Story Transcript
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
2
Lecci´ on 1
Introducci´ on a las ecuaciones diferenciales
1.1.
1.1.1.
Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´ıa Ley de enfriamiento de Newton
Ecuaciones diferenciales aparecen muy frecuentemente en los modelos matem´aticos que su usan en las ciencias aplicadas y en la ingenier´ıa.
4
Ecuaciones diferenciales ordinarias A modo de ejemplo consideremos la siguiente situaci´on:
Figura 1.1: Ley de Enfriamiento de Newton
Ejemplo 1.1 Supongamos que queremos conocer la evoluci´on, a lo largo del tiempo, de la temperatura de una barra met´alica que ha sido calentada hasta una cierta temperatura y depositada en un habit´aculo cerrado que se mantiene constantemente a una temperatura constante Ta tal y como muestra la Figura 1.1. Podemos pensar que la temperatura de dicho objeto depende de la diferencia de la temperatura del propio objeto y la temperatura ambiente (la del habit´aculo). Si la barra de hierro est´a muy caliente y el habit´aculo muy fr´ıo la p´erdida de calor de la barra ser´a muy r´apida; si por el contrario las temperaturas de la barra y del habit´aculo son casi iguales, la barra perder´a calor muy lentamente.
Esto es lo que se deduce precisamente la ley de enfriamiento de Newton: Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, la variaci´on en el tiempo del calor transferido hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducci´ on, convecci´on y/o radiaci´on es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo y a la superficie del cuerpo. ¿C´omo podemos expresar esta ley matem´aticamente?. Si Q(t) representa la cantidad de calor del objeto en el instante t ¿qu´e concepto matem´atico nos da una idea de la variaci´on del calor; es decir de la variaci´on de la funci´on Q?. No es otro sino el de derivada. En efecto, sabemos que la derivada de una funci´on en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto a la curva que representa dicha funci´on. Si la pendiente es grande la funci´on crece muy r´apidamente, y si es peque˜ na la funci´on apenas crece. As´ı pues, la derivada de una funci´on en un punto mide la variaci´on de la funci´on en dicho punto y, aplicando esto a nuestro caso, la variaci´on de la funci´on calor, Q(t), en cada instante t es Q0 (t) = dQ . La ley de enfriamiento de Newton se dt expresa, entonces, mediante la f´ormula dQ = αA(T − Ta ) dt donde α es el coeficiente de transmisi´on (o intercambio) de calor y A el ´area del cuerpo. Por otra parte, si se transfiere una peque˜ na cantidad de calor, dQ, entre un sistema (en nuestro caso la barra de hierro) de masa m y su entorno y el sistema experimenta una peque˜ na variaci´on de temperatura, dT , entonces se define la capacidad calor´ıfica espec´ıfica, c, del sistema (tambi´en llamada calor espec´ıfico) como c=
1 dQ m dT
1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´ıa
5
o, equivalentemente, dQ = mc dT. As´ı pues mc
dT = αA(T − Ta ), dt
o m´as simplificadamente: dT = k(T (t) − Ta ) dt siendo k =
(1.1)
αA una constante asociada al material y superficie de que est´a hecha la barra. mc
Vemos de esta forma que la variaci´on de la temperatura del objeto es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas del objeto y el medio ambiente; ley que concuerda completamente con nuestra intuici´on y experiencia. La ecuaci´on (1.1) es nuestro primer ejemplo de una ecuaci´on diferencial: es una ecuaci´on en la que aparece una funci´on inc´ognita T (t) y su derivada T 0 (t). Aunque no es el caso de la ecuaci´on (1.1), en las ecuaciones diferenciales tambi´en puede aparecer la variable independiente. As´ı pues, un ecuaci´on diferencial es una ecuaci´on que relaciona una funci´on, que es la inc´ognita, la variable o variables independientes y la derivada o derivadas de la funci´ on. Alguno de estos objetos: las variables independientes o la funci´on inc´ognita, pueden no estar presentes en la ecuaci´on diferencial. As´ı por ejemplo: x0 (t) = 3 o x0 − 3 = 0 exp(t) − x0 (t) = 1 o et − x0 − 1 = 0 x00 (t) − x + t2 = 0 o x00 − x + t2 = 0 son ecuaciones diferenciales. Asociada a cada ecuaci´on diferencial hay varios adjetivos que describen su tipo. En particular, la ecuaci´on 1.1 es una ecuaci´on de primer orden porque contiene s´olo primeras derivadas de la funci´on inc´ognita (tambi´en llamada variable dependiente) y es una ecuaci´ on diferencial ordinaria porque no contiene derivadas parciales. Cuando la funci´on inc´ognita depende de m´as de una variable y en la ecuaci´on aparecen las derivadas parciales, la ecuaci´on ¨ diferencial correspondiente recibe el nombre de ecuaci´on en derivadas parciales. Estas son las m´as comunes en las aplicaciones, pero su estudio est´a m´as all´a del alcance de este corto curso. En general el orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de la derivada de mayor orden presente en la ecuaci´on. As´ı si x(j) (t) representa la j-´esima derivada de la funci´on x(t), y de acuerdo con la definici´on que hemos dado de una ecuaci´on diferencial ordinaria, la forma general de una ecuaci´on diferencial de orden n es: F (t, x(t), x0 (t), x00 (t), . . . , x(n) (t)) = 0.
