Cap´ıtulo XI

C´ alculo diferencial exterior 1.

Imagen inversa e imagen directa de tensores

Fijemos una aplicaci´on diferenciable φ : X → Y . Las aplicaciones lineales cotangentes de φ en los distintos puntos de X permiten llevar 1-formas (tensores covariantes de orden 1) sobre Y a 1-formas sobre X. Comencemos generalizando este hecho. Definici´ on 1.1 Dado r ≥ 1, sea T un tensor covariante de orden r (esto es, de tipo (r, 0)) sobre Y . Se llama imagen inversa del tensor T por la aplicaci´on diferenciable φ, al tensor φ∗ T covariante de orden r sobre X definido punto a punto del siguiente modo: dados x ∈ X y D1 , . . . , Dr ∈ Tx X, ( ∗ ) φ T x (D1 , . . . , Dr ) := Tφ(x) (φ∗ D1 , . . . , φ∗ Dr ) , donde φ∗ : Tx X → Tφ(x) Y es la aplicaci´on lineal tangente de φ en x. Es claro que sobre los tensores covariantes de orden 1 (las 1-formas) la imagen inversa coincide con la aplicaci´on lineal cotangente. Para los tensores covariantes de orden 0 (las funciones diferenciables), la imagen inversa por φ se define como “ componer ” con φ, φ∗

C ∞ (Y ) −−→ C ∞ (X) ,

f 7−→ φ∗ f = f ◦φ .

Para poder definir la imagen inversa de tensores cualesquiera por una aplicaci´on diferenciable necesitamos que dicha aplicaci´on sea difeomorfismo. Fijemos en el siguiente punto la notaci´on que necesitaremos. 1.2 Supongamos para lo que resta de secci´on que φ : X → Y es difeomorfismo, en cuyo caso, fijados puntos x ∈ X e y = φ(x) ∈ Y , las aplicaciones lineales φ∗ : Tx X → Ty Y y φ∗ : Ty Y → Tx X son isomorfismos; los respectivos isomorfismos inversos los denotaremos tambi´en por φ∗ y φ∗ : (φ∗ )−1 = φ∗

(φ∗ )−1 = φ∗

Tx∗ X −−−−−−−−−→ Ty∗ Y .

Ty Y −−−−−−−−−→ Tx X ,

En cada caso, por el contexto debe quedar claro el significado de φ∗ y φ∗ : si escribimos φ∗ (D) siendo D un vector tangente a X en el punto x, entonces φ∗ : Tx X → Ty Y es la aplicaci´on

189

190

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

lineal tangente en x; pero si escribimos φ∗ (ω) para una 1-forma ω en el punto x, entonces φ∗ : Tx∗ X → Ty∗ Y es la inversa de la aplicaci´on lineal cotangente en x. Adem´as, el morfismo de R-´algebras φ∗ : C ∞ (Y ) → C ∞ (X) es un isomorfismo, y su isomorfismo inverso lo denotaremos φ∗ . Recordemos que este u ´ltimos es el morfismo de R-´algebras definido por el difeomorfismo inverso φ−1 : Y → X, es decir, φ∗

C ∞ (X) −−→ C ∞ (Y ) ,

g 7−→ φ∗ g = g ◦φ−1 .

Definici´ on 1.3 Dados enteros no negativos y no simult´aneamente nulos r y s, se llama imagen inversa por φ de tensores de tipo (r, s) sobre Y a la aplicaci´on φ∗ : T (r,s) (Y ) −→ T (r,s) (X) T

7−→ φ∗ T

definida por la siguiente f´ormula: dados x ∈ X, D1 , . . . , Dr ∈ Tx X y ω1 , . . . , ωs ∈ Tx∗ X, (

φ∗ T

) x

(D1 , . . . , ωs ) := Tφ(x) (φ∗ D1 , . . . , φ∗ ωs ) .

Para (r, s) = (0, 0) tenemos T (0,0) (Y ) = C ∞ (Y ), y ya hemos dicho en la definici´on 1.1 que la imagen inversa φ∗ : T (0,0) (Y ) → T (0,0) (X) es el morfismo de R-´algebras φ∗ : C ∞ (Y ) → C ∞ (X). Para un difeomorfismo tenemos tambi´en la “ imagen directa ” de tensores. Definici´ on 1.4 Sea (r, s) ̸= (0, 0). Se llama imagen directa por φ de tensores de tipo (r, s) sobre X a la aplicaci´on φ∗ : T (r,s) (X) −→ T (r,s) (Y ) T

7−→ φ∗ T

¯ 1, . . . , D ¯ r ∈ Ty Y y ω definida por la siguiente f´ormula: dados y ∈ Y , D ¯1, . . . , ω ¯ s ∈ Ty∗ Y , (

φ∗ T

) y

¯ 1, . . . , ω ¯ 1 , . . . , φ∗ ω (D ¯ s ) := Tφ−1 (y) (φ∗ D ¯s) .

Para (r, s) = (0, 0) tenemos T (0,0) (X) = C ∞ (X), y la imagen directa φ∗ : T (0,0) (X) → T (0,0) (Y ) es el isomorfismo de R-´algebras φ∗ : C ∞ (X) → C ∞ (Y ) (v´ease el final del punto 1.2). Propiedades 1.5 Es f´acil comprobar, a partir de las definiciones, que para un difeomorfismo φ se cumplen las siguientes propiedades (v´ease la nota 1.6 siguiente): (a) Las aplicaciones φ∗ y φ∗ son inversa una de la otra. (b) φ∗ (df ) = d(φ∗ f ) (c)

φ∗ (T

+

T ′)

=

φ∗ T

(est´a propiedad ya la hemos utilizado) , +

φ∗ T ′ ,

φ∗ (T +

T ′)

= φ∗ T + φ∗

T′ .

φ∗ (df ) = d(φ∗ f ) .

( φ∗ (T ⊗ T ′ ) = φ∗ T ⊗ φ∗ T ′ como caso particular de (d) φ∗ (T ⊗ T ′ ) = φ∗ T ⊗ φ∗ T ′ , ) esta propiedad tenemos φ∗ (f · T ) = (φ∗ f ) · (φ∗ T ) , φ∗ (f · T ) = (φ∗ f ) · (φ∗ T ) . (e) φ∗ (Cji T ) = Cji (φ∗ T ) ,

φ∗ (Cji T ) = Cji (φ∗ T ) .

1. Imagen inversa e imagen directa de tensores

191

Nota 1.6 Dados un punto x ∈ X y su imagen y = φ(x) ∈ Y , sabemos que la aplicaci´on lineal tangente del difeomorfismo φ : X → Y en el punto x, φ∗ : Tx X → Ty Y , y la aplicaci´on lineal tangente del difeomorfismo φ−1 : Y → X en el punto y, (φ−1 )∗ : Ty Y → Tx X, son isomorfismos lineales inverso uno del otro, es decir, (φ∗ )−1 = (φ−1 )∗ . Con la notaci´on introducida en el punto 1.2, la anterior igualdad la escribimos como φ∗ = (φ−1 )∗ . Del mismo modo, tomando duales en las aplicaciones tangentes tenemos que las aplicaciones lineales cotangentes φ∗ : Ty∗ Y → Tx∗ X y (φ−1 )∗ : Tx∗ X → Ty∗ Y son isomorfismos lineales inverso uno del otro, esto es, (φ∗ )−1 = (φ−1 )∗ , lo que con la notaci´on del punto 1.2 podemos expresar como φ∗ = (φ−1 )∗ . A la vista de todo lo anterior es claro que tenemos: la imagen directa de tensores sobre X por el difeomorfismo φ : X → Y coincide con la imagen inversa de tensores sobre X por φ−1 : Y → X. Como consecuencia, toda propiedad probada para la imagen inversa de tensores queda autom´aticamente probada para la imagen directa de tensores. Por ejemplo, como en cap´ıtulos anteriores se prob´o que para toda funci´on f ∈ C ∞ (Y ) se cumple la igualdad φ∗ (df ) = d(φ∗ f ), concluimos que tambi´en es cierto que para toda funci´on f ∈ C ∞ (X) se cumple φ∗ (df ) = d(φ∗ f ) (propiedad 1.5 (b)). Veamos, a modo de ejemplos con los que practicar, algunos casos particulares. Ejemplos 1.7 (a) Para cada campo tangente sobre Y , D ∈ D(Y ) = T (0,1) (Y ), su imagen inversa por φ es el campo tangente φ∗ D sobre X que en cada punto x ∈ X es (

φ∗ D

) x

( ) = φ∗ Dφ(x) .

