Monograf´ıas de la Real Academia de Ciencias de Zaragoza. 25: 219–228, (2004).

Mejora de una teor´ıa anal´ıtica para el movimiento orbital alrededor de Europa F. J. Montojo y M. Lara Real Instituto y Observatorio de la Armada. 11110 San Fernando (C´adiz), Spain.

Resumen Las propiedades mas relevantes del movimiento alrededor del sat´elite joviano Europa se pueden caracterizar mediante la formulaci´on de Hill del problema de tres cuerpos. La evoluci´ on secular de los elementos orbitales se estudia entonces con el m´etodo de variaci´ on de los par´ ametros, donde se manifiesta que, en primer orden, el semieje mayor de la o´rbita carece de variaci´ on secular. En el presente trabajo estudiamos la variaci´on secular de un tipo particular de soluciones: aqu´ellas que repiten su traza en la superficie de Europa. Como es sabido, para mantener la repetici´ on de la traza al variar la inclinaci´on orbital, el semieje mayor debe variar con respecto al valor kepleriano en una cantidad (del orden de la perturbaci´on del problema) proporcional a la inclinaci´on orbital. La introducci´on de este efecto en la teor´ıa anal´ıtica, nos permite hacer una comparaci´ on directa con resultados num´ericos obtenidos mediante el estudio de las soluciones peri´ odicas de las ecuaciones del movimiento sin promediar. Palabras clave y expresiones: Dise˜ no de trayectorias, sat´elites alrededor de Europa, an´ alisis de estabilidad.

MSC: 70F15, 70K65.

1

Introducci´ on

Para el estudio preciso de las trayectorias alrededor de la luna joviana Europa se utilizan modelos de fuerzas que, adem´as del campo de gravedad de Europa hasta el segundo orden y grado, consideran las perturbaciones gravitacionales de J´ upiter (con J2 y J4 ), el Sol, los planetas y los otros tres sat´elites galileanos (Io, Gan´ımedes y Calisto); y las perturbaciones 219

no gravitacionales debidas a la atm´osfera de Europa y a la presi´on de radiaci´on solar. Se observa entonces [6] que la integraci´on num´erica de las ecuaciones del movimiento de trayectorias casi circulares cuya inclinaci´on se aparta menos de ∼ 45◦ de una ´orbita polar, se transforman en ´orbitas de colisi´on con la superficie de Europa tras un breve intervalo que oscila entre varios d´ıas y pocas semanas. La naturaleza de este comportamiento es puramente din´amica, y la utilizaci´on de un modelo de fuerzas simplificado permite demostrar que las ´orbitas casi circulares presentan una variaci´on secular de la excentricidad que es exponencial en un amplio margen de inclinaciones [12]. El modelo simplificado de [12] tiene en cuenta el achatamiento de Europa, y el efecto de la gravedad de J´ upiter se modela mediante la simplificaci´on dada por Hill [5] para el problema restringido de tres cuerpos. Este modelo no limita su aplicabilidad al caso de Europa y resulta id´oneo para el estudio del movimiento en ´orbitas bajas alrededor de sat´elites naturales de muchos de los planetas del sistema solar. El problema de Hill ha sido ampliamente estudiado. Desde el punto de vista de perturbaciones especiales, merecen ser citado el exhaustivo trabajo num´erico de H´enon [3, 4]. Desde el punto de vista de las perturbaciones generales, la evoluci´on secular de la ´orbita se estudia planteando un doble promedio en las anomal´ıas del cuerpo perturbado y el perturbador; prescindiendo del movimiento de los nodos, el problema resultante es integrable y muestra que la inestabilidad din´amica de las ´orbitas casi circulares se produce para inclinaciones mayores (menores) que 39.2◦ (140.8◦ ). Citaremos solamente el cl´asico trabajo de Kozai [7] y el m´as reciente de Broucke [1], que contiene una buena colecci´on de referencias. La contribuci´on del achatamiento del cuerpo central, ya sugerida por Kozai en sus conclusiones [7] y planteada en [12], produce la modificaci´on en el l´ımite de la inclinaci´on a partir de la cual aparece la inestabilidad. En este u ´ltimo trabajo se estudia la evoluci´on secular de los elementos orbitales con el m´etodo de variaci´on de los par´ametros, y se proporciona una teor´ıa de primer orden en forma cerrada que, adem´as, permite caracterizar con gran precisi´on los l´ımites de estabilidad observados anteriormente. Posteriormente, el mismo modelo din´amico (problema de Hill y achatamiento del sat´elite natural) se utiliza en [10] para estudiar la din´amica alrededor de Europa mediante perturbaciones especiales. Las ´orbitas peri´odicas ecuatoriales (con inclinaci´on nula), directas o retr´ogradas, conforman familias monoparam´etricas para variaciones de la constante de Jacobi. En las resonancias del movimiento medio orbital con la rotaci´on del sistema de referencia se producen bifurcaciones de nuevas familias de ´orbitas peri´odicas con inclinaci´on no nula. Al variar la constante de Jacobi, la inclinaci´on orbital de las ´orbitas var´ıa en cada familia recorriendo los 180◦ de inclinaci´on [8, 9]. Con este procedimiento se calculan diversas familias de ´orbitas tridimensionales peri´odicas casi circulares, calculan220

