UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR

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LINEAS DE ESPERA

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LINEAS DE ESPERA

1

Contenido _____________________________

¾Características de un sistema de líneas de espera ¾Características de las llegadas ¾Características de la línea de espera ¾Características del dispositivo de servicio ¾Medida del funcionamiento de las colas ¾Costos de las colas USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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2

Contenido _____________________________

¾Tipos de modelos de colas ¾Modelo A: modelo de cola de canal único y tiempos exponenciales de servicio ¾Modelo B: modelo de cola muticanal ¾Modelo C: modelo de tiempo de servicio constante ¾Modelo D: modelo de población limitada

¾Otros enfoques de las colas ¾Modelos de decisión de colas

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3

Objetivos de aprendizaje _____________________________

Cuando haya completado este capítulo, debe ser capaz de: ¾ Identificar o definir: ¾ Supuestos de los cuatro modelos básicos de líneas de espera

¾ Describir o explicar: ¾ Cómo aplicar los modelos de líneas de espera ¾ Cómo dirigir un análisis económico de colas USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Usted ha estado ahí antes _____________________________

Gracias por esperar. Hola, ... ¿está usted ahí?

‘La otra línea siempre va es más rápida.’ ‘Si usted cambia de línea, la que dejó de utilizar comenzará a ir más rápido que la nueva’. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Sistema de líneas de espera _____________________________

Llegadas

Sistema de servicio Línea de espera

Dispositivo de servicio

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Ejemplos de líneas de espera _____________________________

Situación Banco Consulta del médico Cruce controlado de tráfico Cadena de montaje

Llegadas Servidores Proceso de servicio Clientes Cajero Depósito, etc. Pacientes Doctor Tratamiento Coches

Luz

Piezas de Montaje

Trabajadores

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Paso

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Líneas de espera _____________________________

¾ Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913: ¾ Análisis de los servicios telefónicos.

¾ Área de conocimiento denominada teoría de colas: ¾ Cola es otra denominación para línea de espera.

¾ Problema de decisión: ¾ Equilibrio entre el costo de suministrar un buen servicio y el costo de tiempo de espera de los clientes. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Costos de las líneas de espera _____________________________

Costo l a t o t do a r e n) p s ó i e c o t ra s e o p C o ( o i c rvi e s r o p to s o C Costo del tiempo en cola (clientes)

Óptimo USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

Nivel de servicio LINEAS DE ESPERA

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Terminología de las líneas de espera _____________________________

¾ Cola: línea de espera. ¾ Llegada de clientes: una persona, máquina, pieza, etc. que llega y demanda un servicio. ¾ Disciplina de cola: reglas para determinar el orden en el cual las llegadas (clientes) reciben el servicio. ¾ Canal: número de líneas de espera o unidades de servicio. ¾ Fase: número de pasos a seguir en el servicio. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Características de la llegada _____________________________

ión c a l b o P

Línea de espera

Características de la llegada ♦ Distribución de la llegada: ♦ Poisson ♦ Otras

♦ Patrón de las llegadas: ♦Aleatoria ♦Secuencia conocida

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Dispositivo de servicio

¾ Tamaño de la población: ¾ Limitada ¾ Ilimitada

¾ Comportamiento de las llegadas: ¾ Ponerse a la cola y esperar

a ser servido ¾ Se niegan a colocarse en la cola ¾ Reniegan, abandonan la cola LINEAS DE ESPERA

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Características de las llegadas _____________________________

Origen de las llegadas (población) Tamaño

Ilimitado

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Características de las llegadas _____________________________

Origen de las llegadas (población)

Número fijo de aviones para revisión

Tamaño

Ilimitado

Limitado

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Características de las llegadas _____________________________

Origen de las llegadas (población) Patrón de llegadas

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

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No aleatorio

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Características de las llegadas _____________________________

Origen de las llegadas (población) Patrón de llegadas

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

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No aleatorio

Otros

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Llegadas aleatorias _____________________________

¾Los clientes llegan de forma aleatoria ¾Distribución discreta ¾x es el número de llegadas durante una unidad de tiempo determinada (una hora, un minuto) ¾E{x} = número promedio de llegadas por unidad de tiempo USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Distribución de Poisson _____________________________

¾ Número de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempo: ¾ Ejemplo: número de clientes que llegan en 15minutos. ¾ Media = λ (por ejemplo: 5/hora)

0,6 0,3 0,0

X 0

1

2

3

4

5

λ = 6,0

P(X)

0,6 0,3 0,0

X 0

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λ = 0,5

P(X)

2

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4

6

8

10

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Distribución Poisson _____________________________

¾La función de probabilidad:

P(x = k) =

e

−λ

λ

k

k!