(1.1)

siendo φ∗ : Tφ(x) Y → Tx X la inversa de la aplicaci´on tangente φ∗ : Tx X → Tφ(x) Y ; esto es, (

φ∗ D

) x

) ( )−1 ( Dφ(x) . = φ∗

(1.2)

En efecto, dada ω ∈ Tx∗ X tenemos (

) ( ) ( ) φ∗ D x (ω) := Dφ(x) φ∗ ω = φ∗ ω Dφ(x) = (∗) ,

( ) ( ) donde φ∗ = inversa dual de φ∗ : Tx X → Tφ(x) Y = dual inversa de φ∗ : Tx X → Tφ(x) Y , es (( ) )∗ ( )−1 −1 decir, φ∗ ω = φ∗ (ω) = ω ◦ φ∗ ; por lo tanto ( ( ) )( (( ) ( ) )) (( )−1 ( )) −1 −1 (∗) = ω ◦ φ∗ Dφ(x) = ω φ∗ Dφ(x) = φ∗ Dφ(x) (ω) , que es lo que quer´ıamos ver. (b) Cambiando en la propiedad (a) anterior “ imagen inversa ” por “ imagen directa ” ob¯ sobre X y cada punto x ∈ X se tenemos (v´ease la nota 1.6): para cada campo tangente D cumple ( ) ( ) ¯x . ¯ = φ∗ D (1.3) φ∗ D φ(x)

192

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

(c) Consideremos sobre Y una 1-forma ω ∈ Ω(Y ) = T (1,0) (Y ) y un campo tangente D ∈ D(Y ) = T (0,1) (Y ). Por una parte, ω(D) ∈ C ∞ (Y ) obtenemos sobre ( de) la funci´on diferenciable ∞ ∗ X la funci´on diferenciable φ ω(D) = φ◦ω(D) ∈ C (X). Por otra parte, tomando imagen inversa por φ de ω y de D obtenemos X la 1-forma φ∗ ω y el campo tangente φ∗ D, por ( ∗ ) sobre ∞ ∗ lo que tenemos la funci´on φ ω φ D ∈ C (X). Se cumple la igualdad ( ) ( ) φ∗ ω φ∗ D = φ∗ ω(D) . (1.4) Una demostraci´on de la igualdad (1.4) podemos obtenerla directamente de la definici´on: ¯ sobre X tenemos para cada punto x ∈ X y cada campo D ( ∗ ) ( ) ¯ (x) = φ∗ ω (D ¯ x ) := ωφ(x) (φ∗ (D ¯ x )) = (∗) , φ ω(D) x y aplicando el ejemplo (b) anterior obtenemos ) ( ) ( ) ) ( ( ¯ (x) ; ¯ φ(x) = ω(φ∗ D) ¯ (φ(x)) = ω(φ∗ D) ¯ ◦φ (x) = φ∗ ω(φ∗ D) (∗) = ωφ(x) (φ∗ D) haciendo abstracci´on del punto x llegamos a la igualdad ( ) ¯ = φ∗ ω(φ∗ D) ¯ . φ∗ ω(D) ¯ = φ∗ D obtenemos Ahora, aplicando la anterior igualdad al campo D ( ) ( ) φ∗ ω(φ∗ D) = φ∗ ω(φ∗ φ∗ D) = φ∗ ω(D) , que es lo que quer´ıamos probar. Una demostraci´on m´as corta de esta propiedad podemos obtenerla aplicando las propiedades 1.5 (teniendo en cuenta que para cada 1-forma ω y cada campo D sobre una misma variedad se cumple C11 (ω ⊗ D) = ω(D)): ( ) ( ) ( ) ( ) φ∗ ω(φ∗ D) = C11 φ∗ ω ⊗ φ∗ D = C11 φ∗ (ω ⊗ D) = φ∗ C11 (ω ⊗ D) = φ∗ ω(D) .

2.

Derivada de Lie

Fijemos para esta secci´on un campo tangente D sobre una variedad diferenciable X y sea {τt } su grupo uniparam´etrico local. 2.1 Recordemos que para cada funci´on diferenciable f ∈ C ∞ (X) se cumple Df = l´ım

t→0

τt∗ f − f , t

donde el anterior l´ımite se toma en cada punto p ∈ X (v´eanse la definici´on X.4.3 y el teorema X.4.5): f (τt (p)) − f (p) Df (p) = l´ım . t→0 t Utilizaremos la anterior expresi´on de la derivada de funciones (tensores de tipo (0, 0)) respecto de D, para definir la derivada de tensores arbitrarios respecto de D.

2. Derivada de Lie

193

Definici´ on 2.2 Dado un campo tensorial T sobre la variedad X, se define la derivada de Lie de T respecto de D como el tensor DL T dado por la f´ormula DL T := l´ım

t→0

τt∗ T − T , t

(2.1)

donde el l´ımite se toma en cada punto x ∈ X, (DL T )x = l´ım

t→0

(τt∗ T )x − Tx , t

y respecto de la topolog´ıa natural que tiene el espacio de tensores en el punto x (del tipo que se considere) como espacio vectorial real de dimensi´on finita. 2.3 Veamos que la f´ormula (2.1) define efectivamente un campo tensorial sobre X. Sea (U ; x1 , . . . , xn ) un abierto coordenado de X y consideremos sobre ´el la expresi´on en coordenadas del grupo uniparam´etrico local (v´ease el punto X.3.4): ( ) τt (x) = τ (t, x) = h1 (t, x), . . . , hn (t, x) con h1 , . . . , hn funciones diferenciables sobre I × U para cierto intervalo abierto I de R tal que 0 ∈ I. Consideremos tambi´en la base est´andar de tensores de tipo (p, q) sobre U que definen las funciones coordenadas x1 , . . . , xn , siendo (p, q) ̸= (0, 0) el tipo del tensor T , { } Tα := dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxip ⊗ ∂xj1 · · · ⊗ ∂xjq , α=(i1 ,...,ip ,j1 ,...,jq )

donde las componentes del multi-´ındice α toman todos los valores entre 1 y n. Veamos que para el tensor T fijado se cumple una igualdad de la forma ∑ τt∗ T = fα (t, x) Tα , α

siendo las {fα } funciones diferenciables de las coordenadas t, x1 , . . . , xn . Como todo tensor es suma de productos tensoriales de “ funciones diferenciables ”, “ campos tangentes b´asicos ” y “ 1-formas b´asicas ”, y como τt∗ conmuta con productos tensoriales, bastar´a comprobar la afirmaci´on hecha para los tensores de los tres tipos mencionados: Funciones: dada g ∈ C)∞ (X), para cada x ∈ U tenemos (τt∗ g)(x) = (g ◦τt )(x) = g((τt (x)) = ( g h1 (t, x), . . . , hn (t, x) , que es una funci´on diferenciable de las coordenadas t y x = (x1 , . . . , xn ). Campos b´asicos: recordemos que (τt )−1 = τ−t y por lo tanto la inversa de la aplicaci´on lineal τt,∗ es (τt,∗ )−1 = (τt−1 )∗ = τ−t,∗ ; ahora, dado j ∈ {1, . . . , n}, para cada x ∈ U tenemos (v´ease la f´ormula (1.2)) (

