Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia

PAIEP Universidad de Santiago de Chile

Factorizaci´ on de Expresiones algebraicas Factorizar una expresi´on algebraica consiste en reescribir la expresi´on como el producto de dos o m´as factores. El objetivo de la factorizaci´ on consiste en hacer m´as simples las expresiones algebraicas, ya sea para resolver ecuaciones de forma sencilla, para amplificar y simplificar r´apidamente o para expresar resultados de forma resumida. ¿Qu´ e debo saber para factorizar una expresi´ on algebraica? ˆ Operatoria en polinomios (multiplicaci´ on, adici´ on, sustracci´ on). ˆ Propiedades y operatoria en potencias. ˆ Reducci´ on de t´erminos semejantes

A continuaci´on, se presentar´ an diferentes tipos de factorizaci´on que te ayudar´ an tanto en las asignaturas de ´ C´alculo como en Algebra.

Factor com´ un de un polinomio Consiste en extraer el factor com´ un de una expresi´on algebraica, esto puede ser usando el m´ınimo com´ un m´ ultiplo (M.C.M), eligiendo la expresi´on literal de menor potencia o ambas. Ejemplos

1) 5x3 + 3x2 + x = x · (5x2 + 3x + 1) x corresponde al t´ermino en com´ un; adem´as es el de menor potencia. 2) 25ax3 + 5bx + 10cx = 5x · (5ax2 + b + 2c) 5x es el factor com´ un, ya que 5 es el M.C.M de 25, 5 y 10 y x es la expresi´on literal en com´ un y de menor grado.

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Diferencia de Cuadrados La factorizaci´on de una diferencia de cuadrados corresponde al producto de dos binomios(uno de ellos es el conjugado). Esta forma de factorizaci´on est´ a relacionada con el producto notable suma por su diferencia. Lo anterior queda representado algebraicamente por: Consideremos a x,y ∈ R y n ∈ N, entonces para el caso particular de n = 2 tenemos que: x2 − y 2 = (x − y) · (x + y) Note que (x − y) es el conjugado de (x + y). Ejemplos

1. Factorizar la expresi´on x4 − 16. Soluci´ on: Notemos que la expresi´on x4 − 16 la podemos reescribir pensando en potencias, es decir:  2 x4 − 16 = x2 − 42

De acuerdo a la definici´on, la expresi´on queda representa como:  2 x4 − 16 = x2 − 42 = (x2 − 4) · (x2 + 4)

Uno de los factores, (x2 − 4), corresponde nuevamente a una diferencia de cuadrado, resultanto x2 − 4 = x2 − 22 = (x − 2) · (x + 2). Por lo tanto, la expresi´on inicial factorizada es: x4 − 16 = (x − 2) · (x + 2) · (x2 + 4) 2. Factorice la expresi´on x2 − 3. Soluci´ on: Analizando los t´erminos de la expresi´on, x2 resulta al elevar al cuadrado x, mientras que 3 resulta al √ elevar al cuadrado 3. Por lo tanto, la expresi´on inicial factorizada resulta: x2 − 3 = (x −

√ √ 3) · (x + 3)

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Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo del producto notable Cuadrado de Binomio.

Consideremos a x,y ∈ R y n ∈ N, entonces para el caso particular de n = 2 tenemos que: x2 ± 2xy + y 2 = (x ± y)2 Ejemplo

1. Factorizar la expresi´on

4 9 2 x − xy + y 2 16 9

Soluci´ on: Analicemos los t´erminos de la expresi´on: 9 2 3 x corresponde al resultado de elevar al cuadrado x 16 4 2 4 b) y 2 corresponde al resultado de elevar al cuadrado − y 9 3 2 3 3 2 c) −xy es el resultado de multiplicar − y, x y 2, es decir, 2 · x · − y 3 4 4 3 a)

Por lo tanto, 3 2 4 9 2 x − 2 · x · y + y2 = 16 4 3 9 2. Encuentre la factorizaci´on para la expresi´on:



2 3 x− y 4 3

2

1 2 √ x 1 x + 2 + 2 2 y y

Soluci´ on Analicemos los t´erminos de la expresi´on: 1 1 2 x corresponde al resultado de elevar al cuadrado √ x 2 2 1 1 b) 2 corresponde al resultado de elevar al cuadrado y y √ x 1 1 1 1 c) 2 es el resultado de multiplicar , √ x y 2, es decir, 2 · √ x · (s´olo basta con racionalizar la y y 2 y 2 expresi´on.) a)

Por lo tanto, 1 1 2 √ x x + 2 + 2 = 2 y y

!2 √ 1 2 x+ 2 y

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Trinomio de la forma x2 + bx + c Para factorizar un polinomio de la forma x2 + bx + c, se deben buscar dos n´ umeros reales α y β, tales que α + β = b y α · β = c, de esta forma, la factorizaci´on resulta de la siguiente manera: x2 + bx + c = (x + α)(x + β) Ejemplo

1. Factorizar x2 − x − 6. Soluci´ on: Para factorizar, debemos tener en cuenta la definici´on. x2 − x − 6 = (x + α)(x + β) Notemos que es el producto de dos binomios, entonces debemos determinar los valores reales de α y β. Luego, x2 − x − 6 = (x + α)(x + β) = x2 + (α + β)x + α · β Igualando los coeficientes correspondientes, tenemos que α + β = −1 y α · β = −6, donde α = −3 y β=2 Por lo tanto, x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2)

F´ ormulas Elementales ˆ Cuadrado de un Binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ˆ Suma por Diferencia a2 − b2 = (a + b)(a − b) ˆ Cubo de un Binomio (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ˆ Suma y diferencia de Cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) a3 − b3 = (a − b)(a2 − ab + b2 )

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Ejercicios Propuestos En las siguientes expresiones algebraicas, factorice y desarrolle seg´ un sea el caso. 1) 8x3 + 27y 3 Respuesta

2) (5x + 2)3 + (x − 2)3

Respuesta

3) x2 + 6x + 9 Respuesta

4) x2 − 4x + 4

5) 81x16 − 16y 16

6) x3 − 4x2 + 4x

7) 3x7 − 27x

Respuesta

Respuesta

Respuesta

Respuesta

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8) x2 + 2xy + y 2 − 3x − 3y − 4

9)

Respuesta

4 2 9 x − y2 16 25 Respuesta

10)

x2 + x − 2 x2 + 5x + 6 Respuesta

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