TEMA 4: Definiciones Básicas de Probabilidad

ALGUNAS DEFINICIONES Experimento Aleatorio: Proceso que produce uno o varios resultados posibles y que no pueden ser predichos con certeza. Espacio Muestral (S): Conjunto que incluye todos los resultados posibles en un experimento aleatorio, puede ser finito o infinito. Evento: Con los resultados de un experimento se pueden formar conjuntos que se denominan eventos, los cuales están comprendidos dentro del espacio muestral (S) Ejemplo: Se lanza un dado con el interés de observar si el numero que cae en su cara superior es par o impar:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; el conjunto de números enteros del 1 al 6 Evento A= {2, 4, 6} ; el conjunto de numero pares entre 1 y 6 AES

EJEMPLO Experimento Aleatorio: Salida de tres ratas de un laberinto con dos salidas, una izquierda y otra derecha Espacio Muestral: Todas las posibles combinaciones de las salidas que escogen las tres ratas S = [III, IID, IDI, DII, DDI, DID, IDD, DDD]

Evento A: Las tres ratas salen por el mismo lado A= [III, DDD]

AES

EJEMPLO Experimento Aleatorio: Lanzamiento de dos dados Espacio Muestral: Todas las posibles combinaciones de los resultados de ambos lados S = [11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 ]

Evento A: ambos dados caen en el mismo número A= [11, 22, 33, 44, 55, 66] P(A)= ?????

AES

Álgebra de Conjuntos Sean A1 y A2, dos eventos que pertenecen al espacio muestral S. Sobre estos sucesos puedo definir las siguientes operaciones: S S S

A1

1) Unión (U):

A2

Diagrama de Venn

Defino A1 U A2, como un nuevo suceso compuesto por: - Elementos que pertenecen sólo a A1 - Elementos que pertenecen sólo a A2 - Elementos comunes

Álgebra de Conjuntos B) Intersección (n): Defino A1 n A2, como un nuevo evento formado solamente por los elementos comunes de A1 y A2.

Nota: Dos sucesos son excluyentes, incompatibles o disyuntos cuando su intersección es igual al conjunto vacío. A1 n A2 = Ø→ Eventos Excluyentes S S

A1

A2

Álgebra de Conjuntos C) Complemento: Sea A un evento de S: Defino Ac como complemento de A, el cual está formado por todos los elementos del espacio muestral que no pertenecen a A S S

A

Ac

El complemento cumple con las siguientes características:

(A U Ac) = S (A n Ac) = Ø

Álgebra de Conjuntos Propiedades Sean A,B y C tres sucesos del espacio muestral S

1) Conmutativa:

AUB = BUA AnB = BnA

2) Asociativa:

(AUB)UC = AU(BUC) (AnB)nC = An(BnC)

3) Idempotente:

AUA = A AnA = A

4) Simplificación o Absorción: AU(AnB) = A An(AUB) = A

Ejercicios Sea S el espacio muestral formado por el conjunto de numero del 1 al 6 S= {1,2,3,4,5,6} Y sean los eventos A={1,2,3}

B={2,4,6} C{4,5,6} D {1,3,5}

Determine: a) b) c) d) e)

Son A y B, eventos excluyentes Como está conformado AC, BC A U B, A n B, A U (A n B) A n D, A n C, son excluyentes? A n (BUAC)

Conceptos de Probabilidad • Definición: Se define como probabilidad de un Evento a una medida numérica entre 0 y 1 que representa su posibilidad de ocurrencia. • Cuando un experimento aleatorio se repite un gran número de veces, los posibles resultados tienden a presentarse un número muy parecido de veces, lo cual indica que la frecuencia de aparición de cada resultado tiende a estabilizarse, este concepto adquiere el nombre de regularidad estadística Proporcion de caras en n lanzamientos de una moneda

Frecuencia Relativa

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00 1

101

201

301

401

501 n

601

701

801

901

Conceptos de Probabilidad • De esta manera el calculo de probabilidades puede abordarse desde dos enfoques: Probabilidad a priori (Clásica): La teoría de conjuntos brinda las herramientas necesarias para su calculo.