¾La media y la varianza son:

E{x} = λ

Var{x} = λ USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada _____________________________ 0,30

0,25

0,25

0,20

0,20 Probabilidad

Probabilidad

0,30

0.15 0,10 0,05 0,00

0,15 0,10 0,05

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x

λ=2

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λ=4

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Probabilidad de llegada de clientes _____________________________

¾En una instalación de servicio llegan los clientes de acuerdo a una distribución Poisson con una tasa de 4/minuto. ¾¿Cuál es la probabilidad de que al menos un cliente llegue en cualquier intervalo dado de 30 segs.? USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Probabilidad de llegada de clientes _____________________________

λ30 segs = 4 / 2 = 2clientes / 30segs. e −2 2 0 = 0 . 1353 P ( x = 0) = 0!

P{x ≥ 1} = 1 − P{x = 0} = 1 − 0.1353 = 0.8647

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Características de las llegadas _____________________________

Origen de las llegadas (población) Patrón de llegada

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

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No aleatorio

Comportamiento

Paciente

Impaciente

Otros

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Características de las llegadas _____________________________

Origen de las llegadas (población)

Patrón de llegada

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

No aleatorio

Otros

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Comportamiento

Paciente

Impaciente

Rehúsa

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Rehusar _____________________________

Origen de las llegadas ¡La cola era demasiado larga!

Sistema de servicio Línea de espera

Dispositivo de servicio

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Características de las llegadas _____________________________

Origen de las llegadas (población) Patrón de llegada

Tamaño

Ilimitado

Limitado

Aleatorio

Poisson

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No aleatorio

Comportamiento

Paciente

Otros

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Rehúsa

Impaciente Reniega

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Renegar _____________________________

Origen de las llegadas

Sistema de servicios Línea de espera

Dispositivo de servicio

¡Me voy!

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Características de la línea de espera _____________________________

i ón c a l b o P

Línea de espera

Dispositivo de servicio

Características de la línea de espera ♦Tamaño de la cola: ♦ Limitado (Ej. cola de proceso) ♦ Ilimitado (Ej. pedidos de correo)

♦Prioridad del servicio: orden en el cual los clientes seleccionan una cola: ♦ FIFO (First In First Out) o FCFS (First Come First Served) ♦ LIFO (Last In First Out) o LCFS (Last Come First Served) ♦ SIRO (Service in Random Order) ♦ Otros (Prioridad Ej. Trabajos urgentes) USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Características de la línea de espera _____________________________

Línea de espera

Duración

Ilimitada

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Características de la línea de espera _____________________________

Línea de espera

Duración © 1995 Corel Corp.

Ilimitada

Limitada

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Características de la línea de espera _____________________________

Línea de espera

Disciplina de cola

Duración

Ilimitada

Limitada

FIFO (FCFS)

Aleatorio (SIRO)

Prioridad

LIFO (LCFS) USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Características del dispositivo de servicio _____________________________

Dispositivo Línea de espera de servicio Características del dispositivo de servicio

i ón Poblac

♦ Número de canales:

♦ Único (un solo servidor) ♦ Múltiple (varios servidores en paralelo)

♦ Número de fases en el sistema de servicio: ♦ Distribución del tiempo de ♦ Único Múltiple servicio: ♦Exponencial negativo ♦ Otros

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Características del servicio _____________________________

Dispositivo de servicio Configuración Canal único

Multicanal

Fase única

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Atención al cliente aleatoria _____________________________

¾El tiempo de servicio es aleatorio ¾Se modela mediante la distribución exponencial negativa ¾La función de distribución es

f (t ) = µe USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

− µt

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t〉0 33

Distribución exponencial negativa _____________________________

¾ Tiempo de servicio : ¾ Ejemplo: el tiempo de servicio es de 20 minutos. ¾ Tasa de servicio media =µ ¾ Por ejemplo: clientes/hora. ¾ Tiempo de servicio medio = 1/µ USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

