PREPARATORIA

15

FISICA II 1992

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FÍSICA II

ING. JOSÉ LUIS GUTIÉRREZ

ENERO 1 9 » -

ALVARADO.

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ÍNDICE CAP.

Pág. PRÓLOGO.

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OBJETIVOS D E L CURSO.

3

Isaac Newton (biografía) I

fOHOO UNIVERSITARIO

62697

E L NACIMIENTO DE LA DINÁMICA. 1-1 Leyes del movimiento. 1-2 Explicación aristotélica del movimiento. 1-3 Primera ley del movimiento de Newton. 1-4 El significado de la primera ley. 1-5 Segunda ley del movimiento de Newton. 1-6 Masa, peso y caída libre. 1-7 Tercera ley del movimiento de Newton. 1-8 Como susar las leyes de Newton. 1-9 Las fuerzas básicas de la naturaleza. 1-10 Ejemplos de la primera ley del movimiento. 1-11 Ejemplos de la segunda ley del movimiento. 1-12 Ejemplos de la tercera ley del movimiento. 1-13 Ley de gravitación universal. 1-14 Sistema técnico. Autoevaluación.

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ÍNDICE CAP.

Pág. PRÓLOGO.

1

OBJETIVOS D E L CURSO.

3

Isaac Newton (biografía) I

fOHOO UNIVERSITARIO

62697

E L NACIMIENTO DE LA DINÁMICA. 1-1 Leyes del movimiento. 1-2 Explicación aristotélica del movimiento. 1-3 Primera ley del movimiento de Newton. 1-4 El significado de la primera ley. 1-5 Segunda ley del movimiento de Newton. 1-6 Masa, peso y caída libre. 1-7 Tercera ley del movimiento de Newton. 1-8 Como susar las leyes de Newton. 1-9 Las fuerzas básicas de la naturaleza. 1-10 Ejemplos de la primera ley del movimiento. 1-11 Ejemplos de la segunda ley del movimiento. 1-12 Ejemplos de la tercera ley del movimiento. 1-13 Ley de gravitación universal. 1-14 Sistema técnico. Autoevaluación.

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SATÉLITES Y MOVIMIENTO PLANETARIO. 2-1 Primera ley de Kepler. 2-2 Segunda ley de Kepler. 2-3 Tercera ley de Kepler. 2-4 Satélites. 2-5 Campos gravitacionales. 2-6 Potencia gravitacional. 2-7 Velocidad de escape. Autoevaluación.

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MÉTODO D E LAS COMPONENTES. 81 3-1 Bases de trigonometría. 3-2 Descomposición de uns fuerza. 3-3 Suma de vectores por el método de las componentes. EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS RÍGIDOS. 4-1 Fuerzas en equilibrio. 4-2 Condiciones de equilibrio. 4-3 Fuerzas concurrentes. 4-4 Fuerzas no concurrentes. 4-5 Centro de masa. 4-6 Centro de gravedad. 4-7 Pares. 4-8 Par motor. 4-9 Equilibrio de rotación. MÁQUINAS SIMPLES. Introducción. 5-1 Máquinas. 5-2 Palanca. 5-3 Torno. 5-4 Poleas. 5-5 Plano inclinado. Autoevaluación.

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VI

FRICCIÓN. 6-1 Introducción. 6-2 Fuerza de rozamiento. 6-3 Coeficiente de fricción. 6-4 El plano inclinado. 6-5 Problemas para analizar. Autoevaluación.

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BIBLIOGRAFÍA.

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PRÓLOGO

Las aplicaciones de la física, (ya sea atómica o nuclear), se ha ido i n c r e m e n t a n d o n o t a b l e m e n t e en e s t e siglo; b a s t a d e c i r c o m o ejemplo que los satélites y naves lanzadas a Marte o a la Luna, si esta c i e n c i a no h u b i e r a d e s a r r o l l a d o lo q u e h a s t a a h o r a , no h a b r í a n llegado a su destino, inclusive ni siquiera pensado en lanzarlas. Pero el avance en estudios físicos hizo posible un viaje tan largo como el de la Tierra hasta Marte, utilizando como fuente de energía las baterías solares, y aún todavía que m e d i a n t e la comprobación de algunas reacciones químicas, en un tiempo no muy lejano, sea posible conocer si existe vida o no en algún o t r o planeta de nuestro sistema solar. D e s d e luego, que con lo q u e aquí e s t u d i e s no vas a llegar a la Luna, p e r o c u a n d o m e n o s serás capaz de c o m p r e n d e r m u c h o s fenómenos, y de adquirir una amplia visión de los avances científicos actuales y futuros. E s i n e g a b l e el h e c h o d e q u e e n el t r a n s c u r s o d e u n s o l o semestre, no sea posible estudiar con p r o f u n d i d a d todas las teorías, leyes y aplicaciones de la física, además de que nosotros (los autores de este material de estudio) no buscamos este fin, sino al contrario, lo que i n t e n t a m o s es ú n i c a m e n t e p r o p o r c i o n a r t e las bases elemen-

tales e i n f o r m a c i ó n s u f i c i e n t e p a r a q u e estos cursos te sirvan en el futuro para cualquier profesión que optes seguir. Por ello es q u e estos cursos son, en realidad i n t r o d u c c i o n e s a los campos de las ciencias anteriormente señaladas. T o d o el material que hemos elaborado, ha sido diseñado de tal m a n e r a s que seas el que obtenga la información, por tu propia cuenta, ya q u e e s t a m o s c o n v e n c i d o s de que e s t e es el c a m i n o c o r r e c t a p a r a la m e j o r f o r m a c i ó n de un f u t u r o p r o f e s i o n i s t a . Por ú l t i m o , q u e r e m o s dejar grabado en este material y en tu mente, las palabras q u e P a u l o F r a i r e p u b l i c ó en la e d i c i ó n d e su l i b r o "La educación como práctica de la Libertad" y que dicen:

"LA NUEVA ÉTICA DE LA EDUCACIÓN, TIENDE A HACER DEL I N D I V I D U O EL DUEÑO Y AUTOR DE SU PROPIO PROGRESO CULTURAL"

OBJTIVOS DEL CURSO

Los o b j e t i v o s del curso se p u e d e n r e d u c i r a tres, y p e n s a m o s que en ellos se encuentran incluidos todos los aspectos que pudieran llevarnos a ofrecer un curso de este tipo. H El a l u m n o o b t e n d r á un c o n o c i m i e n t o f i r m e sobre los fundamentos de las leyes y principios de la física, desarrollando la habilidad de manejar estos conceptos, aplicándolos en la solución de problemas similares a los resueltos en este curso. I

El alumno demostrará su comprensión de los principios de la física al aplicarlos en la i n t e r p r e t a c i ó n y explicación de los fenómenos y situaciones reales.

I

El alumno será capaz de relacionar las leyes y fenómenos de la f í s i c a c o n o t r o s c a m p o s d e l c o n o c i m i e n t o , c o m o la Medicina, la Ingeniería, la Biología y la Sociedad.

UNIDAD I.

DINÁMICA.

A h o r a n e c e s i t a m o s c o n o c e r l a s c a u s a s q u e o r i g i n a n el movimiento, en particular el cambio de movimiento de los cuerpos y de la forma, como el cambio está relacionado con los factores que le afectan: las acciones de otros cuerpos (fuerzas), y las propiedades de los mismos cuerpos (inercia, elasticidad, etc.).

OBJETIVOS. 1.- Distinguir los conceptos: fuerza, inercia y masa. 2.- Distinguir entre los conceptos: peso y masa. 3.- Enunciar las leyes de Newton, la ley de gravitación universal y su formulación matemática. 4.- Identificar las unidades de fuerza y masa en los sistemas absoluto y técnico. 5.- Definir los conceptos: cantidad de movimiento e impulso.

6.- C o n c l u i r , cuáles son las d i r e c c i o n e s de la a c e l e r a c i ó n y la cantidad de movimiento con respecto a una fuerza aplicada. 7.- Distinguir, a partir de ejemplos dados, las fuerzas de acción y reacción.

PROCEDIMIENTO.

UNIDAD II

LEYES DE NEWTON.

1.- Lee el capítulo I "Nacimiento de la Dinámica" y la Biografía del Físico Isaac Newton en forma general y rápida. 2.- Realiza una segunda lectura para que subrayes lo más importante. 3.- Analiza despacio cada uno de los términos.

Isaac Newton le corresponde el mérito de haber sido el primero en incluir los c o n c e p t o s de f u e r z a y masa en la mecánica y formular las leyes fundamentales que gobiernan todo el movimiento.

4.- Escribe en tu cuaderno un resumen de este capítulo. 5.- Estracta cada uno de los objetivos y escríbelos en tu libreta. 6.- Dá un repaso general a estos objetivos.

NOTA:

Como requisito para esta unidad, deberás entregar en hojas tamaño carta, la contestación a cada uno de los objetivos.

OBJETIVOS. 1.- Emplear lo establecido en la segunda ley de Newton, resolviendo problemas con los datos apropiados. 2.- C o n v e r t i r u n i d a d e s de fuerza del sistema M.K.S. al c.g.s. y viceversa. 3.- E m p l e a r el c o n c e p t o e s p e c i f i c a d o en la ley de gravitación u n i v e r s a l , r e s o l v i e n d o p r o b l e m a s a p a r t i r d e los d a t o s apropiados. 4 - C a l c u l a r a p a r t i r de los d a t o s a p r o p i a d o s , la c a n t i d a d de movimiento de un cuerpo.

5.-JEmplear la definición algebraica del impulso, resolviendo problemas a partir de los datos apropiados.

PROCEDIMIENTO. 1.- A n t e s de e m p e z a r con los p r o b l e m a s lee d e t e n i d a m e n t e el resumen que recopilaste en tu trabajo con la unidad anterior de este mismo capítulo. 2.- Analiza despacio cada uno de los ejemplos resueltos en este capítulo. 3.- Realiza un poster con todas las definiciones algebraicas de este capítulo y colócalo en el lugar más visible de tu casa. 4.- Resuelve los p r o b l e m a s dados en este capítulo t r a t a n d o de llegar a las respuestas dadas. 5.- Resuelve problemas de otros textos de Física que tengas a tu alcance, ya que la práctica en tu material, es lo que hará que obtengas mejores resultados.

NOTA:

Como requisto de esta unidad, deberás entregar en hojas tamaño carta, los problemas de la autoevaluación.

ISAAC NEWTON (1642-1727)

Una de las más grandes inteligencias que ha d a d o la h u m a n i d a d , N e w t o n f u e a u t o r d e principia mathematica, d o n d e p r e s e n t ó un i n n o v a d o r e s q u e m a g e n e r a l del Universo que cierra con broche de oro la llamada revolución científica. Nacido en W o o l s t h r o p e , I n g l a t e r r a , el 25 d e d i c i e m b r e d e 1 6 4 2 , su j u v e n t u d se c a r a c t e r i z ó p o r sus c o n s t a n t e s e n f e r medades. Tras revolucionar el mundo con su e x t r a o r d i n a r i a i n t e l i g e n c i a , m u r i ó en Londres el 20 de marzo de 1727. En su infancia vivió con sus abuelos, y desde la escuela e l e m e n t a l se mostró como un niño raro, aficionado a elaborar sus propios juguetes con algunos procedimientos mecánicos surgidos de su propia imaginación e inteligencia. Hacia el año de 1653 regresó a colaborar en la granja de su m a d r e . Ahí un tío, e s t u d i a n t e de Trinity College de C a m b r i d g e , insistió en e n v i a r a I s a a c N e w t o n a e s t u d i a r a la U n i v e r s i d a d de C a m b r i d g e , d o n d e o b t u v o el g r a d o de b a c h i l l e r en 1665. Nuevamente, en esta ocación a causa de una p e s t e que había en Londres, regresó a la g r a n j a m a t e r n a . Se cuenta que f u e en ese lugar d o n d e o b s e r v ó c o m o c a í a u n a m a n z a n a al s u e l o y q u e a p a r t i r de e s a observación empezó a establecer relaciones entre la fuerza que hacía caer a la manzana y la fuerza que sostenía a la Luna en su órbita.