τt∗ ∂xj

) x

n ( ) ∑ ( ) = τ−t,∗ (∂xj )τt (x) = τ−t,∗ (∂xj )τt (x) (xi ) ∂xi = (∗) ; i=1

194

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

dado i ∈ {1, . . . , n} es ( ) ( ∗ ) ( ) τ−t,∗ (∂xj )τt (x) (xi ) = (∂xj )τt (x) τ−t xi = (∂xj )τt (x) xi ◦τ−t ( ) ) ∂hi ( = (∂xj )τt (x) hi (−t, x) = − t, τt (x) , ∂xj y por lo tanto (∗) =

n ∑ ) ∂hi ( − t, τt (x) ∂xi ; es decir, ∂xj i=1

(

τt∗ ∂xj

) x

=

n ∑

fi (t, x) ∂xi

i=1

con fi (t, x) =

) ∂hi ( − t, τt (x) funciones diferenciables de las coordenadas t, x1 , . . . , xn . ∂xj

1-formas b´asicas: para cada j ∈ {1, . . . , n} tenemos τt∗ (dxj ) = d(τt∗ xj ) = d(hj (t, x)) =

n ∑ ∂hj (t, x) dxi . ∂xi i=1

Apliquemos la igualdad obtenida al c´alculo de la derivada de Lie, para lo cual recordemos que para t = 0 se cumple ∑ T = τ0∗ T = fα (0, x) Tα α

porque τ0 es la identidad. Tenemos

∑ ∑ τt∗ T − T α fα (0, x) Tα α fα (t, x) Tα − D T = l´ım = l´ım t→0 t→0 t t ) ∑ ∑( ∂fα fα (t, x) − fα (0, x) Tα = (0, x) Tα , = l´ım t→0 t ∂t α α L

de lo que se concluye que DL T es un campo tensorial de tipo (p, q). Propiedades 2.4 La derivada de Lie de tensores sobre X respecto del campo tangente D tiene las siguientes propiedades: (i) DL f = Df ; (ii) DL (T + T ′ ) = DL T + DL T ′ ; (iii) DL (T ⊗ T ′ ) = (DL T ) ⊗ T ′ + T ⊗ (DL T ′ ),; (iv) DL (Cji T ) = Cji (DL T ) . Demostraci´ on. La propiedad (i) se sigue de la definici´on de derivada de Lie. Para obtener la propiedad (ii) basta tener en cuenta que los l´ımites conmutan con la suma (porque la suma en los espacios vectoriales reales de dimensi´on finita es continua para la topolog´ıa natural de dichos espacios).

3. Corchete de Lie

195

Para la propiedad (iii) tenemos DL (T ⊗ T ′ ) = l´ım

t→0

τ ∗ T ⊗ τt∗ T ′ − T ⊗ T ′ τt∗ (T ⊗ T ′ ) − T ⊗ T ′ = l´ım t t→0 t t

τt∗ T ⊗ τt∗ T ′ − T ⊗ τt∗ T ′ + T ⊗ τt∗ T ′ − T ⊗ T ′ t→0 t ( ∗ ( ) ) τt T − T τt∗ T ′ − T ′ ∗ ′ = l´ım ⊗ τt T + l´ım T ⊗ t→0 t→0 t t = l´ım

= (DL T ) ⊗ T ′ + T ⊗ (DL T ′ ) ; en el anterior c´alculo hemos usado que el producto tensorial es una aplicaci´on bilineal, y que toda aplicaci´on bilineal es continua y por tanto conmuta con l´ımites. La propiedad (iv) se prueba de modo an´alogo: D

L

(Cji T )

( ∗ ) τt∗ (Cji T ) − Cji T τt T − T j = l´ım Ci = l´ım t→0 t→0 t t ( ) ∗ τ T −T = Cji l´ım t = Cji (DL T ) , t→0 t

donde hemos usado que la aplicaci´on Cji : T (p,q) (X) → T (p−1,q−1) (X) es lineal y por tanto continua.

3.

Corchete de Lie

Definici´ on 3.1 Dados campos tangentes D1 , D2 sobre una variedad diferenciable X, se define su corchete de Lie como el campo [D1 , D2 ] definido por la igualdad [D1 , D2 ] := D1 ◦D2 − D2 ◦D1 . A pesar de que, en general, la composici´on de derivaciones no es derivaci´on, es rutinario comprobar que [D1 , D2 ] es en efecto una derivaci´on (h´agase como ejercicio). ¯ D1 , D2 , D3 sobre una variedad diferenciable Propiedades 3.2 Dados campos tangentes D, D, ∞ X y dada una funci´on diferenciable f ∈ C (X), se cumplen: (a) [D2 , D1 ] = −[D1 , D2 ] ; (b) [D1 + D2 , D] = [D1 , D] + [D2 , D] , ¯ = (Df ) · D ¯ + f [D, D] ¯ ; (c) [D, f D]

[D, D1 + D2 ] = [D, D1 ] + [D, D2 ] ;

(d) identidad de Jacobi: [ ] [ ] [ ] D1 , [D2 , D3 ] + D3 , [D1 , D2 ] + D2 , [D3 , D1 ] = 0 . Todas las demostraciones se obtienen directamente de la definici´on y se dejan como ejercicio.

196

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

3.3 Dado un abierto coordenado (U ; u1 , . . . , un ) de una variedad diferenciable, el lema de Schwarz sobre las derivadas cruzadas se enuncia en t´erminos del corchete de Lie diciendo que se cumplen las igualdades para todos i, j ∈ {1, . . . , n} .

[∂ui , ∂uj ] = 0

Estas igualdades junto con las propiedades 3.2 permiten determinar el corchete de Lie de dos campos tangentes a partir de sus expresiones en las coordenadas u1 , . . . , un . Ejemplo 3.4 Dados sobre R2 los campos tangentes D1 = x∂x + y∂y y D2 = x2 ∂y tenemos [D1 , D2 ] = [x∂x + y∂y , x2 ∂y ] = [x∂x , x2 ∂y ] + [y∂y , x2 ∂y ] = (x∂x )(x2 )∂y + x2 [x∂x , ∂y ] + (y∂y )(x2 ) + x2 [y∂y , ∂y ] ( ) ( ) = 2x2 ∂y − x2 ∂y (x)∂x + x[∂y , ∂x ] − x2 ∂y (y)∂y + y[∂y , ∂y ] = 2x2 ∂y − x2 ∂y = x2 ∂y . 3.5 Fijemos un campo tangente D sobre una variedad diferenciable X. Localmente (en los abiertos coordenados) todo tensor es suma de productos tensoriales de funciones diferenciables, campos tangentes y 1-formas. Por lo tanto, teniendo en cuenta las propiedades de la “ derivada de Lie respecto de D ” en relaci´on con la suma y el producto tensorial, para determinar la derivada de Lie de cualquier tensor en coordenadas locales ser´a suficiente determinar la derivada de Lie de los tensores de los tres tipos mencionados. Ya sabemos que para toda funci´on f ∈ C ∞ (X) se cumple DL f = Df . En los siguientes resultados veremos c´omo son la “ derivara de Lie de un campo tangente ” y la “ derivara de Lie de una 1-forma ”. Lema 3.6 Sean (x1 , . . . , xn ) las coordenadas cartesianas de Rn . Si una funci´on f ∈ C ∞ (Rn ) se anula sobre el hiperplano x1 = 0, entonces existe una funci´on diferenciable g ∈ C ∞ (Rn ) tal que f = x1 g. Demostraci´ on. Fijado un punto (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn consideramos la funci´on F : [0, 1] → R, F (t) = f (tx1 , x2 , . . . , xn ). Tenemos ∫ 1 f (x1 , . . . , xn ) = F (1) = F (1) − F (0) = F ′ (t) dt ∫

0 1

= 0

∫

∂f (tx1 , x2 , . . . , xn ) x1 dt ∂x1

= x1 0

donde g =

1

∂f (tx1 , x2 , . . . , xn ) dt = x1 g , ∂x1

∫1

∂f 0 ∂x1 (tx1 , x2 , . . . , xn ) dt.