6
Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer, segundo y tercer orden son las siguientes: dx + x(t) = kt (i) Primer Orden dt 00 (ii) Segundo Orden x (t) + x(t)x0 (t) − kt2 = 0 (iii) Tercer Orden x000 (t) + ax00 (t) + b(x(t))2 = 2t + 3.
Para cada una de estas ecuaciones las funciones F (t, x(t), x0 (t), x00 (t), . . . , x(n) (t)) ser´ıan las siguientes: (i) F (t, x(t), x0 (t)) = x0 (t) + x(t) − kt = 0 (ii) F (t, x(t), x0 (t), x00 (t)) = x00 (t) + x(t)x0 (t) − kt2 = 0 (iii) F (t, x(t), x0 (t), x00 (t), x000 (t) = x000 (t) + ax00 (t) + b(x(t))2 ) − 2t − 3 = 0. Por otra parte, a fin de abreviar la notaci´on y puesto que suele ser claro cu´al es la funci´on y cu´al la variable independiente, se omite la dependencia de la primera respecto de la segunda. As´ı x2 y 000 (x) + ey(x) y 0 (x) + sen(y(x)) = x + cos(x), x2 y 000 + ey y 0 + sen(y) = x + cos(x), (1.2) t2 x000 (t) + ex(t) x0 (t) + sen(x(t)) − t − cos(t) = 0 y t2 x000 + ex x0 + sen(x) = t + cos(t) son formas diferentes de expresar la misma ecuaci´on diferencial. Antes de proseguir conviene hacer algunas observaciones acerca de la notaci´on. Muchas de las ecuaciones diferenciales ordinarias que sirven como modelos de problemas reales tienen que ver con procesos que discurren a largo de un per´ıodo de tiempo. Es por eso que, por lo general, la variable independiente se designar´a por t, y la variable dependiente (o funci´on inc´ognita) por x. No obstante, en muchos textos (y tambi´en aqu´ı en algunas ocasiones) se representa con x la variable independiente y con y la dependiente.
1.1.2.
Flujo calor´ıfico radial
De todas formas, cuando una ecuaci´on diferencial surge en el estudio de un problema real, lo habitual es designar a las variables con letras significativas que nos recuerden los objetos que se est´an estudiando. Esto es lo que hicimos en el ejemplo del estudio de la variaci´on de la temperatura de la barra. En esa situaci´on la funci´on inc´ognita la designamos con la letra T , por ser la temperatura el objeto de estudio, y por ser el tiempo la variable independiente, la designamos por t. Un ejemplo en el que la variable independiente no es el tiempo es el de la transmisi´on radial de calor a trav´es de un conductor cil´ındrico: Una tuber´ıa cil´ındrica de longitud L est´a compuesta de dos superficies met´alicas y un material separador entre ellas (una secci´on
1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´ıa
7
b
r
a T1 T2
Figura 1.2: Flujo radial de calor a trav´es de una tuber´ıa cil´ındrica. transversal de la misma se representa en la Figura 1.2). Por el interior de la tuber´ıa circula aire caliente de modo que la pared interior de la tuber´ıa se mantiene a una temperatura constante igual a T1 . La parte exterior de la misma tambi´en se mantiene a una temperatura constante T2 . Suponemos que T1 ≥ T2 y se pretende estimar la distribuci´on de temperatura en el interior del material separador. Para llegar a una ecuaci´on matem´atica (el modelo matem´atico del problema real) vamos a hacer algunas suposiciones (simplificaciones del fen´omeno real) bastante naturales en nuestro problema: la temperatura en cada punto de la tuber´ıa se mantiene constante a lo largo del tiempo (la tuber´ıa est´a en estado estacionario) y el flujo de calor es radial; es decir, el calor se propaga perpendiculamente a las paredes de la tuber´ıa de la que tiene una mayor temperatura a la que tiene una temperatura menor (tal y como muestran las flechas gruesas de la Figura 1.2). Ahora debemos aplicar un modelo f´ısico. En este caso, aplicamos la Ley de Fourier del calor: La corriente calor´ıfica (o flujo de calor) que pasa por una secci´on de una superficie perpendicular a la trayectoria del calor (por unidad de tiempo) es directamente proporcional al ´area de dicha secci´on y a la variaci´on de la temperatura respecto a la distancia de la secci´on al foco de calor. Es decir, si H representa el flujo calor´ıfico en todos los puntos de la superficie separadora que est´an a una distancia r del eje central de la tuber´ıa, T la temperatura en esos puntos y A el ´area de la secci´on longitudinal de la tuber´ıa (que ser´ıa un cilindro) a una distancia r del eje, entonces: dT H = −kA . (1.3) dr siendo k una constante positiva denominada conductividad t´ermica del material. El signo − se debe a que el flujo de calor es, como hemos dicho, en la direcci´on en la que disminuye la
8
Ecuaciones diferenciales ordinarias
temperatura. Las unidades de H son energ´ıa por unidad de tiempo (o potencia); en unidades del sistema internacional la unidad de H ser´ıa 1 J/s. Y en este mismo sistema la unidad de k ser´ıa 1 J · (s· m · Co )−1 . Ahora bien, como estamos suponiendo que la tuber´ıa est´a en estado estacionario, no hay variaci´on de la energ´ıa calor´ıfica en el tiempo. Por lo tanto, H, el flujo total de calor, es el mismo atrav´es de cualquier superficie que rodea el tubo (como la del cilindro imaginario de radio r de la la figura). As´ı pues, la ecuaci´on (1.3) da lugar a la siguiente ecuaci´on diferencial (recu´erdese que el ´area lateral de un cilindro de radio r y altura L es 2πrL): dT H 1 =− dr 2πkL r
(1.4)
donde H, k y L son constantes. N´otese que, en efecto, los s´ımbolos que se usan para designar los objetos que aparecen en la ecuaci´on est´an directamente relacionados con su significado f´ısico, pero que la ecuaci´on (1.4) y, digamos, a y0 = x a son exactamente la misma. En otras palabras, si supi´eramos resolver la ecuaci´on y 0 = x sabr´ıamos resolver la ecuaci´on (1.4).