Newton encontró que la velocidad de la r a í d a erp prnpnroinnaJ-ala f u e r z a de la g r a v e d a j L y q u e esta f u e r z a d i s m i n u í a en 6000 krf lOOOkai proporción con el cuadrado I a distancia deLobj^te aFcentro de la Tieria. Esto constituye su ley del inverso del cuadrado. Al e s t a b l e c e r la c o m p a r a c i ó n e n t r e la caída de la manzana y la Luna, Calculó la distancia de la T i e r r a a la L u n a e x p r e s a d a en u n i d a d e s de radio de la T i e r r a . Por varias razones Newton no estuvo p l e n a m e n t e de acuerdo en estas observaciones, por lo cual no retomó el problema de la gravitación sino hasta 15 años más tarde. E n t r e l o s a ñ o s d e 1656 a 1666, N e w t o n e n f o c ó sus i n v e s tigaciones hacia la óptica, sobre t o d o hacia las e n s e ñ a n z a s legadas por Kepler. Newton hizo pasar la luz por una rendija de una cortina y a través de un prisma para después reflejarla en una pantalla d e n t r o d e un c u a r t o o b s c u r o . La luz se r e f r a c t a b a c r e a n d o una g a m a de colores con el orden del arco iris: rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil y v i o l e t a . D e m o s t r ó que e s t o s c o l o r e s e s t a b a n t o d o s en la luz blanca, y que ésta era una combinación de los diferentes colores. Los e x p e r i m e n t o s de Newton con el prisma le dieron un gran renombre. A los 27 años de edad asumió el cargo de profesor de matématicas en la U n i v e r s i d a d de C a m b r i d g e . En 1672 f o r m ó p a r t e de la R o y a l Society, donde expuso sus observaciones sobre la luz y el color. Estas investigaciones indujeron a Newton a trabajar teorías sobre la naturaleza de la luz. Para Newton, la luz estaba f o r m a d a de p e q u e ñ a s partículas, como pelotitas. Describiendo el movimiento de las p a r t í c u l a s se podían explicar los d i f e r e n t e s f e n ó m e n o s ópticos conocidos en su tiempo.JBjUiie-iüi^abajos-€n el campa, de La óptica destaca su t e l e s c o p j ¿ í l e reflexiúm_en el que c o n c e n t r a b a la luz por reflexión en un espejo parabólico en lugar de refractarlo a través-de léñtesv E s t e invento tenía dos ventajas sobre el antiguo telescopio de r e f r a c c i ó n . E n el t e l e s c o p i o d e N e w t o n la luz no a l c a n z a b a a

a t r a v e s a r el c r i s t a l , s i n o q u e se r e f l e j a b a en la s u p e r f i c i e de t a l m a n e r a q u e n o h a b í a a b s o r c i ó n d e luz en e s t e c r i s t a l . La o t r a consistía en que al r e c u r r i r a un e s p e j o d e s a p a r e c í a la a b e r r a c i ó n c r o m á t i c a ( f e n ó m e n o ó p t i c o q u e c o n s i s t e en c r e a r u n o s b o r d e s coloreados a l r e d e d o r de los cuerpos celestes cuando la luz atraviesa los lentes). Este telescopio de reflexión propició un gran avance de los estudios astronómicos. Otro aporte de Newton, realizado también en esta época, fue el d e s a r r o l l o del cálculo en 1669. Con esta nueva teoría matemática, Newton se colocó a la cabeza de las matemáticas de su época. Newton volvió a estudiar los movimientos de los cuerpos celestes hacia el año 1679; conocía con presición la cifra exacta del radio de la Tierra y había trabajado con el cálculo para medir las diferentes p a r t e s de un c u e r p o e s f é r i c o . Isaac N e w t o n e m p e z ó a r e d a c t a r su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, conocida universal m e n t e c o m o Principia mathematica. En este libro, Newton expuso las conocidas tres leyes del movimiento. En la primera ley hizo referencia al p r i n c i p i o de i n e r c i a ! un c u e r p o en r e p o s o p e r m a n e c e en r e p o s o y un c u e r p o en m o v i m i e n t o con v e l o c i d a d c o n s t a n t e permanece en ese movimiento siempre que no intervengan f u e r z a s ext e r i o r e s q u e lo m o d i f i q u e n . E n la s e g u n d a ley del m o v i m i e n t o , Newton establece una relación entre la fuerza, la masa del c u e r p o y la aceleración producida, con la que establece la p r i m e r a diferencia entre la masa de un cuerpo (cantidad de inercia que posee) y su peso (es decir la cantidad de fuerza gravitatoria existente entre el mismo y otro c u e r p o ) . La t e r c e r a ley señala que para cada acción existe una r e a c c i ó n igual y de s e n t i d o c o n t r a r i o . C o n e s t a s t r e s l e y e s e s t e c i e n t í f i c o inglés r e d u j o t o d o lo que h a s t a e n t o n c e s se c o n o c í a de mecánicaLAdernás, encontró una relación matemática entre la fuerza g r a v i t a t o m T d e l o s cuerpos en el e s p a c i o l C o m p r o b ó que esta fuerza era d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l al p r o d u c t o de las masas de los dos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que s e p a r a b a sus c e n t r o s . E s t a p r o p o r c i ó n p o d r í a c o n v e r t i r s e en una i g u a l d a d i n t r o d u c i e n d o u n a c o n s t a n t e . La e c u a c i ó n a f i r m a : F = Gmim2/d 2 , d o n d e las masas de los c u e r p o s son mi y m : respec-

t i v a m e n t e , d e s la d i s t a n c i a e n t r e s u s c e n t r o s , G la c o n s t a n t e gravitatoria y F la f u e r z a de atracción de la gravedad entre estas dos masas.

C A P Í T U L O I.

EL NACIMIENTO DE LA DINÁMICA.

1-1 LEYES DEL MOVIMIENTO. '

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La cinématica es el estudio

11 •tf.. l ii

- También se acelera. - Sí, p e r o , ¿ c ó m o se c o m p a r a e s t a a c e l e r a c i ó n c o n la anterior?. - No sé. - C u a n d o le di una p a t a d a con f u e r z a , la p i e d r a se movió con mayor velocidad que cuando la patié despacio, verdad? - Así fue. - E n l o s d o s c a s o s , la p i e d r a e s t a b a en r e p o s o a n t e s d e darle la patada.

- Muy fácil. En la casa tengo una manopla y soy muy b u e n o para atrapar pelotas. - Eso no me interesa. Lo que quiero si puedes detenerla en ese tiempo. - Sí, sí puedo. - B i e n . A h o r a s u p o n g a m o s q u e un c a m i ó n se mueve a 30 k m / h r y q u e lo q u i e r e n d e t e n e r en 5 s e g , ¿ l o p o d r í a n hacer?. • ¿De qué otra cosa?

-Si.

- De ninguna manera. ¿En qué estas pensando?.

- Si, c o m o r e s u l t a d o d e c a d a p a t a d a , la p i e d r a c a m b i o de velocidad, ¿cómo fue mayor el cambio?

- Al i n t e n t a r l o , lo más p r o b a b l e sería que nos a t r o p e l l a r a . Concluimos q u e la pelota, si la podemos detener, mientras que al camión no, de acuerdo?

- Pues, c u a n d o adquirió mayor velocidad; y eso fue cuando la pateaste más fuerte. - Y r e c o r d a r a n q u e m i e n t r a s mayor sea el c a m b i o de

- ¿Sí, pero que nos quieres decir?

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- Bueno, miren, t a n t o el camión como la pelota cambian su velocidad de 30 km/hr a 0 km/hr. - Sus cambios de velocidad son iguales. - Y además experimentan po, 5 segundos.

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cambios en el mismo tiem-

- E x a c t o , f í j e n s e q u e t e n e m o s d o s c u e r p o s a los que queremos dar las mismas aceleraciones.

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que e s la expresión m a t e m á t i c a d e la segunda ley de Newton: • La a c e k r a c i ó p producida a un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada e Inversamente proporcional a la masa. ¿

1-12 EJEMPLOS DE LA TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO.

- P e r o si hay a c e l e r a c i ó n , q u i e r e d e c i r , q u e se aplica una fuerza.

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- Y a uno si se la podemos dar, mientras que al otro no. - Sí d i c h o de o t r a f o r m a , d e b e m o s aplicar a cada c u e r p o , una' fuerza para d e t e n e r l o y, a pesar de q u e tienen las mismas aceleraciones, podemos aplicarle la fuerza necesaria a la.pelota, p e r o n o t e n e m o s la f u e r z a q u e se r e q u i e r e p a r a detener el camión. - Eso quiere decir, ¿qué además de la aceleración, las fuerzas también dependen de otra cosa?

Esta ley de Isaac Newton establece que a toda fuerza de acción se o p o n e otra f u e r z a e n s e n t i d o c o n t r a r i o y de igual m a g n i t u d llamada reacción. En la a p l i c a c i ó n e i n t e r p r e t a c i ó n de esta ley hay que tener mucho cuidado, ya que las dos fuerzas actúan en cuerpos distintos; jamás en el mismo cuerpo. Este principio se puede ilustrar con los siguientes ejemplos.

- Así es. - ¿De qué otra cosa? - I g u a l q u e en el c a s o d e la a c e l e r a c i ó n , si se m i d i e r a la f u e r z a q u e es n e c e s a r i a a p l i c a r l e a un c u e r p o p a r a q u e t e n g a c i e r t a a c e l e r a c i ó n , se e n c o n t r a r í a q u e si su m a s a a u m e n t a al d o b l e , la f u e r z a t a m b i é n d e b e a u m e n t a r al d o b l e . Y si la m a s a a u m e n t a al t r i p l e , la f u e r z a t a m b i é n aumenta al triple. La fuerza es proporcional a la masa, además de ser proporcional a la aceleración. - Por lo tanto, j u n t a n d o los dos aspectos, matemáticamente se expresa como sigue: Si la fuerza aplicada a un c u e r p o la d e n o t a m o s c o n la l e t r a F, s u m a s a c o n la l e t r a m y I a aceleración resultante la a, tendremos que: F = ma despejando la aceleración (a), obtenemos: a = F/m

lo. Al golpear con el pie un balón de fútbol que está en reposo, adquiere una velocidad por lo regular hacia adelante del p a t e a d o r , p e r o t a m b i é n el p a t e a d o r s i e n t e un p e q u e ñ o retroceso y hasta un pequeño dolor en su pie.

2o. Al g o l p e a r e n p l e n o c e n t r o , a una p e l o t a p o r m e d i o d e un b a t e , dicha p e l o t a sale hacia adelante del b a t e a d o r y el bate sufre un retroceso ( que se siente en las manos del bateador). 3o. Si se golpea la pared con el puño, en la pared casi no se nota la fuerza aplicada, pero en el puño si se siente. E n los t r e s casos (el balón, la p e l o t a y la p a r e d ) están recibiendo u n a f u e r z a , p e r o al mismo t i e m p o estos cuerpos están regresando otra fuerza igual y en sentido contrario al pie, al bate y al puño. A u n q u e no existe una d e t e r m i n a c i ó n de cuál es la fuerza de acción y cuál es la fuerza de reacción, analicemos los eventos. E n el e v e n t o 1, la f u e r z a d e acción a c t ú a s o b r e la p e l o t a (sist e m a p i e - b a l ó n ) y la f u e r z a de r e a c c i ó n ( s i s t e m a b a l ó n - p i e ) actúa s o b r e el p i e . Si las d o s f u e r z a s a c t u a r a n s o b r e el b a l ó n , é s t e no se m o v e r í a de m o d o q u e se a n u l a r í a n por ser iguales y de s e n t i d o contrario. En el e v e n t o 2, la f u e r z a de acción (sistema b a t e - p e l o t a ) actúa s o b r e la p e l o t a y la f u e r z a d e r e a c c i ó n (sistema p e l o t a - b a t e ) actúa sobre la pelota.