Corolario 3.7 Si una funci´on f ∈ C ∞ (Rn ) se anula sobre los hiperplanos x1 = 0 y x2 = 0, entonces existe una funci´on diferenciable g ∈ C ∞ (Rn ) tal que f = x1 x2 g.

3. Corchete de Lie

197

¯ sobre una variedad diferenciable X Teorema 3.8 Para todo par de campos tangentes D, D se cumple ¯ = [D, D] ¯ . DL D (3.1) ¯ p = [D, D] ¯ p . Sea {τt } Demostraci´ on. Fijemos un punto p ∈ X y veamos que se cumple (DL D) ¯ el grupo uniparam´etrico local de D y sea {¯ τs } el grupo uniparam´etrico local de D. Recordemos que para cada funci´on f ∈ C ∞ (X) se cumplen f (τt (p)) − f (p) , t

(3.2)

τs (p)) − f (p) ¯ p f = Df ¯ (p) = l´ım f (¯ D . s→0 s

(3.3)

Dp f = Df (p) = l´ım

t→0

Pasando a un entorno abierto coordenado del punto p podemos suponer que es X = Rn ; de ese modo, si x1 , . . . , xn son las coordenadas cartesianas de Rn , para ver que los vectores ¯ p y (DL D) ¯ p son iguales debemos probar que tienen las mismas coordenadas en la base [D, D] } { (∂x1 )p , . . . , (∂xn )p , esto es, debemos probar que se cumplen ¯ p (xi ) = (DL D) ¯ p (xi ) , [D, D]

i = 1, . . . , n .

Fijemos un ´ındice i ∈ {1, . . . , n} y calculemos: ¯ p (xi ) = [D, D](x ¯ i )(p) = D(Dx ¯ i )(p) − D(Dx ¯ [D, D] i )(p) .

(3.4)

Aplicando las f´ormulas (3.2) y (3.3) tenemos ¯ i )(τt (p)) − (Dx ¯ i )(p) (Dx t→0 t ) ( ) ( xi (¯ τs (p)) − xi (p) xi (¯ τs (τt (p))) − xi (τt (p)) − l´ıms→0 l´ıms→0 s s = l´ım t→0 t ( ) xi (¯ τs (τt (p))) − xi (τt (p)) − xi (¯ τs (p)) + xi (p) = l´ım l´ım = (△) ; t→0 s→0 ts

¯ i )(p) = l´ım D(Dx

si f (p, t, s) denota el numerador del l´ımite (△) entonces es claro que f (p, 0, s) = f (p, t, 0) = 0, de modo que aplicando el corolario 3.7 obtenemos que existe una funci´on diferenciable g = g(p, t, s) tal que f (p, t, s) = ts g(p, t, s); por lo tanto ( ) f (p, t, s) (△) = l´ım l´ım = g(p, 0, 0) . t→0 s→0 ts La anterior igualdad prueba que es indiferente el orden en que tomemos los l´ımites t → 0, s → 0 para calcular (△) : ¯ i )(p) = l´ım D(Dx

t,s→0

xi (¯ τs (τt (p))) − xi (τt (p)) − xi (¯ τs (p)) + xi (p) . ts

198

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

Restando en la ecuaci´on (3.4) la expresi´on sim´etrica a la anterior igualdad que corresponde a ¯ D(Dx i )(p) resulta τs (τt (p))) − xi (τt (¯ τs (p))) ¯ p (xi ) = l´ım xi (¯ [D, D] . t,s→0 ts Si denotamos F (p, t, s) = xi (¯ τs (τt (p))) − xi (τt (¯ τs (p))) = (xi ◦τ¯s ◦τt )(p) − (xi ◦τt ◦τ¯s )(p) , entonces aplicando de nuevo el corolario 3.7 obtenemos que existe una funci´on diferenciable G = G(p, t, s) tal que F (p, t, s) = ts G(p, t, s), y por tanto ¯ p (xi ) = l´ım F (p, t, s) = G(p, 0, 0) . [D, D] t,s→0 ts Por otra parte, aplicando la f´ormula (1.2) y recordando la igualdad (τt,∗ )−1 = (τt−1 )∗ = τ−t,∗ tenemos ( ) ¯ τ (p) (xi ) − D ¯ p (xi ) ¯ p (xi ) − D ¯ p (xi ) (τt,∗ )−1 D (τt∗ D) t L¯ (D D)p (xi ) = l´ım = l´ım t→0 t→0 t t ) ( ) ( ¯ p (xi ) ¯ τ (p) (xi ) − D ¯ p (xi ) ¯ τ (p) xi ◦τ−t − D D τ−t,∗ D t t = l´ım = l´ım t→0 t→0 t t [ ] [ ] (xi ◦τ−t )(¯ τs (τt (p))) − (xi ◦τ−t )(τt (p)) − xi (¯ τs (p)) − xi (p) = l´ım t,s→0 ts ) ) ( ) ( ( xi ◦τ−t ◦τ¯s (τt (p)) − xi ◦τ−t ◦τt (p) − xi ◦τ¯s ◦τ−t (τt (p)) + xi (p) = l´ım t,s→0 ts ) ) ( ( xi ◦τ−t ◦τ¯s (τt (p)) − xi (p) − xi ◦τ¯s ◦τ−t (τt (p)) + xi (p) = l´ım t,s→0 ts ) ) ( ( xi ◦τ−t ◦τ¯s (τt (p)) − xi ◦τ¯s ◦τ−t (τt (p)) = l´ım t,s→0 ts = l´ım

t,s→0

−F (τt (p), −t, s) = l´ım G(τt (p), −t, s) = G(p, 0, 0) . t,s→0 −(−ts)

Esto termina la demostraci´on. Lema 3.9 Dados sobre una variedad diferenciable X un campo tangente D y una 1-forma ¯ ∈ D(X) se cumple ω ∈ Ω(X), la 1-forma DL ω es la siguiente: para todo campo D ( ) ( ) ¯ = D ω(D) ¯ − ω [D, D] ¯ . DL ω (D) (3.5) ¯ = ω(D) ¯ obtenemos Demostraci´ on. Teniendo en cuenta la igualdad C11 (ω ⊗ D) ( ) ( ) ( ) ( ) ¯ = DL ω(D) ¯ = DL C11 (ω ⊗ D) ¯ = C11 DL (ω ⊗ D) ¯ D ω(D) ( ) ( ) ( ) ¯ + ω ⊗ (DL D) ¯ = C1 (DL ω) ⊗ D ¯ + C1 ω ⊗ (DL D) ¯ = C11 (DL ω) ⊗ D 1 1 ( ) ( ) ¯ + ω DL D ¯ = DL ω (D) ¯ + ω [D, D] ¯ , = DL ω (D) y basta despejar para terminar la demostraci´on.

3. Corchete de Lie

199

Corolario 3.10 Sea D un campo tangente sobre una variedad diferenciable X. Dada una funci´on f ∈ C ∞ (X), para la 1-forma df se cumple DL (df ) = d(Df ) .

