ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

´ y metodos ´ Introduccion elementales de ´ resolucion

7.1. Generalidades Llamamos ecuaci´on diferencial a toda ecuaci´on que relacione una o m´as variables independientes, una funci´on de dichas variables y una o varias de sus derivadas con respecto a ellas. Cuando s´olo hay una variable independiente se denomina ecuaci´on diferencial ordinaria (EDO), mientras que si hay m´as de una variable independiente y derivadas parciales respecto de ellas recibe el nombre de ecuaci´on diferencial en derivadas parciales (EDP). En este curso s´olo nos ocuparemos de las EDOs. La importancia de las ecuaciones diferenciales reside en el hecho de que muchas leyes de la naturaleza, tanto en f´ısica, como en qu´ımica o como en biolog´ıa, encuentran su expresi´on m´as natural en t´erminos de ecuaciones diferenciales. Sus aplicaciones se extienden incluso a la matem´atica (sobre todo a la geometr´ıa), la ingenier´ıa, la econom´ıa, la sociolog´ıa. . . La raz´on u´ ltima de esta ubicuidad de las ecuaciones diferenciales es que las derivadas expresan tasas de cambio, y una buena parte de las leyes que encontramos en las mencionadas disciplinas expresan relaciones entre una funci´on y sus tasas de cambio. Por ejemplo, la segunda ley de

128

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Newton,

d2 x = F, dt2 expresa la relaci´on de proporcionalidad (con constante m) que existe entre la fuerza y la aceleraci´on (o variaci´on de la velocidad en el tiempo); la ley de Malthus, m

dN = κN, dt expresa la proporcionalidad entre la velocidad de crecimiento de una poblaci´on y la propia poblaci´on; la ecuaci´on de Laplace, ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y 2 expresa la propiedad de u(x, y) de ser una funci´on arm´onica (parte real o imaginaria de una funci´on anal´ıtica); etc. Formalmente, expresamos una EDO como ³ ´ ′ (n) F x, y, y , . . . , y = 0, donde y = y(x) es la funci´on y las primas denotan sus derivadas. El orden de la derivada m´axima involucrada define el orden de la EDO. Sin poner restricciones sobre F , la ecuaci´on anterior es excesivamente general y muy poco puede decirse de ella. Cuando se restrige la forma de F se pueden definir clases de EDOs, muchas de las cuales son resolubles. Una soluci´on de una EDO es una funci´on y(x) que sustituida en la ecuaci´on anterior la convierte en una identidad. Por ejemplo, la ecuaci´on de segundo orden y ′′ − 5y ′ + 6y = 0 tiene como soluciones y(x) = e2x ,

y(x) = e3x ,

o cualquier combinaci´on lineal arbitraria de ellas: y(x) = c1 e2x + c2 e3x . La soluci´on a veces se obtiene como una ecuaci´on impl´ıcita que relaciona y y x; por ejemplo, xy = ln y + c

7.1 Generalidades

129

es una ecuaci´on impl´ıcita que determina la soluci´on y(x) de la ecuaci´on y2 y = 1 − xy para toda constante c (lo que se puede verificar derivando impl´ıcitamente y despejando y ′ ). Las curvas que describen las soluciones de una EDO se denominan curvas integrales. Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto el hecho de que las soluciones de las EDOS dependen de constantes indeterminadas, de manera que hay familias param´etricas de funciones que resuelven una misma EDO. Esto es bastante general, aunque no necesariamente ocurre siempre; por ejemplo, la ecuaci´on ′

2

(y ′ ) + 1 = 0 carece de soluci´on real, y la ecuaci´on 2

(y ′ ) + y 2 = 0 no tiene m´as soluci´on que y = 0. As´ı como, en general, la soluci´on de una EDO es una familia de curvas, dada una familia param´etrica de curvas se puede hallar (en condiciones muy generales) la ecuaci´on diferencial de la que son curvas integrales. Por ejemplo, si la familia est´a dada por la ecuaci´on f (x, y, c) = 0, con c el par´ametro que describe la familia, derivando impl´ıcitamente se puede hallar otra ecuaci´on g (x, y, y ′ , c) = 0. Despejando c en una de las ecuaciones y sustituyendo en la otra se llega a la EDO F (x, y, y ′ ) = 0. Ejemplo 7.1. Sea la familia de circunferencias descrita por x2 + y 2 = 2cx. Derivando respecto a x, 2x + 2yy ′ = 2c

⇒

x + yy ′ = c.