1.1.3.
Un problema de cin´ etica qu´ımica
Como un tercer ejemplo significativo del empleo de las ecuaciones diferenciales en la ingenier´ıa qu´ımica presentamos el siguiente ejemplo de cin´etica qu´ımica: Problema 1.1 Se combinan 260 gr. de CH3 COOC2 H5 (acetato et´ılico) con 175 gr. de N aOH (hidr´oxido de sodio) en una soluci´on acuosa de V litros para producir CH3 COON a (acetato de sodio) y C2 H5 OH (alcohol et´ılico) tomando la reacci´on: CH3 COOC2 H5 + N aOH −→ CH3 COON a + C2 H5 OH
(1.5)
como irreversible. Al cabo de 10 minutos se han formado 60 gr. de acetato de sodio. Se quiere saber la cantidad de acetato de sodio y de alcohol et´ılico que habr´a al cabo de media hora. O, en general, se pretende conocer la evoluci´on de la cantidad de estas sustancias que se va formando. Vamos a llamar A al acetato et´ılico, B al hidr´oxido de sodio, C al acetato de sodio y D al alcohol et´ılico. La reacci´on irreversible (1.5) se escribe esquem´aticamente: A+B =C +D
1.1 Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingenier´ıa
9
y significa que una mol´ecula de A se combina con una mol´ecula de B para producir una mol´ecula de C y una de D. En cin´etica qu´ımica, a las reacciones representadas mediante este tipo de esquemas se les llama ecuaciones estequiom´etricas. As´ı pues, estas ecuaciones tienen la siguiente forma general: a A + b B + ··· = p P + q Q + ···
(1.6)
en la que los s´ımbolos A, B, . . . son en la pr´actica f´ormulas qu´ımicas que representan las sustancias que reaccionan (reactantes) para dar productos P, Q, . . .. La presencia de los n´ umeros a, b, . . . y p, q, . . . en la ecuaci´on significa que a mol´eculas de A reaccionan con b mol´eculas de B, . . ., para dar p mol´eculas de P , q mol´eculas de Q, etc.. Por ejemplo, como es bien sabido, 2H2 + O2 = 2H2 O quiere decir que dos mol´eculas de hidr´ogeno reaccionan con una de ox´ıgeno para producir dos mol´eculas de agua. En termodin´amica y cin´etica, la reacci´on qu´ımica general se escribe en la forma: X νB B 0= B
donde la suma se extiende a todas las sustancias presentes, tanto reactantes como productos, y los n´ umeros νB , llamados n´ umeros estequiom´ etricos, son los n´ umeros a, b, p, q, . . . en (1.6) pero con los reactantes cambiados de signo. En esta forma la ecuaci´on (1.6) es: 0 = −a A − b B − . . . + p P + q Q + . . . = νA A + νB B + . . . + νP P + νQ Q + . . . y la ecuaci´on del agua: 0 = −2H2 − O2 + 2H2 O. Por otra parte, de la misma forma que en el primer ejemplo sobre el enfriamiento de un objeto met´alico dispon´ıamos de la ley de Newton como modelo del fen´omeno f´ısico que se produc´ıa, en este problema de cin´etica qu´ımica necesitamos un modelo que explique lo que sucede en el interior de la reacci´on qu´ımica. Corresponde a los ingenieros qu´ımicos la experimentaci´on que permita llegar a modelos que se ajusten a la realidad. Por ahora, nosotros vamos a suponer que el modelo por el que se rige nuestra reacci´on es la Ley de Acci´ on de Masas: Si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacci´on qu´ımica es proporcional al producto de las concentraciones de las sustancias que toman parte en la reacci´on. La Ley de Acci´on de Masas no es m´as que un caso particular de un modelo m´as general para las reacciones qu´ımicas. En cualquier caso, aparece aqu´ı un nuevo con´ cepto: velocidad de reacci´on. Esta es la variaci´on de la concentraci´on de cada sustancia (en 3 moles/cm ) dividida por el correspondiente n´ umero estequiom´etrico. Para todas las sustancias presentes en la reacci´on esta cantidad es la misma. Para verlo podemos pensar, por
