CAP´ITULO III ´ COORDENADAS GEOGRAFICAS ´Indice del cap´ıtulo. § La forma de la Tierra § Latitud y longitud § Distancias y rumbos sobre la superficie de la Tierra § Problemas propuestos § Bibliograf´ıa

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´ COORDENADAS GEOGRAFICAS Para determinar la posici´ on de un objeto en el cielo se requieren de varios datos: el punto de vista del observador, el lugar que ocupa el objeto y el tiempo en que se produce la observaci´ on. Al primero de estos tres elementos es al que se dedicar´ a el presente cap´ıtulo.

§1 La forma de la Tierra Dependiendo de la zona de la Tierra desde la que se contemple el firmamento, el mismo astro puede situarse m´ as o menos elevado en el horizonte, o m´ as hacia el este o el oeste o, incluso, ser visible en unos continentes y permanecer oculto en otros. Ello es debido a la forma casi esf´erica del planeta. Si la Tierra fuese plana, esta circunstancia no se presentar´ıa, pero, por desgracia para la complejidad de los c´ alculos, eso no es as´ı. Si arriba se ha mencionado la “forma casi esf´erica del planeta” se debe a que no se ajusta del todo a una esfera. En primer lugar, existen accidentes sobre el terreno, las monta˜ nas, que rompen cualquier supuesto de esfericidad, aunque estas rugosidades de la corteza puedan considerarse despreciables en comparaci´ on con el radio medio de la Tierra. Por radio medio de la Tierra se entiende al radio de una esfera de ´ igual volumen que la Tierra. Este est´ a estimado en unos 6.371 Km, mientras que el pico m´ as alto de todos, el Everest, posee una altitud de 8, 85 Km, tan solo el 0, 139% del radio medio. Por otro lado, sobre la masa de la Tierra se ejercen dos fuerzas que moldean su forma. La fuerza gravitatoria y la fuerza centr´ıfuga debida al movimiento de rotaci´ on. Si se calcula la superficie en donde esas fuerzas se equilibran el resultado es un elipsoide de revoluci´ on cuyo eje menor coincide con el eje de rotaci´ on (figura III.1). Si a y b son las respectivas longitudes de los semiejes mayor y menor, al cociente a−b a 2

se le denomina achatamiento. No obstante, para el caso de la Tierra, el achatamiento estimado resulta ser la mitad del medido, lo cual se debe a haber considerado en el planteamiento del problema a toda la masa del planeta concentrada en su centro de gravedad.

Si se arguye teniendo en cuenta

esta circunstancia y se resuelve la nueva ecuaci´ on diferencial, la superficie obtenida ya no es un elipsoide, sino otra distinta conocida como geoide. Estos razonamientos, para la persona interesada en los detalles, pueden ser consultados, por ejemplo, en F´ısica con ordenador.

Adem´ as, por si fuese poca la dificultad, la distribuci´ on de masa en el interior de la Tierra no es del todo uniforme, lo cual conlleva que su superficie tampoco se ajuste a la de un geoide. De hecho, son pocos los puntos de la geograf´ıa en los que la recta determinada por la plomada corta al eje de rotaci´ on terrestre. La “vertical” pasar´ a por uno u otro lado del eje dependiendo de si hay m´ as materia hacia el este o hacia el oeste. Por fortuna, para achatamientos peque˜ nos como el de nuestro planeta, el geoide est´ a bastante pr´ oximo al elipsoide, raz´ on por la cual, en la pr´ actica, se suele considerar a la Tierra como un elipsoide de revoluci´ on determinado 3

por los valores a = 6.378, 1 Km para el radio ecuatorial o semieje mayor, y b = 6.356, 7 Km para el radio polar o semieje menor. Estas cifras proporcionan el achatamiento a−b 1 ≈ = 0, 003367, a 297 con el semieje menor b el 99, 66% del semieje mayor a. Una ojeada a estas cifras muestra lo cercano a la esfericidad de la superficie terrestre.

Las

desviaciones afectan tan solo a la observaci´ on de objetos relativamente cercanos como la Luna o los sat´elites artificiales. De ah´ı que, dado el car´ acter elemental de este curso, de ahora en adelante se supondr´ a a la Tierra con forma esf´erica de radio 6.371 Km. Los puntos donde el eje de rotaci´ on corta a la esfera se denominan polo norte y polo sur y se representar´ an mediante las letras N y S. Al c´irculo m´ aximo de polos N y S se le llama ecuador, y a cada uno de los semic´ırculos m´ aximos perpendiculares al ecuador con extremos N y S se les conoce como meridianos de longitud o simplemente meridianos.