Como c est´a despejada en esta ecuaci´on, sustituimos en la otra y obtenemos x2 + y 2 = 2x(x + yy ′ ) = 2x2 + 2xyy ′

⇒

y′ =

y 2 − x2 . 2xy

Esta es la ecuaci´on diferencial cuyas curvas integrales son las circunferencias anteriores.

130

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Una observaci´on interesante al hilo de la b´usqueda de la EDO que verifica una familia de curvas, es que podemos hallar tambi´en una EDO para la¡ familia¢ de curvas ortogonal a la primera. El motivo es que si en un punto dado x, y(x) la pendiente de la curva es m = y ′ (x), un vector tangente a la curva en ese punto es (1, m). Entonces, si (1, m′ ) es el vector tangente a la curva ortogonal en ese mismo punto, (1, m) · (1, m′ ) = 1 + mm′ = 0

⇒

mm′ = −1.

As´ı que la pendiente de la curva ortogonal ser´a m′ = −

1 dx =− . ′ y dy

No tenemos m´as que cambiar dy/dx por −dx/dy en la EDO de la familia original de curvas y tendremos la EDO de su familia ortogonal. Ejemplos 7.2. (1) En el ejemplo anterior obtuvimos y 2 − x2 dy = dx 2xy como la EDO cuyas curvas integrales son x2 + y 2 = 2cx. La de la familia ortogonal ser´a, pues, dx x2 − y 2 = . dy 2xy Como esta ecuaci´on es id´entica a la anterior intercambiando x e y, la familia ortogonal de curvas ser´a x2 + y 2 = 2cy. (2) La familia de circunferencias centradas en el origen x2 + y 2 = c satisface la EDO 2x + 2yy ′ = 0

dy x =− . dx y

⇒

Su familia ortogonal verificar´a y dy = , dx x que podemos tambi´en escribir 1 d ln y = dx x y que, por lo tanto, tiene como soluci´on ln y = ln x + ln c

⇒

y = cx.

Es decir, las curvas ortogonales a las circunferencias conc´entricas con el origen son las rectas que pasan por el origen.

7.2 Ecuaciones de primer orden

131

7.2. Ecuaciones de primer orden Para empezar de lo simple a lo complicado partiremos del orden m´as bajo para una EDO. Adem´as, nos restringiremos a aqu´ellos casos en los que y ′ se puede despejar como dy = f (x, y). (7.1) dx Incluso una ecuaci´on tan sencilla como e´ sta no puede resolverse en todos los casos, as´ı que limitaremos nuestro estudio a una serie de tipos can´onicos para los que se dispone de una t´ecnica mec´anica de resoluci´on. Para el resto de los casos, encontrar una soluci´on es un arte, y no hablemos de hallar un m´etodo general de resoluci´on de un tipo nuevo de ecuaciones. En lo que a aspectos generales de la ecuaci´on (7.1) se refiere, veamos el siguiente argumento acerca de sus soluciones. Supongamos que f (x, y) es una funci´on continua en un rect´angulo R del plano. Partamos del punto (x0 , y0 ) ∈ R; entonces, por (7.1) sabemos que la pendiente de la curva y = y(x) que pasa por ese punto es f (x0 , y0 ). En un peque˜no intervalo ∆x la curva no se separa mucho de la recta y = y0 + f (x0 , y0 )(x − x0 ), as´ı que podemos tomar el punto cercano ¡ ¢ (x1 , y1 ) = x0 + ∆x, y0 + f (x0 , y0 )∆x ,

que estar´a pr´acticamente sobre la curva, y observar que la pendiente en ese nuevo punto ser´a f (x1 , y1 ). Repitiendo el argumento construimos una aproximaci´on a la soluci´on y = y(x), tanto mejor cuanto m´as peque˜nos sean los “pasos” ∆x. Esto podemos hacerlo desde cada punto del rect´angulo R, de modo que, a la vista de este razonamiento, el siguiente teorema resultar´a plausible: Teorema 7.1 (de Piccard). Si f (x, y) y ∂f /∂y son funciones continuas en un rect´angulo cerrado R, por cada punto (x0 , y0 ) del interior de R pasa una u´ nica curva integral de la ecuaci´on y ′ = f (x, y).

La soluci´on general de la ecuaci´on (7.1) es una familia uniparam´etrica de curvas y = y(x, c). Si consideramos la curva integral que pasa por (x0 , y0 ), tendremos que y0 = y(x0 , c) determina la constante c para esa curva concreta. El teorema de Piccard afirma que se puede obtener una y s´olo una constante c para cada punto del rect´angulo R.

