ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS V´ıctor Manuel S´anchez de los Reyes

Departamento de An´alisis Matem´atico Universidad Complutense de Madrid

´Indice

1. Introducci´ on

7

1.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2. Algunos modelos matem´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Desintegraci´on radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Movimiento pendular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. La catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4. Cuerpos en ca´ıda libre con resistencia del aire . . . . . . . . . . . . 11 1.2.5. La curva braquist´ocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.6. Oscilaciones en resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.7. Din´amica de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden

15

2.1. Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Ecuaciones homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5. Algunas ecuaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.1. La ecuaci´on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.2. La ecuaci´on de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5.3. Ecuaciones de grado n respecto a y 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3

2.5.4. Ecuaciones de la forma f (y, y 0 ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5.5. Ecuaciones de la forma f (x, y 0 ) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.6. La ecuaci´on de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5.7. La ecuaci´on de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

25

3.1. Estructura del conjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1. La ecuaci´on homog´enea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.1. La ecuaci´on homog´enea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2. La ecuaci´on no homog´enea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

33

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. Estructura del conjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.1. El sistema homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.2. El sistema no homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3. Sistemas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.1. El sistema homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.2. El sistema no homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Transformada de Laplace y m´ etodo de series de potencias

43

5.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1.1. Definici´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1.2. La funci´on de Heaviside y la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 44 5.1.3. Traslaci´on y periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1.4. Transformadas de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . 46 4

5.1.5. La convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.1.6. La transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2. M´etodo de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.2. Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6. Teor´ıa cualitativa de ecuaciones diferenciales

55

6.1. Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2. Sistemas lineales planos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Resoluci´ on num´ erica de ecuaciones diferenciales

59

7.1. M´etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.2. M´etodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Ap´ endice. Teoremas de existencia y unicidad

61

Bibliograf´ıa

63

5

Tema 1 Introducci´ on 1.1.

Conceptos b´ asicos

Definici´ on 1.1.1. Una ecuaci´ on diferencial ordinaria (en adelante, ecuaci´on diferencial) es la que establece una relaci´on entre una variable independiente x, la funci´ on 0 00 n) buscada f (x) y una o varias derivadas de esta funci´on f (x), f (x), . . . , f (x), lo que equivale, con y = f (x), a una expresi´on de la forma F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n) ) = 0. Definici´ on 1.1.2. Se denomina orden de una ecuaci´on diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la expresi´on. Definici´ on 1.1.3. Una ecuaci´on diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno respecto a la funci´on y y todas sus derivadas, pudi´endose entonces expresar de la forma y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = g(x). Cuando las funciones ai (x), 1 ≤ i ≤ n, son constantes se dice que la ecuaci´on tiene coeficientes constantes. Si g(x) ≡ 0 la ecuaci´on se denomina homog´ enea. En caso contrario se llama no homog´ enea o completa. Definici´ on 1.1.4. Una soluci´ on de una ecuaci´on diferencial es una funci´on que sustituida en la ecuaci´on la convierte en una identidad. Si una soluci´on es una funci´on expl´ıcita (impl´ıcita), se dice que es una soluci´ on expl´ıcita (impl´ıcita). Definici´ on 1.1.5. La soluci´ on general de la ecuaci´on diferencial de orden n dada por 0 00 n) F (x, y, y , y , . . . , y ) = 0 es una funci´on ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn ) que depende de n constantes C1 , C2 , . . . , Cn de modo que la funci´on ϕ satisface la ecuaci´on para todos los valores de 7

las constantes, y si hay condiciones iniciales   y(x0 ) = y0    y 0 (x0 ) = y 1 0 ..  .    y n−1) (x ) = y n−1 0 0 se pueden elegir las constantes para que la funci´on ϕ las satisfaga. Una relaci´on φ(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0 que define la soluci´on general impl´ıcitamente se denomina integral general de la ecuaci´on diferencial. Definici´ on 1.1.6. Una soluci´ on particular de una ecuaci´on diferencial es la que se obtiene de la soluci´on general para valores concretos de las constantes. Una curva integral es la gr´afica de una soluci´on particular. Definici´ on 1.1.7. Una soluci´ on singular de una ecuaci´on diferencial es una funci´on que satisface la ecuaci´on y que, sin embargo, no se obtiene de la soluci´on general para ning´ un valor de las constantes. Definici´ on 1.1.8. Resolver o integrar una ecuaci´on diferencial supone calcular la soluci´on general si no se han dado condiciones iniciales, y cuando ´estas existen, hallar la soluci´on particular que las satisfaga. Sea F (x, y, y 0 ) = 0 una ecuaci´on diferencial de primer orden que se puede expresar de la forma y 0 = f (x, y). Esta funci´on f asocia a cada punto de su dominio el valor de la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto. Por lo tanto, la ecuaci´on diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto de segmentos, cada uno de los cuales pasa por el punto (x, y) y tiene como pendiente y 0 . Resolver una ecuaci´on diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma direcci´on que el campo de direcciones en ese punto. Para facilitar este c´alculo se introducen las isoclinas: Definici´ on 1.1.9. Se denomina isoclina al lugar geom´etrico de los puntos del plano en los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuaci´on diferencial tienen la misma direcci´on. La familia de isoclinas de la ecuaci´on diferencial y 0 = f (x, y) est´a determinada por la ecuaci´on f (x, y) = k, siendo k un par´ametro. Dibujando la familia de isoclinas para valores de k pr´oximos entre s´ı, es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales de la ecuaci´on diferencial. La isoclina f (x, y) = 0 informa de la posible situaci´on de los m´aximos y m´ınimos locales de las curvas integrales. Los puntos de inflexi´on, si existen, estar´an situados en la curva definida por ∂f ∂f + f (x, y) = 0. ∂x ∂y 8

Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: √ a) y = 2 + x2 + 1 de la ecuaci´on diferencial −(x2 + 1)y 0 + xy = 2x. √ b) y = x 1 − x2 de la ecuaci´on diferencial yy 0 = x − 2x3 . c) y = earc sen x de la ecuaci´on diferencial xy 0 = y tag log y.  0 x = t log t d) de la ecuaci´on diferencial y 0 log y4 = 4x. 2 y = t (2 log t + 1)  x = log t + sen t e) de la ecuaci´on diferencial x = log y 0 + sen y 0 . y = t(1 + sen t) + cos t 2. Verifica que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) y = log(ex + C) de la ecuaci´on diferencial y 0 = ex−y . √ b) y = x2 − Cx de la ecuaci´on diferencial (x2 + y 2 ) dx − 2xy dy = 0. c) (x + C)2 + y 2 = 4 de la ecuaci´on diferencial y 2 ((y 0 )2 + 1) = 4. Obt´en en este caso dos soluciones singulares. 3. Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) e−y − Cx = 1 de la ecuaci´on diferencial xy 0 + 1 = ey . b) y 2 + 2Cx = C 2 de la ecuaci´on diferencial y(y 0 )2 + 2xy 0 = y. Rx c) x = y 0 sen t2 dt de la ecuaci´on diferencial y = xy 0 + y 2 sen x2 . 4. Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes: a) y 0 = x + 1. b) y 0 =

y−x . y+x

c) y 0 = x + y. d ) y 0 = y − x.

1.2. 1.2.1.

Algunos modelos matem´ aticos Desintegraci´ on radiactiva

Una reacci´on qu´ımica se denomina reacci´on de primer orden si en ella una mol´ecula se descompone en otras espont´aneamente, y el n´ umero de mol´eculas que se descomponen 9

en una unidad de tiempo es proporcional al n´ umero de mol´eculas existentes. Por ejemplo, la desintegraci´on radiactiva. Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funci´on del tiempo por la funci´on m = m(t), la velocidad de descomposici´on viene dada por m0 . Si se supone que esta velocidad es directamente proporcional a la masa, se tiene la ecuaci´on diferencial de primer orden m0 = −km siendo k > 0 el coeficiente de proporcionalidad. La soluci´on general viene dada por m(t) = Ce−kt . Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial t = 0 y que tiene un valor m0 , de lo que resulta que m(t) = m0 e−kt .

1.2.2.

Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto fijo, que se mueve por la acci´on de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que est´a en un plano vertical. Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la ecuaci´on del movimiento en funci´on del tiempo. Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen est´a en el punto inferior de la circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto. Sea L la longitud del radio de la circunferencia, t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto P , de forma que si P est´a a la derecha del origen, es s > 0 y si est´a a la izquierda, es s < 0. Se pretende determinar la funci´on s = s(t). La fuerza de la gravedad F = mg se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft , siendo ´esta u ´ltima la que produce el movimiento. Se tiene que Ft = −mg sen α, siendo α el a´ngulo que forma la direcci´on de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad. As´ı, la funci´on del movimiento verifica la ecuaci´on diferencial s s00 = −g sen . L Una soluci´on aproximada de dicha ecuaci´on diferencial viene dada por r g s = s0 sen t L donde s0 es la longitud m´axima que describe el punto P . 10

1.2.3.

La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo flexible homog´eneo suspendido entre sus dos extremos y que cuelga por su propio peso. Sea M (0, b) el punto m´as bajo del hilo y P (x, y) un punto cualquiera. La secci´on M P del hilo est´a equilibrada por las siguientes fuerzas: 1. La tensi´on T1 que act´ ua a lo largo de la tangente al punto P y forma un a´ngulo α con el eje de abcisas. 2. La tensi´on T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas. 3. El peso del hilo, paralelo al eje de ordenadas, cuyo m´odulo es sp, siendo s la longitud del arco M P y p el peso espec´ıfico del hilo. Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio:  T1 cos α = T2 T1 sen α = sp luego, dividiendo ambas igualdades entre s´ı, se tiene que tag α =

sp . T2

Llamando a = Tp2 , derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que p s0 = (y 0 )2 + 1 se obtiene la ecuaci´on diferencial y 00 =

1p 0 2 (y ) + 1. a

La soluci´on particular que pasa por M es y=

1.2.4.

x
a x x e a + e− a + b − a = a cosh + b − a. 2 a

Cuerpos en ca´ıda libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m, sobre el que act´ ua, adem´as de la fuerza de la gravedad, la resistencia del aire, que es proporcional a su velocidad de ca´ıda v = v(t), la cual se quiere calcular. La aceleraci´on es v 0 , y k es el coeficiente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire. Por tanto, mv 0 = mg − kv 11

que es una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes no homog´enea. Se puede comprobar que la funci´on k

v(t) = Ce− m t +

mg k

verifica la ecuaci´on para todo valor de la constante C. Para determinar la constante C se supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un valor v0 , de lo que resulta que  mg  − k t mg e m + . v(t) = v0 − k k Si la resistencia del aire no existe, es decir, k = 0, la soluci´on particular es v(t) = gt + v0 . Si y = y(t) es la funci´on que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada, se tiene que y 0 = v con lo que 1 y(t) = gt2 + v0 t + y0 2 siendo y0 la posici´on inicial. Si y0 = v0 = 0, se tiene que v 2 = 2gy.

1.2.5.

La curva braquist´ ocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se deja deslizar una bola esf´erica, supuestamente sin rozamiento. El problema consiste en determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B, sin otra fuerza que la gravedad, sea el m´ınimo. Si se supone que la bola va desde A hasta B a trav´es de dos segmentos AO y OB, con velocidades v1 y v2 , respectivamente, el tiempo total que invierte en su desplazamiento viene dado por p √ (c − x)2 + b2 x 2 + a2 t= + v1 v2 donde A = (−x, a), O = (0, 0) y B = (c − x, −b). Para que el tiempo sea el m´ınimo debe dt suceder que dx = 0, con lo que x c−x √ = p 2 2 v1 x + a v2 (c − x)2 + b2 o bien

sen w1 sen w2 = v1 v2 12

. Si el n´ umero de segmentos pasa a ser infinito, siendo w1 = arctag xa y w2 = arctag c−x b aumentando la velocidad de la bola de forma continua, se tiene que la trayectoria debe verificar que senv w sea constante. Llamando α = π2 − w se tiene que 1 sen w = cos α = p . (y 0 )2 + 1 Como v 2 = 2gy, la curva braquist´ocrona debe satisfacer la ecuaci´on diferencial y((y 0 )2 + 1) = C. La soluci´on de dicha ecuaci´on viene dada por 

siendo r =

C 2

y tag

θ 2

=

q

y , C−y

x = r(θ − sen θ) y = r(1 − cos θ)

que son las ecuaciones param´etricas de la cicloide, la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda, sin rozamiento, a lo largo del eje de abcisas.

