Lenguaje algebraico

INTRODUCCIÓN

En ocasiones has visto expresiones como la siguiente: a+b=b+a Con ella representamos la propiedad conmutativa de la suma. Esta propiedad es cierta para cualquier par de números y por ello utilizamos letras en lugar de valores concretos. En Matemáticas es frecuente utilizar expresiones que combinan números y letras o solamente letras. Esto lo hacemos cuando, como en el caso anterior, expresamos relaciones que se dan para todos los números. También cuando desconocemos el valor de algún dato lo representamos con una letra hasta que lo hallamos. Y también cuando no conocemos el valor numérico de algún dato y hemos de escribir una expresión en la que interviene aunque no se trate de hallar su valor. Las expresiones que resultan de combinar números y letras relacionándolos con las operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas. La parte de las Matemáticas que utiliza las expresiones algebraicas se llama Álgebra, del árabe: ‫ الجبر‬al-ŷabr 'reintegración, recomposición'. Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persa (nacido probablemente en lo que actualmente es Uzbekistán) Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Alkitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación).1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS Muchas expresiones algebraicas que utilizaremos resultan de una “traducción” del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico. Fíjate en los ejemplos y observa que a los números cuyo valor desconocemos unas veces les hemos dado el nombre de una letra y otras veces el de otra. (El signo · entre número y letra o entre dos letras no es necesario escribirlo y lo sobreentenderemos) . El doble de un número

2n

. La mitad de un número . El triple de un número menos dos

X 2 3y – 2

. El doble del producto de dos números

2ab

1

El Algebra según Cervantes (artículo de Argimiro Arratia en el diario "El Universal", Caracas, 24-9-1999)

En el capítulo XV de la parte II de "El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha", de una magnífica edición que se supone es fiel al original (Aguilar 1968), se narra de cómo Don Quijote vence en buena lid al Caballero de los Espejos, quien no es otro que su paisano, el bachiller Sansón Carrasco. El bachiller, maltrecho y apaleado por el famoso hidalgo, se queja a su escudero de '...el dolor grande de mis costillas...' y concluye este capítulo de la siguiente manera: 'en esto fueron razonando los dos, hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien se curó el Sansón desgraciado...' Una nota a pie de página de los editores nos revela que 'Álgebra es el arte de concertar los huesos desencajados y quebrados'. La curiosidad por saber la relación entre este uso cervantino de la palabra álgebra y el concepto matemático de uso común hoy, me condujo por los caminos de las mágicas y maravillosas noches árabes, y sobre este viaje reportó a continuación. Érase una vez un matemático de nombre Mohamed Ibn-Musa Al-Kowarizmi, quien vivió y laboró bajo la protección del califato de Al-Mamun (809-833), sucesor del califa Harún Al-Raschid, este último hecho personaje para la posteridad en "Las mil y una noches". Al-Kowarizmi fue miembro de la 'Casa de la Sabiduría' ( Bait al-hikma), fundada en Bagdad por Al-Mamun, luego de que este califa viera en un sueño a Aristóteles e interpretase tal aparición como una indicación de la necesidad de tener en el Imperio Árabe una versión de la famosa y para ese entonces desparecida biblioteca de Alejandría. Sirvió entonces Al-Kowarizmi como traductor de diversos trabajos hindúes y griegos sobre matemáticas y astronomía, y también escribió una media docena de trabajos originales. Su nombre sobrevivió al tiempo por esos extraños giros de nuestra lengua castellana; Al-Kowarizmi derivó en la palabra algoritmo; esto es lo que entendemos como un conjunto de reglas para la solución de problemas específicos. Y es que la obra principal de Al-Kowarizmi es, tal vez, el primer gran recetario para resolver ecuaciones del tipo que aprendemos en bachillerato. Es precisamente el título de esta obra, Al-jabr wa'l muqabalah el que da origen al término álgebra (al-jabr) y su significado aparece implícito en el prefacio del libro: al-jabr es 'completación' o 'concertación' (suponemos que de términos en una ecuación) y muqabalah es 'reducción o balanceo' (en referencia a la cancelación de términos iguales en lados opuestos de la igualdad). Descubrimos así, en Cervantes y Al-Kowarizmi, una magnífica receta mnemotécnica para facilitar la solución de esas ecuaciones de nuestro bachillerato: primero debemos romperle los huesos iguales (muqabalah) y luego conciliar el resto de la estructura ósea (al-jabr).

. La mitad del cuadrado de un número . La mitad de un número más su triple

t2 2 z  3z 2

EJERCICIOS 1.- “Traduce” cada expresión a lenguaje algebraico. . El triple de un número . El doble de un número menos su mitad . El cuadrado de un número más su triple . La mitad más la tercera parte más la cuarta parte de un número . La mitad de un número menos el propio número . El doble de un número más el triple de otro número 2.- Llamando x a un número natural cualquiera, escribe la expresión algebraica que resulta de traducir cada uno de los siguientes enunciados: . Un número 5 unidades mayor . Un número 3 unidades menor . El número natural siguiente . El número natural anterior . El doble del número . El triple del número . El doble del número más cuatro . El número más su anterior . La suma de los dos números siguientes a él . La mitad del número más 1 . El cuadrado del número menos su mitad

VALOR NÚMERICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Si en una expresión algebraica sustituimos las letras (indeterminadas) por valores concretos y hacemos las operaciones correspondientes obtendremos un resultado y será el valor numérico de la expresión para esos valores de las indeterminadas. Naturalmente, una expresión algebraica tendrá tantos posibles valores numéricos como valores podamos dar a las indeterminadas. Fíjate en el siguiente ejemplo: - Hallar el valor numérico de A(x) = 2x2 + 5 para x = 1 y para x = -3, es decir, calcula A(1) y A(-3)