132

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Llamemos c0 al valor que resulta para la constante c. En ese caso, la curva integral que pasa por (x0 , y0 ) ser´a y = y(x, c0 ). A esta soluci´on se la conoce como soluci´on particular de la ecuaci´on que satisface la condici´on inicial y = y0 cuando x = x0 , y el problema que acabamos de resolver se denomina problema de valores iniciales de la ecuaci´on (7.1). En lo que sigue nos vamos a centrar en hallar la soluci´on general de los tipos can´onicos de la ecuaci´on (7.1) que pueden resolverse. En aras de la claridad, omitiremos de la discusi´on todas las cuestiones relativas a la continuidad, derivabilidad, anulaci´on de denominadores, etc. 7.2.1.

Ecuaciones de variables separadas

El tipo m´as simple de ecuaci´on (7.1) es la ecuaci´on de variables separadas, cuya forma es dy = g(x)h(y). dx La manera de resolverla es escribirla como Z Z dy = g(x) dx + c h(y) y hallar las correspondientes primitivas. Esto u´ ltimo no siempre puede hacerse, pero se considera que una EDO est´a esencialmente resuelta cuando el problema se ha transformado en uno de hallar primitivas, como en este caso. Ejemplo 7.3. Vamos a resolver la ecuaci´on dy x−5 = . dx y2 Como tiene variables separadas, la soluci´on ser´a Z Z 2 y dy = (x − 5) dx + c de donde y=

r 3

⇒

(x − 5)2 y3 = + c, 3 2

3 (x − 5)2 + k, 2

siendo k = 3c una constante arbitraria.

Evidentemente, las funciones constantes y = c, tales que c es una ra´ız de h(y), son soluciones de la ecuaci´on diferencial. Estas soluciones se pierden en el proceso de resoluci´on al dividir por h(y), y eso es algo que hay que tener en cuenta al escribir la soluci´on general.

7.2 Ecuaciones de primer orden

133

Ejemplo 7.4. Consid´erese la ecuaci´on dy y−1 = . dx x+3 Separando variables, Z Z dy dx = + ln c y−1 x+3

⇒

ln |y − 1| = ln |x + 3| + ln c,

c > 0.

Tomando exponenciales, |y − 1| = c|x + 3|

⇒

y − 1 = ±c(x + 3),

donde el signo es el que corresponda, seg´un el dato inicial. Pero ±c con c > 0 arbitraria es lo mismo que c′ 6= 0 arbitraria, luego y = 1 + k(x + 3). Y, finalmente, como y − 1 = 0 tiene por soluci´on y = 1, que ser´ıa la soluci´on de la ecuaci´on general con k = 0, eliminamos la restricci´on k 6= 0 y tomamos k ∈ R arbitraria.

Por otro lado, est´a claro que, salvo para algunas elecciones sencillas de h(y), la soluci´on de una ecuaci´on de variables separadas estar´a dada por una ecuaci´on impl´ıcita. Esto afecta en gran medida al dominio de las soluciones Ejemplo 7.5. Sea la ecuaci´on dy = xy 3 . dx Separando variables, Z Z dy = x dx + c y3

⇒

−

1 x2 +c = 2y 2 2

⇒

1 + x2 = k > 0, y2

con k = −2c. En este caso se puede despejar y=√

±1 ,. k − x2

√ √ pero es evidente de estas soluciones que su dominio est´a limitado a (− k, k). Otra cosa ostensible de esta soluci´on general es que y = 0 es tambi´en soluci´on de la ecuaci´on, y no est´a englobada en la famila de curvas 1 + x2 = k y2 para ning´un valor de la constante k > 0, aunque s´ı la podemos incluir si escribimos la ecuaci´on y2 = k′, 2 2 1+x y

k ′ ≥ 0.

134

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Una u´ ltima observaci´on relativa a la unicidad: aunque el teorema de Piccard describa una situaci´on muy general, a veces encontramos excepciones, y en ellas la unicidad de las soluciones no est´a garantizada. Ejemplo 7.6. Consideremos el problema de valores iniciales dy = y 1/3 dx Su soluci´on ser´a

Z

dy = x + c′ y 1/3

y(0) = 0.

⇒

3 2/3 y = x + c′ , 2

de donde, tomando c = 2c′ /3, y=

µ

2x +c 3

¶3/2

.

Si imponemos la condici´on inicial obtendremos c = 0, luego la soluci´on es, supuestamente, µ ¶3/2 2x , y= 3 y efectivamente lo es, salvo por el detalle de que no es la u´ nica: y = 0 es tambi´en una soluci´on del problema de valores iniciales. N´otese que f (x, y) = y 1/3 no es derivable en y = 0.