1.2.6.

Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte, sobre el que un dispositivo ejerce una fuerza de amortiguaci´on, y adem´as, existe una fuerza externa que act´ ua sobre el cuerpo. Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al desplazamiento y la fuerza de amortiguaci´on proporcional a la velocidad del movimiento. Sea y = y(t) la funci´on que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funci´on del tiempo, k1 > 0 la constante de rigidez del resorte, k2 > 0 la constante de amortiguaci´on del dispositivo y g(t) la fuerza externa. Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso del cuerpo se compense con las otras fuerzas, se obtiene la ecuaci´on diferencial que describe el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas: my 00 = mg − k1 (y + L) − k2 y 0 + g(t) siendo L la elongaci´on del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo, con lo que my 00 + k2 y 0 + k1 y = g(t) que es una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes no homog´enea. 13

1.2.7.

Din´ amica de poblaciones

Las ecuaciones de Lotka-Volterra modelizan un ecosistema formado por rapaces y presas, con sus interacciones, obteni´endose el sistema:  dx = ax − bxy dt dy = −cy + f xy dt donde las constantes a, b, c y f son positivas. Sin presas (x), las rapaces (y) disminuir´ıan en n´ umero por falta de alimento. Y sin rapaces, las presas aumentar´ıan al no tener enemigos. Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene a − by −c + f x dy = dx y x e integrando se tiene la soluci´on y a e−by = kx−c ef x .

14

Tema 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.1.

Ecuaciones de variables separadas

Definici´ on 2.1.1. Una ecuaci´on diferencial de la forma g(y) y 0 = f (x) se denomina ecuaci´ on diferencial de variables separadas ya que se puede expresar como g(y) dy = f (x) dx. Su soluci´on general se obtiene integrando ambos t´erminos: Z Z g(y) dy = f (x) dx + C. Una ecuaci´on diferencial de la forma f1 (x)g2 (y) dx = f2 (x)g1 (y) dy se reduce a una de variables separadas al pasar dividiendo a f2 (x) y g2 (y), aunque se pueden perder soluciones singulares que anulen a estas funciones. Ejercicios 1. Resuelve la ecuaci´on diferencial de la desintegraci´on radiactiva. 2. Halla una soluci´on aproximada de la ecuaci´on diferencial del movimiento pendular. 3. Encuentra la expresi´on de la catenaria. 4. Halla la curva braquist´ocrona. 5. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) 4yy 0 + x = 0. b) x dx + y dy = 0. 15

c) y 0 cos x = (sen x + x sec x) cotag y. √ d ) y 0 x2 + 1 = xe−y . e) (xy 2 − y 2 + x − 1) dx + (x2 y + x2 − 2xy − 2x + 2y + 2) dy = 0. f ) y 0 = (x − y)2 + 1. 6. Dados m, n, p ∈ N cualesquiera, integra la ecuaci´on diferencial y0 + 1 =

(x + y)m . (x + y)n + (x + y)p

7. Resuelve la ecuaci´on diferencial (x2 y 2 + 1) dx + 2x2 dy = 0 mediante la sustituci´on xy = z. 8. Integra la ecuaci´on diferencial (ex + 1)yy 0 = ex y encuentra la soluci´on particular que pasa por (0, 0). 9. Halla la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial y 0 sen x = y log y que satisface la condici´on inicial y( π2 ) = e. 10. Demuestra que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante, es una circunferencia. 11. Halla la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. 12. La temperatura de un cuerpo T rodeado por aire a temperatura T0 var´ıa de modo que el ritmo de variaci´on de su temperatura es proporcional a la diferencia de temperaturas T − T0 (ley del enfriamiento de Newton). Un cuerpo que inicialmente est´a a 120◦ C se pone en contacto con aire a 20◦ C. Al cabo de una hora, su temperatura es de 70◦ C. ¿Cu´anto tiempo m´as tiene que transcurrir para que ´esta baje a 40◦ C? 13. Inicialmente un cultivo tiene un n´ umero B0 de bacterias. Al cabo de una hora se determina que el n´ umero de bacterias es 23 B0 . Si la raz´on de crecimiento es proporcional al n´ umero de bacterias B(t) presentes en el tiempo t, calcula el tiempo necesario para que se triplique el n´ umero de bacterias.

2.2.

Ecuaciones homog´ eneas

Definici´ on 2.2.1. Una funci´on f (x, y) es una funci´ on homog´ enea de grado n en las n variables x e y si f (tx, ty) = t f (x, y). Definici´ on 2.2.2. Una ecuaci´on diferencial de primer orden de la forma y 0 = f (x, y) se denomina ecuaci´ on diferencial homog´ enea si la funci´on f es homog´enea de grado 0. 16


Las ecuaciones homog´eneas se pueden expresar de la forma y 0 = g xy y al hacer el cambio de variable z = xy la ecuaci´on se reduce a una de variables separadas. Si la ecuaci´on diferencial est´a expresada de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es homog´enea si M y N son funciones homog´eneas del mismo grado. Una ecuaci´on diferencial de la forma   ax + by + c 0 y =f a0 x + b 0 y + c 0 en la que las rectas ax + by + c = 0 y a0 x + b0 y + c0 = 0 no son paralelas (y c 6= 0 o c0 6= 0 pues de lo contrario la ecuaci´on ya es homog´enea) se puede transformar en una ecuaci´on homog´enea trasladando el origen de coordenadas al punto de intersecci´on de dichas rectas (x0 , y0 ) mediante el cambio de variables  x = X + x0 y = Y + y0 Si las rectas son paralelas, el cambio de variable z = ax + by reduce la ecuaci´on a una de variables separadas. Ejercicios 1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) y 0 =

x2 +y 2 . xy

b) (3y − x)y 0 = 3x − y − 4. c) (2x − 4y + 5)y 0 = x − 2y + 3. d ) (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0. e) 4y(x2 + 3y 2 ) dx = x(x2 − 6y 2 ) dy. f ) (x2 + y 2 ) dx = x(x + y) dy. g) y 0 = (x + y)2 . h) x2 y 0 = (2x − y + 1)2 . i ) (x − y)2 y 0 = (x − y + 1)2 . 2. Integra la ecuaci´on diferencial (1 − x2 y 2 )y 0 = 2xy 3 mediante un cambio de variable del tipo y = z α que la transforme en homog´enea. 3. Halla las curvas que posean la propiedad de que la distancia del origen de coordenadas a cualquier recta tangente sea igual al valor absoluto de la abscisa del punto de tangencia. 17

2.3.

Ecuaciones exactas

Definici´ on 2.3.1. Una ecuaci´on diferencial de la forma M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se denomina ecuaci´ on diferencial exacta si existe una funci´on F (x, y) de forma que ∂F ∂F (x, y) dx + (x, y) dy = M (x, y) dx + N (x, y) dy. ∂x ∂y La soluci´on general ser´a entonces de la forma F (x, y) = C. Teorema 2.3.2. Si M, N son de clase C 1 , la ecuaci´on M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es exacta si y solo si se verifica ∂M ∂N (x, y) = (x, y). ∂y ∂x Demostraci´on. Si la ecuaci´on es exacta, entonces existe una funci´on F (x, y) tal que ∂F ∂F (x, y) = M (x, y) y (x, y) = N (x, y). ∂x ∂y Utilizando el Teorema de Schwartz se obtiene el resultado. Rec´ıprocamente, la funci´on  Z Z Z  ∂ M (x, y) dx dy F (x, y) = M (x, y) dx + g(y) con g(y) = N (x, y) − ∂y o bien la funci´on  Z Z  Z ∂ F (x, y) = N (x, y) dy + f (x) con f (x) = N (x, y) dy dx M (x, y) − ∂x cumple las condiciones para que la ecuaci´on sea exacta. Definici´ on 2.3.3. Se denomina factor integrante de una ecuaci´on diferencial de la forma M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 a toda funci´on µ(x, y) tal que al multiplicar la ecuaci´on por µ(x, y) se transforma en exacta. Sean M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 una ecuaci´on diferencial no exacta y µ(x, y) su posible factor integrante. Para ello es necesario y suficiente que se verifique la igualdad ∂(µM ) ∂(µN ) (x, y) = (x, y) ∂y ∂x o, equivalentemente, ∂ log µ ∂ log µ ∂N ∂M (x, y)M (x, y) − (x, y)N (x, y) = (x, y) − (x, y). ∂y ∂x ∂x ∂y 18

Por lo tanto, toda funci´on µ(x, y) que verifique esta condici´on es un factor integrante de la ecuaci´on inicial. La obtenci´on de un factor integrante para una ecuaci´on diferencial puede ser muy complicada puesto que la condici´on anterior es una ecuaci´on en derivadas parciales que puede ser dif´ıcil de resolver. Sin embargo, existen situaciones especiales en las que se puede calcular un factor integrante sin demasiada dificultad. Por ejemplo, µ(x), µ(y), µ(ax+by), µ(xα y β ), etc. Ejercicios 1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) e−y dx − (2y + xe−y ) dy = 0. b) (6xy 2 + 3x2 ) dx + (6x2 y + 4y 3 ) dy = 0. c) (xy 2 − 1) dx + y(x2 + 3) dy = 0.     d ) 2x + y1 dx + y1 − yx2 dy = 0. e) (sen xy + xy cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0. f ) (1 − xy) dx + (1 − x2 ) dy = 0. g) (y 2 + x) dx − 2xy dy = 0. p h) 2xy log y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0. 2. Integra la ecuaci´on diferencial (x2 − y 2 + 1) dx + (x2 − y 2 − 1) dy = 0 sabiendo que tiene un factor integrante que depende de una combinaci´on lineal de x e y. 3. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes si su factor integrante es de la forma µ(y 2 + x): a) (y 2 + 3x + 2y) dx + (4xy + 5y 2 + x) dy = 0 b) (3y 2 − x) dx + (2y 3 − 6xy) dy = 0 4. Integra la ecuaci´on diferencial (y 2 − xy) dx + x2 dy = 0 sabiendo que existe un factor integrante que es funci´on de xy 2 . 5. Encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (y 2 − x2 ) de la ecuaci´on diferencial (x2 + y 2 + 1) dx − 2xy dy = 0 y resu´elvela. 6. Dada la ecuaci´on diferencial (y − xy 2 log x) dx + x dy = 0, encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f (xy) y resu´elvela. 19

7. Demuestra que toda ecuaci´on diferencial de la forma yf (xy) dx + xg(xy) dy = 0 admite como factor integrante a µ(x, y) =

1 . xy(f (xy) − g(xy))

Aplica este resultado a la resoluci´on de la ecuaci´on x3 y 4 dx − (x2 y − x4 y 3 ) dy = 0. 8. Calcula un factor integrante de la ecuaci´on diferencial (x2 − y 2 − 1) dx + 2xy dy = 0 sabiendo que admite como soluci´on general a la familia de curvas x2 +y 2 −Cx+1 = 0.

2.4.

Ecuaciones lineales

Vamos a estudiar tres m´etodos para resolver una ecuaci´on diferencial lineal de primer orden y 0 + f (x)y = g(x), siendo f y g funciones continuas en la regi´on en la que se pretende integrar la ecuaci´on. Supondremos que la ecuaci´on es no homog´enea pues, en caso contrario, es de variables separadas. En primer lugar, la ecuaci´on se puede expresar como (f (x)y − g(x)) dx + dy = 0, calculando posteriormente un factor integrante que dependa solo de x. El segundo m´etodo consiste en realizar el cambio de variable y = uv. Sustituyendo en la ecuaci´on se tiene u0 v + u(v 0 + f (x)v) = g(x). Pues bien, primero se calcula v como una soluci´on particular no nula de la ecuaci´on diferencial v 0 + f (x)v = 0 y despu´es se calcula u como la soluci´on general de la ecuaci´on u0 v = g(x). Finalmente, un m´etodo de resoluci´on consiste en encontrar la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea, yh , y una soluci´on particular de la no homog´enea, yp . Se comprueba f´acilmente que la suma de Rambas es la soluci´on general de la no homog´enea. Para obtener yp a partir de yh (x) = Ce− f (x) dx se emplea el m´ etodo de variaci´ on de las constantes R que consiste en considerar C como una funci´on C(x) e imponer que C(x)e− f (x) dx sea soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea. Ejercicios 1. Calcula la velocidad de un cuerpo en ca´ıda libre con resistencia del aire. 2. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) xy 0 + (1 − x)y = xex . b) y 0 =

1 . ey −x 2

c) y 0 + 2xy = 2xe−x . 20

d ) y0 =

1 . x cos y+sen 2y

e) y 0 + y tag x = sec2 x. f ) y0 =

1 . 2x−y 2

3. Integra la ecuaci´on diferencial y 0 +

y x

= 3 cos 2x buscando un factor integrante.

