VECTORES. BIDIMENSIONAL 1.

Dado los vectores A, B, C, D, E, F y G que se muestran en la figura, determinar el modulo del vector resultante si C = 5N y F = 4N. Rpta. R = 17,35N.

2.

En el primer cuadrante de un sistema de coordenadas XY se encuentra un vector A de 9m de longitud y que hace con el eje +Y un ángulo de 35°. En el segundo cuadrante un vector B de 12m de longitud que hace con el eje –X un ángulo de 27° y en el cuarto cuadrante un vector C de 15m de longitud que hace con el eje –Y un ángulo de 36°. Encontrar: a) La representación de cada vector en dicho sistema de coordenadas. Rpta. A = 5,2 i+7,4 j B = -10,7 i+5,5 j C= 8,8 i -12,1j b) El vector resultante y su magnitud. Rpta. R= 3,3i +0,68 j y 3,36 c) El ángulo que forman los vectores P=A-B y Q=B-C. Rpta. 131,3°

3.

Determinar el modulo del vector resultante de los vectores que se muestran en la figura, si B = 15N y el ángulo entre A y C es 90°. Rpta. 36

4.

Dado los vectores fuerza que se muestran en la figura, determinar el modulo del vector resultante si D = 5N y G = 3N. Rpta. 13,34N

5.

Dado los vectores que se muestran en la figura de módulos F1 = 5N, F2 = 15N y F3 = 10N. Y F1 a) Expresar cada vector en función de los 20° vectores unitarios i y j. F3 30° b) Determinar el vector: 2 (F1 - F2) + F3 c) Determinar el producto: F1• F2 45° X Rpta. a) F1 = 4,33i + 2,5j F2 = 10,61i – 10,61j F2 F3 = -9,4i – 3,42j b) -21,96i + 22,8j

c) 19, 41

6.

Determinar la magnitud del vector resultante de los vectores que se muestran en la figura, si la diagonal del cubo vale 4√ 3 m. Rpta. 4

7.

Dado los vectores A y B, determinar: El vector unitario en el sentido negativo del vector (A -2B). Rpta. j b) El ángulo entre los vectores A y B. Rpta. 44,8°

a)

8.

9.

Y

En la figura se muestra los vectores A, B y C. Si el lado del cuadrado vale 1m. a) Expresar cada vector en función de los vectores unitarios i y j. b) b) Determinar un cuarto vector D tal que A+B-2C = D. Rpta. a) A = 2i+2j B = -3j C = 5i-3j b) D = -8i+5j

Las figuras muestran un rectángulo de lados 3m y 5m y un triangulo equilátero de 25cm de lado. Determinar: a) Los vectores AB, OB, AC y BC. b) Los vectores OF y FG. c) El vector (OF -2FG) Rpta. a) 5 i, 5 i+3 j, -3 j b) 12,5 i +21,7 j y 12,5 i -21,7 j c) -12,5 i + 65 j

A

X B

C

Y(m) A

Y(cm) F B

3 0

5

C X(m) 0

G X(cm)

10.

La figura muestra los vectores A, B y C, que tienen magnitudes A = 4N, C = 2N. Determinar: a) Los vectores A, B y C en términos de los vectores i , j y k . b) El vector D = (A – 2B +C). c) Un vector unitario en la dirección y sentido que D. Rpta. a) A = 3,2i + 2,4j b) 9,2i -7,6j B = -3i + 4j c) 0,77i – 0,64j C = -2j

B = 5N y

11. La figura muestra tres vectores A, B y C, Ubicados en un sistema de coordenadas cartesiano en un plano. Sus direcciones y sus magnitudes, en newtons, se dan en la figura mostrada. Determinar: a) Los vectores A, B y C en términos de los A = 25N Y vectores unitarios i y j b) El vector R = 3A – 2C + B B =15N c) El ángulo que forma el vector A con el vector o o 52 R 39 X d) El vector P = ( A.B )C – 3B 27o C = 12N

Rpta. (a) A = -15.39 i + 19.70 j , B = 11.66 i +9.44 j C = -5.45 i -10.69 j. (b) -45.41 i + 47.16 j (c) 5.87o (d) -70.50i – 98.02 j 12. Los módulos de los vectores que se muestran en la figura son: F1 = 5N, F2 = 10N, F3 = 15N. Determinar:

F2

y

F1

o

37 →

→

→

o

53

→

→

a) F1, F2, F3 en términos de los vectores unitarios i y j →

→

b) El vector 2 F1 + F2 −

x

o

53

→

1 F (1 punto) 2 3 → 

→

 