do, adem´as, la estabilidad de cada una de las ´orbitas de las diferentes familias; las ´orbitas cr´ıticas de cada familia permiten determinar regiones de estabilidad en el espacio de las fases para las ´orbitas de peque˜ na excentricidad. Cuando se comparan los resultados obtenidos con ambos procedimientos ([12] y [10]) se comprueba que son consistentes, por lo que se validan mutuamente. Sin embargo, la teor´ıa anal´ıtica de [12] predice zonas de estabilidad sim´etricas con respecto a las ´orbitas polares, mientas que los resultados num´ericos de [10] predicen un desplazamiento de la zona de inestabilidad hacia mayores valores de la inclinaci´on, que produce una asimetr´ıa en las zonas de estabilidad dependiendo de que las inclinaciones orbitales sean directas o retr´ogradas —resultado este u ´ltimo en coincidencia con el proporcionado por las integraciones num´ericas precisas del modelo completo con todas las perturbaciones. Como en el modelo simplificado utilizado las perturbaciones derivan de potenciales, el m´etodo de variaci´on de los par´ametros indica que el semieje mayor de la ´orbita osculadora no presenta variaci´on secular. Sin embargo, las soluciones peri´odicas calculadas en [10] son ´orbitas que repiten su traza en la superficie de Europa, y es conocido que para mantener la repetici´on de la traza al variar la inclinaci´on orbital, el semieje mayor debe variar con respecto al valor kepleriano en una cantidad (del orden de la perturbaci´on del problema) proporcional a la inclinaci´on orbital [2]. La introducci´on de este efecto en la teor´ıa anal´ıtica de [12] produce la asimetr´ıa en las zonas de estabilidad, y nos permite hacer una comparaci´on directa con resultados num´ericos de [10]. 2

Modelo Din´ amico

Para el estudio de la perturbaci´on planetaria en el movimiento del orbitador alrededor del sat´elite, supondremos v´alida la aproximaci´on del problema restringido circular de tres cuerpos: el sat´elite describe una ´orbita circular alrededor del planeta y la masa del cuerpo orbitador es despreciable con lo que no influye en el movimiento de los otros dos cuerpos. Adem´as, supondremos cierta la simplificaci´on de Hill, es decir: • El semieje mayor de la ´orbita alrededor del sat´elite es mucho menor que la distancia planeta-sat´elite. • La masa del planeta es mucho mayor que la masa del sat´elite. En el sistema J´ upiter-Europa estas aproximaciones son razonables pues la excentricidad de la ´orbita de Europa es de 0.009, consideraremos ´orbitas casi circulares de altura inferior a 1000 Km, donde la raz´on del semieje a la distancia entre J´ upiter y Europa es del orden de 10−3 y la raz´on entre las masas Europa y J´ upiter es del orden de 10−5 . Estudiaremos el movimiento en un sistema de referencia sin´odico (xyz) que se presenta en la figura 1. El origen es el centro de masas S de Europa, el eje z se toma perpendicular 221