4. Resuelve la ecuaci´on diferencial y 0 = y tag x + cos x realizando el cambio de variable y = uv. 5. Calcula la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial y 0 + x2 y = la condici´on inicial y(π) = 0.

cos x x2

que verifique

6. Halla la familia de funciones tales que el a´rea del trapecio limitado por los ejes de coordenadas, la recta tangente a la gr´afica de la funci´on en un punto y la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de tangencia sea constante e igual a a2 . 7. Dado el problema de valor inicial  0 y − y = 1 + 3 sen x y(0) = y0 encuentra el valor de y0 para el que la soluci´on permanece finita cuando x → ∞. 8. Dada la ecuaci´on diferencial 2x2 y 0 − xy = 2x cos x − 3 sen x, x > 0, estudia el comportamiento de las soluciones cuando x → 0 y cuando x → ∞. ¿Hay alguna soluci´on y tal que l´ım y(x) = 0? x→∞

9. Dadas y1 , y2 e y3 soluciones particulares de una ecuaci´on lineal y 0 + f (x)y = g(x), −y1 es constante. demuestra que la expresi´on yy13 −y 2

2.5. 2.5.1.

Algunas ecuaciones especiales La ecuaci´ on de Bernoulli

Definici´ on 2.5.1. La ecuaci´ on de Bernoulli es una ecuaci´on diferencial de la forma y 0 + f (x)y = g(x)y n con n 6= 0, 1. Para n = 0 se tiene una ecuaci´on lineal y para n = 1 es una ecuaci´on de variables separadas. 21

Esta ecuaci´on se reduce a una ecuaci´on lineal dividiendo ambos miembros por y n y haciendo el cambio de variable z = y 1−n . Otra forma de resolverla consiste en realizar el cambio de variable y = uv. La ecuaci´on de Bernoulli aparece, por ejemplo, en din´amica de poblaciones y en estabilidad del flujo de fluidos.

2.5.2.

La ecuaci´ on de Ricatti

Definici´ on 2.5.2. La ecuaci´ on de Ricatti es una ecuaci´on diferencial de la forma y 0 = f (x)y 2 + g(x)y + h(x) con f (x), h(x) 6≡ 0. Si f (x) ≡ 0, entonces la ecuaci´on es lineal, y si h(x) ≡ 0, entonces la ecuaci´on es una de Bernoulli. En general, esta ecuaci´on no puede resolverse por m´etodos elementales. Si se conoce una soluci´on particular y1 , entonces haciendo el cambio de variable y = y1 + u la ecuaci´on se transforma en la ecuaci´on de Bernoulli u0 = f (x)u2 + (2y1 f (x) + g(x))u la cual se resuelve a trav´es del cambio de variable v = u1 . Por lo tanto, se podr´ıa haber hecho 1 directamente el cambio de variable v = y−y en la ecuaci´on inicial. 1 La ecuaci´on de Ricatti aparece, por ejemplo, en hidrodin´amica.

2.5.3.

Ecuaciones de grado n respecto a y 0

Se trata de ecuaciones diferenciales de la forma (y 0 )n + f1 (x, y)(y 0 )n−1 + · · · + fn−1 (x, y)y 0 + fn (x, y) = 0. Para hallar su soluci´on general basta resolver la ecuaci´on respecto a y 0 e integrar todas las ecuaciones resultantes.

2.5.4.

Ecuaciones de la forma f (y, y 0 ) = 0.

Si en estas ecuaciones se puede despejar y 0 , resultan ecuaciones de variables separadas. Si se puede despejar y, y = g(y 0 ), se realiza el cambio de variable y 0 = t con lo que y = g(t). Diferenciando esta ecuaci´on y sustituyendo dy por t dx se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial en forma param´etrica. 22

Si no se puede despejar ni y ni y 0 pero se pueden expresar param´etricamente de la forma  y = g(t) y 0 = h(t) entonces, diferenciando la primera ecuaci´on y sustituyendo dy por h(t) dx se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial en forma param´etrica.

2.5.5.

Ecuaciones de la forma f (x, y 0 ) = 0.

Al igual que en el tipo anterior, si en estas ecuaciones se puede despejar y 0 , resultan ecuaciones de variables separadas. Si se puede despejar x, x = g(y 0 ), se realiza el cambio de variable y 0 = t con lo que x = g(t). Diferenciando esta ecuaci´on y sustituyendo dx por dyt se obtiene la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial en forma param´etrica. Si no se puede despejar ni x ni y 0 pero se pueden expresar param´etricamente de la forma  x = g(t) y 0 = h(t) entonces, diferenciando la primera ecuaci´on y sustituyendo dx por ci´on general de la ecuaci´on diferencial en forma param´etrica.

2.5.6.

dy h(t)

se obtiene la solu-

La ecuaci´ on de Lagrange

Definici´ on 2.5.3. La ecuaci´ on de Lagrange es una ecuaci´on diferencial de la forma y = xf (y 0 ) + g(y 0 ). Para resolver una ecuaci´on de este tipo se realiza el cambio de variable y 0 = t, reduci´endola diferenciando a una ecuaci´on lineal considerando x en funci´on de t. La soluci´on general vendr´a dada entonces en forma param´etrica:  x = ϕ(t, C) y = ϕ(t, C)f (t) + g(t)

2.5.7.

La ecuaci´ on de Clairaut

Definici´ on 2.5.4. La ecuaci´ on de Clairaut es una ecuaci´on diferencial de la forma y = xy 0 + g(y 0 ). 23

Es, por tanto, un caso particular de la ecuaci´on de Lagrange, cuyas soluciones son una familia de rectas junto con su envolvente, la cual es una soluci´on singular. Ejercicios 1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) 3xy 0 − 2y = x3 y −2 . b) y = xy 0 + (y 0 )2 . c) y = 2xy 0 + sen y 0 . d ) xy 0 + y = y 2 log x. e) y 2/3 + (y 0 )2/3 = 1. f ) y = 2xy 0 + log y 0 . g) y = xy 0 +

a 2y 0

siendo a una constante.

h) 2y 0 sen x + y cos x = y 3 (x cos x − sen x). i ) 2y = xy 0 + y 0 log y 0 . 0

j ) y = (y 0 )2 ey . k ) x = log y 0 + sen y 0 . l ) y 4 − (y 0 )4 − y(y 0 )2 = 0. 2. Integra la ecuaci´on diferencial xy 0 = y +

2x (y 2 − x2 ) x4 − 1

sabiendo que admite soluciones particulares de la forma y = ax + b. 3. Halla la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a. 4. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado 2 respecto a y0: a) y(y 0 )2 + (x − y)y 0 − x = 0. b) (y 0 )2 − (2x + y)y 0 + x2 + xy = 0. c) x(y 0 )2 + 2xy 0 − y = 0. d ) 4(y 0 )2 − 9x = 0. e) (y 0 )2 − 2yy 0 = y 2 (ex − 1). f ) x2 (y 0 )2 + 3xyy 0 + 2y 2 = 0.

24

Tema 3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 3.1.

Estructura del conjunto de soluciones

Vamos a analizar en esta secci´on la estructura del conjunto de soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal de orden n y n) + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = g(x) siendo ai (x), 1 ≤ i ≤ n, y g(x) funciones continuas en un intervalo (a, b). Definici´ on 3.1.1. Dado un conjunto de funciones {y1 , y2 , . . . , yn } definidas en un intervalo (a, b) y derivables hasta el orden n − 1, se denomina wronskiano de estas funciones y se denota por W [y1 , y2 , . . . , yn ] a la funci´on definida por el determinante y1 y2 y10 y20 W [y1 , y2 , . . . , yn ] = .. .. . . n−1) n−1) y1 y2

··· ··· .. . ···

yn yn0 .. . n−1)

yn

.

Teorema 3.1.2. Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son linealmente dependientes en el intervalo (a, b), entonces W [y1 , y2 , . . . , yn ] ≡ 0. Demostraci´on. Trivial. Esta condici´on no es suficiente pues basta considerar las siguientes funciones definidas en (−1, 1): y1 (x) = x2 χ(−1,0) e y2 (x) = x2 χ[0,1) . 25

3.1.1.

La ecuaci´ on homog´ enea

Teorema 3.1.3. Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b), entonces cualquier combinaci´on lineal suya tambi´en lo es. Demostraci´on. Trivial. Teorema 3.1.4. Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo no es id´enticamente nulo. Demostraci´on. Supongamos que W [y1 , y2 , . . . , yn ] ≡ 0. Dado x0 ∈ (a, b), el sistema homog´eneo de ecuaciones lineales en las variables c1 , c2 , . . . , cn  P n   ck yk (x0 ) = 0    k=1  n    P ck y 0 (x0 ) = 0 k k=1

        

.. . n P

n−1)

ck y k

(x0 ) = 0

k=1

tiene infinitas soluciones ya que el determinante de la matriz de coeficientes, es decir, el wronskiano, es nulo. En particular existen c1 , c2 , . . . , cn no todos nulos que son soluci´on del sistema. Por tanto, la funci´on n X ck yk k=1

es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea por ser una combinaci´on lineal de ellas, y tanto ella como sus derivadas hasta el orden n − 1 se anulan en x0 , al igual que la funci´on id´enticamente nula que tambi´en es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea. El teorema de unicidad nos da la contradicci´on. A continuaci´on demostraremos que bajo la hip´otesis del teorema anterior el wronskiano no se anula nunca. Lema 3.1.5. Si y1 , y2 , . . . , yn son funciones derivables y1 y2 0 y1 y20 .. . W 0 [y1 , y2 , . . . , yn ] = .. . n−2) n−2) y1 n) y2 n) y y2 1 26

hasta el orden n, entonces ··· yn ··· yn0 .. .. . . . n−2) · · · yn n) · · · yn

Demostraci´on. Por inducci´on, desarrollando W [y1 , y2 , . . . , yn ] por la u ´ltima fila antes de derivar. Teorema 3.1.6. Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es id´enticamente nulo o no se anula en ning´ un punto. Demostraci´on. En primer lugar, se verifica que n)

n−1)

yi + a1 (x)yi

+ · · · + an−1 (x)yi0 + an (x)yi = 0

para todo 1 ≤ i ≤ n. Multiplicando cada una de estas expresiones por el adjunto del elemento de la fila n y la columna i del wronskiano, sum´andolas y aplicando el lema anterior se tiene la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden W 0 [y1 , y2 , . . . , yn ] + a1 (x)W [y1 , y2 , . . . , yn ] = 0 que tiene por soluci´on general W [y1 , y2 , . . . , yn ] = Ce−

R

a1 (x) dx

obteni´endose el resultado.