F3

c) Un vector unitario en la dirección del vector  F1+ F3  Rpta. (a) F1 = 3 i+4 j , F2 = -8 i – 6 j , F3 = 9 i – 12 j (b) -6.5 i + 8 j (c) 0.83i – 0.55 j 13. La figura muestra los vectores A, B y C, que tienen magnitudes: y A = 4N, B =5N y C =2N. Determinar: a) Los vectores A, B y C en términos de los vectores i , j (2p). b) El vector D = 2A +B –C (1p). C c) Un vector unitario en la dirección de B (2p). B 127 Rpta. (a) A = 3.2 i +2.4 j , B = -3i + 4j , C = -2 j o (b) 3.4 i + 10.8 j. (c) -0.6 i + 0.8 j

A 37 o

x

14. Dado los vectores que se muestran en la figura de módulos F1 = 10N y F3 = 20N a) Expresar cada vector en función de los vectores unitarios ˆi y ˆj (2 puntos)



5 2 N , F2 =



b) Determinar el vector 2( F1 − F2 ) c) c) Determinar un vector unitario en la dirección del vector

15.

  F ( 1 + F3 )

La figura muestra los vectores A, B y C, cuyas magnitudes son 50 u, 10 u y 20 u respectivamente. Encontrar: a) El vector S = A + B + C b) El vector R = A ( B. C) – B ( A. C) c) El ángulo que forman los vectores R y S

16. Dado los vectores que se muestran en la figura, en donde el lado del cuadrado vale 1u, determinar a) El vector resultante en función de los vectores i y j. b) El vector unitario en la dirección del vector P =2A + B.

17.

       La figura muestra los vectores A, B, C , D y E . Si los módulos C = E = 5 N , determinar el modulo de la suma de los vectores mostrados.

 B

 A

 C 35°

 D

 E

        Dado los vectores A y B tal que A + B = 2i + 3 j y A − B = 4i + 5 j , determinar:   a) Los vectores A y B (1 pto)    b) Un vector unitario en la dirección y sentido del vector P = A + 2 B

18.

19. Con los vectores de la figura, determinar: a) Los vectores A, B, C y D en términos de los vectores unitarios i, j. (2p) b) S = A + B + C – D (1p) c) (B – C). A (1p) d) Un vector unitario en la dirección de (A + B). (2p)

y

1.5m o 40

C 25

o

1.0m

D 1.5m

20.

A

2.0m

B

19o x

En el plano XY se muestran los vectores A, B, C, y D cuyas magnitudes son todas iguales a 10 unidades. Encontrar:

La representación de cada vector, en términos de los vectores unitarios i, j, en el sistema de coordenadas cartesianas mostrado. (1p) a) El vector: R = 2 A – 2 D + C - B (1p) b) El vector Q = [ (A + B ). ( C + D) ] D. (1p) c) El ángulo entre los vectores R y A. (1p) 21. Dado los vectores A y B que se muestran en la figura y el vector C = 2 i + b j. Determinar: a) Los vectores A y B expresados en términos de los vectores unitarios i y j (1p) b) Un vector unitario en la dirección y sentido de (A + 2 B) (2p) c) El valor de “b” en el vector C, tal que C sea perpendicular al vector (A + 2 B) (2 p)

         Dado los vectores A = 4i + 3 j , B = −3i + 2 j y C = ai − 3 j . Determinar:   a) El producto escalar A • B . (2ptos).  b) El ángulo formado entre A y B . (1pto)   c) El valor de “a” tal que el vector A sea perpendicular al vector C . (1pto)  d) Un vector unitario en la dirección y sentido del vector C . (1pto)

22.

     34. Dado el vector A = −3i + 5 j y los vectores B y C que se muestran en la figura, determinar:     B=50 y a) El vector S = A + B + C . (2 ptos)      b) El vector D = ai + 3 j tal que D ⊥ B (1pto)   • c) El ángulo entre D y A . (1 pto) 32,14

23.

C= 100 0

24.

x

La figura muestra cuatro vectores en el plano XY. D, 12

A, 8

50° 35°

C, 6 B, 10

Encontrar: a) La representación de cada vector en función de los vectores unitarios i y j. (1 punto) b) Hallar el vector P = [(A – B).C] D. (2 puntos) c) El ángulo entre el vector P y el vector D. (1 punto) 25. La figura mostrada, los módulos de los vectores son A = 10u, F = 20 u y el ángulo θ = 37°. Encuentre: (5P).   a) Los vectores A y F     b) El vector R = A + B + C + D   c) El ángulo que forma el vector R con F

VECTORES. TRIDIMENSIONAL 26. Se tienen los vectores: A=-3i+4j–5k

B = 4 i – 6 j + 10 k

Encontrar: a) El vector R = (A.B) (A – B) (1 punto) b) La magnitud y el ángulo que hace el vector R con el eje X (1 punto) c) El ángulo que hacen los vectores R y A. (1,5 punto) d) El ángulo que hacen los vectores A y B. (1 punto)

27. Dado los siguientes vectores: A = -3i + 2j, B = 2i-3j-2k y C = 4j +3k, realizar las siguientes operaciones: a) R = 2A + B –3C y encontrar el ángulo que forma con el eje x. b) S = A – 2B y encontrar el ángulo que forma con el eje y. c) D= R - S d) El ángulo que forman los vectores R y S. Rpta.-a) R = -4i -11j -11k b) S = -7i +8j+4k

28.