Probabilidad t>x

0,4

µ=1 µ=2 µ=3 µ=4

0,3 0,2 0,1 0 0

2

4

6

8

10

x

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Distribución exponencial negativa _____________________________ 0,06 0.06

Tiempo de servicio medio = 1 hora

Probability Probabilidad

0.05 0,05

µ=1 cliente/hora

0,04 0.04 0,03 0.03

Tiempo de servicio medio = 20 minutos

0,02 0.02

µ=3 cliente/hora

0,01 0.01

0

0

30

60 90 120 Service (minutes) Tiempo detime servicio (minutos)

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150

180

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Tiempo de servicio _____________________________

¾Probabilidad

P( x > t ) = e

−µt

¾La media y la varianza

E{t} =

1

µ

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Var{t} =

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1

µ

2

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Tiempo de servicio _____________________________

¾Una máquina de servicio presenta un promedio de una falla cada 40 minutos. ¾Determine el número promedio de fallas en una semana, si el servicio se ofrece 24 horas, los 7 días de la semana. ¾Determine la probabilidad de que la siguiente falla no ocurra dentro de 3 horas. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Tiempo de servicio _____________________________

60 µ= = 1.5 fallas / hora 40

E{ fallas / semana} = 1.5 * 24 * 7 = 252 f / sem

P( x〉 3) = e USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

−1.5*3

= 0.0111

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Recuerde: λ y µ son valores _____________________________

¾ λ = número medio de llegadas por período de Si el tiempo de servicio medio es 15 minutos, entonces µ es tiempo. ¾ Ejemplo: 3 unidades/hora

4 clientes/hora.

¾ µ = número medio de personas o artículos servidos por período de tiempo. ¾ Ejemplo: 4 unidades/hora © 1984-1994 T/Maker Co.

•1/µ = 15 minutos/unidad USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Sistema de un canal, una fase _____________________________

Sistema de servicio Llegadas

Barcos en el mar

Cola

Dispositivo de servicio

Sistema de descarga de barcos Línea de espera de los barcos

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Unidades servidas

Barcos vacíos

Bahía

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Sistema de un canal, multifase _____________________________

Sistema de servicio Llegadas

Autos en el área

Cola

Dispositivo de servicio

Dispositivo de servicio

Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s

Autos en cola Pago

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Unidades servidas

Autos y comida

Recogida

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Sistema multicanal, una fase _____________________________

Sistema de servicio

Llegadas

Cola

Dispositivo de servicio

Unidades servidas

Dispositivo de servicio

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Sistema multicanal, multifase _____________________________

Sistema de servicio

Llegadas

Cola

Dispositivo de servicio

Dispositivo de servicio

Dispositivo de servicio

Dispositivo de servicio

Unidades servidas

Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Definiciones _____________________________

¾Número de clientes en el sistema= n ¾Tasa de llegada nominal de clientes = λ ¾Tasa de llegada efectiva de clientes = λefectiva ¾λ= λefectiva + λpérdida ¾Tasa de salida de clientes = µ ¾ρ = λefectiva / µ suponemos ρk

() λ µ

k+1

donde n es el número de unidades en el sistema.

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Características del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:) _____________________________ ¾ Tipo: sistema multicanal. ¾ Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. ¾ Distribución de llegada: Poisson. ¾ Cola: ilimitada, colas múltiples. ¾ Disciplina de cola: FIFO (FCFS). ¾ Distribución del servicio: exponencial negativa. ¾ Relación: servicio y llegada independientes. ¾ Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:) _____________________________ 1 Probabilidad de que p0 = ⎡ c−1 1 ⎛ λ ⎞n ⎤ 1 ⎛ λ ⎞c cµ haya cero personas o ⎢∑ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + ⎜⎜ ⎟⎟ unidades en el ⎢⎣n=0 n!⎝ µ ⎠ ⎥⎦ c!⎝ µ ⎠ cµ − λ sistema: Número medio de personas o unidades en el sistema: Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema: USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