10
Ecuaciones diferenciales ordinarias
ejemplo, en la reacci´on 2H2 + O2 = 2H2 O. Ya sabemos que esto quiere decir que dos mol´eculas de hidr´ogeno reaccionan con una de ox´ıgeno para producir dos de agua. Por cada mol de ox´ıgeno que “desaparece”, “desaparecen” dos de hidr´ogeno y se “forman” dos de agua. Por lo tanto la velocidad de “desaparici´on” del hidr´ogeno y de la “formaci´on” de agua es el doble que la del ox´ıgeno; y en consecuencia 1/2 de la velocidad de “desaparci´on” del hidr´ogeno y de “formaci´on” de agua es igual a la del ox´ıgeno. En general, y en relaci´on a la ecuaci´on estequiom´etrica (1.6), si escribimos [A], [B], [P ], [Q], etc. para representar la concentraci´on de las sustancias A, B, P , Q, . . . , (lo que es bastante habitual) entonces la variaci´on de la concentraci´on de la sustancia A es d[A] , la variaci´on de la sustancia B es d[B] , etc. Por lo dt dt tanto 1 d[A] 1 d[B] 1 d[P ] 1 d[Q] v=− =− = = = ··· a dt b dt p dt q dt es la velocidad de dicha reacci´on. Y para la reacci´on del agua tend´ıamos: v=−
d[O2 ] 1 d[H2 ] 1 d[H2 O] =− = . dt 2 dt 2 dt
Estamos ya en condiciones de exponer la ecuaci´on que representa lo que sucede en la reacci´on qu´ımica del problema que tenemos planteado, Problema 1.1. El primer paso, y uno de los m´as importantes, consiste en decidir cu´al es la funci´on inc´ognita. En nuestro caso, ´esta viene determinada por el modelo que vamos a utilizar: la Ley de Acci´on de Masas. Esta ley establece una relaci´on entre la velocidad de reacci´on (variaci´on de la concentraci´on de cada sustancia) y las concentraciones de las mismas, medida ´esta en moles/cm3 . Por lo tanto, nuestra funci´on inc´ognita debe ser la concentraci´on de cada sustancia en cada instante t. Y aplicando la ley de acci´on de masas al compuesto A (velocidad de reacci´on= k · producto de concentraciones): d[A] − = k[A][B]. dt Esta es la ecuaci´on diferencial que sirve como modelo matem´atico para estudiar la evoluci´on de las concentraciones de los reactantes. Ahora bien, teniendo en cuenta que en el problema se nos pide la cantidad de cada sustancia presente en la reacci´on al cabo de un cierto tiempo, es conveniente considerar como funciones inc´ognita las cantidades de moles de cada sustancia que han reaccionado despu´es de t minutos. As´ı si xA (t) y xB (t) representan estas cantidades y nA y nB los moles iniciales de estas sustancias, tenemos que [A] =
nA − x(t) nB − x(t) moles/cm3 [B] = moles/cm3 V V
Adem´as, dado que la ecuaci´on es de la forma A + B = C + D, por cada mol de A que reacciona, reacciona uno de B; tenemos que xA (t) = xB (t) para todo t.
1.2 Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
11
Debe observarse, finalmente, que x(0) = 0 porque hasta que no comienza la reacci´on ning´ un mol ha reaccionado todav´ıa. As´ı pues: −
d (nA −x(t)) nA − x(t) nB − x(t) V =k dt V V
A la constante k se le llama constante de velocidad de la reacci´on y se suele expresar en cm3 . mol×min Si ponemos K =
k la ecuaci´on anterior queda: V dx = K(nA − x)(nB − x) dt
(1.7)
En el pr´oximo cap´ıtulo veremos c´omo resolver esta ecuaci´on diferencial anal´ıticamente. Podremos entonces responder con exactitud a la primera pregunta de cu´anto acetato de sodio y alcohol et´ılico habr´a al cabo de media hora de haber comenzado la reacci´on.
1.2.
Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Consideremos una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n: F (t, x, x0 , . . . , x(n) ) = 0.