No se puede prescindir de la hip´otesis de que las funciones sean soluciones de la ecuaci´on homog´enea. Basta considerar, por ejemplo, las funciones definidas en (−1, 1): y1 (x) = x2 e y2 (x) = x3 . Definici´ on 3.1.7. Se denomina conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes en dicho intervalo. Teorema 3.1.8. Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´ on homog´enea en el intervalo (a, b). Demostraci´on. Sea x0 ∈ (a, b). Por el teorema de existencia, para todo 0 ≤ i ≤ n − 1 i) j) existe una soluci´on yi de la ecuaci´on homog´enea tal que yi (x0 ) = 1 e yi (x0 ) = 0 si j 6= i. Las funciones yi con 0 ≤ i ≤ n − 1 son linealmente independientes pues basta con derivar n − 1 veces una combinaci´on lineal suya id´enticamente nula y evaluar cada una de esas expresiones en x0 . Teorema 3.1.9. Dado un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b), cualquier otra soluci´on se puede expresar como combinaci´on lineal de ellas. Demostraci´on. Sean {y1 , y2 , . . . , yn } un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b), ϕ otra soluci´on cualquiera y x0 ∈ (a, b). Entonces 27

W [y1 , y2 , . . . , yn ](x0 ) 6= 0. Se determinan ϕ(x0 ), ϕ0 (x0 ), . . . , ϕn−1) (x0 ) y se considera el sistema de ecuaciones lineales en las variables c1 , c2 , . . . , cn  P n   ck yk (x0 ) = ϕ(x0 )    k=1  n    P ck y 0 (x0 ) = ϕ0 (x0 ) k k=1

        

.. . n P

n−1)

ck yk

(x0 ) = ϕn−1) (x0 )

k=1

que tiene soluci´on u ´nica porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo. El teorema de unicidad conduce al resultado. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuaci´on homog´enea tiene estructura de espacio vectorial de dimensi´on n, y dado un conjunto fundamental de soluciones, la soluci´on general se puede expresar como una combinaci´on lineal suya.

3.1.2.

La ecuaci´ on no homog´ enea

Teorema 3.1.10. Si {y1 , y2 , . . . , yn } es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea en el intervalo (a, b) y ϕp es una soluci´on cualquiera de la ecuaci´on no homog´enea, entonces para toda soluci´on ϕ de la ecuaci´on no homog´enea existen constantes c1 , c2 , . . . , cn tales que n X ϕ = ϕp + ck y k . k=1

Demostraci´on. Basta comprobar que ϕ−ϕp es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea y aplicar el teorema anterior. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuaci´on no homog´enea tiene estructura de espacio af´ın de dimensi´on n construido sobre el espacio vectorial de soluciones de la ecuaci´on homog´enea. Ejercicios 1. Demuestra que los conjuntos de funciones siguientes son linealmente independientes en R: a) {eλ1 x , eλ2 x , . . . , eλn x }. b) {eαx cos βx, eαx sen βx}. 28

c) {eλx , xeλx , . . . , xn−1 eλx }. 2. Comprueba si el conjunto de funciones {log x, x log x, x2 log x} es linealmente independiente en (0, ∞). 3. ¿Pueden ser f (x) = x y g(x) = ex soluciones de la ecuaci´on y 00 +a1 (x)y 0 +a2 (x)y = 0, a1 (x) y a2 (x) continuas, en el intervalo (0, 2)? ¿Y en (−6, −1)? 4. Comprueba si las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) C1 x + C2 de la ecuaci´on diferencial y 00 = 0. b) C1 cos x + C2 sen x de la ecuaci´on diferencial y 00 + y = 0. c) C1 ex + C2 e−x de la ecuaci´on diferencial y 00 − y = 0. d ) C1 cos x + C2 sen x + 1 de la ecuaci´on diferencial y 00 + y = 1. e) C1 ex + C2 e−x +

e2x 3

de la ecuaci´on diferencial y 00 − y = e2x .

5. Resuelve la ecuaci´on diferencial xy 00 + 2y 0 + xy = 0, con x > 0, sabiendo que y1 = senx x es una soluci´on particular. Para ello busca otra soluci´on particular de la forma y2 = y1 z. 6. Halla la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial xy 00 − (x + 1)y 0 + y = 0, con x > 0, buscando previamente una soluci´on particular de tipo exponencial. 7. Las ecuaciones de Cauchy-Euler son de la forma p0 xn y n) + p1 xn−1 y n−1) + · · · + pn−1 xy 0 + pn y = g(x) con p0 , p1 , . . . , pn ∈ R y x 6= 0. Resuelve la ecuaci´on x2 y 00 + 2xy 0 − 6y = 0, con x > 0, buscando soluciones de la forma y = xr .

3.2. 3.2.1.

Ecuaciones con coeficientes constantes La ecuaci´ on homog´ enea

Para resolver la ecuaci´on homog´enea se buscan soluciones de la forma y = eλx . Al sustituir estas funciones en la ecuaci´on se obtiene que (λn +a1 λn−1 +· · ·+an−1 λ+an )eλx = 0 luego λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0 expresi´on que se denomina ecuaci´ on caracter´ıstica de la ecuaci´on homog´enea, y polinomio caracter´ıstico al polinomio que la define. Por tanto, y = eλx es soluci´on de la 29

ecuaci´on homog´enea si y solo si λ es ra´ız de su ecuaci´on caracter´ıstica. Dichas ra´ıces se denominan autovalores o valores propios de la ecuaci´on homog´enea. Los autovalores reales o complejos y su multiplicidad determinan los distintos tipos de soluciones de la ecuaci´on homog´enea: 1. Si los autovalores son reales y simples, λ1 , λ2 , . . . , λn , entonces un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por   y1 = eλ1 x    y2 = eλ2 x ..  .    y = eλn x n y por tanto la soluci´on general es una combinaci´on lineal de estas funciones. 2. Si hay un autovalor real de multiplicidad m, λ, entonces un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por las siguientes funciones (ejercicio):   y1 = eλx    y2 = xeλx ..  .    y = xm−1 eλx m

3. Si hay dos autovalores complejos simples, α ± βi, entonces un conjunto fundamental de soluciones en el plano complejo ser´ıa z1 = e(α+βi)x y z2 = e(α−βi)x , y tambi´en  2 = eαx cos βx y1 = z1 +z 2 z1 −z2 y2 = 2i = eαx sen βx 4. Si hay dos autovalores complejos de multiplicidad m, α±βi, utilizando los resultados de los dos casos anteriores se tiene que un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por las siguientes funciones:  y1 = eαx cos βx     y2 = xeαx cos βx    ..   .    ym = xm−1 eαx cos βx ym+1 = eαx sen βx     ym+2 = xeαx sen βx     ..   .   y2m = xm−1 eαx sen βx 5. Finalmente, si los autovalores son de varios de los tipos anteriores, un conjunto fundamental de soluciones estar´ıa formado por la conjunci´on de las funciones que aportara cada tipo. 30

3.2.2.

La ecuaci´ on no homog´ enea

Por el Teorema 3.1.10, obtener la soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea se reduce a encontrar una soluci´on particular de la misma y la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada. Si g(x) = eαx (Pm (x) cos βx+Qr (x) sen βx), siendo Pm (x) y Qr (x) polinomios de grados m y r, respectivamente, una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea es ϕp = xs eαx (Rk (x) cos βx + Sk (x) sen βx) siendo s el orden de multiplicidad de la ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica de la ecuaci´on homog´enea α ± βi, k = m´ax(m, r) y Rk (x) y Sk (x) polinomios de grado k de coeficientes indeterminados que hay que calcular. Esta t´ecnica es conocida como m´ etodo de los coeficientes indeterminados. Si g(x) es una combinaci´on lineal de ese tipo de funciones, una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea es la misma combinaci´on lineal de las respectivas soluciones particulares para cada una de dichas funciones. En general, se puede emplear el m´etodo de variaci´on de las constantes que consiste en obtener primero la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea n X

ck y k

k=1

y buscar a continuaci´on una soluci´on particular de la no homog´enea pero considerando las constantes como funciones que hay que determinar ϕp =

n X

ck (x)yk .

k=1

Para ello hay que imponer n condiciones que se obtienen derivando ϕp n veces y sustituyendo los resultados en la ecuaci´on diferencial. Las n condiciones son:  n P 0   ck (x)yk = 0    k=1  n  P    c0k (x)yk0 = 0    k=1 .. .   n P  n−2)   c0k (x)yk =0    k=1  n  P  n−1)  c0k (x)yk = g(x)  k=1

El sistema tiene soluci´on u ´nica pues el determinante de la matriz de coeficientes es W [y1 , y2 , . . . , yn ] que no se anula en ning´ un punto de (a, b). 31

Ejercicios 1. Halla la soluci´on general de las ecuaciones diferenciales siguientes: a) y 00 − 3y 0 + 2y = 0. b) y 000 + 6y 0 + 20y = 0. c) y 6) + y 4) − y 00 − y = 0. d ) y 000 − y 00 = 12x2 + 6x. e) y 00 + y = x sen x. f ) y 00 − y = sen2 x. g) y 00 − 6y 0 + 9y = 25ex sen x. h) x2 y 00 − 6x2 y 0 + 9x2 y = e3x con x > 0. i ) y 00 + y = sec x. j ) y 000 + y 0 = cosec x. k ) y 00 + 4y = tag 2x. l ) y 00 + 2y 0 + y = e−x log x. 2. Resuelve la ecuaci´on diferencial y 00 + 2y 0 + y = 0 y encuentra la soluci´on particular que verifique y(0) = y 0 (0) = 1. 3. Prueba que si xeλx es soluci´on de una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes homog´enea, entonces su ecuaci´on caracter´ıstica tiene a λ como ra´ız doble. 4. Calcula la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y 000 − y 00 + y 0 − y = x2 + x y encuentra la soluci´on particular que verifica y(0) = 0, y 0 (0) = y 00 (0) = 1. 5. Halla las soluciones de la ecuaci´on diferencial y 00 + 4y 0 + 4y = 2ex (sen x + 7 cos x) que verifican l´ım y(x) = 0. x→−∞

6. Calcula las soluciones de la ecuaci´on diferencial (1 − x)y 00 + xy 0 − y = (x − 1)2 ex con x < 1, que verifican l´ım y(x) = 0 e y(0) = 1 sabiendo que y1 = x e y2 = ex x→−∞

forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci´on homog´enea asociada. 7. Dos pesos iguales est´an colgados del extremo de un resorte. Halla la ecuaci´on del movimiento que efectuar´a uno de estos pesos si el otro se desprende. 8. Integra la ecuaci´on de Cauchy-Euler x2 y 00 + xy 0 − y = 0, con x 6= 0, haciendo el cambio de variable x = et . 9. Halla la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial x2 y 00 −xy 0 +y = 2x que verifica y(1) = 0, y 0 (1) = 1. 32

Tema 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 4.1.

Introducci´ on

Definici´ on 4.1.1. Un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden k se expresa mediante una funci´on vectorial F de la forma F (x, f (x), f 0 (x), f 00 (x), . . . , f k) (x)) = 0, siendo la funci´on buscada f (x) = (f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)). Si k = 1 y es posible despejar y 0 = f 0 (x), entonces el sistema se puede expresar de la siguiente forma:   y10 = F1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )    y 0 = F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ) 2 ..  .    y 0 = F (x, y , y , . . . , y ) n 1 2 n n

(4.1)

