T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

9. TEOREMA DEL SENO - COSENO DISTANCIAS AL AVIÓN Un avión vuela a 700 m de altura y es observado, simultáneamente, por dos individuos A y B, separados 300 m. El ángulo de elevación en que A observa el avión es 13º y el ángulo que forma la visual de A al avión con la recta que una A y B es de 45º. Halla las distancias de A y B al avión.

B 700 m

90º

13º

45º

300 m

A

DIAGONAL CONOCIDO LADO Y ÁNGULOS Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los ángulos formados por este lado y las diagonales miden 30º y 45º. Calcula la longitud de las diagonales y el lado que falta.

DIAGONALES DE UN ROMBOIDE Halla la medida de las diagonales del siguiente paralelogramo:

DIAGONAL DE UN PARALELOGRAMO Calcula los lados, la diagonal AC y el área de la siguiente figura:

ALTURA ESTATUA Una pendiente de 50 m de largo y una inclinación de 13º conduce al pie de una estatua. Calcular la altura de esta sabiendo que desde el inicio de la pendiente, el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 81º. ALTURA DEL AVIÓN Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan entre sí 80 km. Las visuales desde el avión a las ciudades A y B forman ángulos de 29º y 43º, respectivamente con la horizontal. a) ¿A qué altura vuela el avión? b) ¿A qué distancia se encuentra de cada ciudad? Luisa Muñoz

1

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

RADIO DE CIRCUNFERENCIA El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcular el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m. A 25

α

O

P

36 B

PERÍMETRO DE UN CUADRILÁTERO Hallar el perímetro del siguiente cuadrilátero: C 135º

D

30º

5 cm

B 60º

8 cm

A PIRÁMIDE DE KEOPS En la pirámide de Keops, cuadrangular, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cada con A

la base es de 52. Calcular: a) La altura de la pirámide. b) La altura de una cara. c) La arista de una cara

h

d) El ángulo que forma la arista con la base

α O

5

C H 230

B

ENTRE MOLINOS Observa el dibujo: a) ¿Cómo medirías la distancia entre los dos molinos si te encuentras al otro lado de la autopista? b) Calcula esa distancia con los datos que aparecen en el dibujo.

100º 50º

70º 15º

Luisa Muñoz

2

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

DISTANCIAS AL AVIÓN Un avión vuela a 700 m de altura y es observado, simultáneamente, por dos individuos A y B, separados 300 m. El ángulo de elevación en que A observa el avión es 13º y el ángulo que forma la visual de A al avión con la recta que una A y B es de 45º. Halla las distancias de A y B al avión.

B 700 m

90º

13º

45º

300 m

A Solución: O

Empleando el triángulo AOH: 700 700 sen 13º = → OA = = 3111,79 m OA sen 13º

B 700 m

Aplicando el teorema del coseno en el triángulo ABO: 2

2

2

OB = AB + OA – 2 · AB · OA · cos OAB 2

2

90

45º

300

H

2

OB = 3111,79 + 300 – 2 · 3111,79 · 300 · cos 45º

A

OB = 2963,19 m

DIAGONAL CONOCIDO LADO Y ÁNGULOS Un lado de un paralelogramo mide 56 cm y los ángulos formados por este lado y las diagonales miden 30º y 45º. Calcula la longitud de las diagonales y el lado que falta. Solución: a) Longitud de las diagonales: B

C

El ángulo AOD mide : 180º – (45º + 30º) = 105º Sabemos que en un paralelogramo las dos diagonales se cortan en el punto medio, con lo cual el problema se reduce a calcular los lados AO y DO del triángulo AOD.

