Tema 8. Funciones vectoriales de variable real.

8.1 Curvas y ecuaciones paramétricas. Cálculo en paramétricas. 8.2 Funciones vectoriales: límite, continuidad, derivación e integración. 8.3 Curvas en coordenadas polares. Anexo: cónicas.

E. U. Politécnica de Sevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Electricidad, Electrónica y Mecánica. Curso 2007-08.

8.1 Curvas en el plano y ecuaciones paramétricas Definición Si x (t ) e y (t ) son funciones continuas de t en un intervalo I , el conjunto de pares ( x, y ), con x = x (t ), y = y (t ) se denomina curva plana C . La variable ⎧ x = x (t ) t se llama parámetro y las ecuaciones ⎨ , se denominan ecuaciones ⎩ y = y (t ) paramétricas de C . Diremos que C es una curva suave si x (t ) e y (t ) son continuas y no se anulan simultáneamente, excepto quizás en los extremos de I .

. Teorema (derivada) Si C es una curva suave dada por las ecuaciones x = x (t ), y = y (t ), entonces la pendiente de C en ( x , y ) es: dy y '(t ) = , siendo x '(t ) ≠ 0. dx x '(t ) Teorema (longitud de arco) Si C es una curva suave dada por las ecuaciones x = x (t ), y = y (t ) que no se corta a sí misma en [t1 , t2 ] (excepto quizás en los puntos terminales), la longitud de C en ese intervalo viene dada por:

s=∫

t2

t1

( x '(t ) ) + ( y '(t ) ) dt 2

2

Teorema (área) Si C es una curva suave dada por las ecuaciones x = x (t ), y = y (t ) para, t1 ≤ t ≤ t2 , siendo y una función de x continua y monótona en [a, b], a = x(t1 ) y b = x(t2 ) el área bajo la curva C viene dada por: b

t2

a

t1

A = ∫ ydx = ∫ y (t ) x '(t )dt

Curvas en paramétricas

x = 2t − 2 sen t y = 2 − 2 cos t

cicloide t ∈ [ −4π , 4π ]

x = sen 3 t

astroide

y = cos3 t

t ∈ [0, 2π ]

x = 1− t y = t 3 − 3t

x = 2t − π sen t y=2-π cos t

t ∈ [ −π , π ]

cicloide prolata t ∈ [ −π , π ]

involuta de un círculo x = 5 cos t − cos 5t y = 5 sen t − sen 5t

epicicloide

x = cos t + t sen t

t ∈ [0, 2π ]

y = sen t − t cos t

t ∈ [0, 6π ]

8.2 Funciones vectoriales: límite, continuidad, derivación e integración. Podemos representar una curva en el plano o en el espacio por medio de una función vectorial. r r r r (t ) = f (t )i + g (t ) j

tiene por gráfica una curva plana C de ecuaciones

⎧ x = f (t ) ⎩ y = g (t )

paramétricas : ⎨

r r r r r (t ) = f (t )i + g (t ) j + h(t )k tiene por gráfica una curva en el espacio C de ⎧ x = f (t ) de ecuaciones paramétricas : ⎪ y = g (t ) ⎨ ⎪ z = h (t ) ⎩

Propiedades: r r r r 1.- lim r (t ) = lim f (t ) i + lim g (t ) j + lim h(t ) k t →a t →a t →a t →a r r r 2.- r es continua en t = a si lim r (t ) = r ( a ). t →a r r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos de I. r 3.-La curva C representada por r se dice que es suave en un intervalo I r si f ', g ' y h ' son continuas en I y r '(t ) ≠ 0 para todo t ∈ I . r r r r 4.- Si f , g y h son derivables entonces r '(t ) = f '(t )i + g '(t ) j + h '(t )k 5.- Si f , g y h son funciones continuas de t en [a, b] entonces r r r r r ( t ) dt = f ( t ) dt ) i + g ( t ) dt j + h ( t ) dt k ∫ ∫ ∫ ∫

∫

b

a

r r b r b r b r (t )dt = ∫ f (t )dt i + ∫ g (t )dt j + ∫ h(t )dt k a

a

a

Propiedades de la derivación: 1.2.3.4.5.6.7.-

r r d (c ⋅ r (t )) = c ⋅ r '(t ) dt r r r d r (r (t ) ± u (t )) = r '(t ) ± u '(t ) dt r r r d ( f (t )u (t )) = f '(t )u (t ) + f (t )u '(t ) dt r r r r d r r (r (t ) u (t )) = r '(t ) u (t ) + r (t ) u '(t ) dt r r r r r d r (r (t ) ∧ u (t )) = r '(t ) ∧ u (t ) + r (t ) ∧ u '(t ) dt r d r r ( f (t )) = r '( f (t )) f '(t ) dt r r r ur Si r (t ) r (t ) = c, entonces r (t ) r '(t ) = 0

