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Capítulo V
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS V.1 Ecuaciones diferenciales Una ecuación diferencial (ED) es aquella ecuación que contiene las derivadas o las diferenciales (totales o parciales) de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes.
V.2 Clasificación y resultados elementales Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): Si una ecuación diferencial (ED) contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación en derivadas parciales. Para el caso particular en que una ecuación diferencial (EDP) contenga únicamente derivadas parciales de una variable dependiente con respecto a una o más variables independientes, su solución (la función desconocida) tendrá la siguiente forma: x f r , w, p, , t
I
Sin embargo, nosotros no estudiaremos este tipo de ecuaciones diferenciales en este manual ya que escapa a nuestros objetivos.
Ejemplos: 1.
x w
5
2x 2. w 2
x r 3
4 x f w , r
3 ln r x r 3
2
4 senz x 0 x f w , r , z z
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación diferencial (ED) que contiene derivadas totales de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Este tipo de ecuaciones responde a la siguiente expresión general:
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS dx d2x d n x
d n x
dx1 d x 1 1 m m F x 1 , , , , , , x m , , , , 2 n 2 dr dr dr dr dr 2
m
dr
n
, r 0
II
Ejemplos: dz dy dz dy 1. F y, , z, ; r ln y senz 10r 0 ln ydy senzdz 10rdr dr dr dr dr dw dy dw dy 2. F y, , w, ; r y w r 2 0 ydy wdw r 2 dr dr dr dr dr
No obstante, en este manual sólo abordaremos las EDO que contienen derivadas totales de una única variable dependiente con respecto a una sola variable independiente, y que pueden expresarse en forma implícita: dx d 2 x d n x F x , , , , ,r 0 dr dr 2 dr n
III
Donde: F : n 2
O que pueden expresarse en forma explícita: dx n dr n
d n 1 x d 2 x dx f , , , , x, r dr n 1 dr 2 dr
IV
Dónde: f : n 1
Es decir, nosotros estudiaremos aquellas EDOs que describan una relación entre una función desconocida “x” y sus derivadas/diferenciales totales. A la ecuación (IV) se le denomina ecuación diferencial ordinaria normal. La solución de este tipo de EDOs es una función desconocida “ x r ” definida en un dominio “D” que admite derivadas totales hasta de orden “n”, también definidas en “D”, tales que esta función y sus derivadas satisfacen (IV) como una identidad cuando r D. Por tanto, la solución general de (IV) será: x:D r
x r
238
V
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Ejemplos: dx dx 1. F x , , r 4 r 6 x 2 0 4 rdx 6 x 2 dr 0 x x r dr dr 3 dx d 2 x d 2 x dx 8 2 r 2 x 0 x x r 2. F x , , ;r 5 x dr dr 2 dr 2 dr
dx d 2 x d 3 x dx 3. F x , , , ; s e x ds ds 2 ds 3 ds
4 d3x d2x 4 ln s ds 3 ds 2
3
0 x x s
Dado que en economía es frecuente encontrar modelos dinámicos, en este manual usualmente vamos a considerar como variable independiente al tiempo. No obstante, toda la parte conceptual que se va a estudiar es aplicable a cualquier otra variable independiente cuya naturaleza no sea temporal. Por tanto, en estos casos las EDOs que vamos a estudiar podrán expresarse en forma implícita tal como sigue: dx d 2 x d n x F x , , , , ,t 0 dt dt 2 dt n
VI
Dónde: F : n 2
O podrán expresarse en forma explícita tal como se muestra a continuación: dx n dt n
d n 1 x d 2 x dx f , , , , x, t 2 dt n 1 dt dt
VII
Dónde: f : n 1
Además, se deberá tener presente que la solución general de dicha ecuación diferencial estará definida en D . Esto es: x : D t
x t
VIII
La solución general de una EDO contendrá “n” constantes arbitrarias, por lo que una EDO tendrá infinitas soluciones.
239
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
V.3 Existencia y unicidad de una solución A la ecuación (VII) junto con las siguientes “n” condiciones iniciales: x t 0 x 0 x ' t 0 x '0
IX
x n 1 t 0 x 0n 1
Se le denomina el problema del valor inicial1, donde x 0 , x '0 , , x 0n 1 son valores especificados. Si consideramos la ecuación diferencial ordinaria “normal” de orden “n” dada por (VII) y asumimos que “f” posee derivadas parciales continuas en X D con respecto a todos sus argumentos. Entonces para cada conjunto de condiciones iniciales tales como (IX) que pertenecen a X n , y si t 0 D , existe una única solución (solución particular) para (VII), válida para t 0 d, donde “d” es un sub-intervalo de “D”. Es importante resaltar que a diferencia de la solución general de una EDO, una solución particular de dicha ecuación no contendrá ninguna constante arbitraria, por lo que no dependerá de las condiciones iniciales. Para determinar la solución general de una ecuación diferencial ordinaria existen diversos métodos, pero todos ellos se basan en el uso de las integrales. Para aclarar ideas, vamos a presentar algunos ejemplos sencillos que serán resueltos mediante la integración de las ecuaciones diferenciales respecto de su variable independiente, tantas veces como sea necesario (en estos ejemplos el número de veces que necesitaremos integrar la ecuación diferencial para obtener su solución general coincidirá con el orden de la derivada de mayor orden en dicha ecuación).
Ejemplos: 1.- Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial: x '' t 10 x ( 0) 5 ' x 0 4
1
La solución general de la ecuación diferencial x '' t 10 la obtendremos integrando dos veces dicha ecuación respecto de la variable independiente “t”. Integrando x '' t 10 respecto a “t” resulta:
x '' t dt 10dt
dx ' t dt
dt 10dt x ' t 10t A
1
2
Si junto a la ecuación (VII) se dan condiciones (denominadas condiciones de frontera) que corresponden a valores distintos de la variable independiente se dice que se tiene un problema de valores en la frontera.
240
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Integrando (2) respecto de “t” resulta:
x t dt 10t A dt '
dxt
dt
dt
x t 5t 2 At B
10t A dt
3
La ecuación (3) en realidad no representa una única solución de x '' t 10, más bien representa una familia de infinitas funciones (parábolas en este caso) que son solución general de Dado que x '' t 10. x '' t 10 0 t , podemos decir que esta familia de parábolas tiene en
común la propiedad geométrica de ser estrictamente convexas para t 0. Para determinar la solución particular del problema de valores iniciales, dado por (1), deberemos determinar el valor de las constantes de integración haciendo uso de las condiciones iniciales. Reemplazando las condiciones iniciales, dadas en (1), en las ecuaciones (2) y (3), se tiene: x ' 0 A 4 x 0 B 5
4
Reemplazando (4) en (3) obtenemos la solución particular: x t 5 t 2 4 t 5
En la figura 1 se han representado algunas de las curvas que forman parte de esta familia de soluciones de x '' t 10. Entre ellas, se ha representado la solución particular que resuelve el problema de valores iniciales (1).
Figura 1 241
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2.- Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial: x ''' t 20 x ( 0) 10 ' x 0 4 '' x 0 8
5
La solución general de la ecuación diferencial x ''' t 20 la obtendremos integrando tres veces dicha ecuación respecto de la variable independiente “t”. Integrando x ''' t 20 respecto a “t” resulta:
x ''' t dt
20dt
dx '' t
dt
dt
'' 20dt x t 20t A 6
Integrando (6) respecto de “t” resulta: '' x t dt 20t A dt
dx ' t
dt
dt
20t A dt x t 10t '
2
At B
7
Integrando (7) respecto de “t” resulta:
x t dt 10t '
2
At B dt
x t 20t 3
A
dxt
dt
dt
t 2 Bt C
2
10t
2
At B dt
8
En este caso, la ecuación (8) representa una familia de polinomios de tercer grado para valores de t 0. Para determinar la solución particular del problema de valores iniciales, dado por (5), deberemos determinar el valor de las constantes de integración haciendo uso de las condiciones iniciales. Reemplazando las condiciones iniciales, dadas en (5), en las ecuaciones (6), (7) y (8), se tiene: x '' 0 A 8 ' x 0 B 4 x 0 C 8
9
Reemplazando (9) en (8) obtenemos la solución particular: x t 20t 3 4 t 2 4 t 8
242
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO En la figura 2 se han representado algunas de las curvas que forman parte de esta familia de soluciones de x ''' t 20. Entre ellas, se ha representado la solución particular que resuelve el problema de valores iniciales (5).
Figura 2
V.4 Orden y grado de una ecuación diferencial: Orden: El orden de una ecuación diferencial está dado por la derivada de mayor orden que se presente en la ecuación. Grado: El grado de una ecuación diferencial es el de la potencia de la derivada de mayor orden que existe en la ecuación.
Ejemplos: d2x dt 2
3
3x 3 t 4 7 0
dx 5 dt
2
3u r 3
2
e 53 t
2
: EDO de segundo orden y tercer grado.
: EDO de primer orden y segundo grado.
u 2 r 3 sen r 3 u 2 5 0 : EDP de tercer orden y segundo grado.
243
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Clasificación de las ecuaciones diferenciales según el método de solución Ecuaciones diferenciales
Ordinarias
Parciales
Lineales
No lineales
Coeficientes constantes
Coeficientes variables
Homogéneas
No homogéneas
Primer orden
………………. ..
Segundo orden
n-ésimo orden
V.5 EDos lineales Una EDO se dice que es lineal si ésta es de primer grado en la variable dependiente y en sus derivadas. Su forma general (no homogénea) es: x n a n 1 t x n 1 a 2 t x ' ' a 1 t x ' a 0 t x f t
X
Donde f t y a it, para i 0, 1, 2, , n 1, son funciones continuas respecto a “t”. Con ecuación homogénea igual a: x n a n 1 t x n 1 a 2 t x ' ' a1 t x ' a 0 t x 0
244
XI
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
1. EDOs lineales de primer orden con coeficientes constantes La forma general de este tipo de ecuaciones puede expresarse como: a1x ' a 0 x f t Si a1 0 x '
a0
x
f t
a1
a1
x ' wx q t x ' q t wx g t , x
XII
Su solución general la obtendremos multiplicando (XII) por el factor e
wdt
e wt , denominado factor de integración, de donde tenemos que: x 'ewt wxewt qtewt
Resultando que:
x e dt
d xe wt
' wt
wxe wt qte wt
Entonces, integrando a ambos lados de la ecuación anterior tenemos:
d xe wt dt dt
qte
wt
dt xe wt
qte
wt
dt C
Entonces la solución general (no homogénea) será: x t e wt
qt e
wt
dt C
XIII
Para el caso homogéneo, qt 0, entonces la versión homogénea de (XII) sería: x ' wx 0 x ' wx x ' ax g x
XIV
Cuya solución la obtenemos reemplazando qt 0 en (XIII): x t Ce wt
XV
En particular, si qt q cte, la ecuación (XII) representaría una EDO de primer orden con coeficientes constantes y término fijo: x ' wx q x ' q wx g x
XVI
La solución general (no homogénea) de esta ecuación diferencial la obtendríamos de (XIII), y vendría dada por: q q x t e wt e wt C Ce wt w w
245
XVII
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Para el caso homogéneo, q 0, entonces la versión homogénea de (XVI) sería: x ' wx 0 x ' wx x ' ax g x
XVIII
Cuya solución la obtenemos reemplazando q 0 en (XVII): x t x c t Ce wt
XIX
A la solución de la ecuación diferencial homogénea (XVIII), que viene dada por (XIX), se le suele denominar solución complementaria: x c t . Resulta interesante subrayar el hecho que haciendo x ' g x 0 en (XVI) se obtiene que:
q
x ' g x p g x E q wx p 0 x p x E
Donde a x p x E
q
w
XX
se le suele denominar valor de equilibrio, punto fijo o
w
solución particular de (XVI). Es importante resaltar que la solución general no homogénea de (XVI), la ecuación (XVII), es la suma de la solución particular y de la solución complementaria: x t
q w
Ce wt x p x c t
XXI
Por otro lado, si para t 0 tenemos la condición inicial x 0 x 0 , entonces por (XVII) o por (XXI) se tiene que: x 0
q w
C x p x c 0 x 0 C x c 0 x 0
q w
x0 xp
XXII
Reemplazando (XXII) en (XXI) tenemos:
x t x p x 0 x p e wt x p x c 0 e wt x p x c t
XXIII
La ecuación (XXIII) nos permite interpretar a la solución particular x p x E q w como el equilibrio fijo (ya que no depende del tiempo) de
x t y a la solución complementaria x c t x 0 x p e wt como el desvío
de la trayectoria x t de su nivel de equilibrio a lo largo del tiempo. Este desvío crecerá exponencialmente en el tiempo a una tasa “w” si w 0. Esto es, si w 0, conforme t x c t Ce wt , por lo que en el largo plazo (LP), si t x t . En términos formales: x LP lím x t t
246
XXIV
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Este caso, con w 0 se dice que es inestable ya que el lím x t . t
Asimismo,
se
puede
t x c t x 0 x p e
x t x LP
q w
comprobar wt
que
si
w 0,
conforme
0, por lo que en el largo plazo (LP)
x p x E . En términos formales:
q
x LP lím x t t
w
xp xE
XXV
Este caso, con w 0, se dice que es (asintóticamente) estable ya que el lím x t
t
q w
x p x E es un número real finito. En este caso se dice que
el modelo dinámico (en este caso uniecuacional) es (asintóticamente) estable ya que el equilibrio se alcanza independientemente de las condiciones iniciales. Como
se
aprecia
x c t x 0 x p e
wt
en la figura 3, casos (a) y (b), el desvío de su nivel de equilibrio x E x p q w decrece con
el tiempo cuando w 0 y se incrementa con el tiempo cuando w 0. x t
x t
x0 xp ; w 0 x0 x0 xp x0
x0 xp ; w 0
xp
x0
x0 xp ; w 0
a
t
x0 xp ; w 0
b
t
Figura 3
Ejemplos: 1.- Beneficio e inversión (Tu, 1994): En una economía donde el beneficio “ ” es una función decreciente del stock de capital “K” y la inversión
I K es una función creciente del beneficio, '
K ' I K IA
247
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Donde , son coeficientes constantes positivos e “I A” es la inversión autónoma, asumida constante. Se pide hallar el comportamiento temporal del stock de capital y su valor de largo plazo, si se sabe que K0 K0 0. Reemplazando “ ” en “I”, el comportamiento del stock de capital podría describirse como: K' K IA K' K IA
El valor de equilibrio lo podemos hallar igualando a cero la expresión anterior: K I A K E K p I A
Por (XVII), la solución de la ecuación diferencial será: K t
IA
Ce t
Teniendo en cuenta la condición inicial, resulta: K0
IA
C K0 C K0
IA
Reemplazando “C” en “ Kt ”, se tiene: K t
I A t e K 0
IA
El valor de largo plazo del stock de capital vendrá dado por: IA IA K LP lím K t lím K 0 t t
IA t e KE
Reemplazando “KE” en “ Kt ”, se tiene: K t K E K 0 K E e t
El modelo es asintóticamente estable: converge a K LP K E K p . 2.- Versión en tiempo continuo del modelo de la telaraña (Gandolfo, 1997): Sea el siguiente sistema de ecuaciones: Q D t dt p t dt Q S t dt p t Q D t dt Q S t dt
248
función de demanda función de oferta Ecuación de equilibrio
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Donde , , son parámetros positivos, 0 , y se asume que los productores esperan que en el siguiente instante t dt el precio sea igual al precio actual. Determine el comportamiento temporal del precio de equilibrio (aquel que vacía el mercado) asumiendo que dt 1, y que p0 p0 0. Asimismo, determine las condiciones para que el precio de equilibrio de largo plazo p LP lím p t converja hacia algún valor
t
finito (positivo). Luego, calcule el precio de equilibrio estacionario (aquel que hace que: p ' t 0 ). Finalmente, determine la evolución en el tiempo de la oferta y la demanda. Para resolver este problema tendremos en cuenta que: pt dt pt t dt t
pt dt pt
dpt
dt
p't
dt
Por lo que si dt 1, resulta que: pt dt pt p ' t pt dt pt p ' t
Reemplazando “ pt dt ” en la función de la demanda se tiene:
Q D t dt p t p ' t Q S t dt p t Q D t dt Q S t dt
10
Reemplazando las funciones de demanda y de oferta en la ecuación de equilibrio resulta:
p t p ' t p t p ' t
p t
11
En consecuencia, por (XVII), la solución de la ecuación diferencial será: p t
Ce
t
12
Teniendo en cuenta la condición inicial, resulta: p0
C p0 C p0
249
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Reemplazando “C” en (12), se tiene: p t p0
e
t
13
Para determinar el valor de largo plazo del precio de equilibrio de este mercado deberemos calcular el siguiente límite:
p LP
t e lím pt lím p0 t t
Se observa que el límite será convergente si y sólo si el término exponencial es decreciente en el tiempo. Para que esto ocurra se deberá cumplir lo siguiente:
0
Pero como 0 0 . En dicho caso, el valor de largo plazo será:
p LP
t e lím pt lím p0 t t
Además, para que el precio de equilibrio de largo plazo sea positivo, se deberá cumplir que:
0
Pero como 0 0 . Ahora, vamos a determinar el precio de equilibrio estacionario. Esto es, aquel precio que permanece constante en el tiempo. Es decir, aquel precio para el cual su derivada respecto al tiempo es nula (no existe ajuste intertemporal): dpt dt p ' t 0 . Reemplazando esta última condición en (11) se obtiene:
p
250
pE
p LP
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Por lo que (13) podría escribirse como: p t p E p 0 p E e
t
14
Derivando (14) respecto del tiempo obtenemos la tasa de cambio instantánea del precio: p t '
p 0
p E e
t
15
Reemplazando (14) y (15) en las dos primeras ecuaciones de (10) se obtiene que en todo instante la demanda y la oferta coinciden: Q D t dt Q S t dt
Q D t dt Q S t dt
p 0 p E e
t
p t p E
Finalmente, cuando el precio haya alcanzado su valor de largo plazo (que coincide con el de estado estacionario: equilibrio intertemporal), la demanda y la oferta alcanzarán simultáneamente su valor de largo plazo: Q LP lím Q D t dt lím Q S t dt t
t
Por lo que la oferta y la demanda pueden expresarse de forma equivalente de la siguiente forma: Q D t dt Q S t dt Q LP p 0 p E e
t
Q LP p t p E
2. EDOs lineales de primer orden con coeficientes variables La forma general de este tipo de ecuaciones puede expresarse como: a 1 t x ' a 0 t x f t Si a 1 t 0 t x '
x ' w t x q t
a 0 t a 1 t
x
f t a 1 t
XXVI
Su solución general la obtendremos multiplicando (XXVI) por el factor w t dt e , denominado factor de integración, de donde tenemos que:
x 'e
w t dt
w t xe 251
w t dt
qt e
w t dt
CIRO BAZÁN Resultando que:
d xe dt
w t dt
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
x ' e w t dt w t xe w t dt qt e w t dt
Entonces, integrando a ambos lados de la ecuación anterior tenemos:
w t dt d xe dt dt
q t e
w t dt
dt xe
w t dt
q t e
w t dt
dt C
Entonces la solución general (no homogénea) será: x t e
w t dt
q t e
w t dt
dt C
XXVII
Para el caso homogéneo, qt 0, entonces la versión homogénea de (XXVI) sería: x ' w t x 0
XXVIII
Cuya solución la obtenemos reemplazando qt 0 en (XXVII): x t Ce
w t dt
XXIX
Ejemplos: 1.- Crecimiento económico (Sydsæter, 2005): considere el siguiente modelo de crecimiento económico en un país en vías de desarrollado: Yt Kt ' K t Yt Mt t Nt N0e
i ii iii
Donde “ Yt ” es el producto nacional neto por año, “ Kt ” es el stock de capital, “ Mt ” es la entrada neta de inversión extranjera por año, y “ Nt ” es el tamaño de la población, todos medidos en el instante “t”. En (i) se ha asumido que el volumen de producción es directamente proporcional al stock de capital. Donde al factor de proporcionalidad “ ” se le conoce con el nombre de productividad media del capital. En (ii) se ha asumido que el crecimiento total del capital por año es igual a los ahorros internos más la inversión extranjera neta. Asimismo, se asume que los ahorros son proporcionales a la producción, donde al factor de proporcionalidad “ ” se le denomina tasa de ahorro. Finalmente, (iii) nos dice que la población crece de forma exponencial a una tasa instantánea constante “ ”. 252
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Determine
el
comportamiento
temporal
“ Kt ”
de
si
Mt M0e , K0 K0 y . Encuentre cómo evoluciona en el tiempo el producto nacional per cápita: yt Yt Nt. t
Reemplazando (i) y Mt M0et en (ii) se obtiene: K't Kt M0et K't Kt M0et
En consecuencia, por (XXVII), la solución de la ecuación diferencial será: Kt e
dt
t M 0e e
dt C Kt et M0et et dt C
dt
M0 Kt et M0 et dt C Kt et et C
Kt
M0
et Cet
Teniendo en cuenta la condición inicial, resulta: K0
M0
C K0 C K0
M0
Reemplazando “C” en “ Kt ”, se tiene: Kt
M0 t e et K 0 M0
Reemplazando “ Kt ”, en (i) se obtiene la producción nacional neta por año: Y t
M0 e t K 0 M0
t e
Dividiendo “ Y t ” entre el tamaño de la población se obtiene la producción per cápita: y t
Y t N t
M0
N 0
e t
253
M0 K0 N0
t e
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
2.- Modelo de bonos y tasas de interés: (Lomelí, 2003): Sea Bt el valor (precio) de un bono al instante “t”. Se supone que la tasa de cambio relativo instantánea del valor de este bono, la tasa de interés instantánea del bono al tiempo “t”, viene dada por: r t
B ' t Bt
B ' t r t Bt B ' t r t Bt 0
16
Supóngase que a lo largo del periodo de vida del bono se realizan varios depósitos (o retiros), y que el valor de la inversión en bonos al instante “t” viene dada por: Yt Zt Bt
17
Donde Zt representa la cantidad de bonos que se tienen en la inversión al instante “t”. Estando el cambio marginal de Zt dado por: Z ' t t
18
Donde t es una función que representa los depósitos o retiros. En concreto, es el cambio instantáneo en el número de bonos. Bajo todos los supuestos antes hechos, ahora vamos a calcular la variación marginal del valor de la inversión en bonos en función de la variación marginal de la cantidad de bonos que se tienen en la inversión y de la variación marginal del valor de un bono, al instante “t”. Para ello, vamos a derivar (8) respecto de “t”, de donde obtenemos: Y ' t Z ' t Bt Zt B ' t
19
Reemplazando (16) y (18) en (19) se obtiene: Y ' t t Bt Zt r t Bt
20
Reemplazando (17) en (20) tenemos que: Y ' t t Bt r t Yt Y ' t r t Yt t Bt
21
La ecuación (21) puede interpretarse de la siguiente manera: el cambio en el valor de la inversión, Y ' t , es igual a los rendimientos (intereses) de la misma, r t Yt , más las ganancias (o pérdidas) por el cambio (instantáneo) en el valor de los bonos, t Bt . Para resolver (21) supondremos que YT YT , y tomaremos como instante inicial “T”. Es decir, resolveremos la ecuación diferencial “hacia atrás”, ya que obtendremos el valor presente de la inversión (en el instante “t”) en función de un valor futuro conocido (en el instante “ T t ”). 254
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Para ello, primero resolveremos la ecuación (16) asumiendo que BT BT , y tomando como instante inicial “T” y como instante final “t”. t
r d
Multiplicando (16) por e
se tiene:
T
t
B'te
rd
T
t
rtBte
rd
T
t rd T d Bte 0 0 dt
t
Bt e
r d
T
t
r d
C Bt Ce T
22
Reemplazando la condición inicial BT BT en (21) tenemos que: T
r d
BT Ce T
BT C BT
23
Reemplazando (23) en (22) resulta: t
r d
B t B T e T
t
r d
eT
B t BT
t
B T Bt e
r d
24
T
t
r d
Ahora, para resolver (21) multiplicaremos dicha ecuación por e t
Y ' t e
r d
T
t
r t Y t e
r d
T
t
t Bt e
t r d d Y t e T t r d t Bt e T dt
255
T
25
Reemplazando (24) en (25) resulta: t r d d Y t e T t B T dt
r d
26
T
:
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Integrando (26) obtenemos:
t
T
t rd T dYte d d
t
BTd T
t
Y t e
r d
T
t
t
Y T B T d Y t e
r d
T
t
Y T B T d
T
T
t
Yte
rd
T
T
YTe
rd
t
BT d
T
T t
t r d Y t Y T B T d e T T
27
t
r d
Reemplazando YT YT y el valor de e T obtenemos que:
t Y T Y t d Bt BT T
que aparece en (24)
28
Comparando (17) y (28), podemos interpretar la ecuación (28) de la siguiente forma: el valor de la inversión es igual al producto del valor de un bono por el número total de los mismos. Finalmente, resolveremos este modelo para: 1 r t r0 t 1 T 1 t Bt t 1 BT 1 Y T 1
29
Reemplazando r t y BT en (24) se tiene que: t
1
r0 1 d
B t e T
e
r0 ln 1 Tt
256
e
r0 t ln t 1 r0 T ln T 1
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Dado que: t 0 t 1 0 t 1 t 1 T t T 0 T 1 0 T 1 T 1
Por tanto: t 1 r0 t T ln T 1
Bt e r0 t ln t 1 r0T ln T 1 e
T 1e r0 t T t 1
30
Reemplazando (30) en la segunda ecuación de (29) se tiene que: T 1e r0 t T t t 1
T 1 t e r0 T t t 1
31
Integrando (31) entre “T” y “t” se tiene: t
T
t
d e
T
r0 T
e r0 T d r0
t
T
e r0 T t 1 r0
32
Reemplazando (29), (30) y (32) en (28) tenemos: e r0 T t 1 T 1e r0 t T Y t 1 r0 t 1
3.- El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans (Vinogradov, 1999): Este modelo de optimización intertemporal es descrito por el siguiente sistema de ecuaciones: k ' t f k t c t n g k t f ' k t g ' c t c t
33
Con las condiciones iniciales: k0 k0, c0 c0. Donde el stock de capital por mano de obra efectiva, kt, y el consumo por mano de obra efectiva, ct, son considerados como variables endógenas. Siendo “n” la tasa de crecimiento instantáneo de la población, “g” la tasa instantánea de progreso tecnológico, “ρ” es la tasa de descuento intertemporal, y “θ” es el coeficiente de aversión relativa al riesgo. Se asume que la función de producción adopta la forma Cobb-Douglas: f k t ak t ;
257
a0
34
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Se pide determinar la evolución temporal del stock de capital kt. Derivando (34) respecto del stock de capital tenemos: f ' k t a ;
35
Reemplazando (34 y (35) en (33) resulta: k ' t ' c t
a n g k t ct a g
36
c t
De la segunda ecuación de (36) resulta: a g c ' t
c t 0
37
La solución de (37) la podemos obtener a partir de (XII): c t
a g Ce
t
38
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta: c t C c 0 c t c 0
a g e
t
39
Reemplazando (39) en la primera ecuación de (36) resulta: k t a n g k t c 0 '
k t a n g k t c 0 '
a g e
a g e
t
t
40
La solución de (40) la podemos obtener a partir de (XXVII):
a n g dt k t e
c0
a g e
t a n g dt e dt
C
a g a n g t a n g t k t e dt C c 0 e
258
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO a g a n g t a n g t c 0 e k t e C a g a n g
k t
c0
a g e
a g
t
a n g
a n g t Ce
41
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta: k 0
c 0 a g
a n g
C k0 C k0
c0 a g
a n g
42
Reemplazando (42) en (41) resulta: k t
c0
a g e
a g
t
a n g
k 0
c0 e a n g t a g a n g
3. EDOs lineales de orden “n” con coeficientes constantes Este tipo de ecuaciones diferenciales permiten la obtención de soluciones analíticas sin más que resolver ecuaciones algebraicas de orden “n”. Su forma general es: x n a n 1 x n 1 a 2 x '' a 1 x ' a 0 x f t
XXX
Con ecuación homogénea igual a: x n a n 1 x n 1 a 2 x '' a 1 x ' a 0 x 0
XXXI
Donde xn i con 0 i n es la “ n i ”-ésima derivada de “x” con respecto a “t”. A la solución de (XXXI) se le denomina solución complementaria, y se le denota por xct.