P(A) = Frecuencia Relativa del Evento en su espacio muestral P(A) = nA/ns nA: Número de elementos que componen el evento A nS: Número de elementos que componen el espacio muestral (S) Probabilidad posteriori (Frecuentista): Se repite el experimento un número grande de veces y se observa su frecuencia de ocurrencia.

Conceptos de Probabilidad Definición de Probabilidad: Sea A un evento aleatorio, se define la probabilidad de A como: Numero de veces que ocurre el evento A P(A)= Numero de veces que se repite el experiment o

P(A)=

Numero de Eventos Favorables al evento A Numero Total de Sucesos

Evalué las siguientes probabilidades:

Probabilidad Frecuentista

Probabilidad Clásica

Axiomas de Probabilidad El calculo de probabilidades se fundamenta en la aplicación de los siguientes axiomas:

1) ∀ A ∈ S → 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 2) P ( S ) = 1

3) P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P( A ∩ B) 4) Si A y B son excluyentes → P ( A ∩ B) = 0 P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B )

Axiomas de Probabilidad 5) P( A) = 1 − P( Ac )

6) P ( A ∩ B C ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) = P ( A ∪ B ) − P ( B )

7) P( A ∪ B) = P( A) + P( AC ∩ B)

Ejercicio 1. Se selecciona al azar un alumno de cierta universidad y señalamos como A el evento de que el individuo seleccionado tiene una tarjeta de crédito Visa y como B el evento análogo para una Mastercard. Supongamos que P(A) = 0.5, P(B)= 0.4 y P(AnB) = 0.25

a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga una de las dos tarjetas b) Calcule la probabilidad de que el individuo no tenga tarjeta Visa c) Cual es al probabilidad de que el individuo no tenga ninguna de la dos tarjetas d) describa en términos de A y B el evento de que un sujeto tenga tarjeta visa pero no tenga tarjeta Mastercard, luego evalué esta probabilidad.

2) Sean A, B y C, tres eventos de un espacio muestral S, determine una expresión para el calculo de la siguiente probabilidad P(AUBUC), P(AnBnC) Que sucede con estas probabilidades si A, B y C son eventos mutuamente excluyentes?

Ejercicio 3. Un sistema puede tener tres tipos de defectos A1, A2, A3. Suponga que: P(A1) = 0.12, P(A2) = 0.07, P(A3) = 0.05 P(A1UA2) = 0.13, P(A1UA3)=.14, P(A2UA3)=0.10 P(A1nA2nA3) = 0.01 a) Cual es al probabilidad de que el sistema no tenga el defecto tipo 1? b) Cual es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 al mismo tiempo? c) Cual es la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2, pero que no tenga defecto tipo 3? d) Cual es la probabilidad de que el sistema tenga a lo mas dos de estos defectos?

Ejercicio Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre sí, como se muestra en la figura, donde las probabilidades indican la seguridad de que un componente en particular funcione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de cada componente es independiente del de los demás, ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

METODOS DE CONTEO El enfoque clásico del calculo de probabilidades requiere de un buen manejo de las técnicas de conteo para la valoración de probabilidades: Recordemos: Sea A un evento aleatorio comprendido en un espacio muestral S

P(A) =

A S

# Sucesos favorables al evento A # Sucesos que componen el espacio muestral

Como determino el número de sucesos favorables a A? Como determino el número de sucesos que componen a S?

R / = Técnicas de Conteo

Regla del Producto Si el primer elemento de un par ordenado se puede escoger de entre n1 elementos y el segundo elemento pude ser escogido de entre n2 elementos, entonces el numero de pares que se pueden formar será n1*n2 c1 P1

Diagrama de Arbol

c2 c1

P2

c2 c1

6 opciones

P3

c2

En general, si deseamos formar una r-upla ordenada, en donde cada una de las celdas de esta r-upla puede ser conformada de ni formas (i=1, 2, 3, 4,…r), el numero de formas como puedo conformar la r-upla seria n1*n2*n3*…*nr

PERMUTACIONES Pensemos en una r-upla ordenada formada extrayendo elementos de un conjunto de tamaño n, este tipo de proceso se denomina permutación.