O

A

45º

30º 56 cm

D

Aplicamos el teorema del seno:

AO 56 OD AO 56 OD = = → = = sen 45º sen 105º sen 30º sen 45º sen 105º sen 30º AO 56 56·sen 45º = → AO = = 41cm → AC = 82 cm sen 45º sen 105º sen 105º OD 56 56·sen 30º = → OD = = 29 cm→ DB = 58 cm sen 30º sen 105º sen 105º

b) Longitud del lado AB: El ángulo AOB mide: 180º – AOD = 180º – 105º = 75º Aplicamos el teorema del coseno: AB = OB + OA – 2 · OB · OA · cos AOB = 29 + 41 – 2 · 29 · 41 · cos 75º = 2096,53 → AB = 43,66 cm 2

2

Luisa Muñoz

2

2

2

3

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

DIAGONALES DE UN ROMBOIDE Halla la medida de las diagonales del siguiente paralelogramo:

Solución Trabajando con el triángulo DBC, calculamos la medida de la diagonal DB: Aplicando el teorema del coseno: 2

2

2

DB = BC + DC – 2 · BC · DC · cos C DB = 6 + 8 – 2 · 6 · 8 · cos 150º = 183, 14 → DB = 13,53 cm 2

2

2

Trabajando con el triángulo ADC, calculamos la medida de la diagonal AC: Aplicando el teorema del coseno: 2

2

2

AC = AD + DC – 2 · AD · DC · cos D AC = 6 + 8 – 2 · 6 · 8 · cos 30º = 16,86 → AC = 4,11 cm 2

2

2

DIAGONAL DE UN PARALELOGRAMO Calcula los lados, la diagonal AC y el área de la siguiente figura:

Solución Trabajando con el triángulo ADB, calculamos la medida de los lados: A = 180º - ( 40º + 15º) = 125º Aplicando el teorema del seno:

125º

AB DB 20 · sen 40º = → AB = = 15,7 cm sen 40º sen 125º sen125º AD DB 20 · sen 15º = → AD = = 6,32 cm sen15º sen 125º sen125º

15º

40º

125º H

Trabajando con el triángulo ADC, calculamos la medida de la diagonal AC: Aplicando el teorema del coseno: 2

2

2

AC = AD + DC – 2 · AD · DC · cos D AC = 6,32 + 15,7 – 2 · 6,32 · 15,7 · cos 55º → AC = 12,14 cm 2

2

2

Trazando al altura correspondiente al vértice A, calculamos la medida de la altura AH: sen 55º =

AH → AH = AD · sen 55º = 5,18 cm AD

Área del triángulo: A =

Luisa Muñoz

1 1 2 DC· AH = ·15,7·5,18 = 81,32 cm 2 2

4

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

ALTURA ESTATUA Una pendiente de 50 m de largo y una inclinación de 13º conduce al pie de una estatua. Calcular la altura de esta sabiendo que desde el inicio de la pendiente, el ángulo de elevación del punto más alto de la estatua es de 81º. Solución Trabajando con el triángulo ABC, calculamos la medida AB: B

C = 81º - 13º = 68º B = 180º - (68º + 103º) = 9º 50 AB 50·sen 68º = → AB = = 296,35 m sen 9º sen 68º sen 9º

103º 50 m

C

La altura es 296,35 m

A

77º

81º 13º

ALTURA DEL AVIÓN Un avión vuela entre dos ciudades A y B que distan entre sí 80 km. Las visuales desde el avión a las ciudades A y B forman ángulos de 29º y 43º, respectivamente con la horizontal. c) ¿A qué altura vuela el avión? d) ¿A qué distancia se encuentra de cada ciudad? 29º

43º h

B

80 km

A

Solución Aplicamos el teorema del seno, para calcular la distancia a cada ciudad: C = 180º - (29º + 43º) = 108º

C

AB AC 80 · sen 43º = → AC = = 57,36 km sen108º sen 43º sen108º h

AB BC 80 · sen 29º = → BC = = 40,78 km sen108º sen 29º sen108º

43º B

29º A

80 km

Para calcular la altura: sen 29º =

Luisa Muñoz

h → h = AC · sen 29º = 27, 81 Km AC

5

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

RADIO DE CIRCUNFERENCIA El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcular el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas por los extremos de una cuerda de longitud 36 m. Solución En una circunferencia, la tangente y el radio que pasa por el punto de contacto son perpendiculares. Aplicando el teorema del coseno en el triángulo AOB, calculamos el ángulo AOB : 2