259
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS La solución complementaria puede encontrarse realizando la combinación lineal de “n” soluciones linealmente independientes. Es decir: x c t
n
kixi
XXXII
k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
i 1
Donde “xi” representa la i-ésima solución linealmente independiente de (XXXI), y “ki” es una constante asociada a “xi”. Las “n” soluciones de (XXXI) serán linealmente independientes si su Wronsquiano es distinto de cero, esto es:
Wt
x1
x2
xi
xn
x1'
x'2
xi'
x'n
x1i
xi2
xii
xin
0
con 0 i n
x1n 1 x n2 1 xin 1 x nn 1
La solución complementaria está asociada al polinomio característico que resulta de reemplazar xn i por r n i en la ecuación (XXXI): Pr r n a n 1 r n 1 a 2 r 2 a 1 r a 0 0
XXXIII
La solución del polinomio (XXXIII) implica la obtención de “n” raíces. Si “n1” raíces son reales y distintas, “n2” son raíces reales e iguales entre sí y “n3” raíces son pares de complejas conjugadas, tal que se verifica que n1 n2 2n3 n , la solución complementaria vendrá dada por: x c t
n1
i 1
A i e ri t
n2
i 1
B i t i 1 e rt
n3
e p t C i cos q i t G i senq i t XXXIV i
i 1
Donde la primera sumatoria está vinculada a las raíces reales y distintas, la segunda sumatoria se refiere a las raíces reales e iguales, y la tercera sumatoria se asocia con las raíces complejo conjugadas de (XXXIII). Las “n” constantes arbitrarias (“n1” constantes Ai, “n2” constantes Bi y “n3” constantes Ci y “n3” constantes Gi) se podrán determinar a partir de “n” condiciones iniciales. Siendo “pi” y “qi” la parte real y la parte imaginaria del i-ésimo par de raíces complejo conjugadas. La solución general de (XXX) se puede hallar como la suma de dos componentes, la solución complementaria xct , y la solución particular xpt : x t x c t x p t
260
XXXV
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Dónde: x p t
W t
n
x i Wit dt i 1
XXXVI
Siendo Wt el Wronsquiano de las “n” soluciones de (XXXI), xi la i-ésima solución de (XXXI) y Wit es el determinante obtenido del Wronsquiano al 0 0 reemplazar la i-ésima columna por el vector columna , es decir: 0 f t n 1
Wit
x1
x2
0
xn
x1'
x '2
0
x'n
x1k
x1n 1
x k2
0
x n2 1
f t
x kn
x nn 1
Por tanto, la solución general de (XXX) es: c t x xt
n1
Ai e ri t
i 1
n
n2
i 1
Bi t i 1e rt
n3
ep t Ci cos qi t Gisenqi t i
i 1
Wi t
XXXVII
xi Wt dt i 1 x p t
4. Estabilidad de EDOs lineales de orden “n” con coeficientes constantes Una propiedad importante de una ecuación diferencial es si posee uno o más equilibrios o estados estacionarios. El/los punto/s de equilibrio es/son una/algunas solución/soluciones de la ecuación diferencial que no cambia/n con el tiempo. En economía es de suma importancia averiguar si este/os punto/s de equilibrio es/son estable/s. Por ejemplo, el punto de equilibrio para una EDO que tiene la forma general dada por la ecuación (XVI) lo encontramos resolviendo: x ' q wx E g x E 0 x E
261
q w
XXXVIII
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Un punto de equilibrio x E es estable si para cada 0 hay un “δ” tal que cada
trayectoria x t con x 0 x E satisface x t x E t 0. En otras palabras, si una trayectoria que empieza “cerca” a un punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el punto de equilibrio se dice que es estable. Además, un punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si este es estable (en el sentido descrito líneas arriba) y hay un 0 tal que para cada trayectoria x t con x 0 x E converge a x E según t . Es decir, un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable, y también si cualquier trayectoria que empieza cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio según t . Por otro lado, si se establecen las adecuadas condiciones iniciales, entonces existirá una única solución de la ecuación diferencial. No obstante, si las condiciones iniciales son modificadas, la solución cambiará. En estas circunstancias, es importante saber si pequeños cambios en las condiciones iniciales tendrán algún efecto significativo sobre el comportamiento de largo plazo de la solución, o si tal efecto desaparecerá según t ? En el último caso se dice que la ecuación diferencial es asintóticamente estable. Sin embargo, si pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a diferencias significativas en el comportamiento de la solución en el largo plazo, entonces la ecuación diferencial se dice que es inestable. Para el caso de EDOs lineales de orden “n” con coeficientes constantes se tiene que la ecuación (XXX) es estable (globalmente asintóticamente estable) si la solución complementaria, que está dada por (XXXII), tiende a cero según “t” tiende a infinito, para todos los valores de k1, k 2, , k n. Si esto ocurre, por (XXXVII), cualquier solución de la ecuación diferencial (XXX) n
tenderá a la solución particular
xi i 1
Wi t W t
dt, la cual es independiente de
las condiciones iniciales (ya que no depende de ninguna constante que deba ser determinada a partir de dichas condiciones). De esta manera se garantiza que el efecto de los pequeños cambios en las condiciones iniciales desaparecerá conforme t . Aquí es importante resaltar que en economía la solución particular x pt puede interpretarse como un valor de equilibrio (equilibrio estacionario o equilibrio móvil de acuerdo a si x pt es una
constante o una función del tiempo) de la variable “x”. Dada esta interpretación, la solución complementaria puede interpretarse como la trayectoria temporal de las desviaciones del equilibrio ya que xt x pt x ct.
Una condición necesaria y suficiente para que la ecuación (XXX) sea estable (globalmente asintóticamente estable) es que todas las raíces características (autovalores) de (XXXIII), tengan partes reales negativas.
262
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Es claro que la solución general de (XXX) poseerá un equilibrio fijo si tanto su solución complementaria como su solución particular convergen hacia un valor real. La convergencia de la solución complementaria se garantizará si la parte real de las raíces características es negativa, con lo cual se cumple que el lím x ct 0, mientras que la convergencia de la solución particular se t
garantizará si se cumple que el lím x pt x E . t
Ejemplos: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a bp x . Si se sabe que a, A, b y p son constantes positivas y que A 2A las condiciones iniciales son: x0 x 0 y xT x T.
1. x ''
Tenemos una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden dos con coeficientes constantes, cuyo polinomio característico es: a r1 0 a A 2 Pr r 0 A a 0 r2 A
La solución complementaria es: x c t A 1 e
a At
A 2e
43
a At
Dos soluciones de xct son: x1t e
x1' t a A e
a At
x2t e
a At
a At
x'2t a A e
a At
El Wronsquiano será: Wt
e
a At
a At
a Ae
e
a At
a At
a Ae
Dado que Wt 0, las soluciones independientes. En consecuencia: 0 W1t b p
e
a At a At
a Ae
2A
263
2 a A 0
x1t y x2t
pb 2A
a At
e
son linealmente
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS W2t
e
a At
a Ae
0 bp bp e 2A 2A
a At
a At
Por tanto: W1t
bp
Wt dt 4A a A e W1t
W2t
a A t
pb
W1t
a At
a At
pb 4a
pb
dt
a At
e
4a
pb e 4a
a A t
Wt dt e
a At
e
4a
Wt dt 4A a A e x 2t
pb
dt
pb e 4a
Wt dt e
x1t
a At
a At
pb 4a
La solución particular será: x p t
pb
4a
pb
pb
4a
44
2a
Por tanto, la solución general será: x t A 1 e
a At
A 2e
a At
pb
45
2a
Donde A1 y A2 se determinan utilizando condiciones de borde, esto es: x 0 A1 A 2
A1e
a AT
a AT
A 2e
A 2e
x0
2a
pb
A1 A 2 x 0 x T A1e
pb
46
2a a AT
a AT
pb 2a
xT
pb 2a
xT
47
Resolviendo (46) y (47) tenemos: pb pb x0 xT e 2a 2a A1 2 a A T 1 e
264
a AT
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO e
a A T
xT
A2
pb pb x0 e 2a 2a 2 1 e
a A T
a A T
Finalmente, tenemos que: pb pb xT x 0 2a 2a x t 2 a AT 1 e e
a AT
pb x T 2a
e
a AT
pb x0 2a
2 1 e
a AT
e e
a At
a AT
e
a At
pb 2a
Se puede apreciar que como una de las raíces característica es positiva, r1
a
0, entonces la ecuación x ''
A
bp . será inestable. x A 2A a
2.- x '' x ' 2x 5t . Si se sabe que: x 0
5 4
y x ' 0
1
.
2
Resolvemos la ecuación homogénea: x '' x ' 2 x 0, cuyo polinomio característico es: r1 1 Pr r 2 r 2 r 1r 2 0 . r2 2
Por tanto, la solución complementaria será: x c t A1e t A 2 e 2 t
Dónde: x 1 t e t x 1' t e t x 2 t e 2 t x '2 t 2e 2 t
265
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Por tanto, el Wronsquiano será: e 2 t 3e t 0 W t 0 2e 2 t
et et
W t
Es decir, x 1 t e t y x 2 t e 2 t linealmente independientes.
son soluciones de xct que son
Mientras que: 0 e 2 t 5 te 2 t 5 t 2e 2 t
W1 t
W2 t
et et
0 5 te t 5t
Por tanto:
W1 t W t
x 1 t
dt
W t
x 2 t
3e
W1 t
W t
W2 t
5 te 2 t t
5
te 3
dt
5
3e t dt 3 te
W2 t W t
dt
5 3
t 1e t
5 5 dt e t t 1e t t 1 3 3
5 te t
dt
t
2t
5
dt
12
e 2 t 2 t 1
5 5 2t 2 t 1 dt e 2 t e 2 t 1 12 12
Dónde: x p t
5 3
t 1
5 12
2 t 1
Por tanto, la solución general de x '' x ' 2 x 5t es: x t A 1 e t A 2 e 2 t
266
5 3
t 1
5 12
2 t 1
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Simplificando: 5
x t A 1 e t A 2 e 2 t
4
2 t 1
Ahora calculamos la primera derivada de “x”: x ' t A 1 e t 2 A 2 e 2 t
5 2
Aplicando condiciones iniciales, para t 0 se tiene que: x 0 A1 A 2
5
4
x ' 0 A1 2 A 2
5 4
5
48
1
2
2
49
Resolviendo se tiene que: A1 1 y A 2 1 .
Reemplazando estos valores en xt tenemos: x t e t e 2 t
5 4
2 t 1
Se puede apreciar que como una de las raíces características es positiva, r1 1 0, entonces la ecuación x '' x ' 2x 5t es inestable. Esto se puede corroborar ya que lím x t . En la figura 4 se muestra la t
solución general de x x 2 x 5t para t 0. ''
'
Figura 4 267
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
3. x''' 13x' 34x e2t . Si las condiciones iniciales son: x'0
103
y x''0
34
1
x0
135
,
68
.
17
Resolvemos la ecuación homogénea: x''' 13x' 34x 0, cuyo polinomio característico es: r1 2 P r r 3 13r 34 r 2 r 2 2 r 17 0 p1 1. r 1 4 j q 4 1
Por tanto, la solución complementaria será: xct A1e2t etC1 cos4t G1sen(4t)
Donde: ' 2t x1t 2e x1t e2t '' 2t x1t 4e ' t x 2t e cos4t 4sen(4t) x 2t e t cos4t '' t x 2t e 15 cos4t 8sen(4t) ' t x 3t e 4 cos4t sen(4t) x 3t e t sen4t '' t x 3t e 8 cos4t 15sen(4t)
Por tanto el Wronsquiano será: e2t Wt 2e2t 4e
2t
et cos4t e cos4t 4sen(4t) t
et sen4t e 4 cos4t sen(4t) t
e 15 cos4t 8sen(4t) e 8 cos4t 15sen(4t) t
100 ≠ 0
t
Es decir, x1t e2t, x2t et cos4t y x3t etsen4t son soluciones de xct que son linealmente independientes. Mientras que: 0 W1t 0
2t
e
et cos4t e tcos4t 4sen(4t)
etsen4t e t4 cos4t sen(4t)
e 15 cos4t 8sen(4t) e 8 cos4t 15sen(4t) t
268
t
4e 4t
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO e2t W2t 2e2t
etsen4t e t4 cos4t sen(4t)
0 0
4e
t
e
et cos4t e tcos4t 4sen(4t)
e2t W3t 2e2t
e 15 cos4t 8sen(4t) e t
2t
4e
e t3sen(4t) 4 cos4t
e 8 cos4t 15sen(4t)
2t
2t
0 0
e t4sen(4t) 3 cos4t
2t
Por tanto: W1t
Wt
dt
4e4t
1
100 dt 25 e
W1t
2t
1
4t
W2t
Wt
et3sen(4t) 4 cos4t
dt
W2t
1
Wt
dt
2t
1
W3t
dt
1 1700
1
Wt dt 1700 e
x3t
1 2t 100 e e t19sen(4t) 8 cos4t
cos4t 19sen(4t) 8 cos4t
et4sen(4t) 3 cos4t 100 2t
e 4t
100
1700
Wt dt 1700 e
W3t
dt
100
x 2t
1
4t
Wt dt e 100 e
x1t
dt
e t19 cos(4t) 8sen4t
sen4t 19 cos(4t) 8sen4t
Donde: x p t
1
e 2 t
e 2 t cos4 t 19sen( 4 t ) 8 cos4 t
100
1700
e 2 t sen4 t 19 cos(4 t ) 8sen4 t 1700
Por tanto, la solución general de x''' 13x' 34x e2t es:
269
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
xt A1e2t e t C1 cos4t G1sen(4t)
e 2t
e2t cos4t 19sen(4t) 8 cos4t
100
1700
e 2t sen4t 19 cos(4t) 8sen4t 1700
xt A1e2t e tC1 cos4t G1sen(4t)
1
e 2t
100
xt A1e2t e tC1 cos4t G1sen(4t)
8
e 2t
1700 1
e 2t
68
Ahora calculamos la primera y segunda derivada de “x”: x't 2A1e2t e t4G1 C1 cos(4t) G1 4C1 sen4t
1
e 2t
34
x' 't 4A1e2t e t8C1 15G1 sen4t 8G1 15C1 cos(4t)
1
e 2t
17
Para t 0 se tiene que: x 0 A1 C1
1
68
x ' 0 2 A1 4G 1 C1 x '' 0 4 A1 8G 1 15C1
1
135 68
34 1
A 1 C1 2
103 34
17
1 17
50
2 A 1 4 G 1 C1 3
4 A1 8G 1 15C1 0
51 52
Resolviendo se tiene que: A1 4, C1 2 y G1 7 / 4
Reemplazando estos valores en xt tenemos: 7 1 2t xt 4e2t e t 2 cos4t sen(4t) e 68 4
Dado que la raíz característica r1 2 0, entonces la solución de la ecuación diferencial es inestable. Esto se puede corroborar ya que lím x t . En la figura 5 se muestra la solución general de t
x ''' 13x ' 34x e 2 t para t 0.
270
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Figura 5 En la figura 6 se ha representado la solución de x''' 13x' 34x 0 para las condiciones iniciales dadas, tanto para valores positivos como para valores negativos de “t” con el propósito de resaltar que dicha solución es oscilante no convergente cuando “t” representa a cualquier otra variable que no tiene significado temporal.
Figura 6 271
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
4.- Modelo IS-LM de la Economía (Tu, 1994): Considere una economía cerrada descrita por las siguientes ecuaciones: Y' hD S ' r m LY M D C I C cY; I ar; S Y LY kY; s 1 c
0 c 1 a 0
53
k 0
La primera ecuación en (53) nos indica que la renta nacional “Y” aumenta en respuesta al exceso de demanda agregada “D”, la segunda ecuación nos indica que la tasa de interés “r” aumenta en respuesta al exceso de demanda de dinero (diferencia entre la demanda y oferta de dinero: “ LY M ”), la tercera ecuación nos indica que la demanda agregada es igual a la suma del consumo y de la inversión, la cuarta y la quinta ecuación nos indican que es el consumo y la inversión son funciones lineales de la renta y de la tasa de interés respectivamente, la sexta ecuación nos señala que la oferta agregada no es más que la producción nacional, la sexta ecuación nos indica que la demanda de dinero es una función lineal creciente de la renta (es decir, el dinero demandado únicamente con el propósito de realizar transacciones), la séptima ecuación no es más que la definición de la propensión marginal a ahorrar “s” en términos de la propensión marginal al consumo “c”. Se asume que la oferta de dinero “ M ” es realizada por el Banco Central, y que las velocidades de ajuste “h” y “m” son constantes e iguales a 1. Reemplazando “D” y “S” en la primera ecuación, “ LY ” en la segunda, y haciendo h m 1 en la primera y segunda ecuaciones de (53) se tiene: Y' C I Y r ' kY M
54
Reemplazando la cuarta y la quinta ecuación de (53) en la primera ecuación de (54) resulta: ' Y cY ar Y 1 cY ar ' r kY M
55
Reemplazando la última ecuación de (53) en la primera ecuación de (55) se obtiene: 272
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO ' Y cY ar Y sY ar ' r kY M
56
Derivando respecto al tiempo la primera ecuación de (56) y reemplazando la segunda ecuación de (56) en ésta tenemos:
57
Y '' sY' ar ' sY' a kY M Y '' sY' akY aM
Resolvemos la ecuación homogénea: Y' ' sY' akY 0, cuyo polinomio característico es: s r1 Pr r 2 sr ak r r1r r2 0 s r2
s2 4ak
2 s2 4ak
s 2
2
s 2
Dependiendo del signo del discriminante “ ” se pueden tener tres casos: r1 r1 0
Caso I: s 2 4ak 0 r2 r2 0
r r r r 2 2 1 1
Para este caso, la solución complementaria será: Yc t A1e r1t A 2 e r2 t
58
Dónde: rt rt ' Y1t e 1 Y1t r1e 1 r2 t r2 t ' Y2t e Y2t r2e
Por tanto el Wronsquiano será: Wt
er1t
er2t
r1er1t
r2er2t
r2 r1er1 r2 t er1 r2 t 0
Es decir, Y1 t e r1t y Y2 t e r2 t son soluciones de Yct que son linealmente independientes. Mientras que: W1t
0
er2t
aM r2er2 t
273
aMer2t
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS W2t
er1t r1e
0
r1t
aMer1t
aM
Por tanto: W1t
Wt dt
aMer2t
W1t
Y1t
dt
er1 r2 t
Wt dt e
W2t
Wt
dt
Y2t
aMer1t er1 r2 t
W2t
r1t
aM aM
Wt dt e
r2 t
r1t
dt
e r1t
r1
dt
e
aM
e
aM r2
r2 t
e r2t
aM r1
e r1t
aM r1
dt
aM r2
e r2t
aM r2
Dónde: Ypt
aM r1
aM r2
aM 1 1 aM r1 r2
r1 r2 aM r r 1 2
r1 r2 M r r k 1 2
Para este caso, la solución general de (57) en este caso es: Y t A1e r1t A 2 e r2 t
M k
59
La ecuación (59) es estable ya que r1 0 y r2 0. En este caso, la renta nacional convergerá en el largo plazo a: YLP lím Y t t
Caso II: s 2 4ak 0 r1 r2 r
s
M k r 0
2
Para este caso, la solución complementaria será: Yc t B1e rt B 2 te rt
60
Dónde: rt ' rt Y1 t e Y1 t re rt ' rt rt rt Y2 t te Y2 t e tre e 1 tr
274
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Por tanto el Wronsquiano será: W t
e rt re rt
tert e 2 rt 0 e 1 tr rt
Es decir, Y1 t e rt y Y2 t te rt son soluciones de Yct que son linealmente independientes. Mientras que: 0 te rt aMte rt aM e rt 1 tr
W1 t
ert rert
W2t
0 aMert aM
Por tanto: W1 t
Wt dt Y1 t
aMtert e
2 rt
W1 t
Wt dt e
W2 t
dt
W t
Y2 t
rt
dt aM te rt dt
W2 t W t
1 aM e rt t r r r
aM
aMe rt e
1 e rt t r r
aM
2 rt
dt aM e rt dt
dt te rt
1 t r
aM
e rt
r
aM
e rt
r
aM
t
r
Dónde: Yp t
aM 1 aM aM t t r r r r2
Por tanto, la solución general de (57) en este caso es: Y t B1e rt B 2 te rt
Reemplazando r
s
aM r2
61
0 en (61) tenemos:
2 aM Y t B1e s 2 t B 2 te s 2 t 4 s2
275
62
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ya que r
s
0, entonces (62) es estable. En este caso, la renta
2
nacional convergerá en el largo plazo a: YLP lím Y t 4 t
aM s2
r p1 q1 j p1 ; q1 0
Caso III: s2 4ak 0
Para este caso, la solución complementaria será: Yct ep1tC1 cosq1t G1sen(q1t)
Dónde: Y1t ep1t cosq1t Y1't ep1tp1 cosq1t q1sen(q1t)
Y2t ep1tsenq1t Y2' t ep1tp1senq1t q1 cos(q1t)
Por tanto el Wronsquiano será: Wt
cosq1tep1t
p1 cosq1t q1sen(q1t)e
senq1tep1t
p1t
p1senq1t q1 cos(q1t)ep t 1
q1e2p1t 0
Es decir, Y1t ep1t cosq1t y Y2t ep1tsenq1t son soluciones de Yct que son linealmente independientes. Mientras que: W1t
W2t
0 aM
senq1tep1t
p1senq1t q1 cos(q1t)ep t 1
cosq1tep1t
p1 cosq1t q1sen(q1t)e
0 p1t
aM
aMsenq1tep1t
aM cosq1tep1t
Por tanto: W1t
Wt dt
aMsenq1tep1t q1e
2p1t
276
dt
aM q1
senq1te
p1t
dt
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO W1t
aM
Wt dt q p2 q2 1 1 1 W1t
Y1t
Wt dt e Y1t
cosq1t
p1t
W1t
aM
Wt
dt
aM
q1 p12
Wt dt q p2 q2 1 1 1 W2t
e p1t p1senq1t q1 cosq1t
aM cosq1tep1t q1e
W2t
W2t
Y2 t
p1t
senq1t
W2 t
aM
dt
2p1t
q1
aM
Wt dt e
e p1t p1senq1t q1 cosq1t
cosq1t p1senq1t q1 cosq1t
cosq1te
p1t
dt
e p1t q1senq1t p1 cosq1t
Wt dt q p2 q2 1 1 1 Y2t
q12
aM
q1 p12
aM
q12
e p1t q1senq1t p1 cosq1t
senq1t q1senq1t p1 cosq1t
Wt dt q p 2 q 2 1 1 1
Dónde: Yp t
aM
q1 p12 q12
aM
q1 p12
q12
cosq1t p1senq1t q1 cosq1t
senq1t q1senq1t p1 cosq1t
Ypt
p12
aM q12
Por tanto, la solución general de (57) en este caso será: Yt ep1t C1 cosq1t G1sen(q1t)
p
2 1
aM q12
63
Pero en este caso, dado que s2 4ak 0, entonces tenemos que:
277
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
r s 2 s r 2
2
s 2
4ak s 2
2
4ak s 2
s
4ak s 2
1
2
2 2 s p1 0 2 j jp1 q1 j 4ak s 2 0 q1 2
64
De (64) resulta que: s2 p12 4 p12 q12 ak 2 4ak s 2 q1 4
65
Reemplazando (64) y (65) en (63) obtenemos la solución general de (57): Yt es 2t C1 cos
4ak s t G sen 4ak s t M 2
2
2
1
2
k
66
Como la parte real del par de raíces complejo conjugadas es negativa, p1
s
0,
en este caso se puede comprobar que el modelo es
2
asintóticamente estable y converge en el largo plazo de forma oscilatoria a: YLP lím Yt M k t
5.- Coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo (Léonard, 1992): Sea ux la función de utilidad del dinero correspondiente a un agente. Se asume que ux posee al menos dos derivadas continuas, que es estrictamente creciente, u 'x 0, y estrictamente cóncava, u ''x 0, respecto del dinero. Se pide determinar la forma funcional de ux para que el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión absoluta al riesgo, que viene dado por a x u''x u 'x , sea una constante positiva2. Asimismo, analice la estabilidad de la función de utilidad. De la definición del coeficiente de aversión absoluta al riesgo de ArrowPratt se tiene: u ''x a xu 'x 0 67 2
El valor absoluto del coeficiente de aversión absoluta al riesgo aproximadamente mide la variación relativa de la utilidad marginal del agente ante un incremento unitario del dinero, para una cantidad “x” de dinero. Aquellas funciones de utilidad que poseen un coeficiente de aversión absoluta al riesgo constante suelen ser conocidas como funciones de utilidad CARA (Constant Absolute Risk Averse) o como funciones de utilidad exponenciales.
278
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Dado que en este caso se requiere que el coeficiente de aversión absoluta al riesgo sea constante, entonces: a x a cte
68
Reemplazando (68) en (67) resulta: u ''x a u 'x 0
69
El polinomio característico de (69) viene dado por: r1 0 pr r 2 a r 0 pr rr a 0 r2 a 0
70
En consecuencia, la solución general, que coincide en este caso con la solución complementaria ya que (69) es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, vendrá dada por: ux A1 A2ea t
71
Los coeficientes de la ecuación (71) podrán determinarse con las condiciones iniciales de ux y u'x. Se aprecia que (71) es asintóticamente estable, y que en el largo plazo converge a: lím ux A1
t
6.- Un modelo de ciclo de negocio de Dresh (Sydsæter, 2005): Este modelo incorpora la siguiente ecuación: dpt
t
k
dt
Dp Spd k 0
72
Donde pt denota un índice de precios en el instante “t”, y Dpt y Spt son la demanda y la oferta agregadas respectivamente. Es decir, (72) nos dice que la tasa de cambio instantánea del precio es proporcional al total acumulado de todo el exceso de demanda pasado. En el caso cuando Dpt a bpt y Spt c hpt , donde b 0 y h 0, derive (72) con respecto al tiempo para deducir una EDO de segundo orden para pt . Luego encuentre la solución de esta ecuación. Suponiendo que existe un e t, podemos expresar (72) como: dpt
t e k Dp Spd Dp Spd dt e
279
73
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Derivando (73) respecto de “t”: p' 't
e t d Dp Spd k D p S p d dt e
p' 't k
e t d Dp Spd Dp Spd dt e
d p' 't k dt
e d t Dp Spd Dp Spd dt e
Aplicando las reglas de Leibniz3 se tiene: 0 0 e Dp Sp dt de p' 't k d Dpt Spt Dpe Spe t dt dt
0 Dp Sp d t e t
p' 't k Dpt Spt
74
Reemplazando Dpt a bpt y Spt c hpt en (74) tenemos: p'' t k a c b h pt p'' t h b kpt k a c
Resolvemos la ecuación homogénea: polinomio característico es: P r r 2 h b k 0 r
p '' t h b kpt 0,
pc t C1 cosq1t G1sen(q1t )
Ver apéndice.
280
cuyo
p1 0
h b k j p1 q1 j
Por tanto, la solución complementaria será:
3
75
q1
h b k
0
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Dónde: p1 t cosq1t p1' t q1sen(q1t ) p 2 t senq1t p'2 t q1 cos(q1t )
Por tanto el Wronsquiano será: cosq1t
W t
senq1t
q1sen( q1t ) q1 cos(q1t )
q1 0
Es decir, p1 t cosq1t y p 2 t senq1t son soluciones de p c t que son linealmente independientes. Mientras que: senq1t
0
W1 t
k a c q1 cos(q1t ) cosq1t
W2 t
k c a senq1t
0
q1sen( q1t ) k a c
k a c cosq1t
Por tanto: W1 t
Wt dt p1 t
k c a senq1t
dt
q1
q1
W1 t
Wt dt cosq1t
W2 t
Wt dt p 2 t
k c a
k a c cosq1t
k a c q12
q1
W2 t
cosq1t
k a c
dt
q1
Wt dt senq1t
k a c q12
senq1t dt
q12
k a c q12
cosq1t dt
senq1t
k a c
q12
cos2 q1t
k a c q12
k a c
k a c q12
cos2 q1t
k a c q12
sen2 q1t
k a c q12
Por tanto, la solución general de (75) en este caso será: p t C1 cosq1t G1sen( q1t )
281
k a c q12
senq1t
sen2 q1t
Dónde: p p t
cosq1t
76
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
h b k en (76) resulta:
Reemplazando q1 p t C1 cos
h b k
t G1sen(
h b k
t)
a c hb
77
La ecuación (77) representa una familia de curvas que oscilan alrededor de ac hb
con una amplitud constante e igual a A C12 G12 . Cualquier
curva de esta familia es estable debido a que todos sus valores se mantienen a lo largo del tiempo dentro de una banda cuyo centro se encuentra en
ac hb
y cuyo ancho es igual a dos veces su amplitud. Por
tanto, la ecuación (77) es marginal o neutralmente estable (es estable pero no asintóticamente estable). En la figura 7 se ha representado una curva de esta familia para valores de t 0.
Figura 7
V.6 EDOs no lineales de primer orden Una EDO no lineal no puede expresarse como la forma general dada en la ecuación (X). Las EDOs no lineales son algo difíciles de tratar salvo para algunos casos especiales que serán estudiados a continuación.
1. EDOs de variables separables Una EDO y ' t Hy, t se dice que es de variables separables si se puede escribir en cualquiera de las siguientes formas generales: y ' t
dy dt
Ft G y
;
G y 0
Gy dy Ft dt
282
XL
XXXIX
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO La solución general de este tipo de ecuaciones se obtiene integrando la ecuación (XL):
Gy dy Ft dt C XLI Ejemplos: 1.- Coeficiente de aversión relativa al riesgo de Arrow-Pratt (Simon, 1994): Sea ux la función de utilidad del dinero correspondiente a un agente. Se asume que ux posee al menos dos derivadas continuas, que es estrictamente creciente, u 'x 0, y estrictamente cóncava, u ''x 0, respecto del dinero. Se pide determinar la forma funcional de ux para que el coeficiente de Arrow-Pratt de aversión relativa al riesgo, que viene dado por r x xu ''x u 'x , sea una constante positiva4. De la definición del coeficiente de aversión relativa al riesgo de ArrowPratt se tiene: xu ''x r xu 'x
78
Dado que en este caso se requiere que el coeficiente de aversión relativa al riesgo sea constante, entonces: r x r cte
79
Reemplazando (79) en (78) resulta: du'
xu ''x r u 'x x
dx
r u '
du' u
'
r
dx x
80
Integrando a ambos lados de (80) resulta:
du' u
'
r
dx x
lnu ' r lnx C1
81
Dado que: u ' 0 u ' u ' x 0 x x
4
82
El valor absoluto del coeficiente de aversión relativa al riesgo aproximadamente mide la variación porcentual de la utilidad marginal del agente ante un incremento respecto al nivel de dinero “x” del 1%. Aquellas funciones de utilidad que poseen un coeficiente de aversión relativa al riesgo constante suelen ser conocidas como funciones de utilidad CRRA (Constant Relative Risk Averse) o como funciones de utilidad de elasticidad de sustitución constante (funciones de utilidad isoelásticas).
