POLINOMIOS

8.1.1 – 8.1.3

El capítulo explora funciones polinómicas en mayor profundidad. Los alumnos aprenderán cómo bosquejar funciones polinómicas sin su herramienta de graficación, utilizando la forma factorizada del polinomio. Además, aprenderán el proceso inverso: cómo determinar la ecuación polinómica a partir del gráfico. Para más información, consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 8.1.1.

Ejemplo 1 Indica si cada una de las siguientes expresiones es o no un polinomio. Si no lo es, explica por qué no. Si lo es, indica el grado del polinomio. a.

–7x4 +

2 x3 3

+ x2 – 4.1x – 6

c.

9x3 + 4x2 – 6x–1 + 7x

b.

8 + 3.2x2 – πx5 – 61x10

d.

x(x3 + 2)(x4 – 4)

Un polinomio de una variable es una expresión que puede escribirse como la suma o diferencia de términos. Los términos están en la forma axn, donde a es cualquier número y se denomina coeficiente de x, y n, el exponente, debe ser un número entero.

( )

a.

Este es un polinomio. Un coeficiente que es una fracción 23 es aceptable. El grado del polinomio está dado por el exponente más grande de la variable, que en este caso sería 4.

b.

Este también es un polinomio, y su grado es 10.

c.

Esta expresión no es un polinomio por dos motivos. En primer lugar, no se permite x–1 porque los exponentes de la variable no pueden ser negativos. En segundo lugar, por 7x. La variable no puede ser una potencia en un polinomio.

d.

Aunque la expresión no es la suma ni la diferencia de términos, puede escribirse como la suma o diferencia de términos multiplicando la expresión y simplificando. Hacer esto da como resultado x8 + 2x5 – 4x4 – 8x, que es un polinomio de grado 8.

86

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Capítulo 8

Ejemplo 2 Sin usar tu herramienta de graficación, realiza un dibujo de cada una de las siguientes funciones polinómicas usando el coeficiente principal, las raíces y el grado. a.

f(x) = (x + 1)(x – 3)(x – 4)

b.

y = (x – 2)2(x + 3)

c.

p(x) = x(x + 1)2(x – 4)2

d.

f(x) = –(x + 1)3(x – 1)2

Las raíces del polinomio son los puntos de corte con el eje x, que se encuentran fácilmente usando la Propiedad de producto cero cuando el polinomio está en forma factorizada, como todos los polinomios anteriores. El grado y el coeficiente principal del polinomio pueden ser hallados multiplicando el primer término de cada factor. Observa que algunos factores se repiten. Los gráficos de abajo son posibles diagramas. a.

El término principal será x3, así que este gráfico será una función cúbica. Sus raíces son x = –1, 3, y 4. Para graficar, si x = 0, f(0) = 12, así que el punto de corte con el eje y es (0, 12).

b.

y

El término principal será x3, así que este gráfico será una función cúbica. Las raíces de este polinomio son x = –3 y 2. x = 2 es una raíz doble, porque la expresión (x – 2) está elevada al cuadrado y es equivalente a (x – 2)(x – 2). El gráfico solo tocará el eje x en x = 2, y “rebotará”. El punto de corte con el eje y es (0, 12). y

x

c.

x

Este es un polinomio de quinto grado cuyo término principal, x,5 tiene tres raíces: x = 0, –1, y 4. x = –1 y x = 4 son raíces dobles. El punto de corte con el eje y es (0, 0). y

d.

Este es un polinomio de quinto grado cuyo término principal, –x5, tiene dos raíces: x = –1 y 1. x = 1 es una raíz doble, y x = –1 es una raíz triple. El coeficiente principal es negativo, así que el gráfico será un reflejo vertical de un polinomio de quinto grado típico. El punto de corte con el eje y es (0, –1). y

x x

Guía para padres con práctica adicional

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Ejemplo 3

y

Escribe la ecuación del gráfico que se muestra a la derecha.

A partir del gráfico podemos escribir una ecuación general basada en las raíces y el punto de corte con el eje y del polinomio. Dado que los puntos de corte con el eje x (raíces) son x = –3, 3, y 8, sabemos que (x + 3), (x – 3), y (x – 8) son factores. Además, puesto que el gráfico toca el eje en x = –3 y rebota, (x + 3) es una raíz doble. De modo que podemos escribir esta función como f(x) = a(x + 3)2(x – 3)(x – 8). Hay que determinar el valor de a.