Por lo tanto, es importante hacer notar que las fuerzas de acción y reacción expuestas en la'tercera ley de Newton sobre el movimiento actúan sobre cuerpos diferentes. A d e m á s , q u e u n c u e r p o e s t é en r e p o s o o e n m o v i m i e n t o d e p e n d e de las f u e r z a s q u e s o b r e él c a t ú e n y no d e las f u e r z a s q u e provoque dicho c u e r p o s o b r e otros. En general, la f u e r z a de acción en cualquier sistema, siempre será aquella que produzca movimiento o algún c a m b i o al s i s t e m a a n a l i z a d o . La f u e r z a d e r e a c c i ó n s e r á aquella que se o p o n g a a la f u e r z a de acción y e s t a r á a c t u a n d o en el cuerpo que aplique la acción. • Ejemplo. E n el e v e n t o 1, el movimiento del balón d e p e n d e del golpe del pie sobre él y no de la reacción del balón sobre el pie; y en el evento 2, la pelota viaja por la fuerza del bate sobre ella.

1-13 LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Constantemente hemos observado los siguientes eventos:

E n el e v e n t o 3, la f u e r z a d e a c c i ó n (sistema p u ñ o - p a r e d ) actúa sobre la pared y la f u e r z a d e r e a c c i ó n ( p a r e d - p u ñ o ) actúa sobre el puño. i Estas f u e r z a s de reacción explican el l a n z a m i e n t o de un c o h e t e . N e c e s i t a una f u e r z a p a r a l a n z a r los g a s e s hacia el ext e r i o r y la r e a c c i ó n d e los gases hacia el c o h e t e , h a c e n q u e é s t e t e n g a su desplazamiento.

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l o . Q u e un c u e r p o q u e e s t á s o b r e u n a m e s a o s o b r e el piso, y que al quererlo levantar necesitamos ejercer una fuerza, por lo menos igual a su peso.

La c o n s t a n t e n e w t o n i a n a d e g r a v i t a c i ó n t i e n e los s i g u i e n t e s valores: En el sistema M.K.S.:

2o. Si e s e c u e r p o s o b r e la mesa la llevamos hasta u n poca más allá de la orilla, cae (nunca se eleva). 3o. Si a r r o j a m o s un c u e r p o hacia arriba, llega un m o m e n t o en que no sube, sino que empieza a caer. Con un caso similar, Isaac Newton analizó la existencia de algo que en realidad provocaba que el cuerpo permaneciera como pegado (evento 1), q u e se dirigiera hacia la superficie de la Tierra (evento 2) y q u e se o p u s i e r a a seguir s u b i e n d o y d e s p u é s se a c e l e r a r a ' h a c i a la s u p e r f i c i e d e la T i e r r a ( e v e n t o 3 ) ; se e s t a b l e c i ó lo q u e se c o n o c e como la ley d e la gravitación Universal. Cualquier par de cuerpos se atraen uno al otro con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Algebraicamente:

G = &66 x 10 11 m3/kg seg2 G = 6j66xie 11 Nm 2 /kg 2 En el sistema c.g.s.: G=

6J66

x 10"8 cm3/g seg2

G = 6^6x10^ dinas c m V Para tener una idea clara de la magnitud de las fuerzas gravitacionales, consideremos los siguientes ejemplos. Ejemplo 7. Calcular la fuerza de atracción entre dos cuerpos de 5 x 10 5 kg da uno separados 1.5 x 10 2 m. Datos: mi - 5 x 10 5 kg, m 2 - 5 x 105 kg, d « 1.5 x 102 m.

F « mimí/d2 r e e m p l a z a n d o el s í m b o l o d e p r o p o r c i o n a l i d a d por u n a c o n s t a n t e tenemos:

Solución: Por la ecuación (7): F = Gmim2/d 2 6.66 x 1 0 1 1 m 3 /kg-seg 2 x 5 x 105 kg x 5 x 105 kg

F = G mimz/d2 d o n d e mi y m2 son las masas de los c u e r p o s d es la d i s t a n c i a entre e l l a s y G es la constante newtoniana de gravitación. La masa mi tira de m2 con una fuerza de F y la m2 tira de mi con una fuerza igual a F.

(1.5 x 102 m) 2 = 7.4 x 10"4 kg m/seg 2 - 7.4 x 10"4 N Esta es una fuerza demasida pequeña para ser detectada.

1-14 SISTEMA TÉCNICO. .L&sjlinas y los newtons son unidades absolutas d e fuerza. Surgen d é l a ecuación de la fuerza cuando se usan las unidades absolutas de masa y tiempo.

Dos cantidades iguales a una tercera, lo son iguales entre sí: F/A = P/g La forma de la e c u a c i ó n de la fuerza, para los i n g e n i e r o s , quedaría:

F = ma

F = (P/g)a

F

kgm/seg2

F

• gcm/seg2

E j e m p l o . Un c u e r p o q u e pesa 30 kg está en reposo. Cuál sería la fuerza requerida para darle una aceleración de 1 m/scg 2 . F = (30 kg / 9.8 m/seg 2 ) x 1 m/scg 2

El ingeniero rara vez usa las unidades del sistema métrico. Encuentra más conveniente medir las fuerzas en kilogramos y toneladas m é t r i c a s d e p e s o . En la c o n s t r u c c i ó n de e d i f i c i o s , p u e n t e s , a e r o p l a n o s y toda c l a s e de m á q u i n a s , g e n e r a l m e n t e las cargas a p l i c a d a s se e s p e c i f i c a n en kilogramos de p e s o y en libras. Para aplicar la segunda ley de Newton del movimiento, como se expresa en la ecuación de la fuerza. F = ma es necesario modificar uno de los factores, la masa o la aceleración. Por definición, el kilogramo de peso equivale a una fuerza de 9.8 newtons, y el gramo de fuerza de 980 dinas. 1 kgf = 9.8 newtons lgf = 980 dinas. Para ver c ó m o se deducen estas unidades de la ecuación de la fuerza, tenemos: m = F/A; m = P/g

F =» 3.1 kgf La respuesta es una fuerza de 3.1 kg. El t é r m i n o ( P / g ) r e p r e s e n t a la m a s a e n u n i d a d e s d e ingeniería o t a m b i é n l l a m a d o t é c n i c o ( u n i d a d técnica de masa, UTM). En el sistema inglés recibe el pombre de slug.

AUT0EVAL.UAC1ÓN. 1.- U n a masa d e 60 kg está b a j o la acción de 15,000 d i n a s . C a l c u l a r su a c e l e r a c i ó n , [a = 2.5 x lO^m/seg 2 , a = 0 . 2 5 cm/seg 2 ] 2 . - U n a m a s a d e 3 . 5 kg r e c i b e u n a a c e l e r a c i ó n d e 0 . 5 m/seg 2 . C a l c u l a r f u e r z a a p l i c a d a e n a ) n e w t o n s y b ) e n dinas, (a) F = 1.75 N b ) F = 1.75 x 10 5 días).

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3 . - A un a u t o se l e a p l i c a u n a f u e r z a d e 6 1 . 2 kgf y se le p r o d u c e una acleración d e 1.2 m/seg . Calcular la masa del cuerpo.[m = 510 kg]. 4.- U n a masa d e 890 g recibe una aceleración constante d e 200 cm/seg 2 . C a l c u l a r la f u e r z a r e q u e r i d a en a ) dinas y b) en Newtons. [a) F = 1.78 x 10 5 dinas, b) F = 1.78 NI

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5.- U n camión que pesa 4,000 kg y que se mueve a 45 km/hr, se a c e l e r a d u r a n t e 5 seg p a r a o b t e n e r « n a velocidad d e 90 km/hr. E n c o n t r a r la fuerza en: a) N, b) kgf, c) dinas, la) F = 10 N b) F = 10 kgf y c) F = 1 0 \ 6 dinas). 6 - Un proyectil d e 6 kg a v a n z a n d o 2900 m/seg, choca con.. • 1 1 t r a la ladera de una colina d o n d e p e n e t r a en el suelo a una p r o f u n d i d a d de 2 m. Calcular a) el tiempo de detención, b) la f u e r z a media en n e w t o n s , c) la c a n t i d a d d e movimiento c o n q u e e m p i e z a a p e n e t r a r , d) el i m p u l s o , [a) t = 1.38 x 10' 3 , b ) 1.27 x 10 7 N, c ) C M - 1.74 x 10 kgm/seg, d) p 1.74 x 10 4 7.- U n m a r t i l l o d e 1 k g d e m a s a q u e se m u e v e c o n u n a v e l o c i d a d d e 8 m / s e g . g o l p « a la c a b e z a d e u n c l a v o , e n c a j á n d o l o 2 cm d e n t r o d e un b l o q u e d e m a d e r a . D e s p r e s i a n d o la masa del clavo, calcular: a) la cantidad de m b v i m i e n t o del m a r t i l l o a n t e s del i m p a c t o , b) la a c e l e r a c i ó n d u r a n t e el i m p a c t o , c) el i n t e r v a l o d e t i e m p o d u r a n t e el i m p a c t o y d) el impulso, la) CM = 8 kgm/seg, b) 1,600 m/seg 2 , c) t = 0.005 seg y d) p « 8 kgm/segl8 Convertir los siguientes pesos d a d o s en kgf a n e w t o n s y dinas. A ) 80 kgf, b) 755 kgf, c ) 360kgf, d ) 824 kgf, e) 660 kff. U s e p a r a c a l c u l a r g - 10 m/seg 2 . [ a ) w « 8 0 0 N, b ) w = 755 N, c) w - 3,600 N, d) w - 8,240 N, e) w = 6.600N].

9 - Convertir las siguientes fuerzas d a d a s en newtons a kgf. a) 800 N, b ) 670 N, c) 1,720 N, d) 24,000 N, y e) 840,000 N. (a) w = 80 kgf, b ) w = 67 kgf, c) w = 172 kgf, d ) w = 2,420 kgf, e) 8,400 kgr]10.- D o s e s f e r a s de metal, cada una con una masa de 5 millones de kg, están c o l o c a d a s con sus c e n t r o s a 5 m de dist a n c i a . C a l c u l a r la f u e r z a de a t r a c c i ó n e n t r e e l l a s en: a ) newtons, b) dinas c) kgf. Use para facilitar los cálculos g = 10 m/seg 2 , G = 6.67 x 1 0 1 1 m^/kgseg 2 . la) F = 66.7 N, b) F = 6.67 x 10 6 dinas, c) F = 6.67 kgf]. 11.- La Luna tiene una masa de 7.3 x 10 22 kg y la Tierra una masa d e 6 x 10 24 kg. E n c o n t r a r la fuerza de atracción entre los dos c u e r p o s en: a) newtons, b) kgf. Distancia de la Tierra a la Luna = 3.9 x 10 6 m. [a) F = 1.92 x 10 20 N, b) F = 1.92 x l O 1 9 kgr). 12.- D o s t a n q u e s d e l e j e r c i t o , p e s a n d o 15 t o n e l a d a s métricas c a d a uno, pasan uno f r e n t e al otro. Si la distancia e n t r e sus c e n t r o s de masa, c u a n d o están más c e r c a es de 5 m. ¿ C u á l es la a t r a c c i ó n g r a v i t a c i o n a l e n t r e e l l o s en kg peso, en newtons y en dinas? JF = 6 x 10 5 kgf, 6 x 10' 4 N y F = 60 dinas].