§2 Latitud y longitud En t´erminos coloquiales, una asignaci´ on de coordenadas consiste en asociar a cada punto de un espacio un conjunto de n´ umeros que lo determine de manera un´ıvoca. Tanto en el plano como en el espacio tridimensional eucl´ıdeo, la forma habitual de asignar coordenadas parte de fijar un punto O (el origen de coordenadas), elegir dos (en el caso del plano) o tres (en el espacio) rectas perpendiculares entre s´ı (los ejes coordenados), y escoger de cada recta la semirrecta con origen en O que tendr´ a sentido positivo. Ahora, cada punto P tiene tres proyecciones perpendiculares sobre los ejes. Las coordenadas cartesianas de P son las distancias de estas proyecciones al origen afectadas de signo m´as o menos dependiendo de si reposan sobre la semirrecta de sentido positivo o sobre su sim´etrica respecto de O. Todo esto es conocido y antiguo. De hecho, la asignaci´ on de coordenadas 4

cartesianas a los puntos (introducida por primera vez por R. Descartes en El discurso del m´etodo, de ah´ı el t´ermino “cartesianas”) permiti´ o un tratamiento algebraico de los problemas geom´etricos que supuso un gran avance para toda la ciencia. Paro aparte de las coordenadas cartesianas, existen determinadas circunstancias en las que otros sistemas de asignaci´ on de coordenadas se muestran m´ as amables para la formulaci´ on o resoluci´ on de determinadas ´ cuestiones. Este es el caso de las coordenadas polares, cil´ındricas o esf´ericas. Aqu´ı nos ocuparemos de las coordenadas esf´ericas.

Fijado un sistema de ejes coordenados en el espacio eucl´ıdeo tridimensional (v´ease la figura III.2), a cada punto P se le asignan las coordenadas (r, λ, φ), donde r es la distancia entre P y el origen, λ el ´ angulo entre la semirrecta on ortogonal de P sobre el plano determinado por las positiva x y la proyecci´ rectas y y x, y φ el ´ angulo entre la semirrecta positiva z y la que tiene origen en O y pasa por P . Lo normal es medir λ en el intervalo (−180◦ , 180◦ ] y φ en el [0◦ , 180◦ ]. Es obvio que la proyecci´ on ortogonal de P sobre el eje z est´ aa r cos φ del origen. Y como la proyecci´ on perpendicular P 0 de P sobre el plano xy se encuentra a una distancia r sen φ de O, resulta que x = r sen φ cos λ y = r sen φ sen λ z = r cos φ son las ecuaciones que convierten coordenadas esf´ericas en cartesianas. Obs´ervese 5

que aqu´ı la asignaci´ on de coordenadas a los puntos no es del todo un´ıvoca. o 180◦ y cualquier λ, y, de Los puntos del eje z, por ejemplo, tienen φ = 0◦ ´ entre ellos, el propio origen de coordenadas queda determinado por r = 0 y cualesquiera λ, φ. Ahora bien, exceptuando estas situaciones, hay una correspondencia biun´ıvoca entre puntos y coordenadas esf´ericas. Las coordenadas esf´ericas son, en ocasiones, muy u ´tiles. Por poner un caso, mientras que la ecuaci´ on, escrita en coordenadas cartesianas, de una esfera de radio R centrada en el origen es x2 + y 2 + z 2 = Rr , en coordenadas esf´ericas se reduce a r = R. Aparte de que m´ as adelante se recurrir´ a a las coordenadas esf´ericas para el c´ alculo de las efem´erides, si se han mencionado aqu´ı es precisamente por esta situaci´ on, por la de la esfera r = R. Los puntos que est´ an sobre ella est´ an determinados solo por dos angulos, λ y φ. Ello sugiere un m´etodo est´ ´ andar de fijar coordenadas sobre una esfera S.