7.2.2.

Ecuaciones lineales

La ecuaci´on lineal de primer orden es una ecuaci´on diferencial que puede escribirse en la forma dy a1 (x) + a0 (x)y = b(x), dx donde a1 (x), a0 (x), b(x) son funciones s´olo de x, no de y (de lo contrario la ecuaci´on no ser´ıa lineal). Hay dos situaciones en las que es muy f´acil resolver esta ecuaci´on. La primera es cuando a0 = 0. Entonces la ecuaci´on se reduce a a1 (x)

dy = b(x), dx

y su soluci´on es, sencillamente, y(x) =

Z

b(x) dx + c. a1 (x)

La segunda es menos trivial, y consiste en que a0 (x) = a′1 (x). Es este caso a1 (x)

¤ d£ dy + a′1 (x)y = a1 (x)y = b(x), dx dx

7.2 Ecuaciones de primer orden

135

con lo que 1 y(x) = a1 (x)

·Z

¸

b(x) dx + c .

Claro que este caso rara vez se da. Sin embargo, vamos a tomarlo como base para resolver el caso general. Empecemos por llevar la ecuaci´on a la forma can´onica dy + P (x)y = Q(x), dx donde P (x) = a0 (x)/a1 (x) y Q(x) = b(x)/a1 (x). Para llevar esta ecuaci´on a la forma anterior vamos a introducir lo que se denomina factor integrante. Un factor integrante es una funci´on µ(x) a la que se le exige que si se multiplica la ecuaci´on por ella, dy µ(x) + µ(x)P (x)y = µ(x)Q(x), dx se convierta en una del caso anterior, es decir, µ′ = µP (x). Esta es una ecuaci´on de variables separadas, cuya soluci´on es R

µ(x) = e

P (x) dx

.

Con esta elecci´on de µ(x), µ(x)

¤ dy d£ dy + µ(x)P (x)y = µ(x) + µ′ (x)y = µ(x)y = µ(x)Q(x), dx dx dx

con lo que 1 y(x) = µ(x)

·Z

¸

µ(x)Q(x) dx + c .

Ejemplos 7.7. (1) Vamos a hallar la soluci´on general de 1 dy 2y − = x cos x, x dx x2

x > 0.

Escrita en la forma can´onica, esta ecuaci´on es dy 2y − = x2 cos x, dx x

x > 0.

136

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on Como P (x) = −2/x,

Z

P (x) dx = −2 ln |x|,

de modo que µ(x) = e−2 ln |x| = Entonces y(x) = x

2

µZ

cos x dx + c

¶

1 . x2

= x2 sen x + cx2 .

(2) Consideremos ahora el problema de valores iniciales √ y(1) = 4. y ′ + y = 1 + cos2 x, El factor integrante ser´a µ(x) = e

R

1 dx

= ex ,

de modo que la soluci´on general de la ecuaci´on es µZ ¶ √ −x x y(x) = e e 1 + cos2 x dx + c . El inconventiente de esta expresi´on es que no hay una primitiva de la funci´on integrando expresable en t´erminos de funciones elementales, as´ı que escribiremos mejor ¶ µZ x √ −x t y(x) = e e 1 + cos2 t dt + c , 1

ya que de este modo, imponiendo la condici´on inicial, resulta y(1) = e−1 c = 4

⇒

c = 4e,

y, por lo tanto, la soluci´on del problema de valores iniciales es µZ x ¶ √ −x t 2 y(x) = e e 1 + cos t dt + 4e . 1

Para cada valor de x la integral debe ser evaluada num´ericamente.

Para acabar, daremos un teorema de existencia y unicidad para las ecuaciones lineales de primer orden: Teorema 7.2. Sean P (x) y Q(x) dos funciones continuas en (a, b) y sea x0 ∈ (a, b). Entonces, para cualquier y0 ∈ R existe una u´ nica soluci´on en (a, b) al problema de valores iniciales dy + P (x)y = Q(x), dx

y(x0 ) = y0 ,

7.2 Ecuaciones de primer orden

137

y est´a dada por la expresi´on µZ

1 y(x) = µ(x)

x

¶

µ(t)Q(t) dt + µ(x0 )y0 ,

x0

siendo µ(x) el factor integrante R

µ(x) = e 7.2.3.

P (x) dx

.