UNIDAD III

SATÉLITES Y MOVIMIENTO PLANETARIO. .6}3ltSit¡ >_

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De acuerdo con la historia de la astronomía, fue Pitágoras (530 A. C.), f i l ó s o f o de la antigua G r e c i a , q u i e n dijo: "E/ mundo es redenodo y pende en el espacio". "La Tierra -agregó- no está quieta, sino que gira en torno de un fuego central llamado Hestia. Este fuego no es el Sol, porque el Sol está iluminado como los planetas, por reflexión desde Hestia". (. • >v fi

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1.- Definir o reconocer las definiciones apropiadas o distinguir como verdaderos o falsos, los enunciados relativos a cada uno de los términos, conceptos o principios de la siguiente lista: a) Primera ley de Kepler. b) Perigeo. c) Apogeo.

f) Tercera ley de Kepler. g) Intensidad de campo. h) Campo gravitacional.

d) Sfigunda ley de Kepler.

i) Potencial gravitacional.

e) Radio vector. " 2.- Emplear las ecuaciones de apogeo, perigeo, semieje menor o semieje mayor resolviendo problemas. 3.- A p l i c a r la t e r c e r a ley de K e p l e r , r e s o l v i e n d o p r o b l e m a s a partir de los datos apropiados. 4.- Calcular la velocidad orbital a partir de los datos apropiados. 5.- Calcular la intensidad del campo gravitaei^nal en cualquier planeta. 6 . - A p a r t i r d e l o s d a t o s a p r o p i a d o s c a l c u l a r el p o t e n c i a l gravitacional. apropiados. 7.- A partir de los datos paropiados calcular la velocidad d e escape.

PROCEDIMIENTO. 1.- Lee en tu libro de texto el capítulo II. 2.- Analiza despacio los ejemplos resueltos en tu libro de texto. 3.- Resuelve los problemas de la autoevaluación. 4X- C u a l q u i e r d u d a q u e t e n g a s i n m e d i a t a m e n t e c o n s ú l t a l a , p u e d e ser con alguno de tus compañeros o directamente con tu maestro. 5.- Practiva lo más que p u e d a s cualquier problema relacionado con el tema.

Para tener derecho a presentar esta unidad, deberás e n t r e g a r e n resueltos los problemas del capítulo II de tu libro de texto, en hojas tamaño carta.

CAPÍTULO II

¿ii "

SATÉLITES Y MOVIMIENTO PLANETARIO.

2-1 PRIMERA LEY DE KEPLER. Los planetas se mueyen en órbitas elípticas con el sol en uno de sus furos.— Una elipse se puede construir fijando los dos extremos de una cuerda a dos alfileres,Fi y F2, c o m o se muestran en la fig. 1. Manteniendo la cuerda estirada con un lápiz en P, se puede trazar el arco completo, tal como se traza un círculo con un compás.

perigeo = a ( l - e) semeje menor =

1 - e) 2

2-2. S E G U I D A LEY DE KEPLER. La linea recta que une al Sol con cualquiera de los planetas describe áreas iguales en intervalos iguales de tiempo.

Si la longitud de la cuerda permanece inalterada y los focos Fi y F2 se acercan más y más, el eje mayor AB y el eje m e n o r CD serán más y más iguales, en el límite cuando los focos coinciden. Las verd a d e r a s órbitas de los p l a n e t a s son así tan circulares, que si se dibujaran con un compás difererían del círculo en menos de lo que corresponde al grosor de la línea.

Como se indica en la fig. 3, la recta referida se llama radio vector, varía en longitud desde un mínimo en el perigeo, a un máximo en el apogeo. Aún cuando la órbita de la Tierra e s casi circular, los números 1,2,3,4, etc., corresponden a las posiciones de la Tieira al terminar cada uno de los doce meses iguales. r

La exentricidad e de una elipse (véase la fig. 2) está definida con la relación entre las distancias SQ y AQ. S i j V ' l j»flpjHtv'I f i I í i ^^H e = SQ/AQ Donde AQ es el semieje mayor a, y SQ es igual a ae. con el sol en uno de los focos, la distancia más corta AS se llama perigeo y la distancia mayor BS, se llama apogeo. Un p e q u e ñ o estudio de la fig. 2 permitirá al lector encontrar que:

Fig. 3. Orbita d í p t i c a d e un planeta o satélite, que muestra las áreas iguales barridas por el vector radial en iguales intervalos de tiempo

apogeo = a(l + e)

Para describir estas distancias orbitales desiguales en intervalos iguales de tiempo, la velocidad será máxima en el perigeo y mínima, seis meses después," en el apogeo. Durante el período de 1 a 2 ó de 7 a 8, por ejemplo, las áreas descritas serán iguales. C u a n d o la T i e r r a se m u e v e a lo l a r g o de su ó r b i t a en septiembre, octubre, noviembre, etc., la fuerza de atracción del Sol causa que la velocidad aumente. Alcanzando el perigeo, al final de d i c i e m b r e , su v e l o c i d a d e s máxima y demasiado rápida para permanecer a esta distancia n del Sol. Durante los m e s e s de marzo, abril, mayo, Etc.,1a Tierra se va a l e j a n d o del Sol, y la fuerza de atracción solar reduce la velocidad terrestre. Al cesar el apogeo, al final de junio, la velocidad de la Tierra es mínima, demasiado lenta para m a n t e n e r s e a esta distancia mayor r2del S o l . La distancia medida desde el Sol es de 149.680.000 km., mientras el promedio de la velocidad orbital de la Tierra es de 29.8 km/seg.

2.3 TERCERA LEY DE KEPLER.

Tabla 1. CARACTERÍSTICAS MEDIAS D E LOS PLANETAS. Planeta Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

0.241 0.615

1.000 1.881 11.682 29.458 84.015 164.790 247.700

36.0 67.1 92.9 41.5 483.3 886.1 1783.0 2793.0 3665.0

57.9 108.1 149.5 227.8 777.8 1246.0 2869.0 4496.0 5899.0

1.245 1.252 1.247 1.249 1.246 1.247 1.245 1.246 1.246

1504.3 3828.2 3958.9 2070.5 43429.0 35748.5 14727.0 13381.0 1781.4

2421.1 0.3244 6161.0 4.861 6371.0 5.975 0.6387 3332.1 69892.0 1902.1 57532.0 560.4 87.1 23701.0 21535.0 103.1 2867.0 0.5?

Por simplicidad, asumimos que la órbita de la Tierra es circular, como se muestra en la fig. 4. En este diagrama M es la masa del Sol. m es la masa de un planeta como la Tierra, y r es la distancia entre sus centros. La fuerza centrípeta F, como se da en la ecuación (5) es precisamente la fuerza de atracción gravitacional dada en la ecuación (14h). Estas son:

Los c u a d r a d o s de los períodos orbitales de los planetas son proporcionales a los cubos de sus distancias medias desde el Sol. El período T de un planeta o satélite, se define como el tiempo requerido para dar una vuelta completa alrededor de su órbita; la distancia media r, se define como el promedio de las distancias desde el Sol. En la Tabla 1 se dan los datos importantes de los 8 planetas mayores del sistema solar. Las relaciones constantes en la columna 5 comprueban la tercera ley de Kepler. Aunque las leyes de Kepler originalmente fueron derivadas de las cuidadosas observaciones de Tycho Brahe, ellas se deducen de las leyes básicas de la Mecánica Clásica.

Fig 4. La f u e r z a g r a v i t a c i o n a l de a t r a c c i ó n F es la f u e r z a c e n i r í p e t a q u e mantiene a la Tierra en su órbita casi circular alrededor del Sol.

Fuerza centrípeta:

2-4 SATÉLITES. F = mv 2 /r

(5)

Ley de Newton de la Gravitación: F = GMm/r 2 donde

(6)

G = 6.66 x 10" 11 m 3 /kg seg 2

P u e s t o que estas dos ecuaciones son expresiones d i f e r e n t e s de la m i s m a f u e r z a F, se p u e d e n i g u a l a r sus s e g u n d o s m i e m b r o s , y tenemos: G M m / r 2 = mv 2 /r (7) E n la m e c á n i c a , la v e l o c i d a d de un c u e r p o está d a d a p o r v = d/t. Si e s c o g e m o s la d i s t a n c i a d p a r a d a r u n a v u e l t a a la ó r b i t a , el tiempo t se convierte en el período T y obtenemos: v = 2(,r)r/T

(8)

E l e v a n d o al c u a d r a d o ambos m i e m b r o s de esta ecuación y sust i t u y e n d o el v a l o r d e v en el s e g u n d o m i e m b r o d e la e c u a c i ó n (7), podemos escribir: GM/r = 4 ( « ) V T 2 = (4w/GM)r* (9) Puesto que todas las cantidades d e n t r o del paréntesis son constantes, T 2 « r , la tercera ley de Kepler es compatible con las leyes de la mecánica clásica.

Cuando un v e h í c u l o del espacio es lanzado desde el suelo a la órbita de la Tierra como un satélite, su dirección inicial de despegue es vertical hacia arriba. A medida que el cohete gana altura, las aletas estabilizadoras de control o los chorros hacen que, lentamente, gire hacia la trayectoria horizontal. Para e n c o n t r a r q u e la velocidad que un vehículo del e s p a c i o a d q u i e r e al circular en t o r n o de la T i e r r a , consideremos los detalles de la fig. 5. La p r o y e c c i ó n d e algunos cientos de k i l ó m e t r o s de altura, desde la cima de la cual se lanzan proyectiles en dirección horizontal. Con una velocidad inicial baja, el proyectil seguirá una trayectoria casi parabólica, como se m u e s t r a en A. A u n a v e l o c i d a d u n p o c o m a y o r , la trayectoria será B. C o n u n a v e l o c i d a d a ú n m á s a l t a , el p r o y e c t i l al c a e r h a c i a la Tierra, seguirá una trayecFig. 5 toria circular de radio r. Esta • un* velocidad particular se llama velocidad orbital. Si se elevan todavía la velocidades, tales c o m o la que se m u e s t r a en D, el proyectil seguirá una trayectoria elíptica, o sea que se escapa por completo de la Tierra. Por la ley de Newton de la gravitación, la fuerza F ejercida por la Tierra sobre el satélite de masa m es inversamente proporcional a r 2 , y por su segunda ley del movimiento, la fuerza es proporcional a a. Por lo tanto, se d e d u c e que la aceleración de una masa m hacia la Tierra, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

w

Combinando estas dos relaciones, podemos escribir la siguiente proporcionalidad inversa del cuadrado:

Si la ó r b i t a e s t á muy próxima a la s u p e r f i c i e de la Tierra, podemos escribir en primera aproximación, r = R, y la ecuación (14) se convierte en:

R2

v = VgfC

(10) g donde a es la aceleración hacia el interior de la masa m. a una distancia r, y g es la aceleración correspondiente a la distancia R, o sea, en la superficie de la Tierra. Trasponiendo g, obtenemos: IHIÍ-I

(La a c e l e r a c i ó n d e b i d a a la g r a v e d a d , g = 9 . 8 0 m / s e g 2 e s equivalente a 127,000 km/h 2 ).

24> CAMPOS GRAVITACIONALES.

