Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Transformada de Laplace) Julio L´ opez [email protected]

Depto Ingenier´ıa Matem´ atica, Universidad de Chile

Verano 2010, Resumen clases

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Introducci´on

Una transformada integral es una aplicaci´ on que asocia una funci´on f con otra funci´ on, mediante Z T (f (t))(s) = K (t, s)f (t)dt, A

para alguna funci´ on K llamada n´ ucleo y alg´ un rango fijo A de integraci´on. Casos: Si K (s, t) = de Fourier.

e −ist 2π

y rango A = R, entonces tenemos la Transformada

Si K (s, t) = e −st y rango A = (0, ∞), se tiene la Transformada de Laplace.

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Transformada de Laplace

Su aplicaci´ on principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas lineales. Algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales no homog´eneas con coeficientes constantes suelen tener como parte no homog´enea una funci´ on que no es continua, por lo que estos problemas es m´as sencillo cuando se utiliza la Transformada de Laplace. Se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales. Tienen su origen en las limitaciones de la Transformada de Fourier.

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Transformada de Laplace Definici´ on Sea f : [0, ∞) → R. La Transformada de Laplace de f es la funci´on F definida por: Z +∞ F (s) = e −st f (t)dt. (1) 0

El dominio de F es el conjunto de aquellos valores de s, para los cuales esta integral impropia converge. Notaci´ on: L[f ] ´ o L[f (t)]. Se llama abscisa de convergencia o as´ıntota de L[f ] al n´ umero real sc definido por: sc = ´ınf dom(L[f ]). Ejemplos: 1) f (t) = 1, t ≥ 0 ⇒ L[f ](s) = 1s . dom(L[f ]) = (0, ∞). 1 2) f (t) = e at , t ≥ 0, a ∈ C ⇒ L[f ](s) = s−a , domL[f ] = (Re(a), ∞). s 3) f (t) = cos(wt) ⇒ L[f ](s) = s 2 +w 2 , s > 0. w 4) f (t) = sen(wt) ⇒ L[f ](s) = s 2 +w 2 , s > 0. Julio L´ opez

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Transformada de Laplace

Propiedad 1(Linealidad) Sea λ ∈ R. Si f , g : [0, ∞) → R son tales que L[f ](s) y L[g ](s) existan. Entonces L[f + λg ](s) = L[f ](s) + λL[g ](s).

Ejemplo: 1) f (t) = cosh(t) ⇒ L[f ](s) = 2) f (t) = senh(t) ⇒ L[f ](s) =

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s . s 2 −1 1 . s 2 −1

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Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace La integral que define la Transformada de Laplace no converge necesariamente. 2

Por ejemplo L[1/t] ni L[e t ] existen. Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de L[f ] sobre f son continua a trozos orden exponencial Definici´ on (Discontinuidad de Salto) f : (a, b) → R tiene una discontinuidad de salto en t0 ∈ (a, b) si f es discontinua en t0 y los l´ımites por la derecha e izquierda de f existen y son finitos. Ejemplo:  f (t) =

t t2 11

−2

, 03

es continua a trozos. 2) f (t) = t − [|t|], 0 < t < 1 extendida periodicamente a [0, +∞) con per´ıodo 1, es continua a trozos. 3)  1/t , t 6= 0 f (t) = 0 , t=0 no es continua a trozos. Julio L´ opez

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Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace Definici´on Sea f : [0, ∞) → R, f es de orden exponencial si existen α ∈ R y t0 , M > 0 tal que |f (t)| ≤ Me αt , ∀t > t0 . Al menor de tales α se le llama orden exponencial de f . Ejemplos: 1) f (t) = t es de orden exponencial α = 1. 2) f (t) = e −t es de orden exponencial α = 1. 3) f (t) = e 5t sen(2t) es de orden exponencial α = 5. 2 4) f (t) = e t no es orden exponencial. Cα = {f : [0, ∞) → R : f continua a trozos y de orden exponencial α} Cα es espacio vectorial. Teorema Si f ∈ Cα entonces para todo s > α, existe L[f ]. Adem´as, l´ıms→∞ L[f ](s) = 0. Julio L´ opez

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Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace Las condiciones para f no son necesarias para la existencia de L[f ], i.e, existen funciones que no satisfacen las hip´ otesis del Teor., y en cambio poseen Transformada de Laplace. Por ejm. f (t) = t −1/2 no es continua a trozos para t ≥ 0, pero su TL existe. Ejemplo: Considerar la funci´ on   0 2 f (t) =  0

, 0 0) si f (t + T ) = f (t), ∀t ∈ R. Teorema 9 Sea f ∈ Cα y peri´ odica con per´ıodo T . Entonces 1 L[f (t)](s) = 1 − e −sT

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Z

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T

e −st f (t)dt.