Velocidad y aceleración:

r r r r Si x, y , z son funciones de t derivables dos veces y r (t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t )k

los vectores velocidad y aceleración son: r r r r r v (t ) = r '(t ) = x '(t )i + y '(t ) j + z '(t )k ,

r r r r r a (t ) = r ''(t ) = x ''(t )i + y ''(t ) j + z ''(t )k

Teorema

r r r r Si C es una curva suave dada por r (t ) = x (t )i + y (t ) j + z (t )k

en el intervalo [a,b,] la longitud de arco de C en ese intervalo es

s=∫

b

a

b

( x '(t )) + ( y '(t )) + ( z '(t )) dt = ∫ r '(t ) dt 2

2

2

a

Vectores tangente y normal

r Sea C una curva suave dada por r (t ) en un intervalo I, los vectores

unitarios tangente y normal son:

r ur uur r (t ) , N (t ) = T (t ) = r r '(t )

ur T '(t ) . ur T '(t )

Parámetro longitud de arco

r r r r r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k Si C es una curva suave dada por

en el intervalo [a,b,] la función longitud de arco viene dada por:

s (t ) = ∫

t

a

y

( x '(τ ) )

ds(t ) r = r '(t ) dt

2

+ ( y '(τ ) ) + ( z '(τ )) dτ = ∫ 2

2

a

r r '(τ ) dτ

(consecuencia del Teorema fundamental del Cálculo)

Curvatura

ur T '(t ) K= r r '(t ) ur dT K= ds

t

Radio de curvatura

(t, parámetro arbitrario)

R= (s, parámetro longitud de arco)

Nota: el vector aceleración viene dado por: 2 r d 2 s ur ⎛ d s ⎞ uur a (t ) = T + K ⎜ ⎟ N dt 2 ⎝ dt ⎠

r ur at = a T aceleración tangencial

r uur an = a N aceleración normal

1 K

8.3 Curvas en coordenadas polares. eje y

x = r sen θ y = r cos θ

( x, y ) ( r, θ )

r origen

x2 + y 2 = r2

eje polar

θ

tgθ =

polo

y x

eje x

Nota: Todo punto distinto del polo tiene dos representaciones principales ( r, θ )

r ≠ 0 y 0 ≤ θ < 2π

y

Simetrías de la gráfica de r=f(θ)

eje x eje y el origen

( − r, θ + π )

r ≠ 0 y 0 ≤ θ + π < 2π

r=f(θ) no cambia si (r,θ) se sustituye por: ( r , −θ ) ( r, π − θ ) ( r, π + θ )

Teorema (derivada) Si f es una función derivable de θ, entonces la pendiente de la tangente a la gráfica de r=f(θ) en el punto (r,θ) es

⎧ x = f (θ ) cos θ dy dy / dθ dx = , supuesto que ≠ 0, siendo ⎨ , y = f ( )sen θ θ dx dx / dθ dθ ⎩

Nota: Si

dy dx dy dx = 0, y ≠ 0 ⇒ tangente horizontal; si ≠0y = 0 ⇒ tangente vertical. dθ dθ dθ dθ

Curvas en polares

Espiral

r =θ

Caracoles:

r = 3cos θ

θ ∈ [0, π ]

r = b ± a cos θ r = b ± a sen θ

Cardioides: (caracoles con a=b)

r = 12 +sen θ

r = 1 + cos θ

θ ∈ [0, 2π ]

Rosas:

θ ∈ [0, 2π ]

r = a cos nθ o r = a sen nθ

n impar, rosa de n pétalos n par, rosa de 2n pétalos

r = 2 cos 2θ

r = 2 sen 3θ

θ ∈ [0, π ]

Lemniscatas:

r = a (1 ± cos θ ) r = a (1 ± sen θ )

θ ∈ [0, 2π ]

r 2 = a 2 cos 2θ o r 2 = a 2 sen 2θ r 2 = 9 sen 2θ θ ∈ [0, π2 ] U [π , 3 π2 ]

Teorema (área)

Si f es continua y no negativa en el intervalo [α,β], el área de la región limitada por la gráfica de r=f(θ) desde θ = α hasta θ = β es

A=

1 β 2 r dθ ∫ α 2

Demostración: Se considera una partición del intervalo [α,β] θ =β

θ4

r=f(θ)