(3.6)

¯ ∈ D(X) tenemos Demostraci´ on. Para todo campo D ( ) ( ) ¯ = D df (D) ¯ − df [D, D] ¯ = D(Df ¯ ) − [D, D](f ¯ ) DL (df ) (D) ¯ −D ¯ ◦D)(f ) = D(Df ¯ ) − D(Df ¯ ) + D(Df ¯ ¯ ) − (D◦D ) = D(Df ¯ ¯ , = D(Df ) = d(Df ) (D) que es lo que quer´ıamos probar. 3.11 (Interpretaci´ on geom´ etrica del corchete de Lie) Vamos a terminar esta secci´on aprovechando los c´alculos hechos en la demostraci´on del teorema 3.8 para obtener una interpretaci´on geom´etrica del corchete de Lie. En las hip´otesis de dicho teorema y con la notaci´on utilizada en su demostraci´on, hemos probado ( ) ( ) τ (¯ τ (p)) τ ¯ (τ (p)) − x x t s s t i i ¯ p (xi ) = l´ım , i = 1, . . . , n . [D, D] t,s→0 ts Sea Vt,s el vector en el punto p (esto es, en el espacio vectorial Tp Rn = Rn ) cuya i-´esima coordenada cartesiana vale (la funci´on coordenada xi es lineal) ( ) ( ) ( ) τs (p)) ; τs (p)) = xi τ¯s (τt (p)) − τt (¯ xi τ¯s (τt (p)) − xi τt (¯ es claro que Vt,s es la diferencia τ¯s (τt (p)) − τt (¯ τs (p)) = (¯ τs ◦τt − τt ◦τ¯s )(p)) entendida como vector en el punto p. τ¯s (p) •

Vt,s • τ¯s (τt (p)) • τt (¯ τs (p))

Vt,s • τt (p)

• p

Tenemos entonces la igualdad ¯ p = l´ım [D, D]

t,s→0

Vt,s . ts

Como consecuencia: “ si los grupos uniparam´etricos locales {τt } y {¯ τs } conmutan (esto es, ¯ = 0 ”. τt ◦τ¯s = τ¯s ◦τt para cualesquiera t, s), entonces se cumple [D, D] No es dif´ıcil demostrar que el rec´ıproco de la anterior afirmaci´on tambi´en es cierto: “ si ¯ = 0, entonces los grupos uniparam´etricos locales de D y D ¯ conmutan ”. [D, D]

200

4.

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

Diferencial exterior Fijemos para toda esta secci´on una variedad diferenciable X de dimensi´on n.

Definici´ on 4.1 Dado p ≥ 1, una p-forma exterior sobre X es un tensor covariante hemisim´etrico de orden p sobre X. El conjunto de las p-formas exteriores sobre X lo denotaremos ´ Ωp (X). Como sabemos (por el Algebra Lineal), Ωp (X) es un C ∞ (X)-subm´odulo del m´odulo T (p,0) (X) de todos los tensores covariantes de orden p sobre X. Convenimos en que las 0-formas exteriores son las funciones diferenciables, Ω0 (X) = C ∞ (X). En adelante, las “ p-formas exteriores ” las denominaremos simplemente “ p-formas ”. Nota 4.2 Para una p-forma ωp sobre X, se dice tambi´en que p es el “ grado ” de ωp . Definici´ on 4.3 Dados dos formas ωp y ωq de grados respectivos p y q, se llama producto exterior de ωp y ωq (en ese orden) a la (p + q)-forma ωp ∧ ωq definida por la siguiente f´ormula: dados p + q campos D1 , . . . , Dp+q sobre X, (ωp ∧ ωq )(D1 , . . . , Dp+q ) :=

( ) 1 ∑ sig(σ) (ωp ⊗ ωq ) Dσ(1) , . . . , Dσ(p+q) , p! q! σ

donde el sumatorio recorre todas las permutaciones σ de p + q elementos. Dada una 0-forma f ∈ C ∞ (X), para toda p-forma ωp se definen f ∧ ωp = ωp ∧ f := f ωp . Definici´ on 4.4 Dado p > 0, se llama producto interior de un campo D ∈ D(X) por una p-forma ωp a la (p − 1)-forma ι˙D ωp definida por la siguiente f´ormula: dados p − 1 campos D1 , . . . , Dp−1 sobre X, ι˙D ωp (D1 , . . . , Dp−1 ) := ωp (D, D1 , . . . , Dp−1 ) . Para una 0-forma f ∈ C ∞ (X) se define ι˙D f := 0 para todo campo D. Propiedades 4.5 (a) El producto exterior de formas es anticonmutativo, asociativo y distributivo respecto de la suma. La propiedad “ anticonmutativa ” es la siguiente: dadas ωp ∈ Ωp (X) y ωq ∈ Ωq (X) se cumple ωp ∧ ωq = (−1)pq ωq ∧ ωp . Por consiguiente, el producto exterior induce en el C ∞ (X)-m´odulo graduado ⊕ Ω· (X) := Ωp (X) p≥0

una estructura de “ C ∞ (X)-´algebra graduada anticonmutativa ”. A Ω· (X) se le llama ´algebra exterior de la variedad diferenciable X. (b) Si (U ; x1 , . . . , xn ) es un abierto coordenado de X, entonces Ωp (U ) es un C ∞ (U )-m´odulo libre. Cuando p ≥ 1, una base de p-formas sobre U es { } dxi1 ∧ · · · ∧ dxip : 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n .

4. Diferencial exterior

201

En particular Ωp (U ) = 0 para p > n = dim X, y por lo tanto Ωp (X) = 0 para p > n (porque X puede recubrirse por abiertos coordenados). Como consecuencia tenemos que la suma directa ⊕ p (X) es finita, Ω· (X) = Ω p≥0 Ω· (X) = C ∞ (X) ⊕ Ω1 (X) ⊕ · · · ⊕ Ωn (X) . Los elementos del ´algebra graduada Ω· (X) se llaman “ formas (exteriores) ” sobre X. Para cada forma ω sobre X existen ω0 ∈ Ω0 (X), ω1 ∈ Ω1 (X), . . . , ωn ∈ Ωn (X), un´ıvocamente determinadas por ω, tales que ω = ω0 + ω1 + · · · + ωn ; dado p ∈ {0, 1, . . . , n}, la p-forma ωp es la “ parte homog´enea de grado p ” de la forma ω. (c) Fijado un campo D ∈ D(X), el producto interior ι˙D : Ω· (X) → Ω· (X) es una antiderivaci´on, es decir, dadas ωp ∈ Ωp (X) y ωq ∈ Ωq (X) se cumple ( ) ( ) ι˙D ωp ∧ ωq = ι˙D ωp ∧ ωq + (−1)p ωp ∧ ι˙D ωq . Como consecuencia se sigue que ι˙D : Ω· (X) → Ω· (X) es una aplicaci´on C ∞ (X)-lineal. (d) El producto exterior conmuta con im´agenes inversas: dada una aplicaci´on diferenciable ϕ : X → Y , para todo par de formas exteriores ω y ω ¯ sobre Y se cumple ( ) ϕ∗ ω ∧ ω ¯ = ϕ∗ ω ∧ ϕ∗ ω ¯. Las demostraciones de las anteriores propiedades se obtienen como consecuencia de las ´ propiedades que se establecen en Algebra Lineal para los tensores hemisim´etricos sobre un espacio vectorial. Una diferencial exterior sobre la variedad X es un operador R-lineal Definici´ on 4.6 d : Ω· (X) → Ω· (X) con las siguientes propiedades: (a) d es “ homog´enea de grado 1 ” (esto es, manda formas homog´eneas a formas homog´eneas subiendo el grado en 1: la diferencial exterior de una p-forma es una (p + 1)-forma); (b) sobre las funciones coincide con la diferencial ordinaria; (c) d es una antiderivaci´on (para el producto del ´algebra exterior): dadas ωp ∈ Ωp (X) y ωq ∈ Ωq (X) se cumple ) ) ( ( d ωp ∧ ωq = dωp ∧ ωq + (−1)p ωp ∧ dωq ; (d) d◦d = 0 . Toda diferencial exterior tiene algunas propiedades b´asicas utilizadas frecuentemente que probaremos en el siguiente lema. Lema 4.7 Si d : Ω· (X) → Ω· (X) es una diferencial exterior sobre X, entonces para cualesquiera funciones f, g1 , . . . , gp ∈ C ∞ (X) se cumplen: ( ) (i) d dg1 ∧ · · · ∧ dgp = 0 ; ( ) (ii) d f · dg1 ∧ · · · ∧ dgp = df ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgp .

202

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

Demostraci´ on. Probemos (i) por inducci´on en el n´ umero p de funciones. Para p = 1 es la propiedad (d) de la definici´on: d(dg1 ) = d◦d(g1 ) = 0. Supongamos ahora que es p > 1 y que la propiedad es v´alida para p − 1 funciones. Entonces, aplicando la propiedad (c) de la definici´on, para p funciones tenemos ( ) ( ( )) d dg1 ∧ · · · ∧ dgp = d dg1 ∧ dg2 ∧ · · · ∧ dgp ( ) ( ) = d(dg1 ) ∧ dg2 ∧ · · · ∧ dgp + (−1)1 dg1 ∧ d dg2 ∧ · · · ∧ dgp ( ) = 0 ∧ dg2 ∧ · · · ∧ dgp + (−1)1 dg1 ∧ 0 = 0 . La propiedad (ii) es consecuencia inmediata de la (i): ( ) ( ) d f · dg1 ∧ · · · ∧ dgp = d f ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgp ( ) ( ) = df ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgp + (−1)0 f ∧ d dg2 ∧ · · · ∧ dgp = df ∧ dg1 ∧ · · · ∧ dgp , como quer´ıamos probar. Ejercicio 4.8 Las dos propiedades enunciadas en el lema 4.7 son realmente la misma (esto es, son equivalentes). En la anterior demostraci´on hemos visto la implicaci´on “ (i) =⇒ (ii) ”. Pru´ebese la implicaci´on “ (ii) =⇒ (i) ”. Tenemos el siguiente importante resultado: Teorema 4.9 Sobre la variedad diferenciable X existe una u ´nica diferencial exterior. Demostraci´ on. En un primer paso vamos a probar la existencia y unicidad de la diferencial exterior sobre cada abierto coordenado (U ; u1 , . . . , un ) de X. Supongamos que existe una diferencial exterior d : Ω· (U ) → Ω· (U ), y veamos que ´esta solamente puede estar definida de una manera sobre los elementos homog´eneos de Ω· (U ). Sea pues ωp ∈ Ωp (U ). Si p = 0, entonces ωp = f ∈ C ∞ (U ) y debe ser dω { p = df := “diferencial ordinaria de la } funci´on f ”. Si p ≥ 1, entonces, considerando la base dui1 ∧ · · · ∧ duip : 1 ≤ i1 < · · · < ip ≤ n de p-formas asociada a las coordenadas u1 , . . . , un , existen funciones u ´nicas {fα } ⊂ C ∞ (U ) tales que ωp =

∑

fα · dui1 ∧ · · · ∧ duip ,

α = (i1 , . . . , ip ) ,

α

y aplicando la linealidad de la diferencial y el lema 4.7 obtenemos ( ) ∑ ∑ ( ) ∑ dωp = d fα · dui1 ∧ · · · ∧ duip = d fα · dui1 ∧ · · · ∧ duip = dfα ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip , α

α

α

es decir dωp =

∑ α

dfα ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip .

(4.1)

4. Diferencial exterior

203

Lo anterior significa que la u ´nica manera posible de definir una diferencial exterior sobre U es tomando la f´ormula (4.1) como la diferencial de la p-forma ωp (y por linealidad mandar´a la suma de formas homog´eneas de distinto grado a la suma de las respectivas im´agenes); n´otese que a la derecha de la igualdad de dicha f´ormula solamente aparecen diferenciales ordinarias de funciones. Debemos comprobar que de este modo tenemos una aplicaci´on d : Ω· (U ) → Ω· (U ) que cumple las propiedades de la definici´on 4.6. De la construcci´on hecha se sigue f´acilmente que d es R-lineal, homog´enea de grado 1 y coincide con la diferencial ordinaria sobre las funciones. Por linealidad, la propiedad (c) bastar´a comprobarla para ωp = f · dui1 ∧ · · · ∧ duip y ωq = g · duj1 ∧ · · · ∧ dujq . Tenemos ωp ∧ ωq = f g · dui1 ∧ · · · ∧ duip ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujq dωp = df ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip dωq = dg ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujq y por lo tanto ) ( d ωp ∧ ωq = d(f g) ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujq ( ) = gdf + f dg ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujq = df ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ∧ (gduj1 ) ∧ · · · ∧ dujq + dg ∧ (f dui1 ) ∧ · · · ∧ duip ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujq = df ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ∧ (gduj1 ) ∧ · · · ∧ dujq + (−1)p (f dui1 ) ∧ · · · ∧ duip ∧ dg ∧ duj1 ∧ · · · ∧ dujq ) ( = dωp ∧ ωq + (−1)p ωp ∧ dωq , que es lo que quer´ıamos ver. Por u ´ltimo, y tambi´en por linealidad, la propiedad (d) bastar´a comprobarla en el caso ωp = f · dui1 ∧ · · · ∧ duip : dωp = df ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip =

n ∑ ∂f · duj ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ∂uj j=1

y por lo tanto ( ) n ∑ ∂f d ∧ duj ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ∂uj j=1 ( n ) n ∑ ∑ ∂2f = · duk ∧ duj ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ∂uk ∂uj j=1 k=1   n 2f ∑ ∂ · duk ∧ duj  ∧ dui1 ∧ · · · ∧ duip ; = ∂uk ∂uj

d(dωp ) =

k,j=1

204

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

como para cualesquiera ´ındices j, k ∈ {1, . . . , n} tenemos las igualdades duj ∧ duk = −duk ∧ duj y duk ∧ duk = 0, se cumple n ∑ k,j=1

∂2f · duk ∧ duj ∂uk ∂uj n ∑ ∑ ∂2f ( ) ∂2f = · duk ∧ duj + duj ∧ duk = 0 , · du ∧ du + k k 2 ∂uk ∂uj ∂uk k=1

k n. La idea es definir operadores Θ : Ωp (Rn ) → Ωp−1 (Rn ), p ∈ {1, . . . , n}, que cumplan: (i) Θ0 = 0 ; (ii) d(Θω) + Θ(dω) = ω para toda ω ∈ Ωp (Rn ). En esas condiciones, si ω es una p-cerrada sobre Rn , entonces d(Θω) = ω y por tanto ω es exacta. Para simplificar la demostraci´on introduciremos la siguiente notaci´on: dado un multi-´ındice α = (i1 , . . . , ip ) con 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ip ≤ n y dado k ∈ {1, . . . , p}, denotaremos por αk el multi-´ındice que se obtiene al quitar a α su k-´esima componente, es decir, αk = (i1 , . . . , ik−1 , ik+1 , . . . , ip ) . Adem´as escribiremos dxα := dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ,

dxαk := dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1 ∧ dxik+1 ∧ · · · ∧ dxip . ∑ Consideremos ya una p-forma ω = α fα dxα sobre Rn . Definimos la (p − 1)-forma Θω del siguiente modo: dado x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , ( ∫ 1 ) p ∑∑ k−1 p−1 Θω(x) = (−1) xik t fα (tx)dt dxαk . 0

α k=1

Es inmediato comprobar que si ω = 0 (esto es, si todas las funciones {fα }α son id´enticamente nulas), entonces Θω = 0. Calculemos la diferencial de esta nueva forma. Tenemos ( ∫ 1 ) p ∑∑ k−1 p−1 d(Θω) = (−1) d xik t fα (tx)dt ∧ dxαk . 0

α k=1

Como ( ∫ d xik 0

1

t

p−1

) ∑ ( ∫ 1 ) n ∂ p−1 fα (tx)dt = xik t fα (tx)dt dxj ∂xj 0 j=1

(∫

)

