TEMA 3: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES. 3.1 Conceptos de Razón y Proporción. Se define la RAZÓN entre dos números como la fracción que se forma con ellos. Es decir la razón entre a y b es:

a , b

con b ≠ 0 .

De aquí que las fracciones (razones) formen el conjunto de los Números Racionales, Q.

Se define una PROPORCIÓN como la igualdad entre dos razones,

a c = (Fracciones b d

equivalentes). RECORDATORIO: ○ Dos fracciones son equivalentes si sus productos cruzados son iguales. ○ Podemos obtener fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo por un mismo nº , distinto de cero, el numerador y el denominador

ACTIVIDADES 1, 2, 3, 4 DE LA PÁGINA 84.

3.2 Magnitudes Directamente Proporcionales. Dos magnitudes son DIRECTAMENTE PROPORCIONALES si la razón entre sus parejas de valores es constante (no varía). Al resultado de esos cocientes se le llama CONSTANTE DE PROPRCIONALIDAD. Magnitud A a1 a2 a3 … an Magnitud B b1 b2 b3 … bn

a A y B son Directamente Proporcionales si 1 = b1

a2 a3 a = =⋯ n b 2 b3 bn

Como consecuencia de la definición anterior, podemos generar nuevos valores de las magnitudes multiplicando o dividiendo por un mismo número. Magnitud A a 2a 3a a/2 a/3 … Magnitud B b 2b 3b b/2 b/3 …

→ Es evidente que cuando aumentamos los valores de A, también lo hacen los de B, y cuando disminuimos los valores de A también disminuyen los de B. Si A ↑ ⇒ B ↑ Si A ↓ ⇒ B ↓ Ejemplo: Un corredor avanza a 3 m/s. La distancia recorrida según el tiempo es: Tiempo (s)

1

2

3

…

6

…

24

…

Las magnitudes, Tiempo y Distancia, son Directamente

Distancia (m)

3

6

9

…

18

…

72

…

Proporcionales. Su Constante de proporcionalidad es 1/3.

1

MODELOS PARA RESOLVER PROBLEMAS: Luís y Carlos llegan de Nueva York a Madrid. Luís cambia 500 $ y le dan 250 €. A Carlos le dan 900 €. ¿Cuántos $ cambió Carlos? ¿Cuál es el cambio dólar-euros? Es evidente que son magnitudes directamente proporcionales, Si D ↑ entonces E ↑

Primer Método (TABLA): Luís Carlos Cambio Dólares ($)

500

d

1

Euros (€)

250

900

e

500 d 450000 = ⇒ 250d = 500 · 900 ⇒ 250d = 450000 ⇒ d = = 1800 250 900 250 500 1 250 = ⇒ 500e = 250 ⇒ e = = 0.5 250 e 500 Solución: Carlos cambió 1800 $, y el cambio $-€ está a: 1 $ equivale a 0.5 €

Segundo Método (REGLA DE TRES): Dólares

Euros

Luís

500

-----------

250

Carlos

d

-----------

900

Euros Luís

250d = 500 · 900 ⇒ d =

500 · 900 = 1800 250

Dólares

250

-----------

500

e

-----------

1

500e = 250 ⇒ e =

250 = 0.5 500

Solución: Carlos cambió 1800 $, y el cambio $-€ está a: 1 $ equivale a 0.5 €

Tercer Método (REDUCCIÓN A LA UNIDAD): Luís Reducción Dólares ($)

500

d

Euros (€)

250

1

Veamos cuántos dólares son 1 euro:

500 d 500 = ⇒ 250d = 500 ⇒ d = =2 250 1 250 1 € equivale a 2 $. Por tanto Carlos cambió 2 · 900 = 1800 $

ACTIVIDADES 1, 2, 3 DE LA PÁGINA 85.