θ3

α = θ 0 < θ1 < ⋅ ⋅ ⋅ < θ n −1 < θ n = β θ2 θ1

θ =α

A = lim

n

∆ →0 ( n →∞ ) i =1

=

1

∑ 2 ( f (θ ) ) i

2

∆θ

1 β 2 ( ) f θ dθ ( ) ∫ α 2

Teorema (longitud de arco)

Si f es una función cuya derivada es continua en el intervalo [α,β], la longitud de la gráfica de r=f(θ) desde θ = α hasta θ = β es

s=∫

β

α

[ f (θ )]2 + [ f '(θ )]2 dθ

Anexo: Cónicas Parábola: Conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. Distancia de ( x, y ) a (0, p ) = Distancia de ( x, y ) a directriz

x 2 = 4 py

( x − 0) 2 + ( y − p ) 2 = y + p x 2 + y 2 − 2 py + p 2 = y 2 + 2 py + p 2

foco

x 2 = 4 py

(0, p )

directriz

y = −p

Parábola de vértice (0,0) Eje vertical: x2 = 4py Eje horizontal: y2 = 4px

foco (0, p) (p, 0)

Parábolas de vértice (h,k) Eje vertical: (x-h)2 = 4p(y-k) Eje horizontal: (y-k)2 = 4p(x-h)

directriz y = -p x = -p

foco (h, k+p) (h+p,k)

directriz y = k-p x = h-p

Propiedad reflectora La tangente a una parábola en un punto P forma ángulos iguales con: 1.- La recta que pasa por P y el foco. 2.- La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola. α α foco

P

Elipse: Conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

P b

a c

F1

F2

F1

Focos: F1 ( − c, 0), F2 ( c, 0)

P ( x, y ) d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a

F2

x2 y2 + =1 a 2 a 2 − c2

( x + c ) + y + ( x − c ) + y = 2a

b2 = a 2 − c 2

2

2

2

x2 y2 + =1 a 2 b2

Elipse de centro (0,0)

x2 y2 =1 + a 2 b2 x2 y2 =1 + b2 a 2

2

excentricidad: e =

c a

focos

vértices

eje mayor

( − c, 0), ( c, 0)

( − a, 0), ( a, 0)

horizontal

(0, − c ), (0, c )

(0, − a ), (0, a )

vertical

Elipse de centro (h,k)

focos

vértices

eje mayor

( x − h)2 ( y − k )2 + =1 a2 b2 ( x − h)2 ( y − k )2 + =1 b2 a2

( h ± c, k )

(h ± a, k )

horizontal

( h, k ± c )

( h, k ± a )

vertical

Propiedad reflectora La tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales con las rectas que unen P con los dos focos.

P F1

F2

Hipérbola: Conjunto de todos los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

c

b a

P ( x, y ) Focos: F1 ( −c, 0), F2 ( c, 0) d ( P, F1 ) − d ( P, F2 ) = 2a

2

2

x2 y2 − =1 a 2 b2

b2 = c 2 − a 2

Hipérbola de centro (0,0) x2 y2 − =1 a 2 b2

y2 x2 − =1 a 2 b2

x2 y2 − =1 a 2 c2 − a 2

( x + c ) + y − ( x − c ) + y = 2a 2

2

excentricidad: e =

c a

focos

vértices

eje transversal

( ± c, 0)

( ± a, 0)

horizontal

(0, ± c )

(0, ± a )

vertical

Hipérbola de centro (h,k) ( x − h )2 ( y − k )2 − =1 a2 b2 ( y − k )2 ( x − h)2 − =1 a2 b2

focos

vértices

eje transversal

( h ± c, k )

(h ± a, k )

horizontal

(h, k ± c )

(h, k ± a )

vertical eje transversal

Asíntotas

b y = k + ( x − h) a a y = k + ( x − h) b

b y = k − ( x − h) a a y = k − ( x − h) b

horizontal vertical

Nota: clasificación de la cónicas: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

a) Elipse o círculo: B 2 − 4 AC < 0

b) Parábola: B 2 − 4 AC = 0

c) Hipérbola: B 2 − 4 AC > 0

Cónicas en polares Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo (foco) guarda una relación constante e con su distancia a una recta fija (directriz). Si consideramos que uno de los focos está situado en el polo, su ecuación es: 1) 0 < e 1, hipérbola

ed ed r= o r= 1 ± e cos θ 1 ± e sen θ

donde e es la excentricidad y d es distancia del polo a la directriz.

r=

r=

2 1 + sen θ

r=

3 1 + 23 cos θ

1.8 1 − 0.9 cos θ