283
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Reemplazando (82) en (81) resulta: u' ln u ' r ln x C1 ln u ' ln C1 ln x r
C 1
83
Aplicando exponenciales a (83) obtenemos la utilidad marginal: u' ln x r e
u'
eC1 x
r
eC1 u ' eC1 x r u ' A1x r
84
Separando variables tenemos: u'
du dx
A1x r du A1x r dx
85
Integrando a ambos lados del signo de igualdad en (85) se tiene:
du A1x
r
A1 x 1 r A 2 ; r 1 dx u x 1 r r 1 A1 ln x A 2 ;
86
Los coeficientes de la ecuación (86) podrán determinarse con las condiciones iniciales para ux y u'x. De (85) se puede deducir que para satisfacer la condición u'x 0 A1 0. 2.- Funciones de Producción CES (Sydsæter 2005): En conexión con su estudio de las funciones de producción de elasticidad de sustitución constante (Constant Elasticity of Substitution: CES), Arrow, Minhas, y Solow fueron llevados a considerar la siguiente ecuación diferencial: dy
y1 y
dx
x
87
Donde “α” y “ρ” son constantes, 0, x 0, y 0. Haciendo uso de la siguiente identidad: 1 y
y1 1 y
1
y1 y
Demuestre que la solución general de (87) es:
y x
284
1
89
88
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Luego, haciendo x K L , y Y L , A 1 , y , demuestre que a partir de (89) se llega a la siguiente forma especial de la función de producción CES:
Y A K 1 L
1
90
Separando las variables de la ecuación (87) resulta: dy
y 1 y
dx
91
x
Integrando a ambos lados de (91) se tiene: dy
y1 y
dx
92
x
Reemplazando (88) en (92) resulta:
ln y
1
1 1 y y 1 y
dy
ln 1 y ln x C ln
dx
y
C ln 1 y
93
x
x
1
94
Aplicando exponenciales a (94) obtenemos: ln
e
y x
C ln 1y
1
e
y
e C 1 y
1
x
y
e C 1 y
x
Dado que: y 0 y y x 0 x x C 0 e C e C e
96
Además, teniendo en cuenta (96) se tiene que: y x
y x
0
y x
y y 0 x x
285
y x
97
95
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Reemplazando (96) y (97) en (95) se obtiene: y x
y e C 1 y e C 1 y x
e C 1 y
98
Haciendo y reemplazando e C en (98) resulta:
y 1 y y x y x y 1 x x x
y 1 x 1 x
1
y 1 x
1
99
Haciendo y reemplazando 1 en (99) obtenemos la solución general de (87):
y x
1
100
Reemplazando en (100) las siguientes expresiones: x K L y Y L A 1 1
(101)
Se tiene: K L L
1
Y
Y K L
Y K 1 L
Y 1 K 1 L
Y A K 1 L
286
1
1
1
lqqd
1
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO 3.- Supóngase que Y a K t 1 denota la producción en función del capital “k”, donde el factor t 1 se debe al progreso tecnológico. Supóngase que una fracción constante 0 s 1 es ahorrada, y que la acumulación del capital es igual a los ahorros, de manera que tengamos la siguiente ecuación diferencial: dK sY s a K t 1 dt K 0 K 0
(102)
Encontrar la solución de (102) si se sabe que a 0, 0 y K 0 0. Separando variables en (102) obtenemos: dK
s t 1 dt
a K
2
ln a K
3
dK
a K s
s t 13
2
t 1 dt
103
C
Dado que a 0, 0 y K 0, entonces: a K a K
104
Reemplazando (104) en (103) resulta: lna K
2 3 2
a K e e C
s t 1
3 2
3
s t 1 3
2
Ce
K t
ln a K
eC
2
e 3
e
2 3 s t 1 3
s t 1 3
2
a
2
C
105
Reemplazando las condiciones iniciales en (105) obtenemos: K 0
eC
2
s
e 3
a
K0
eC
a K 0 e 2s
Reemplazando (106) en (105) resulta: a K t K 0
287
e
2s 3
t 1
3 2
1
a
3
106
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
2. EDOs con coeficientes homogéneos Sea una EDO de primer orden en su forma diferencial: Px , t dx Qx , t dt 0
XLII
Si Px , t y Qx , t son funciones homogéneas del mismo grado para “x” y “t”, entonces la EDO recibe el nombre de homogénea o de coeficientes homogéneos. Las funciones Px , t y Qx , t serán homogéneas si satisfacen la siguiente propiedad: P x , t P x , t Q x , t Q x , t
(XLIII)
Donde “α” es una constante cualquiera no nula y “γ” es el grado de homogeneidad. Si hacemos 1 x , y reemplazamos este valor en (XLIII) entonces tenemos que: P1, t x pt x 1 x Px, t Px, t x pt x Q1, t x qt x 1 x Qx, t Qx, t x qt x
(XLIV)
Reemplazando (XLIV) en (XLII) resulta: x pt x dx x qt x dt 0
dt
dx
pt x qt x
dt dx
f t x XLV
Este tipo de ecuación diferencial se resuelve transformándola en una ecuación diferencial de variables separables a través de la siguiente sustitución. t
t x
x
XLVI
Diferenciando (XLVI) resulta: dt dx xd
dt
x
dx
d dx
XLVII
Al reemplazar (XLVI) en (XLV) e igualar esta última con (XLVII), la ecuación (XLV) podrá escribirse como una EDO de variables separables en “x” y en “θ”, tal como se muestra: f x
d dx
d dx
f x
288
dx x
d f
XLVIII
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Ejemplos: 1.- (Weber, 1982): Suponga que la tasa de incremento en el costo “x” de realizar un pedido y supervisarlo, a medida que aumenta el tamaño del pedido a suministrar, es igual a la suma de los cuadrados del costo y el tamaño del pedido, dividida entre el doble del producto del costo y el tamaño del pedido. Determinar la relación entre el costo de realizar y supervisar, y el tamaño del pedido si x 6 cuando t 1. De acuerdo al enunciado del problema, la ecuación diferencial a resolver es la siguiente: dx
x2 t2
dt
2tx
1 1 t x f t x 2 t x
107
Expresando (107) en su forma diferencial se tiene:
xt dt 2 txdx 0 2
108
2
Qx, t
Px, t
Se puede verificar que las funciones Px, t y Qx, t de (108) son funciones homogéneas de grado dos:
Px, t x2 t2 2x 2 2t 2 2 x 2 t 2 2Px, t Qx, t 2xt 22xt 2 2xt 2Qx, t
Por tanto, (108) es una ecuación diferencial homogénea. Para resolverla vamos a reemplazar las ecuaciones (XLVI) y (LXVII) en (108):
x
2
1 d 0 dx 1dx 1 xd 0 x 1
x2 dx xd 2xxdx 0 2 1x 2dx 1 2 x 3d 0 2
2
2
2
dx x
1 d C lnx 2 1 d C 1 1 2
2
2
lnx 2
1
d
d
2
lnx ln2 1 ln C ln
289
C
C
x 2 1
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
x 1 ln e
2
eC
e
x 2 1
e
x 2 1
C
0
C
x
1 2
e
x 2 1
C
109
eC
Reemplazando (XLVI) en (109) se obtiene: x
t x C e x t x2 1
t t eC
110
Dado que “x” es una variable económica no negativa, entonces en (110) descartamos la raíz negativa. Por tanto, la solución general de (107) resultará:
x t t eC
111
Reemplazando las condiciones de frontera en (110) tenemos: 6 1 eC eC 35
Reemplazando (112) en (111) tenemos: xt t t 35
113
En la figura 8 se representa la solución de (107).
Figura 8 290
112
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO 2.- (Weber, 1982): La relación entre el costo promedio C , y el número de unidades producidas “q”, es tal que el cambio en el costo promedio a medida que crece el número de unidades es igual a la diferencia del número de unidades y el costo promedio, dividida dicha diferencia entre el número de unidades. Determine la relación entre el costo promedio y el número de unidades producidas si C 9 cuando q 2. Grafique la relación obtenida. De acuerdo al enunciado del problema, la ecuación diferencial a resolver es la siguiente: dC
qC
dq
1
q
1
q C
f q C
(114)
Expresando (114) en su forma diferencial se tiene:
q dC C qdq 0
115
P C,q
Q C,q
Se puede verificar que las funciones P C, q y Q C, q de (115) son funciones homogéneas de grado uno:
QC, q C q C q QC, q P C, q q P C, q
Por tanto, (115) es una ecuación diferencial homogénea. Para resolverla vamos a realizar el siguiente cambio de variable: C
C q dC dq qd
q
dC
q
dq
d dq
116
Reemplazando (116) en (114) se tiene: q q
q
q lnq
1
d dq
dq
q
d 2 1
0
dq
q
d
2 1 K
2
ln2 1 K 2 lnq ln2 1 2K lnq ln2 1 2K
2 lnq 2 ln2 1 2K lnq 22 1 2K e
e
ln q 2 21
e2K q 22 1 e2K
291
ln q 2 21
117
e2K 0
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Reemplazando (116) en (117) tenemos: C q 2 2 1 e2K q
118
Teniendo en cuenta las condiciones de borde resulta:
119
e2K 32
Reemplazando (119) en (118) se tiene: C 1 16 q 2 2 1 32 Cq q q 2 q
120
En la figura 9 se representa la solución de (120).
Figura 9
3. EDOs exactas Supongamos que se tiene una función implícita Fx , t c cuyo diferencial total es: dFx, t
Fx, t x
dx
Fx, t t
dt 0
XLIX
Queda claro que la solución de la ecuación diferencial (XLIX) es Fx, t c. 292
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Ahora, procediendo de manera inversa que en el razonamiento anterior, supongamos que tenemos la siguiente ecuación diferencial: Px, tdx Qx, tdt 0
L
Donde Px, t y Qx, t son funciones continuas y poseen derivadas de primer orden continuas (son de clase uno: C1) en un subconjunto abierto de 2. Si existe una función Fx, t tal que: F(x, t) P(x, t) x F(x, t) Q(x, t) t
(LI)
En estas circunstancias, reemplazando (LI) en (L) tendríamos que: Fx, t
Px, t dx Qx, t dt
x
dx
Fx, t t
LII
dt 0
En consecuencia, la solución de (LII) vendría dada por la función implícita Fx, t c . A una EDO que posee estas propiedades se le denomina ecuación diferencial exacta. Una ecuación diferencial ordinaria que tiene la forma general dada por (LII) será exacta si cumple el siguiente criterio de exactitud: P(x, t) t
Q(x, t)
LIII
x
Derivando las funciones Px, t y Qx, t de la ecuación (LI) respecto de “t” y “x” respectivamente se tiene:
P(x, t) t
F(x, t) 2F(x, t) x t xt
F(x, t) Q(x, t) 2F(x, t) t x x tx
LIV
LV
Es importante resaltar que reemplazando (LIV) y (LV), la condición de exactitud (LIII) se podría expresar de forma equivalente como sigue: P(x, t) t
Q(x, t) x
2F(x, t)
293
xt
2F(x, t) tx
LVI
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS La ecuación (LVI) no es más que el teorema de Young, que establece que las derivadas parciales cruzadas (mixtas) de Fx, t serán iguales si es que dichas derivadas son continuas. Esto se verificará siempre y cuando Fx, t sea una función de clase 2 (C2). Técnica de solución Buscamos una función Fx, t que satisfaga (LI). Para determinar dicha función, deberemos proceder de la siguiente forma: 1. Identificar las funciones Px, t y Qx, t en la ecuación (L) y luego verificar el criterio de exactitud dad o por la ecuación (LIII). En caso se verifique el criterio dado por (LIII) procederemos como a continuación se indica, caso contrario buscaremos un factor de integración que transforme la ecuación diferencial en una ecuación exacta5. 2.- Integrar la primera ecuación que aparece en (LI) respecto a “x”, colocando en lugar de la usual constante de integración una función genérica que dependa de “t”: f t . En el proceso de integración se deberá considerar a “t” constante. F(x, t) Px, t x F(x, t)
Px, t x f (t) g(x, t) f (t) LVII
3. Derivar parcialmente Fx, t gx, t f t con respecto a “t”. Una vez calculada esta derivada, igualarla con la función Qx , t que aparece en la ecuación diferencial original, ecuación (LII), para a partir de esta igualdad obtener el valor de
4. Integrar
f (t) t
f ( t )
.
t
con respecto a “t” para obtener f t .
f (t) t
dt f (t)
LVIII
En este paso no es necesario añadir una constante de integración. 5. La solución de (LII) será: Fx, t gx, t f t C
LIX
Nota: La solución también puede obtenerse integrando con respecto a “t” la segunda ecuación que aparece en (LI), agregando en este caso en lugar de la usual constante de integración una función genérica que dependa de “x”: f x . En este caso se deberá considerar constante a “x” en el proceso de integración. 5
En la siguiente subsección estudiaremos los denominados factores de integración que nos permitirán transformar una ecuación diferencial que satisfaga (L) y que no verifique (LIII) en una ecuación diferencial exacta.
294
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO 3.1- Factor de integración No todas las ecuaciones diferenciales que tienen la forma general dada por (L) son exactas. No obstante, en algunos casos se puede convertir una ecuación diferencial ordinaria, como la dada por (L), en una ecuación diferencial exacta multiplicando dicha ecuación por un factor adecuado x, t, denominado factor de integración. Hallar un factor de integración puede resultar incluso más complicado que resolver la ecuación diferencial original. Sin embargo, en esta sección vamos a presentar dos casos particulares relativamente sencillos de resolver, en los que los factores de integración dependan de una sola variable. Para una ecuación diferencial ordinaria de la forma general dada por (L), se tiene que: Qx, t x
a) Si
t
Px, t
f t el factor de integración será: t e
t
Px, t
P x , t
b) Si
Q x , t
Q x , t
x
h x el factor integración será: x e
f t dt
.
gx dx
.
Ejemplos: 1.- Elasticidad de la función de costos respecto a la cantidad producida (Larson, 1995): Si C Cq es el costo de producir “q” unidades de determinado bien, la elasticidad del costo se define como: q
costo marginal
costo medio
C'q Cq q
q C
dC
121
dq
Determinar la función de costos si la elasticidad es: q
Donde C100 500;
20q C 2C 10q
122
q 100.
Igualando (121) y (122) se obtiene: q C
dC dq
20q C 2C 10q
2Cq q 2 dC C2 20 Cq dq 0 10
295
PC,q
QC,q
123
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Siguiendo los pasos de la técnica de resolución de una EDO exacta, primero derivaremos parcialmente PC, q y QC, q respecto a “q” y a “C” respectivamente para verificar si se cumple o no del criterio de exactitud dado por (LIII): PC, q q
2C 20q
Q(C, q C
124
Al verificarse el criterio de exactitud, en consecuencia la ecuación (123) es una EDO exacta. En segundo lugar, buscaremos una función FC, q que satisfaga: F( C, q ) P ( C, q ) C F( C, q ) Q ( C, q ) q
125
Para ello integramos la primera ecuación de (125) respecto a “C”, considerando a “q” constante, tal como se muestra: F(C, q ) F(C, q ) P(C, q )C f q
126
Reemplazando P(C, q ) en (126) resulta: F ( C, q )
2 2 10q 2 C f q 127 2Cq 10q C f q F(C, q) qC g x , t
En tercer lugar, vamos a derivar parcialmente la función F(C, q ) qC2 10q 2 C f q respecto a “q” y el resultado lo igualamos a Q(C, q) C2 20Cq , tal como lo indica la segunda ecuación de (125). De esta comparación se obtendrá F( C, q ) q
C 2 20Cq
f q q
QC, q C 2 20Cq
f q q
.
f q q
0 128
En cuarto lugar, integramos (128) respecto a “q” resultando: f q k
129
Finalmente, reemplazando (129) en (127) e igualando F(C, q) a una constante C1 , la solución de (123) resulta: F(C, q) qC2 10q 2C k C1 qC2 10q 2C k C1 0
296
129
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Haciendo C2 k C1, y reemplazando “C2” en (129) obtenemos la solución general de (123): qC2 10q 2C C2 0 Cq
10q 2 100 q 4 4C2q 2q
130
Teniendo en cuenta las condiciones de frontera resulta: C100 500 C2 25000000
131
Reemplazando (131) en (130) obtenemos: 5 q 2 q 4 1000000 q Cq q
132
Dado que los costos no pueden ser negativos, la función de costos pedida será: 5 q 2 q 4 1000000 q ; Cq q
q 100
2.- (Weber, 1982): La tasa de cambio infinitesimal del precio “x” respecto a la cantidad demandada “q” de un determinado bien está dada por: dx
dq
xq 12q
133
q2 8
Determine la relación entre el precio y la cantidad demandada, si el valor del precio es 15u.m cuando la cantidad demandada es 8. Reescribiendo la ecuación (133) en su forma diferencial tenemos:
q 8dx xq 12qdq 0 2
Px, q
Qx, q
134
Ahora derivaremos parcialmente Px, q y Qx, q respecto a “q” y a “x” respectivamente para verificar si se cumple o no del criterio de exactitud: P(x, q) q
297
2q
Q(x, q) x
q
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Dado que no se satisface el criterio de exactitud, ahora vamos a buscar si existe un factor de integración adecuado para transformar (134) en una ecuación diferencial exacta. Primero probamos con: P x , q q
Q x , q x
Q x , q
2q q
1
q x 12
x 12
h x x e
g x dx
En consecuencia, el factor de integración será: dx
x e x 12
e
ln x 12
x 12 como x 0 x x 12
Multiplicando (134) por el factor de integración x se tiene:
q 8x 12dx xq 12qx 12dq 0 2
xq8x 12q 96dx x q 24qx144 qdq 0 2
2
2
P1x, q
Q1x, q
135
Ahora verificaremos el criterio de exactitud con P1x, q y con Q1x, q :
P1(x, q) q
2qx 24q
Q1(x, q) x
2qx 24q
Al verificarse el criterio de exactitud, en consecuencia la ecuación (135) es una EDO exacta. Ahora buscaremos una función Fx, q que satisfaga: F(x, q) P1(x, q) x F(x, q) Q1(x, q) q
136
Para ello integramos la primera ecuación de (136) respecto a “x”, considerando a “q” constante, tal como se muestra: F(x, q) F(x, q) P1(x, q)x f q
137
Reemplazando P1(x, q) en (137) resulta: F(x, q)
xq 298
2
8x 12q2 96 x f q
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
2 x F(x, q) x 2q 8 24 f q gx, t
138
En este punto, vamos a derivar parcialmente la función F(x, q) x 2q2 8 x 24 f q respecto a “q” y el resultado lo
igualamos a Q1(x, q) x2q 24qx 144q , tal como lo indica la segunda ecuación de (136). De esta comparación se obtendrá F( x , q ) q
x 2 q 24qx
f q
q
q
.
Q1 x , q x 2 q 24qx 144q
q
f q
f q
144q
139
Ahora, integrando (139) respecto a “q” resulta: f q 72q2
140
Subsiguientemente, reemplazando (140) en (138) e igualando F(x, q) a una constante C , la solución de (133) resulta: F( x , q )
x q 2 8 x 24
72q 2 C
2
141
Teniendo en cuenta las condiciones de frontera se tiene que:
142
C 25668
Reemplazando (142) en (141) obtenemos: F( x , q )
x q 2 8 x 24
72q 2 25668
2
x 12
52488 q2 8
Dado que “x” es una variable económica no negativa, entonces la solución particular de (133) será: x 12
52488 q2 8
299
;
q 0,
143
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Note que este problema también podemos resolverlo probando con: Qx, q x
Px, q
Px, q
q
q 2q
q 8 2
q q 8 2
f q q e
f qdq
En consecuencia, el factor de integración será: qdq
q e
q 2 8
e
1 2 ln q 2 8
q2 8
q q 2 8
1 2
1 2
como q 2 8 0 1
q2 8
Multiplicando (134) por el factor de integración q se tiene: xq 12q 2 q 8 dx dq 0 q2 8 P2 q , x
144
Q 2 q , x
Ahora verificaremos el criterio de exactitud con P2 x , q y con Q 2 x , q :
P2 ( x , q ) q
q
Q 2 ( x , q )
q 8 2
x
q
q 8 2
Al verificarse el criterio de exactitud, en consecuencia la ecuación (144) es una EDO exacta. Ahora buscaremos una función Fx, q que satisfaga: F( x , q ) P2 ( x , q ) x F( x , q ) Q 2 (x, q) q
145
Para ello integramos la primera ecuación de (145) respecto a “x”, considerando a “q” constante, tal como se muestra: F( x , q )
F( x, q) P2 ( x, q)x f q 146
Reemplazando P2 ( x , q ) en (146) resulta: 300
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO F( x , q )
q 2 8 x f q
F( x , q ) q 2 8 x f q
147
g x ,t
En este punto, vamos a derivar parcialmente la función F( x , q ) q 2 8
x f q respecto a “q” y el resultado lo xq 12q igualamos a Q 2 ( x , q ) , tal como lo indica la segunda q2 8 f q
ecuación de (145). De esta comparación se obtendrá F( x , q ) q
qx
q2 8 f q q
f q q
Q 2 x , q
12q
q
.
xq 12q q2 8
148
q2 8
Ahora, integrando (148) respecto a “q” resulta: f q 12 q 2 8
149
Posteriormente, reemplazando (149) en (147) e igualando F(x, q) a una constante C , la solución de (133) resulta: F( x , q ) q 2 8
x 12 q 2 8 C
F( x , q ) q 2 8 x 12 C
150
Teniendo en cuenta las condiciones de frontera se tiene que:
151
C 162 2
Reemplazando (151) en (150) obtenemos: F( x , q ) q 2 8 x
162 2
x 12 162 2
12 12
q2 8
301
52488 q2 8
;
q 0,
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
3.- Modelo macroeconómico (Sydsæter 2005): Sean Ct, It, e Yt el consumo, la inversión y la renta nacional de un país en el instante “t”. Supongamos que: C t I t Y t dCt I t k dt C t aY t b
152
Donde “a”, “b” y “k” son constantes positivas, con a 1. Se pide obtener la ecuación diferencial para Yt transformándola en una EDO exacta a través de un adecuado factor de integración si se sabe que Y0 Y0. Compare el resultado obtenido con el que obtendría resolviendo la ecuación diferencial para Yt utilizando la fórmula para resolver las EDOs lineales de primer orden con coeficientes constantes y término fijo: ecuación (XXI). Una vez resuelta la ecuación diferencial para Yt se pide determinar It. Finalmente, se pide calcular el siguiente límite: Yt b lím si Y0 1 a It
t
Derivando respecto del tiempo la tercera ecuación de (152) resulta: dCt dt
aY ' t
153
Remplazando (153) en la segunda ecuación de (152) se obtiene: It kaY' t
154
Sustituyendo la tercera ecuación de (152) y (154) en la primera ecuación de (152) se tiene: aYt b kaY' t Yt kaY' a 1Y b 0 ka
dY dt
a 1Y b 0 ka dY a 1Y b dt 0 P Y , t
155 156
Q Y , t
Ahora derivaremos parcialmente PY, t y QY, t respecto a “t” y a “Y” respectivamente para verificar si se cumple o no del criterio de exactitud: P ( Y, t ) t
302
0
Q( Y, t ) Y
a 1
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Dado que no se satisface el criterio de exactitud, ahora vamos a buscar si existe un factor de integración adecuado para transformar (156) en una ecuación diferencial exacta. Probamos con: P ( Y , t ) t
Q( Y, t ) Y
Q( Y, t )
1 a
h Y Y e
a 1Y b
g Y dY
En consecuencia, el factor de integración será: 1 a
Y e
a 1Y b dY
e
ln a 1Y b
Y
1
a 1Y b
1
a 1Y b
Aun cuando podemos trabajar con cualquiera de los factores de integración que acabamos de calcular, por simplicidad vamos a trabajar con el factor positivo. Multiplicando (156) por el factor de integración Y se tiene: ka 1 dt 0 dY a 1Y b Q 1 Y , t
157
P1 Y , t
Ahora verificaremos el criterio de exactitud con P1 Y, t y con Q1 Y, t :
P1 ( Y, t ) t
0
Q1 ( Y, t ) Y
0
Al verificarse el criterio de exactitud, en consecuencia la ecuación (157) es una EDO exacta. Ahora buscaremos una función FY, t que satisfaga: FY , t P1 Y , t Y FY , t ) Q 1 Y , t t
158
Para ello integramos la primera ecuación de (158) respecto a “Y”, considerando a “t” constante, tal como se muestra: F( Y, t ) F( Y, t ) P1 ( Y, t )Y f t
303
159
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Reemplazando P1 ( Y, t ) en (159) resulta:
ka
a 1Y b Y f t
F( Y , t )
F( Y , t )
ka
ln a 1Y b f t a 1
160
g x , t
En este punto, vamos a derivar parcialmente la función ka
ln a 1Y b f t respecto a “t” y el resultado lo a 1 igualamos a Q1 ( Y, t ) 1 , tal como lo indica la segunda ecuación de F( Y , t )
(158). De esta comparación se obtendrá F( Y, t )
t
f t
f t t
t
f q q
.
Q1 Y, t 1
161
1
Ahora, integrando (161) respecto a “t” resulta: f t t
162
Subsiguientemente, reemplazando (162) en (160) e igualando F( Y, t ) a una constante C , la solución de (156) resulta: F( Y , t )
ka a 1
ln a 1Y b t C
163
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales se tiene que: C
ka a 1
ln a 1Y0 b
164
Reemplazando (164) en (163) obtenemos: F( Y , t )
ka a 1
ln a 1Y b t
ka a 1
ka a 1
ln
ka a 1
ln a 1Y b t
a 1Y b a 1Y0 b
t ln
304
ln a 1Y0 b
ka a 1
165
ln a 1Y0 b
a 1Y b a 1Y0 b
a 1 t ka
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
a 1Y b a 1Y0 b a 1Y b a 1Y0 b
a 1 t e ka
a 1 t e ka
0
Y t
b Y t Y0 1 a
a 1Y b a 1Y0 b
a 1Y0 b a 1
1 a t ka
e
b 1 a
a 1 t e ka
a 1 t e ka
b a 1
166
Ahora resolveremos el problema tratando a la ecuación (155) como una EDO de primer orden con coeficientes y término constantes. Para ello reescribiremos (155) tal como sigue: b a 1 Y Y ' ka ka
167
Por tanto, por (XXI) la solución de (167) vendrá dada por: Y t
1 a Ce ka
b ka
a 1
t
ka
b 1 a
1 a Ce ka
t
168
Considerando las condiciones iniciales resulta: C Y0
b 1 a
169
Reemplazando (169) en (168) resulta: b Y t Y0 1 a 1 a b
1 a t ka
e
170
Como era de esperar, la ecuación (170) es la misma que la ecuación (166). Para hallar I t necesitamos primero determinar Y ' t . Derivando respecto del tiempo (170) resulta: 1 a Y ' t ka
b Y0 1 a
305
1 a t ka
e
171
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Reemplazando (171) en (154) resulta: b I t 1 a Y0 1 a
1 a t ka
e
172
Finalmente, resolveremos el límite pedido: 1 a b ka t b e Y0 Y t 1 a 1 a lím lím 1 a t I t t b ka t e 1 a Y0 1 a
Y t 1 b lím lím t I t t 1 a 1 a
b Y0 1 a
1 a t ka
e
1
Por el enunciado del problema tenemos que:
0 a 1 k 0
1 a
0 si t
1 a e ka
t
0
ka
Por tanto: Y t 1 lím I t 1 a
t
4. Ecuación de Bernoulli Una ecuación diferencial del tipo Bernoulli tiene la siguiente forma general: x ' f t x g t x n ;
n 0,1
LX
La ecuación (LX) puede transformarse en una EDO lineal a través del siguiente cambio de variable: y x 1 n y
1 x n 1
LXI
Dividiendo (LX) entre x n resulta: x' x
n
1
x
n 1
f t g t
306
LXII
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Derivando (LXI) respecto de “t” tenemos: dy
dt
dy
dx
dx
y ' 1 n
dy
dt x'
dt
xn
x' xn
1 n x n
y' 1 n
dx dt
LXIII
Reemplazando (LXI) y (LXIII) en (LXII) se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal en “y”: y' 1 n
yf t g t y ' 1 n yf t 1 n g t
y ' n 1f t y 1 n g t
LXIV
Ejemplos: 1.- Modelo de crecimiento económico de Solow-Swan (Vinogradov, 1999): El modelo de Solow-Swan es el modelo básico de crecimiento económico y éste descansa en la siguiente ecuación diferencial, que explica la dinámica del capital por unidad de trabajo efectivo: k ' t sf k t n g k t ; k 0 k 0
173
Dónde: k t denota capital por unidad de trabajo efectivo; “s” es la tasa de ahorro; “n” es la tasa de crecimiento de la población; “g” es la tasa de progreso tecnológico; “δ” es la tasa de depreciación del capital. Se pide resolver la ecuación (173) para f k t k t ; 0 1. Reemplazando f k t en (173) obtenemos: k ' t skt n g k t k ' n g k sk
Dividiendo (174) entre k resulta: k' k
1
k
1
n g s
307
175
174
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Haciendo el siguiente cambio de variable: 1
y k 1 y k
176
1
Derivando (176) respecto del tiempo tenemos: dy dt
dy
dk
y ' 1
dk
dt
dy dt
k'
k
k' k
1 k
y'
dk dt
177
1
Reemplazando (176) y (177) en (175) resulta: y' 1
n g y s y ' 1 n g y 1 s
178
Por (XXI), la solución general de (178) viene dada por: y t
s
n g
Ce 1 n g t
179
Igualando (176) y (179) se tiene: k 1
s
n g
Ce 1 n g t
s k t Ce 1 n g t n g
1 1
180
Reemplazando las condiciones iniciales en (180) se tiene: C k 10
s
n g
181
Sustituyendo (181) en (180) se tiene: 1 n g t s s e k t k 10 n g n g
Note que gracias a que gracias a que
ng 0
1 1
y 1 0, entonces:
1 n g t s e 0 lím k 10 t n g
308
182
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Por tanto: s lím k t t n g
1 1
k LP
En consecuencia, la relación capital trabajo efectivo, K L , en el largo plazo tiende a un valor “KLP”. Por tanto, este modelo es dinámicamente estable (asintóticamente estable). 2.- Modelo de crecimiento económico de T. Haavelmo (Sydsæter 2005): Este modelo conduce a la siguiente ecuación diferencial:
183
K ' 1bK 2 K
Donde 1, 2, b y son constantes positivas, 1 y K Kt es la función desconocida. La ecuación es separable, pero resuélvala como una ecuación de Bernoulli si se sabe que K 0 K 0 . Dividiendo (183) entre K resulta: K' K
2
184
1b
K 1
Haciendo el siguiente cambio de variable: 1
y K1 y K
185
1
Derivando (184) respecto del tiempo tenemos: dy dt
dy
dK
y ' 1
dK
dt K' K
dy dt
1 K
k' K
y' 1
dK dt
186
Reemplazando (185) y (186) en (184) resulta: y' 1
2 y 1b y ' 1 2 y 1 1b
Por (XXI), la solución general de (187) viene dada por: y t Ce 1 2 t
309
1b 2
188
187
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Igualando (185) y (188) se tiene: K1 Ce 1 2 t
1b K t Ce 1 2 t 2
1b 2
1 1
189
Reemplazando las condiciones iniciales en (189) se tiene: C K10
1b 2
190
Sustituyendo (181) en (180) se tiene: 1b K t K 10 2
1 t 1 b 2 e 2
1 1
Sistemas lineales de EDOs de primer orden En esta sección estudiaremos los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales como una generalización de las ecuaciones diferenciales lineales que ya hemos estudiado en las secciones precedentes. Posteriormente, se realizará una breve introducción al análisis de la estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. La forma normal de un sistema lineal de “n” ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden viene dada por: x 1' t a 11 t x 1 t a 12 t x 2 t a 1n t x n t b 1 t
x '2 t a 21 t x 1 t a 22 t x 2 t a 2 n t x n t b 2 t
(LXV)
x 'n t a n1 t x 1 t a n 2 t x 2 t a nn t x n t b n t
El sistema (LXV) puede escribirse equivalentemente en forma matricial: x 1' t a 11 t a 12 t a 1n t x 1 t b 1 t ' a 2 n t x 2 t b 2 t x 2 t a 21 t a 22 t x 'n t a n1 t a n 2 t a nn t x n t b n t X' t
A t
X t
310
b t
(LXVI)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Donde A t es una matriz de dimensión n n cuyos coeficientes variables en el
tiempo son continuos en a t b, y b t es un vector de dimensión n 1 cuyas componentes son variable en el tiempo y continuas en a t b. El caso de coeficientes constantes surge como un caso particular en el que At A y bt b son constantes (no dependen del tiempo). El sistema (LXVI) será homogéneo si b t 0 y no homogéneo si bt 0. La solución completa de (LXVI) viene dada por la combinación de la solución complementaria y de la solución particular o solución de equilibrio: X t X c t X p t
(LXVII)
Donde X c t es la solución de la parte homogénea de (LXVI), esto es, es la solución
de X ' t At Xt ; y X p t es la solución que fija a (LXVI).