Ecuaciones exactas

Consideremos las curvas de nivel de una funci´on de F : R2 → R: F (x, y) = c. Estas curvas forman una familia uniparam´etrica, de modo que podemos buscar la ecuaci´on diferencial que verifican, tal como estudiamos en la introducci´on del cap´ıtulo. Para ello derivamos impl´ıcitamente respecto de x, y obtenemos Fx + Fy y ′ = 0, donde Fx denota ∂F/∂x y lo mismo para y. Como no hay rastro del par´ametro c en esta ecuaci´on, despejando y ′ obtenemos dy −Fx , = dx Fy o, en la forma en que m´as com´unmente se expresa, Fx dx + Fy dy = 0. Una ecuaci´on diferencial como esta recibe el nombre de ecuaci´on exacta. El problema est´a en que, dada una ecuaci´on diferencial, hay m´ultiples maneras de escribirla en la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, y la cuesti´on, entonces, consiste en averiguar si, para alguna de esas formas, ocurre que M (x, y) = Fx (x, y), N (x, y) = Fy (x, y). En ese caso sabremos inmediatamente que las curvas integrales de la ecuaci´on est´an dadas por F (x, y) = c.

138

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Ejemplo 7.8. Sea la ecuaci´on diferencial dy 2xy 2 + 1 =− . dx 2x2 y Algunas de las formas de expresarla como M dx + N dy = 0 son (2xy 2 + 1) dx + 2x2 y dy = 0, 2xy 2 + 1 dx + dy = 0, 2x2 y 2x2 y dx + dy = 0. 2xy 2 + 1 Con un poco de vista nos daremos cuenta de que la primera es de la forma Fx dx + Fy dy = 0, si F (x, y) = x2 y 2 + x. Entonces, las curvas integrales son 2 2

x y +x=c

⇒

y=±

√

c−x . x

Cuando las funciones M (x, y) y N (x, y) tienen derivadas parciales continuas, un criterio para saber si M = Fx y N = Fy es hallar las derivadas segundas cruzadas de la supuesta F y comprobar si son iguales: Fxy = Fyx

⇒

M y = Nx .

Si son iguales sabemos a ciencia cierta que tal funci´on existe. Ejemplos 7.9. (1) En el ejemplo anterior, My (x, y) =

∂ (2xy 2 + 1) = 4xy, ∂y

Nx (x, y) =

∂ 2 2x y = 4xy. ∂x

Entonces, Fx = 2xy 2 + 1, de donde F (x, y) = x2 y 2 + x + g(y), siendo g una funci´on arbitraria s´olo de y. Como por otro lado, Fy = 2x2 y = 2x2 y + g ′ (y), deducimos que g ′ (y) = 0 y por tanto g(y) es una constante, que podemos elegir aribitrariamente como 0.

7.2 Ecuaciones de primer orden

139

(2) Sea ahora la ecuaci´on µ

1 2xy − cos2 x

¶

dx + (x2 + 2y)dy = 0.

La ecuaci´on es exacta porque µ ¶ 1 ∂ 2 ∂ (x + 2y). 2xy − = 2x = ∂y cos2 x ∂x Entonces, Fx = 2xy −

1 cos2 x

⇒

F (x, y) = x2 y − tan x + g(y),

y Fy = x2 + 2y = x2 + g ′ (y)

⇒

g ′ (y) = 2y

⇒

g(y) = y 2 .

Las curvas integrales ser´an, pues, F (x, y) = x2 y − tan x + y 2 = c.

7.2.4.

Factores integrantes

Consideremos la ecuaci´on (x + 3x3 sen y)dx + x4 cos y dy = 0. La ecuaci´on no es exacta porque ∂ 4 ∂ (x + 3x3 sen y) = 3x3 cos y 6= 4x3 cos y = (x cos y). ∂y ∂x Sin embargo, multipliqu´emosla por x−1 ; ahora ∂ 3 ∂ (1 + 3x2 sen y) = 3x2 cos y = (x cos y), ∂y ∂x con lo que la ecuaci´on resultante es exacta. Lo que ocurre en este ejemplo es general: una ecuaci´on dada en la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 se puede multiplicar por una funci´on µ(x, y) de manera que la ecuaci´on resultante, µ(x, y)M (x, y)dx + µ(x, y)N (x, y)dy = 0 sea exacta. Una funci´on as´ı se denomina factor integrante.

