COLEGIO NUESTRO SEÑOR DE LA BUENA ESPERANZA Asignatura: ANÁLISIS MATEMÁTICO 11º Profesor: Lic. EDUARDO DUARTE SUESCÚN TALLER CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Aunque la teoría de conjuntos es completamente general, en la matemática elemental se encuentran ya conjuntos importantes que son conjuntos de números. De particular interés, en especial en el análisis, es el conjunto de los números reales, que se denota por R En este capítulo se supone de hecho, al menos que se diga otra cosa, que el conjunto universal es el conjunto de los números reales. Se revisarán en primer lugar algunas propiedades elementales de los números reales antes de aplicar los principios fundamentales de la teoría de conjuntos a conjuntos de números. El conjunto de los números reales con sus propiedades se llama el sistema de los números reales.

NÚMEROS REALES, Una de las propiedades más importantes de los números reales es el poderlos representar por puntos de una línea recta. En la Figura, se elige un punto llamado origen, para representar el 0, y otro punto, por lo común a la derecha, para representar el 1. Resulta así de manera natural una correspondencia entre los puntos de la recta y los números reales, es decir, que cada punto representa un número real único y que cada número real viene representado por un punto único. Llamando a esta recta la recta real, podrán emplearse uno por otro los conceptos de punto y de número. s= 2,781…

1 2

-

-5

-4

-3

-2

-1

0



2

1

2

3

4

5

Los números a la derecha del 0, o sea al mismo lado que el 1, son los llamados números positivos, y los números a la izquierda del 0 son los llamados números negativos. El 0 mismo no es ni positivo ni negativo.

ENTEROS, Los enteros son los números reales

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Se denotan los enteros por

; así que se escribe

= {.... -2, -1, 0, 1, 2,...,} 30 Propiedad importante de los enteros es que son «cerrados» respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción; es decir, que la suma, producto y diferencia de dos enteros es a su vez un entero. Nótese que el cociente de dos enteros, por ejemplo, 3 y 7, no es necesariamente un entero; así que los enteros no son cerrados respecto de la operación división.

NÚMEROS RACIONALES, Los números racionales son los reales que se pueden expresar como razón de dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por , así que,

= {x | x = p/q

donde

p

,q

}

Obsérvese que todo entero es un número racional, ya que, por ejemplo, 5 = 5/1; por tanto, es un subconjunto de . Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de adición, multiplicación y sustracción, sino también respecto de la división (excepto por 0). Es decir, que suma, producto, diferencia y cociente (excepto por 0) de dos números racionales es un número racional nueva

NÚMEROS NATURALES, Los números naturales son los enteros positivos. Se denota el conjunto de los números naturales por ; así que = {1, 2, 3,...} Los números naturales fueron el primer sistema de números que se formó y se les usaba primordialmente antes para contar. Nótense las relaciones siguientes entre los anteriores sistemas de números:







Los números naturales son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación solamente. La diferencia y el cociente de dos números naturales no es necesariamente un número natural. Los números primos son los naturales p, excluido el 1, que solo son divisibles por 1 y por p mismo. He aquí los primeros números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... NÚMEROS IRRACIONALES,

’

Los números irracionales son los reales que no son racionales, esto es, el conjunto de los números irracionales es el complemento del conjunto de los números racionales en los números reales ; por eso se denotan los números irracionales por ’. Ejemplos de números irracionales son

3 , ,

2 , etc.

DIAGRAMA LINEAL DE LOS SISTEMAS NUMÉRICOS El siguiente diagrama muestra los distintos conjuntos de números vistos hasta ahora. (Para que quede completo, se incluye en el diagrama el conjunto de los números complejos, que son los de la forma a  bi , con a y b reales. Obsérvese que el conjunto de los números complejos es un superconjunto del conjunto de los números reales.)

Números Complejos Números Reales Números Racionales

Números irracionales

Números Enteros Enteros Negativos

Cero

Números Naturales Números Primos

DESIGUALDADES Se introduce el concepto de «orden» en el sistema de los números reales por la Definición: El número real a, es menor que el número real b, lo que se escribe:

aa lo que se lee «b es mayor que a». Asimismo, se escribe ab o ba si a < o a = b, es decir, si a no es mayor que b.

Ejemplo 1:

2 < 5; - 6  - 3 y 4  4; 5 > - 8.

Ejemplo 2:

La notación x < 5 significa que x es un número real menor así que x está a la izquierda de 5 en la recta real.

que

5;

La notación 2 < x < 7 significa 2 < x y x < 7; con lo que x estará entre 2 y 7 en la recta real. Observación 3-1: Es de notar que el concepto de orden, o sea la relación a < b, se define mediante el concepto de número positivo. La propiedad fundamental de los números positivos que se utiliza para demostrar propiedades de la relación a < b, es que tales números son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación, hecho que, además, está ligado íntimamente al de que los números naturales también son cerrados respecto de las operaciones de adición y multiplicación.

Observación 3-2: Son ciertas las afirmaciones siguientes para a, b y c números reales cualesquiera: (1) a  a (2) Si, a  b y b a entonces a = b. (3) Si a  b y b  c entonces a  c.

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, denotado por Se define así:

|x|=

|x|

x si x  0 x si x < 0

Es decir que si x es positivo o cero, entonces |x| es igual a x, y si x es negativo, entonces |x| es igual a – x. En consecuencia, el valor absoluto de cualquier número es siempre no negativo, esto es |x|  que 0 para todo x  R. Desde el punto de vista geométrico, el valor absoluto de es la distancia del punto x de la recta real al origen, esto es, al punto 0. Asimismo, la distancia entre dos puntos cualesquiera, o sea entre dos números reales a y b, es | a – b |= |b – a|.

Ejemplo 2-1: |-2| = 2,

| 7 | = 7, |- | =  |3 - 8 = |-5| = 5, |8 - 3| = |5| = 5, |-3 -4| = |-7| = 7.

Ejemplo 2-2: La relación Significa que la distancia entre x y el origen es menor que 5, esto es, que x debe estar entre - 5 y 5 sobre la recta real. Dicho de otro modo: |x| < 5 y -5