Z

P Y

O

z

ωt

y

ω

X

r S x

Figura 1: Geometr´ıa del modelo matem´atico. al plano de la ´orbita de Europa alrededor de J´ upiter, y el eje x en la direcci´on del centro de masas P de J´ upiter. Con respecto a un sistema de referencia inercial (XY Z) este sistema rotante gira con velocidad angular ω igual al movimiento medio de Europa alrededor de J´ upiter. Sea r = (x, y, z) el vector de posici´on del orbitador en el sistema de referencia sin´odico, y ρ = OS. Entonces R = ρ+r es el vector de posici´on del orbitador en el sistema inercial. La derivada de un vector en un sistema rotante con velocidad angular ω se puede calcular a partir del operador de Darboux d ∂ = +ω×. dt ∂t

(1)

Teniendo en cuenta que ρ es un vector constante en el sistema sin´odico, d2 R = r¨ + 2ω × r˙ + ω × (ω × r) − ω 2 ρ, dt2

(2)

donde los puntos (˙, ¨) representan derivaci´on en el sistema sin´odico. Por otra parte, la ley de gravitaci´on de Newton establece que la aceleraci´on del orbitador en el sistema inercial es d2 R µp = − 3 R1 − ∇r V, 2 dt R1

(3)

donde R1 = P O, µp es el par´ametro gravitacional del planeta y V (r) es la energ´ıa potencial del orbitador debida a la gravitaci´on del sat´elite. De las ecuaciones (2) y (3) se tiene r¨ + 2ω × r˙ + ω × (ω × r) + ∇r V = ω 2 ρ −

µp R1 . R13

(4)

En el sistema inercial, el sat´elite se mueve animado de la aceleraci´on normal producida por la gravitaci´on del planeta ω 2 ρ = µp /d2 , 222

(5)

donde d = P S. Tambi´en, por la tercera ley de Newton ω 2 (d − ρ) = µs /d2 siendo µs el par´ametro gravitacional del sat´elite. Por tanto, d = ρ (1 + σ), con σ = µs /µp = ms /mp , y donde m denota masa. Teniendo en cuenta que, en la ecuaci´on (5) µp = ω 2 ρ d2 , podemos escribir el miembro de la derecha de la ecuaci´on (4) como µp d ω 2 ρ d2 R = (d + r) = ω 2 ρ 1 3 3 R1 R1 R1 Ã

!3 µ

r ˆ + rˆ , ρ d ¶

(6)

ˆ y rˆ denotan vectores unitarios. Si trabajamos en primer orden de r/d donde ρ Ã

d R1

!3

h

= (1 + x/d)2 + (y/d)2 + (z/d)2

i−3/2

x = 1 − 3 + O(r/d)2 . d

(7)

Si suponemos adem´as que σ (r/ρ) es de orden superior, resulta que r/d ≡ r/ρ y el miembro de la derecha de la ecuaci´on (4) se transforma en Ã

!

x x r ˆ − rˆ + O(r/d)2 rˆ ≈ ω 2 3 ρ − r . ω2ρ 3 ρ d d ρ µ

¶

(8)

Finalmente, la ecuaci´on (4) resulta ˆ − z ω) ˆ − ∇r V, r¨ + 2ω × r˙ = ω 2 (3x ρ

(9)

ecuaci´on vectorial del movimiento que acepta la integral de Jacobi 1 1 J ≡ (x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ) + ω 2 (z 2 − 3x2 ) + V = C. 2 2

(10)

Las ecuaciones (9) y (10) son las cl´asicas ecuaciones de Hill que aparecen en la bibliograf´ıa. La deducci´on habitual de dichas ecuaciones se puede encontrar en manuales de mec´anica celeste, como por ejemplo [13]. Por supuesto, las suposiciones que hemos hecho aqu´ı son equivalentes a las simplificaciones de Hill. N´otese que la ecuaci´on (10) puede escribirse como J =

Ã

!