(1.8)
Si en esta ecuaci´on podemos “despejar” la n-´esima derivada de la funci´on inc´ognita x(n) entonces la ecuaci´on puede ponerse en forma expl´ıcita: x(n) = f (t, x, x0 , . . . , x(n−1) ). Este es el caso, por ejemplo, de la ecuaci´on (1.2), cuya forma expl´ıcita es: x000 =
1 (−ex x0 − sen(x) + t + cos(t)). 2 t
Dada la ecuaci´on diferencial (1.8), una soluci´on de esta ecuaci´on diferencial es una funci´on de la variable dependiente, x(t), que al ser sustitu´ıda en la ecuaci´on como la variable dependiente, satisface todos los valores de la variable independiente. Por ejemplo, la funci´on f (t) = 3et es soluci´on de la ecuaci´on dx =x dt porque df d(3et ) = = 3et = f (t) para toda t. dt dt
12
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Sin embargo, la funci´on g(t) = sen t no es soluci´on de esta ecuaci´on porque dg d(sen t) = = cos t, dt dt y claramente la funci´on cos t no es la misma que la funci´on g(t) = sen t para todo t. (Lo es para alg´ un t, por ejemplo para t = π4 rad., pero no para todo posible valor de t). Encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales es una tarea complicada la mayor parte de las veces. Verificar si una funci´on es o no soluci´on es, sin embargo, muy sencillo: basta derivar, sustituir en la ecuaci´on y comprobar si se obtiene una identidad o no para todos los valores posibles de la variable independiente para los que la ecuaci´on tiene sentido. Por ejemplo, puede resultarnos, por ahora, dif´ıcil imaginar c´omo obtener una soluci´on de la ecuaci´on lineal x00 − 2x0 + x = 0. Comprobar si la funci´on x(t) = (1 + 2t)et es o no soluci´on es muy sencillo. En efecto, calculamos las derivadas presentes en la ecuaci´on x0 (t) = (3 + 2t)et y x00 (t) = (5 + 2t)et , y sustitu´ımos en la ecuaci´on: x00 (t)−2x0 (t)+x(t) = (5+2t)et −2(3+2t)et +(1+2t)et = [(5−6+1)+(2−4+2)t]et = 0, para todo t. En consecuencia, la funci´on x(t) = (1 + 2t)et es soluci´on de la ecuaci´on dada. Esta es una soluci´on expl´ıcita de la ecuaci´on: la podemos escribir expl´ıcitamente en funci´on de t. Hay soluciones en las que sin embargo esto es imposible. Consideremos, por ejemplo, la ecuaci´on dx x = 2 . dt x +1 Resulta que cualquier funci´on, x(t), que verifique ln |x(t)| +
x(t)2 =t+C 2
(1.9)
cualquiera que sea la constante C es una soluci´on de la ecuaci´on. Para comprobarlo procedemos de la siguiente forma: Escribimos x2 g(t, x) = ln |x| + − t − C. 2 de modo que la ecuaci´on (1.9) es equivalente a g(t, x(t)) = 0
1.2 Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
13
Esto es una ecuaci´on en t y x que bajo ciertas condiciones permite definir x como funci´on de t en alg´ un intervalo de la recta -hay un teorema importante en matem´aticas, el Teorema de la funci´on impl´ıcita, que establece dichas condiciones e intervalos-. Es como si pudi´eramos despejar x como funci´on de t para ciertos valores de t. En algunos casos, de hecho, se puede 2 despejar x expl´ıcitamente. Por ejemplo, si g(t, x) on g(t, x) = 0 √ = x − t entonces la ecuaci´ √ 2 define dos funciones de t: x(t) = t y x(t) = − t. N´otese que g(t, x) = x − t es continua y derivable de cualquier orden en todos los puntos del plano, pero las dos funciones que define la ecuaci´on x2 − t = 0 s´olo est´an definidas para t ≥ 0 y son derivables para t > 0. La mayor´ıa de las veces, sin embargo, no es posible despejar x expl´ıcitamente. Se dice entonces que g(t, x) = 0 define una funci´on x(t) impl´ıcitamente (y tambi´en, claro, una funci´on t(x) impl´ıcitamente. Los papeles de las variables t y x en g(t, x) son intercambiables). A´ un cuando no podamos despejar expl´ıcitamente x como funcion de t en g(t, x) = 0, podemos saber si la funci´on o funciones x(t) definidas impl´ıcitamete por esta ecuaci´on son o no soluciones de una determinada ecuaci´on. Basta, para ello, aplicar cualquiera de los dos siguientes m´etodos que son equivalentes: Derivar impl´ıcitamente: Por ejemplo, en nuestro caso, derivar impl´ıcitamente en g(t, x) = 2 ln |x| + x2 − t − C = 0 o en la ecuaci´on (1.9) consiste en derivar ambas partes de la ecuaci´on viendo x como una funci´on de t. As´ı, derivando impl´ıcitamente en 2 = t + C obtenemos: ln |x(t)| + x(t) 2 x0 (t) + x(t)x0 (t) = 1 x(t) y para todos los valores de t: x0 (t) + x(t)2 x0 (t) = x(t) ⇒ x0 (t) 1 + x(t)2 = x(t) ⇒ x0 (t) =
x(t) , 1 + x(t)2
con lo que x(t) verifica la ecuaci´on diferencial. Aplicar la regla de la cadena: Como g(t, x) = 0 define una funci´on x(t) impl´ıcitamente, tenemos que g(t, x(t)) es una funci´on de t, digamos h(t). As´ı, la ecuaci´on g(t, x(t)) = 0 es equivalente a h(t) = 0, de modo que h0 (t) = 0. Pero, por la regla de la cadena h0 (t) = 2
∂g dx ∂g + =0 ∂x dt ∂t
En nuestro caso, g(t, x) = ln |x| + x2 − t − C = 0, de modo que ∂g dx ∂g 1 1 + x2 0 x 0= + = + x x0 − 1 ⇒ x = 1 ⇒ x0 = , ∂x dt ∂t x x 1 + x2 y x verifica la ecuaci´on diferencial