La soluci´ on general del sistema 4.1 est´a formada por n funciones ϕi (x, C1 , C2 , . . . , Cn ), con 1 ≤ i ≤ n, que dependen de n constantes C1 , C2 , . . . , Cn y satisfacen las ecuaciones del sistema para todos los valores de las constantes, y si hay condici´on inicial y(x0 ) = (y1 (x0 ), y2 (x0 ), . . . , yn (x0 )) = (y01 , y02 , . . . , y0n ) se pueden elegir las constantes para que dichas funciones la satisfagan. Una soluci´ on particular del sistema es la que se obtiene de la soluci´on general para valores concretos de las constantes. El procedimiento para expresar una ecuaci´on diferencial de orden n y n) = f (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y n−1) ) 33

como un sistema equivalente de n ecuaciones diferenciales de primer orden consiste en a˜ nadir m´as variables de la siguiente forma:   y1 = y   0    y2 = y y3 = y 00  ..   .    y = y n−1) n

con lo que un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de orden n puede transformarse igualmente en un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de primer orden. Por esta raz´on, sin p´erdida de generalidad, basta estudiar estos u ´ltimos. Rec´ıprocamente, si y1 , y2 , . . . , yn son soluciones del sistema 4.1, derivando la primera ecuaci´on con respecto a x y sustituyendo y10 , y20 , . . . , yn0 por sus expresiones en el sistema se obtiene y100 = G2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ). Derivando esta expresi´on con respecto a x y sustituyendo del mismo modo se tiene y1000 = G3 (x, y1 , y2 , . . . , yn ). Repitiendo el proceso hasta la n) derivada de orden n se obtiene y1 = Gn (x, y1 , y2 , . . . , yn ). Es decir, se tiene el sistema  0 y = G1 (x, y1 , y2 , . . . , yn )    100  y1 = G2 (x, y1 , y2 . . . , yn ) (4.2) ..  .    n) y1 = Gn (x, y1 , y2 , . . . , yn ) De las n − 1 primeras ecuaciones se calculan y2 , y3 , . . . , yn en funci´on de x, y1 y sus derivadas:  n−1) y2 = H2 (x, y1 , y10 , . . . , y1 )     y = H (x, y , y 0 , . . . , y n−1) ) 3 3 1 1 1 (4.3) . .  .    n−1) yn = Hn (x, y1 , y10 , . . . , y1 ) Introduciendo estas expresiones en la u ´ltima ecuaci´on de 4.2 se obtiene la ecuaci´on diferencial de orden n n) n−1) y1 = H1 (x, y1 , y10 , . . . , y1 ). Resolviendo esta ecuaci´on se obtiene la soluci´on general y1 = ϕ1 (x, C1 , C2 , . . . , Cn ) y calculando sus derivadas y sustituyendo en 4.3 se determinan y2 , y3 , . . . , yn . Definici´ on 4.1.2. Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se expresa de la siguiente forma:   y10 = a11 (x)y1 + a12 (x)y2 + · · · + a1n (x)yn + g1 (x)    y 0 = a21 (x)y1 + a22 (x)y2 + · · · + a2n (x)yn + g2 (x) 2 ..  .    y 0 = a (x)y + a (x)y + · · · + a (x)y + g (x) n

n1

1

n2

2

34

nn

n

n

siendo aij (x) y gi (x), 1 ≤ i, j ≤ n, funciones continuas en un intervalo (a, b). Si gi (x) ≡ 0, 1 ≤ i ≤ n, el sistema se denomina homog´ eneo. La equivalente ecuaci´on matricial es 0 y = A(x)y + g(x) donde A(x) = (aij (x)) y g(x) = (gi (x)). Ejercicios 1. Expresa en forma matricial el sistema de ecuaciones diferenciales asociado a la ecuaci´on y 00 + 2y 0 + y = 0. 2. Resuelve los sistemas de ecuaciones diferenciales siguientes a trav´es de sus ecuaciones asociadas:  0     y1 1 2 y1 a) = . y2 y20 3 2    0   0 1 0 y1 y1 0 1   y 2 . b)  y20  =  0 0 −1 −3 −3 y3 y3

4.2.

Estructura del conjunto de soluciones

Definici´ on 4.2.1. Dado un conjunto de funciones vectoriales {y1 , y2 , . . . , yn } siendo cada yk = (yk1 , yk2 , . . . , ykn ), 1 ≤ k ≤ n, se denomina wronskiano de estas funciones y se denota por W [y1 , y2 , . . . , yn ] a la funci´on definida por el determinante y11 y21 · · · yn1 y12 y22 · · · yn2 W [y1 , y2 , . . . , yn ] = .. .. . . .. . . . . . y1n y2n · · · ynn

4.2.1.

El sistema homog´ eneo

Teorema 4.2.2. Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son soluciones del sistema homog´eneo en el intervalo (a, b), entonces cualquier combinaci´on lineal suya tambi´en lo es. Demostraci´on. Trivial. Teorema 4.2.3. Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son soluciones linealmente independientes del sistema homog´eneo en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano no se anula en ning´ un punto de ese intervalo. 35

Demostraci´on. Supongamos que existe x0 ∈ (a, b) tal que W [y1 , y2 , . . . , yn ](x0 ) = 0. Por tanto, una columna del wronskiano es combinaci´on lineal de las otras. Supongamos que es la primera, es decir, y1 (x0 ) = c2 y2 (x0 ) + c3 y3 (x0 ) + · · · + cn yn (x0 ). Sea z = −y1 + c2 y2 + c3 y3 + · · · + cn yn . Esta funci´on es soluci´on del sistema y se anula en x0 . Por el teorema de unicidad, z ≡ 0 lo que contradice que las funciones y1 , y2 , . . . , yn sean linealmente independientes en el intervalo (a, b). Teorema 4.2.4. Si las funciones y1 , y2 , . . . , yn son soluciones del sistema homog´eneo en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es id´enticamente nulo o no se anula en ning´ un punto. Demostraci´on. Se puede comprobar por inducci´on la siguiente expresi´on para la derivada del wronskiano: W 0 [y1 , y2 , . . . , yn ] = W [y10 , y2 , . . . , yn ] + W [y1 , y20 , . . . , yn ] + · · · + W [y1 , y2 , . . . , yn0 ]. Ya que yk0 = A(x)yk para todo 1 ≤ k ≤ n, sustituyendo en la expresi´on anterior se tiene la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden W 0 [y1 , y2 , . . . , yn ] = (a11 (x) + a22 (x) + · · · + ann (x))W [y1 , y2 , . . . , yn ] R

que tiene por soluci´on general W [y1 , y2 , . . . , yn ] = Ce tado.

traza A(x) dx

obteni´endose el resul-

Este u ´ltimo resultado puede obtenerse tambi´en directamente del anterior. Definici´ on 4.2.5. Se denomina sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes en dicho intervalo. Teorema 4.2.6. Siempre existe un sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo en el intervalo (a, b). Demostraci´on. Sea x0 ∈ (a, b). Por el teorema de existencia, para todo 1 ≤ k ≤ n existe una soluci´on yk del sistema homog´eneo tal que ykk (x0 ) = 1 e yki (x0 ) = 0 si i 6= k. Las funciones yk con 1 ≤ k ≤ n son linealmente independientes pues basta evaluar en x0 cualquier combinaci´on lineal suya para obtener la nulidad de todos los coeficientes. Teorema 4.2.7. Dado un sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo en el intervalo (a, b), cualquier otra soluci´on se puede expresar como combinaci´on lineal de ellas. 36

Demostraci´on. Sean {y1 , y2 , . . . , yn } un sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo en el intervalo (a, b), ϕ otra soluci´on cualquiera y x0 ∈ (a, b). Entonces W [y1 , y2 , . . . , yn ](x0 ) 6= 0. Se determina ϕ(x0 ) y se considera el sistema de ecuaciones lineales en las variables c1 , c2 , . . . , cn  P n   ck yk1 (x0 ) = ϕ1 (x0 )    k=1  n    P ck yk2 (x0 ) = ϕ2 (x0 ) k=1

        

.. . n P

ck ykn (x0 ) = ϕn (x0 )

k=1

que tiene soluci´on u ´nica porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo. El teorema de unicidad conduce al resultado. Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema homog´eneo tiene estructura de espacio vectorial de dimensi´on n, y dado un sistema fundamental de soluciones, la soluci´on general se puede expresar como una combinaci´on lineal suya. Definici´ on 4.2.8. Se denomina matriz fundamental del sistema homog´eneo en un intervalo (a, b) a una matriz Φ cuyas columnas forman un sistema fundamental de soluciones del sistema en dicho intervalo. Y se denomina matriz fundamental principal a aquella tal que Φ(x0 ) = I para alg´ un x0 ∈ (a, b). Definici´ on 4.2.9. Se denomina matriz soluci´ on del sistema homog´eneo en un intervalo (a, b) a una matriz cuyas columnas son soluciones del sistema en dicho intervalo, linealmente independientes o no. La soluci´on general del sistema homog´eneo se puede expresar en t´erminos de una matriz fundamental: y = Φ C donde C es un vector de constantes indeterminadas. Una matriz fundamental queda caracterizada por verificar que Φ0 = A(x)Φ y que su determinante es no nulo.

4.2.2.

El sistema no homog´ eneo

Teorema 4.2.10. Si {y1 , y2 , . . . , yn } es un sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo en el intervalo (a, b) y ϕp es una soluci´on cualquiera del sistema no homog´eneo, entonces para toda soluci´on ϕ del sistema no homog´eneo existen constantes c1 , c2 , . . . , cn tales que n X ϕ = ϕp + ck y k . k=1

37

Demostraci´on. Basta comprobar que ϕ − ϕp es soluci´on del sistema homog´eneo y aplicar el Teorema 4.2.7.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema no homog´eneo tiene estructura de espacio af´ın de dimensi´on n construido sobre el espacio vectorial de soluciones del sistema homog´eneo.

Ejercicios



   e2x xe2x (x + 1)e2x xe2x 1. Prueba que Φ1 (x) = y Φ2 (x) = −e2x (1 − x)e2x −xe2x (1 − x)e2x son matrices fundamentales del sistema    0   3 1 y1 y1 . = y2 y20 −1 1 

0 −2ex ex 2. Comprueba que Φ(x) =  0 x e xex ma  0   y1  y20  =  y30

 0 2e3x  es una matriz fundamental del sistee3x   1 0 0 y1 1 3 0   y2  . 0 1 1 y3

3. Encuentra un deecuaciones diferenciales lineales de primer orden para el  sistema 2x 2e 3ex que Φ(x) = sea una matriz fundamental. 2x e 2ex 4. Dadas las funciones vectoriales y1 = (x, 1) e y2 = (x2 , 2x): a) Calcula su wronskiano. b) ¿En qu´e intervalos son linealmente independientes? c) ¿Qu´e conclusi´on puede formularse acerca de los coeficientes del sistema homog´eneo satisfecho por ellas? d ) Encuentra dicho sistema y verifica las conclusiones del apartado anterior. 5. Contesta a las mismas preguntas del ejercicio anterior para las funciones vectoriales y1 = (x2 , 2x) e y2 = (ex , ex ). 38

4.3. 4.3.1.

Sistemas con coeficientes constantes El sistema homog´ eneo

Para resolver el sistema homog´eneo se buscan soluciones de la forma y = veλx , donde v ∈ Rn \{0}. Para que y sea soluci´on del sistema se debe verificar que y 0 = λveλx = Aveλx , es decir, Av = λv, con lo que v es un autovector de la matriz A asociado al autovalor λ. Por tanto, si A tiene n autovalores distintos, λ1 , λ2 , . . . , λn , un sistema fundamental de soluciones del sistema homog´eneo estar´ıa formado por las funciones yk = vk eλk x , siendo vk un autovector de la matriz A asociado al autovalor λk , 1 ≤ k ≤ n. Si A tiene el autovalor λ de multiplicidad m y hay m autovectores linealmente independientes asociados a λ, v1 , v2 , . . . , vm , entonces las funciones yk = vk eλx , 1 ≤ k ≤ m, son m soluciones del sistema homog´eneo linealmente independientes. Si A tiene autovalores simples y m´ ultiples, un sistema fundamental de soluciones estar´ıa formado por la conjunci´on de las funciones que aportara cada uno. En general, si J es la forma can´onica de Jordan de A y B es la matriz de cambio de base, es decir, B −1 AB = J, el cambio de variable y = Bz nos conduce al sistema homog´eneo z 0 = Jz, resoluble f´acilmente. El sistema fundamental que se obtiene, en general, puede estar formado por soluciones complejas, pero a partir de ´el se puede obtener otro formado por soluciones reales. En efecto, para toda soluci´on compleja z = (a + bi)e(α+βi)x se tiene la soluci´on z, y las funciones  y1 = z+z = eαx (a cos βx − b sen βx) 2 y2 = z−z = eαx (b cos βx + a sen βx) 2i son tambi´en soluciones del sistema homog´eneo linealmente independientes. Otro m´etodo para resolver un sistema homog´eneo consiste en calcular directamente una matriz fundamental, lo que conlleva hallar la exponencial de una matriz: Definici´ on 4.3.1. Sea A una matriz cuadrada constante. Se define la exponencial de la matriz A mediante la expresi´on ∞

X An A2 An e =I +A+ + ··· + + ··· = . 2! n! n! n=0 A

Las principales propiedades de la exponencial de una matriz son las siguientes: 1. La exponencial de una matriz diagonal A tambi´en lo es y en su diagonal principal aparecen las exponenciales de los elementos de la diagonal principal de A. 39

2. La exponencial de una matriz nilpotente A (existe n ∈ N tal que An = 0) tiene un n´ umero finito de sumandos. 3. e0 = I. 4. erI = er I para todo r ∈ R. 5. Si AB = BA, entonces eA+B = eA eB . 6. eA es regular ya que |eA | = etraza A . 7. (eA )−1 = e−A . Proposici´ on 4.3.2. eAx es una matriz fundamental principal del sistema homog´eneo. Demostraci´on. Basta derivar en la expresi´on de eAx para comprobar que es una matriz fundamental del sistema homog´eneo. Adem´as, eAx = I cuando x = 0. Por tanto, y = eA(x−x0 ) y0 es la u ´nica soluci´on del problema de valor inicial  0 y = Ay y(x0 ) = y0 Para calcular eAx , si J es la forma can´onica de Jordan de A y B es la matriz de cambio de base, entonces eAx = BeJx B −1 = BeDx eN x B −1 siendo D una matriz diagonal y N una nilpotente.