Ã

1 dr dr µ dr · − − ω·r× 2 dt dt r dt

!

− R,

(11)

expresi´on que se compone de la parte kepleriana de la energ´ıa del orbitador, la componente del momento angular en la direcci´on perpendicular a la trayectoria del planeta, y una funci´on perturbadora R que combina el efecto del tercer cuerpo y la perturbaci´on debida a la no esfericidad del sat´elite: R=

´ ω2 ³ 2 3x − r2 − (V + µ/r). 2

223

(12)

3

Movimiento Secular

Si nos limitamos a considerar el achatamiento del sat´elite, el potencial V toma la forma µ R2 V = − 1 + J2 2S r r "

Ã

1 3 z2 − 2 2 r2

!#

,

(13)

donde J2 es el coeficiente de achatamiento del sat´elite y el factor de escala RS es su radio ecuatorial. Entonces, la ecuaci´on (12) se puede expresar como R =

´ ω2 r2 ³ 3[cos(Ω − ωt) cos(g + f ) − sin(Ω − ωt) sin(g + f ) cos I]2 − 1 2 ´ 1 µ RS2 ³ 2 2 + 2 − 3 sin I + 3 sin I cos 2(g + f ) , J 2 4 r r2

(14)

donde a es el semieje mayor, e la excentricidad, I la inclinaci´on, g es el argumento del pericentro, Ω el del nodo, M la anomal´ıa media, y f la verdadera. Los t´erminos peri´odicos se pueden eliminar promediando en las anomal´ıas medias nt del orbitador y ωt del planeta: 1 Z 2π Z 2π R d(ωt)d(nt) hRi = (2π)2 0 0 " # ω 2 a2 2 − 3 sin2 I 2 2 2 2 = (2 + 3e )(2 − 3 sin I) + 15e sin I cos 2g + 4² , 16 (1 − e2 )3/2

(15)

donde ² es el par´ametro introducido en [12] ² = J2

Ã

n/ω a/RS

!2

,

(16)

que no tiene que ser peque˜ no (² ≈ 0.5 para ´orbitas a unos 200 km de altitud sobre la superficie de Europa). Tras el doble promedio, la din´amica del problema puede ser descrita cualitativamente en t´erminos de la variaci´on secular de los elementos orbitales mediante las ecuaciones planetarias de Lagrange (ver, por ejemplo, [11] p.446). Las ecuaciones planetarias de Lagrange derivadas del potencial (15) se encuentran en [12]. Al tratar fuerzas derivadas de potenciales, el semieje mayor carece de variaci´on secular. Centrando el estudio en ´orbitas casi circulares se puede despreciar el cuadrado de la excentricidad, resultando que la inclinaci´on tambi´en carece de variaci´on secular. Prescindiendo del movimiento del nodo, que no afecta al resto de los elementos orbitales, las ecuaciones resultantes son 15 ω 2 sin2 I e sin 2g 8 n 15 ω 2 sin2 I (cos 2g + α) = 8 n

e0 =

(17)

g0

(18)

donde las primas significan derivaci´on con respecto al tiempo, y 4 − 5 sin2 I α = (1 + 2²) 5 sin2 I 224

(19)

es el par´ametro introducido en [12]. El sistema (17)–(18) es trivialmente integrable, produciendo crecimiento exponencial de la excentricidad si α2 < 1 y oscilaci´on en la excentricidad cuando α2 > 1. Luego las ´orbitas de baja excentricidad con inclinaciones tales que

1 + 2² 5 1 + 2² < sin2 I < 1+² 2 ² ser´an inestables (para detalles, el lector interesado se remite a [12]). 4

(20)

