derivadas Funciones Trascendentes

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d ( Log a ( u dx

) )=

1 u Ln ( a

d (u dx

)

)

(

Ejemplo 1 : Hallar la derivada de y = Ln 5 x 2 + 2 x + 1

)

du = 10 x + 2 dx

Si u = 5 x 2 + 2 x + 1 , entonces

Aplicando la regla de la derivada:

dy = dx

(

1 ( 10 x + 2 5 x + 2 x +1 )

dy = dx

)

2

(

10 x + 2 5 x2 + 2 x + 1 )

Ejemplo 2 : Hallar la derivada de y = Log10 ( 3x + 1) , Aplicando la definición se puede decir:

u = 3 x + 1 , de donde

du = 3 , luego la derivada será: dx

1 1 d d Log10 ( 3x + 1) ) = ( 3x + 1) , aplicando valores se tiene: ( dx ( 3x + 1) Ln (10 ) dx d 1 Log10 ( 3x + 1) ) = ( 3) ( dx ( 3x + 1) Ln (10 ) d 3 Log10 ( 3x + 1) ) = ( dx ( 3x + 1 ) Ln (10 ) dy Ejemplo 3 Hallar

( )

Ln y

2

3

= Ln

(x 5

2

dx

, si y

2

3

=

+ 1) ( 3 x + 4 )

(x 5

1

2

+ 1) ( 3 x + 4 )

1

2

( 2 x − 3) ( x 2 − 4 )

2

( 2 x − 3) ( x 2 − 4 )

Aplicando las propiedades de las potencias de los logaritmos y el cociente de los logaritmos, se tiene: Derivadas Funciones Trascendentes

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2 3 2 3 2 3 2 3

( ( x + 1) (3x + 4) ) − Ln ( ( 2x − 3) ( x − 4) ) 1 Ln ( y ) = Ln ( x + 1) + Ln ( ( 3 x + 4 ) ) − Ln ( ( 2 x − 3) ( x − 4 ) ) 5 1 Ln ( y ) = Ln ( x + 1) + Ln ( ( 3x + 4 ) ) − Ln ( 2 x − 3) + Ln ( x − 4 ) 5 Ln ( y ) = Ln

1

2

5

2

2

1

2

1

Ln ( y ) = Ln ( x 2 + 1) +

2

2

2

2

2

1 1 1 Ln ( 3 x + 4 ) − Ln ( 2 x − 3) − Ln ( x 2 − 4 ) 2 5 5

Donde, resolviendo la derivada para cada término se tiene:

d 2 2 d 2 1 dy Ln ( y ) = Ln ( y ) ) = ( dx 3 3 dx 3 y dx (2x) 1 d Ln ( x 2 + 1) = 2 ( 2x ) = 2 dx ( x + 1) ( x + 1)

(

)

d dx

1 1 d 1 1 3 Ln ( 3 x + 4 ) = Ln ( 3x + 4 ) ) = ( 3) = ( 2 2 dx 2 ( 3x + 4 ) 2 ( 3x + 4 )

d dx

1 1 d 1 1 2 Ln ( 2 x − 3) = Ln ( 2 x − 3) ) = ( 2) = ( 5 5 dx 5 ( 2 x − 3) 5 ( 2 x − 3)

(

)

1 d 1 1 2x d 1 Ln ( x 2 − 4 ) = Ln ( x 2 − 4 ) = (2x) = 2 2 5 dx 5 ( x − 4) dx 5 5 ( x − 4) Entonces la derivada total será:

( 2x) + 2 1 dy 3 2 2x = 2 − − 3 y dx ( x + 1) 2 ( 3 x + 4 ) 5 ( 2 x − 3) 5 ( x 2 − 4 ) dy 3 y = dx 2

( 2x )

(x

2

+ 1)

+

3 2 2x − − 2 ( 3x + 4 ) 5 ( 2 x − 3) 5 ( x 2 − 4 )

Ejercicios Propuestos Hallar

dy dx

para los siguientes ejercicios:

Derivadas Funciones Trascendentes

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1.

y = ( 3 x − 7 ) ( 8 x 2 − 1) y

2.

y=x

3.

y = Ln

4.

y=

5.

y = Ln ( Sen ( x ) Sen ( 2 x )

6.

y=

1 1+ x Ln 2 1− x

7.

(x y = Ln

8.

y=

3

9.

y =

10. y =

3

3

4

x2 + 5

2

+ 1)

)

2

5

x

( x + 1) 10 ( x + 2) Sen ( x ) Cos ( x ) 1 + 2 Ln ( x )

11. y

4

5

=

13. y = Log10

x

x 15. y = Log10 x −1

Derivadas Funciones Trascendentes

12.

+ 8) e x 4

2

+x

x +1 , donde x 1 x −1

5

5

2

1 x +1

5

1− x

(x

x ( x + 1) ( x − 2 )

(x

y =

2

+ 1) ( 2 x + 3)

x5 Tan −1 ( x

(3 − 2x )

14. y = Log 4 16. y = Log3

3

)

x

x 2 + 25 x + 3 5

x2 −1 x2 + 1

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