2

3.3 Magnitudes Inversamente Proporcionales. Dos magnitudes son INVERSAMENTE PROPORCIONALES si el producto entre sus parejas de valores es constante (no varía). Magnitud A a1 a2 a3 … an Magnitud B b1 b2 b3 … bn A y B son Inversamente Proporcionales si a1 · b1 = a 2 · b 2 = a 3 · b 3 = ⋯ = an · bn Como consecuencia de la definición anterior, podemos generar nuevos valores de las magnitudes: teniendo en cuenta que si una magnitud se multiplica por un número, la otra hay que dividirla por ese número y viceversa Magnitud A a 2a 3a a/2 a/3 … Magnitud B b b/2 b/3 2b 3b … → Es evidente que cuando aumentamos los valores de A, disminuyen los de B, y cuando disminuimos los valores de A aumentan los de B. Si A ↑ ⇒ B ↓ Si A ↓ ⇒ B ↑

Ejemplo: Dos trabajadores descargan un camión en 6 horas. La variación del tiempo de descarga según el número de trabajadores es la que sigue: Trabajadores (nº)

1

2

3

4

6

12

Las magnitudes, Trabajadores y Tiempo de descarga, son

Tiempo de descarga (días)

12

6

4

3

2

1

Inversamente Proporcionales. 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4 = 4 · 3 = = 6 · 2 = 12 · 1 = 12

MODELOS PARA RESOLVER PROBLEMAS: Un granjero tiene alfalfa en el almacén para alimentar a sus 3 vacas durante 10 días. ¿Cuánto le duraría el forraje si tuviera 5 vacas? Es evidente que son magnitudes inversamente proporcionales, Si Nº vacas ↑ entonces Nº días ↓

Primer Método (TABLA): Vacas (nº))

3

5

Tiempo (días) 10

t

5t = 3 · 10 ⇒ t =

3 · 10 30 = =6 5 5

Solución: Al granjero le duraría el forraje 6 días.

Segundo Método (REGLA DE TRES INVERSA): Vacas (nº)

Tiempo (días)

3

-----------

10

5

-----------

t

5t = 3 · 10 ⇒ t =

3 · 10 =6 5

Solución: Al granjero le duraría el forraje 6 días.

3

Tercer Método (REDUCCIÓN A LA UNIDAD): 3

1

Veamos cuántos días dura el forraje para una sola vaca:

Tiempo (días) 10

t

1· · t = 3 · 10 ⇒ t = 30

Vacas (nº))

Solución: Para 1 vaca le durará 30 días, entonces si tuviera 5 vacas le duraría 30 : 5 = 6 días

ACTIVIDADES 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 DE LA PÁGINA 89.

3.4 Problemas de Proporcionalidad Compuesta. Consideramos en este epígrafe del tema los problemas donde intervienen más de dos magnitudes proporcionales. Veamos dos modelos de problemas que resolveremos por reducción a la unidad. MODELO 1: Un granjero ha necesitado 294 kg de pienso para alimentar a 15 vacas durante una semana. ¿Cuántos kg. de pienso se necesitarán para alimentar 10 vacas durante 30 días? Es conveniente utilizar la última columna para la magnitud que contiene la incógnita. Vacas Días Pienso (Kg) 15

7

294

10

30

x

294  15 vacas en un día → 7 = 42 kg de pienso (P.Directa)  42 1 vaca en 1 día → = 2.8 kg de pienso (P.Directa)  15 1 vaca en 30 días → 30 · 2.8 = 84 kg de pienso   10 vacas en 30 días → 10 · 84 = 840 kg de pienso. Solución: “Para alimentar 10 vacas durante 30 días son necesarios 840 kg. de pienso”

MODELO 2: Una cuadrilla de albañiles, trabajando 8 horas diarias, construye 400 m2 cuadrados de pared en 15 días. ¿Cuánto tardará la misma cuadrilla en construir 600 m2 de pared, si deciden trabajar 10 horas cada día? Superficie (m2) Horas/día Días 400

8

15

600

10

x 400 m 2 trabajando 1 h/dia → 15 · 8 = 120´días (P.Inversa)  120 1 m 2 trabajando 1h/día → = 0.3 días (P.Directa)  400  2 600 m trabajando 1h/dia → 600 · 0.3 = 180 días  180 = 18 días 600 m 2 trabajando 10h/dia → 10 

Solución: “Para construir 600 m2 de pared, trabajando 10 horas diarias, necesitan 18 días””

4

ACTIVIDADES 1, 2, 3, 4DE LA PÁGINA 91.