R2 a = g —

(11)

Esta aceleración hacia el interior de cualquier satélite orbital es, precisamente, la aceleración centrípeta requerida para mantenerlo en órbita y para impedir que se salga por la tangente. Escribimos: v2 a=

(15)

(12)

U n m é t o d o c o n v e n i e n t e e i n f o r m a t i v o para d e s c r i b i r la atracción gravitacional de un cuerpo por otro a distancia, es definr lo que se llama "campo gravitacional". Para ver como surge este concepto y cómo se usa, consideremos el siguiente desarrollo. En la figura 6, una masa M se muestra ejerciendo una fuerza gravitacional F, s o b r e una p e q u e ñ a masa m. La magnitud de esta fuerza, según la ley de Newton de la gravitación es:

r

Igualando estas dos relaciones, obtenemos: V2

r

R2 g — r

Mm F = G —

(16)

(13)

la cual despejando v, se transforma fácilmente en : /R2"' • v = /g (14) r velocidad orbital.

La i n t e n s i d a d d e l c a m p ó l e n cualquier p u n t o A en el e s p a c i o que rodea a una masa M, se define como la fuerza por unidad de masa que actúa sobre cualquier masa m colocada en dicho punto. F I = m

(17)

La p e q u e ñ a m a s a m se u s a e n e s t a d e s c r i p c i ó n , ú n i c a m e n t e c o m o un m e d i o p a r a d e t e c t a r y m e d i r el c a m p o gravitacional en el p u n t o A ; ya sea m g r a n d e o p e q u e ñ a , la fuerza por unidad de masa en el punto será la misma. Si la masa m es doble, se duplicará la fuerza F; si m es triple, F s e triplicará, etc. Para encontrar una ecuación para la intensidad del campo I, sólo necesitamos obtener un valor de F/m en la ecuación (17). Trasponiendo m a l a izquierda, encontramos que: F m

M = G— r

(18)

M

Si se transfiere m al otro lado de la ecuación (18), o b t e n e m o s la relación: F = mi

(19)

I n t e r p r e t a d a p r o p i a m e n t e , esta e c u a c i ó n dice q u e c u a l q u i e r m a s a m s i t u a d a en un c a m p o g r a v i t a c i o n a l d e i n t e n s i d a d I, e xperimenta una fuerza F que actúa sobre ella y que es igual al producto de la m por I. En la superficie de la Tierra el campo gravitacional es igual a g, la aceleración debida a la gravedad. £sto_se_deduce T directamente._df: la sf.yundaiey de Newton del movimiento la cual para la caída de los campos se escribe: F = mg P o r l o t a n t o , e n la superficie de la Tierra la i n t e n s i d a d del campo gravitacional:

E n la f i g u r a 7, se p r e s e n t a un esquema del campo gravitacional alr e d e d o r de una masa e s f é r i c a M . L a s f l e c h a s m u e s t r a n q u e la dirección d e l c a m p o e s e n t o d a s p a r t e s r a d i a l h a c i a el c e n t r o , y el e s p a c i a m i e n t o de las líneas indica q u e el c a m p o es más i n t e n s o en la s u p e r f i c i e . Para cada punto, a igual distancia del centro, 1 intensidad del campo 1 es la misma, pero a medida que la distancia crece, el campo disminuye. Fig. 7. El campo gravitacional alrededor de una masa esférica M es radial hacia el interior.

En un p e q u e ñ o v o l u m e n del espacio, e p u e d e s u p o n e r q u e el campo gravitacional es constante en dirección y magnitud. La trayectoria s e g u i d a p o r u n a m a s a m , p r o y e c t a d a a t r a v é s de un c a m p o gravitacional u n i f o r m e de intensidad I, es el resultado de una f u e r z a constante F. En el espacio libre, la trayectoria es una parábola, como se muestra en la figura 8.

Si el c a m p o n o es u n i f o r m e , c o m o en el caso de un gran volum e n e n el e s p a c i o c e r c a n o a la T i e r r a , la f u e r z a no es c o n s t a n t e y la trayectoria de un proyectil no es una parábola.

Como r e s u l t a d o del t r a b a j o realizado sobre un c u e r p o , hemos a l m a c e n a d o d e n t r o d e é f , en/virtud d e su nueva posición, una cantidad equivalente de energía potencial. E P . = mgs Al establecer estas ecuaciones, se supone que la intensidad del campo gravitacional g es constante para la distancia V , a través de la cual actúa la f u e r z a . Sin e m b a r g o , si la distancia es grave, la intensidad d e l c a m p o n o e s c o n s t a n t e y v a r í a i n v e r s a m e n t e c o n el c u a d r a d o d e la d i s t a n c i a d e s d e el c e n t r o d e la T i e r r a ( v é a s e la ecuación 18).

Fig. 8. La t r a y e c t o r i a d e un p r o y e c t i l en un c a m p o g r a v i t a c i o n a l uniforme en una p a r à b o l a

Para calcular el trabajo realizado por medio de la ecuación (21), y con u n a f u e r z a q u e c a m b i a de m o d o c o n t i n u o , se r e q u i e r e un procedimiento matemático llamado cálculo. El cálculo muestra q u e el trabajo realizado al llevar una masa m desde un p u n t o a la distancia r del c e n t r o de M, hasta una distancia tan grande q u e el c a m p o gravitacional sea tan débil que pueda despreciarse, está dado por: W = Fr

(22)

2-6 POTENCIA GRAVITACIONAL H e m o s visto q u e el t r a b a j o realizado para elevar un c u e r p o de u n a masa "m" a una altura "s", está d a d o por el p r o d u c t o f u e r z a por distancia. W = Fs

(21)

D o n d e la fuerza F está dada por la segunda ley de Newton, F = mg, W = mgs

En esta ecuación, F es la f u e r z a que actúa sobre m c u a n d o está en el punto A. (Véase la figura 9). Este resultado sencillo hace fácil expresar el t r a b a j o r e a l i z a d o con ayuda de la e c u a c i ó n (17). Sustituyendo este valor de F en la ecuación (22), podemos obtener: Mm W = G

(23) r

La energía potencial de una masa en ese mismo punto es, por lo tanto,

GM P - -

(26) r

Cualquier masa m situada en, o cerca de la superficie de la Tierra M, puede ser vista c o m o si estuviera en un agujero, donde la energía potencial es negativa y elevarla fuera en el espacio libre (r infinita y E.P. = 0), requiere una cantidad de energía W. W=

(27)

-mP

•«ih»!*» Fig. 9. La f u e r z a q u e se n e c e s i t a p a r a a l e j a r una masa m d e la T i e r r a , disminuye al a u m e n t a r la distancia desde la superficie y se vuelve c e r o en el infinito

Mn

•MI ¥

BE MH

i Hit

(24)

E.P. = - G

H

El signo "menos" indica que la energía es negativa con respecto al nivel cero, el cual está en el infinito. Cuando r • » la E.P • 0. Elevar una masa contra el tirón de un campo gravitacional requiere un gasto de energía. D e f i n i m o s ahora el p o t e n c i a l g r a v i t a c i o n a l P de cualquier punto en el espacio en torno de una masa M, como la energía potencial por u n i d a d de masa c u a l q u i e r masa m, l o c a l i z a d a en dicho punto. E.P (25)

P =

r r s

w

i .

A f

|

?

*

IMúüto s

2 EP=0

Fig. 10. La e n e r g í a p o t e n c i a l d e una m a s a m de la T i e r r a e s n e g a t i v a c o n respecto a su energía potencial en el infinito.

Por lo tanto, hemos llegaado al resultado muy simple de que la fuerza de cualquier masa esta dada por mi, y que su energía potencial es igual a mP.

2-7 VELOCIDAD DE ESCAPE

m

Dividiendo ambos miembros de la ecuación (24) por m y sustituyendo en la ecuación (25), obtenemos:

Un satélite que escapa de la Tierra y nunca regresa, debe haber sido lanzado con una velocidad mayor de la r e q u e r i d a p a r a p o n e r l o en ó r b i t a . Para e n c o n t r a r la velocidad mínima de escape, aprovecharemos el potencial gravitacional dado en la sección precedente.

Para elevar una masa m desde cualquier punto a una distanciar, d e s d e el c e n t r o de M, se r e q u i e r e el gasto de energía en la cantidad dada por la ecuación (27). (Véase la figura 10). Si comunicamos esta energía para dar a la masa una velocidad, la energía total gastada será cinética, + mv . Por sustitución directa en la ecuación (27) de + mv1 e n l u g a r d e W, y - G M / r en l u g a r d e P, v e r la e c u a c i ó n ( 2 6 ) , obtenemos:

G» = gR2/M

(30)

Al s u s t i t u i r e s t a e x p r e s i ó n p o r G en la e c u a c i ó n ( 2 9 ) , obtenemos: v = 72gR (31) velocidad de escape desde la superficie de la Tierra.

GM 1/2 mv

Nótese que esta velocidad de escape es la raíz cuadrada de dos multiplicada por la velocidad orbital (véase la ecuación 15).

= m

£ •»«jiimiH1"

Despejando v, encontramos que esta ecuación da:

Vcscape = 1.41Vorbkal

(32)

"v lili GM

ii : ¡" i t ¿ Ai I ISItf'i' lili ¡liilS

v =

Esta relación es válida para cualquier valor de r:. (28)

•H.E. Whitc. Física Moderna, Cap. 18, Ed. 1965.

velocidad de escape Si lanzamos la masa m desde la superficie de la Tierra, donde r = R, escribimos:

I

GM v = 2>

(29) R

•MilI Pffl

Si d e s e a m o s expresar la velocidad de escape en función de g, en la s u p e r f i c i e de la Tierra, p o d e m o s igualar la fuerza F dada la ley de Newton de la gravitación con la fuerza F dada por su segunda ley del movimiento:

R4

Se d i b u j a una elipse con d o s alfileres c o l o c a d o s a 6 cm de d i s t a n c i a y una c u e r d a de 10 cm de largo. C a l c u l a r : a) el v a l o r d e l e j e m a y o r , b) el v a l o r d e l e j e m e n o r , en— centricidad, d) y c ) 1* distancia del perigeo. a) Semieje mayor = 3 cm + 2 cm = 5 cm

V(\5 1

= mg

era) - (3cm)

7(25 c m - 9 cm 2 )

>/16 cm2 4 cm

de la cual obtenemos:

10 cm

eje mayor b) Semieje menor

Mn G

Ejemplo 1.

„eje menor = 8 cm Semieje menor = a - V1 - e 2 3 cm c)

e = = 0.6

Semieje menor = 5 cm >/l(0 - 6)¿

Un satélite está en órbita de la Tierra 1,600 km arriba de la s u p e r f i c i e . C a l c u l a r a) su v e l o c i d a d y b ) su p e r í o d o d e revolución en minutos. Solución: a) Por la ecuación 14, tenemos: / R

v

2

= y/g

"

r

v= R V r km(6.371x10 3 km)2 v = V 127xl0

3

h 2 7.971 x 103 km

4Ü

v = 25,430 km/h b) Por la ecuación 8, tenemos:

2ji • 7971 km T = 25,430 km/h T = 1.967 h T = 118.16 min Hacerlo inmediatamente. 1.- Se construye una elipse con dos puntos situados a 28 cm u n o del o t r o con una c u e r d a de 40 cm. Calcular los mismo d a t o s d e l e j e m p l o 1. {40 cm, 28.565 cm, 0.7 cm, 34 cm, 6 cmj. 2.- Se construye una elipse de 0.9 de excentricidad con una c u e r d a d e 50 cm. Calcular: a) el eje mayor, b) el eje menor, c) el apogeo y d) el perigeo. [50 cm, 21.794 cm, 47.5 cm, 2.5 cm].

Hacerlo inmediatamente. 3.- Un satélite está en órbita de la Tierra a 2,800 km arriba de la s u p e r f i c i e . C a l c u l a r : a) su velocidad o r b i t a l y b) su p e r í o d o d e revolución en minutos. (23,708 km/h, 2.43 h ó 145.8 min]. 4.- Un satélite en órbita de la Tierra a 5000 km arriba de la superficie. Calcular: a) su velocidad orbital y b) su período de revolución en minutos].

p =

6.66X10"11 m/kgseg 2 x 0.6383 x 10 24 kg 1 3.3321 x 106 m

Ejemplo 3.