140

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

La idea del factor integrante es similar a la que ya utilizamos en las ecuaciones lineales, solo que ahora la b´usqueda de ese factor es m´as dif´ıcil, al tratarse de una funci´on de dos variables. De hecho, no hay una manera sistem´atica que funcione siempre de hallar dichos factores integrantes; sin embargo, podemos encontrarlos en algunos casos. Para ver cu´ando, impongamos la condici´on de integrabilidad de la ecuaci´on: ¤ ¤ ∂£ ∂ £ µ(x, y)M (x, y) = µ(x, y)N (x, y) , ∂y ∂x que se convierte en M µy − N µx = (Nx − My )µ. Esta ecuaci´on es m´as dif´ıcil de resolver que la original, puesto que se trata de una ecuaci´on en derivadas parciales. Sin embargo, hay dos casos en los que se puede encontrar la soluci´on: (a) µ = µ(x). En este caso la ecuaci´on se reduce a ¶ µ My − Nx dµ µ, = dx N y para que tenga sentido, el cociente (My − Nx )/N debe ser funci´on s´olo de x. Entonces, ½Z ¾ My − Nx µ(x) = exp dx . N (b) µ = µ(y). En este caso la ecuaci´on se reduce a ¶ µ Nx − M y dµ µ, = dy M y para que tenga sentido, el cociente (Nx − My )/M debe ser funci´on s´olo de y. Entonces, ½Z ¾ Nx − M y µ(y) = exp dy . M Ejemplo 7.10. Sea la ecuaci´on (2x2 + y)dx + (x2 y − x)dy = 0. Claramente, My = 1 6= 2xy − 1 = Nx ,

7.2 Ecuaciones de primer orden

141

por lo que no es exacta. Ahora bien, My − N x 1 − (2xy − 1) 2(1 − xy) −2 = = = , 2 N x y−x −x(1 − xy) x de modo que hay un factor integrante µ(x) = e−2 ln |x| =

1 . x2

Multiplicando la ecuaci´on por dicho factor obtenemos ¶ µ ³ y´ 1 2 + 2 dx + y − dy = 0, x x de la que resulta la soluci´on y y2 + = c. x 2 Obs´ervese que hay, adem´as, otra soluci´on de la ecuaci´on original: x = 0, que se ha perdido, l´ogicamente, al multiplicar por x−2 . 2x −

7.2.5.

Sustituciones y transformaciones

Aunque toda ecuaci´on tiene un factor integrante, en la mayor´ıa de los casos es muy dif´ıcil hallarlo. Por eso vamos a identificar en este apartado una serie de tipos de ecuaciones que se pueden resolver mediante un adecuado cambio de variables. ´ Ecuaciones homogeneas de grado 0

Se dice que una funci´on f (x, y) es homog´enea de grado 0 si para todo t 6= 0 se cumple f (tx, ty) = f (x, y). Si tomamos t = 1/x econtramos la interesante propiedad de que una funci´on homog´enea de grado 0 verifica tambi´en la relaci´on f (x, y) = f (1, y/x), es decir, es una funci´on de la variable v = y/x. Dada una ecuaci´on diferencial dy = f (x, y), dx donde f (x, y) es una funci´on homog´enea de grado 0 y, por lo que acabamos de ver, f (x, y) = g(v). Como y = vx, dy dv =v+x = g(v) dx dx

142

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

y, por lo tanto, dv = g(v) − v, dx es decir, la ecuaci´on se transforma, al escribirla en t´erminos de v = y/x y x, en una de variables separadas. x

Ejemplo 7.11. Sea la ecuaci´on (xy + y 2 + x2 )dx − x2 dy = 0. Podemos escribir

dy xy + y 2 + x2 y ³ y ´2 = = + + 1, dx x2 x x por lo que cambiando a v = y/x, v+x

dv = v + v2 + 1 dx

Entonces, Z Z dx dv = +c 1 + v2 x

⇒

⇒

x

dv = v 2 + 1. dx

arctan v = ln |x| + c

⇒

v = tan(ln |x| + c),

por lo tanto y = x tan(ln |x| + c). Ecuaciones de la forma y ′ = g(ax + by)

Supongamos que la ecuaci´on diferencial es de la forma dy = g(ax + by). dx Entonces el cambio de variable natural es z = ax + by. Con este cambio, dy dz =a+b = a + bg(z), dx dx de nuevo una ecuaci´on de variables separadas. Ejemplo 7.12. Sea la ecuaci´on dy 1 =y−x−1+ . dx x−y+2 Podemos definir z = x − y, y entonces, dy 1 dz =1− =2+z− , dx dx z+2

7.2 Ecuaciones de primer orden de modo que Z

z+2 dz = (z + 2)2 − 1

143

Z

dx + c′

⇒

1 ln |(z + 2)2 − 1| = x + c′ , 2

′

de donde, denotando c = ±e2c , (z + 2)2 = ce2x + 1

⇒

√ x − y + 2 = ± ce2x + 1

⇒

y =x+2±

√

ce2x + 1.