14
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Si x(t) est´a definida de forma impl´ıcita, para t en un cierto intervalo [a, b], por una ecuaci´on de la forma g(t, x) = 0 y es derivable en dicho intervalo, y su derivada verifica la ecuaci´on (1.8), entonces se dice que x(t) es una soluci´on impl´ıcita de la ecuaci´on diferencial. Resumimos todo lo anterior en la siguiente definici´on formal: Definici´ on 1.2 .- La funci´on x(t) se dice que es una soluci´ on expl´ıcita de la ecuaci´ on (1.8) en el intervalo [a, b] si (a) x(t) es diferenciable hasta de orden n en el intervalo [a, b], y (b) F (t, x(t), x0 (t), . . . , x(n) (t)) = 0 es una identidad para todo t ∈ [a, b]. Si g(t, x) = 0 representa una curva que define una soluci´on de (1.8), se dice que es una soluci´ on impl´ıcita y define una curva soluci´ on de la ecuaci´on. A las soluciones,sean expl´ıcitas o impl´ıcitas, se les llama tambi´en curvas integrales de la ecuaci´on. Una observaci´on adicional. Consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial: 2 x 0 . y = y Una soluci´on impl´ıcita de esta ecuaci´on es: x3 − y(x)3 − 1 = 0. En efecto, derivando impl´ıcitamente en x3 − y(x)3 − 1 = 0 tenemos 2 x 2 2 0 0 3x − 3y(x) y (x) = 0 ⇒ y (x) = y que es precisamente la ecuaci´on diferencial dada. Sin embargo, esta soluci´on impl´ıcita puede darse expl´ıcitamente: 1 y(x) = (x3 − 1) 3 . La observaci´on es que siempre que una soluci´on pueda darse expl´ıcitamente, debe hacerse.
1.3. 1.3.1.
¿ C´ omo obtener informaci´ on sobre las soluciones? An´ alisis cualitativo
Consideremos de nuevo la ecuaci´on diferencial que, aplicando la ley de enfriamiento de Newton, nos proporciona un modelo para estudiar la evoluci´on de la temperatura de
1.3 ¿ C´omo obtener informaci´on sobre las soluciones?
15
una barra met´alica que ha sido calentada hasta una cierta temperatura, T0 , que llamaremos temperatura inicial, y que a continuaci´on ha sido introducida en un habit´aculo a temperatura constante T = Ta : dT = k(T (t) − Ta ) (1.10) dt En primer lugar debemos considerar la temperatura inicial: la temperatura de la barra no evolucionar´a igual si la temperatura inicial de la barra es 50o C o si es 75o C. Al problema de hallar la o las soluciones de la ecuaci´on (1.10) sabiendo que T (0) = T0 se le llama problema de condiciones iniciales para la ecuaci´on (1.10), y lo escribimos de la siguiente forma: 0 T (t) = k(T (t) − Ta ) (1.11) T (0) = T0 Nuestro objetivo es tener tanta informaci´on como sea posible de la soluci´on (veremos m´as adelante en el curso que s´olo hay una) de este problema de condiciones iniciales. Es decir, conocer tanto como sea posible acerca de la funci´on T (t) que es soluci´on de la ecuaci´on T 0 (t) = k(T (t) − Ta ) y cumple la condici´on T (0) = T0 . (Si alguien siente incomodidad al usar las letras T0 y Ta para designar los valores de las temperaturas inicial de la barra y ambiente del habit´aculo, puede sustituir estos s´ımbolos por n´ umeros concretos). Lo ideal ser´ıa tener una expresi´on expl´ıcita de la funci´on T (t). Veremos m´as adelante que en este caso es posible, pero salvo que necesitemos saber con precisi´on extrema el valor de T en un instante concreto (digamos T (60), que ser´ıa el valor de la temperatura de la barra despu´es de 60 minutos) un simple an´alisis de la ecuaci´on a partir del significado del concepto de derivada, es suficiente para obtener informaci´on muy valiosa sobre la soluci´on. Observamos en primer lugar que si T (t) = Ta en todo instante, entonces T (t) − Ta = 0 y, = 0 para todo t. Por lo tanto T (t) = Ta es una soluci´on de la al sustituir en la ecuaci´on, dT dt ecuaci´on. Este tipo especial de soluciones reciben el nombre de soluci´ ones de equilibrio porque son constante para todo t. Su significado es claro y sencillo: la barra no cambia de temperatura si y s´olo si la temperatura de la barra y del medio ambiente es la misma siempre. Si T0 = T (0) 6= Ta entonces en el momento inicial t = 0 dT (0) = k(T0 − Ta ) 6= 0 dt y en consecuencia hay variaci´on de temperatura; es decir, la temperatura de la barra no se mantiene constante. Si k > 0 y T (0) > Ta entonces dT > 0 y la temperatura estar´ıa d0 creciendo. Esto no concuerda con lo que sucede en la realidad: si la temperatura de la barra es superior a la del medio ambiente, la temperatura de la barra decrece, es decir la barra se enfr´ıa. As´ı que conviene a˜ nadir a nuestra ecuaci´on o bien que la constante k es negativa, o bien escribir la ecuaci´on como dT = −k(T (t) − Ta ) dt
16
Ecuaciones diferenciales ordinarias T
Temperatura
Temperatura
T
T(t)
A
T(t)
A tiempo
tiempo
t
t
Figura 1.3: Posible soluci´on para la con-
Figura 1.4: Posible soluci´on para la con-
dici´on inicial T (t0 ) > Ta .