´ Este consiste en elegir un punto arbitrario A de S (figura III.3), considerar el polo de A (c´ırculo m´ aximo a 90◦ de A), y escoger un c´ırculo m´ aximo por A como origen de medida de ´ angulos. Ahora, cada punto P de la esfera est´ a determinado por el par de ´ angulos (λ, φ) de la figura III.3, donde φ es un arco 6

del c´ırculo m´ aximo determinado por A y P . De nuevo hay dos excepciones a ant´ıpoda con φ = 0◦ ´ o 180◦ la biunicidad punto-coordenadas, las de A y su ´ y cualquier λ. En el caso de la Tierra representada por una esfera, resulta natural la elecci´ on del polo norte N como punto de partida de un sistema de coordenadas. Para determinar por completo el sistema de coordenadas se necesita especificar un c´ırculo m´ aximo que pase por N (y, por consiguiente, tambi´en por S). A este fin, en el siglo XIX se adopt´ o el convenio de escoger, como meridiano priviligiado, el que pasa por el telescopio principal de posici´ on del observatorio de Greenwhich, cercano a la capital londinense. Esta selecci´ on es, en realidad, arbitraria. Cualquier otro meridiano hubiera servido. De hecho, antes de la unificaci´ on, se usaban el meridiano de Par´ıs o el de Madrid u otros m´ as como meridianos origen para el sistema de coordenadas.

Pues bien, fijados N y el meridiano de Greenwich que pasa por el punto G (v´ease la figura III.4), la posici´ on de cada punto P sobre la Tierra queda determinada por el arco N P y el ´ angulo esf´erico GN P . La latitud φ y la longitud λ de P se definen por medio de φ = 90◦ − N X λ = GN X. 7

Al arco N X se le denomina colatitud de P . Es obvio que todos los puntos del semic´ırculo m´ aximo N P S tienen la misma longitud. Sin embargo, el lugar geom´etrico de los puntos de la esfera con la misma latitud que P no es un c´ırculo m´ aximo, sino una circunferencia de radio r| cos φ| denominada paralelo de latitud o simplemente paralelo. Los paralelos y meridianos integran una red de coordenadas sobre la superficie de la Tierra. Por convenio, la longitud se mide en grados sexagesimales entre 0◦ y 180◦ (inclusive) en direcci´ on este o positiva, y de 0◦ a −180◦ (excluido) en direcci´ on oeste o negativa. La latitud se mide entre 0◦ y 90◦ en direcci´ on norte o positiva, y de 0◦ a −90◦ en direcci´ on sur o negativa. En definitiva, cualquiera que sea el punto P , se tiene −90◦ ≤ φ ≤ 90◦

− 180◦ < λ ≤ 180◦ .

y

Los u ´nicos puntos que solo precisan de una coordenada para quedar determinados son los polos norte y sur, con respectivas latitudes 90◦ −90◦ y cualquier longitud.

§3 Distancias y rumbos sobre la superficie terrestre Puede probarse que dados dos puntos P y Q sobre una esfera, de entre todas las curvas regulares (diferenciables con derivada no nula) contenidas en la esfera y de extremos P y Q, la de longitud m´ as corta resulta ser un arco del c´ırculo m´ aximo que pasa por P y Q, denominado ort´ odroma. Esta es entonces la distancia entre dos lugares sobre la superficie terrestre, la cual puede expresarse en unidades de longitud (kil´ ometros) o en grados, teniendo en cuenta que 1◦ ≈ 111, 111Km

y

10 =≈ 1.852m.

Esta u ´ltima cantidad (1.852 m) es la conocida milla marina. El nudo, que es una medida de velocidad, se define como una milla por hora. 8

El problema de determinar la distancia entre dos puntos P1 y P2 sobre la Tierra de respectivas coordenadas geogr´ aficas (λ1 , φ1 ) y (λ2 , φ2 ) se resuelve utilizando el teorema del coseno.

Consid´erese el tri´ angulo esf´erico N P1 P2 (v´ease figura III.5), usualmente denominado tri´ angulo polar. Del teorema del coseno se obtiene cos d = cos(90◦ − φ1 ) cos(90◦ − φ2 )+

+ sen(90◦ − φ1 ) sen(90◦ − φ2 ) cos(λ2 − λ1 ). Teniendo en cuenta que el seno de un ´ angulo coincide con el coseno del complementario, la f´ ormula que proporciona la distancia d entre dos puntos de coordenadas (λ1 , φ1 ) y (λ2 , φ2 ) es (III-1)

cos d = sen φ1 sen φ2 + cos φ1 cos φ2 cos(λ2 − λ1 ).