29.

c) D= 3i-19j-15k d) θ = 124,8°

Dado los vectores A, B y C que se muestran en la figura, determinar: a) La representación en el sistema de coordenadas cartesianas de loa vectores A, B y C. Z b) El vector R = A + B + C c) El vector unitario en la dirección del vector R. A d) El ángulo formado entre el vector R y el vector 4 D = 4i + 4j + 4k. Rpta. a) A = 4i B= 4j c) C = - 4i + 4k 4 4 b) R = 4j + 4k c) uR = 0,71j +0,71k X B En la figura se muestran un cubo de lado 2u y los vectores A, B y C, determinar: a) El vector S = A + B + C b) El ángulo entre los vectores A y C c) La expresión vectorial de un vector de modulo 30u a lo largo del vector B. Rpta. a) S = 2i +4j +6k b) θ = 54,74° c) 21,2j + 21,2k

C

Y

Z A B C Y X

30.

Se tienen los siguientes puntos en el espacio cuyas coordenadas son P(-1,3,0), Q(0,0,-1), R(2,-3,1) y S(-4,0,1) metros. Encontrar: (Ex. Sust 2003-1) a) El vector A que va desde el punto P a Q. b) El vector B que va desde el punto Q a R. c) El vector C que va desde el punto S a R. d) Realizar la siguiente operación: (A . B) C - 3 (B + C). (A . B) C - 3 (B + C) e) El ángulo que forma el vector (A + B) con el vector C. Rpta. (a) i - 3j – k. (b) 2i - 3j + 2k. (c) 6i - 3j. (d) 30i - 9j – 6k. (e) θ = 37.7º

31.

Se dan los siguientes vectores:

 A = 3iˆ − 2 ˆj − 4kˆ  B = −4iˆ + 3kˆ  C = 3iˆ − kˆ

Encontrar: b) El vector

    R = 3 A − 2( B + 3C )        c) El vector S = ( A • B)C − ( B • C ) A   d) El ángulo entre los vectores R y S .

32. Dado los vectores: A=i–k B=3j–4k C=-3i+2j–4k D=-3k Encontrar: b) El vector P = ((A – B).(B + C)) A (2 puntos). c) Un vector unitario en la dirección de Q = A – B + C – D. (2puntos). d) El ángulo entre los vectores P y C (2 puntos). 33.

    Dado los vectores a y b ; cuyas magnitudes son: a = 3 14 N y b = 13 N   respectivamente. Halle el vector unitario del vector a − b . z (0;0;2

a

y

b (6;4;0 x

34.

En la figura el vector A es de modulo 15 u. Y el vector B su modulo 10 u. Hallar: a) Expresar A y B en forma vectorial. (1 punto) b) El ángulo formado por los vectores A y B. (2 puntos) c) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores A y B. (2 puntos).

35. Dado los vectores: A=4i–4j+4k B=-5i+4k C=-6i–4j+8k Encontrar: a) El vector P = (A.B) C – (B.A) B. (2 puntos) b) El vector Q = (A – B).(B + C) A. (2 puntos) c) El ángulo entre los vectores P y Q. (1 punto) 36. La figura muestra las fuerzas F1= 350 N y F2= 120 N, aplicadas en los vértices del paralelepípedo. Estas siguen las direcciones de las diagonales de las caras. Determine: Z (4 p) a) Los vectores F1 y F2 B C b) El producto escalar F1·F2 F2 A c) El producto vectorial F1× F2 2,0 D 4,0 d) El ángulo que forman F1 y F2 3,0

Y

F1 F

E

X

37. Considerando los vectores mostrados en la figura, determinar: a) A + B + C + D, en términos de los vectores unitarios i, j (2p) b) (A.B)C

(1p)

c) Un vector unitario perpendicular al vector B y en el plano de la figura. (1p)

38.

Los vectores mostrados en la figura se encuentran en el plano XY. Representando los vectores en función de los vectores unitarios i, j realizar las siguientes operaciones.

a) Encontrar el vector: R = 2 (A + B) – 2 (C – D) (1.5 puntos) b) Encontrar el vector: P = (A• C) B + (C• D) A (1.5 puntos) c) El ángulo que hacen los vectores R y P. (1 punto)

  39. Dos vectores F 1 de módulo 60N y F 2 de módulo 40N, actúan en el punto A. Hallar:   a) Los vectores F 1 y F 2 en función de los vectores   unitarios i y j . (2ptos)    b) R = F 1 + F 2 . (1 pto)      c) Un tercer vector F 3 = (ai − 4 j ) N tal que F 3 ⊥ R . (2 ptos)