1

=

t

p−1

∫ n ( ∑ fα (tx)dt dxik + xik

0

j=1

0

1

) ∂fα t (tx) dt dxj , ∂xj p

teniendo en cuenta las igualdades dxik ∧ dxαk = (−1)k−1 dxα obtenemos (∫ 1 ) p ∑∑ k−1 p−1 d(Θω) = (−1) t fα (tx)dt dxik ∧ dxαk 0

α k=1

(∫ p ∑ n ∑∑ k−1 + (−1) xik α k=1 j=1

∑( ∫ = p α

1

t

p−1

1

) ∂fα t (tx) dt dxj ∧ dxαk ∂xj p

0

)

fα (tx)dt dxα

0

+

(∫ p ∑ n ∑∑ (−1)k−1 xik α k=1 j=1

0

1

tp

) ∂fα (tx) dt dxj ∧ dxαk . ∂xj

4. Diferencial exterior

207

Por otra parte tenemos dω =

∑ α

n ∑∑ ∂fα dfα ∧ dx = dxj ∧ dxα . ∂x j α α

(4.4)

j=1

∑ Si para la anterior (p + 1)-forma fuera dω = γ gγ dxγ , siendo γ = (j1 , . . . , jp+1 ) multi-´ındice con 1 ≤ j1 < j2 < . . . < jp+1 ≤ n, entonces Θ(dω) ser´ıa por definici´on la p-forma Θ(dω) =

p+1 ∑∑

( ∫ (−1)k−1 xjk

1

) tp gγ (tx)dt dxγk .

(4.5)

0

γ k=1

Seg´ un la igualdad (4.4), dω s´olo tiene sumandos correspondientes a multi-´ındices de la forma γ = (i1 , . . . , ik0 , j, ik0 +1 , . . . , ip ) con α = (i1 , . . . , ip ) y j ∈ {1, . . . , n} tal que j ̸∈ {i1 , . . . , ip } (ya que si j ∈ {i1 , . . . , ip } entonces dxj ∧ dxα = 0). Para un tal multi-´ındice ser´ıa dxj ∧ dxα = α (−1)k0 dxγ y por tanto gγ = (−1)k0 ∂f as ∂xj ; adem´   ik jk = j   ik−1

si k ≤ k0 , si k = k0 + 1 , si k > k0 + 1 ,

⇒

dxγk

 k0 −1 dx ∧ dxαk  j (−1) = dxα   (−1)k0 dxj ∧ dxαk−1

si k < k0 , si k = k0 , si k > k0 .

Con lo dicho podemos calcular para al multi-´ındice anterior γ el sumatorio en k de la igualdad (4.5): ( ∫ p+1 ∑ k−1 (−1) xjk

)

1 p

t gγ (tx)dt dxγk

0

k=1

=

k0 ∑

(−1)

k−1

( ∫ xik

)

1

t gγ (tx)dt (−1)k0 −1 dxj ∧ dxαk p

0

k=1

( ∫ + (−1)k0 xj

1

) tp gγ (tx)dt dxα

0 p+1 ∑

+

(−1)

( ∫ xik−1

∫

1

1

) t gγ (tx)dt (−1)k0 dxj ∧ dxαk−1 p

0

k=k0 +2

( =

k−1

) ( ∫ 1 ) p ∑ ∂fα α k p ∂fα t dt dx + (−1) xik t dt dxj ∧ dxαk . ∂xj ∂x j 0 p

xj 0

k=1

Sustituyendo en la igualdad (4.5) para los multi-´ındices que estamos considerando obtenemos {( ∫ } ) ( ∫ 1 ) p n 1 ∑∑ ∑ ∂f ∂f α α Θ(dω) = xj tp dt dxα + (−1)k xik tp dt dxj ∧ dxαk . ∂x ∂x j j 0 0 α j=1

k=1

208

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

Sumando las dos p-formas calculadas tenemos  ∫ 1 ∫ n ∑ ∑ p d(Θω) + Θ(dω) = tp−1 fα (tx)dt + xj

 ∂f α dt dxα tp ∂x j 0 0 α j=1     n ∑ ∫ 1 ∑ ∂fα   α p−1  dt dx = pt fα (tx) + x j tp   0 ∂xj α 1

j=1

∑ {∫

}

) d(p t fα (tx) dt dxα 0 dt α ]t=1 ∑ ∑[ dxα = fα (x)dxα = ω , = tp fα (tx)

=

α

1

t=0

α

que es lo que quer´ıamos demostrar. Corolario 4.16 Sea p > 0. Toda p-forma cerrada sobre la variedad X es localmente exacta: si ω ∈ Ωp (X) es tal que dω = 0, entonces para cada punto x ∈ X existen un entorno abierto U y una (p − 1)-forma ω ¯ ∈ Ωp−1 (U ) tales que ω|U = d¯ ω. Demostraci´ on. Basta tener en cuenta que X es localmente difeomorfa a Rn (n = dim X). 4.17 En el punto 3.3 dijimos que la “ base de parciales ” {∂u1 , . . . , ∂un } que definen unas funciones coordenadas u1 , . . . , un sobre un abierto cumplen las igualdades [∂ui , ∂uj ] = 0

para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n} .

Utilizando la “ f´ormula de Cartan para las 1-formas ” y el “ lema de Poincar´e ” (su corolario), en el siguiente resultado probaremos que dichas igualdades caracterizan las bases de campos tangentes que localmente son “ base de parciales ”. Proposici´ on 4.18 Sea {D1 , . . . , Dn } una base de campos tangentes sobre la variedad X. Si [Di , Dj ] = 0 para todo par de ´ındices i, j ∈ {1, . . . , n}, entonces para cada punto de X existe un entorno abierto coordenado (U ; u1 , . . . , un ) tal que Di = ∂ui

sobre U ,

i = 1, . . . , n .

Demostraci´ on. Consideremos la base dual de 1-formas {ω1 , . . . , ωn } de la base de campos ´ {D1 , . . . , Dn }. Dicha base se construye de modo an´alogo a como se hace en Algebra Lineal: ∞ ∞ dado i ∈ {1, . . . , n}, ωi : D(X) → C (X) es el u ´nico morfismo de C (X)-m´odulo que cumple ωi (Di ) = 1, ωi (Dj ) = 0 si i ̸= j. Veamos, utilizando la f´ormula de Cartan para las 1-formas (Corolario 4.13), que ω1 , . . . , ωn son 1-formas cerradas. Fijado i ∈ {1, . . . , n}, para ver que dωi = 0 debemos comprobar que dωi se anula sobre todo par de campos tangentes de la base, dωi (Dj , Dk ) = Dj (ωi (Dk )) − Dk (ωi (Dj )) − ωi ([Dj , Dk ]) = Dj (δik ) − Dk (δij ) − ωi (0) = 0 − 0 − 0 = 0 .

5. Problemas

209

Fijemos ahora un punto p ∈ X. Aplicando el corolario 4.16 tenemos que existe un entorno abierto U de p en el que las 1-formas {ω1 , . . . , ωn } son exactas: existen u1 , . . . , un ∈ C ∞ (U ) tales que ω1 = du1 , . . . , ωn = dun sobre U. En particular, como {du1 , . . . , dun } es base de Ω1 (U ) concluimos que u1 , . . . , un son coordenadas locales sobre U , y en particular son coordenadas en un entorno abierto de p dentro de U , que podemos seguir denotando U . Ahora tenemos:  {D1 , . . . , Dn } base dual de {ω1 , . . . , ωp }  ⇒ Di = ∂ui sobre U, i = 1, . . . , n , q  {∂u1 , . . . , ∂un } base dual de {du1 , . . . , dup } que es lo que quer´ıamos demostrar.

5.