λµ ⎛⎜ λ µ ⎞⎟

c

λ ⎝ ⎠ Ls = p0 (c − 1)!(cµ − λ ) µ µ ⎛⎜ λ µ ⎞⎟

c

1 ⎝ ⎠ Ws = p0 + (c − 1)!(cµ − λ ) µ LINEAS DE ESPERA

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Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:) _____________________________ Número medio de personas o unidades esperando en la cola para recibir el servicio: Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:

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L q = Ls −

λ µ

Wq = Ws −

1 µ

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Características del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:) _____________________________ ¾ Modelo: sistema de un canal, una fase. ¾ Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. ¾ Distribución de llegada: Poisson. ¾ Cola: ilimitada, una única cola. ¾ Disciplina de cola: FIFO (FCFS). ¾ Distribución del servicio: exponencial negativa. ¾ Relación: llegada y servicio independiente. ¾ Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:) _____________________________ Número medio de personas o unidades esperando para recibir servicio: Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola:

λ2 Lq = 2µ(µ − λ ) Wq =

λ 2µ(µ − λ )

λ Número medio de personas Ls = Lq + µ o unidades en el sistema: Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema: USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

1 Ws = Wq + µ

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Características del modelo de población limitada (M/M/c) : (GD/N/N) _____________________________ ¾ Modelo: sistema de un canal, una fase. ¾ Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega. ¾ Distribución de llegada: Poisson. ¾ Cola: ilimitada, una única cola. ¾ Disciplina de cola: FIFO (FCFS). ¾ Distribución del servicio: exponencial negativa. ¾ Relación: servicio y llegada independientes. ¾ Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Modelos de decisión de colas _____________________________

¾Modelos de costos ¾Modelo de aspiración de nivel Utilizan las medidas de rendimiento desarrolladas para conseguir un balance entre los factores en conflicto: ¾ Nivel de servicio ¾ Espera USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Modelos de costos _____________________________

¾Intentan balancear dos costos en conflicto ¾El costo de ofrecer el servicio ¾El costo de retraso en la oferta del servicio (tiempo de espera del cliente) donde:

ETC (x) = EOC(x) + EWC(x) x= nivel de servicio (medido por µ o por c) ETC = Costo Total esperado por unidad de tiempo EOC = Costo esperado de operación por unidad de tiempo EWC = Costo esperado de espera por unidad de tiempo

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Costos de las líneas de espera _____________________________

Costo por Unidad de tiempo

C) T E ( l a t ) o t C o O d ra (E e ) p n s e ió c o t a s r Co pe o ( io c i v r e s r o p o t Cos Costo del tiempo en cola (clientes) (EWC)

Óptimo USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

Nivel de servicio (x) LINEAS DE ESPERA

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Modelo siguiendo funciones lineales _____________________________

¾Las formas más simples son: EOC(x) = C1 x donde:

EWC(x) = C2 Ls C1 = costo marginal por unidad de x por unidad de tiempo C2 = costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en espera) x = medido por µ o por c

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Modelo de nivel de aspiración _____________________________

¾Trabaja directamente con las medidas de rendimiento arrojadas por el modelo de colas. ¾Se determina el rango aceptable para el nivel de servicio (medido por µ o por c) especificando límites razonables sobre las medidas de rendimiento en conflicto. ¾Estos límites son los niveles de aspiración que se desea lograr. USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Ilustración de nivel de aspiración _____________________________

¾Para el modelo de servidor múltiple: ¾Medidas de desempeño: Ws = tiempo de espera promedio en el sistema X = porcentaje de ociosidad de los servidores c − (Ls − Lq ) ⎛ λ fectiva ⎞ ( c − c) ⎟ *100 X= *100 = *100 = ⎜1 − c

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c

⎜ ⎝

LINEAS DE ESPERA

cµ ⎟⎠

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Ilustración nivel de aspiración _____________________________

¾El modelo se reduce a determinar el número de servidores c tal que

Ws ≤ α

y

X ≤β

donde α y β son los niveles de aspiración especificados por el responsable de las decisiones USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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Gráfico de valores de aspiración _____________________________

¾ Ws y X se grafican en función del nivel de servicio c. ¾Si las dos condiciones no se satisfacen simultáneamente, entonces una o ambas restricciones deben liberarse. Ws

X

Rango aceptable para c

β

α

c USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I

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