En general, si cada uno de los vectores X1 t , X 2 t , , X n t son soluciones de (LXVI), también lo será su combinación lineal, esto es: Xt c1X1 t c 2 X 2 t c n X n t
(LXVIII)
Donde c i i 1, 2, n son constantes arbitrarias. La ecuación (LXVIII) la podemos escribir equivalentemente como sigue: c1 1 2 n c X t X t X t X t 2 t c t c n
(LXIX)
c
Donde t es una matriz cuyas columnas son X1 t , X 2 t , , X n t , esto es:
x 11 t x 12 t x 1n t 1 2 n x t x 22 t x 2 n t t X t X t X t 21 x n1 t x n 2 t x nn t nn
Siendo: x11 t 1 x t X t 21 ; X 2 t x n1 t x 1 j t j x 2 j t X t x nj t
x12 t x 22 t ; ; X n t x n 2 t
j 1, 2 , n
311
x1n t x 2 n t x nn t
(LXXI)
(LXX)
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Al determinante de la matriz t 6 se le conoce como Wronskiano, W , esto es: W t X1 t X 2 t X n t
(LXXII)
De (LXIX) se tiene que: adjt c t1 Xt Xt W t 0 t
(LXXIII)
De (LXXIII) podemos concluir que si el Wronskiano de (determinante de ) no es nulo, W t 0, entonces existirá un único vector c 0. Además, las “n” soluciones de (LXIX) en un instante a t b serán linealmente independientes si W 0.
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes
En el caso que los coeficientes de la matriz At A y del vector bt b del sistema (LXVI) sean constantes (no dependan del tiempo), tenemos: x1' t a11 a12 a1n x1 t b1 ' ' a 2 n x 2 t b 2 x 2 t a 21 a 22 X t A X t b ' x n t a n1 a n 2 a nn x n t b n X ' t
X t
A
(LXXIV)
b
Para sistemas homogéneos lineales, b 0, tenemos que: x 1' t a 11 a 12 a 1n x 1 t ' a 2 n x 2 t x 2 t a 21 a 22 X ' t A X t x 'n t a n1 a n 2 a nn x n t X' t
A
(LXXV)
X t
Si A 0, el único punto de equilibrio7 es X* 0 : x1' t a11 a12 a1n x1* 0 x1* 0 ' * * a 2 n x 2 0 x 2 t a 21 a 22 x 2 0 * ' x n t a n1 a n 2 a nn x n 0 x *n 0 X ' t
A
X*
0
X*
(LXXVI)
0
Si las columnas de t son vectores linealmente independientes, entonces t recibe el nombre de matriz fundamental. Además, si t es una matriz fundamental, entonces W 0. 7 Una solución X X * , siendo X n , es una solución o punto de equilibrio del sistema dinámico si una vez que el vector X toma el valor X * , permanece en dicho valor indefinidamente. Esto implica que ' X t 0. 6
312
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Por otro lado, para sistemas lineales no homogéneos tales como (LXXIII), el equilibrio puede encontrarse a partir de: x1' t a11 a12 a1n x1* b1 0 ' * a 2 n x *2 b 2 0 x 2 t a 21 a 22 A X b0 x 'n t a n1 a n 2 a nn x *n b n 0 X ' t
A
0
b
X*
(LXXVII)
adjA b * * 1 A X b X A b A 0 A
(LXXVIII)
Cuando consideremos el tema de estabilidad/inestabilidad será útil recordar que los sistemas lineales no homogéneos tales como (LXXIV) podrán siempre reducirse a sistemas lineales homogéneos en términos de las desviaciones respecto al equilibrio si éste existe. Restando (LXXVII) a (LXXIV) se tiene que:
Dt ' X t A X t X * A D t
(LXXIX)
Dónde: D t X t X *
(LXXX)
Derivando (LXXX) respecto al tiempo tenemos: D ' t X ' t
(LXXXI)
Reemplazando (LXXXI) en (LXXIX) tenemos: D ' t A Dt (LXXXII)
El sistema (LXXXII) es homogéneo en términos de las desviaciones del punto de equilibrio X * . Por tanto, para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes, no habrá pérdida de generalidad si nos concentramos en sistemas homogéneos lineales. Solución de sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes: Para el problema de los valores iniciales: ' X t A X t X 0 X 0
(LXXXIII)
x 1 0 x 0 Donde X 0 2 . x n 0
313
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Decimos que un vector X t es solución de (LXXXIII), si X t es derivable, satisface
el sistema de ecuaciones diferenciales y las condiciones iniciales. La solución de (LXXXIII) dependerá de los autovalores “ i ” de la matriz “A” ya que para resolver (LXXXIII) se necesitará resolver el siguiente polinomio característico: p A I 0
(LXXXIV)
En la resolución de (LXXXIV) pueden surgir tres casos: Caso 1: Todos los autovalores son reales y distintos; Caso 2: Algún autovalor i tiene multiplicidad algebraica m i . Es decir, algún autovalor i se repite m i veces. Caso 3: Algunos autovalores son complejos. Caso 1: Autovalores reales y distintos La solución de (LXXXIII), siendo “A” una matriz diagonalizable con coeficientes constantes, es: X t e At X 0 Pet P 1 X 0
n
cie t vi i
(LXXXV)
i 1
Dónde: eAt I tA
t2 2!
A2
tn
An
n!
tk
k 0
k!
Ak
t (LXXXVI)
La matriz “P” es la matriz modal cuyas columnas son los autovectores vi i 1, 2 , n de “A”, esto es: P v1 v 2 v n n n
(LXXXVII)
La matriz “ ” es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son los autovalores i i 1, 2 , n de “A”, esto es: 1 0 0 2 0 0
k1 0 0 0 k2 k n 0 0
0 kn
Teniendo en cuenta (LXXXVI) y (LXXXVIII) se obtiene: 314
(LXXXVIII)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO k1 t k k 0 k! 0 0
e t
k t k
k 0
k!
k 0
e1t 0 0 k t k n k 0 k!
0 k2 t k k!
0
0 2t
e 0
0
0 LXXXIX e n t
Finalmente, tenemos que c i i 1, 2, , n son constantes arbitrarias que se obtienen con las condiciones iniciales. Ahora vamos a verificar que la primera expresión a la derecha del signo de igualdad de (LXXXV) es solución de (LXXXIII). Para ello vamos a derivar (LXXXVI) respecto a “t”:
A tA
d eAt
2
dt
t2 2 t n n 1 A n A I tA A A n 1! 2! n! t n 1
Ae
d e At
At
(XC)
dt
Derivando (LXXXV) respecto al tiempo, se tiene que:
' d e At X 0 d e At X t X0 dt dt
(XCI)
Reemplazando (XC) en (XCI) tenemos: X ' t AeAt X 0
(XCII)
Reemplazando (LXXXV) en (XCII) se tiene que X ' t A Xt , que no es otra cosa que el sistema (LXXXIII). Lo cual corrobora que la primera expresión a la derecha del signo de igualdad de (LXXXV) es solución de (LXXXIII). Ahora vamos a demostrar que la segunda expresión a la derecha del signo de igualdad de (LXXXV) es solución de (LXXXIII). Distintos autovalores reales aseguran la independencia lineal de los autovectores y en consecuencia la no singularidad de “P”, P 0, y que “A” sea diagonalizable. De la definición de autovalores tenemos que: Av i i v i
i 1,2, , n
(XCIII)
De (XCIII) tenemos que: Av1 , v 2 , , v n 1 v1 , 2 v 2 , , n v n (XCIV)
315
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Teniendo en cuenta (LXXXVII) y (LXXXVIII), la igualdad dada por (XCIV) se puede expresar de forma equivalente en forma matricial de la siguiente forma:
A v1
v2
v n v1
1 0 0 2 vn 0 0
v2
0 n
Es decir: AP P P 1 AP o A PP 1
(XCV)
Por otro lado, se tiene que:
P P PP P P P P
A 2 A A A 2 PP 1 PP 1 P P 1P P 1 P P 1 P 2 P 1 A A A A 3
2
3
2 1
1
2
1
1
P 2 P 1 P 3 P 1
A k P k P 1
(XCVI)
Reemplazando (XCVI) en (LXXXVI) se tiene que: eAt
tk
k 0
k!
Ak
k 0
tk P k P 1 P k P 1 Pet P 1 (XCVII) k! k 0 k!
tk
Reemplazando (XCVII) en la primera expresión a la derecha del signo de igualdad de (LXXXV) tenemos que Xt Pet P 1X 0 . Lo cual corrobora que la segunda expresión a la derecha del signo de igualdad de (LXXXV) es solución de (LXXXIII). Por último vamos a verificar que la tercera expresión a la derecha del signo de igualdad de (LXXXV) es solución de (LXXXIII). Para ello, con el propósito de desacoplar el sistema (LXXXIII) realizaremos el siguiente cambio de variables: Xt PYt
(XCVIII)
Derivando (XCVIII) respecto de “t” tenemos: X ' t PY ' t
(XCIX)
Reemplazando (XCVIII) y (XCIX) en (LXXXIII) obtenemos que: X' t AXt PY' t APYt Y' t P 1APYt
Reemplazando (XCV) en (XCX) obtenemos: 316
(C)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO de LXXXVIII y1' t 1 0 ' 0 2 y t Y 't Yt 2 ' y1t 0 0
y1' t 1y1t 0 y1t ' y 2t y t y t 2 2 2 ' n y n t y1t n y n t
(CI)
Resolviendo (CI) obtenemos que: y1 t c1e 1 t y t c e 2 t (CII) Y t 2 2 y n t c n e n t
Reemplazando (CII) en (XCVIII) se tiene: c1e1t c1e1t de LXXXVII t c2e 2 t c e 2 Xt P 2 v v v 1 2 n cn e n t cn e n t
n
ci e t v i i
i 1
Dónde: X 0
n
ci vi X 0
(CIII)
i 1
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema: x ' 1 1 x ' y 2 4 y
(191)
x 0 1 X0 y 0 2
Primero vamos a calcular los autovalores y los autovectores de “A”:
p A I
1 1 1 3 2 5 6 0 2 4 2 2
(192)
Para 1 3 :
A 1 Iv 1
2 1 a 0 0 2a b 0 b 2a 2 1 b 0
317
(193)
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Si hacemos a k b 2k, entonces: k 1 1 v1 k si k 1 v1 2 k 2 2
(194)
Para 2 2 :
A 2 Iv 2
1 1 c 0 0 c d 0 c d 2 2 d 0
(195)
Si hacemos c d k , entonces: k 1 1 v 2 k si k 1 v 2 k 1 1
(196)
Por tanto, por (LXXXV) la solución general será: 1 1 e3 t X t 2 1 0
1 1 1 1 e3 t 0 1 1 2 t 2 1 e 2 2 1 0
e3 t 1 1 X t 3 t e 3 t 0 e 2 t 2e 2 1
0 1 1 1 e 2 t 2 1 2
(197)
Caso 2: Autovalores reales repetidos Consideremos el caso en el que el sistema (LXXXIII) posee una matriz “A” que tiene autovalores repetidos, digamos algún “ i ” repetido “m” veces. En caso “m” coincida con el número “ε” de autovectores linealmente independientes asociados a “ i ”, entonces la solución de (LXXXIII) se hallará con (LXXXV). En caso “m” sea mayor a “ε”, la solución de (LXXXIII) se hallará con: *Si m 2 : X t c1e t v1 c 2 e t tv1 v 2
(CIV)
*Si m 3 : X t c1e t v1 c 2 e t tv1 v 2 c 3 e t t 2 v1 2 tv 2 3v 3
Dónde:
A I v i
v i 1
i 1,2, , m 318
(CVI)
(CV)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema: x ' 1 1 x ' y 1 3 y
(198)
x 0 2 X0 y 0 3
Primero vamos a calcular los autovalores y los autovectores de “A”:
p A I
1
1
1
3
2 4 4 2
2
0 1 2 2
(199)
Se observa que la multiplicidad algebraica es 2, es decir m 2. Para 2 :
A Iv 1 0 11
1 a 0 a b 0 b a 1 b 0
(200)
Si hacemos a b k , entonces: k 1 1 v1 k si k 1 v1 k 1 1
(201)
Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a 2. Para encontrar un segundo autovector que sea linealmente independiente de v 1 vamos a utilizar la expresión (CVI):
A I v 2
1 1 c 1 v1 c d 1 (202) 1 1 d 1
Si hacemos c 0 d 1. Por tanto: 0 v2 1
(203)
En consecuencia, de (CIV) tenemos:
x t 2 t 1 2 t 1 c1e c 2 e t 1 y t 1
319
0 1
(204)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Teniendo en cuenta las condiciones iniciales obtenemos:
x 0 2 1 0 c 1 2 c1 c 2 y 0 3 1 1 c 2 1
(205)
Reemplazando (205) en (204) tenemos: 2t 2t x t x t 2e te 2 t 1 2 t 1 0 2e e t 2t 2t y t 1 1 1 y t 3e te
(206)
Caso 3: Raíces complejo conjugadas Si (LXXXIII) tiene autovalores complejos j i para algún “j”, éstos siempre vienen en pares. Tomando el caso bidimensional para evitar los subíndices, los autovalores son j i 1 i y 2 1 i con autovalores asociados
v1 y v 2 v1 , donde trA 2 y
4 A trA 2
2 . En este caso la solución es:
X t e t h 1 cos t h 2 sen t
(CVII)
Donde h 1 c1 v1 c 2 v 2 y h 2 i c1 v1 c 2 v 2 son vectores de componentes reales.
Ejemplos: Resolver el siguiente sistema: x ' 3 4 x ' y 2 1 y x 0 1 X 0 y 0 4
(207)
Este sistema tiene: 3 4 3 4 A 2 2 5 0 ; A 3 8 5; A I 2 1 2 1
Donde los autovalores asociados son: 1 1 1 2i y 2 1 2i 2
Los autovectores asociados a cada autovalor son: 320
(208)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Para 1 1 2i :
A 1I v 1
4 a 0 2 2i a b 1 i 2 2i b 0 2
Si hacemos a 2 b 1 i, entonces: 2 v1 1 i
Para 2 1 2i :
A 2 Iv 2
4 c 0 2 2i c d 1 i 2 2i d 0 2
Si hacemos c 2 d 1 i, entonces: 2 v2 1 i
De (CVII) y (208) se tiene que la solución será: X t e t h 1 cos2 t h 2 sen2 t
(209)
Con: 2c1 2c 2 2 2 h 1 c1 v 1 c 2 v 2 c1 c2 1 i c 1 i c 1 i 1 i 1 2
(210)
2i c1 c 2 2 2 h 2 i c1 v1 c 2 v 2 ic1 ic 2 i c 1 i c 1 i 1 i 1 i 2 1
(211)
Reemplazando las condiciones iniciales en (209) y teniendo en cuenta (210) tenemos que: 1 7i c 1 2c1 2c 2 1 4 X 0 h 1 4 1 i c1 1 i c 2 c 1 7 i 2 4
Reemplazando (212) en (210) y (211) tenemos: 1 7 h1 y h 2 4 3
321
(213)
(212)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Reemplazando (213) en (209) se tiene: 1 Xt e t cos2t 4
t 7 xt e cos2t 7sen2t sen2t t 3 yt e 4 cos2t 3sen2t
(214)
Una aplicación económica: Modelo Keynesiano IS-LM (Tu, 1994): En este modelo la renta “Y” responde al exceso de la cantidad demandada (esto es, al exceso de la inversión “I” respecto al ahorro “S”), y la tasa de interés “r” responde al exceso de la demanda de dinero (preferencia de liquidez) “ LY, r ” respecto a la oferta de dinero “ M ” determinada exógenamente. El modelo matemáticamente se puede expresar de la siguiente forma: ' Y0 2 Y c1I S ; ' r0 0,8 r c2 LY, r M
(215)
Dónde: *
La función de inversión: I I 0 r;
0.
* La función de ahorro: S s Y T T G . * El ahorro privado: Sp s Y T ; 0 s 1. Proporcional al ingreso disponible.
* El ahorro gubernamental: T G : Impuestos menos gastos (exógenamente dados). * Velocidades de ajuste: c k 0 k 1, 2. Por sencillez se ha asumido c1 c 2 1. * Función de liquidez: LY, r Y r; 0 y 0. Demanda de transacciones menos demanda especulativa. * Oferta de dinero: M. Determinada exógenamente. Reemplazando la información anterior en (215) se tiene:
' Y I 0 r s Y T T G ' r Y r M
(216)
El sistema (216) se puede expresar matricialmente de la siguiente forma: Y ' s Y I 0 s 1T G ' r M r A
X'
X
(217)
b
Para transformar el sistema (217) en uno homogéneo vamos a determinar el punto de equilibrio * X del sistema (217): Y ' s Y * I 0 s 1T G 0 ' r * M 0 r X'
A
X*
b
322
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO I0 s 1T G Y* s 1 I0 s 1T G M s * s M r A 1 X* b
M I 0 s 1T G * Y * 1 X * r s I 0 s 1T G sM
M I 0 s 1T G s * Y * X * r I 0 s 1T G sM s
* M I 0 s 1T G Y s I 0 s 1T G sM r * s
(218)
Por (LXXX) tenemos que: d D t 1 X t X* t d 2
Y t Y * * r t r
(219)
Teniendo en cuenta (219) y (LXXXII) tenemos que: d ' s d1 D ' t ADt 1' d 2 d 2
(220)
Ahora podemos resolver el sistema homogéneo dado por (220). Para ello vamos a calcular el polinomio característico: p
s
2 s s 2 trA A 0
trA
trA2
4A
2
trA
(222)
2
Dónde: A s 0
trA s 0 s 2 4s s 2 4s trA2 4 A
323
(221)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Ahora vamos a asignar valores a los parámetros del problema de manera que podamos encontrar soluciones explícitas para los tres casos analizados en la sección anterior. 1
Caso 1: trA2 4 A 0 trA2 4 A 2
2 1
3; s 0,3; 0,25; 0,25 I0 T G M 1
Valores de los parámetros:
De los parámetros podemos calcular: trA 3,3 A 0,9625 7,04 * Y 4,3117 * r 0,02597
(223)
Reemplazando los parámetros en (220) tenemos: d' 0,3 0,25 d1 D't ADt 1' 3 d 2 d 2 0,25
(224)
Reemplazando (223) en (222) tenemos: 1 2
3,3 7,04
0,3234
2 3,3 7,04
2,9766
2
Para 1 :
A 1Iv1
0,0234
0,25
0,25 a 0 a 10,7b 2,6766 b 0
Si hacemos a 10,7 b 1, entonces: 10,7 v1 1
324
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Para 2 :
A 2Iv 2
2,6766 0,25 c 0 d 10,7c 0,25 0,0234 d 0
Si hacemos c 1 d 10,7, entonces: 1 v2 10,7
Por tanto: d1 0,3234t 10,7 2,9766t 1 c1e c 2e d 1 10,7 2 d1 10,7c1e0,3234t c2e2,9766t (225) 0,3234t 10,7c2e 2,9766t d 2 c1e
Igualando (219) y (225) tenemos: Yt Y* 10,7c1e0,3234t c2e2,9766t 0,3234t * 10,7c2e 2,9766t rt r c1e
Yt Y* 10,7c1e0,3234t c2e2,9766t * 0,3234t 10,7c2e 2,9766t rt r c1e
Yt Y* 10,7c1e0,3234t c2e2,9766t * 0,3234t 10,7c2e 2,9766t rt r c1e
(226)
Reemplazando Y* y r* en (226), tenemos: Yt 4,3117 10,7c1e0,3234t c2e2,9766t 0,3234t 10,7c2e 2,9766t rt 0,02597 c1e
(*)
Reemplazando las condiciones iniciales en el sistema de ecuaciones (*), tenemos que: c1 0,22477 c 2 0,09335
(227)
Por tanto, reemplazando (227) en (*) se tiene: Yt 4,3117 2,405039e0,3234t 0,09335e2,9766t 0,3234t 0,998845e 2,9766t rt 0,02597 0,22477e
325
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Caso II: trA 4 A 0 trA2 4 A 1 2 2
0,2; s 0,8; 0,1; 0,9 I0 T G M 1
Valores de los parámetros:
De los parámetros podemos calcular: trA 1 A 0,25 0 * Y 1,84 * r 3,28
(228)
Reemplazando los parámetros en (220) tenemos: d' 0,8 0,1 d1 D't ADt 1' d 2 0,9 0,2 d 2
(229)
Reemplazando (228) en (222) tenemos:
1 2
1 2
Para 1 2 : 0,3 0,1 a 0 b 3a 0,9 0,3 b 0
A Iv1
Si hacemos a 1 b 3, entonces: 1 v1 3
Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a 1 2 . Para encontrar un segundo autovector que sea linealmente independiente de v 1 vamos a utilizar la expresión (CVI):
A Iv 2
0,3 0,1 c 1 v1 3c d 10 0,9 0,3 d 3
Si hacemos c 0 d 10. Por tanto: 0 v2 10
(231) 326
(230)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO En consecuencia, de (65) tenemos: 1
1
t 1 t 1 d1 0 2 2 t c1e c 2e 3 d 2 3 10
(232)
1 1 t t 2 2 d1 c e tc e 1 2 1 1 1 t t t d 2 3c1e 2 3tc2e 2 10c2e 2
(233)
Igualando (219) y (233) tenemos: 1 1 t t Yt Y* 2 2 c e tc e 1 2 1 1 1 * t t t rt r 3c1e 2 3tc2e 2 10c 2e 2 1 1 t t * 2 2 Yt Y c e tc e 1 2 1 1 1 t t t rt * r 3c1e 2 3tc2e 2 10c 2e 2
1 1 t t Yt Y* c e 2 tc e 2 1 2 1 1 1 t t t * 2 2 3tc2e 10c2e 2 rt r 3c1e
(234)
Reemplazando Y* y r* en el sistema (234) tenemos: 1 1 t t Yt 1,84 c e 2 tc e 2 1 2 1 1 1 t t t rt 3,28 3c1e 2 3tc2e 2 10c2e 2
(**)
Reemplazando las condiciones iniciales en el sistema de ecuaciones (**), tenemos que: c1 0,16 c 2 0,2
(235)
Por tanto, reemplazando (227) en (*) se tiene: 1 1 t t Yt 1,84 0,16e 2 0,2te 2 1 1 1 t t t rt 3,28 0,48e 2 0,6te 2 2e 2
327
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1 i 2 1 i
Caso III: trA2 4 A 0 trA2 4 A
0,5; s 0,5; 0,75; 1 I0 T G M 1
Valores de los parámetros:
De los parámetros podemos calcular: trA 1 A 1 3 * Y 1,5 * r 1
(236)
Reemplazando los parámetros en (220) tenemos: d' 0,5 0,75 d1 D't ADt 1' 0,5 d 2 d 2 1
(237)
Reemplazando (236) en (222) tenemos: 1
1
2
3 2
i y 2
1
2
1 2 i 2 3 2 3
(238)
Los autovalores asociados a cada autovalor son: Para 1
1 2
3
i:
2
3 2 i 3 0,75 a 0 A 1Iv1 a 3 2 i b 0 2 1
Si hacemos b 1 a
3
i, entonces:
2
3 v1 2 1
328
i
ib
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Para 2
1
3
2
i:
2
A 2Iv 2
3 2 i 0,75 3 c 0 c d 0 2 3 2 i 1
id
Si hacemos d 1 c 3 2 i, entonces: 3 i v2 2 1
De (CVII) y (238) se tiene que la solución será: 1 3 3 t d1 2 h cos t h 2 sen t e 1 d 2 2 2
(239)
Con: 3 i c c 2 1 (240) h1 c1v1 c 2 v 2 2 c1 c 2 3 c c 1 2 h 2 ic1v1 c 2 v 2 2 ic1 c2
(241)
Reemplazando (240) y (241) en (239) tenemos: d1 e
d2 e
t
2
3 c c i cos 3 t 3 c c sen 3 t 1 2 1 2 2 2 2 2
1
t
1
2
c c cos 3 t c c i sen 3 t 1 2 1 2 2 2
(242)
Igualando (219) con (242) tenemos: Yt Y* e
rt r* e
1 2
1 2
t
3 c c i cos 3 t 3 c c sen 3 t 2 1 2 2 1 2 2 2
t
c c cos 3 t c c i sen 3 t 2 1 2 1 2 2
329
(243)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS * * Reemplazando Y y r en el sistema (243) tenemos: Yt 1,5 e
rt 1 e
1 2
1 2
t
3 c c i cos 3 t 3 c c sen 3 t 1 2 1 2 2 2 2 2
t
c c cos 3 t c c i sen 3 t 1 2 1 2 2 2
(***)
Reemplazando las condiciones iniciales en el sistema de ecuaciones (***), tenemos que: Y0 2 1,5 3 c c i 1 2 r0 0,8 1 2c c 1 2 0,6 3 i c1 6 0,6 3 i c 2 6
(244)
Reemplazando (244) en (***) tenemos: Yt 1,5 e
rt 1 e
1 2
t 1
3 3 t sen 10 2
t
3 3 3 cos t sen 10 2 2 3
t
1 2
t
cos 3 2 2 2
330
(245)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Diagramas de fase y soluciones cualitativas Aunque muchas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales de primer orden, que suelen aparecer con relativa frecuencia en modelos económicos, no pueden resolverse analíticamente, las propiedades cualitativas de sus soluciones pueden algunas veces ser descritas gráficamente a través de los denominados diagramas de fase. Supongamos que tenemos la forma general de una ecuación diferencial autónoma8 de primer orden (lineal o no lineal respecto a “y”):
dy f y dt
(CVIII)
Donde y t , la trayectoria temporal de “y”, es una variable que es una función continua del tiempo. Siempre que dy dt dependa únicamente de “y”, podremos graficar la relación entre dy dt e “y”, que recibe el nombre de diagrama de fase. A la gráfica que representa la función “f” se le denomina curva de fase. Tipos de diagramas de fase de una única variable y de trayectorias temporales En esta sección estudiaremos algunos de los posibles diagramas de fase de una única variable que pueden surgir en el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden, aquellas que satisfacen la ecuación (CVIII). Asociados a las curvas de fase representadas en las figuras 10, 11,…,14, y 15 tenemos sus respectivas trayectorias, sendas u órbitas temporales (figuras 16, 17,…, 20, y 21).
dy dt
f y
y 0B
y y E y 0A
Figura 10 8
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO), tal como la ecuación (CVIII), en la que el tiempo “t” no aparece explícitamente como argumento de “f”, se denomina autónoma.