Si incluimos el 0 entre los posibles valores de c (con lo que c ∈ R arbitrario), la soluci´on general incluye las soluciones y = x + 1 e y = x + 3 de la ecuaci´on original. Ecuaciones de Bernoulli

Las ecuaciones de la forma dy + P (x)y = Q(x)y α , α 6= 1, dx con P (x) y Q(x) dos funciones continuas en (a, b), se denominan ecuaciones de Bernoulli. Cuando α = 0 o´ 1 la ecuaci´on es lineal y se resuelve como ya sabemos. Para el resto de los valores de α se emplea la transformaci´on v = y 1−α . Despejando y = v 1/(1−α) y sustituyendo en la ecuaci´on, 1 dv v α/(1−α) + P (x)v 1/(1−α) = Q(x)v α/(1−α) , 1−α dx y dividiendo por (1 − α)−1 v α/(1−α) , dv + (1 − α)P (x)v = (1 − α)Q(x), dx que es una ecuaci´on lineal. Ejemplo 7.13. Vamos a resolver la ecuaci´on dy 5 = 5y − xy 3 . dx 2 Como se trata de una ecuaci´on de Bernoulli con α = 3, hacemos el cambio v = y −2 y obtenemos la ecuaci´on dv + 10v = 5x. dx Dado que el factor integrante de esta ecuaci´on lineal es µ(x) = e10x , la soluci´on general ser´a µZ ¶ 1 x −10x 10x + ce−10x . v(x) = e 5xe dx + c = − 2 20 Por tanto, la soluci´on de la ecuaci´on de Bernoulli ser´a ±1 y(x) = q , x 1 −10x − + ce 2 20

que no incluye la soluci´on y = 0, perdida en el proceso de dividir por −1/(2y 2 ).

144

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Ecuaciones de Riccati

Las ecuaciones de Riccati son ecuaciones de la forma dy = P (x)y 2 + Q(x)y + R(x). dx No hay un m´etodo general de resolver una ecuaci´on como e´ sta, pero si por alg´un procedimiento hallamos una soluci´on particular u(x), entonces la transformaci´on y(x) = u(x) +

1 v(x)

convierte la ecuaci´on de Riccati en una lineal en v. Para verlo, no hay m´as que sustituir: ¶ µ µ ¶ 1 u 1 v′ 2 ′ ′ y = u − 2 = P (x) u + 2 + 2 + Q(x) u + + R(x), v v v v pero como u′ = P u2 + Qu + R, por ser soluci´on de la ecuaci´on de Riccati, −

¡ ¢ Q(x) 1 v′ = P (x) 2u(x)v + 1 + , v2 v2 v

que se convierte en ¤ dv £ + Q(x) + 2P (x)u(x) v = −P (x). dx Ejemplo 7.14. Sea la ecuaci´on y dy = x3 (y − x)2 + , dx x que es una ecuaci´on de Riccati porque el t´ermino de la derecha es un polinomio cuadr´atico en y con coeficientes dependientes de x. Una soluci´on evidente es u(x) = x, con lo cual, el cambio que vamos a hacer es 1 y(x) = x + . v(x) Sustituyendo, 1− de donde

x3 1 v′ = +1+ , 2 2 v v xv 1 v ′ + v = −x3 . x

El factor integrante de esta ecuaci´on es µ(x) = e

R

dx x

= eln |x| = |x|,

7.2 Ecuaciones de primer orden

145

por lo que

Como

R

|x|x3 dx = |x|x4 /5,

−1 v(x) = |x|

µZ

v(x) = −

y en consecuencia,

3

|x|x dx + c

′

¶

.

c′ x4 − , 5 |x|

y(x) = x −

5|x| , |x|5 + c

siendo c = 5c′ . N´otese que esta ecuaci´on tiene infinitas soluciones que pasan por x = 0. Ecuaciones con coeficientes lineales

Supongamos que tenemos una ecuaci´on de la forma (a1 x + b1 y + c1 )dx + (a2 x + b2 y + c2 )dy = 0, donde ai , bi , ci , i = 1, 2, son constantes. Si a1 b2 = a2 b1 , entonces la ecuaci´on es de la forma y ′ = g(ax + by), cuya resoluci´on ya hemos estudiado. As´ı pues, consideraremos el caso a1 b2 6= a2 b1 . En primer lugar estudiaremos el caso particular c1 = c2 = 0. En ese caso, dy a1 x + b1 y a1 + b1 (y/x) =− =− , dx a2 x + b2 y a2 + b2 (y/x) que es una ecuaci´on homog´enea resoluble por el m´etodo que ya hemos visto anteriormente. En el caso general definimos x = u + h,

y = v + k,

con h y k constantes. Sustituimos y obtenemos £ ¤ £ ¤ a1 u + b1 v + (a1 h + b1 k + c1 ) dx + a2 u + b2 v + (a2 h + b2 k + c2 ) dy = 0.