4.3.2.

El sistema no homog´ eneo

Por el Teorema 4.2.10, obtener la soluci´on general del sistema no homog´eneo se reduce a encontrar una soluci´on particular del mismo y la soluci´on general del sistema homog´eneo asociado. El m´etodo de variaci´on de las constantes consiste en obtener primero la soluci´on general del sistema homog´eneo en t´erminos de una matriz fundamental ϕ = Φ C donde C es un vector de constantes indeterminadas y buscar a continuaci´on una soluci´on particular del no homog´eneo pero considerando las constantes como funciones que hay que determinar ϕp = Φ C(x). Al derivar la expresi´on anterior y sustituir en el sistema se obtiene Φ0 C(x) + Φ C 0 (x) = A Φ C(x) + g(x). Ya que Φ es una matriz fundamental del sistema homog´eneo se tiene que Φ C 0 (x) = g(x). Como Φ es una matriz regular, C 0 (x) = Φ−1 g(x). Integrando se obtiene C(x). 40

Ejercicios 1. Halla la soluci´on general del sistema homog´eneo y 0 = Ay en los siguientes casos:   1 −5 a) A = . 2 −1   1 2 b) A = . −2 5   3 −1 1 c) A =  −1 5 −1 . 1 −1 3   0 1 1 d ) A =  1 0 1 . 1 1 0   1 1 1 e) A =  2 1 −1 . −3 2 4   5 −3 −2 f ) A =  8 −5 −4 . −4 3 3   0 0 −1 1  0 −1 0 0  . g) A =   0 0 1 0  −1 1 −1 0   −1 0 −2 0 1  0 1 0 1 0     0 1 0 0  h) A =  0 .  0 −2 0 −1 0  0 0 0 0 −1  0     y1 0 1 0 y1 2. Resuelve el sistema homog´eneo  y20  =  0 2 −1   y2  con la condiy30 −1 1 1 y3 ci´on inicial y(0) = (2, 3, 4).  0     y1 2a 1 −1 y1 3. Integra el sistema homog´eneo  y20  =  0 0 1   y2  para los distintos y30 1 0 1 y3 valores del par´ametro a ∈ R. 4. Calcula eAx en los siguientes casos:   5 −6 a) A = . 2 −2 41

 b) A =

3 1 −1 1

 .



 1 −1 4 c) A =  3 2 −1 . 2 1 −1 5. Resuelve los sistemas no homog´eneos siguientes:  0       y1 −1 −2 y1 sen x + cos x a) = + . y20 −2 −1 y2 sen x − cos x      0   y1 4x + 1 −2 −4 y1 = + . b) 3 2 y20 −1 1 y2 x 2    2x   0   −6 −3 14 y1 e y1 3 −8   y2  +  0 . c)  y20  =  4 y3 0 −2 −1 5 y30 6. Integra los sistemas no homog´eneos siguientes con las condiciones iniciales indicadas:  0       y1 7 −12 y1 sen x a) = + , y(0) = (0, 0). y20 2 −3 y2 cos x  0      5x  y1 4 2 y1 e b) = + , y(0) = (0, 0). y20 −1 7 y2 e5x      0   −2 −7 3 y1 x y1 0        1 3 −1 y2 0  , y(0) = (1, 1, 1). y2 = + c) 0 y3 −1 −3 2 y3 x      0   y1 1 0 0 y1 0  , y(0) = (0, 1, 1). 0 d )  y20  =  2 1 −2   y2  +  0 x y3 3 2 1 y3 e cos 2x

42

Tema 5 Transformada de Laplace y m´ etodo de series de potencias 5.1. 5.1.1.

Transformada de Laplace Definici´ on y propiedades

Definici´ on 5.1.1. Dada una funci´on f : [0, ∞) −→ R, se define su transformada de Laplace L{f (x)} mediante la funci´on Z ∞ F (s) = e−sx f (x) dx 0

siempre que la integral sea convergente, con s ∈ R. Obtengamos ahora algunas condiciones suficientes para que exista la transformada de Laplace de una funci´on. Definici´ on 5.1.2. Una funci´on f (x) es de orden exponencial c si existen constantes c, M > 0 tales que |f (x)| ≤ M ecx para todo x ≥ x0 . Teorema 5.1.3. Si f (x) es una funci´on continua a trozos en el intervalo [0, a] para todo a > 0 y es de orden exponencial c, entonces F (s) existe para s > c. Demostraci´on. Se tiene que Z |F (s)| ≤

0

x0

−sx

e

Z f (x) dx + M

∞

e(c−s)x dx.

x0

La primera integral existe por la continuidad a trozos de f (x) en [0, x0 ] y la segunda es R∞ finita para todo s > c. Por consiguiente, 0 e−sx f (x) dx es absolutamente convergente y, por tanto, convergente para todo s > c. 43

Las condiciones anteriores no son necesarias. Basta considerar, por ejemplo, la funci´on  −1/2 x si x > 0 f (x) = 0 si x = 0 y calcular su transformada de Laplace a trav´es del cambio de variable sx = t2 , utilizando que √ Z ∞ π −t2 e dt = . 2 0 Para garantizar la existencia de la transformada se supone a partir de ahora que todas las funciones consideradas verifican las condiciones del teorema anterior. Proposici´ on 5.1.4. La transformada de Laplace verifica las siguientes propiedades: 1. L{af (x) + bg(x)} = aL{f (x)} + bL{g(x)}.
2. L{f (kx)} = k1 F ks para todo k > 0. Demostraci´on. Trivial.

5.1.2.

La funci´ on de Heaviside y la delta de Dirac

Para modelar se˜ nales y en general funciones que pueden estar encendidas o apagadas se usa la funci´on de Heaviside o funci´on salto, o funci´on escal´on unidad, ya que, al multiplicar una funci´on de Heaviside por otra funci´on, ´esta queda apagada hasta un valor determinado, lo que permite expresar las funciones definidas a trozos. Definici´ on 5.1.5. Se denomina funci´ on de Heaviside a la definida por  0 si x < a ua (x) = 1 si x ≥ a Denotaremos a u0 simplemente por u. Es f´acil comprobar que  L{ua (x)} =

e−as s 1 s

si a > 0 si a ≤ 0

definida para todo s > 0. La delta de Dirac se utiliza para representar fuerzas externas de gran magnitud aplicadas durante un intervalo de tiempo muy breve, es decir, aplicadas en un instante. En 44

t´erminos matem´aticos se puede definir como el l´ımite puntual de una sucesi´on de funciones definidas en intervalos que contengan a un determinado punto a cuya longitud tiende a 0, de manera que la integral de cada una de ellas vale 1. Este l´ımite no es una funci´on ya que la sucesi´on de funciones en cada punto distinto de a tiende a 0, mientras que en a tiende a ∞. Definici´ on 5.1.6. Se define la delta de Dirac δa con a ∈ R por 1. δa (x) = 0 si x 6= a. 2. δa (a) = ∞. Rc 3. b δa (x) dx = χ[b,c] (a). Denotaremos a δ0 simplemente por δ. Para calcular la transformada de Laplace de δa (x) con a > 0, basta observar que 1 l´ım+ χ[a,a+h) = δa . h→0 h Calculando el l´ımite de la transformada de Laplace de estas funciones se obtiene que L{δa (x)} = e−as para todo s > 0.

5.1.3.

Traslaci´ on y periodicidad

Teorema 5.1.7. Si F (s) es la transformada de Laplace de una funci´on f (x), entonces 1. L{eax f (x)} = F (s − a). 2. L{f (x − a)ua (x)} = e−as F (s) para todo a ≥ 0. Demostraci´on. La primera igualdad es trivial y la segunda se prueba a trav´es del cambio de variable x = t + a. Proposici´ on 5.1.8. Sea f (x) una funci´on peri´odica de periodo T , continua a trozos en (nT, (n + 1)T ), con n ≥ 0, y con l´ımites finitos en los extremos de dichos intervalos. Entonces para s > 0 se tiene que Z T 1 F (s) = e−sx f (x) dx. −T s 1−e 0 Demostraci´on. Basta hacer el cambio de variable t = x − nT en cada una de las integrales de la expresi´on ∞ Z (n+1)T X F (s) = e−sx f (x) dx. n=0

nT

45

5.1.4.

Transformadas de derivadas e integrales

Proposici´ on 5.1.9. Si f (x) es derivable hasta el orden n y f (x) y sus derivadas son de orden exponencial c, entonces L{f n) (x)} = sn F (s) − sn−1 f (0+) − sn−2 f 0 (0+) − · · · − f n−1) (0+) para s > c. Demostraci´on. Por inducci´on. Tambi´en por inducci´on y derivando respecto a s se tiene el siguiente resultado: Proposici´ on 5.1.10. Si F (s) es la transformada de Laplace de una funci´on f (x) y F (s) es derivable hasta el orden n, entonces F n) (s) = (−1)n L{xn f (x)}. Para la transformada de una integral se prueba f´acilmente la siguiente expresi´on: Proposici´ on 5.1.11. Si f (x) es continua a trozos y de orden exponencial c para x ≥ 0, Rx entonces 0 f (t) dt es de orden exponencial c para x ≥ 0, y para s > c se tiene  Z x F (s) f (t) dt = . L s 0 Otro resultado sobre integraci´on es el siguiente: Proposici´ on 5.1.12. Si F (s) es la transformada de Laplace de una funci´on f (x) y existe la transformada de la funci´on f (x) , entonces x   Z ∞ f (x) . F (t) dt = L x s Demostraci´on. Sean g(x) = f (x) y G(s) = L{g(x)}. Por la Proposici´on 5.1.10 se tiene que x 0 G (s) = −F (s). Integrando entre s e ∞ y utilizando la demostraci´on del Teorema 5.1.3 se obtiene el resultado, ya que l´ım G(s) = 0. s→∞

5.1.5.

La convoluci´ on

Definici´ on 5.1.13. Si f, g : [0, ∞) −→ R son dos funciones continuas, se define su convoluci´ on f ∗ g mediante la funci´on Z x (f ∗ g)(x) = f (x − t)g(t) dt. 0

46

Se comprueba f´acilmente que la convoluci´on verifica las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva. La relaci´on entre la convoluci´on y la transformada de Laplace viene dada por el resultado siguiente: Teorema 5.1.14. Dadas dos funciones f y g se tiene que L{f (x)}L{g(x)} = L{(f ∗ g)(x)}. Demostraci´on. Se tiene que Z

∞

Z

∞

e−s(t+u) f (t)g(u) dt du

L{f (x)}L{g(x)} = Z0 ∞ Z0 ∞ = Z0 ∞ Zu x = 0

e−sx f (x − u)g(u) dx du

e−sx f (x − u)g(u) du dx

0

= L{(f ∗ g)(x)}.

5.1.6.

La transformada inversa

Para que la transformada de Laplace tenga utilidad es necesario poder hallar la inversa de la misma, la cual ser´a tambi´en lineal. Su unicidad viene dada para funciones continuas por el teorema siguiente: Teorema 5.1.15 (Lerch). Si f : [0, ∞) −→ R es una funci´on continua a trozos y de orden exponencial tal que F (s) = 0 para s ≥ s0 , entonces f se anula salvo en los puntos de discontinuidad. Demostraci´on. Integrando por partes en F (s) con u = e(s0 −s)x y dv = e−s0 x f (x) dx se obtiene para s ≥ s0 Z ∞ F (s) = (s − s0 ) e(s0 −s)x g(x) dx 0

donde

Z

x

e−s0 t f (t) dt

g(x) = 0

con x ≥ 0, que es una funci´on continua. Ya que Z ∞ F (s0 + n) = n e−nx g(x) dx = 0 0

47

para todo n ∈ N, haciendo el cambio de variable u = e−x y definiendo la funci´on φ como ( l´ım g(x) si u = 0 φ(u) = x→∞ g(− log u) si 0 < u ≤ 1 se tiene Z

1

φ(u)un−1 du = 0

0

para todo n ∈ N. Como φ es continua y la integral en [0, 1] del producto de φ por cualquier polinomio se anula, se tiene que φ ≡ 0, de donde se deduce que g ≡ 0 y, por tanto, que f se anula salvo en los puntos de discontinuidad. B´asicamente, calcularemos transformadas inversas de funciones racionales, y lo haremos a trav´es de su descomposici´on en fracciones simples.