Permutaciones con sustitución: S S

Si un elemento puede ser escogido mas de una vez recibe el nombre de permutaciones con sustitución, y el numero de r-uplas que se pueden formar será

n

r

Lo cual representa que cada uno de los espacios de la r-upla pude ser llenado de n formas. ( _ , _ , _ , _ , _ ... n * n * n * n * n..

,_) *n =

nr

PERMUTACIONES Permutaciones sin sustitución: Si un elemento puede ser escogido solo una vez recibe el nombre de permutaciones sin sustitución, y el numero de r-uplas que se pueden formar será

n! ( n − r )! Lo cual representa que cada uno de los espacios de la r-upla pude ser llenado de la siguiente forma

( _ , _ , _ , _ , _ ... n*(n -1)*(n -2)*(n-3)*(n - 4).. =

,_)

n! * (n –r +1) ( n − r )!

Ejemplos Muestreo con Orden Ejemplo: el numero de resultados que se pueden obtener al lanzar un dado dos veces. S = {(C, C) (C, S) (S,S) (S, C)} S S

n = 2, r = 2

S

= 22 = 4

Ejemplo: El numero de resultados posibles de una lotería de cuatro cifras. El conjunto de resultados es muy grande como para enumerarlo uno por uno, se requiere de un método de conteo.

S

= 104 = 1000

COMBINACIONES Supongamos ahora que cuando conformamos la r-upla, la posición que ocupa cada elemento carece de importancia. Este ordenamiento recibe el nombre de combinación Ejemplo: para nuestro interés la r-upla {4, 2, 3, 1} es igual a {1, 2, 3, 4} Combinaciones sin sustitución:

S S

Si un elemento puede ser escogido solo una vez, el numero de r-uplas diferentes que se pueden formar será

n n!   =  r  r! ( n − r )!

COMBINACIONES Combinaciones con sustitución: Si un elemento puede ser escogido mas de una vez, el número de r-uplas diferentes que se pueden formar será:

 n + r − 1  ( n + r − 1)!   = r  r! ( n − 1)!  Ejemplo: La bodegas de despacho tienen actualmente pedidos de 6 clientes y tan solo dispone de unidades para satisfacer a 3 de los 6 clientes y decide escogerlos aleatoriamente, cual es el espacio muestral de este experimento?

EJERCICIO De cuantas maneras puede darse el resultado de una lotería de 4 cifras si a:

1. No existe restricción sobre su resultado?. 2. No se pude repetir ningún número en el resultado? 2. La primera cifra debe ser el número 1 y las demás pueden ser cualquiera?. 3. La primera cifra es el número 1 y no se repite en el resultado?. 4. Se sabe que el primer número es 1, el segundo 4, y los otros dos números no son ni uno ni cuatro?. 5. El primero o el último número es 1.

EJEMPLO De cuantas maneras se pueden escoger 6 números de un conjunto de 45 si no importa el orden de selección, y si : a) Durante la selección no se repite ningún numero. b) Durante la selección es posible que un numero salga mas de una vez.

PROBABILIDAD CONDICIONAL El conocimiento de información parcial acerca del resultado de un experimento aleatorio, puede ocasionar la modificación de la asignación de probabilidades. Dicho de otra manera, la ocurrencia de un evento B, afecta la probabilidad de ocurrencia de un evento A. En este caso la ocurrencia del evento de A esta condicionada a la ocurrencia de un evento B. Por tanto su probabilidad se denomina condicional y se denota como:

P( A ∩ B) P( A | B) = P(B)

Probabilidad de ocurrencia del evento A cuando se conoce de la Ocurrencia de un evento B.

PROBABILIDAD CONDICIONAL Error Frecuente confundir A condicionado a B, con A intersección B.

En P(A∩B) con respecto a P(S)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)

S espacio muestral

P( A ∩ B) P( A | B) = P(B)

A B

PROBABILIDAD CONDICIONAL Ejemplo 1: Se lanza un dado normal, si el resultado es 6 usted ganara $10.000.000. Cual es la probabilidad que tiene usted de ganar si: a) Desconoce totalmente el resultado. b) El anunciador ya conoce el resultado y le informa que el número que cayo es un número par. c) El anunciador da una nueva pista y dice que el número que cayo es mayor de 2. d) El anunciador informa que el número que cayo es menor que 6

PROBABILIDAD CONDICIONAL Ejemplo 2: Suponga que todos los individuos que tienen un computador personal, 60% obtiene un procesador de palabra, 40% un programa de hoja de calculo, y el 30% no obtiene ninguno de estos programas.