0

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Ejemplos:Transformada de Laplace Ejemplo 1: Resolver f (t) = 3t 2 − e −t −

Rt 0

f (θ)e t−θ dθ.

Aplicando transformada de Laplace nos resulta: Z t L(f ) = 3L(t 2 ) − L(e −t ) − L( f (θ)e t−θ dθ) 0

3L(t 2 ) − L(e −t ) − L(f (t) ∗ e t ) 1 6 1 1 6 = − − L(f (t))L(e t ) = 3 − − L(f (t)) s3 s +1 s s +1 s −1

=

el cual es equivalente a: L(f ) =

6 6 1 2 − 4+ − . 3 s s s s +1

Aplicando transformada inversa: f (t) = 3t 2 − t 3 + 1 − 2e −t . Julio L´ opez

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Ejemplos:Transformada de Laplace Ejemplo 2:  Resolver el problema

y 00 + 2ty 0 − 4y = 1 . y (0) = y 0 (0) = 0 n

d Recordar la propiedad: L(t n f (t)) = (−1)n ds n L(f ). Aplicando transformada de Laplace nos resulta:

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

L(y 00 ) + 2L(ty 0 ) − 4L(y ) = L(1) d 1 (s 2 Y (s) − sy (0) − y 0 (0)) − 2 L(y 0 ) − 4Y (s) = ds s d 1 s 2 Y (s) − 2 (sY (s) − y (0)) − 4Y (s) = ds s 1 s 2 Y (s) − 2(Y (s) + sY 0 (s)) − 4Y (s) = s 3 s 1 0 Y (s) + ( − )Y (s) = − 2 (ED lineal 1er orden en s) s 2 2s

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Ejemplos:Transformada de Laplace La soluci´ on de la ED es: Y (s) =

1 C s2 + 3e 4 , 3 s s

C ∈ R.

Recordar que l´ıms→∞ Y (s) = 0, esto es posible siempre y cuando C = 0. 2 Por tanto, Y (s) = s13 . Luego y (t) = t2 . Ejemplo 3:  Resolver el problema

ty 00 + 4y = 0 . y (0) = 0

Aplicando transformada de Laplace nos resulta: L(ty 00 ) + L(y ) = 0 d ⇔ − L(y 00 ) + Y (s) = 0 ds d ⇔ − (s 2 Y (s) − sy (0) − y 0 (0)) + Y (s) = 0 ds ⇔ (2sY (s) + s 2 Y 0 (s)) − Y (s) = 0 (ED a variables separables) Julio L´ opez

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Ejemplos:Transformada de Laplace Esta ED tiene por soluci´ on: Y (s) = C s12 e −1/s . 2 3 n x Recordar: e = 1 + x + x2 + x3! + . . . + xn! + . . ., entonces   1 1 1 1 1 1 (−1)n 1 Y (s) = C 2 1 − + − + . . . + + . . . s s 2 s2 3! s 3 n! s n   1 1 1 1 1 1 (−1)n 1 = C − + − + . . . + + . . . s2 s3 2 s4 3! s 5 n! s n+2 por lo que y (t) = C (t −

1 t3 1 t4 (−1)n t n+1 t2 + − + ... + + . . .). 2! 2 3! 3! 4! n! (n + 1)!

Ejemplo 4: x10 (t) = a11 x1 + a12 x2 + b1 (t) para x20 (t) = a21 x1 + a22 x2 + b2 (t) t > 0, mediante transformada de Laplace 

Resolver el sistema de 1er orden

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Ejemplos:Transformada de Laplace Sean X1 (s) = L(x1 (t)), X2 (s) = L(x2 (t)), B1 (s) = L(b1 (t)) y B2 (s) = L(b2 (t)) las transformadas de Laplace de x1 (t), x2 (t), B1 (t) y B2 (t), respectivamente. Entonces, al aplicar TL: sX1 (s) − x1 (0)

= a11 X1 (s) + a12 X2 (s) + B1 (s)

sX2 (s) − x2 (0)

= a21 X1 (s) + a22 X2 (s) + B2 (s)

de donde (s − a11 )X1 (s) − a12 X2 (s)

=

B1 (s) + x1 (0)

−a21 X1 (s) + (s − a22 )X2 (s)

=

B2 (s) + x2 (0)