331
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
f y
dy dt
yE
y y 0A
y 0B
Figura 11
dy dt D
C
E
f(y) F
B y
y0
y2
y1
y
G
A
H Figura 12
dy dt
f y
yE
y 0B
y 0A Figura 13 332
y
y
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
dy dt
f y
yE
y 0B
y
y 0A
Figura 14
dy dt f y
y yE
Figura 15 Ahora veremos cómo, una vez conocida la curva de fase correspondiente a la ecuación diferencial (CVIII), obtener información cualitativa importante de la trayectoria temporal yt . 333
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS En las figuras 10, 11, 12, 13, 14 y 15 se puede observar que encima del eje horizontal el signo de dy dt es positivo, esto es dy dt 0, por lo que la variable “y” aumentará con el transcurso del tiempo. Es por esta razón que los puntos que se encuentran encima del eje “y” en las curvas de fase de las figuras 10, 11, 12, 13, 14 y 15 se desplazan de izquierda a derecha, tal como muestran las flechas dibujadas sobre dichas curvas. De manera análoga, podemos observar que los puntos que se encuentran debajo del eje “y” en las curvas de fase se desplazarán de derecha a izquierda, ya que en esta dirección la dy dt 0, por lo que “y” disminuirá con el paso del tiempo. Asimismo, es importante resaltar que los resultados antes vistos son independientes del signo de la variable “y”. Es decir, aun cuando los diagramas de fase de las figuras 10, 11, 12, 13, 14 y 15 se encontrasen a la izquierda del eje vertical y 0, el sentido de las flechas en dichas curvas de fase no se vería afectado. La estabilidad dinámica del equilibrio: la convergencia de la trayectoria temporal Si dyt E dt f y E 0 y* t E y E cte. Entonces el sistema está en reposo. El punto y E recibe el nombre de punto de reposo, punto fijo, punto crítico, punto de equilibrio, punto estacionario o solución de estado estable. Por otro lado, de existir un punto de equilibrio de la variable “y”, éste se encontrará donde la curva de fase intercepta (o es tangente al) eje “y”, donde dyt E dt f y E 0 . Un tema de suma importancia es saber si un sistema dinámico se está acercando o se está alejando de un punto de equilibrio. Una trayectoria se dice que se aproxima a un punto fijo si yt y E según t , en este caso el punto de equilibrio y E se dice que es un atractor (las flechas del diagrama de fase confluyen hacia y E ). Tal es el caso de y E en la figura 11. Por otra parte, si y t se aleja de y E según se incrementa “t”, entonces y E se dice que es un repulsor (las flechas del diagrama de fase se alejan de y E ). Tal es el caso de y E en la figura 10. Un punto de equilibrio y E es estable si dado algún punto de partida y0 y0 “cercano a” y E , esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la trayectoria permanece cerca de y E , dentro de alguna distancia . Formalmente, un punto de equilibrio y E es estable si para cada 0
hay un “δ” tal que cada trayectoria y t con
y0 y E satisface
yt y E t 0. En otras palabras, si una trayectoria que empieza “cerca a” un
punto de equilibrio permanece cerca a este punto durante todo el tiempo futuro, entonces el punto de equilibrio se dice que es estable. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable justo como lo hemos definido, y también si cualquier trayectoria que empieza cerca al punto de equilibrio se aproxima al punto de equilibrio según t . Formalmente, un punto de equilibrio se dice que es asintóticamente estable si este es estable y hay un 0 tal que para cada trayectoria y t con y0 y E converge a y E según t . En la figura 17 tenemos el caso de un punto de equilibrio asintóticamente estable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 11 convergen en el largo plazo hacia el valor y E . En la figura 16 tenemos el caso de un punto de equilibrio inestable. En esta figura se observa que las posibles trayectorias correspondientes al diagrama de fase de la figura 10 divergen en el largo plazo de y E .
334
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO y t
y 0A yE
y 0B
t Figura 16 y t
y 0A
yE
y 0B
t Figura 17 En la figura 12 podemos apreciar una curva de fase que forma un “lazo cerrado”. Esto se debe a que f y es una relación. Cuando el diagrama de fase es un lazo cerrado, un movimiento oscilatorio de amplitud constante ocurrirá siempre que se verifiquen dos condiciones: i) una parte de la curva de fase debe permanecer encima y otra parte debajo del eje “y”, de modo que haya una etapa en la que “y” crece y otra etapa en la que “y” decrece, ii) la curva de fase debe presentar pendiente no definida en los puntos de intersección con el eje “y”. En la figura 12 se puede apreciar que en los puntos “B” y “F” de la curva de fase se cumple que la dy dt 0, y sin embargo estos puntos no representan puntos de equilibrio. Más bien, son extremos (mínimos y máximos) relativos de la trayectoria temporal correspondiente a esta curva de fase, tal como se aprecia en la figura 18. En esta figura, se aprecia que la trayectoria temporal de “y” oscila periódicamente entre el valor correspondiente al punto B (mínimo relativo) y el valor correspondiente al punto F (máximo relativo). De los casos antes vistos podemos concluir que una condición necesaria, pero no suficiente, que debe satisfacer todo punto de equilibrio y E es que la dyt E dt 0. 335
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Figura 18 En la tabla I se muestra el signo/valor de la tasa de cambio de “y” respecto al tiempo y de la tasa de cambio de “f” con respecto a “y” para cada uno de los puntos de las figuras 18 y 12 respectivamente. Punto A B C D E F G H
dy dt
(-) 0 (+) (+) (+) 0 (-) (-)
df y dy ddy dt dy (-)
(+) 0 (-)
(+) 0
Tabla I Del análisis realizado en esta sección podemos observar que la estabilidad dinámica del equilibrio, o equivalentemente la convergencia de la trayectoria temporal y t , dependerá del signo que tenga la pendiente de la curva de fase en la vecindad al punto de intersección de dicha curva con el eje “y”. Por ejemplo, en la figura 10 se aprecia que en la vecindad al punto y E la curva de fase presenta una df y dy 0, lo cual da lugar a la inestabilidad dinámica. Mientras que en la figura 11 se aprecia que en la vecindad al punto y E la curva de fase presenta una df y dy 0, lo cual da lugar a la estabilidad dinámica de la variable “y”. Sin embargo, en la figura 12 se aprecia que en los puntos “B” y “F”, que como ya hemos dicho no son puntos de equilibrio (son sólo las cotas de una trayectoria temporal fluctuante), la curva de fase presenta una df y dy que no está definida.
336
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Asimismo, si la curva de fase es tangencial al eje horizontal, permaneciendo siempre a un lado de este (es decir, si el punto de tangencia es un máximo o un mínimo de la curva de fase), el punto de equilibrio es estable por uno de sus lados e inestable por el otro9. Este es el caso del punto y E de la figura 13, estable por izquierda (para valores menores a y E ) e inestable por derecha (para valores mayores a y E ). En la figura 19 observamos las posibles trayectorias temporales correspondientes a la curva de fase de la figura 13. Se observa que si y0 y0 y E entonces la trayectoria temporal de “y” converge en el largo plazo hacia el valor y E . Sin embargo, si y0 y0 y E entonces la trayectoria temporal de “y” diverge del valor y E (rama de la trayectoria
temporal que se encuentra a la izquierda de la asíntota vertical y encima del valor y E ). Además, si el punto de tangencia corresponde a un punto de inflexión horizontal de la curva de fase (figura 14), entonces el punto de equilibrio es estable (inestable) si la curva de fase permanece encima (debajo) del eje “y” a la izquierda (derecha) del punto de inflexión. En la figura 20 podemos ver la trayectoria temporal correspondiente al diagrama de fase de la figura 14. Por otro lado, es importante resaltar que pueden existir movimientos oscilatorios (convergentes o divergentes) de amplitud no constante cuando f y es una relación. En este caso la curva de fase no será un lazo cerrado como la figura 12 (aunque seguirá satisfaciendo las condiciones i) y ii) de ocurrencia de un ciclo de la página 334) sino una espiral (divergente) como muestra la figura 15. La posible trayectoria temporal correspondiente a este diagrama de fase aparece en la figura 21. En el caso que existan puntos de equilibrio múltiples, las afirmaciones acerca de la estabilidad o inestabilidad deberán realizarse en relación a un particular punto de equilibrio. Por tanto, con sistemas que contienen múltiples equilibrios nos referimos a estabilidad local o a inestabilidad local, es decir, hacemos referencia únicamente a características del sistema en la vecindad de un punto de equilibrio. En la figura 22 se observan dos puntos de equilibrio: k1* 0 es un repulsor localmente inestable (la pendiente de la ecuación diferencial en la vecindad del origen es positiva) y k *2 a es un atractor localmente estable (la pendiente de de la ecuación diferencial en la vecindad de “a” es negativa). Si sólo existe un punto de equilibrio en un sistema dinámico, entonces tal punto de equilibrio o es globalmente estable o globalmente inestable. En el caso de un sistema globalmente estable, para cualquier y0 y E , entonces el sistema convergerá al punto de equilibrio. Para un sistema globalmente inestable, para cualquier y0 y E , entonces el sistema divergirá del punto de equilibrio. De forma general podemos decir que si una curva de fase tiene sólo un punto de equilibrio y permanece completamente encima del eje “y” a la izquierda del punto de equilibrio, y permanece completamente debajo del eje “y” a la derecha del punto de equilibrio, entonces el punto de equilibrio será globalmente estable. Tal es el caso del punto de equilibrio y E en la figura 11.
9
A este tipo de punto se le denomina shunt. Un shunt es un punto de equilibrio alrededor del cual el sistema evoluciona sin invertir su sentido (las flechas del eje “y” apuntan en un mismo sentido).
337
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
y t
y 0A yE
y 0B
t
Figura 19 y t
y 0A
yE
y 0B
t Figura 20
Figura 21 338
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO dkt dt
t k *2 a
k 1* 0
Figura 22
Ejemplos: Realice un análisis cuantitativo y/o cualitativo de las siguientes ecuaciones diferenciales: 1.- Mecanismo de ajuste de precio (Tâtonnemet Walrasiano): León Walras visualizaba el equilibrio de mercado como resultado de un proceso de tanteo (Tâtonnemet en francés) en el que un “referee” o “licitador” anuncia el precio “P” de determinado bien, y luego los compradores y vendedores hacen su puja. Si esta puja resulta en un exceso de demanda Ep 0 entonces el precio se incrementa hasta el equilibrio, en el que la oferta iguala a la demanda y se vacía el mercado Ep 0, y viceversa para un exceso de oferta, es decir dP dt es proporcional al exceso de demanda: dP dt kEP . Donde k 0 es la velocidad de ajuste. Si la demanda es DP a bP y la oferta es SP P, siendo a 0, entonces el exceso de demanda será: EP DP SP . Por tanto, dP dt kDP SP .
Reemplazando las expresiones de la oferta y la demanda en dP dt tenemos: P ' dP dt k a bP P k a k b P P ' k b P k a
339
(247)
(246)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Para realizar el análisis cualitativo de la ecuación diferencial necesitamos construir el diagrama de fase. Dado que la ecuación (246) representa una recta en el plano P ' -P, necesitaremos dos puntos para poder construir dicha recta. Para ello, primero determinaremos el punto de equilibrio, intersección con el eje “P”, igualando la ecuación (246) a cero: P ' k a k b PE 0 PE
a b
Como sabemos que no tiene sentido económico un precio de equilibrio negativo. Por tanto, para que PE 0 b 0 ya que por el enunciado del problema a 0. La condición b 0 siempre se cumplirá si la oferta tiene pendiente positiva 0 y si la demanda tiene pendiente negativa b 0 . En segundo lugar, determinaremos el otro punto de la recta (intersección con el eje “ P ' ”) reemplazando P 0 en la ecuación (246): P ' k a 0
En consecuencia, el diagrama de fase será:
dP dt
k a
PE
P0B
P0A
P
Figura 23 Se puede apreciar que el punto de equilibrio PE es un atractor y dado que la pendiente de la ecuación diferencial en la vecindad de PE es negativa, entonces PE será estable. Además, como el diagrama de fase sólo tiene un único punto de equilibrio, entonces PE será globalmente estable. Asimismo, Si el sistema empezase en el punto P0B PE , las líneas de fuerza (flechas) harían que en el largo plazo se alcanzara el punto PE . En consecuencia, el punto PE es también un punto de equilibrio asintóticamente estable. De manera análoga, si el sistema empezase en P0A PE, se acercaría al punto PE en el largo plazo de manera asintótica. 340
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Para realizar el análisis cuantitativo necesitamos resolver la ecuación diferencial (246). Para ello, primero calcularemos la solución complementaria. El polinomio característico de la solución complementaria es: r k b 0 r k b
En consecuencia, la solución complementaria será: PC Aek b t
Para encontrar la solución particular probamos con PP B PP' 0, por lo que reemplazando PP y PP' en la ecuación (247) tenemos: k b PP k a PP
a b
(248)
Por tanto, la solución general (trayectoria temporal) del precio será: P t Aek b t
a
(249)
b
Si para el instante inicial t 0 tenemos que P0 P0 , entonces: P0 A
a b
A P0
a b
Reemplazando “A” en (249) tenemos: a k b t a P t P0 e b b
(250)
La ecuación (250) será asintóticamente estable si b 0, ya que en dicho caso la función exponencial que aparece en el primer sumando de la derecha irá disminuyendo con el tiempo y cuando t e k b t 0. Por tanto: lím P t
t
a b
PE 0.
Si b 0, el mercado es estable, es decir, el exceso de demanda se reduce y eventualmente desaparece al incrementar los precios. En caso b 0, digamos porque b 0 y 0, entonces para que el precio de equilibrio siga siendo positivo deberá verificarse que a 0 a 0. En este caso, el mercado es inestable: continua e indefinidamente la inflación tendrá lugar. Al ser b 0, el término exponencial tenderá a infinito cuando el tiempo tienda a infinito y por tanto, el precio en el largo plazo se incrementará indefinidamente alejándose del punto de equilibrio. 341
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS En la figura 24 se aprecian las posibles trayectorias temporales de la ecuación (250) considerando que b 0 : P t P0A
PE
P0B
t Figura 24 2.- Modelo Keynesiano: Consideremos un modelo macroeconómico en el que la renta “Y” se incrementa en respuesta al exceso de demanda agregada “ D Y ”. Para una simple economía cerrada, con inversión “ I 0 ” y gasto gubernamental “ G 0 ” exógenamente dados, la demanda agregada es la suma del consumo “C” la inversión “ I 0 ” y el gasto “ G 0 ”. El consumo es una función continua no lineal estrictamente creciente respecto a la renta, esto es, C CY con dCY dY 0. Por tanto, el modelo dinámico es, para una constante “k” positiva: dY dt
k D Y
(251)
Del enunciado del problema tenemos que: D C I0 G0
Reemplazando el consumo en la expresión anterior tenemos: D CY I 0 G 0
Reemplazando la última expresión en (251) tenemos: Y'
dY dt
k CY I 0 G 0 Y kf Y
(252)
Donde f Y CY I 0 G 0 Y. Dado que no conocemos la función f Y explícitamente, sólo podremos realizar un análisis cualitativo de (252). 342
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Para obtener el diagrama de fase de la ecuación (252), primeramente vamos a calcular la pendiente de la curva de fase en el plano Y ' -Y10: dY ' dY
Donde
df Y
dCY
dY
k dCY dY 1 k
df Y
(253)
dY
1.
dY
En segundo lugar, vamos a calcular la curvatura de la curva de fase en el plano Y ' -Y: d2Y' dY 2
Donde
d 2 f Y dY 2
k
d 2 CY dY 2
d 2 CY dY 2
k
d 2 f Y dY 2
(254)
.
De la expresión anterior podemos ver que si la función de consumo es estrictamente convexa respecto a la renta, d 2 CY dY 2 0, entonces la curva de fase también será estrictamente convexa respecto a la renta, d 2 f Y dY 2 0. Por otro lado, si f Y es estrictamente creciente con la renta, entonces df Y dY dCY dY 1 0. Esto significaría que la propensión marginal al consumo dCY dY 1. Además, como para una renta nula Y 0 resulta que el intercepto de la curva de fase con el eje “ Y ' ” es k f 0 k C0 I 0 G 0 0, y al ser k 0 resulta que f 0 C0 I 0 G 0 0. Entonces, para valores de “Y” estrictamente positivos y 0 , siendo df Y dY 0 y d 2 f Y dY 2 0, resultaría que f Y CY I 0 G 0 Y 0. Por tanto, la curva de fase no interceptaría al eje “Y”, es decir, no habría ningún punto de equilibrio ya que para ello tendría que verificarse que Y ' kf Y 0. Pero como k 0, entonces f Y tendría que ser igual a cero. Pero esto último es imposible ya que f Y 0 Y 0 .
En consecuencia, si dCY dY 1 y d 2 CY dY 2 0, el modelo será inestable. En la figura 25 se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que no intercepta al eje horizontal, intercepta al eje vertical en el punto k f 0 k C0 I 0 G 0 0, es estrictamente convexa y es estrictamente creciente respecto a “Y”.
10
No tiene sentido trabajar con valores negativos de “Y” ya que la renta es una variable económica. Por tanto, estaremos interesados en averiguar el signo de la pendiente de la curva de fase únicamente en el primer y cuarto cuadrantes.
343
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Por otro lado, si la función de consumo es estrictamente cóncava respecto a la renta, d 2 CY dY 2 0, por (254) la curva de fase también será estrictamente cóncava respecto a la renta, d 2 f Y dY 2 0. Además, si f Y es estrictamente decreciente con la renta, entonces df Y dY dCY dY 1 0. Esto significaría que la propensión marginal al consumo 0 dCY dY 1. Asimismo, al ser el intercepto de la curva de fase con el eje “ Y ' ” k f 0 k C0 I 0 G 0 0, y al ser df Y dY 0 y d 2 f Y dY 2 0, habrá algún valor de “Y” perteneciente al intervalo 0, en el que f Y 0, con lo cual se garantizará que Y ' 0. Para encontrar el punto de equilibrio, intersección con el eje “Y”, igualamos a cero la ecuación (252), obteniendo que: Y ' t k CYE I 0 G 0 YE kf YE 0 f YE CYE I 0 G 0 YE 0
YE f 1 0
En consecuencia, si 0 dCY dY 1 y d 2 CY dY 2 0, el modelo será estable. En la figura 25 se aprecia que la curva de fase para este caso es aquella que intercepta al eje horizontal en YE f 1 0 , intercepta al eje vertical en el punto k f 0 k C0 I 0 G 0 0, es estrictamente cóncava y es estrictamente decreciente respecto a “Y”.
dY dt
kf Y : f ' Y 0
kf 0
YE f 1 0
Y
kf Y : f ' Y 0 Figura 25 344
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Plano de fase y retratos de fase de sistemas dinámicos autónomos En esta sección vamos a realizar el análisis cualitativo de sistemas autónomos 11 de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden cuya forma general es la siguiente: dx x ' f x , y dt dy y ' g x , y dt
(CIX)
El sistema (CIX) puede expresarse equivalentemente en forma vectorial de la siguiente manera: ' dX dx dt x ' f x , y f X ' dt dy dt y g x , y g
x
X F X X
(CX)
x t
es una solución del sistema (CX)12. Las componentes Donde X X t y y t
de X t pueden entenderse como un par de ecuaciones paramétricas de forma que
para cada instante “t” se tiene un punto X Xt 2 . Las ecuaciones paramétricas x t y yt son funciones diferenciables respecto a “t” que satisfacen el sistema (CX)
sobre algún intervalo abierto “I”. Una solución X t describe una curva o senda (curva o senda de fase) en el plano x-y (plano de fase) que consta de todos los puntos x t , yt t I. Al conjunto de todas las posibles sendas de fase13 se le denomina retrato de fase. Si x t , yt es una solución de (CX), entonces también lo es x t c , yt c , para cualquier constante “c”. Por tanto, x t , yt y x t c , yt c tienen la misma senda (esto únicamente se verifica para sistemas autónomos). Para el sistema autónomo (CX), x ' t , y ' t es únicamente determinado en el punto x t , yt , y dos sendas X1 y X 2 en el plano x-y no pueden interceptarse.
El sistema (CX) puede interpretase como un campo vectorial en 2 . Donde el campo vectorial para el sistema (CX) es una función vectorial: F : 2 X
2
x' . FX ' y
11
(CXI)
Un sistema de ecuaciones diferenciales se denomina autónomo cuando la variable “t” no aparece explícitamente en el sistema de ecuaciones; en caso contrario se dice que el sistema es no autónomo. 12 Téngase en cuenta que si X t es solución de (CIX), al ser (CIX) y (CX) sistemas equivalentes, también será solución de (CX). Por esta razón, sólo haremos referencia a uno de los dos sistemas, el sistema (CX), en el resto de esta sección. 13 Es importante resaltar que la senda de fase no debe ser confundida con el diagrama de fase analizado en la sección precedente. El análogo a la senda de fase para una única ecuación diferencial sería el eje “y”.
345
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Es decir, el campo vectorial de (CX) es un conjunto de vectores en el plano x-y, tal que la pendiente del vector Fx , y en el punto x , y coincide con la pendiente de la tangente a la senda de fase que pasa por el punto x , y .
La pendiente del vector Fx , y en el punto x , y viene dada por: dy
dx
dy dt dx dt
y' x'
x' 0
(CXII)
Es importante resaltar que la solución de (CXII) produce las curvas integrales u órbitas14 del sistema (CX) en el plano de fase, cada curva correspondiente a valores dados de constantes arbitrarias. Asimismo, es importante señalar que (CXII) únicamente dependerá de “x” y “y”. Al dividir las razones de cambio de “y” y de “x” se ha “eliminado” la variable “t”. En la figura 26 se aprecia una senda de fase que es una solución particular del sistema (CX), tal que en el instante inicial t 0 debe satisfacer la condición inicial X 0 x 0 , y0 x 0 , y 0 . En esta figura podemos apreciar que en el punto inicial
los signos de las razones de cambio de “x” y “y” son X0 f X 0 x ' 0 0 y g X 0 y ' 0 0, entonces según se incremente el tiempo, el sistema se moverá desde el punto X 0 hacia la derecha y hacia arriba. Asimismo, se aprecia que en un punto genérico en el instante “t” tal como X x t , yt los signos
de las razones de cambio de “x” y “y” son f x , y x ' t 0 y gx , y y ' t 0,
entonces según transcurra el tiempo, el sistema se moverá desde el punto X hacia la derecha y hacia abajo. En el punto X x t , yt se aprecia que la velocidad de movimiento (razón o tasa de cambio instantánea respecto al tiempo) está dada por la longitud del vector F X .
y
X 0 x 0 , y0
X x t , yt y ' t
Fx , y x ' t , y ' t x t '
x Figura 26
14
Una órbita, a diferencia de una senda de fase, no nos da información sobre el sentido del movimiento.
346
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Para ilustrar la dinámica del sistema (CX), en principio, podemos dibujar tales vectores en cada punto del plano x-y. Tal familia de vectores es llamada campo vectorial15. En la práctica podemos dibujar sólo una pequeña muestra representativa de estos vectores. Sobre la base del campo vectorial, teniendo en cuenta que los vectores del campo vectorial son tangentes a las sendas de fase, podemos dibujar las sendas de fase para el sistema y por tanto exhibir el retrato de fase del sistema. Por ejemplo, dado el siguiente sistema: ' x ' 1 2 x x x 2 y f x , y X ' ' ' y 3 2 y y 3 x 2 y g x , y A
(CXIII)
X
Para obtener algunos vectores del campo vectorial de este sistema podemos escoger arbitrariamente algunos puntos del plano x-y para luego reemplazarlos en el vector X que aparece en la ecuación (CXIII). x 3 X y 0 x 4 X y 2 x 0 X y 2 x 1 X y 2 x 3 X y 0
x ' 1 X ' ' y 3 ' x ' 1 X ' y 3 ' x ' 1 X ' y 3 ' x ' 1 X ' y 3 x ' 1 X ' ' y 3
x ' 1 1 X ' y' 3 2 x ' 1 x 0 X ' y' y 5 3 x ' 1 x 2 X ' y' y 5 3
2 3 3 2 0 9 2 4 8 2 2 16 2 0 4 2 2 4 2 1 3 2 2 1 2 3 3 2 0 9
x X y
2 1 5 2 2 7
X
2 0 10 2 5 10
X
2 2 8 2 5 4
Podemos observar que, por ejemplo, en el punto 3,0 del plano x-y tendremos un vector que apunta en la dirección 3,9 . En el punto 2, 5 tendremos un vector que apunta en la dirección 8, 4 . Repitiendo el proceso anterior para un gran número de puntos del plano x-y se obtendrá el campo vectorial de la figura 2716. 15
Para obtener el campo vectorial de sistemas de ecuaciones diferenciales autónomos podemos utilizar algunos programas matemáticos como Derive, Maple, Matlab, etc. 16 Es importante resaltar que la longitud de los vectores en la figura 27 ha sido proporcionalmente reducida de manera que los vectores no interfieran el uno con el otro. Pero la longitud de cada vector aún sugiere la velocidad de movimiento.
347
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Figura 27 Una vez que se ha obtenido el campo vectorial, podemos bosquejar algunas sendas de fase teniendo en cuenta que los vectores de la figura 27 son tangentes a las sendas de fase y que la dirección de los vectores nos da la dirección de la senda según se incrementa el tiempo. Con el propósito de mostrar la dependencia temporal de la solución, se han colocado flechas sobre las sendas de fase. En la figura 28 se muestra el retrato de fase correspondiente al campo vectorial de la figura 27. Usualmente los retratos de fase sólo incluyen algunas de las sendas de fase y no la totalidad de ellas. Asimismo, frecuentemente el retrato de fase no va acompañado del campo vectorial, aunque algunas veces por cuestiones didácticas se presentarán ambos bosquejados en el plano x-y.
Figura 28 348
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Puntos fijos y estabilidad
Dado el sistema (CIX), si X* x * , y*
es un punto en el plano para el cual
simultáneamente f x , y 0 y g x , y 0 , entonces resulta que x ' 0 y y ' 0. Esto significa que ni “x” ni “y” cambian con el tiempo: el sistema tiene un punto fijo, o tiene un punto de equilibrio. Una vez que hemos encontrado un punto de equilibrio, lo que nos interesa es saber si este punto es estable o inestable. Un punto fijo que satisface la condición f x , y 0 y g x , y 0 es estable o atractor
si, dado algún valor inicial X 0 x 0 , y 0 “cerca de” X * , esto es, dentro de alguna distancia “δ”, la senda permanece cerca al punto fijo, esto es, dentro de alguna distancia . Haciendo uso de la medida de distancia propuesta por Liapunov, las figuras 29 y 30 muestran dos bolas cerradas con centro en X * , B X* y B X* , y con radios “ε” y “δ” respectivamente. Asimismo, cada figura muestra una senda de fase que empieza en el punto X 0 . En el caso de la figura 29, la senda de fase llega al punto de
equilibrio X * , mientras que en la figura 30 la senda de fase circunda al punto de
equilibrio X * .
En las figuras 29 y 30 tenemos un punto de partida X 0 “cercano a” X* en el sentido
que X 0 permanece dentro de la bola B X* la senda de fase parte del punto X 0 permaneciendo “cerca del” punto de equilibrio, en el sentido que ésta permanece dentro de la bola B X* . Por tanto, el punto de equilibrio X * de ambas figuras es estable.
y
B X*
X0
X*
B X*
x Figura 29 349
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definición de estabilidad.
Definición I: Un punto de equilibrio X* x* , y* es estable si para cualquier 0 existe un 0 tal que si X 0 X* entonces X t X* para todo “t”.
No obstante, es importante resaltar que en la definición de estabilidad no hay nada que indique que la senda de fase tenga que aproximarse al punto de equilibrio. Todo lo que se requiere es que la senda de fase permanezca dentro de la bola B X* . Al mirar la figura 30 podemos notar que la senda de fase es periódica, empieza cerca del
(
)
punto de equilibrio esto es, el punto de partida permanece dentro de la bola B X*
pero circunda cíclicamente el punto de equilibrio X * mientras permanece “cerca de”
). Tal ciclo límite es
(
dicho punto esto es, permanece dentro de la bola B X* estable pero no es asintóticamente estable.
Todo punto de equilibrio que no es estable se dice que es inestable o repulsor. Un punto de equilibrio es asintóticamente estable si es estable en el sentido justamente discutido, pero eventualmente se aproxima al punto de equilibrio según t . En consecuencia, para ser asintóticamente estable, la senda de fase debe empezar cerca de X * (es decir, dentro de la bola de radio “δ”), debe permanecer cerca al punto de equilibrio (es decir, dentro de la bola de radio “ε”), y eventualmente debe aproximarse a X * según t . Por tanto, la senda de fase de la figura 29 es asintóticamente estable. y
B X*
X*
B X*
X0
x Figura 30
Note que la senda de fase puede alejarse del punto X * mientras permanece dentro de la bola B X* y aproximarse al punto de equilibrio en el límite. Un punto que es estable pero que no es asintóticamente estable suele denominársele como neutral o marginalmente estable. La figura 30 muestra un punto de equilibrio neutralmente estable.