2

2

A

36 = 25 + 25 – 2 · 25 · 25 · cos AOB cos AOB = -0,0368 → AOB = 92º 6´32´´

25

α

O

Considerando el triángulo rectángulo OAP:

P

36

α AOB = 43º 56´44´´ = 90º − 2 2 B

Por tanto, α = 87º 53´28´´

PERÍMETRO DE UN CUADRILÁTERO Hallar el perímetro del siguiente cuadrilátero: C 135º

D

30º

5 cm

B 60º

8 cm

A Solución Trabajando con el triángulo ADB, calculamos la medida de la diagonal DB: Aplicando el teorema del coseno: 2

2

2

DB = AD + AB – 2 · AD · AB · cos A DB = 5 + 8 – 2 · 5 · 8 · cos 60º = 49 → DB = 7 cm 2

2

2

Trabajando con el triángulo BDC, calculamos la medida de los lados DC Y CB: D = 180º - (C + B) = 180º - 165º = 15º DB DC 7 · sen 15º = → DC = = 2,56 cm → DC = 2,56 cm sen135º sen 15º sen135º DB CB 7 · sen 30º = → CB = = 4,95 cm → CB = 4,95 cm sen135º sen 30º sen135º

Perímetro: 5 + 8 + 2,56 + 4,95 = 20,51 cm

Luisa Muñoz

6

T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

PIRÁMIDE DE KEOPS

En la pirámide de Keops, cuadrangular, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cada con la base es de 52. Calcular: A

1. La altura de la pirámide. 2. La altura de una cara. 3. La arista de una cara 4. El ángulo que forma la arista con la base

h α O

5

C H 230

B

Solución Trabajando con el triángulo OAH, calculamos la altura h y AH: tg52º =

h → h = 115 · tg 52º = 147,19 m 115

cos 52º =

115 115 → AH = = 186,79 m AH cos 52º

Trabajando con el triángulo ABH, calculamos la arista AB : AB = AH + BH = 186,79 + 115 → AB = 219,35 m 2

2

2

2

2

Trabajando con el triángulo OAB, calculamos el ángulo α : sen α =

Luisa Muñoz

OA 147,19 = = 0,671 → α = 42º 8´º 39´´ AB 219,35

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T3: TRIGONOMETRÍA

1º BCT

ENTRE MOLINOS Observa el dibujo: a) ¿Cómo medirías la distancia entre los dos molinos si te encuentras al otro lado de la autopista? b) Calcula esa distancia con los datos que aparecen en el dibujo.

100º 50º

70º

15º

Solución Trabajando con el triángulo OAB, calculamos OA y OB: N

AOB = 180º – 70º – 15º = 95º → NOB = 180º – 95º = 85º M

OB 300 300 · sen 70º = → OB = = 282,98 m sen 70º sen 95º sen 95º

60º 65º

OA 300 300 · sen15º = → OA = = 77,94 m sen15º sen 95º sen 95º

O

85º

95º 100º

Trabajando con el triángulo OAM, calculamos OM:

50º

70º

M = 180º – 30º – 85º = 65º

A

OM 77,94 77,94 · sen 30º = → OM = = 43 m sen 30º sen 65º sen 65º

15º 300 m

B

Trabajando con el triángulo ONB, calculamos ON: N = 180º – 35º – 85º = 60º ON 282,98 282,98 · sen 35º = → ON = = 187,42 m sen 35º sen 60º sen 60º

Trabajando con el triángulo ONM, calculamos MN: 2

2

2

2

2

MN = OM + ON – 2 · OM · ON · cos 95º = 43 + 187,42 – 2· 43· 187,42 · cos 95º =38380,04 MN = 195,91 m

Luisa Muñoz

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