3.5 Porcentajes. Cuando se quiere comparar razones con distintos denominadores, se utilizan los porcentajes, porque éstos expresan las razones (fracciones) con el mismo denominador (potencias de base 10). Los más utilizando son los de denominador 100 (TANTOS POR CIENTO). También se pueden usar tanto por 1, tantos por 10, tantos por 1000,… La razón entre cierta cantidad, que reprenda una PARTE, y otra cantidad, que representa su totalidad, TOTAL, se puede expresar en términos de tanto por ciento, %, como sigue: %=

P T

El % saldrá en forma decimal. Es muy fácil expresarlo como fracción de denominador 100

P, representa la parte y T, el total.

Veamos con un ejemplo cómo se aplica en la práctica: De los 180 km de una autopista ya se han construido 63, ¿Qué porcentaje representa?  Parte : 63 km 63 35 ⇒%= = 0.35 =  180 100 Total : 180 km

“Representa un 35 %”

Despejando de la fórmula anterior P y T podremos resolver problemas en los que nos pidan la P parte ó el total. T= P = %·T % Veamos dos ejemplos más: De una autopista en construcción que tendrá una longitud total de 180 km, ya se ha construido el 35 %. ¿Cuántos km hay ya construidos? Total : 180 km   “Ya se han construido 63 km.” ⇒ P = 0.35 · 180 = 63 35  % : 35% = 100 = 0.35 De la nueva autopista en construcción, ya se han completado 63 km, lo que supone un 35 % del total proyectado. ¿Cuál será la longitud de la carretera, una vez finalizada? % : 35% = 0.35 63 “La autopista tendrá una longitud de 180 km.” ⇒T = = 180  0.35  Parte : 63 km

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES. Se define el ÍNDICE DE VARIACIÓN, v, como el número por el que hay que multiplicar cierta CANTIDAD INICIAL, I, para aumentarla o disminuirla porcentualmente y obtener la CANTIDAD FINAL, F.

F = v ·I .

• Para los aumentos:

v = 1+ %

• Para las disminuciones: v = 1 - % 5

De la fórmula anterior podemos deducir: v =

F F o I = , que aplicaremos, según los datos I v

del problema. Veamos algunos ejemplos: Un vinicultor recogió en la campaña pasada 180 toneladas de uva, pero este año espera un 20 % más. ¿Cuántas toneladas espera cosechar este año? I = 180  “Espera cosechar 216 toneladas” ⇒ F = 1.2 · 180 = 216  v = 1 + 0.2 = 1.2 Un vinicultor recogió, el año pasado, 180 toneladas de uva, y este año, 216 toneladas. ¿En que porcentaje ha aumentado su producción?  I = 180 216 “La producción la ha aumentado un 20%” ⇒v = = 1.2 = 1 + 0.2 = 1 + 20%  180 F = 216 ¿Cuál es el coste final de una bicicleta de 620 € que está rebajada un 15 %? v = 1 − 0.15 = 0.85 “La bicicleta rebajada, cuesta 527 €”” ⇒ F = 0.85 · 620 = 527   I = 620 Hemos pagado 527 € por una bicicleta rebajada un 15 %. ¿Cuánto costaba antes de la rebaja? v = 1 − 0.15 = 0.85 527 “La bicicleta costaba 620” ⇒I = = 620  0.85  F = 527

Podemos encadenar sucesivos aumentos y disminuciones, calculando el ÍNDICE DE VARIACIÓN GLOBAL, como el producto de los sucesivos índices de variación. Si cierta cantidad la aumentamos un 15 %, el resultado lo disminuimos un 15 % y por último lo que nos quede lo aumentamos un 10 %; ¿qué variación sufre tal cantidad?  v1 = 1 + 0.15 = 1.15  v 2 = 1 − 0.15 = 0.85 ⇒ v = 1.15 · 0.85 · 1.10 = 1.07525   v 3 = 1 + 0.10 = 1.10

”La cantidad aumenta un 7.525 %”

Un banco ofrece un beneficio anual del 4 %. ¿Qué cantidad nos devolverán si depositamos 750 € durante 3 años? v = 1.04 · 1.04 · 1.04 = (1.04)3 ≈ 1.125 ⇒ F = v · I = 1.125 · 750 = 843.75

”Nos devolverán 843.75 €”

6