2x2 + 5



para x = 1  A(1) = 2 . 12 + 5 = 2 + 5 = 7



Para x = -3  A(-3) = 2 . (-3)2 + 5 = 2 . 9 + 5 = 23

EJERCICIOS 3.- Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican A(x) = 3x2 - 2 para x = 3 A(3) = B(x) = 10 – 5x2 para x = 5 B(5) = C(x) =

3x +2 4

para x = 8

C(8) =

D(x) =

x2 +3 5

para x = 5

D(5) =

MONOMIOS Son las expresiones algebraicas más simples. Un monomio es el producto de un número por una o varias indeterminadas. El número es el coeficiente y las indeterminadas forman la parte literal . 3 2 5x2 ab tvz3 Ejemplos : 4 En el primero el coeficiente es 5 y la parte literal x2. En el segundo el coeficiente es

3 y la parte literal 4

a2b . En el tercero el coeficiente es 1 y la parte literal tvz3 . Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de sus indeterminadas: 4x2 es de grado 2 3ab2 es de grado 3 7 es de grado 0, porque podemos pensar que es, por ejemplo, 7x0 (= 7·1 = 7) EJERCICIOS 4.- Completa la siguiente tabla Monomio

Coeficiente

Parte literal

Grado

8x2 5 ab4c2 x2 y

3 2 p qr 4 5 7 En adelante, para facilitar el cálculo, utilizaremos monomios cuya parte literal tendrá solo una indeterminada. MONOMIOS SEMEJANTES Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal 2 P(x) = 3x2 y Q(x) = x2 son semejantes 5 A(t) = 5t y B(t) = 8t son semejantes 2 R(a) = 2a y S(a) = 2a no son semejantes EJERCICIOS 5.- Escribe 5 parejas de monomios semejantes, designándolos adecuadamente: .............................. SUMA (o resta, porque restar es sumar un monomio de coeficiente negativo) DE MONOMIOS La suma de monomios semejantes es otro monomio semejante que tiene por coeficiente la suma de los coeficientes. 5x + 2x = 7x

-3x2 - 2x2 = -5x2

4a + 5a = 9a

8z3 - 9z3 = -z3

La suma de monomios no semejantes no es un monomio y la dejaremos indicada. Se dice polinomio. 3x3 + 5x 4z - 8t2 La suma de monomios semejantes permite a veces “reducir” expresiones algebraicas operando dentro de ella los monomios que sean semejantes. 3x2 + 5x - 2x2 - 9x = (3 - 2)x2 + (5 - 9)x = x2 - 4x 2a + 5a - 9a + 8x2 - 5x2 = (2 + 5 - 9)a + (8 - 5) x2 = -2a + 3x2 EJERCICIOS

6.- Halla el resultado cuando sea posible 3x2 + 2x2 = 6x - 9x = 2 5x + 2x = x – 8x =

-5x2 + 9x2 = 9x3 – 5x3 =

9x + 12x = 4x + x =

-8x – 4x = 8x2 – 3x3 =

7.- Reduce términos semejantes en las siguientes expresiones: 2x2 –3x + 4x – 9x2 = 5x3 –7x + 2x – 9x2 + 2x3 – 5x2 = 2 2 2 3x – 1 – 2x – x = 5x4 – 3x – 5x4 + 3x = PRODUCTO DE MONOMIOS El producto de monomios –sean o no semejantes- es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y por parte literal el producto de las partes literales. (Recuerda el producto de potencias de la misma base). 3 6 6 2 5 7 14 5 x .  x 3x2 . 5x3 = 15x5 x . 2x5 = x 4x . (–2x5) = -8x6 4 4 5 3 15 EJERCICIOS 8.- Calcula 3x . 2x = 2x7 . 4 = 3 3 x . 5x 2  2

2x2 . 3x = 8x . 3x5 = 4 2 x . x4  3 5

5x4 . 4x2 = x.6= 2 5x .  7

Potencia de un monomio Para calcular la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente de la potencia. (axn)m = am · xn · m (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9 (−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6 EJERCICIOS 10.- Calcula

(2x3)3 =

(−3x2)3 =

(-5x2)3 =

(2x2)4 =

División de monomios Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la indeterminada correspondiente del divisor. La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos lo que se llama una fracción algebraica.

EJERCICIOS 11.- Calcula 15x5 : 3x2 =

20x6 : 4x2 =

12x 4 = 3x

5x = x2

(12x3) : (4x) =

20x6 : 4x2 =

(18x6y2z5) : (6x3yz2) =

(36x3y7z4) : (12x2y2) =

Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene por grado el mismo del polinomio (grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado que lo integra) y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número. 3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio, que se dicen términos del polinomio. 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de binomios P(x) = 2x2 − 3

Q(x) = 2x3 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer binomio por todos los elementos segundo binomio. (2x2 − 3) · (2x3 + 4x) = = 4x5 + 8x3 − 6x3 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 + 2x3 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los binomios que se multiplican. EJERCICIOS 9.- Calcula el resultado ( 3x4 + 3 ) · (2x2 – 5x)

( 4x - 2 ) · (x2 – 3x)

( 5x3 − 2x ) · (3x2 – 2x)

( 3x + 3 ) · (6x5 – 3x2)

(x2 − 3x ) · (2x3 – 2)

( 5x2 - 3 ) · (2x3 – 3x)