CAPÍTULO 10

FUNCIONES IMPLÍCITAS

10.1 FUNCIONES IMPLÍCITAS (Áreas 1, 2 y 3)

En el curso de Precálculo del 4º semestre se vieron diferentes clasificaciones de las funciones, entre ellas las funciones explícitas y las funciones implícitas. Recordando: Una función está escrita en forma explícita cuando su variable dependiente (por lo general, la y ) está despejada. Los siguientes ejemplos se refieren a funciones escritas en forma explícita:

y = 3 x 2 − 11x − 9 y = x 2 tan ( x 3 − 22 )

y = e6 x ( tan x − cos 2 x ) 2

y=

ln x x6 − 9 x

Si por el contrario, su variable dependiente (por lo general, la y ) no está despejada, se dice que está escrita en forma implícita. Los siguientes ejemplos muestran casos de funciones escritas en forma implícita:

141

Funciones implícitas

x3 − y 3 = xy − 8 tan ( x − 4 y ) = 3 x + y 4 5 x 2 − 7 xy + 9 x − y 2 + 22 y − 6 = 0 y = arc sen

x4 − y2

Una función escrita en forma implícita puede estar así por dos razones: una, porque la variable dependiente (por lo general, la y ) sea algebraicamente imposible despejarla, como cuando aparece como parte de algún argumento al mismo tiempo que no parte de algún argumento. Por

(

ejemplo, en 4 y = sen 2 x − y 2

) la variable dependiente y aparece como parte del argumento

del seno y además como no argumento en 4y. La otra razón es simplemente porque así convino escribirla, como en x 2 + 3 y + 5 = 0 (se podría despejar la y )

Para obtener la derivada

dy de una función implícita se emplean las mismas fórmulas dx

y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, en donde debe tenerse solamente el cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u en las fórmulas. Por ejemplo, para derivar y 3 debe utilizarse la fórmula (6) de la potencia vista en la página 69, en donde u = y y n = 3, de la siguiente forma:

d 3 y =N 3 N y dx

3 −1 N

d y dx N

n-1

n

du dx

u

142

Funciones implícitas

Por lo tanto d 3 dy y = 3y2 dx dx

Para derivar, por ejemplo, x 6 y 3 debe emplearse la fórmula (7) del producto uv vista en la página 77, en donde u = x6 y v = y3, de la siguiente forma:

d 6 3 d 3 d 6 x y =N x6 y + N y3 x dx dx dx 



u

dv + dx

v

du dx

Para derivar y 3 debe seguirse el procedimiento visto en la página anterior. Por lo tanto,

d ⎤ ⎡ y ⎥ + y 3 ⎡⎣6 x5 ⎤⎦ = x 6 ⎢3 y 2 dx ⎦ ⎣ d 6 3 dy x y = 3x6 y 2 + 6 x5 y 3 dx dx

En general, para obtener la derivada

dy de cualquier función implícita deben derivarse dx

ambos miembros de la igualdad aplicando las fórmulas ya estudiadas y luego despejar

143

dy , lo dx

Funciones implícitas

cual puede detallarse en la siguiente regla:

Para derivar funciones implícitas: 1) Derivar ambos miembros de la igualdad, aplicando las mismas fórmulas antes vistas. 2) Despejar

dy , para lo cual: dx

a) Escribir en el lado izquierdo de la igualdad todos los términos que contengan a la derivada y del lado derecho todos los términos que no la contengan. b) Factorizar en el lado izquierdo c) Despejar

dy . dx

dy , dividiendo en el lado derecho el factor que le dx

multiplica.

Ejemplo 1: Obtener

Solución:

dy dx

si 5 xy 7 − y 3 = 9 x + 4 y

Paso 1: Aplicando el operador derivada en ambos miembros de la igualdad

d d 5 xy 7 − y 3 ) = (9x + 4 y ) ( dx dx

144

Funciones implícitas

d d 3 d d 5 xy 7 − y = 9x + 4y dx dx dx dx

d d 3 d d 5 xy 7 ) − y = 9 x + 4y (  

dx  dx N dx dx N

son de la forma:

un

uv

c

du dx

d 7 d d dy 3 −1 5x y + N y7 5x − N 3 N y 

y = 9+4 N dx dx

dx dx N 

 n-1

u

dv dx

+

v

du dx

n u

du dx

dy ⎤ dy dy ⎡ + y 7 [ 5] − 3 y 2 =9+4 5 x ⎢7 y 6 ⎥ dx ⎦ dx dx ⎣ 35 xy 6

dy dy dy + 5 y7 − 3 y2 =9+4 dx dx dx

Paso 2a: Escribiendo en el lado izquierdo todos los términos que contengan a la derivada y del lado derecho los que no lo contengan:

35 xy 6

dy dy dy − 3y2 −4 = 9 − 5 y7 dx dx dx

145

Funciones implícitas

Paso 2b: Factorizando

dy dx

dy 35 xy 6 − 3 y 2 − 4 ) = 9 − 5 y 6 ( dx

Paso 2c: Despejando

dy dx

dy 9 − 5 y7 = dx 35 xy 6 − 3 y 2 − 4

Ejemplo 2: Calcular la derivada Solución:

dy dx

si y = x ln y + sen 3 x

Debe tenerse cuidado con casos como éste. Aparentemente la variable y está despejado por aparecer del lado izquierdo como único término, pero realmente no está despejada por el hecho de volver a aparecer en el lado derecho. Por lo tanto, es una función implícita. Paso 1: Derivando en ambos lados de la igualdad

d d y= ( x ln y + sen 3x ) dx dx

dy d d = xN ln y + sen 3 x dx dx dx 

son de la forma

uv

sen u

146

Funciones implícitas

dy d d d =N x ln y + ln y x + cos 3x 3x N N dx dx dx dx N   



u

dv dx

+ v

du dx

cos u

du dx

⎡ d ⎤ ⎢ dx y ⎥ dy = x⎢ ⎥ + ln y [1] + cos 3 x [3] dx ⎢ y ⎥ ⎣ ⎦

⎡ dy ⎤ ⎢ ⎥ dy = x ⎢ dx ⎥ + ln y + 3 cos 3 x dx ⎢ y ⎥ ⎣ ⎦ dy x dy = + ln y + 3 cos 3x dx y dx

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho los que no la contienen

dy x dy − = ln y + 3 cos 3x dx y dx factorizando la derivada:

dy dx

⎛ x ⎞ ⎜1 − ⎟ = ln y + 3 cos 3 x y ⎠ ⎝

147

Funciones implícitas

y finalmente despejando la derivada:

dy ln y + 3 cos 3 x = x dx 1− y Por las reglas de escritura, como no debe dejarse el resultado como una fracción compleja, es decir, fracción sobre fracción, entonces para quitar el denominador parcial y basta multiplicar numerador y denominador por y:

y ( ln y + 3 cos 3 x ) dy = dx ⎛ x ⎞ y ⎜1 − ⎟ y ⎠ ⎝ dy y ln y + 3 y cos 3 x = dx y−x

Ejemplo 3: Hallar Solución:

dy si 3 x 2 + 5 y 3 − 4 x − y + 3 = 0 dx

Derivando en ambos lados:

d d d d d d 3x 2 + 5 y3 − 4x − y+ 3= 0 dx dx dx dx dx dx 6 x + 15 y 2

dy dy −4− =0 dx dx

Escribiendo en el lado izquierdo los términos que contienen a la derivada y del derecho los que no la contienen:

148

Funciones implícitas

15 y 2

dy dy − = 4 − 6x dx dx

Factorizando la derivada:

dy (15 y 2 − 1) = 4 − 6 x dx y finalmente despejando la derivada:

dy 4 − 6x = dx 15 y 2 − 1

149

Funciones implícitas

EJERCICIO 16

Obtener la derivada

dy dx

de las siguientes funciones implícitas:

1)

4 xy 8 = 5 x 2 − 7 y

2)

6 y + 3x = 9 − 4 x 2 y 3

3)

y 2 − y = x2 − x

4)

11x 6 y − 11xy 6 = 3 x − 12

5)

2 xy − 7 x + 6 y = y 3 − 8 x 5

6)

x3 − y 4 = 4 x6 y 2

7)

y = 2 x3 + 7 y 6

8)

y = y 4 − x4

9)

y = ex + e y

10)

y=

11)

ln y + ln x = y − x

12)

ln xy = xy

13)

sen xy = xy

14)

cos ( 2 x − 3 y ) = 2 x − 3 y

15)

tan ( x 2 − 3 y ) = x 2 + 3 y

16)

17)

x − y = xy

18)

150

2x − x7 3y

x y2 − 2 =0 y x

y ln x + x ln y = 0