An´ alisis de Estabilidad

La figura 2 representa la condici´on (20) como una funci´on I(²), donde se aprecia que para valores peque˜ nos de ² hay una gran zona de inestabilidad centrada en las inclinaciones de 90◦ . La zona de inestabilidad disminuye para valores crecientes de ², hasta que en ² = 2 las ´orbitas polares pasan a ser estables. Para valores de ² > 2 la zona adicional de estabilidad centrada en las ´orbitas polares crece poco a poco, y la zona de inestabilidad disminuye hasta quedar reducida a un breve intervalo en las proximidades del conocido valor la inclinaci´on cr´ıtica del sat´elite artificial I ≈ 63.4◦ . 175

Estabilidad

150 125

I°

100

Estabilidad

75 Inestabilidad 50

Estabilidad

25 0

1

2

3

4

5

ε

Figura 2: Regiones de estabilidad en funci´on de ² (despu´es de [12]). Efectivamente el valor de ² no tiene por qu´e ser peque˜ no, pero, en nuestro caso, para los valores µ = 3.201×103 km3 s−2 J2 RS2 = 1051.315 km2 de Europa, su valor es ² ≈ 0.85RS5 /a5 y podremos representar las regiones de estabilidad directamente con gr´aficas I(a). Como nos ocupamos s´olo de ´orbitas bajas, de alturas menores de unos 1000 km, el semieje mayor podr´a variar entre 1 y 1.6 unidades del radio ecuatorial de Europa. Por tanto ² variar´a entre 0.85 y 0.08 y nos limitaremos a estudiar la parte baja de la figura 2; la condici´on de estabilidad se reduce entonces a α > 1 y s´olo hay dos zonas de estabilidad. Si representamos en la figura 3 las regiones de estabilidad para Europa en funci´on de a, observamos que a menor altura de la ´orbita mayor rango de inclinaciones para ´orbitas estables. Esto es l´ogico puesto que a menor altura mayor ser´a el efecto del coeficiente J2 de achatamiento comparado con la perturbaci´on del tercer cuerpo, causante de las amplias zonas de movimiento inestable. 225

175 150 125 I

100 75 50 25 0

1

1.1

1.2

1.3 a

1.4

1.5

1.6

Figura 3: Regiones de estabilidad en funci´on del semieje para Europa, de acuerdo con la condici´on (20). N´otese que la condici´on (20) se refiere al cuadrado del seno de la inclinaci´on, proporcionando simetr´ıa en las zonas de estabilidad para inclinaciones directas y retr´ogradas. Sin embargo, curvas de estabilidad similares obtenidas mediante integraciones num´ericas muestran una peque˜ na asimetr´ıa que no refleja la teor´ıa anal´ıtica [12, 10]. En la figura 4 se muestra la comparaci´on de los resultados anal´ıticos de [12] con los num´ericos de [10]. Como los resultados de [10] se refieren a c´alculos de la estabilidad de ´orbitas que repiten su traza en la superficie del sat´elite joviano, vamos a tratar de introducir la condici´on de repetici´on de traza en la teor´ıa de [12] por si mejora la comparaci´on entre ambos resultados. 140 120

i°

100 80 60 40

1

Figura 4: Zonas de estabilidad.

1.1

1.2

1.3 a

1.4

1.5

1.6

Las l´ıneas continuas delimitan las zonas obtenidas

anal´ıticamente en [12]; las de puntos son los resultados num´ericos obtenidos de [10].

5

Desviaciones del Valor del Semieje Respecto al Valor Kepleriano

Cuando un orbitador se mueve en el campo de gravedad de un cuerpo achatado, si se quiere mantener la misma condici´on de repetici´on de la traza de una ´orbita para diferentes inclinaciones, es necesario variar el semieje mayor de la ´orbita en funci´on de la inclinaci´on. La expresi´on del semieje en funci´on de la inclinaci´on es [2] h

³

´i

a = aK 1 + J2 (RS /aK )2 4 cos2 I − (L/N ) cos I − 1 226

donde aK es el valor kepleriano correspondiente a la repetici´on de la traza en N revoluciones del cuerpo central y L per´ıodos del orbitador. N´otese que, al ir multiplicado por la perturbaci´on, L/N ∼ n/ω cuando despreciamos t´erminos del orden de J22 . Adem´as, para los valores concretos de ´orbitas bajas alrededor de Europa, el t´ermino que prevalece es el factor del cos I, luego a ≈ aK

J2 RS2 1− ω

Ã

s

!