Si se escoge aleatoriamente un individuo y se observa que ha adquirido un programa de hoja de calculo: a) Cual es la probabilidad de que adquiera un procesador de palabra? b) Cual es la probabilidad de que no adquiera un procesador de palabra

INDEPENDENCIA DE EVENTOS DEFINICION: Se dice que dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de alguno no afecta la probabilidad de ocurrencia de otro. Dicho de otra manera: A y B son independientes si:

P ( A | B ) = P ( A)

O Análogamente

P ( B | A) = P ( B )

De lo anterior se deduce que cuando A y B son independientes:

P ( A ∩ B ) = P ( A | B ). P ( B ) = P ( A ) * P ( B )

INDEPENDENCIA DE EVENTOS Ejemplo 1: Considere los siguientes eventos relacionados con el lanzamiento de un dado A: Se observa un número impar B: Se observa un número par C: Se observa un 1 o un 2 a) Son A y B independientes. b) Son A y C independientes Ejemplo 2: Se sabe que el 30% de las lavadoras de cierta compañía requieren de algún servicio mientras están en garantía, y solo el 10% de las secadoras requieren de estos servicios. Cual es al probabilidad de recibir alguna solicitud de garantia.

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. H

M F+

M∩F+ H ∩F+

A ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? Si conocemos la probabilidad de F+ en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de F+:

P(F+) = P(M∩F+) + P(H∩F+)

P( F + ) = P ( M ).P( F + / M ) + P ( H ).P ( F + / H ) =

0,2 x 0,3 +

=

0,13 =13%

0,1 x 0,7

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL Sea S un espacio muestral y A1, A2, A3, An eventos que abarcan todo el espacio muestral (excluyentes) y sea B un evento perteneciente al espacio muestral, entonces n

P(B) =

∑ P[ B | A ] * P[ A ] i

i

i =1

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. Que porcentaje de fumadores hay en el salon declase?

Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A1

A2

Son una colección de sucesos A1, A2, A3, A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.

A3

A4

Divide y vencerás A2

A1

Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.

B B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 ) A3

A4

Nos permite descomponer el problema B en problemas más simples. Creedme . Funciona.

Teorema de la probabilidad total A2

A1

B

A3

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B.

A4

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%. A1= Mujeres

A2 = Hombres F+

Si conocemos la probabilidad de F+ en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos (Hombres y Mujeres), entonces…

M∩F+ H ∩F+ …si ocurre F+, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

P ( H

B. ¿Se alije a un individuo al azar y resulta fumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

/ F

+

) =

P ( H ∩ P ( F

F + )

+

)

P ( H ).P ( F + / H ) P( H / F ) = P( M ).P ( F + / M ) + P( H ).P( F + / H ) +

P (H / F

+

) = 0 . 2 x 0 . 3 / 0 . 13 = 0 . 46

Expresión del problema en forma de árbol 0,1 0,7

Mujer

Fuma

0,9 No fuma

Estudiante 0,2

0,3

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H | F) = 0,3x0,2/P(F) •Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

Fuma

Hombre

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. 0,8 No fuma

•Puede resolver los problemas usando la técnica de vuestra preferencia.

TEOREMA DE BAYES Sea S un espacio muestral y A1, A2, A3, An eventos que abarcan todo el espacio muestral (excluyentes) y sea B un evento perteneciente al espacio muestral, entonces se cumple la relación

P[ Ak | B ] =

P[ B | Ak ] * P[ Ak ] n

∑ P[ B | A ] * P[ A ] i

i

i =1

Ejemplo: Una compañía neumáticos de dos proveedores 1 y 2. El proveedor 1 tiene el antecedente de suministrar llantas con el 10% de defectos, en tanto que el proveedor 2 tiene una tasa de solo el 5% de defectos. Supóngase que el 40% de las existencias actuales vinieron del proveedor 1. se toma una llanta de esa existencia y se encuentra defectuosa. Cual es la probabilidad de que la haya suministrado el proveedor 1.