350
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO La estabilidad asintótica es más fuerte que la estabilidad. Esto es claro ya que si un punto de equilibrio es asintóticamente estable, entonces debe ser estable. La condición límite por sí sola no es suficiente ya que un sistema puede empezar “cerca de” X* (es decir, dentro de la bola de radio “δ”) y aproximarse al punto de equilibrio en el límite, pero divergir considerablemente (ir más allá) de bola de radio “ε” en determinado periodo. Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definición de estabilidad.
Definición II: El punto de equilibrio X* x* , y* se dice que es asintóticamente estable si: a)
Es estable;
b) Existe
0
un
tal
que
siempre
que
X 0 X*
entonces
lím X t X* 0.
t
Si un sistema tiene un punto de equilibrio X* que es asintóticamente estable, y si cada senda de fase se aproxima al punto de equilibrio (es decir, tanto para puntos cercanos al punto de equilibrio como para puntos lejanos de éste), entonces el punto de equilibrio se dice que es globalmente estable. Otra forma de considerar esto es establecer el conjunto inicial de condiciones para las cuales el punto de equilibrio dado sea asintóticamente estable, esto es, la bola más grande a partir de la cual cualquier trayectoria entrante converja asintóticamente al punto de equilibrio. Este conjunto de condiciones iniciales es llamado fuente de atracción. Un punto de equilibrio es localmente asintóticamente estable si existe una fuente de atracción, B X* , dentro de la cual todas las sendas de fase entrantes a esta bola eventualmente
se aproximan al punto X* . Si la fuente de atracción es todo el plano x-y, entonces el
sistema es globalmente asintóticamente estable sobre el punto de equilibrio X* . Por lo antes dicho, podemos introducir la siguiente definición de estabilidad.
Definición III: Sea X* un punto de equilibrio asintóticamente estable del sistema
t 2 BX (o, en todo caso, si coincide con el plano de
(CIX), entonces el conjunto B X X 2 lím X t X* 0 es el dominio o
fuente de atracción de X. fase) entonces se dice que únicamente se mantiene asintóticamente estable.
Si
X es globalmente asintóticamente estable. Si la estabilidad en una vecindad de X , se dice que es localmente
Algunas propiedades de las sendas de fase de sistemas autónomos son las siguientes: 1.- No más de una senda de fase pasa por un punto del plano x-y; 2.- Una senda de fase que empieza en un punto que no es un punto de equilibrio únicamente alcanzará un punto de equilibrio en un periodo infinito; 3.- Ninguna senda de fase puede atravesarse así misma a menos que sea una curva cerrada. Si la senda de fase es una curva cerrada entonces la solución es periódica. 351
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Isoclinas y líneas de fuerza en el plano de fase:
x t
x
x'
f x , y
. Dado el sistema X ' F X , donde F X Sea X y' y t y g x , y
puede ser lineal o no lineal, los lugares geométricos de
2
tales que
x ' f x , y a , donde “a” y “b” son constantes, se denominan isoclinas. X ' ' y g x , y b
Las isoclinas son de gran utilidad ya que nos permiten obtener la dirección de los vectores del campo vectorial del sistema, lo que a su vez nos sirve para bosquejar las sendas de fase. En particular, las isoclinas en las que “a” y “b” son nulas (ceroclinas), x ' f x , y 0 , nos dan los puntos para los que ya no hay ajuste X ' ' y g x , y 0
dinámico para “x” y para “y”. Es decir, en las intersecciones de las ceroclinas encontraremos los puntos de equilibrio del sistema. La ceroclina x ' f x , y 0 divide el plano x-y en dos regiones, una en la que x ' f x , y 0 (donde “x” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región se
dibujarán líneas de fuerza (flechas direccionales) que apuntarán hacia la derecha indicando el crecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo) y la otra en la que x ' f x , y 0 (donde “x” decrece conforme transcurre el tiempo: en esta región se dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia la izquierda indicando el decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo). En la figura 31 se aprecia la dinámica descrita líneas arriba. En esta figura puede notarse que en las dos regiones en que la ceroclina x ' f x , y 0 divide al plano x-y las líneas de fuerza son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color).
y
x' 0
x' 0 x' 0
x' 0 x' 0
x Figura 31 352
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO La ceroclina y ' g x , y 0 también divide el plano x-y en dos regiones, una en la que y ' g x , y 0 (donde “y” crece conforme transcurre el tiempo: en esta región se dibujarán líneas de fuerza que apuntarán hacia arriba indicando el crecimiento de “y” conforme se incrementa el tiempo) y la otra en la que y ' g x , y 0 (donde “y” decrece conforme transcurre el tiempo: hacia abajo indicando el decrecimiento de “y” conforme se incrementa el tiempo). En la figura 32 se aprecia el movimiento en el plano x-y descrito líneas arriba. En esta figura también puede notarse que en las dos regiones en que la ceroclina y ' g x , y 0 divide al plano x-y las líneas de fuerza son opuestas (aquellas flechas que tienen el mismo color). Es importante resaltar que las sendas de fase del sistema que se tracen en el plano x-y cortarán verticalmente a la ceroclina x ' f x , y 0 y horizontalmente a la ceroclina y ' g x , y 0.
y y' 0 y' 0 y' 0
y ' g x , y 0
y' 0
x Figura 32 Los puntos de equilibrio del sistema se encontrarán en las intersecciones de las ceroclinas. Al superponer las ceroclinas de las figuras 31 y 32 en un mismo gráfico (ver figura 33), el plano x-y quedará dividido en cuatro regiones en las que será posible conocer la evolución temporal de “x” y de “y” a través de las líneas de fuerza17. En la figura 33, sobre un punto de la ceroclina x ' f x , y 0 se ha trazado arbitrariamente el gradiente de f x , y en dirección noroeste (de color azul). Dado que la dirección del f x , y sobre cualquier punto de la ceroclina apunta hacia la dirección donde f x , y x ' 0, en consecuencia, las líneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina x ' f x , y 0 apuntarán hacia la derecha (este) ya que en esa región, al ser x ' 0, “x” aumentará conforme transcurra el tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina x ' f x , y 0, al ser x ' 0, las líneas de fuerza apuntarán hacia la izquierda (oeste) indicando el decrecimiento de “x” conforme aumenta el tiempo. 17
Es importante resaltar que las ceroclinas x ' 0 y y ' 0 se pueden interceptar en más de un punto de equilibrio y, por tanto, dividir el plano x-y en más de cuatro regiones.
353
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
y
x' 0
y 0 '
f x , y
g x , y
E
x Figura 33 En la figura 33, sobre un punto de la ceroclina y ' g x , y 0 se ha trazado arbitrariamente el gradiente de g x , y en dirección noreste (de color rojo). Dado que la dirección del g x , y sobre cualquier punto de la ceroclina apunta hacia la dirección donde g x , y y ' 0, en consecuencia, las líneas de fuerza que se encuentran arriba de la ceroclina y ' g x , y 0 apuntarán hacia arriba (norte) ya que en esa región, al ser y ' 0, “y” aumentará conforme transcurra el tiempo. En la región que se encuentra debajo de la ceroclina y ' g x , y 0, al ser y ' 0, las líneas de fuerza apuntarán hacia abajo (sur) indicando el decrecimiento de “y” conforme aumenta el tiempo.
y y' 0
x' 0
E x Figura 34 354
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO En la figura 34 se han agregado algunas sendas de fase a la figura 33 en función de las direcciones de las líneas de fuerza, las cuales sirven para prever el movimiento dinámico del sistema a partir de cualquier punto inicial del plano x-y. Note que las sendas de fase que cortan la ceroclina y ' g x , y 0 tienen una pendiente nula en el punto de corte (líneas punteadas que cortan a la ceroclina y ' g x , y 0 horizontalmente), mientras que las sendas de fase que cortan la ceroclina x ' f x , y 0 tienen una pendiente infinita en el punto de corte (líneas punteadas que cortan a la ceroclina x ' f x , y 0 verticalmente). Clasificación de los puntos de equilibrio: Dependiendo de las sendas de fase que circundan a un punto de equilibrio, éste puede clasificarse como: nodo, punto de silla, foco o espiral, y vórtice o centro. Un nodo es un punto de equilibrio tal que todas las sendas de fase asociadas a él o se acercan no cíclicamente hacia él (atractor) o se alejan no cíclicamente de él (repulsor)18. En la figura 35 se presenta un nodo propio que recibe el nombre de estrella. En este caso, el retrato de fase está formado por segmentos de recta que entran/salen (atractor/repulsor) del punto de equilibrio. En esta figura se muestra el caso de una estrella repulsora.
y
v2
g x , y f x , y
y' 0
v1
E
x
x' 0 Figura 35: Nodo propio repulsor 18
Cuando las sendas de fase entran a un punto de equilibrio (sea un nodo o cualquier otro tipo de punto crítico) se le suele denominar sumidero y cuando salen de él se le suele denominar fuente.
355
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS En las figuras 36-a y 36-b se muestran ejemplos de un nodo impropio.
y f x, y 0
gx, y gx, y 0
E x
v1
v2
y' 0
f x , y
x' 0
Figura 36-a: Nodo impropio atractor f x , y 0
y y' 0
v2
v1
E x
g x , y
f x , y g x , y 0
x' 0
Figura 36-b: Nodo impropio repulsor 356
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Un punto de silla es un punto de equilibrio que se caracteriza por ser estable en algunas direcciones e inestable en otras. Específicamente, un punto de silla tiene un par de ramas estables en las que las sendas de fase convergen hacia el punto de equilibrio, y un par de ramas inestables en el que las sendas de fase se alejan del punto de equilibrio. El resto de sendas de fase se mueven hacia el punto de silla inicialmente pero luego se alejan de él. Debido a que la estabilidad sólo se observa en el par de ramas estables, y ésta evidentemente no se obtiene como algo usual, en general, al punto de silla se le suele clasificar como un punto de equilibrio inestable. No obstante, en el caso muy poco probable, en el que en el instante inicial el estado inicial del sistema se encontrase sobre alguna de las ramas estables, entonces el sistema se movería a lo largo de esta rama hasta el punto de equilibrio. Es por esta razón que algunos autores clasifican al punto de silla como un punto de equilibrio condicionalmente estable19. En la figura 37 se aprecia un punto de silla, donde se observa que el par de ramas estables se encuentran sobre la línea de acción del autovector v 2 , y el par de ramas inestables se encuentran sobre la línea de acción del autovector
g x , y 0
f x , y 0
v1 .
y
f x , y
v1
x E
v2
g x , y
x' 0
y' 0 Figura 37: punto de silla Los focos son puntos de equilibrio caracterizados por sendas de fase en forma de espiral o que se aproximan cíclicamente a él (foco estable) o que se alejan cíclicamente de éste (foco inestable). En la figura 38 se muestra un foco inestable. 19
Para un estudio de sistemas dinámicos condicionalmente estables recurra a Gandolfo, G. Economic Dynamics. Study Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1997.
357
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
y y' 0
f x, y
x
E
x' 0
gx, y Figura 38: foco inestable Un vórtice o centro es un punto de equilibrio caracterizado por una familia de sendas de fase en forma de bucles (círculos o elipses concéntricos) que orbitan alrededor de él en forma perpetua. Un vórtice se clasifica como neutralmente estable (es estable pero no asintóticamente estable ya que dicho punto, aun cuando t , es inaccesible desde cualquier otro punto que no sea el mismo vórtice). En la figura 39 se aprecia un vórtice.
y y' 0
E x' 0
g x , y
f x , y
x
Figura 39: Vórtice 358
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Puntos de equilibrio y criterios de estabilidad para sistemas lineales (de “n” variables) de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes
Hemos visto que para el sistema de la ecuación (LXXIV), X' t A Xt b, si A 0, entonces su único punto de equilibrio lo obtenemos de la ecuación adjA b * 1 A 0 y el sistema X A b . Además, si A homogéneo b 0 , entonces el único punto de equilibrio sería el origen, X* 0.
(LXXVIII),
es
Criterio de estabilidad basado en los autovalores de “A”
Una condición necesaria y suficiente para que X * sea local y globalmente “asintóticamente estable” es que todos los “n” autovalores de “A” tengan parte real negativa. Si al menos un autovalor posee parte real positiva, X * es inestable. El teorema que vamos a proponer a continuación nos proporciona una condición necesaria y suficiente para que los autovalores asociados a la matriz “A” de (LXXIV) tengan parte real negativa. Teorema de Routh-Hurwitz: Dado el sistema (LXXIV), las partes reales de todas las raíces (autovalores) del polinomio característico de grado “n”: a11 p A I
a 21 a n1
a1n
a 22
a 2n
a12
a 0n a1n 1 a n 0
CXIV
a nn
a n2
son negativas si y sólo si la matriz de Routh-Hurwitz a1 a 0 0 0 0 0 0
a3
a5
a7
a9
a2
a4
a6
a8
a1
a3
a5
a7
a0
a2
a4
a6
0
a1
a3
a5
0
a0
a2
a4
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 a n
es definida positiva (es decir, si la matriz de Routh-Hurwitz presenta todos sus menores principales dominantes estrictamente positivos). Esto es:
359
CIRO BAZÁN
a 1 a 1 0;
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
a1
a3
a0
a2
0; ;
a1
a3
a5
a7
a9
0
a0
a2
a4
a6
a8
0
0
a1
a3
a5
a7
0
0
a0
a2
a4
a6
0
0
0
a1
a3
a5
0
0
0
a0
a2
a4
0
0
0
0
0
0
an
0
Criterios de estabilidad alternativos Para calcular los autovalores de la matriz “A” del sistema (LXXIV) necesitamos resolver el polinomio característico dado por (CXIV), pero esta es una ardua labor sobre todo cuando “n” toma valores muy grandes. Asimismo, cuando la matriz “A” está constituida por los parámetros de un modelo, el cálculo de los autovalores resulta sumamente engorroso. Por estos motivos, vamos a presentar algunos criterios de estabilidad alternativos al criterio basado en los autovalores de “A”, de modo que si se cumplen estos criterios alternativos, entonces estará plenamente garantizado el hecho de que los autovalores de la matriz “A” tendrán parte real negativa20. Criterio I: Una condición de estabilidad necesaria y suficiente para una matriz simétrica “A” es que ésta sea definida negativa. Esto implica que los menores principales dominantes de “A” deben alternar de signo, empezando con signo negativo. a11
a11 a11 0,
a 11 a 12 a 21 a 22 a 31
a 32
a12
a 21 a 22
a13 a1n
a11 a12 a 13 a 21 a 22 a 23 0, , signo a 33 a n1 a n 2
0,
a 23 a 2 n
signo 1n
a n 3 a nn
Criterio II: Una condición de estabilidad necesaria y suficiente para la matriz “A” es que los menores principales dominantes de la matriz simétrica “B” alternen de signo, empezando con signo negativo. Dónde: a11 1 1 T B A A a 21 a12 2 2 1 a n1 a1n 2
1 2
1 2
20
a12 a 21
a 22
a n 2 a 2 n
a n1 2 1 a 2 n a n 2 2 a nn 1
a1n
Para una revisión más exhaustiva de estos criterios puede recurrir a Gandolfo, G. Economic Dynamics. Study Edition. Springer-Verlag. Berlin. 1997.
360
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Criterio III: Sea a ij 0, i j, (es decir, todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal de “A” son no negativos). Entonces, en este caso, las condiciones de estabilidad necesarias y suficientes para la matriz “A” son las mismas que las del criterio I. Note que estas condiciones implican que a ii 0. Una matriz con a ii 0 y a ij 0, i j, es denominada “matriz Metzleriana”. Criterio IV: Un conjunto de condiciones suficientes de estabilidad es que todos los elementos de la diagonal principal de “A” sean negativos y que cada uno de ellos en valor absoluto sea mayor a la suma de los valores absolutos de todos los otros elementos pertenecientes a su misma línea (fila o columna). Esto es: a ii 0, a ii
n
a ij
Dominación por filas
j 1 j i
o a ii 0, a ii
n
a ji
Dominación por columnas
j 1 j i
Criterio V: Una condición de estabilidad necesaria pero no suficiente es que la traza de “A” sea negativa. Es decir, trA
n
a ii
0.
i 1
Criterio VI: Una condición de estabilidad necesaria pero no suficiente es que el determinante de “A” tenga el signo de 1n . Criterios de estabilidad para sistemas lineales homogéneos (de dos variables) de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden con coeficientes constantes Sea el siguiente sistema dinámico: dx x ' a 11x a 12 y ' x ' a a 12 x dt ' 11 X t A X t y a 21 a 22 y dy y ' a x a y 21 22 dt
(CXV)
0
Si A 0, entonces posee como único punto crítico a X * , es decir, el origen. 0 El polinomio característico de (CXV) viene dado por: p
a 11
a 12
a 21
a 22
2 a 11 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 0
p 2 trA A 0
361
(CXVI)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS La estabilidad del sistema (CXV) quedará determinada por el hecho que el polinomio característico (CXVI) tenga sus dos autovalores con parte real negativa. Por el criterio de Routh-Hurwitz, las condiciones de estabilidad para (CXVI) serán: a 1 trA trA 0 trA 0
a1
a3
a0
a2
trA
0
1
A
0 trA A 0 A 0
Es decir, el sistema (CXV) será estable si y sólo si trA 0 y A 0. Como los autovalores de (CXVI) vienen dados por:
1 , 2
trA
trA2
4A
2
trA
(CXVII)
2
Donde trA2 4 A , es el denominado discriminante. De (CXVII) podemos verificar que: trA 1 2 y A 1 2
(CXVIII)
Por lo que si los autovalores son reales y A 0, entonces 1 y 2 deben tener el mismo signo, mientras que si A 0, los autovalores 1 y 2 deben tener signos opuestos. El estudio de los posibles estados del sistema (CXV) se realizará teniendo en cuenta que: a)
Si trA2 4 A 0, los autovalores son reales y distintos.
b) Si trA2 4 A 0, los autovalores son reales e iguales. c)
Si trA2 4 A 0, los autovalores son complejo conjugados.
Para ilustrar las diversas soluciones trazaremos la trA en el eje horizontal y el A en el eje vertical, lo cual es válido ya que tanto la trA como el A son parámetros. El plano de parámetros A trA queda dividido por la curva A trA2 4 , que es una parábola con mínimo en el origen, tal como se aprecia en la figura 40.
362
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO A 1 2
trA2 4 A 0
0
0
0
IV VI
V
I
II
trA 1 2
III Figura 40 Debajo de la parábola tenemos que trA2 4 A 0, por lo que los autovalores son reales y distintos; encima de la parábola se tiene que trA2 4 A 0, por lo que los autovalores son complejo conjugados; mientras que a lo largo de la parábola tenemos que trA2 4 A 0, por lo que los autovalores son reales e iguales. Adicionalmente, podemos subdividir los casos de acuerdo al signo/valor de los dos autovalores. Caso I: autovalores reales y distintos del mismo signo: Tomemos en primer lugar los autovalores reales distintos que permanecen estrictamente debajo de la parábola. Si ambos autovalores son negativos entonces la trA debe ser negativa, y ya que el A 0, entonces estamos en la región debajo de la parábola y encima del eje horizontal (región I en la figura 40). En esta región, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. En la región II, que se encuentra también debajo de la parábola y encima del eje horizontal, ambos autovalores son positivos y el sistema es inestable (el punto crítico es un nodo impropio inestable). Para
comprobar
esto,
vamos
a
considerar
la
solución
general
Xt x t , yt c1e1t V1 c 2e 2 t V2 donde “λ1” y “λ2” son autovalores reales y
distintos y ambos son o positivos o negativos. Asimismo, supondremos que los autovectores asociados a “λ1” y “λ2” son V1 y V2 . En primer lugar, si 2 1 0, cuando t se verificará que e 1 t e 2 t . Por tanto, cuando t la solución tenderá a alinearse con c1e 1t V1 , esto es, en el largo plazo tendremos que Xt c1e 1t V1 . Pero, dado que cuando t , resulta que e 1t 0 y e 2 t 0, entonces se tiene que en el largo plazo Xt 0 independientemente de los valores
363
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
de c1 y c 2 . En este caso, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarán al
origen tangencialmente a la línea de acción del autovector V1 . En este caso se tendrá un nodo impropio estable tal como el de la figura 36-a. De particular interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 , entonces c 2 0 y el
sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector V1 y se aproxima al origen conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si el punto inicial se encuentra justo sobre V2 , entonces c1 0 y el sistema se mueve a lo largo de la
línea de acción de V2 , aproximándose al origen en el límite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. En segundo lugar, si 0 2 1 , se verificará que cuando t entonces e 1 t e 2 t . Por lo que
cuando t la solución tenderá a alinearse con c1e 1t V1 , esto es, en el largo plazo
tendremos que Xt c1e1t V1. En este caso, las sendas de fase se alejarán del punto
de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del autovector V1 conforme transcurra el tiempo. Esto se debe a que tanto x t e yt crecen exponencialmente con el tiempo. Caso II: autovalores reales e iguales Si ambos autovalores son reales e iguales y el discriminante es nulo (estaríamos sobre los puntos pertenecientes a la parábola), entonces se pueden presentar dos sub-casos: i) se tendrá un nodo propio (estrella) si los dos autovectores son independientes; ii) se tendrá un nodo impropio si sólo existe un autovector independiente.
0.
Para el sub-caso i) se tendría que Xt c1e 1t V1 c 2 e 2 t V2 e t c1 V1 c 2 V2 . Si 1 2 0, se obtendría una estrella estable donde las sendas de fase convergerían al origen ya que:
lím X t lím c1e 1t V1 c 2 e 2 t V2 lím e t c1 V1 c 2 V2
t
t
t
Si 1 2 0, se obtendría una estrella inestable, tal como se aprecia en la figura 35.
Para el sub-caso ii) se tendría que Xt c1e t v1 c 2 e t tv1 v 2 . Si 1 2 0, se verificará que cuando t entonces el término
dominante será c 2 te t v1 , por lo que en el largo plazo cada senda de fase deberá aproximarse al origen de manera que sea tangente a la línea de acción del autovector v 1 . Ciertamente, si c 2 0 la solución deberá permanecer sobre la misma línea de acción del autovector v1 , y aproximarse al origen a lo largo de esta línea. Si 1 2 0, entonces cada senda de fase deberá alejarse del origen, tal como se muestra en la figura 36-b.
364
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Caso III: autovalores reales distintos de signos opuestos Si ambos autovalores son reales y tienen signos opuestos, y el A 0, entonces el punto de equilibrio es un punto de silla. Por tanto, debajo del eje horizontal en la región III, el punto de equilibrio es un punto de silla inestable 21. Note que esto se aplica independientemente de que la traza sea positiva o negativa. Para comprobar este caso, vamos a considerar la solución general 1 t 2t donde supondremos que los autovectores X t x t , y t c1e V1 c 2e V2
asociados a “λ1” y “λ2” son V1 y V2 . Si suponemos que 2 0 y 1 0, entonces, cuando t resulta que e 1t y e 2 t 0. Este caso es recogido en la figura 37. En esta figura se puede apreciar que todas las sendas de fase divergen del punto de equilibrio hacia el infinito a excepción de aquella senda (una de las ramas estables) que parte de un punto inicial situado en la recta de acción del autovector correspondiente al autovalor negativo, en nuestro caso en la dirección del autovector V2 . Es importante resaltar que si la solución iniciara en la línea de acción del
autovector V1 entonces se tendría que c 2 0. En este caso, la solución permanecería
sobre la línea de acción de V1 . Ya que 1 0, entonces la solución divergiría del punto de equilibrio conforme transcurriese el tiempo. Por otro lado, si el sistema iniciara sobre la línea de acción del autovector V2 , entonces c1 0, y ya que 2 0, entonces según t el sistema convergería hacia el punto de equilibrio. Caso IV: autovalores complejos con parte real distinta de cero La región compleja (área sombreada de la figura 40) se subdivide en tres categorías. En la región IV el signo de la parte real de los autovalores complejos i es estrictamente negativo 0 y la trayectoria espiral tiende hacia el punto de equilibrio en el límite (el punto de equilibrio es una espiral asintóticamente estable). En la región V tenemos que 0 y el punto de equilibrio es inestable con una trayectoria en forma de espiral que diverge de él. Para demostrar esto vamos a asumir que 1 i y 2 i, y que 0 y 0. Los sistemas que tienen tales autovalores complejos pueden expresarse como sigue: ' x ' x x x y ' ' y y y x y
(CXIX)
Ahora vamos a expresar el sistema (CXIX) en coordenadas polares en términos de “R” y “θ”, donde: x R cos y R sen 21
(CXX)
Como ya se dijo, salvo que el estado inicial del sistema se encuentre sobre una de las dos ramas estables, un punto de silla es inestable.
365
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Realizando operaciones elementales con las ecuaciones del sistema (CXX) se tiene que: R 2 x 2 y 2 y tg x
(CXXI)
Derivando respecto al tiempo las dos ecuaciones del sistema (CXXI) se tiene: RR ' xx ' yy' 2 RR ' 2 xx ' 2 yy' d tg d d y x 1 ' d tg xy ' yx ' 2 d dt dt dt x2 cos
(CXXII)
Reemplazando (CXIX) y (CXX) en (CXXII) tenemos:
RR ' x x y y x y x 2 y 2 R 2 x x y y x y 1 ' 2 R 2 cos2 cos
R ' R ' R R 2 2 ' x y ' 2 R
(CXXIII)
Resolviendo (CXXIII) tenemos las ecuaciones paramétricas en coordenadas polares del sistema (CXIX): R ce t 0 t
(CXXIV)
Donde “c” es una constante y 0 0 . Como 0, entonces “θ” decrece con el tiempo, y por tanto el movimiento es en el sentido de las agujas del reloj 22. Además, si t entonces: R 0 si 0 R si 0
Por tanto, las sendas de fase son espirales que se aproximan o se alejan del origen dependiendo del signo de “α”. En la figura 38 se muestra una espiral divergente.
22
En caso 0, el ángulo “θ” aumentaría con el transcurrir del tiempo, por lo que el sentido de giro sería antihorario.
366
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Caso V: autovalores complejos con parte real nula En la región VI, que es el eje “y” encima del origen, 0 y el punto de equilibrio tiene un centro (vórtice) con una curva cerrada como trayectoria. Para demostrar esto vamos a asumir que 1 i y 2 i, es decir, y que 0 . Reemplazando 0 en los sistemas (CXIX), (CXXIII) y (CXXIV) respectivamente tenemos que: ' x ' 0 x x y ' ' y 0 y y x
(CXXV)
' R c R 0 ' 0 t
(CXXVI)
Donde “c” y 0 0 son constantes. Esto significa que las sendas de fase son curvas cerradas (círculos o elipses) con centro en el origen. Si 0 el movimiento será en el sentido de las agujas del reloj mientras que si 0 el movimiento será antihorario. Un circuito completo alrededor del origen denota la fase del ciclo, que es 2 . En la figura 39 se muestra un centro. En la tabla II se muestran las diversas configuraciones de los espacios de fase bidimensionales que se pueden describir de acuerdo a la trA y el A junto con los autovalores de la matriz “A”.
367
CIRO BAZÁN ∆ 0
0
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS A 1 2
trA 1 2 A 0
trA 0 A 0
trA 0 A 0
0
0
trA 0 ó trA 0
A 0
trA 0
Autovalores de A Reales del mismo signo: 1 2 0
Reales del mismo signo: 1 2 0
Punto de equilibrio
Estabilidad
Nodo impropio
Estable
Nodo impropio
Inestable
Punto de silla
Estabilidad condicional (depende de la posición inicial). En general: inestable.