Tambi´en tiene importancia en navegaci´ on el ´ angulo N P1 P2 que forma el meridiano de P1 con el c´ırculo m´ aximo determinado por P1 y P2 , denominado rumbo. A fin de cuentas, si se quiere viajar desde P1 hasta P2 siguiendo 9

la l´ınea m´ as corta, habr´ a que partir con rumbo N P1 P2 . Si este rumbo lo denotamos por α, el teorema de los senos proporciona la igualdad sen(90◦ − φ2 ) sen d = , sen α sen(λ2 − λ1 ) de donde (III-2)

sen α =

cos φ2 sen(λ2 − λ1 ) . sen d

Sin embargo, conviene advertir que si se parte de P1 con rumbo α y se pretende llegar a P2 siguiendo una ort´ odroma, la f´ ormula (III-2) evidencia que habremos de ir alterando el rumbo en funci´ on de las coordenadas variables de nuestra posici´ on.

En definitiva, las singladuras ortodr´ omicas no son,

salvo circunstancias concretas, trayectorias de rumbo constante. A las curvas regulares sobre la esfera que forman ´ angulo constante con los meridianos (rumbo) se les denomina lox´ odromas. La diferencia entre lox´ odromas y ort´ odromas se visualiza con facilidad sobre una proyecci´ on de Mercator de la Tierra. Para navegar, resulta inc´ omodo manejar cartas de forma esf´erica. Lo normal es que las cartas y los mapas sean planos. Ello implica recurrir a distintas formas de transformar una esfera en un plano por medio de funciones matem´ aticas. De estas transformaciones hay varios tipos, cada una con su utilidad correspondiente. Aqu´ı nos ocuparemos ´ de la introducida por Gerhard Mercator en 1569. Esta goza de la interesante propiedad de respetar los ´ angulos, es decir, si dos curvas regulares sobre la esfera se cortan en un punto bajo un ´ angulo α, entonces sus transformadas mediante la proyecci´ on de Mercator son curvas planas que se intersecan con el mismo ´ angulo α. Las f´ ormulas de la transformaci´ on de Mercator son  (III-3)

x = Rλ, y = R ln tan(45◦ + φ/2).

Aqu´ı, λ y φ son las coordenadas del punto de la Tierra a transformar, (x, y) las coordenadas (planas) del punto transformado y R una constante arbitraria a 10

efectos de escala. En la figura III.6se representa un fragmento de la proyecci´ on de Mercator de la banda terrestre comprendida entre los paralelos de latitud −70◦ y 70◦ .

Figura III.6 Todos los puntos de un meridiano tienen longitud λ constante.

De

las ecuaciones (III-3) se deduce entonces que el meridiano de longitud λ se transforma (por la proyecci´ on de Mercator) en la recta vertical de ecuaci´ on x = Rλ. De forma an´ aloga, el paralelo de latitud φ se transforma en la recta horizontal de ecuaci´ on y = R ln tan(45◦ + φ/2). Sim embargo, el factor de escala R solo funciona como tal para medir las distancias entre puntos omo siendo situados sobre el ecuador. En efecto, obs´ervese en la figura III.6 c´ uniforme la distribuci´ on de los meridianos, los paralelos se dispersan m´ as y m´ as conforme se alejan del ecuador.

Ello es debido a la peculiaridad

de la transformaci´ on φ 7→ R ln tan(45◦ + φ/2). Cuando φ se aproxima a 90◦ (puntos cercanos al polo norte), la tangente de 45◦ + φ/2 tiende a infinito y, por consiguiente, tambi´en su logaritmo neperiano. Si, por el contrario, se consideran puntos en los aleda˜ nos del polo sur (longitudes pr´ oximas a −90◦ ), la tangente tiende a cero y su logaritmo a −∞. De hecho, jam´ as podr´ an representarse los polos terrestres mediante proyecciones de Mercator. De ah´ı que suelan restringirse las cartas de Mercator a bandas de latitudes entre −80◦ y 80◦ . En una proyecci´ on como la de la figura III.7, se advierte una deformaci´ on de Groenlandia, Am´erica del Norte o Siberia, proclive hacia el 11

agigantamiento si se comparan con sus respectivas representaciones sobre un globo terr´aqueo. Mientras que el globo terr´ aqueo proporciona una idea real de las dimensiones, la proyecci´ on de Mercator las estira para puntos lejanos al ecuador.

Figura III.7 Hay quien ha querido ver en esto una herramienta de opresi´ on de las naciones ricas, situadas en regiones norte˜ nas y, por lo tanto, dibujadas por grandes manchas en los mapas, respecto de los pa´ıses pobres del hemisferio sur, m´ as cercanos al ecuador y empeque˜ necidos por la perversi´ on de la matem´ atica del primer mundo. Sin comentarios.