P = 1.277 x 10 7 m 2 /seg 2 E n c o n t r a r la i n t e n s i d a d del c a m p o gravitacional sobre la superficie del planeta Marte. Solución:

P = 1.277 x 10 7 J/kg Ejemplo 5.

Por la ecuación 18-a, tenemos:

I =G

¿Cuál es la v e l o c i d a d de e s c a p e en m/seg de un c o h e t e , si su c o m b u s t i b l e se c o n s u m e a 70 km de la s u p e r f i c i e de Marte?

M r2

Solución:

D e la tabla 1, tenemos:

z Gm

M = 0.6387 x 10 kg y r = 3,332.1 km 11

I = 6.67X10

m

V = y/2 0.6387x10 24

——

kgseg 2 (3.3321xl0 m)

I = 3.83 m/seg 2 I = 3.83 N/kg

r r = 3.3321xl0 3 km + 0.07 x 103km r = 3.4021 x 10 3 km í 6.66 x 10* 11 m/kgscg 2 x 0.6387 x 10 24 kg v = V2 x 3.4021 x 106 km

Hacerlo inmediatamente. 5.- C a l c u l a r la i n t e n s i d a d del c a m p o gravitacional de un punto a 1,000 km de la superficie de la Tierra. [7.32 m/seg 6 7.32 N/kg]. 6.- C a l c u l a r la i n t e n s i d a d del c a m p o g r a v i t a c i o n a l ^ 1,000 km de la s u p e r f i c i e del p l a n e t a M a r t e . (2.27 m/seg ó 2.27

Ü M Ejemplo 4. E n c o n t r a r el potencial de cualquier punto situado sobre la superficie del planeta Marte. Solución: Por la ecuación 26, tenemos: P = GM/r

v = V2.501 x 10 7 m 2 /scg 2 v = 5 x 10 3 m/seg v = 18,002 km/h Hacerlo inmediatamente. 7.- C a l c u l a r la velocidad d e e s c a p e en m/seg y km/h de un c o h e t e a 100 km s o b r e la s u p e r f i c i e de la T i e r r a . [ 11,000 m/seg, 39,924 km/h). 8.- C a l c u l a r la velocidad d e e s c a p e en m/seg y km/h de un cohete a 80 km d e la superficie d e Venus. (10,185.6 m/seg, 36,668.2 km/h].

1.- Se d i b u j a una elipse con el eje mayor de 8 m y el eje menor de 4 e m . E n c o n t r a r : a) la e x c e n t r i c i d a d , b ) la d i s t a n c i a d e a p o g e o , c>la distancia de perigeo y d) la distancia entre los focos.

«fcr

2.- Se c o n s t r u y e una elipse con un eje mayor de 10 m y un e j e m e n o r de 4 m. E n c o n t r a r : a) la excentricidad, b) la distancia d e apogeo, c) la distancia de perigeo, d) la distancia e n t r e los f o c o s y e ) la l o n g i t u d d e la c u e r d a q u e d e b e n usarse. 3.- U n s a t é l i t e gira en ó r b i t a de 708 km de la T i e r r a . Encontrar: a) su velocidad, b) su período en minutos.

ir* W'

cr:

it -si I ÍP iiSHí

i

4.- Un s a t é l i t e e s t á en ó r b i t a de la T i e r r a a una a l t u r a d e 227 km. Calcular: a) la velocidad orbital, b) su p e r í o d o d e revolución en minutos. 5.- ¿Cuál d e b e ser la velocidad de un satélite si su órbita alr e d e d o r de la Tierra es de 1,250 km de la superficie? ¿Cuál será su período? 6.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la superficie del planeta Saturno. 7.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la s u p e r f i c i e de los siguientes planetas: a) Júpiter, b) M a r t e , c) Mercurio, d) Venus, e) Urano. 8.- Calcular la velocidad de e s c a p e en m/seg, de un cohete si su c o m b u s t i b l e se a g o t a a 100 km de la s u p e r f i c i e de la Tierra. 9.- E n c o n t r a r la velocidad de escape para un proyectil que sale de la superficie de los siguientes planetas: a) Tierra, b) Marte, c) Júpiter, d) Venus, c) Urano.

SUMA DE VECTORES APLICANDO EL MÉTODO DE LAS COMPONENTES.

El d e s a r r o l l o d e la t r i g o n o m e t r í a t u v o c o m o m o t i v a c i ó n la astronomía cuantitativa y la medición del t i e m p o . Su f u n d a d o r f u e Hiparco, de q u i e n no se tiene t r a b a j o s escritos d i r e c t a m e n t e , p e r o cuyas c o n t r i b u c i o n e s e s t á n a c r e d i t a d a s por P t o l o m e o en su o b r a "Colección Matemática o Almagest". Aquí se e n c u e n t r a la conexión con la herencia de Babilonia del uso de las fracciones sexadécimales y la i n t r o d u c c i ó n de la f u n c i ó n s e n o a través de las c u e r d a s de un círculo.

OBJETIVOS. 1.- D e f i n i r cada u n o de los t é r m i n o s , c o n c e p t o s , p r i n c i p i o s o leyes incluidas en este capítulo. 2.- Descomponer un vector sobre un par de ejes coordenados.

1.- Se d i b u j a una elipse con el eje mayor de 8 m y el eje menor de 4 c m . E n c o n t r a r : a) la e x c e n t r i c i d a d , b ) la d i s t a n c i a d e a p o g e o , c>la distancia de perigeo y d) la distancia entre los focos.

«fcr

2.- Se c o n s t r u y e una elipse con un eje mayor de 10 m y un e j e m e n o r de 4 m. E n c o n t r a r : a) la excentricidad, b) la distancia d e apogeo, c) la distancia de perigeo, d) la distancia e n t r e los f o c o s y e ) la l o n g i t u d d e la c u e r d a q u e d e b e n usarse. 3.- U n s a t é l i t e gira en ó r b i t a de 708 km de la T i e r r a . Encontrar: a) su velocidad, b) su período en minutos.

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cr:

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4.- Un s a t é l i t e e s t á en ó r b i t a de la T i e r r a a una a l t u r a d e 227 km. Calcular: a) la velocidad orbital, b) su p e r í o d o d e revolución en minutos. 5.- ¿Cuál d e b e ser la velocidad de un satélite si su órbita alr e d e d o r de la Tierra es de 1,250 km de la superficie? ¿Cuál será su período? 6.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la superficie del planeta Saturno. 7.- Calcular la intensidad del c a m p o gravitacional sobre la s u p e r f i c i e de los siguientes planetas: a) Júpiter, b) M a r t e , c) Mercurio, d) Venus, e) Urano. 8.- Calcular la velocidad de e s c a p e en m/seg, de un cohete si su c o m b u s t i b l e se a g o t a a 100 km de la s u p e r f i c i e de la Tierra. 9.- E n c o n t r a r la velocidad de escape para un proyectil que sale de la superficie de los siguientes planetas: a) Tierra, b) Marte, c) Júpiter, d) Venus, c) Urano.

SUMA DE VECTORES APLICANDO EL MÉTODO DE LAS COMPONENTES.

El d e s a r r o l l o d e la t r i g o n o m e t r í a t u v o c o m o m o t i v a c i ó n la astronomía cuantitativa y la medición del t i e m p o . Su f u n d a d o r f u e Hiparco, de q u i e n no se tiene t r a b a j o s escritos d i r e c t a m e n t e , p e r o cuyas c o n t r i b u c i o n e s e s t á n a c r e d i t a d a s por P t o l o m e o en su o b r a "Colección Matemática o Almagest". Aquí se e n c u e n t r a la conexión con la herencia de Babilonia del uso de las fracciones sexadécimales y la i n t r o d u c c i ó n de la f u n c i ó n s e n o a través de las c u e r d a s de un círculo.

OBJETIVOS. 1.- D e f i n i r cada u n o de los t é r m i n o s , c o n c e p t o s , p r i n c i p i o s o leyes incluidas en este capítulo. 2.- Descomponer un vector sobre un par de ejes coordenados.

3.- Calcular la r e s u l t a n t e y su dirección d e dos ó más vectores, después de haber descompuesto los vectores sobre un par de ejes coordenados (método de las componentes).

PROCEDIMIENTO. 1.- Lectura general y rápida del capítulo.

CAPÍTULO 3. m

2.- Segunda lectura para subrayar lo más importante. 3.- Escribe un resumen del capítulo. 4.- Analiza detenidamente los ejemplos resueltos. 5.- T o m a n d o c o m o b a s e los e j e m p l o s r e s u e l t o s , r e s u e l v e los

MÉTODO DE LAS COMPONENTES.

problemas incluidos para "hacerlos inmediatamente" llegando a los resultados marcados.

NOTA;

Para tener derecho al examen de esta unidad, deberás entregar, en hojas tamaño carta, la autoevaluación del capítulo III.

C u a n d o o b s e r v a m o s un o b j e t o q u e e s t á en m o v i m i e n t o , nos p r e g u n t a m o s ¿cuál es el f e n ó m e n o que p r o v o c a e s e m o v i m i e n t o ? La r e s p u e s t a a e s t a p r e g u n t a es: una fuerza que actúa en la dirección del movimiento. P e r o , ¿ q u é pasa cuando un c u e r p o está estático? ¿Habrá fuerzas que provoquen el equilibrio y no se mueva el cuerpo? Para facilitar la comprensión a estas respuestas, estudiaremos

varios m é t o d o s en los c u a l e s i n t e r v i e n e n f u e r z a s aplicadas a un mismo cuerpo.

Si despejamos los catetos en las funciones seno y coseno, nos quedaría: b = C Sene

3-1 BASES DE TRIGONOMETRÍA a = C Cose Muchos de los p r o b l e m a s de la mecánica son más fáciles de resolver por el método llamado "método de las componentes". Para su estudio es n e c e s a r i o que c o n o z c a m o s los conceptos básicos de la trigonometría aplicada a un triángulo rectángulo tal y como se muestra en la figura 1. Empezaremos definiendo a como el cateto adyacente al ángulo, h como el cateto opuesto al ángulo y £ la hipotenusa.

Si sustituimos e s t o s valores en la d e f i n i c i ó n de la tangente, tendremos: C Sen e Tan 0 =

eliminando C C Cose Sen e

Tan 0 = Cos

0

En un triángulo, la función "seno" será la relación que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa. b Sene =

3-2 D E S C O M P O S I C I Ó N DE UNA F U E R Z A EN S U S COMPONENTES.

c Al igual que el seno, la función c o s e n o es una relación, en la que se divide el cateto adyacente entre la hipotenusa. a Cos 0 = c Y en el caso de la tangente también es una relación, pero entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Si hacemos una comparación de la Fig. 1 con la fig. 2, en la fig. 1 tenemos el cateto AB = a, que en la fig. 2 sería F x (la proyección en el eje de las x del vector F. En la fig. 1 tenemos el cateto BC = b, que en la figura 2 sería Fy, obtendríamos: Fx = FCose

Sen d = b Tan e = a

Fy — F

Fv = F Sene

en cada uno de los ejes. Así, tenemos que:

Fy Tan e = — Fx

Cos 0 = Fx/F despejando F x = FzCosfl

Con estos conceptos podemos trazar cualquier f u e r z a con espec to a c u a l q u i e r par de e j e s c o o r d e n a d o s y t r a t a r l o c o m o si fueraui triángulo (fig. 2) y saber el valor de sus catetos que r e p r e s e n t a n pan nosottros los valores de la fuerza sobre el eje x y sobre el eje Y.