5.1.7.

Aplicaciones

Los pasos para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformada de Laplace son los siguientes: 1. Aplicar la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuaci´on. 2. Resolver el problema algebraico despejando la transformada de la funci´on soluci´on de la ecuaci´on. 3. Calcular la transformada inversa de la funci´on obtenida. Para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales el procedimiento es an´alogo. Cuando se conocen las condiciones iniciales, no es necesario obtener primero la soluci´on general y a partir de ella la particular que verifica dichas condiciones, ya que se incorporan de forma autom´atica en la soluci´on. Ejercicios 1. Calcula la transformada de Laplace de una funci´on constante, de las funciones trigonom´etricas sen ax y cos ax y de la funci´on exponencial eax , con a > 0. 2. Demuestra que L{xn } = para todo n ∈ N ∪ {0}. 48

n! sn+1

3. Calcula la transformada de Laplace de la funci´on [x] (parte entera de x). 4. Expresa mediante la funci´on de Heaviside y calcula la transformada de Laplace de la funci´on  0 si 0 ≤ x < 1 f (x) = 2x − 3 si x ≥ 1 5. Calcula la transformada de Laplace de las funciones siguientes: a) f (x) = ex sen2 2x. b) g(x) = e3x cos 3x cos 4x. Rx c) h(x) = 0 (x − t)2 cos 2t dt.  1 si 0 ≤ x < 1    0 si 1 ≤ x < 2 d ) u(x) = 1 si 2 ≤ x < 3    0 si x ≥ 3 x

6. Sabiendo que L{e f (x)} =

1 , s2 −2s+2

calcula L

n

e3x f (x) x

o

y L{xf (x)}.

7. Halla la funci´on f (x) cuya transformada de Laplace es F (s) =

s2

s+2 . + 2s + 5

8. Calcula la transformada inversa de F (s) =

s2 + s + 1 (s2 + a2 )2

con a ∈ R. 9. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial utilizando la transformada de Laplace:  00  y − y 0 − 2y = 0 y(0) = 1 a)  0 y (0) = 0  00 y + 3y 0 + 2y = χ[0,1) (x) b) y(0) = y 0 (0) = 0  00  y + 2y = δ(x − 2π) y(0) = 1 c)  0 y (0) = 0  000 y − y 00 = 0    y(0) = 1 d) y 0 (0) = 3    00 y (0) = 2 49

e)

f)

g)

h)

i) j)

 0 2y + y 0 − y2 = x    01 02 2 y1 + y2 = x y1 (0) = 1    y2 (0) = 0      0   −7 1 y1 5 y1 = + , y(0) = (0, 0). y20 −2 −5 y2 −37x  0 y1 + 2y20 + y1 + y2 + y3 = 0      y10 + y20 + y1 + y3 = 0 y30 − 2y20 − y2 = 0    y1 (0) = y2 (0) = 1   y3 (0) = −2  00 y1 + y1 − y2 = 0      y200 + y2 − y1 = 0 y1 (0) = y2 (0) = 0   y 0 (0) = −2    10 y2 (0) = 1  00 xy + (3x − 1)y 0 − (4x + 9)y = 0 y(0) = y 0 (0) = 0  00 xy − 4y 0 − xy = −6xex y(0) = y 0 (0) = 0

10. Calcula la soluci´on particular de la ecuaci´on diferencial xy 00 + 2y 0 + xy = sen x que verifica y(0) = 0. Rx 11. Resuelve la ecuaci´on integral f (x) = 3 sen x + 2 0 cos(x − t)f (t) dt.

5.2.

M´ etodo de series de potencias

En esta secci´on vamos a desarrollar un m´etodo de resoluci´on de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden que consiste en buscar soluciones linealmente independientes expresadas mediante una serie de potencias.

5.2.1.

Soluciones en torno a puntos ordinarios

Definici´ on 5.2.1. Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuaci´on diferencial lineal y 00 + f (x)y 0 + g(x)y = 0 si f y g son funciones anal´ıticas en un entorno de x0 , es decir, cada una se puede expresar como un desarrollo en serie de potencias que converge en un entorno de dicho punto. 50

Estudiemos en primer lugar la ecuaci´ on de Legendre (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + p(p + 1)y = 0 siendo p constante. p(p+1) 2x Las funciones f (x) = − 1−x son anal´ıticas en el origen que es, por 2 y g(x) = 1−x2 tanto, un punto ordinario. Se trata de encontrar una serie de potencias de la forma

y=

∞ X

an x n

n=0

convergente en un intervalo (−r, r). Sustituyendo en la ecuaci´on se obtiene que an+2 =

(n − p)(n + p + 1) an (n + 1)(n + 2)

lo que permite calcular los t´erminos pares de la serie en funci´on de a0 y los impares en funci´on de a1 . Se consideran entonces las siguientes funciones: y1 = 1 +

∞ X

(−1)n

n=1

p(p − 2) · · · (p − 2n + 2)(p + 1)(p + 3) · · · (p + 2n − 1) 2n x (2n)!

e y2 = x +

∞ X n=1

(−1)n

(p − 1)(p − 3) · · · (p − 2n + 1)(p + 2)(p + 4) · · · (p + 2n) 2n+1 x . (2n + 1)!

Se puede probar por el criterio del cociente que estas series son convergentes para |x| < 1. Adem´as, y1 e y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on ya que satisfacen las condiciones iniciales y1 (0) = 1, y10 (0) = 0, y2 (0) = 0 e y20 (0) = 1, respectivamente. Por tanto, la soluci´on general de la ecuaci´on de Legendre en (−1, 1) est´a expresada por C1 y1 + C2 y2 . Los polinomios obtenidos para valores del par´ametro p naturales pares o impares se denominan polinomios de Legendre y tienen importantes aplicaciones pr´acticas. En general, siguiendo los mismos pasos que se han utilizado para encontrar la soluci´on de la ecuaci´on de Legendre, se puede probar el resultado siguiente: Teorema 5.2.2. Si x0 es un punto ordinario de la ecuaci´on diferencial lineal y 00 + f (x)y 0 + g(x)y = 0, entonces la soluci´on general es y=

∞ X

an (x − x0 )n = C1 y1 + C2 y2

n=0

51

donde y1 e y2 son soluciones de la ecuaci´on, anal´ıticas en el mismo entorno de x0 que f y g. Adem´as, existe una u ´nica soluci´on de la ecuaci´on en serie de potencias que verifica que a0 = C1 y a1 = C2 , y el resto de los coeficientes se determinan en funci´on de a0 y a1 . El radio de convergencia de los desarrollos en serie de y1 e y2 es mayor o igual que el m´ınimo de los de las funciones f y g.

5.2.2.

Soluciones en torno a puntos singulares

Definici´ on 5.2.3. Se dice que x0 es un punto singular regular de una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden si no es ordinario y dicha ecuaci´on se puede expresar de la forma (x − x0 )2 y 00 + (x − x0 )f (x)y 0 + g(x)y = 0 siendo f y g funciones anal´ıticas en un entorno de x0 . Si no se verifica esta u ´ltima condici´on, se dice que es un punto singular irregular. Empecemos estudiando la ecuaci´ on de Bessel x2 y 00 + xy 0 + (x2 − p2 )y = 0 siendo p ≥ 0 constante, para la que el origen es un punto singular regular. Lo haremos a trav´es de la teor´ıa de Frobenius: Definici´ on 5.2.4. Se denomina serie de Frobenius o serie de potencias generalizada en un punto x0 a una serie de la forma t

|x − x0 |

∞ X

an (x − x0 )n

n=0

con t ∈ R y a0 6= 0, siendo la serie de potencias convergente en un entorno de x0 . La ecuaci´ on de ´ındices en un punto singular regular x0 es la ecuaci´on en la variable t que se obtiene al sustituir en la ecuaci´on diferencial la inc´ognita por una serie de Frobenius e igualar a 0 el t´ermino independiente de la expresi´on que se obtiene dividida por (x − x0 )t . Las ra´ıces de la ecuaci´on de ´ındices son los u ´nicos valores de t que permiten encontrar soluciones, expresadas mediante series de Frobenius, en un punto singular regular de una ecuaci´on diferencial. En la ecuaci´on de Bessel vamos a buscar, por tanto, soluciones de la forma t

y = |x|

∞ X n=0

52

an x n

con x ∈ (−r, r) \ {0}. Suponiendo primero que x > 0 y sustituyendo en la ecuaci´on se obtiene la ecuaci´on de ´ındices t2 − p2 = 0 que tiene por ra´ıces a ±p. Para t = p se obtiene a1 = 0 y an−2 an = − n(n + 2p) luego consideramos la funci´on y = a0 x p

1+

∞ X n=1

(−1)n x2n 22n n!(1 + p)(2 + p) · · · (n + p)

! .

Aplicando el criterio del cociente se comprueba que esta serie es convergente. Si se supone ahora que x < 0, se obtiene la funci´on ! ∞ n 2n X (−1) x y = a0 (−x)p 1 + . 2n n!(1 + p)(2 + p) · · · (n + p) 2 n=1 Por tanto, una soluci´on de la ecuaci´on de Bessel para x 6= 0 es y1 = a0 |x|p

1+

∞ X

(−1)n x2n 22n n!(1 + p)(2 + p) · · · (n + p)

n=1

! .

Para t = −p, si 2p 6∈ N, se obtiene la soluci´on −p

y2 = a0 |x|

1+

∞ X n=1

(−1)n x2n 22n n!(1 − p)(2 − p) · · · (n − p)

! .

Se puede demostrar que y1 e y2 son linealmente independientes y que, por tanto, si 2p 6∈ N, la soluci´on general de la ecuaci´on de Bessel es de la forma C1 y1 + C2 y2 . En general, siguiendo los mismos pasos que se han utilizado para encontrar la soluci´on de la ecuaci´on de Bessel, se puede probar el resultado siguiente: Teorema 5.2.5. Dada la ecuaci´on diferencial x2 y 00 + xf (x)y 0 + g(x)y = 0 siendo f y g funciones anal´ıticas en un intervalo (−r, r), si la ecuaci´on de ´ındices tiene dos ra´ıces reales t1 > t2 , entonces la ecuaci´on tiene al menos una soluci´on no nula de la forma ∞ X t1 y1 = |x| an x n n=0

53

con x ∈ (−r, r) \ {0}. Adem´as, si t1 − t2 6∈ N, entonces la ecuaci´on tiene otra soluci´on linealmente independiente de la anterior de la forma y2 = |x|t2

∞ X

bn x n

n=0

con x ∈ (−r, r) \ {0}. Ejercicios 1. Encuentra la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial y 00 + xy 0 + y = 0 expresada en series de potencias. 2. Halla una soluci´on de la ecuaci´on diferencial (1 − x2 )y 00 + 2y = 0 expresada en serie de potencias. 3. Resuelve mediante series de potencias la ecuaci´ on de Airy y 00 − xy = 0. 4. Encuentra la soluci´on general de la ecuaci´ on de Hermite y 00 − 2xy 0 + 2py = 0 con p constante, expresada en series de potencias. 5. Dada la ecuaci´ on de Chebyshev (1 − x2 )y 00 − xy 0 + p2 y = 0 con p constante, a) Halla dos soluciones en serie de potencias linealmente independientes v´alidas en un intervalo (−r, r). b) Demuestra que si p es un n´ umero entero no negativo, entonces la soluci´on de la ecuaci´on es un polinomio de grado p. 6. Comprueba que el origen es un punto singular regular de la ecuaci´on diferencial 2x2 y 00 + x(2x + 1)y 0 − y = 0 y resu´elvela en un entorno suyo. 7. Dada la ecuaci´ on de Laguerre xy 00 + (1 − x)y 0 + py = 0 con p constante, a) Demuestra que el origen es un punto singular regular. b) Determina una soluci´on para x > 0. c) Prueba que si p ∈ N, la soluci´on encontrada se reduce a un polinomio. 54

Tema 6 Teor´ıa cualitativa de ecuaciones diferenciales 6.1.