Entonces, X1 (s) y X2 (s) pueden ser encontradas con la regla de Cramer: B1 (s) + x1 (0) −a12 s − a11 B1 (s) + x1 (0) −a21 B2 (s) + x2 (0) s − a22 B2 (s) + x2 (0) ; X2 (s) = X1 (s) = s − a11 −a12 −a12 s − a11 −a21 −a21 s − a22 s − a22 Julio L´ opez

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Ejemplos:Transformada de Laplace Ejemplo 5:  Resolver el sistema de 1er orden

x10 (t) = x1 − x2 + e t cos(t) , con x20 (t) = x1 + x2 + e t sen(t)

x1 (0) = x2 (0) = 0. s−1 1 t Notemos que L(e t cos(t)) = (s−1) 2 +1 y L(e sen(t)) = (s−1)2 +1 . Usando lo anterior, deducimos que s−1 1 (s−1)2 +1 1 (s−1)2 1 s −1 (s−1) 2 +1 (s − 1)2 − 1 (s−1)2 +1 − (s−1)2 +1 = = X1 (s) = 2 (s − 1) + 1 ((s − 1)2 + 1)2 1 s −1 −1 s − 1

s −1 −1 X2 (s) = s −1 −1

s−1 (s−1)2 +1 1 (s−1)2 +1

1 s −1



=

s−1 (s−1)2 +1

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(s −

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s−1 (s−1)2 +1 1)2 + 1

+

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=

2(s − 1) ((s − 1)2 + 1)2

Ejemplos:Transformada de Laplace Calculando las inversas:   2   s −1 (s − 1)2 − 1 t −1 = e L x1 (t) = L−1 ((s − 1)2 + 1)2 (s 2 + 1)2   d s s = e t L−1 (− ) = e t tL−1 ( 2 ) = te t cos(t). ds s 2 + 1 s +1 De forma an´aloga: 

   2(s − 1) 2s t −1 x2 (t) = L =e L ((s − 1)2 + 1)2 (s 2 + 1)2   d 1 1 = e t L−1 (− 2 ) = e t tL−1 ( 2 ) = te t sen(t). ds s + 1 s +1  t  te cos(t) Por tanto, la soluci´ on del sistema es: x(t) = . te t sen(t) −1

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La delta de Dirac En muchos sistemas mec´anicos, el´ectricos, etc., act´ uan fuerzas externas muy grandes en un intervalo corto de tiempo, por ejemplo, un golpe de un martillo, un rel´ampago en un sistema el´ectrico. Definici´ on La funci´ on impulso unitario es definido por:  1 , |t| ≤ t0 2t0 δt0 (t) = 0 , |t| > t0 con t0 ∈ R+ . La funci´ on trasladada es:  δt0 (t − a) =

1 2t0

0

, |t − a| ≤ t0 , |t − a| > t0

con t0 , a ∈ R+ . R∞ st0 −e −st0 Propiedad: −∞ δt0 (t − a)dt = 1, L(δt0 (t − a))(s) = e −as ( e 2t ). 0s Julio L´ opez

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La delta de Dirac Definici´ on La delta de Dirac es definido por el l´ımite δ(t − a) = l´ım δt0 (t − a). t0 →0

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La delta de Dirac Propiedades:  δ(t − a) = Z

0 , t 6= a +∞ , t = a

∞

δ(t − a)dt = 1. −∞

Sea f una funci´ on continua en R, entonces Z a+t0 Z ∞ 1 f (t)dt f (t)δt0 (t − a)dt = 2t0 a−t0 −∞ 1 2t0 f (c) = f (c) = 2t0

TVM para integrales

con c ∈ (a − t0 , a + t0 ). Haciendo t0 → 0 tenemos que c → a y por continuidad de f , f (c) → f (a) cuando t0 → 0. Por tanto, Z ∞ Z ∞ f (t)δ(t − a) = l´ım f (t)δt0 (t − a) = f (a). −∞

t0 →0

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−∞

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Transformada de la delta de Dirac

Z L(δ(t − a))(s) =

∞

e −st δ(t − a)dt =

Z

∞

e −st δ(t − a)dt = e −as .

−∞

0

Caso particular: L(δ(t))(s) = 1. Observaci´ on: Notamos que la transformada de Laplace no cumple que debe de tender a cero cuando s → +∞, esto nos indica que la delta de Dirac no es de orden exponencial. Esto sucede pues esta funci´on no es funci´ on ordinaria. Propiedad Z

t

 δ(u − a)du =

−∞

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0 1

, ta

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