F» = 80 N x Cos 45° Cos 45° = 0.707 (Tablas de trigonometría) Fx = 80 N x 0.707 F x = 56.56 N Además: Sen Despejando

0 = Fy/F Fy = F S e n 0

F y = 80 N x Sen 45° Sen 45° = 0.707 (tablas de trigonometría) F y = 80 N x 0.707 F v = 56.56 N

;

Ejemplo 1. Descomponer una fuerza de 80 N a 45° sobre la horizontal.

Hacerlo inmediatamente. 1.- D e s c o m p o n e r una f u e r z a d e 500 d i n a s a 22.5° d e e j e + x. (Fx = 461.94 dinas, F y 191.34 dinas]. 2.- Descomponer una fuerza de 48 kg a 300° del eje + x. (F x = 24 kg, F y - -41.57 kg]. 3.- D e s c o m p o n e r una fuerza de 60 N a 180° del e j e + x. (F x = - 60 N, F y = 0 N]. Ejemplo 2. D e s c o m p o n e r una fuerza de 120 kg actuando a 150° del e j e + x.

Fig. 3a

Fig. 3b

Solución: Sabemos que t e n e m o s que tomar la fuerza de 80 N c o m o la h i p o t e n u s a d e un t r i á n g u l o r e c t á n g u l o (fig. 3-1) y que los c a t e t o s del triángulo, serán, las proyecciones de la f u e r z a

E n e s t e c a s o e l v e c t o r s e e n c u e n t r a e n el s e g u n d o c u a d r a n t e ( f i g . 4) d e un p a r d e e j e s c o o r d e n a d o s . L o p o d e m o s t r a b a j a r igual, p e r o r e c o r d a n d o que es más fácil

t r a b a j a r con á n g u l o s m e n o r e s d e 90°. F o r m e m o s el t r i á n g u l o ABC c o n e n l u g a r d e 150°, ya q u é C o s 150° = Cos 30° y Sen 150° - Sen 30° Por lo tanto: Fx = 120 kg x Cos 150° = 120 kg x (-Cos 30°)

F x = FxCosd 2o. Cada f u e r z a se d e s c o m p o n e en su c o m p o n e n t e sobre el eje y

(fig. 7).

F y = FxSenfl

= 120 kg x (-0.866) - -103.92 kg

3o. Se suman las componentes "x" para dar la componente resultante "x" (vector sobre el eje "x" en la fig. 8)

Fy = 120 kg x Sen 150° - 120 kg x Sen 30°

Fxi + Fx2 + Fx3 + ... + Fxn = I F x (Sumatoria de fuerzas en V ) .

- 120 kg x 0.5 = 60 kg

3 - 3 S U M A DE V E C T O R E S POR EL M É T O D O DE LAS COMPONENTES. C u a n d o varias f u e r z a s actúan s o b r e un m i s m o cuerpo, s i m u l t á n e a m e n t e , su f u e r z a r e s u l t a n t e p u e d e s e r c a l c u l a d a por c u a l q u i e r a de los varios m é t o d o s d i f e r e n t e s . A l g u n o s m é t o d o s son l a r g o s y p e s a d o s , m i e n t r a s q u e o t r o s c o m p r e n d e n un m í n i m o de operaciones simples. De las soluciones gráficas de problemas de fuerza, el m é t o d o del polígono es indudablemente el más sencillo. De las soluciones analíticas, el método de las componentes", es el más corto y preferido por su simplicidad. O b s e r v e m o s las figuras del e j e m p l o 3 (figuras 5, 6, 7 y 8) donde se m u e s t r a un sistema en el q u e están a c t u a n d o c u a t r o f u e r z a s concurrentes (fig. 5). Ahora sigamos los siguientes pasos: l o . Cada f u e r z a se d e s c o m p o n e en su c o m p o n e n t e sobre el eje V (fig. 6).

4o. Se suman las componentes "y" para dar la componente resultante "y". (Vector sobre el eje "y" en la fig. 8). Fyi + Fy2 + Fy3 + ... + Fyn = 2Fy (Sumatoria de fuerzas en "y") 5o. Se combinan las componentes resultantes i F x y £ F y a ángulo r e c t o p a r a o b t e n e r su resultante R (fig. 8). Se t r a b a j a en el c u a d r a n t e q u e c o r r e s p o n d a a los c u a t r o c u a d r a n t e s de los ejes coordenados. R = V (lFx) z + (!F y ) z 6o. Se calcula la dirección de la resultante (fig. 8) por medio de la función tangente con el rectángulo final. Tand = Fx/Fy

e = Tan Fx

En el ejemplo 3 están todos los pasos aquí marcados.

P a r a h a c e r la c o m b i n a c i ó n m a r c a d a en el 5o. paso, d e b e m o s recordar las siguientes consideraciones:

Ejemplo 3. E n c o n t r a r la resultante de las siguientes fuerzas: a) 150 kg a 62°, b) 125 kg a 205°, c) 130 kg a 270° y 180 kg a 337° (ver fig- 5).

a ) C u a n d o la s u m a d e las c o m p o n e n t e s e n X e s positiva, es decir, la componente de la resultante en X es positiva, dicho vector se graficará hacia la derecha (Ver fig. 8). b) C u a n d o la c o m p o n e n t e de la r e s u l t a n t e en X es negativa, el vector se graficará hacia la izquierda.

I&OK«

c) Si la c o m p o n e n t e de la,resultante en Y es positiva, el vector se graficará hacia arriba. d) Si la c o m p o n e n t e de la resultante en Y es negativa, el vector se t r a f i c a r á hacia abajo (Ver fig. 8) 123*9

lt«K» Bajo estas consideraciones, podemos concluir:

130 Kf

l o . Cuando I F X es positiva y £F y es positiva, la resultante se encuentra en el primer cuadrante. 2o. Cuando XFX es negativa y 2F y es positiva, la resultante se encuentra en el segundo cuadrante. 3o. C u a n d o ZFX es n e g a t i v a y l F y es negativa, la r e s u l t a n t e se encuentra en el tercer cuadrante. 4o. Cuando ZFX es positiva y l F y es negativa, la resultante se encuentra en el cuarto cuadrante. + 2F* - I F x

+

EFy

- I F x

+ IF -EFy

+ XFx

-2Fy

y

1er. cuadrante 2do. cuadrante. 3er. cuadrante. 4to. cuadrante.

P r i m e r o d e b e m o s d e s c o m p o n e r c a d a uno de los v e c t o r e s sobre el eje "x" ver fig, 6), y debemos de tomar la siguiente consideración: los vectores, que al descomponerlos nos indiquen a la derecha, son positivos y los que indique hacia la izquierda son negativos. 150 Cos 62°

-

70.421 kg

125-Cos 205° = 125(-Cos 25°)

« -113.288 kg

180- Cos 337° = 180( + Cos 23°)

= + 165.691 kg

o

130 Cos 270° = 130( Cos 0 ) TOTAL

=

0.00

« + 122.824 kg

A h o r a , s o b r e el eje "y" t e n e m o s los vectores m o s t r a d o s en la fig. 7 y también debemos de considerar: los vectores que

i n d i q u e n h a c i a a r r i b a s o n positivos, y l o s q u e i n d i q u e n hacia abajo son negativos. 150 Sen 62°

= +132.442 kg

125 Sen 205° = 125(-Sen 25°)

= -

130 Sen 270° = 130(-Sen 90°)

= - 130.000 kg

180 Sen 337° = 180(-Sen 23°)

= -

52.827 kg

158.95°]. 6.- E n c o n t r a r la resultante y su dirección de las siguientes fuerzas: a) 250 dinas a 30°, b) 370 dinas a 180°, c) 500 dinas a 250° y d) 500 dinas a 330°. (604.66 dinas, 280.34°].

70.332 kg

AUTOEVALUACIÓN. TOTAL

= - 120.717 kg

H e m o s o b t e n i d o a h o r a d o s v e c t o r e s . U n o s o b r e el eje de las !¿L con valor d e 122.824 kg y o t r o s o b r e el eje d e las con valor d e -120.717 kg. Siguiendo con la misma b a s e d e q u e un vector hacia la d e r e c h a es positivo (en el e j e de las x") y hacia a b a j o negativo (en el eje de las formamos el diagrama de la fig. 8.

Por el teorema de Pitágoras obtenemos:

1.- Hallar las c o m p o n e n t e s de una fuerza de 156 N actuand o a un ángulo de 34°. 2.- D e s c o m p o n e r el vector fuerza de 900 kg a c t u a n d o a 15° sobre un cuerpo. 3.- H a l l a r la r e s u l t a n t e d e 5 v e c t o r e s f u e r z a c o p l a n a r c s , a p l i c a d o s a un c u e r p o de la siguiente f o r m a : a) 19 N a 0°, b ) 15 N a 60°, c ) 16 N a 135°, d ) 11 N a 210°, e ) 12 N a 270°. 4.- H a l l a r la r e s u l t a n t e del siguiente s i s t e m a de v e c t o r e s fuerza coplanares y concurrentes: a) 3 kg,a 0 o , b) 4 kg a 30° y c) 4 kg a 150°.

= 172.216 kg y la d i r e c c i ó n d e l vector tante será: -120.717 Tan G 122.824 kg Tan 0 = -0.9828 are tan -0.9828 = - 44.5° La dirección es igual a -44.5° 6 315.5° Hacerlo inmediatamente. 4.- E n c o n t r a r la resultante y su dirección de las siguientes f u e r z a s : a ) 180 N a 1 3 5 ° y b ) 2 4 0 N a 8 5°. ( 3 8 1 . 4 9 N, 106.19 o !. 5.- E n c o n t r a r la r e s u l t a n t e de las siguientes f u e r z a s : a) 15 k g a 0 o , b ) 7 0 k g a 1 2 0 ° y c ) 5 0 k g a 2 4 0 ° . (48.22 kg,

HMiiiliiPlr'

FUERZAS EQUILIBRADAS Y FUERZAS NO EQUILIBRADAS.

...El cisne tira hacia las nubes el cangrejo hacia atrás, y el lucio hacia el agua. »

E s t o q u i e r e d e c i r q u e u n a f u e r z a , la del cisne, e s t á d i r i g i d a hacia arriba, la del lucio hacia un lado, y la t e r c e r a la del cangrejo, hacia atrás. P e r o no podemos olvidar que existe otra fuerza, el peso del carro cargado, que está dirigida verticalmente hacia abajo. Según esta fábula, "el carro hasta ahora está en el mismo sitio", es decir, que la resultante de todas las fuerzas aplicadas a él es igual a cero.

OBJETIVOS. 1.- D e f i n i r cada u n o de los c o n c e p t o s , t é r m i n o , leyes o principios incluidos en este capítulo. 2.- Ejemplificar equilibrio dinámico y equilibrio estático.

3.- Definir ei concepto de equilibrio en fuerzas concurrentes. 4.- Resolver p r o b l e m a s d o n d e se aplique la p r i m e r a condición de equilibrio. 5.- Determinar, gráficamente, el centro de gravedad. 6.- Definir el concepto equilibrio en fuerza no concurrentes.

CAPITULO IV.

PROCEDIMIENTO, 1.- Lectura rápida del capítulo. 2.- Segunda lectura para subrayar lo más importante.

EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS RÍGIDOS.

3.- Realizar un resumen del capítulo. 4.- Realizar despacio los ejemplos resueltos. 5.- Resolver los problemas para "hacerlo inmediatamente. 6.- Resolver los problemas de la autoevaluación.

NOTA:

Para tener derecho a presentar esta unidad, deberás entregar en hojas tamaño carta, la autoevaluación del capítulo IV de tu libro de texto.