dici´on inicial T (t0 ) < Ta .
siendo k una constante positiva, que es lo que se suele hacer habitualmete. As´ı pues escribiremos nuestro problema de condiciones iniciales de la siguiente forma: 0 T (t) = −k(T (t) − Ta ) (1.12) T (0) = T0 Ahora, si T (0) > Ta entonces dT < 0 con lo que la temperatura de la barra decrecer´a; es dt decir, para t1 > 0 pero muy pr´oximo a t = 0, T (t1 ) < T (0) y T (t1 ) − Ta < T (0) − Ta . Por lo tanto, dT dT (t1 ) = −k(T (t1 ) − Ta ) > −k(T (0) − Ta ) = (0). dt dt Si t1 est´a pr´oximo a 0, la temperatura de la barra decrecer´a, pero no lo suficiente como para que sea inferior a Ta . As´ı pues, T (t1 ) − Ta > 0 y 0 > T 0 (t1 ) > T 0 (0). Es decir, la derivada ser´a negativa, por lo que la temperatura seguir´a decreciendo. As´ı si t2 > t1 y es pr´oximo a t1 tendremos que T (t2 ) < T (t1 ), y un an´alisis como el que hemos hecho para 0 y t1 nos permitir´a concluir que dT dT (t2 ) = −k(T (t2 ) − Ta ) > −k(T (t1 ) − Ta ) = (t1 ). dt dt Podr´ıa pensarse que es posible que T (t2 ) < Ta . La observaci´on de la realidad nos dice que esto nunca ocurre. Ahora no podemos demostrarlo pero veremos m´as adelante en el curso que esto tambi´en se deduce de las propiedades de las ecuaciones diferenciales. Todav´ıa no estamos preparados para hacerlo, pero vamos a seguir suponiendo que T (t2 ) > Ta de modo que 0 > T 0 (t2 ) > T 0 (t1 ). Y podr´ıamos seguir el an´alisis con un t3 > t2 pero pr´oximo a t2 . En conclusi´on, la derivada T 0 (t) siempre es negativa, cada vez mayor y, por lo tanto, cada vez m´as pr´oxima a 0. Esto significa que la gr´afica de T (t) es una curva decreciente pero que este decreciemiento es cada menor a medida que el tiempo t aumenta (ver la gr´afica1.3). En definitiva, a medida que transcurre el tiempo el valor de la temperatura de la barra se acerca
1.3 ¿ C´omo obtener informaci´on sobre las soluciones?
17
m´as y m´as, pero cada vez m´as lentamente, al valor de la temperatura del habit´aculo. Esto concuerda completamente con lo que la observaci´on de la realidad nos dice que sucede. Si comenzamos con una condici´on inicial diferente obtendremos una funci´on T (t) diferente. Podr´ıa ser, por ejemplo, que lo que suceda es que el habit´aculo sea un horno que se mantiene a una temperatura constante Ta , y lo que se pretende es calentar la barra, inicialmente m´as fr´ıa que la temperatura del horno. En este caso, la condici´on inicial es > 0 en t = 0 y T0 = T (0) < Ta . Haciendo un an´alisis como el de m´as arriba tenemos que dT dt la funci´on temperatura es creciente. La diferencia Ta − T (t) es cada vez m´as peque˜ na para t > 0 y previsiblemente la gr´afica de la funci´on temperatura ser´a parecida a la de la Figura 1.4. Este an´alisis de la manera en la que T (t) evoluciona cuando t aumenta se llama an´ alisis cualitativo de la ecuaci´on diferencial. Si lo que nos interesa es tener una idea de c´omo evoluciona la temperatura de la barra a medida que pasa el tiempo, este an´alisis es suficiente: predice que cualquiera que sea su temperatura inicial (la condici´on inicial del problema) la temperatura de la barra se aproxima m´as y m´as a la temperatura del medio ambiente a medida que trascurre el tiempo. Adem´as, predice tambi´en que la rapidez con la que T (t) se aproxima a Ta depende de la constante k. En efecto, como k > 0 la variaci´on de T ; i. e. dT dt es tanto mayor (si T (t) − Ta < 0), o tanto menor (si T (t) − Ta > 0), cuanto mayor sea k. Por lo tanto T (t) se aproxima a Ta tanto m´as r´apidamente cuanto mayor sea la constante k. Esta constante k depende de la materia de la que est´a hecha la barra y est´a relacionada con su calor espec´ıfico.
1.3.2.