(–3, 0) (3, 0)

(8, 0)

x (0, –2)

Teniendo en cuenta el hecho de que el gráfico atraviesa el punto (0, –2), podemos escribir:

−2 = a(0 + 3)2 (0 − 3)(0 − 8) −2 = a(9)(−3)(−8) −2 = 216a 2 =− 1 a = − 216 108

1 (x + 3)2(x – 3)(x – 8). Por lo tanto, la ecuación exacta es f (x) = – 108

Problemas Indica si cada una de las siguientes funciones es o no una función polinómica. Si lo es, indica el grado. Si no lo es, explica por qué no. 1 8

x 7 + 4.23x6 – x4 – πx2 +

1.

y=

2.

f (x) = 45x3 – 0.75x2 –

3.

y = x(x + 2)(6 +

1 x

3 100

x+

2 x – 0.1 5 x

+ 15

)

Dibuja el gráfico de cada una de las siguientes funciones polinómicas: 4.

y = (x + 5)(x – 1)2(x – 7)

5.

y = –(x + 3)(x2 + 2)(x + 5)2

6.

f(x) = –x(x + 8)(x + 1)

7.

y = x(x + 4)(x2 – 1)(x – 4)

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Capítulo 8

A continuación figuran los gráficos completos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma y la ubicación del gráfico, describe todas las raíces de la función polinómica y menciona su menor grado. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si una raíz es o no doble o triple. y

8.

y

9.

y

10. x

x

x

Usando los siguientes gráficos y la información dada, escribe la ecuación específica para cada función polinómica. 11.

Punto de corte con eje y: (0, 12)

12.

y

Punto de corte con eje y: (0, –15)

13.

y

y

x

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Punto de corte con eje y: (0, 3)

x

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x

89

Respuestas 1.

Sí, grado 7.

2.

No. No puedes tener x en el denominador.

3.

No. Al multiplicarlo, hay una x en el denominador.

4.

Las raíces son x = –5, 1, y 7 y x = 1 es una raíz doble.

y

x

y

5.

Las raíces son x = –3 y x = –5, que es una raíz doble. El factor (x2 + 2) no produce ninguna raíz real dado que esta expresión no puede ser igual a cero. El gráfico cruza el eje y en y = –150.

x

y

6.

El gráfico tiene raíces en x = –8, –1, y 0.

x y

7.

x2 – 1 nos da dos raíces. Dado que se factoriza como (x + 1)(x – 1), las cinco raíces son: x = –4, –1, 0, 1, y 4.

8.

Un polinomio de tercer grado (cúbico) con una raíz en x = 0, y una raíz doble en x = –4.

9.

Un polinomio de cuarto grado con raíces reales en x = –5 y –3, y una raíz doble en x = 5.

10.

Un polinomio de quinto grado con cinco raíces reales: x = –5, –1, 2, 4, y 6.

11.

y = (x + 3)(x – 1)(x – 4)

12.

y = –0.1(x + 5)(x + 2)(x – 3)(x – 5)

13.

y=

90

1 12

x

(x + 3)2(x – 1)(x – 4)

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Capítulo 8

NÚMEROS COMPLEJOS

8.2.1 y 8.2.2

Los números complejos surgen naturalmente cuando se intenta resolver algunas ecuaciones tales como x2 + 1 = 0. Las soluciones a esta ecuación son x = ± −1 , o x = ± i. A veces, los polinomios tienen raíces complejas. Las raíces complejas siempre se dan en pares llamados conjugados complejos. Por ejemplo, si x = 3 + 2i es un raíz, entonces x = 3 – 2i también es una raíz.

Ejemplo 1 Simplifica cada una de las siguientes expresiones.

−16

a.

3+

c.

(4i)(–5i)

Recuerda que i =

b.

(3 + 4i) + (–2 – 6i)

d.

(8 – 3i)(8 + 3i)

−1 , o i2 = –1.

−16 = 3 + 4 −1 = 3 + 4i

a.

3+

b.

Las partes reales se pueden combinar con partes reales y las partes imaginarias con partes imaginarias: (3 + 4i) + (–2 – 6i) = 1 – 2i

c.

(4i)(–5i) = (4 ⋅ –5)(i ⋅ i) = –20i2 = –20(–1) = 20

d.

Puedes usar la propiedad distributiva o un modelo de área para calcular este producto. (8 – 3i)(8 + 3i) = 8(8) + 8(3i) – 3i(8) – 3i(3i) = 64 + 24i – 24i + 9 = 73 Los dos factores se denominan conjugados complejos, y son útiles cuando se trabaja con números complejos. ¡Multiplicar un número complejo por su conjugado da como resultado un número real! Esto va a suceder siempre. Además, cuando una función con coeficientes reales tiene una raíz compleja, siempre tiene también al conjugado como raíz.

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8

–3i

8

64

–24i

3i

24i

9

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91

Ejemplo 2 Halla las raíces de la función a continuación utilizando la Fórmula cuadrática. Explica qué te indican las raíces sobre el gráfico de la función. f(x) = 2x2 – 20x + 53 2

b −4ac Fórmula cuadrática: Si ax2 + bx + c = 0, entonces x = −b± 2a . Las raíces de la función se producen cuando f(x) = 0. En este punto, a = 2, b = –20, y c = 53. Observa la solución a la derecha.