Foco (espiral)
Asintóticamente Estable
Foco (espiral)
Inestable
Centro (vórtice)
Marginal o neutralmente estable
Nodo propio (estrella)
Estable
Nodo propio (estrella)
Inestable
Reales de signo opuesto: 1 0, 2 0 ó 1 0, 2 0
Complejo conjugados: 1 i 2 i 0
0
A 0
trA 0
Complejo conjugados: 1 i 2 i 0
0
A 0
trA 0
Imaginarios puros: 1 i 2 i 0
A 0
trA 0 0
a 11 a 22
Reales e iguales: 1 2 0
a 12 a 21 0 A 0
trA 0 0
a 11 a 22
Reales e iguales: 1 2 0
a 12 a 21 0
Tabla II
368
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Ejemplos: Resuelva los siguientes sistemas dinámicos y realice su análisis cualitativo: represente algunas de sus sendas de fase en el plano de fase x y. ' x y
1.-
' y x
x ' 0 1 x x 0 5 5 con X 0 ' con X 0 . y 0 2 1 0 y y 2
El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son: A 1 0 0 2 41 4 0 trA 0
(255)
El polinomio característico de la matriz “A” es: p
1
1
1 i 0 2 1 0 i 1 2
(256)
Los autovectores asociados a cada autovalor son: Para 1 i :
A 1 Iv 1
i 1 a 0 b ai 1 i b 0
Si hacemos a 1 b i, entonces: 1 v1 i
Para 2 i :
A 2 Iv 2
i 1 c 0 d ci 1 i d 0
Si hacemos c 1 d i, entonces: 1 v2 i
De (CXXIII) y (256) se tiene que la solución será: X t e 0 h 1 cost h 2 sent h 1 cost h 2 sent
369
(257)
CIRO BAZÁN Con:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1 1 c c 2 h 1 c1 v 1 c 2 v 2 c1 c 2 1 i i ic1 ic 2
(258)
1 1 i c c 2 h 2 i c1 v1 c 2 v 2 ic1 ic 2 1 i i c1 c 2
(259)
Reemplazando las condiciones iniciales en (257) y teniendo en cuenta (258) tenemos que: 5 2i c1 c1 c 2 5 2 X 0 h 1 2 ic1 ic 2 c 5 2i 2 2
(260)
Reemplazando (260) en (258) y (259) tenemos: 5 2 h1 y h 2 2 5
(261)
Reemplazando (261) en (257) se tiene: 5 2 X t cost sent 2 5
x t 5 cost 2sent y t 2 cost 5sent
(262)
Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase x y vamos a utilizar la ecuación (CXII): dy
dx
x2 2
y' x'
y2 2
x y
y 0 ydy
xdx k1
k1 x 2 y 2 2 k 1 x 2 y 2 k
y2 2
k1
x2 2
(263)
En consecuencia, las órbitas del sistema vienen dadas por (263), que representa una familia de circunferencias con centro en el origen (el punto de equilibrio es un centro o vórtice) y radio
k tal como se aprecia en la figura 41. En el
instante inicial, t 0, se tiene que x 2 y 2 29. El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda (vector de velocidad de movimiento) en el instante inicial. En el instante inicial, t 0, tendríamos que el vector tangente es:
Fx 0 , y0 F0 F5, 2 x ' 0 , y' 0 2,5. En consecuencia el movimiento
de la senda de fase sería contrario al sentido de giro de las agujas del reloj. 370
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
y
y' 0
F0 X0
2
E x 0 '
f x , y
g x , y 5
x
Figura 41 Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados: ' x f x , y y 0 y 0 : eje " x" ' y g x , y x 0 x 0 : eje " y"
Por esta razón los gradientes de “f” y “g” se encuentran también sobre los ejes coordenados: f x , y g x , y
0 1 1 0
En consecuencia, por debajo del eje “x” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por encima del eje “x” apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba a la derecha del eje “y”, y hacia abajo a la izquierda del eje “y”. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo el origen, son circunferencias. Asimismo, note que en las intersecciones de las circunferencias con el eje “x”, y 0, la dy dx no está definida. 371
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
x ' 1 1 x x 0 2 2 con X 0 ' con X 0 . ' y 0 1 1 1 y y 1 y x y
' x x y
2.-
El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema23 son: A 2 0 2 2 42 4 0 trA 2
(264)
El polinomio característico de la matriz “A” es: p
1
1
1
1
1 1 1i 1 (265) 2 2 2 0 1 1 i 1 2
Los autovectores asociados a cada autovalor son: Para 1 1 1i : i 1 a 0 b ai 1 i b 0
A 1I v1
Si hacemos a 1 b i, entonces: 1 v1 i
Para 2 1 1i :
A 2 I v 2
i 1 c 0 d ci 1 i d 0
Si hacemos c 1 d i, entonces: 1 v2 i
De (CXXIII) y (265) se tiene que la solución será: X t e t h1 cos t h 2 sen t e t h1 cost h 2 sent
23
(266)
En este punto es importante darse cuenta que, de acuerdo al sistema dado por (CXIX), 1 0.
372
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Con: 1 1 c c 2 h1 c1v1 c 2 v 2 c1 c 2 1 (267) i i i c1 c 2 1 1 i c c 2 h 2 i c1v1 c 2 v 2 ic1 ic2 1 i i c1 c 2
(268)
Reemplazando las condiciones iniciales en (266) y teniendo en cuenta (267) tenemos que: c1 2 i 2 c c 2 2 X 0 h1 1 i c c 1 2 1 c 2 2 i 2
(269)
Reemplazando (269) en (267) y (268) tenemos: 2 1 h1 y h 2 1 2
(270)
Reemplazando (270) en (266) se tiene: t 2 1 x t e 2 cost sent X t e t cost sent t 1 2 y t e cost 2sent
(271)
Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase x y vamos a utilizar la ecuación (CXII): dy
dx
y' x
'
xy xy
1 y x 1 y / x
y x
(272)
Si hacemos el siguiente cambio de variable: u y x y u x dy udx xdu
(273)
Reemplazando (273) en (272) se tiene: dy dx
1 u 1 u
u 1 u 1
u 1 u 1 dx udx xdu dy u 1 dx u 1
u2 1 u 1 dx xdu dx u 1 du dx xdu udx 2 x u 1 u 1 u 1
1 x 2 y2 u 1 y du ln x k ln tg1 ; 2 2 x 2 x u 1 x
dx
373
x 0
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Fx , y ln x k
1
ln
x 2 y2
2
x
y tg1 0 ; x
2
x 0
(274)
La ecuación (274) nos representa una familia de espirales convergentes al origen. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo la solución trivial, son espirales. Reemplazando X 0 x 0 , y0 2,1 en la ecuación (274) se obtiene k 1, 2683. Reemplazando “k” en (274) tenemos que: Fx , y ln x 1, 2683
1
ln
x 2 y2
2
x
2
y tg1 0 ; x
x 0
(275)
La ecuación (275) nos representa una espiral convergente al origen que satisface las condiciones iniciales del sistema dinámico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante t 0,
Fx 0 , y0 F0 F2,1 x ' 0 , y' 0 3,1.
Por otro lado, del sistema (271) es fácil verificar que se cumple que: x 2 y 2 5e 2 t
(276)
La ecuación (276) corresponde a una espiral, que puede interpretarse como una circunferencia cuyo radio
5 e t tiende a cero cuando t .
Comparando (276) con (CXXIV) se tiene que: R 2 x 2 y 2 5e 2 t R x 2 y 2 5 e t c 5
(277)
Por otro lado tenemos que en el instante inicial, t 0, se tiene que: tg0
y 0 x 0
1 2
0 tg1 1 2
(278)
Reemplazando (278) y “β” en (CXXIV) se tiene que: t tg1 1 2 t
(279)
Las ecuaciones paramétricas (277) y (279), en coordenadas polares, representan una espiral [la misma espiral que se obtuvo en la ecuación (275)]. En la figura 42 se aprecia la senda de fase en forma de espiral que converge al punto de equilibrio del sistema (el origen) y cuyo sentido de giro es contrario al de las manecillas del reloj.
374
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO y
x' 0
y' 0
f x , y
g x , y
F0
X0
x
2
Figura 42 Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas vienen dadas por: ' x f x , y x y 0 y x ' y g x , y x y 0 y x
Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por: f x , y g x , y
1 1 1 1
En consecuencia, por debajo de la ceroclina x ' 0 las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por encima de ella apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por debajo de la ceroclina y ' 0, y hacia abajo por encima de ella. Note que en las intersecciones de la espiral con la isoclina x ' 0 y x , la dy dx no está definida. ' x x
3.-
' y y
x ' 1 0 x x 0 1 1 con X 0 ' con X 0 . y 0 1 0 1 y y 1
El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son: A 1 0 2 2 41 0 trA 2
375
(280)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS El polinomio característico de la matriz “A” es: p
1
0
0
1
2 2 1 0 1 2 1
(281)
Utilizando 1 1 :
A 1 Iv 1
0 0 a 0 a 0a 0b 0 0 0 b 0 b
a v1 b
Utilizando 2 1 :
A 2 Iv 2
0 0 c 0 c 0c0d 0 0 0 d 0 d
c v2 d
Ya que A I v 0, con 1, se satisface para cualquier autovector v , entonces deberemos escoger arbitrariamente cualquier par de autovectores linealmente independientes para los autovalores 1 2 1. Permítase que dichos autovectores sean: 1 0 v1 y v 2 0 1
Entonces, por (LXXXV), la solución general será: t 1 0 x t c 1 e X t c 1 e t c 2 e t t 0 1 y t c 2 e
(282)
Reemplazando las condiciones iniciales en (282) tenemos la solución particular: 1 X 0 1
0 x 0 c1e 1 c1 1 0 y 0 c 2 e 1 c 2 1
t x t e t y t e
(283)
Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase x y vamos a utilizar la ecuación (CXII): dy dx
y' x
'
y x
x0
dy y
dx
x
376
dy y
dx x
k ln y ln x k1
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO ln
y x
k1 ; x 0 y 0
y x
y x
c; x 0 y 0
e k 1 c 0; x 0 y 0
y x
c; x 0 y 0
y cx; x 0 y 0 c
(284)
La ecuación (284) representa una familia de semirectas, a excepción de la solución nula. Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuación (284) se tiene que c 1. Por tanto, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales será: y x; x 0 y 0
(285)
Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante t 0, Fx 0, y0 F0 F1,1 x ' 0, y' 0 1,1. En
este caso la senda de fase que parte del punto X 0 1,1 se aleja del punto de
equilibrio conforme transcurre el tiempo sobre la semirecta y x x 1 y 1.
Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados: ' x f x , y x 0 : eje " y" ' y g x , y y 0 : eje " x"
Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por: f x , y g x , y
1 0 0 1
En consecuencia, a la derecha del eje “y” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y a la izquierda del eje “y” apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por encima del eje “x”, y hacia abajo por debajo del eje “x”. En la figura 43 se aprecia que el punto de equilibrio de este sistema es una estrella divergente. Note que en el eje “y”, x 0, la dy dx no está definida.
377
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
y
F0
1
X0
g x , y
f x , y
y' 0
x 1
x' 0 Figura 43 ' x 2 y
4.-
' y x
x ' 0 2 x x 0 2 2 con X 0 ' con X 0 . y 0 1 1 0 y y 1
El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son: A 2 0 0 2 4 2 8 0 trA 0
(286)
El polinomio característico de la matriz “A” es: p
1
2 1 2 2 0 2 2 2
(287)
Los autovectores asociados a cada autovalor son: Para 1 2 :
A 1Iv1
1
2
2 a 0 b 2 b 0
378
2 2
a
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Si hacemos a 1 b 2 2 , entonces: 1 v1 2 2
Para 2 2 :
A 2 I v 2
2 1
2 2 c 0 c d 2 2 d 0
Si hacemos c 1 d 2 2 , entonces: 1 v2 2 2
De (LXXXV) se tiene que la solución será: 1 X t c1 e 2 2
2t
1 c2 e 2 2
2t c 2e 2 t x t c1e y t 2 2 c1e 2 t 2 2 c 2 e
2t
(288)
2t
Reemplazando las condiciones iniciales en (288) tenemos que: 2 1 c1 c 2 c1 2 2 X 0 2 2 1 2 1 c1 c2 c 2 2 2 2
(289)
Reemplazando (289) en (288) tenemos: x t 2 1 e 2 2 1 y t e 2
2t
2t
2 1 e 2
379
2 1 e 2
2t
2t
(290)
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase x y vamos a utilizar la ecuación (CXII): dy dx
y' x'
x
y 0 2 ydy
2y
y2 k
x2
1
xdx k y 2
x2
k
2
(291)
2k
En consecuencia, las órbitas del sistema vienen dadas por (291), que representa una familia de hipérbolas con vértices en el eje “y” para valores de k 0, y con vértices sobre el eje “x” para valores de k 0. Independientemente del signo de “k”, las ecuaciones de las asíntotas a dichas hipérbolas son y 2 2 x. Note
que las pendientes de las rectas asíntotas coinciden con las tangentes de los ángulos de inclinación de los autovectores v1 y v 2 . Asimismo, note que en las intersecciones de las sendas de fase con el eje horizontal, y 0, la dy dx no está definida. El punto de equilibrio es un punto de silla, tal como se aprecia en la figura 44. En el instante inicial, t 0, se tiene que 12 1 2 2 2 k 1. Por tanto, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales viene dada por: x2
2
y2
1
1
El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales (que en el largo plazo se aleja del punto de equilibrio) se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda en el instante inicial. En dicho instante el vector tangente es: Fx 0 , y0 F0 F 2,1 x ' 0 , y' 0 2, 2 .
Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados: ' x f x , y 2 y 0 y 0 : eje " x" ' y g x , y x 0 x 0 : eje " y"
Por esta razón los gradientes de “f” y “g” se encuentran también sobre los ejes coordenados: f x , y g x , y
0 2 1 0
En consecuencia, por encima del eje “x” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por debajo del eje “x” apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba a la derecha del eje “y”, y hacia abajo a la izquierda del eje “y”. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo el origen y las asíntotas, son hipérbolas. 380
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
y
f x , y
F0
-2
v1
1
x 0 '
v2
x
g x , y y' 0
Figura 44 x ' 0 2 x x 0 2 2 con X 0 ' con X 0 . y 1 0 y y 0 1 1 y x
' x 2 y
5.-
'
El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son: A 20 0 2 42 8 0 trA 0
(292)
El polinomio característico de la matriz “A” es: p
2 i 1 0 2 2 0 1 2 2 2 i
2
(293)
Los autovectores asociados a cada autovalor son: Para 1 2 i :
A 1Iv1
2i
1
Si hacemos a 1 b
2
a 0 b 2 i b 0 2
i , entonces:
2
1 v1 2 i 2
381
2 2
ai
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Para 2 2 i :
A 2 Iv 2
Si hacemos c 1 d
2i 1 2
2 2 c 0 ci d d 0 2 2 i
i , entonces:
2
1 2 v 2 2
i
De (CXXIII) y (293) se tiene que la solución será: X t h1 cos 2 t h 2sen 2 t
(294)
Con: 1 1 2 h1 c1v1 c 2 v 2 c1 2 c 2 i 2 2 1 1 2 h 2 i c1v1 c 2 v 2 ic1 2 ic2 i 2 2
c1 c 2 2 i i c1 c 2 2 i c1 c 2 2 i c c 1 2 2
(295)
(296)
Reemplazando las condiciones iniciales en (294) y teniendo en cuenta (295) tenemos que: c 2 2 i 2 c1 c 2 2 1 X 0 h1 2 i c c 1 1 2 c 2 2 2 i 2 2
Reemplazando (297) en (295) y (296) tenemos: 2 2 h1 y h 2 2 1
(298)
Reemplazando (298) en (294) se tiene: 2 X t cos 2 t 1
382
2 sen 2 t 2
(297)
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO x t 2 cos 2 t 2 sen 2 t y t cos 2 t 2 sen 2 t
(299)
Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase x y vamos a utilizar la ecuación (CXII): dy dx
y' x
'
y2
x
x2
y 0 2 ydy xdx 2 ydy xdx k
2y
k
2
x2
y2
2k
k
1; k 0
(300)
En consecuencia, las órbitas del sistema vienen dadas por (300), que representa una familia de elipses con centro en el origen (el punto de equilibrio es un centro o vórtice) tal como se aprecia en la figura 45. En el instante inicial, t 0, se tiene que 22 2 12 k 3. En consecuencia, la senda de fase que satisface las condiciones iniciales será: x2
6
y2
1
3
El sentido del movimiento de la senda de fase que satisface las condiciones iniciales se obtiene evaluando el vector tangente a dicha senda (vector de velocidad de movimiento) en el instante inicial. En el instante inicial, t 0,
Fx 0 , y0 F0 F2,1 x ' 0 , y' 0 2, 2 . En consecuencia el movimiento
de la senda de fase sería en el sentido de giro de las agujas del reloj. Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas coinciden con los ejes coordenados: ' x f x , y 2 y 0 y 0 : eje " x" ' y g x , y x 0 x 0 : eje " y"
Por esta razón los gradientes de “f” y “g” se encuentran también sobre los ejes coordenados: f x , y g x , y
383
0 2 1 0
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS En consecuencia, por encima del eje “x” las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y por debajo del eje “x” apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba a la izquierda del eje “y”, y hacia abajo a la derecha del eje “y”. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo el origen, son elipses. Asimismo, note que en las intersecciones de las elipses con el eje “x”, y 0, la dy dx no está definida. y X0
1
f x , y
F0
E 2
g x , y
Figura 45 ' x 4x y
6.-
' y x 2y
x ' 4 1 x x0 2 2 con X0 ' con X0 . y 0 2 1 2 y y 2
El determinante de “A”, la traza de “A”, y el discriminante del sistema son: A 90 6 2 49 0 trA 6 0
(301)
El polinomio característico de la matriz “A” es: p
4
1
1
2
2 6 9 0 1 2 3
Se observa que la multiplicidad algebraica es 2, es decir m 2. Para 3 : 1 1 a 0 a b 1 1 b 0
A I v1
Si hacemos a 1 b 1, entonces: 1 v1 1
384
(302)
x
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a 3. Para encontrar un segundo autovector que sea linealmente independiente de v 1 vamos a utilizar la expresión (CVI):
A I v 2
1 1 c 1 v1 c d 1 1 1 d 1
(303)
Si hacemos c 0 d 1. Por tanto: 0 v2 1
En consecuencia, de (CIV) tenemos: x t 3t 1 3t 1 0 c1e c 2 e t y t 1 1 1 3 t c 2 te3 t x t c1e 3t c 2 t 1e 3 t y t c1e
(304)
Reemplazando las condiciones iniciales en (304) tenemos que: x 0 c1 2 y 0 c1 c 2 2 c 2 4
(305)
Reemplazando (305) en (304) se tiene: 3 t 4 te3 t x t 2 e 3t 4t 1e 3 t y t 2e
(306)
Para encontrar las órbitas del sistema en el plano de fase x y vamos a utilizar la ecuación (CXII): dy dx
y' x
'
x 2y 4x y
2y x 1
y / x 4
y 4 x
(307)
Si hacemos el siguiente cambio de variable: u y x y u x dy udx xdu
(308)
Reemplazando (308) en (307) se tiene: dy dx
2u 1
2u 1 2u 1 dx udx xdu dy u 4 dx u4 u4
385
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
u 12 2u 1 dx xdu udx u4 u4
u4 x u 12
dx
u4 dx dx xdu du 2 x u 1
3 ; du ln x k ln u 1 u 1
ln x k ln
y
1
x
xy
ln x k ln
y ; 1 y x 1 x 3
x Fx , y ln x y
3x xy
u 1
3x xy
k 0;
;
y x
y x
(309)
La ecuación (309) nos representa una familia de sendas de fase convergentes al origen. Note que todas las sendas de fase, salvo la senda que coincide con la línea de acción del autovector v1 , son tangentes a la línea de acción de v1 .
Reemplazando X0 x 0 , y0 2, 2 en la ecuación (309) se obtiene k 0,1137. Reemplazando “k” en (309) tenemos que: Fx , y ln x y
3x xy
0,1137 0;
y x
(310)
La ecuación (310) nos representa una senda de fase convergente al origen que satisface las condiciones iniciales del sistema dinámico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante
t 0, Fx 0 , y0 F0 F2, 2 x ' 0 , y' 0 10, 2 .
Se puede apreciar que en este caso las ceroclinas vienen dadas por: ' x f x , y 4 x y 0 y 4 x ' y g x , y x 2 y 0 y x 2
Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por: f x , y g x , y
386
4 1 1 2
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO En consecuencia, a la izquierda de la ceroclina x ' 0 las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y a la derecha de ella apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por debajo de la ceroclina y ' 0, y hacia abajo por encima de ella. Note que en las intersecciones de las sendas de fase con la isoclina x ' 0 y 4 x , la dy dx no está definida. El punto de equilibrio es un nodo impropio estable. y
x' 0 f x , y
2
F0
v1
X0
y' 0
2
x
v2 g x , y
Figura 46 Una aplicación económica Realice el análisis cualitativo del modelo Keynesiano IS-LM (Tu 1994), dado por el sistema (215), para el caso III. El sistema de ecuaciones diferenciales dado por (215), para el caso III, trA2 4 A 0, con los siguientes parámetros: trA 1 A 1 0,5; s 0,5; 0,75; 1 3 I0 T G M 1 * Y 1,5 * r 1
Viene dado por: '
X t Xt A b Y' 0,5 0,75 Y 1,5 ' ; 0,5 r 1 r 1
387
X 0 Y0 2 r0 0,8
(311)
CIRO BAZÁN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Teniendo en cuenta la ecuación (219) y los valores de equilibrio, se tiene: d Dt 1 Xt X*t d 2
' Y Y* Y 1,5 D t * r r r 1
d1' Y' ' ' d 2 r
(312)
Además, considerando (221), la ecuación (311) podría expresarse como: Y' d' 0,5 0,75 d1 D't ADt ' 1' 0,5 d 2 r d 2 1
(313)
Por tanto, haciendo uso de la ecuación (CXII) tenemos que: dd 2 dd1
dd 2 dd1
0,5d 2 d1 1
0,5 0,75d 2 d1
d'2 d1'
d2
r'
Y
d1
'
r 1 Y 1,5
d1 0,5d 2 0,5d1 0,75d 2
2 r 2 Y 3
2 3
(314)
Haciendo el siguiente cambio de variable, tenemos que: u d2 d1 d2 ud1 dd2 d1 du u dd1
(315)
Reemplazando u d 2 d1 en (314) se obtiene: dd 2 dd1
0,5u 1 0,5 0,75u
u
0,5u 1 dd dd 2 0,5 0,75u 1 3
2
(316)
Igualando (315) y (316) resulta que: 0,5u 1 dd1 d1 du u dd1 0,5 0,75u
1 0,75u 2 0,5 0,75u
dd1
0,5u 1 u dd1 d1 du 0,5 0,75u
dd d du dd1 0,5 0,75u 1 1 0,75u 2 1 d1
k
d1
0,5 0,75u
1 0,75u 2 du 4 3u 2 du
lnd1 k ln
lnd1 ln
2 3u
du
2
4 3u 2
2 4 3u 2
3 tg1 u 2 3 3
3 tg1 u k 0 2 3 3
Reemplazando “u” en la ecuación anterior se tiene: 388
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
2
lnd1 ln
d2 4 3 d 1
2
3 d 2 k 0 tg1 2 d1 3 3
Reemplazando “d1” y “d2” en la ecuación anterior se tiene:
2
lnY 1,5 ln
3 r 1 k 0 tg1 2 Y 1,5 3 3
r 1 4 3 Y 1,5
2
Donde Y 1,5. La ecuación anterior nos representa una familia de espirales convergentes al punto de equilibrio. Note que todas las soluciones del sistema dinámico, salvo el punto de equilibrio X* Y*, r* 1,5, 1, son espirales. Reemplazando X0 Y0, r0 2, 0,8 en la ecuación anterior se obtiene k 0,8290. Reemplazando “k” en la ecuación precedente tenemos:
2
lnY 1,5 ln
r 1 4 3 Y 1,5
2
3 r 1 0,8290 0 tg1 2 Y 1,5 3 3
La ecuación anterior nos representa una espiral convergente al punto de equilibrio que satisface las condiciones iniciales del sistema dinámico. Para determinar el sentido del movimiento de la senda de fase evaluaremos el vector tangente a la senda de fase (vector de velocidad de movimiento) por ejemplo en el instante t 0,
FY0, r0 F0 F2, 0,8 Y'0, r '0 0,1, 0,6.
Teniendo en cuenta (311), las ceroclinas vendrán dadas por: 2 ' Y f Y, r 0,5Y 0,75r 1,5 0 r 2 Y 3 ' r gY, r Y 0,5r 1 0 r 2Y 2
Mientras que los gradientes de “f” y “g” vienen dados por: f Y, r gY, r
0,5 0,75
389
1 0,5
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
En consecuencia, a la izquierda de la ceroclina Y ' 0 las líneas de fuerza horizontales apuntarán hacia la derecha, y a la derecha de ella apuntarán hacia la izquierda. Asimismo, las líneas de fuerza verticales apuntarán hacia arriba por debajo de la ceroclina r ' 0, y hacia abajo por encima de ella. Note que en las intersecciones de las sendas de fase con la isoclina Y' 0 r 2 2 3 Y, la dr dY no está definida. d2
r
r' 0
gY, r
f Y, r F0
d1
X0
Y' 0
r*
Y
Y*
Figura 47 Análisis cualitativo de la estabilidad para sistemas autónomos de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no lineales En este apartado estudiaremos la estabilidad local de un sistema autónomo de dos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden no lineales, tal como el dado por la ecuación (CIX), a través del procedimiento de linealización, que consiste en expandir las funciones “f” y “g” en series de Taylor alrededor de algún punto de equilibrio del sistema, sin considerar los términos de orden superior (aquellos términos de la serie de Taylor que poseen derivadas parciales de orden mayor a uno). Luego se analizan las propiedades de estabilidad del sistema linealizado para finalmente ser extendidas al sistema no lineal original.
Para examinar si un punto de equilibrio X* x * , y* del sistema (CIX): x ' f x , y ' y g x , y
es asintóticamente localmente estable, tenemos que considerar cómo se comportan las soluciones X x , y del sistema en la vecindad de X* x* , y* . Con este propósito, vamos a considerar la aproximación lineal de las funciones f x , y y g x , y alrededor
de X* x* , y* . Por el desarrollo de Taylor24, si X x , y se encuentra lo
suficientemente cerca de X* x* , y* , entonces se verifica que: 24
Ver apéndice.
390
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
f x * , y* f x * , y* x ' f x , y f x * , y* x x* y y* x y g x * , y* g x * , y* ' * * * y g x , y g x , y x x y y* x y
Pero ya que:
x ' f x * , y* ' g x * , y* y
0 0
Entonces:
f x * , y* f x * , y* x ' f x , y x x* y y* x y g x * , y* g x * , y* ' x x* y y* y g x , y x y f ' x f x , y ' y g x , y g
x , y *
*
x
x , y *
x
*
f x * , y* x x* x x* y J x * , y* * * * * g x , y y y y y y
(CXXVII)
Donde (CXXVII) es un sistema que en la vecindad de X* x * , y* , se “comporta”
*
aproximadamente como un sistema lineal, donde J x , y
en X* x * , y* .
*
es el Jacobiano evaluado
Si hacemos: z x x* Z 1 * z 2 y y
Entonces el sistema (CXXVII) puede expresarse de la siguiente forma:
z' x' z' Z' 1' ' Z' 1' J x * , y* z 2 y z 2
Z ' J x * , y* Z
zz 1
2
(CXXVIII)
El sistema (CXXVIII) tiene la misma forma que el sistema (CXV) analizado anteriormente. Por tanto, la clasificación de un punto de equilibrio de (CIX) podrá realizarse de acuerdo a los criterios de la tabla II, teniendo en cuenta que en vez de utilizar la matriz “A” ahora deberemos emplear la matriz J x * , y* . En la tabla III se muestra en forma resumida el análisis de estabilidad local de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal bivariante, tal como el sistema (CIX).
391
CIRO BAZÁN ∆ 0
0
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS J 1 2 trJ 1 2
J 0
trJ 0 J 0
trJ 0 J 0
0
0
trJ 0 ó trJ 0
J 0
trJ 0
Autovalores de J Reales del mismo signo: 1 2 0
Reales del mismo signo: 1 2 0
Punto de equilibrio
Estabilidad
Nodo impropio
Estable
Nodo impropio
Inestable
Punto de silla
Estabilidad condicional (depende de la posición inicial). En general: inestable.
Foco (espiral)
Asintóticamente Estable
Foco (espiral)
Inestable
Centro (vórtice)
Marginal o neutralmente estable
Nodo propio (estrella)
Estable
Nodo propio (estrella)
Inestable
Reales de signo opuesto: 1 0, 2 0 ó 1 0, 2 0
Complejo conjugados: 1 i 2 i 0
0
J 0
trJ 0
Complejo conjugados: 1 i 2 i 0
0
J 0
trJ 0
Imaginarios puros: 1 i 2 i 0
J 0
trJ 0 0
j11 j22
Reales e iguales: 1 2 0
j12 j21 0 J 0
trJ 0 0
j11 j22
Reales e iguales: 1 2 0
j12 j21 0
Tabla III A continuación se presentan dos teoremas fundamentales sobre la estabilidad local y la estabilidad global de un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. 392
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Teorema de Lyapunov (1955): Sean f x , y y gx , y funciones de clase uno, C1, y sea
X* x * , y* algún punto de equilibrio tanto del sistema (CIX) así como también del sistema (CXXVIII). Para el sistema lineal (CXXVIII), X* x * , y* será
asintóticamente globalmente estable si y solo si los dos autovalores de
*
*
J x
*
, y*
tienen partes reales negativas, o equivalentemente, si y solo si J x , y tiene traza negativa y determinante positivo. Dado que (CXXVIII) se “comporta” aproximadamente como (CIX) cerca de X* x * , y* , entonces deducimos que en
este caso X* x * , y* es un punto de equilibrio asintóticamente localmente estable
del sistema (CIX). Teorema de Olech (1963): f x , y y g x , y funciones de equilibrio tanto del sistema J x * , y * el jacobiano de
Sea el sistema de ecuaciones diferenciales (CIX), con clase uno, C1, en 2 y sea X* x * , y* algún punto de (CIX) así como también del sistema (CXXVIII). Sea los sistemas (CIX) y (CXXVIII), y si se cumple
x , y g x , y 0
simultáneamente que: a) trJ x * , y * 0 en todo 2 , b) J x * , y * 0 en todo 2 , c)
* * en todo 2 . f x x * , y * g y x * , y * 0 en todo 2 o f y * * x * Entonces X x * , y* es un punto de equilibrio asintóticamente globalmente estable.
Aplicaciones económicas 1.- Modelo de crecimiento económico (Sydsæter, 2005): el capital K K t y el consumo C Ct satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: ' 2 f K , C K AK BK C ' g K , C C DA 2 BK C
(CXXVIII)
Donde A, B y D son constantes positivas. Construya un diagrama de fase para este sistema, asumiendo que “K” y “C” son no negativas. Halle los puntos de equilibrio y determine si son asintóticamente localmente estables. Solución: En este caso tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales no lineal, por tanto, para realizar un análisis dinámico cualitativo del modelo, y para determinar si los puntos de equilibrio del modelo son asintóticamente localmente estables tendremos que linealizar el sistema de ecuaciones en torno a cada uno de los puntos de equilibrio. Para determinar los puntos de equilibrio de este sistema vamos a calcular las ceroclinas, esto es: ' 2 2 f K , C K AK BK C 0 C AK BK ' g K , C C DA 2 BK C 0 C 0 K A 2 B
393
(317)
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Se aprecia que en el plano K-C la ceroclina K ' 0 es una parábola C AK BK 2 , y que C 0 (eje “K”) y K A 2B (recta perpendicular al eje
“K”) son apreciarse puntos
parte de la ceroclina C ' 0. El gráfico de estas ceroclinas puede en la figura 48. En la intersección de las ceroclinas se encontrarán los de equilibrio del sistema (CXXVIII): X* K* , C*
X1* 0, 0 , X *2 A B , 0 y X *3 A 2B , A 2 4B .