C´ alculo an´ alitico de soluciones
Ahora bien, si lo que necesitamos es saber el valor de T (10) o T (100), el an´alisis cualitativo no es suficiente; necesitamos una informaci´on m´as precisa de la funci´on T (t). Lo ideal ser´ıa obtener una “f´ormula” expl´ıcita para T (t). Una soluci´ on del problema de condici´on 1.12 es una funci´on T (t) que satisface ambas ecuaciones. En primer lugar, debemos encontrar una funci´on T (t) que sea soluci´on de la ecuaci´on diferencial T 0 = −k(T − Ta ). Es decir (recordemos la definici´on de soluci´on de una ecuaci´on diferencial), debemos encontrar funciones cuya derivada sea el producto de −k por T (t)−Ta . Aparentemente esto no parece una cuesti´on muy f´acil. Estudiaremos m´etodos para resolver este tipo (y otros m´as complicados) de ecuaciones diferenciales. Por ahora, y para hacer plausible la b´ usqueda de soluciones de nuestra ecuaci´on, vamos a realizar un cambio de la variable independiente. Pongamos P (t) := T (t) − Ta
18
Ecuaciones diferenciales ordinarias
entonces
dT dP = dt dt Por lo tanto, seremos capaces de encontrar soluciones de la ecuaci´on dT = −k(T (t) − Ta ) dt
(1.13)
si encontramos soluciones de la ecuaci´on dP = −kP (t) dt
(1.14)
(y rec´ıprocamente). En efecto, si P (t) es soluci´on de (1.14) entonces P 0 (t) = −kP (t). Pero P 0 (t) = T 0 (t), as´ı que T 0 (t) = −kP (t) = −k(T (t) − Ta ), por lo que T (t) es soluci´on de (1.13). Y rec´ıprocamente, si T (t) es soluci´on de (1.13) entonces, como T 0 (t) = P 0 (t) tenemos que P 0 (t) = T 0 (t) = −k(T (t) − Ta ) = −kP (t). Se dice que las ecuaciones (1.13) y (1.14) son equivalentes. Ahora bien, es m´as f´acil hallar soluciones de la ecuaci´on (1.14) porque ´esta nos pide encontrar una funci´on cuya derivada coincida (salvo el factor −k) con la propia funci´on. Sabemos que una funci´on que cumple esta propiedad es la funci´on exponencial. En efecto, si x(t) = et entonces x0 (t) = et = x(t). Esto quiere decir que x(t) = et es una soluci´on de la ecuaci´on dx = x(t) dt Esta ecuaci´on se parece mucho a la nuestra y, de hecho, si x(t) = eat tenemos que x0 (t) = aeat = ax(t). As´ı pues P (t) = e−kt es una soluci´on de la ecuaci´on (1.14). En efecto, P 0 (t) = −ke−kt = −kP (t). Claro que ´esta no es la u ´nica soluci´on, porque si P (t) = ce−kt (donde c es una constante cualquiera) 0 entonces P (t) = c(−ke−kt ) = −k(ce−kt ) = −kP (t). De nuevo, P 0 (t) = −kP (t) para toda t. Conclu´ımos que todas las funciones P (t) = ce−kt , con c una constante cualquiera, son soluci´on de la ecuaci´on (1.14). Y deshaciendo el cambio P (t) = T (t)−Ta ; i.e. T (t) = P (t)+Ta , resulta que todas las funciones de la forma T (t) = Ta + ce−kt , con c una constante cualquiera, son soluciones de la ecuaci´on diferencial (1.13). Podemos comprobarlo directamente: dT = −kce−kt = −k[(Ta + ce−kt ) − Ta ] = −k(T (t) − Ta ), dt
para toda t
Observamos, adem´as, que para c = 0 obtenemos la soluci´on de equilibrio T (t) = Ta . Hemos encontrado un n´ umero infinito de soluciones de la ecuaci´on diferencial, una para cada valor de c. Una pregunta natural es si habr´a m´as soluciones de las que hemos encontrado. Veremos que la respuesta es negativa, pero por ahora no podemos justificarlo. Para
1.3 ¿ C´omo obtener informaci´on sobre las soluciones?
19
determinar cu´al de todas las soluciones encontradas cumple la segunda condici´on del Problema de Condici´on Inicial debemos encontrar aquella (o aquellas, veremos m´as adelante que s´olo hay una) que verifica la segunda ecuaci´on T (0) = T0 . Se debe cumplir que T0 = T (0) = Ta + cek0 = Ta + ce0 = Ta + c Por lo tanto c = T0 − Ta , y una soluci´on del problema de condici´on inicial es T (t) = Ta + (T0 − Ta )e−kt .
Temperatura
T
A
t
tiempo
Figura 1.5: Gr´aficas de Varias soluciones de la ecuaci´on
dT dt
= −k(T (t) − Ta ).
Hemos obtenido una f´ormula para nuestra soluci´on, no s´olo una imagen cualitativa de su gr´afica. La funci´on T (t) obtenida se llama soluci´ on del problema de condici´ on inicial y tambi´en soluci´ on particular de la ecuaci´on diferencial. El conjunto de funciones T (t) = Ta +ce−kt se llama soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial (1.13) porque podemos usarla para encontrar cada soluci´on particular correspondiente a cualquier problema de condici´on inicial. En la Figura 1.5 se muestran las gr´aficas de las funciones T (t) = Ta + ce−kt para varios valores de c y para el mismo valor de k.