µ cos I , a7K

(21)

que muestra claramente que para cierta repetici´on de la traza, las ´orbitas directas tendr´an menor semieje que las retr´ogradas. Si introducimos la expresi´on (21) en la condici´on de estabilidad (20), se rompe la simetr´ıa de dicha condici´on, y, como se ilustra en la figura 5, los resultados anal´ıticos (en l´ınea continua) se aproximan m´as a los num´ericos (puntos). 140 120

iº

100 80 60 40

1

1.1

1.2

1.3 ak

1.4

1.5

1.6

Figura 5: Comparaci´on de resultados.

6

Conclusiones

Para el caso de ´orbitas bajas alrededor de Europa, el modelo de Hill proporciona una buena aproximaci´on para entender la din´amica del sistema. Una simple teor´ıa anal´ıtica de primer orden resulta suficiente para predecir el comportamiento orbital, no s´olo cualitativamente sino, con bastante aproximaci´on, tambi´en cuantitativamente. Sin embargo, las caracter´ısticas de estabilidad derivadas de tal teor´ıa predicen un comportamiento sim´etrico de las ´orbitas directas y retr´ogradas, lo que contradicen los resultados num´ericos. La introducci´on en la teor´ıa anal´ıtica de una condici´on de dependencia entre el semieje de la ´orbita y su inclinaci´on, rompe la simetr´ıa en el comportamiento de ´orbitas directas y retr´ogradas, y aproxima m´as los resultados anal´ıticos a los num´ericos. Sin embargo, en el presente momento no resultan claras las implicaciones din´amicas que suponen el introducir tal restricci´on en el movimiento orbital, por lo que se hace necesario un estudio m´as riguroso.

227

Referencias [1] Broucke, R. A.: 2003, ‘Solution of the elliptic rendezvous problem with the time as independent variable’, Journal of Guidance, Control and Dynamics 26, 615–621. [2] Cutting, E., Born, G. H. and Frautnick, J. C.: 1978, ‘Orbit analysis for SEASAT-A’, The Journal of the Astronautical Sciences 26, 315–342. [3] H´enon, M.: 1969, ‘Numerical exploration of the restricted problem. V’, Astronomy and Astrophysics 1, 223–238. [4] H´enon, M.: 2003, ‘New families of periodic orbits in Hill’s problem of three bodies’, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 85, 223246. [5] Hill, G.W.: 1878, ‘Researches into the lunar theory’American Journal of Mathematics 1, 129–147; ibid. Collected Mathematical Works I, 284–335. [6] Johannesen, J. R. and D’Amario, L. A.: 1999, ‘Europa orbiter mission trajectory design’, (AAS 99-360) Advances in the Astronautical Sciences 103, 895–908. [7] Kozai, Y.: 1962, ‘Secular perturbations of asteroids with high inclination and eccentricity’, The Astronomical Journal 67, 591–598. [8] Lara, M.: 2003, ‘Repeat ground track orbits of the Earth tesseral problem as bifurcations of the equatorial family of periodic orbits’, Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 86, 143–162. [9] Lara, M. and Scheeres, D. J.: 2002, ‘Stability bounds for three-dimensional motion close to asteroids’, (AAS 02-108) Advances in the Astronautical Sciences 112, 105– 126. [10] Lara, M. and San Juan, J. F.: 2003, ‘Phase space structure for three–dimensional motion around Europa’, (AAS 03-233) AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting, Ponce, Puerto Rico. [11] Meirovitch, L. M.: 1970, Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill, New York. [12] Scheeres, D. J., Guzm´an, M. D. and Villac, B. F.: 2001, ‘Stability analysis of planetary satellite orbiters: Application to the Europa orbiter’, Journal of Guidance, Control and Dynamics 24, 778–787. [13] Szebehely, V.: 1967, Theory of Orbits, Academic Press, New York.

228