C
IV
III
X *3
A 2 4B
I
II K' 0 C' 0
X1*
A 2B
X *2
K
Figura 48 En la tabla IV se aprecia el signo de K ' y C ' en cada una de las regiones de la figura 48. Las apropiadas líneas de fuerza y algunas sendas de fase consistentes con las líneas de fuerza han sido bosquejadas en la figura 49. K ' K A BK C
C ' DA 2BK C
K A 2B
K A 2B
Región
I :
C K A BK
II :
C K A BK K A 2B III : C K A BK
IV :
K A 2B
C K A BK
Tabla IV De la tabla IV podemos observar que “K” crecerá conforme transcurra el tiempo en las regiones (I) y (II), mientras que decrecerá en las regiones (III) y (IV). Asimismo, se observa que “C” aumentará conforme transcurra el tiempo en las regiones (I) y (III), mientras que decrecerá en las regiones (II) y (IV).
394
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
C
g x , y
X *3
f x , y g x , y f x , y
X1*
A 2B
g x , y
X *2
K
Figura 49 Para posteriormente determinar los gradientes de “f” y “g” sobre cualquier punto de las ceroclinas f K, C K ' 0 y g K, C C ' 0, primero vamos a calcular los gradientes de “f” y “g” para cualquier punto K , C del plano de fase K-C: f K K , C A 2 BK f K , C f C K , C 1 g K K , C 2 BDC g K , C g C K , C DA 2 BK
Se puede apreciar que para cualquier punto de la ceroclina f K, C K ' 0 se tiene que: Para K A 2B : f K K , C A 2 BK 0 f K , C f C K , C 1 0
Para K A 2B : f K K , C A 2 BK 0 f K , C f C K , C 1 0
Asimismo, se puede apreciar que para cualquier punto de la ceroclina g K, C C ' 0 se tiene que:
395
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Para K A 2B C 0 : 0 g K K , C 0 g K , C g C K , C DA 2 BK 0
Para K A 2B C 0 : 0 g K K , C 0 g K , C g K , C D A 2 BK 0 C
Para K A 2B C 0 : g K K , C 2 BDC 0 g K , C 0 0 g C K , C
En la figura 49 se han dibujado los gradientes de “f” y “g” sobre las ceroclinas f K, C K ' 0 y g K, C C ' 0 respectivamente. El gradiente de “f” apunta hacia las región donde f K, C K ' 0 y el gradiente de “g” apunta hacia la región donde g K, C C' 0 . Esto corrobora los resultados obtenidos en la tabla IV. Ahora para realizar el análisis de estabilidad vamos a calcular el jacobiano del sistema de ecuaciones diferenciales (CXXVIII) y lo evaluaremos en sus puntos de equilibrio: 1 f K , C f C K , C A 2 BK J K , C K g K , C g K , C 2 BDC D A 2 BK C K
Para X1* 0, 0 , se tiene: A 1 J 0,0 0 DA
En este caso, se tiene que:
trJ K * , C* trJ0,0 A DA A1 D 0
J K * , C* J 0,0 DA 2 0
A1 D 2 4 DA2 A1 D 2 0
Por tanto, X1* 0, 0 es asintóticamente localmente inestable. Si D 1 0,
entonces X1* 0, 0 sería un nodo propio asintóticamente localmente inestable, pero si D 1 0, entonces asintóticamente localmente inestable.
X1* 0, 0
396
sería un nodo impropio
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Para X *2 A B , 0 , se tiene: 1 A J A B ,0 0 DA
En este caso, se tiene que:
J K
trJ K * , C* trJA B ,0 A DA A1 D 0 *
, C* J A B ,0 DA 2 0
A1 D 2 4 DA2 A1 D 2 0
Por tanto, X *2 A B , 0 es asintóticamente localmente estable. Si D 1 0, entonces X *2 A B , 0 sería un nodo propio asintóticamente localmente estable, pero si D 1 0, entonces X *2 A B , 0 sería un
nodo impropio asintóticamente localmente estable.
J A 2 B , A
Para X *3 A 2B , A 2 4B , se tiene:
0 1 4B 2 DA 2 0
2
En este caso, se tiene que:
trJ K * , C* trJ A 2B , A 2 4B 0
J K * , C* J A 2B , A 2 4B DA 2 2 0
0 2 4 DA2 2 2DA2 0
Por tanto, X*3 A 2B , A2 4B es asintóticamente localmente inestable. En este caso, al ser el determinante del jacobiano negativo y el discriminante mayor a cero, resulta que X*3 A 2B , A2 4B es un punto de silla normalmente asintóticamente localmente inestable.
2.- Capital humano en un modelo de crecimiento económico25 (Gandolfo, 1997): En este modelo se supone que la economía crea riqueza a partir del capital humano “KH”, del capital físico “K”, y del trabajo calificado “AL” a través de una misma función de producción que presenta rendimientos decrecientes para todo el capital. Asimismo, se supone que una proporción constante de la producción se destina a crear capital físico adicional y otra a crear capital humano adicional. Finalmente, se supone que tanto la tecnología “A” como la población “L” crecen exponencialmente con tasas constantes “η” y “γ” respectivamente. El sistema de ecuaciones que rigen este modelo son26: 25
Para más detalles véase: Mankiw, N., Romer, D. y Weil, D. “A contribution to the Empirics of Economic Growth”. Quarterly Journal of Economics, 107, Mayo 1992, 407-437. 26 A diferencia del modelo original, aquí se asume que no hay depreciación de capital físico ni humano.
397
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Y K AL K ' Y , ' K H Y , ' A A , ' L L,
K H
1
, 1 0, 1 0 y 0 1 1 0 1 0
(318)
10 1 0
Se pide: a)
Reduzca el sistema de ecuaciones en uno de 2*2 y expréselo en términos de “k” y de “kh”. Siendo k h KH AL y k K AL.
b) Si se tiene que y Y AL. Determine los valores de equilibrio k*h , k* para el primer cuadrante abierto del plano kh-k. Asimismo, determine el valor de equilibrio de “y”. Interprete los resultados. c) Dibuje las ceroclinas del sistema en el primer cuadrante abierto del plano kh-k. Luego bosqueje algunas líneas de fuerza alrededor del punto de equilibrio del sistema. d) Linealice el sistema, analice su estabilidad e interprete resultados. Solución: a)
Para resolver este apartado primero vamos a derivar respecto del tiempo a“k” y a “kh” respectivamente:
K ' AL K H A'L AL' k h K H AL k 'h H AL2 K 'AL K A'L AL' ' k K AL k AL2
K' K A 'L AL' K 'H K H A ' L' k 'h H H k 'h AL AL AL AL AL AL A L ' K' K A 'L AL' K' K A' L' k' k AL AL AL AL AL AL A L
Teniendo en cuenta las dos últimas ecuaciones de (318) y la información del apartado a) tenemos que: K' k 'h H k h AL K' ' k k AL
(319)
Por otro lado, teniendo en cuenta la información del apartado b) y dividiendo la segunda y tercera ecuaciones de (318) entre “AL” tenemos que: 398
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO K 'H Y y AL AL ' Y K y AL AL
(320)
Reemplazando (320) en (319) se tiene que: ' k h y k h ' k y k
(321)
Dividiendo la primera ecuación de (318) entre “AL”, y teniendo en cuenta la información de los apartados a) y b) se obtiene: Y
AL
AL1 AL AL AL1 K
K H
y k k h
K y AL
KH AL
(322)
Reemplazando (322) en (321) resulta: ' f k h , k k h k k h k h ' gk h , k k k k h k
(323)
b) Para determinar los puntos de equilibrio de este sistema vamos a calcular las ceroclinas, esto es: a 1 1 1 ' kh k h 0 k ak h 0 ya que : a 0 k h 0 b 1 1 ' 1 1 kh bkh 0 ya que : b 0 k h 0 k 0 k
Resolviendo el sistema de ecuaciones (324) se obtiene: 1 1 1 1 1 1 * X k*h , k* ,
Reemplazando X* en (322) resulta: 1
1 y*
399
(326)
(325)
(324)
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Se aprecia que los valores de equilibrio X*, y* dependen directamente de las tasas de ahorro “λ” y “δ”. Por tanto, un incremento en cualquiera de estas tasas significaría tener en el largo plazo un mayor stock de capital humano por unidad de trabajo calificado, un mayor stock de capital físico por unidad de trabajo calificado y un mayor ingreso por unidad de trabajo calificado. Asimismo, ante una mayor tasa de progreso tecnológico “η” o ante una mayor tasa de crecimiento poblacional “γ”, en el largo plazo, menores serán los valores de equilibrio por unidad de trabajo calificado. c) Ahora vamos a dibujar las ceroclinas del sistema (324), que se interceptan en el punto de equilibrio del sistema: 1 1 1 1 1 1 1 * a a 1 , b 1 X k*h , k* , b b
Para ello, calcularemos dk dkh y d 2k dk2h para averiguar los intervalos de crecimiento/decrecimiento y de concavidad/convexidad de ambas ceroclinas en para k h 0 y k 0. 1
Para la ceroclina,
k 'h
0, k
1
1
k h ak h
se tiene:
1 1 dk a kh 0 kh 0 dkh 1 2 2 d k a1 1 k 0 kh 0 h dk2 2 h
En consecuencia, la ceroclina f k h, k k 'h 0 es una función estrictamente creciente y estrictamente convexa para k h 0. 1
Para la ceroclina, gk h, k k ' 0, k
b 1 dk 1 0 k h 0 1 dkh k h 1 2 1 2 b 1 d k k h 1 0 k h 0 2 2 1 dkh
400
1 k h1 bkh1 se tiene:
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO En consecuencia, la ceroclina k ' 0 es una función estrictamente creciente y estrictamente cóncava en k h 0. Además, note que: dk lím k h 0 dk h
dk lím k h 0 dk h
1 1 1 lím a kh 0 f k h , k k 'h 0 k h 0
b 1 lím 1 gk h , k k ' 0 k h 0 1 k h 1
En la figura 50 se aprecia el diagrama de fase del sistema (324). k 'h 0
k
k*
X*
k' 0
gk h , k
f k h , k
k *h
kh
Figura 50 Para posteriormente determinar los gradientes de “f” y “g” sobre cualquier punto de las ceroclinas f k h, k k 'h 0 y gk h, k k ' 0, primero vamos a calcular los gradientes de “f” y “g” para cualquier punto kh, k del plano de fase kh-k, con kh 0 y k 0 : f k k h , k kk h1 f k h , k h k1k h f k k h , k
g k k h , k kk h1 gk h , k h 1 g k k h , k k k h
401
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Se puede apreciar que para cualquier punto de la ceroclina f k h , k k 'h 0, con kh 0 y k 0, se tiene que: kk h1 1 0 f k h k h , k 1 1 f k h , k k k h k k h 1 f k k h , k k k h 0 1 k k h
Asimismo, se puede apreciar que para cualquier punto de la ceroclina gk h, k k ' 0, con kh 0 y k 0, se tiene que: kk h1 1 0 g k h k h , k k k 1 1 gk h , k k k h k k h 1 h g k k h , k k k h 1 0
En la figura 50 se han dibujado los gradientes de “f” y “g” sobre las ceroclinas f k h, k k 'h 0 y gk h, k k ' 0, respectivamente. El gradiente de “f” apunta hacia las región donde f k h, k k 'h 0, y el gradiente de “g” apunta hacia la región donde gk h, k k ' 0. d) Ahora para realizar el análisis de estabilidad vamos a calcular el jacobiano del sistema de ecuaciones diferenciales (CXXVIII) y lo evaluaremos en sus puntos de equilibrio: fk k h, k fkkh, k kkh 1 k 1kh Jkh, k h 1 1 g k , k g k , k k k h k kh k h k h h
Para X* se tiene:
J k*h , k*
1
1
En este caso, se tiene que:
trJ k*h, k* 2 0 en todo 2
J k*h, k* 21 0 en todo 2 2 22 4 21 2 2 0
402
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO
Por tanto, gracias al teorema de Lyapunov, X* es un nodo impropio asintóticamente localmente estable del sistema (323). Además, gracias a que se verifica que f k h X* g k X* 1 1 0 en todo 2 ,
por el teorema de Olech, X* también es un nodo impropio asintóticamente globalmente estable del sistema (323). 3.- Modelo de contaminación (Sydsæter, 2005): En este modelo, K K t representa el stock de capital de la economía y P Pt denota el nivel de contaminación en el instante “t”. La dinámica del modelo es descrita por el siguiente sistema.
' 1 K K sK ' P K P
(327)
Donde 0 s 1, 0 1, 0, 0, y 1. Encontrar el punto de equilibrio
K , P en el primer cuadrante abierto, y verificar (si es posible) la estabilidad *
*
del punto de equilibrio utilizando el teorema de Lyapunov. Encuentre una expresión explícita para K t cuando K 0 K 0 0, y determine lím K t . t
Para resolver el problema, primero vamos a determinar las ceroclinas. Para ello vamos a igualar a cero las dos ecuaciones que aparecen en (327), de donde resulta: 1 s 1 f K, P K ' K sK 1 0 K 0 K 1 1 gK, P P' K P 0 K P
(328)
Dado que estamos trabajando en el primer cuadrante abierto, entonces descartamos la posibilidad que K 0. Por tanto, el punto de equilibrio del 1
1
1
sistema resultará de igualar K s 1 con K P . Esto es:
K , P s *
*
1 1
,
s 1
Ahora calcularemos el jacobiano del sistema: f K, P f PK, P sK 1 0 JK, P K 1 g K K, P g PK, P K
403
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Evaluando el jacobiano en el punto de equilibrio K * , P* se obtiene: 1 1 J K*, P* s 1
0
De donde se obtiene: trJ K*, P* 1 0
J K*, P* 1 0
Por tanto, de acuerdo al teorema de Lyapunov, el punto de equilibrio K * , P* es asintóticamente localmente estable. De la primera ecuación de (328) se tiene:
K ' sK K 0 K ' K sK
K' K
K1 s
329
La ecuación (329) es una ecuación diferencial de Bernoulli. Para resolverla vamos a realizar el siguiente cambio de variable: y K1 330
Derivando (330) respecto del tiempo se obtiene:
y'
dy
dt
dy dK
dK dt
1 K K '
K' K
y'
1
Reemplazando (330) y (331) en (329) resulta: y'
1
y s y' 1 y 1 s
404
332
331
MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO Por (XXI), la solución general de (332) viene dada por:
yt e 1t A e 1t 1 sdt
s s yt e 1t A e 1t Ae 1t
333
Sustituyendo (330) en (333) resulta: 1
s 1 Kt Ae 1t
334
Reemplazando las condiciones iniciales en (334) resulta: 1
s 1 s K 0 A A K10
335
Reemplazando (335) en (334) se tiene: 1
s s 1 Kt K10 e 1t
Finalmente, el límite pedido resulta: 1
s 1 lím Kt K* t
405
336
CIRO BAZÁN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
406
Apéndice Integrales indefinidas Muchas veces, dada una función continua f x, uno está interesado en encontrar una función Fx tal que su derivada sea f x . Tal función es denominada una antiderivada de f x . Por ejemplo, si f x 24x3, entonces 6x 4 10 es una de sus antiderivadas, y
también lo es 6x 4 8, o cualquier función de la forma 6x 4 K, donde “K” es una constante. Por lo anterior, es fácil darse cuenta que todas las antiderivadas de una función dada difieren entre si sólo por una constante. Por esta razón, es conveniente definir la integral indefinida de una función dada f x como la forma general de sus antiderivadas; ésta siempre contiene una constante arbitraria. El símbolo para ésta es:
f xdx.
Integrales indefinidas de algunas funciones 1.-
3.-
x
5.-
a x dx
f 'xef xdx ef x K
7.-
axdx ax K 1
dx lnx K ax
K;
ln a
a 0
x n 1
2.-
4.-
e dx e
6.-
8.-
x n dx
x
n 1 x
K;
n 1
K
f 'xa f xdx
a f x
K
ln a
f ' x
f x dx ln f x K; f x 0
Propiedades de integrales indefinidas 1.-
cf xdx c f xdx, para cualquier constante “c”,
2.-
f x gxdx f xdx gxdx.
Integración por partes ' ' u xvxdx uxvx uxv xdx 5.1
Ejemplos: 1.- I xe x dx Sea u 'x ex y vx x, entonces: ux
u xdx e dx e '
x
x
v'x 1
Por tanto: I
xe
x
dx ex x ex dx ex x ex ex x 1 K
2.- I x 2ex dx Sea u 'x ex y vx x 2, entonces: ux
u xdx e dx e '
x
x
v'x 2x
Por tanto: I
xe
x
dx ex x 2 2xe x dx ex x 2 2 xe x dx
Haciendo uso del resultado del primer ejemplo se tiene: I
xe
x
dx ex x 2 2ex x 1 K ex x 2 2x 2 K
Integración por sustitución
fgx g xdx f udu, donde u gx. '
5.2
Ejemplos: 1.- I 2xe x dx 2
Sea ux x 2 gx g'x 2x f gx ex f u eu, entonces: 2
I
2xe
x2
dx
e du e u
408
u
2
K ex K
2x
x 2 1 dx
2.- I
1
Sea ux x 2 1 gx g'x 2x f gx
I
2x
x 1 2
1
f u
x 2 1 dx u du lnu K lnx
2
1
, entonces:
u
1 K
Integrales definidas b
f xdx Fb Fa
5.3
a
Donde Fx es cualquier antiderivada de f x . En la integral definida, “a” y “b” son denominados límites superior e inferior de una integral. La variable “x” en la integral definida puede reemplazarse por cualquier otra variable sin afectar el valor de la misma. Por ejemplo: b
f xdx
a
b
f d Fb Fa a
Ejemplos: 5
1.- I e x dx 2
Ya que Fx ex K, entonces: 5
I
e dx F5 F2 e x
5
e2 141,02
2
5x
2
2.- I
2
3x 2 dx
0
Ya que Fx
5
x3
3
x 2 K, entonces:
2
5x 2
I
3
0
2
40 12 0 7,33 3x 2 dx F2 F0 2 3
409
Propiedades b
1.-
a
f xdx
a b
5.-
a
b
c
f xdx f xdx;
a
a b c
b
b
b
b
b
b
a
a
a
b
b
8.-
a
f x gxdx f xdx gxdx
6.-
u 'xvxdx uxvxa uxv'xdx
a
a
a b
b
f xdx f xdx
4.-
b
cf xdx c f xdx
a
7.-
f x dx 0
2.-
b
c
3.-
a
a
f x dx f x dx
f gxg'xdx
a
a
b
f udu, dondeu gx a
Derivadas bajo el signo de integración: reglas de Leibniz 1.
Supóngase que f x, t y f x, t x son funciones continuas sobre el rectángulo determinado por a x b, c t d, que hx y gx son
funciones de clase uno C1 sobre a, b, y que los rangos de hx y gx son contenidos en c, d. Por tanto, si: φx
gx
dφx
hx
dx
f x, t dt
f x, gx g 'x f x, hx h 'x
gx
f x, t x dt
hx
Si hx m y gx n son constantes que pertenecen al intervalo a, b, entonces: φx
n
f x, t dt
m
2.
dφx dx
n
f x, t x dt m
Supóngase que f x, t y f x, t x son funciones continuas para todo t c y todo “x” en a, b, y supóngase que la integral
f x, t dt
converge para cada
c
“x” en a, b. Supóngase además que f x, t x es integrablemente acotada en el sentido que existe una función qt, independiente de “x”, tal que f x, t x qt t c x a, b, y tal que
qtdt converja. Entonces: c
d f x, t dt c dx
410
c
f x, t x
dt
Derivadas de funciones trigonométricas Derivadas del sen θ y cos θ Si f θ sen θ : Entonces: f θ Δθ sen θ Δθ sen θ cos Δθ cos θ sen Δθ Aplicando la definición analítica de la derivada de una función: f θ Δθ f θ sen θ Δθ sen θ f ' θ lím lím Δθ 0 Δθ 0 Δθ Δθ sen θ . cos Δθ cos θ . sen Δθ sen θ lím Δθ 0 Δθ
sen θ cos Δθ 1 cos θ . sen Δθ lím lím Δθ 0 Δθ 0 Δθ Δθ
cos θ 1 sen Δθ lím cos θ lím f ' θ lím sen θ lím Δθ 0 Δθ 0 Δθ 0 Δθ 0 Δθ Δθ
cos θ 1 sen Δθ cos θ lím f ' θ sen θ lím Δθ Δθ 0 Δθ 0 Δθ
Ahora vamos a calcular cada uno del los límites que conforman f ' θ . En primer lugar vamos a ayudarnos de la gráfica del cos θ para determinar el valor cos θ 1 . Δθ
del lím Δθ 0
Cos θ Pendiente = d(Cos θ)/dθ| θ = 0 = 0
–π/2
0
π/2
Figura I 411
θ(radianes)
La figura I muestra una parte de la gráfica de la función cosθ para valores cercanos a θ 0 . Se puede observar que la recta tangente a la gráfica en θ 0 es horizontal, por lo que su pendiente será igual a cero en dicho punto; de ahí que la derivada del cosθ en θ 0 , es cero. Utilizando la definición analítica de la derivada de una función: d cos θ dθ
cos θ Δθ cos θ cos θ ' lím Δθ 0 Δθ
Para 0 : d cos θ dθ
θ 0
cos 0 Δθ cos 0 cos θ ' θ 0 lím Δθ0 Δθ
cos θ ' θ 0
cos Δθ 1 0 lím Δθ 0 Δθ sen Δθ haciendo uso de un círculo Δθ
En segundo lugar vamos a calcular el lím Δθ 0 de radio unitario.
y
P(x, y) 1 0
θ x
y Q
Figura II De la figura II tenemos: y sen θ
PQ 1
412
PQ .
R
x
Como “” se mide en radianes, se obtiene que: = P R sen θ θ
PQ
sen θ lím lím θ 0 θ θ 0
PR
PQ PR
Podemos observar en la circunferencia que cuando θ 0 , la magnitud de PQ prácticamente coincide con el arco de circunferencia PR, por lo tanto: sen θ lím lím θ 0 θ θ 0
PQ PR
1
Por lo que si hacemos Δθ θ , tenemos que: sen Δθ lím Δθ
Δθ 0
1
Reemplazando estos límites en f ' θ , tenemos que: f ' θ 0sen θ cos θ 1 cos θ
Por tanto: d senθ
cosθ
dθ
Si f θ cos θ Ahora vamos a calcular
d cos θ dθ
.
Sabemos que: π π cos θ sen θ si hacemos U f θ θ cos θ sen U g U 2 2
Aplicando la regla de la cadena: d cos θ dθ
dg U
dU
π
dU dθ
d sen U dU
Reemplazando U θ , tenemos que: 2 413
dU dθ
cos U ( 1) cos U
d cos θ dθ
cos π 2 θ sen θ
Por tanto: d cos θ
sen θ
dθ
Derivadas de otras funciones trigonométricas
sen θ
tg θ
cos θ
d tg θ dθ
sen θ ' . cos θ sen θ . cos θ ' cos θ 2
d tg θ dθ
ctg θ
dθ 1 cos θ
1
sec2 θ
cos2 θ
dθ 1 sen θ
d csc θ dθ
sen 2 θ cos2 θ 2
sen θ
sen θ . sen θ cos θ . cos θ
sen 2 θ cos2 θ 2
sen θ
sen 2 θ
1 sen 2 θ
csc2 θ
cos θ 1
d sec θ
csc θ
cos θ
cos θ ' . sen θ cos θ . sen θ ' sen θ 2
d ctg θ
2
sen θ
dθ
sec θ
cos2 θ sen 2 θ
cos2 θ
cos θ
d ctg θ
cos θ . cos θ sen θ . sen θ
cos θ 2 sen θ
sen θ
cos θ
2
1 cos θ
sen θ cos θ sec θ . tg θ
sen θ 1
sen θ 2 cos θ
cos θ
sen θ
2
414
1 cos θ csc θ . ctg θ sen θ sen θ
Integrales de algunas funciones trigonométricas De las derivadas de las funciones trigonométricas que se han obtenido en el apartado anterior podemos obtener algunas integrales de las funciones trigonométricas fundamentales.
I
send
Sabemos que: d cosθ dθ
senθ d cosθ senθd
senθd cos k
I
I
dcosθ senθd
cos d
Sabemos que: d senθ dθ
cosθ d senθ cosθo
I
I
sec
2
dsenθ cosθd
cosθd sen k
θd
Sabemos que: d tg θ dθ
sec 2 θ d tg θ sec 2 θd
I
I
csc
2
sec
2
dtg θ sec
2
θd
θd tg k
θd
Sabemos que: d ctg θ dθ
csc 2 θ d ctg θ csc 2 θd θ
I
csc
2
dctg θ csc
θd θ ctg k
415
2
θd θ
I
sec θ tg θ d
Sabemos que: d sec θ dθ
sec θ tg θ d sec θ sec θ tg θ d
I
I
dsec θ sec θ tg θ d
sec θ tg θ d sec k
csc θ ctg θ d
Sabemos que: d csc θ dθ
csc θ ctg θ d csc θ csc θ ctg θ d
I
dcsc θ csc θ ctg θ d
csc θ ctg θ d csc θ k
Números complejos o imaginarios 1.- Un número complejo “z” y su conjugado “ z ”:
a y b i
z a bi; z a bi
2
1
Eje imaginario z a bi z a 2 b2
b
Eje real
a b
z a 2 b2
z a bi
Figura III 416
2.- El módulo o magnitud de un número complejo: z r a 2 b2
3.- Reglas básicas de dos números complejos z1 y z2 : z1 z1 z z z 2 1 1 1 zs z1 z 2 zs z1 z2 z z z z 1 2 1 2 z z z z 2 1 2 1
4.- Suma y resta de números complejos: z1 z 2 a bi c di a c b di z1 z 2 a bi c di a c b di
5.- Multiplicación y división de números complejos: z1 z 2 a bi c di ac bd ad bci z1 c di 1 ac bd ad bci 2 z a bi a b2 2
6.- Forma polar de un número complejo: 2 2 z a bi a b cos isen rcos isen a b Donde : cos y sen a 2 b2 a 2 b2
7.- Suma y resta de formas polares: z1 z 2 r1 cos 1 r2 cos 2 ir1sen1 r2sens2 z1 z 2 r1 cos 1 r2 cos 2 ir1sen1 r2sens2
8.- Multiplicación y división de formas polares: z1 z 2 r1r2cos1 2 isen1 2 z1 r1 cos1 2 isen1 2 z2 r2
417
9.- Fórmula de Moivre:
cos isenn
cosn isenn;
n 0, 1, 2,
10.- Las fórmulas de Euler: ei cos isen i cos isen e a bi ea e bi ea cos b isenb e e i e i cos 2 e i e i sen 2i
11.- Forma exponencial de un número complejo: z a bi a 2 b2 cos isen rcos isen rei
Teorema de Taylor Versión unidimensional: Sea f x una función de una variable real. El teorema de Taylor nos dice que podemos aproximar esta función alrededor del punto x* con un polinomio de grado “n” como sigue:
f x f x*
Donde
x x 1 d f x x x dx 2! dx
df x*
d n f x* dxn
2
*
*2
*
2
x x dx
1 d n f x* n!
*n
n
Rn
5.4
es la “n”-ésima derivada de “f” respecto a “x” evaluada en el punto
x*, n! n n 1 n 2 3 2 1 es el factorial de “n”, y “ R n ” es un residuo o
resto. La expresión de la ecuación (5.4), sin considerar “ R n ”, es la denominada expansión de las series de Taylor de f x alrededor de x*.
f x f x*
x x 1 d f x x x dx 2! dx
df x*
2
*
*2
*
2
418
x x dx
1 d n f x* n!
n
*n
5.5
La presencia del residuo “ R n ” en la ecuación (5.4) indica que la expansión de Taylor no es una fórmula exacta para f x . El teorema de Taylor describe las condiciones bajo las cuales la aproximación (la ecuación (5.4) sin el residuo) se hace más exacta según “n” aumenta. Versión bidimensional: Sea f x1, x 2 una función real dos veces diferenciable. Podemos aproximar f x1, x 2
alrededor del punto x1*, x*2 con una expansión de segundo orden tal como se muestra a continuación: x ,x f xdx, x x x f dx x x 1 f x , x x x 2 f x , x x x x x
* 1
f x1, x 2 f x1*, x*2
* 2
* 1
* 1
1
2
* * 1 2 x12
2f x1*, x*2 x12
x
2
* 2
2
1
2
* 2
2
2
*2 1
1
* 1
* 2
1
x1x 2
x*2 R 2
* 1
*2 2
2
(5.6)
La aproximación lineal de f x1, x 2 alrededor de x1*, x*2 está dada por los tres primeros términos que aparecen a la derecha del signo de igualdad de la ecuación (5.6).
f x1, x 2 f x1*, x*2
f x1*, x*2 dx1
x
1
x1*
419
f x1*, x*2 dx2
x
2
x*2
(5.7)
420