Conceptos

Definici´ on 6.1.1. Se dice que el sistema de ecuaciones diferenciales 4.1 es un sistema aut´ onomo si la funci´on F no depende de x. Si un sistema no es aut´onomo se puede convertir en uno aut´onomo sin m´as que a˜ nadir 0 la variable x y la ecuaci´on x = 1. Supondremos que la funci´on F es lo suficientemente regular como para garantizar la existencia y unicidad de las soluciones. Definici´ on 6.1.2. Se denomina espacio de estados de un sistema aut´onomo al subconjunto Ω de Rn en el que existen soluciones del sistema, es decir, y0 ∈ Ω si y solo si existe una soluci´on y del sistema tal que y(x0 ) = y0 para cierto x0 . Definici´ on 6.1.3. Dada una soluci´on particular y de un sistema aut´onomo, se denomina ´ orbita o trayectoria al subconjunto de Rn dado por los puntos (y1 , y2 , . . . , yn ). Definici´ on 6.1.4. Se denomina diagrama de fases de un sistema aut´onomo al conjunto de todas las trayectorias de las soluciones del sistema. Si el sistema es de dimensi´on dos, en el plano (y1 , y2 ) se pueden dibujar un n´ umero suficiente de trayectorias como para tener una idea de conjunto del comportamiento de todas las del sistema. Sobre dichas trayectorias se dibuja una flecha que indica el sentido de la variaci´on de y1 e y2 al crecer x, lo que proporciona una imagen din´amica de su recorrido, y con ello se obtiene una descripci´on cualitativa del comportamiento de las soluciones. 55

Las trayectorias de dos soluciones distintas o bien no tienen ning´ un punto en com´ un, o bien coinciden. Tampoco puede ocurrir que una trayectoria se corte a s´ı misma: Proposici´ on 6.1.5. Sea y una soluci´on de un sistema aut´onomo. Si y(x1 ) = y(x2 ) con x1 6= x2 , entonces o bien y es una funci´on constante, o bien es una funci´on peri´odica y su trayectoria es una curva cerrada simple. Definici´ on 6.1.6. Un atractor de un sistema aut´onomo es un conjunto cerrado y acotado hacia el cual se aproxima, cuando x tiende a ∞, la trayectoria de las soluciones. Definici´ on 6.1.7. Una soluci´ on estacionaria de un sistema aut´onomo es una soluci´on constante. Su trayectoria es un punto de Rn que se denomina punto fijo, punto cr´ıtico, punto de equilibrio o punto estacionario del sistema. Un punto y0 ∈ Rn es un punto cr´ıtico del sistema aut´onomo y 0 = F (y) si F (y0 ) = 0. En caso contrario se dice que y0 es un punto regular. Teorema 6.1.8. Dado un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes homog´eneo, el origen es el u ´nico punto cr´ıtico si y solo si 0 no es un autovalor de la matriz de coeficientes. Demostraci´on. Trivial. Definici´ on 6.1.9. Dado un punto cr´ıtico y0 de un sistema aut´onomo: 1. y0 es un nodo estable si para cada  > 0 existe δ > 0 tal que si y es una soluci´on del sistema verificando ky(x0 ) − y0 k < δ para cierto x0 , entonces ky(x) − y0 k <  para todo x > x0 . 2. y0 es un nodo asint´ oticamente estable si es estable y existe δ > 0 tal que si y es una soluci´on del sistema verificando ky(x0 ) − y0 k < δ para cierto x0 , entonces l´ım y(x) = y0 . x→∞

3. y0 es un nodo inestable o repulsor si no es estable.

6.2.

Sistemas lineales planos

En un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes homog´eneo, el origen es un punto cr´ıtico. Supongamos que el u ´nico. Una vez calculados los autovalores de la matriz de coeficientes, λ1 y λ2 , se pueden dar los siguientes casos: 56

1. Si λ1 , λ2 ∈ R, λ1 6= λ2 y v1 y v2 son sus respectivos autovectores, entonces la soluci´on general es de la forma y = C1 v1 eλ1 x + C2 v2 eλ2 x . Por tanto: a) Si λ1 < λ2 < 0, las trayectorias se aproximan al origen cuando x tiende a ∞, luego el origen es un nodo asint´oticamente estable y un atractor. b) Si 0 < λ1 < λ2 , entonces l´ım ky(x)k = ∞, luego las trayectorias se alejan del x→∞ origen, siendo ´este un nodo inestable. c) Si λ1 < 0 < λ2 , entonces las trayectorias que tengan su valor inicial sobre la recta de vector de direcci´on v1 se aproximan al origen cuando x tiende a ∞, pero a las restantes les sucede lo mismo que en el caso anterior. En situaciones as´ı se dice que el origen es un punto de silla, y es un nodo inestable. 2. Si λ1 = λ2 , entonces se dice que el origen es un nodo degenerado. Pueden darse varios casos, como que todo vector sea autovector, y entonces o bien todas las trayectorias son rectas que se aproximan al origen (atractor), o bien todas son rectas que se alejan del origen (repulsor), dependiendo del signo negativo o positivo del autovalor, respectivamente. Se dice entonces que el origen es una soluci´ on estrella. Pero pueden darse otros diagramas de fases distintos donde el origen sea un nodo asint´oticamente estable o un nodo inestable, dependiendo de nuevo del signo del autovalor. 3. Si λ1 = α + βi y λ2 = α − βi, entonces la soluci´on general del sistema es de la forma y = eαx (v cos βx + w sen βx). Por tanto: a) Si α < 0, entonces las trayectorias se acercan al origen. Ahora son espirales y el origen es un nodo asint´oticamente estable y un atractor. b) Si α > 0, entonces se invierte la situaci´on del caso anterior y las trayectorias se alejan del origen en espiral, siendo ´este un nodo inestable. y las trayectorias c) Si α = 0, entonces las soluciones son peri´odicas de periodo 2π β son el´ıpticas. En este caso se dice que el origen es un centro, lo que constituye un ejemplo de un nodo estable que no es asint´oticamente estable. Ejercicios 1. Determina la soluci´on general, clasifica el origen como punto cr´ıtico y dibuja el diagrama de fases en el sistema lineal plano y 0 = Ay en los siguientes casos:   −4 1 a) A = . 3 −2   −1 1 b) A = . 3 1 57

 c) A =

−4 0 0 −4

 .



 1 5 d) A = . −1 −3   1 1 e) A = . −9 3 2. Clasifica el origen como punto cr´ıtico en el sistema lineal plano  0     y1 −2 a y1 = y20 −1 −2 y2 seg´ un los valores del par´ametro a ∈ R.

58

Tema 7 Resoluci´ on num´ erica de ecuaciones diferenciales Consideremos el problema de valor inicial  0 y = f (x, y) y(x0 ) = y0 con x ∈ [x0 , b], para el que supondremos existencia y unicidad de soluci´on. Una vez dividido el intervalo en n partes iguales por los puntos x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, el objetivo es encontrar un conjunto de valores {yk : 1 ≤ k ≤ n} que se aproximen a los valores que toma la soluci´on en el conjunto {xk : 1 ≤ k ≤ n}, es decir, yk ' y(xk ), con 1 ≤ k ≤ n. Ese conjunto se denomina soluci´ on num´ erica del problema de valor inicial. Los m´etodos que se van a estudiar a continuaci´on se caracterizan por obtenerse yk+1 a partir de yk .

7.1.

M´ etodo de Euler

En el m´ etodo de Euler o m´ etodo de las poligonales de Euler se aproxima la soluci´on del problema de valor inicial mediante la tangente a dicha soluci´on. Se toma como valor y1 el que toma en x1 la recta que pasa por (x0 , y0 ) y tiene como pendiente f (x0 , y0 ): y1 = y0 + hf (x0 , y0 ) 0 . A continuaci´on se repite el proceso desde el punto (x1 , y1 ), aproximando siendo h = b−x n la soluci´on por la recta tangente que pasa por dicho punto. Por tanto, la expresi´on general del m´etodo de Euler resulta: yk+1 = yk + hf (xk , yk )

59

con 0 ≤ k ≤ n − 1. La soluci´on num´erica resultante aparece como una poligonal formada por segmentos de rectas tangentes. Ejercicios 1. Dado el problema de valor inicial 

y0 = y2 + x y(1) = 0

aplica el m´etodo de Euler para calcular un valor aproximado de y(1,5), siendo el tama˜ no de paso utilizado h = 0,1. 2. Para el problema de valor inicial 

y 0 = 4y + 1 − x y(0) = 1

calcula un valor aproximado de y(1), siendo el tama˜ no de paso h = 0,05. Halla el error cometido.

7.2.

M´ etodo de Runge-Kutta

La f´ormula del m´ etodo de Runge-Kutta incluye un promedio ponderado de valores de f en diferentes puntos del intervalo [xk , xk+1 ] con 0 ≤ k ≤ n − 1. Est´a dada por h yk+1 = yk + (ak1 + 2ak2 + 2ak3 + ak4 ) 6 con 0 ≤ k ≤ n − 1, siendo ak1 = f (xk , yk ) ak2 = f xk + h2 , yk + h2 ak1




ak3 = f xk + h2 , yk + h2 ak2




ak4 = f (xk+1 , yk + hak3 ) Ejercicios 1. Resuelve los ejercicios de la secci´on anterior aplicando el m´etodo de Runge-Kutta y compara los resultados obtenidos con ambos m´etodos. ¿Cu´al es m´as eficiente? 2. Calcula aproximadamente el valor del n´ umero e utilizando el m´etodo de RungeKutta. 60

Ap´ endice Teoremas de existencia y unicidad Teorema (Picard). Sean f : [a, b] × [c, d] −→ R continua y (x0 , y0 ) ∈ [a, b] × [c, d]. Supongamos que f es lipschitziana respecto de la segunda variable, es decir, existe L > 0 tal que |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| ≤ L|y1 − y2 | para cualesquiera (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ [a, b] × [c, d]. Entonces existen un intervalo I ⊂ [a, b] centrado en x0 y una u ´nica funci´on y : I −→ R con derivada continua que satisface la igualdad y 0 (x) = f (x, y(x)) para todo x ∈ I y la condici´on inicial y(x0 ) = y0 .

Teorema. Se considera el problema de valor inicial  n) y + a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y = g(x)      y(x0 ) = y0 y 0 (x0 ) = y01   ···    n−1) y (x0 ) = y0n−1 con x ∈ [a, b], siendo continuas las funciones ai (x), 1 ≤ i ≤ n, y g(x). Entonces dicho problema tiene una u ´nica soluci´on. Teorema. Sean A(x) una funci´on matricial cuadrada de orden n, g(x) una funci´on vectorial, ambas continuas en un intervalo [a, b], e y 0 = A(x)y + g(x) 61

un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Si se impone la condici´on inicial y(x0 ) = (y1 (x0 ), y2 (x0 ), . . . , yn (x0 )) = (y01 , y02 , . . . , y0n ) entonces existe una u ´nica funci´on vectorial que es soluci´on del sistema y verifica dicha condici´on inicial.

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Bibliograf´ıa [BDL]

J.C. Bellido, A. Donoso y S. Lajara, Ecuaciones diferenciales ordinarias, Paraninfo (2014).

[BD]

W.E. Boyce y R.C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa Wiley (2010).

[D]

B. Demidovich, Problemas y ejercicios de an´alisis matem´atico, Paraninfo (1985).

[FVV]

C. Fern´andez, F.J. V´azquez y J.M. Vegas, Ecuaciones diferenciales y en diferencias, Thomson (2003).

[KKM]

A. Kiseliov, M. Krasnov y G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, Mir (1988).

[L]

M. L´opez, Problemas Resueltos de Ecuaciones Diferenciales, Thomson (2007).

[MSMG] M. Molero, A. Salvador, M.T. Men´arguez y L. Garmendia, An´alisis matem´atico para Ingenier´ıa, Pearson Prentice Hall (2007). [Z]

D.G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Learning (2009).

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