Lo que nos interesa es observar que las trayectorias de rumbo fijo ser´ an 12

aquellas que intersequen a los meridianos bajo un ´ angulo constante. Como en la proyecci´on de Mercator los meridianos son rectas verticales, las lox´ odromas habr´ an de constituirse en rectas. As´ı, la lox´ odroma (o singladura de rumbo constante) entre dos puntos de la Tierra queda representada sobre una carta de Mercator por el segmento rectil´ıneo entre las proyecciones de los puntos. En la figura III.8 se muestran la lox´ odroma y la ort´ odroma entre dos puntos sobre una carta de Mercator. Obs´ervese c´ omo no coinciden. Adem´ as, se da el hecho curioso de que la lox´ odroma (segmento rectil´ıneo) no es la trayectoria m´ as corta. Quien haya viajado en avi´ on desde M´ alaga, por ejemplo, a Tokio, quiz´ as le haya llamado la atenci´ on que la ruta seguida por el capit´ an pasa cerca del polo norte. Ello se debe a que se ha ajuatado a una ort´ odroma para ahorrar combustible. Conviene que el lector experimente con la figura interactiva III.8.

§4 Problemas propuestos En todos los problemas se considera a la Tierra como una esfera de radio r = 6371 Km. Problema 1. Calc´ ulese el radio del paralelo −25◦ . Problema 2. Sabiendo que Montevideo se encuentra a 34◦ 360 de latitud sur y 58◦ 280 3000 de longitud oeste, ¿cu´ antos kil´ ometros habr´ a que desplazarse hacia el este para recorrer un grado? ¿Y hacia el norte? Problema 3. Si Roma est´ a a 30◦ 80 de longitud oriental y la isla de Hierro se encuentra a 17◦ 390 de longitud oeste (ambas en relaci´ on a Greenwich), ?cu´ al ser´ a la longitud del Hierro respecto del meridiano de Roma? Problema 4. Calc´ ulese la longitud de la milla geogr´ afica, la cual se define como

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de un arco de 1◦ de ecuador terrestre. Para este ejercicio u ´sese

el radio ecuatorial. Problema 5. Mientras que M´ alaga y la localidad siciliana de Passero comparten la latitud norte de 36◦ 430 , la primera ciudad se encuentra a 4◦ 260 13

de longitud oeste y la segunda a 15◦ 70 de longitud este. Si en vez de viajar de M´alaga a Passero con rumbo este constante, se sigue la trayectoria m´ as corta, ¿cuantos kil´ ometros menos se recorren? Problema 6. La Meca, la ciudad santa del Islam, est´ a a 21◦ 270 de latitud norte y 39◦ 490 de longitud oeste. Situados en M´ alaga, ¿cu´ al es el rumbo exacto con el que hay que orientar la alfombra si se quiere orar en direcci´ on a La Meca? ¿Qu´e distancia media entre M´ alaga y La Meca? Problema 7. H´ allense las distancias entre M´ alaga y el polo sur a) sobre la superficie de la Tierra y b) en l´ınea recta, esto es, excavando un t´ unel. Problema 8. Escr´ıbase la ecuaci´ on que liga la longitud y la latitud de la lox´ odroma de rumbo α que pasa por el punto de intersecci´ on del ecuador con el meridiano de Greenwhich. Problema 9.

Dense ejemplos en los que lox´ odromas y ort´ odromas

coincidan. Problema 10. Un avi´ on viaja del Aeropuerto Carrasco (−56◦ , −34◦ 500 ) en Montevideo al de Fiumicino (12◦ 140 , 41◦ 180 ) en Roma siguiendo la trayectoria m´ as corta. H´ allense las coordenadas del punto M en el que se atraviesa el meridiano de Greenwich. Indicaci´ on: Si P1 y P2 representan el origen y el final de la singladura, resu´elvase el tri´ angulo esf´erico P1 N M . Problema 11. ¿Cu´ al es la latitud m´ as septentrional que alcanzar´ a un barco que viaja de C´ adiz a Nueva York? (C´ adiz (−6◦ 180 , 36◦ 320 ), Nueva York (−74◦ , 40◦ 470 )). Indicaci´ on: Cualquiera de los tri´ angulos esf´ericos determinados por el polo norte, el punto m´ as septentrional de la singladura y el origen o el destino de la misma es rect´ angulo.

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