Ahora elegimos h y k de manera que

a1 h + b1 k + c1 = 0, a2 h + b2 k + c2 = 0. Este sistema tiene soluci´on u´ nica porque a1 b2 6= a2 b1 , y esa elecci´on de h y k reducen el problema al caso anterior donde c1 = c2 = 0.

146

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Ejemplo 7.15. Resolvamos la ecuaci´on (−3x + y + 6)dx + (x + y + 2)dy = 0. Como a1 b2 = −3 6= 1 = a2 b1 , k y h estar´an dados por −3h + k = −6, h + k = −2, cuya soluci´on es h = 1, k = −3. Definimos x = u + 1,

y =v−3

y como dx = du y dy = dv la ecuaci´on queda dv 3 − (v/u) = . du 1 + (v/u) Definimos ahora z = v/u y transformamos la ecuaci´on en z+u

3−z dz = du 1+z

La soluci´on de esta ecuaci´on es Z o sea,

⇒

u

z+1 dz = − 2 z + 2z − 3

dz 3 − 2z − z 2 = . du 1+z du + c′ , u

Z

1 ln |z 2 + 2z − 3| = − ln |u| + c′ . 2

Tomando exponenciales, z 2 + 2z − 3 =

c , u2

′

donde c = ±ec . Deshacemos el u´ ltimo cambio y ³ v ´2 c v ⇒ +2 −3= 2 u u u y deshaciendo el primero,

v 2 + 2uv − 3u2 = c,

(y + 3)2 + 2(x − 1)(y + 3) − 3(x − 1)2 = c, de donde y = −x − 2 ±

7.2.6.

p c + 4(x − 1)2 .

Ecuaciones de segundo orden incompletas

La ecuaci´on diferencial general de segundo orden es de la forma F (x, y, y ′ , y ′′ ) = 0. Hay, sin embargo, dos casos en que esta ecuaci´on es reducible a una de primer orden: cuando F no depende de y y cuando no depende de x.

7.2 Ecuaciones de primer orden

147

F no depende de y

Nos encontramos en este caso con la ecuaci´on F (x, y ′ , y ′′ ) = 0; si definimos p = y ′ , entonces p′ = y ′′ y la ecuaci´on se reduce a una de primer orden: F (x, p, p′ ) = 0. Ejemplo 7.16. Sea la ecuaci´on xy ′′ − y ′ = 3x2 . Con el cambio de variable resulta la ecuaci´on x

dp − p = 3x2 dx

dp p − = 3x, dx x

⇒

que es lineal. El factor integrante es µ(x) = e− ln |x| =

1 , |x|

con lo que la soluci´on es ′

p(x) = y (x) = |x|

µZ

x 3 dx + c |x|

¶

= 3x2 + c′ |x|.

Entonces y(x) = x3 + c con c = c′ /2.

x3 + d, |x|

F no depende de x

En este caso la ecuaci´on se reduce a F (y, y ′ , y ′′ ) = 0. De nuevo definimos p = y ′ , pero ahora, usando la regla de la cadena, y ′′ =

dp dp dy dp = =p , dx dy dx dy

con lo que la ecuaci´on se transforma en F (y, p, pp′ ) = 0.

148

7 Introducci´on y m´etodos elementales de resoluci´on

Ejemplo 7.17. Se la ecuaci´on y ′′ + k 2 y = 0. Hacemos la transformaci´on y obtenemos p

dp = −k 2 y, dy

que tiene variables separadas. Entonces p2 + k 2 y 2 = c ≥ 0. Como c es una constante no negativa arbitraria, vamos a tomarla de la forma c = k 2 a2 , con a ∈ R arbitraria. Entonces p dy p= = ±k a2 − y 2 , dx otra ecuaci´on de variables separadas, cuya soluci´on es Z dy p = ±kx + b ⇒ arc sen(y/a) = ±kx + b. a2 − y 2 Y definiendo A = ±a y ϕ = ∓b,

y = A sen(kx + ϕ),

que puede escribirse tambi´en y = A1 sen kx + A2 cos kx, siendo A1 = A cos ϕ y A2 = A sen ϕ.