4-1 FUERZAS EN EQUILIBRIO. Todos nosotros tenemos la ¡dea de una fuerza, ya que la ligamos íntimamente con nuestra actividad muscular. Para mover un mueble, levantar un objeto, pegarle a un balón, nuestros músculos nos indican que e s t a m o s a p l i c a n d o u n a f u e r z a a u n o b j e t o . La f u e r z a y el movimiento están asociados en forma natural en nuestras mentes con la actividad muscular. C u a n d o pensamos en cambiar la f o r m a de un objeto, moverlo de lugar, o cambiar su movimiento, p e n s a m o s automáticamente en la sensación muscular de aplicar fuerza a ese objeto. Estas i d e a s c o m u n e s s o b r e la f u e r z a , a u n q u e n o t o d a s , nos s e r á n

útiles en la mejor comprensión de la física. P e r o además de que las fuerzas p u e d e n hacer que los objetos se m u e v a n , t a m b i é n p u e d e n h a c e r q u e se q u e d e n q u i e t o s . Las estructuras de grandes edificios están bajo la influencia de poderosas fuerzas, sin e m b a r g o , están en reposo. A p a r e n t e m e n t e , se r e q u i e r e más que una simple aplicación de fuerzas para mover un objeto. Si observamos una competencia en que dos equipos tiran de una cuerda, se ejercen grandes fuerzas de cada lado, pero puede la cuerda p e r m a n e c e r en reposo. Podemos decir que las fuerzas se balancean o se anulan. U n f í s i c o d i r í a q u e la c u e r d a e s t a b a en equilibrio. Esto quiere decir, q u e la suma de todas las fuerzas aplicadas a un extremo d e la c u e r d a e s d e i g u a l m a g n i t u d q u e la s u m a d e las f u e r z a s aplicadas a í o t r o lado, a u n q u e ambas tienen direcciones diferentes. T a m b i é n el físico establecerá que la fuerza neta en la cuerda es igual a cero. P o r lo t a n t o , un c u e r p o en e q u i l i b r i o no p u e d e e m p e z a r a m o v e r s e , a m e n o s q u e se a ñ a d a u n a f u e r z a nueva y desbalanceada que rompa el equilibrio. Si c o n o c e m o s p o r s e p a r a d o c a d a u n a d e las f u e r z a s q u e se aplican a un o b j e t o en reposo, p o d e m o s predecir si va a permanecer así. Veamos el siguiente diagrama: Fuerza F2

Fuerza Fi

Equipo 1

Equipo 2

Vamos a s u p o n e r que estas fuerzas, Fi y F2, se miden con toda exactitud y en forma s e p a r a d a . Luego las d i b u j a m o s de nuevo en las direcciones y escalas correctas. Sin embargo, esta vez las pondríamos por los orígenes, como se muestra en la figura siguiente.

Si la punta del segundo vector cae exactamente sobre el origen de la o t r a , e n t o n c e s s a b e m o s q u e los e f e c t o s de a m b a s f u e r z a s se balancean. C o m o a m b a s son iguales y a c t ú a n en d i r e c c i o n e s contrarias, la resultante es cero. C o n c l u s i ó n : Si un o b j e t o p e r m a n e c e en reposo, la suma de las fuerzas que actúan sobre él será igual a cero. El reposo es un ejemplo del estado de equilibrio, pero también en el movimiento uniforme se tiene un e j e m p l o , ya que, t o d a s las f u e r z a s que actúan sobre el objeto, se encuentran balanceadas.

4-2 CONDICIONES DE EQUILIBRIO. Si un c u e r p o está en reposo y permanece en él, se dice que está en equilibrio estático. Si s a b e m o s q u e un c u e r p o está en e q u i l i b r i o estático y, por consiguiente, que tiene aceleración igual a cero, por las leyes de N e w t o n s a b e m o s que la f u e r z a neta que actúa sobre el cuerpo es igual a cero. 1.- a = 0

La aceleración del centro de masa vale cero.

2.- a = 0

La aceleración angular alrededor de un eje f\jo en un marco de referencia inercial vale cera

P u e s t o q u e la f u e r z a n e t a q u e a c t ú a s o b r e un c u e r p o es en g e n e r a l , la s u m a d e v a r i a s f u e r z a s , e s t o p u e d e e s c r i b i r s e de la siguiente forma: £F = 0 Si cada una de las f u e r z a s se resuelve en c o m p o n e n t e s rectangulares a lo l a r g o de d o s e j e s p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e sí x e y, e s t a ecuación vectorial puede escribirse como dos ecuaciones algebráicas.

Fi (deben estar sobrepuestas) F2

2F X = o 2Fy = O Si lo incluimos en tres ejes perpendiculares x, y y z, tendremos: £Fx = 0 SFy = 0 IFZ

4-3 F U E R Z A S C O N C U R R E N T E S . Siempre que las líneas de acción de un conjunto de vectores de fuerza, que actúan sobre un cuerpo, se cortan en un solo punto, se dice que dichos vectores de fuerza son concurrentes. Ejemplol. De un c u e r p o q u e e s t á s o s t e n i d o por dos c a b l e s , c o m o m u e s t r a la f i g . 1, c a l c u l a r el v a l o r d e l a s f u e r z a s en los cables.

= 0

P a r a s i m p l i f i c a r , n o s l i m i t a r e m o s a c o n s i d e r a r o b j e t o s que p u e d e n ser t r a t a d o s c o m o p u n t o s , o b j e t o s a los q u e llamaremos p a r t í c u l a s . Si lo h a c e m o s así, p o d e m o s i g n o r a r d e f o r m a c i o n e s y rotaciones. Si la fuerza neta ejercida sobre una partícula es igual a cero, las l e y e s d e N e w t o n n o s d i c e n q u e la a c e l e r a c i ó n d e la p a r t í c u l a se mueven con velocidad constante. Si la velocidad de una partícula que estaPh' en equilibrio dinámico. Condición 1 marcada anteriormente. Con la condición 2, esto también se cumple cuando trabajamos el movimiento de rotación. De lo expuesto aquí, p o d e m o s notar que el c u e r p o no necesita e s t a r e n r e p o s o p a r a q u e se e n c u e n t r e en e q u i l i b r i o . En otras p a l a b r a s , no se n e c e s i t a la f a l t a de m o v i m i e n t o . Si se p r e s e n t a el movimiento, desde luego éste debe ser uniforme.

Figrl. Solución: P o r las c o n d i c i o n e s d e e q u i l i b r i o en f u e r z a s c o n c u r r e n t e s tenemos: F* = Fi eos 30° - F 2 eos 30° F y = Fi sen 30° + F 2 sen 30° - 90 kg Por lo tanto: F j x 0.866 - F2 x 0.866 = 0 Fi x 0.500 + F 2 x 0.866 - 90

S i v * 0, debe ser constante (tanto en dirección y sentido como en magnitud), y si el cuerpo gira con la velocidad angular w * 0, debe ser constante ( t a n t o en dirección como en sentido y magnitud). Esto será un equilibrio dinámico. Si ÜJ = 0 y v = 0, hablamos de un equilibrio estático.

Si multiplicamos por 0.866 la ecuación (2) y por 0.500 la ec. (1),serán ahora ecuaciones simultáneas y tenemos: Fix0.433-F2x0.433

-

0

F ixO.433 + F 2 X0.433

- 77.94

FixO.866

- 77.94

la fuerza resultante:

F i = 77.94 k g / 0.866 Fi •= 90 kg.

FX = T - W X

Sustituyendo en la ecuación (2), obtenemos: 90 kgxO.SOO + F2X0.500 = 90 45 kg

FR = 2000 kg - 1279.73 kg FR = 720.27 kg.

+ F2x0.500 = 90 90 kg - 45 kg

4-4 FUERZAS NO CONCURRENTES.

F2 0.500 F 2 = 90 kg. x

--__£jemplo 2.

F u e r z a s no e q u i l i b r a d a s . Un p e q u e ñ o a u t o b ú s de 4200 kg. s u b e p o r un p l a n o i n c l i n a d o . Si lleva una t e n s i ó n de 2000 kg. hacia arriba y el plano inclinado tiene una p e n d i e n t e d e 32 % , C u á l s e r á la f u e r z a r e s u l t a n t e q u e lo moverá hacia arriba sin considerar la fricción? Fig. 2.

A n a l i z a n d o un "sube y baja" y dos niños q u e t i e n e n el mismo peso, p u e d e n balancearse si se sientan cerca de los extremos opuestos de la t a b l a . Sin e m b a r g o , si un n i ñ o p e s a d o y o t r o l i g e r o se colocan en los d o s extremos, el p e s a d o hace d e s c e n d e r su lado y el segundo asciende. Para equilibrar el sube y baja, el niño pesado debe moverse h a c i a el c e n t r o . Al p a r e c e r , el e q u i l i b r i o c o n f u e r z a s paralelas incluye no sólo el t a m a ñ o y d i r e c c i ó n de la f u e r z a , sino también su distancia al centro de rotación.

Solución: La ú n i c a f u e r z a q u e c o n t r a - r r e s t a r á a la f u e r z a d e 2000 kg será la c o m p o n e n t e s o b r e el p l a n o i n c l i n a d o del peso del móvil. P a r a calcular necesitamos p r i m e r o el valor del ángulo

Fig.2. del plano inclinado. Fig. 3.

tan 0.32 = 17.74° lo tanto, el valor de W x será: W x = W sen A W x = W sen 17.74° W* = 4200 kg x 0.3047 Fig. 3.

W x = 1279.73 kg.

4-5 CENTRO DE MASAS. El centro d e masas de un c u e r p o dado o de un sistema de cuerpos es un p u n t o tal, q u e p a r a c u a l q u i e r p l a n o q u e p a s e por él, los momentos de las masas a un lado del plano son iguales a los momentos de las masas del otro lado. Momento de la masa es el producto de la masa del cuerpo por el radio de giro. m i n =m2T2

4-6 CENTRO DE GRAVEDAD. U n a de las fuerzas que se encuentran en los problemas de equilibrio es la de la g r a v e d a d . El centro de gravedad se d e f i n e como la posición donde se puede considerar que actúa la gravedad. L o s o b j e t o s p e q u e ñ o s c e r c a n o s a la s u p e r f i c i e d e la Tierra,

E n c o n t r a r el c e n t r o d e masas de dos c u e r p o s mi = 2 g y m2 = 5 g, separados 14 cm. Figura 4. Solución: Por el diagrama tenemos: n + r2 = 14 cm

tenemos:

TI

F g = mg

= 14 cm - n

Sustituyendo en la ecuación (3), tenemos: mi x r i = m2 x r 2

El centro de gravedad y el centro de masas coinciden.

2g x r j = 5g x (14 cm - r j ) Hacerlo inmediatamente.

2g x ri = 70 g-cm - 5g x r j

1.- Calcular el c e n t r o de masas de 2 cuerpos, u n o de 8 kg. y o t r o de 14 kg. s e p a r a d o s 45 cm. {28.64 cm de la masa d e 8 kg. 6 16.36 cm de la de 14 kg.}

7g x ri = 70 g-cm

2.- Calcular el centro de masas de 2 cuerpos, uno de 15 kg y o t r o de 25 kg s e p a r a d o s 80 cm. {50 cm. d e la masa de 15 kg 6 30 cm. de la masa de 25 kg.

ri = 10 cm

n = 70 g-cm / 7 g

12 = 14 cm - 10 cm r2 = 4 cm

El c e n t r o d e m a s a s de d o s c u e r p o s es un p u n t o e n el cual se p u e d e n c o n s i d e r a r c o m o c o n c e n t r a d o s t o d o s los p e s o s . Por esta r a z ó n , e l c e n t r o d e m a s a s e s a m e n u d o l l a m a d o e l c e n t r o de gravedad. En el e j e m p l o 3, podríamos sustituir a los dos cuerpos por uno solo de 7 g de masa situado a 4 cm de la masa de 5 g.

4-7 PARES. C u a n d o varias f u e r z a s actúan sobre un c u e r p o *'