Problemas

Sea φ : X → Y un difeomorfismo entre variedades riemannianas (X, g) e (Y, g¯). Se dice que φ es una isometr´ıa cuando para todo x ∈ X la aplicaci´on lineal tangente φ∗ : (Tx X, gx ) → (Tφ(x) Y, g¯φ(x) ) es una isometr´ıa de espacios vectoriales eucl´ıdeos. Se dice que φ es una aplicaci´on conforme cuando conserva ´angulos: para todo x ∈ X, el ´angulo que forman dos vectores D1 , D2 de Tx X es igual al ´angulo que forman sus im´agenes φ∗ (D1 ), φ∗ (D2 ) ∈ Tφ(x) Y . Si φ∗ g¯ denota la imagen inversa del tensor g¯, pru´ebense: (a) φ es una isometr´ıa ⇔ φ∗ g¯ = g; (b) φ es un aplicaci´on conforme ⇔ φ∗ g¯ y g son proporcionales.

5.1

5.2 Pru´ebese que la proyecci´on estereogr´afica desde el polo norte de la esfera unidad de R3 sobre el plano que determina el ecuador de dicha esfera es una aplicaci´on conforme. Como consecuencia, con la ayuda del problema II.5.18 puede obtenerse “ el aspecto ” de las loxodromas de la esfera (v´ease el problema IV.5.5). 5.3 En R3 , sea S la superficie que se obtiene al quitar a la esfera unidad el polo norte y el polo sur, y sea C el cilindro que es tangente a dicha esfera a lo largo de su ecuador, C ≡ x2 + y 2 = 1. La ecuaci´on de S en las coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) de R3 − {eje z} es r = 1, de modo que (θ, φ) son coordenadas locales sobre S. An´alogamente, la ecuaci´on de C en las coordenadas cil´ındricas (¯ r, θ, z) de R3 − {eje z} es r¯ = 1, de modo que (θ, z) son coordenadas locales sobre C. En dichas coordenadas, se define la proyecci´on de Mercator como f : S −→ ( C ( ( ))) ( ∫ φ ) φ π 1 (θ, φ) 7−→ θ, ln tan + = θ, du . 2 4 0 cos u (a) Pru´ebese que la proyecci´on de Mercator es una aplicaci´on conforme. (b) Pru´ebese que la u ´nica aplicaci´on conforme de la forma H : S −→ C (θ, φ) 7−→ (θ, h(φ))

210

Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior

con h(0) = 0 y h′ (φ) > 0 para todo φ, es la proyecci´on de Mercator. 5.4

Sean S y S ′ superficies de R3 con S desarrollable. (a) Si S y S ′ son isom´etricas, ¿es S ′ desarrollable? Raz´onese la respuesta. (b) Si S y S ′ son conformes, ¿es S ′ desarrollable? Raz´onese la respuesta.

5.5 Consid´erese en R3 el trozo de cono C = {(x, y, z) : z 2 = x2 +y 2 , z > 0}. ¿Es la aplicaci´on φ : C → R2 − {(0, 0)}, φ(x, y, z) = (x, y), una isometr´ıa? ¿Es φ conforme? 5.6 Dada una 1-forma ω sobre una variedad diferenciable X, pru´ebese que si X es compacta y ω es exacta, entonces existe x ∈ X tal que ωx = 0. 5.7

Constr´ uyase una 1-forma cerrada sobre la circunferencia S1 que no sea exacta.

5.8 Sea g = dx1 ⊗dx1 +· · ·+dxn ⊗dxn la m´etrica est´andar de Rn , y consid´erese la “ polaridad ” asociada a g, i − g : D(Rn ) −→ Ω1 (Rn ) D

7−→ iD g = g(D, − ) ;

como la m´etrica g es no singular obtenemos que su polaridad i − g es un isomorfismo. Dada una funci´on f ∈ C ∞ (Rn ), se define su gradiente como el u ´nico campo tangente que se corresponde por el isomorfismo anterior con la 1-forma df , ( )−1 grad f := i − g (df ) . Si, como es habitual, denotamos g(D1 , D2 ) = D1 · D2 para dos campos tangentes D1 , D2 sobre Rn , entonces, por definici´on, el gradiente de la funci´on f es el u ´nico campo tangente grad f sobre Rn que cumple g(grad f, − ) = df , esto es, D(f ) = (grad f ) · D ,

para todo D ∈ D(Rn ) .

Calc´ ulese grad f en coordenadas cartesianas. ulese el gradiente de f en 5.9 Dada una funci´on diferenciable f sobre R2 − {(0, 0)}, calc´ coordenadas polares. 5.10 Dada una funci´on diferenciable f sobre R3 − {eje z}, calc´ ulese el gradiente de f en coordenadas esf´ericas y en coordenadas cil´ındricas. 5.11 Dadas f, g ∈ C ∞ (Rn ), λ ∈ R y h ∈ C ∞ (R), pru´ebense las igualdades: (a) grad(λf ) = λ(grad f ) ; (b) grad(f g) = f (grad g) + g(grad f ) ; (c) grad(f + g) = grad f + grad g ; (d) grad h(f ) = h′ (f ) (grad f ) .

5. Problemas

211

5.12 Consid´erese en R3 su m´etrica estandar g y la 3-forma ω3 = dx ∧ dy ∧ dz. (a) Pru´ebese que el morfismo de C ∞ (R3 )-m´odulos D(R3 ) −→ Ω2 (R3 ) D′ 7−→ iD′ ω3 es un isomorfismo. Se define el rotacional de un campo tangente D sobre R3 como el u ´nico campo rot D que por dicho isomorfismo se corresponde con la 2-forma d (iD g); es decir, rot D es el u ´nico campo sobre R3 que cumple irot D ω3 = d (iD g) . (b) Calc´ ulese el rotacional de un campo en coordenadas cartesianas. (c) Pru´ebese que el rotacional de un campo D sobre R3 es nulo si y s´olo si D es un gradiente. 5.13 Campos Conservativos: Sea F un campo tangente sobre Rn , que llamaremos “ campo de fuerzas ”. Dados puntos p, q ∈ Rn y dado un “ camino ” σ : I → Rn tal que σ(t0 ) = p y σ(t1 ) = q con t0 < t1 , se define el trabajo realizado para ir desde p hasta q por el camino σ como el escalar ∫ t1 (F · T ) dt , t0

donde T es el vector tangente a σ. 1 Se dice que el campo de fuerzas F es conservativo si el trabajo realizado para ir de un punto a otro de Rn es independiente del camino seguido. Pru´ebese que F es conservativo si y s´olo si F es un gradiente. Si u ∈ C ∞ (Rn ) es tal que F = grad u, entonces se dice que u es una funci´on potencial del campo de fuerzas F , y el trabajo realizado para ir desde un punto p hasta otro punto q es u(q) − u(p). 5.14 Pru´ebese que si un campo tangente D sobre Rn es un gradiente, entonces las curvas integrales no triviales de D no son cerradas.2 5.15 Dada en R4 la 2-forma ω2 = dx1 ∧ dx2 + dx3 ∧ dx4 , calc´ ulense la 3-forma dω2 y la 4-forma ω2 ∧ ω2 .

1 Aqu´ı, “ camino ” significa curva continua que es, salvo a lo sumo en un n´ umero finito de puntos, diferenciable. Si α1 < . . . < αr son los valores de t comprendidos entre t0 y t1 para los que σ no es diferenciable, la integral anterior debe entenderse como la suma ∫ α2 ∫ t1 ∫ α1 (F · T ) dt + (F · T ) dt + · · · + (F · T ) dt , t0

α1

αr

pues en los puntos σ(α1 ), . . . , σ(αr ) no est´ a definido el vector tangente T . 2 Una curva cerrada sobre una variedad diferenciable X es una aplicaci´ on continua σ : [a, b] → X, que es diferenciable en (a, b) y cumple σ(a) = σ(b), donde [a, b] es un intervalo cerrado de R.

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Cap´ıtulo XI. C´alculo diferencial exterior