Esto crea una expresión con un número negativo debajo del radical. Esta ecuación no tiene soluciones reales, pero sí tiene soluciones complejas. En matemáticas, definimos i = −1 como un número imaginario. Cuando combinamos un número imaginario con un número real, lo denominamos “número complejo”. Los números complejos se escriben en la forma a + bi. Usando i = −1 , podemos simplificar la respuesta anterior.

x=

20± −1⋅4⋅6 4

x=

20±2i 6 4

x=

2 10±i 6 4

(

x = 10±i2

)

6

Entonces, el gráfico de la ecuación y = 2x2 – 20x + 53 no tiene puntos de corte con el eje x, pero sí tiene dos raíces complejas, x = 10±i2 6 . Recuerda que el grado de una función polinómica nos indica el máximo número de raíces. De hecho, el grado nos indica el número exacto de raíces, de las cuales algunas (o todas) pueden ser complejas.

92

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Capítulo 8

Ejemplo 3 Dibuja un gráfico de la función polinómica y = p(x) de forma tal que p(x) tenga exactamente cuatro raíces reales. Luego cambia el gráfico de modo que p(x) tenga dos raíces reales y dos raíces complejas.

y

x

Si p(x) tiene cuatro raíces reales, entonces será un polinomio de cuarto grado que cruce el eje x en exactamente cuatro lugares diferentes. A la derecha se muestra un posible gráfico. y

Para que el gráfico tenga solo dos raíces reales y dos raíces complejas, hay que cambiarlo para que una de las “caídas” no llegue al eje x. A la derecha se muestra un ejemplo.

x

Problemas Simplifica las siguientes expresiones.

−16

1.

(6 + 4i) – (2 – i)

2.

8i –

4.

(5 – 7i)(–2 + 3i)

5.

(3 + 2i)(3 – 2i)

3.

(–3)(4i)(7i)

6.

( 3 – 5i)( 3 + 5i)

A continuación se encuentran los gráficos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma y la ubicación del gráfico, describe todas las raíces. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si las raíces son dobles o triples, reales o complejas, etc. 7.

8.

y

y x

x

9.

Escribe la ecuación específica para la función polinómica que atraviesa el punto (0, 5) y que tiene las raíces x = 5, x = –2, y x = 3i.

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93

Respuestas 1.

4 + 5i

2.

4i

3.

84

4.

11 + 29i

5.

13

6.

28

7.

Un polinomio de tercer grado con una raíz real en x = 5 y dos raíces complejas.

8.

Un polinomio de quinto grado con una raíz real en x = –4 y cuatro raíces complejas.

9.

1 (x – 5)(x + 2)(x – 3i)(x + 3i) = – 1 (x2 – 3x – 10)(x2 + 9) y = – 18 18

94

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Capítulo 8

FACTORIZACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS

8.3.1 – 8.3.3

Los alumnos aprenden a dividir polinomios como método para factorizar polinomios de grados superiores a 2. A través de la división, se puede reescribir los polinomios en una forma más apropiada para su graficación. También se puede determinar fácilmente las raíces de los polinomios, tanto reales como complejas utilizando la forma factorizada. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.3.2 y 8.3.3.

Ejemplo 1 Divide x3 + 4x2 – 7x – 10 por x + 1. Es posible dividir polinomios utilizando un modelo de área. Para dividir, comenzaremos con el área y una dimensión del rectángulo, y usaremos el modelo de área para calcular la otra dimensión. Confeccionaremos un rectángulo que tenga un ancho de x + 1 y un área de x3 + 4x2 – 7x – 10. Por ahora no conocemos la altura. Agregaremos información a la figura gradualmente, ajustándola a medida que avancemos. El rectángulo superior izquierdo tiene un área equivalente al término con la potencia más alta: x3.

x

x3

+1 x2

Ahora trabajaremos hacia atrás: si el área del rectángulo es x3 y el lado tiene una longitud de x, ¿cuál debe ser la longitud del otro lado? Sería x2. Si la longitud del lado faltante es x2, el área de la sección inferior es 1(x2).

x

x3

El área total es x3 + 4x2 – 7x – 10, pero hasta ahora solo tenemos porciones del rectángulo iguales a 1x3 y 1x2. Necesitaremos sumar 3x2 más al área total para el segundo término de la expresión.

+1

x2

Una vez que completamos el área “x2 ” restante, podemos descifrar la longitud del lado superior. Recuerda que parte del lado izquierdo tiene una longitud de x. Esto significa que parte del lado superior debe tener una longitud de 3x. Usa este nuevo dato para calcular el área del rectángulo que se encuentra a la derecha del rectángulo x3, y luego el pequeño rectángulo debajo de ese resultado. Guía para padres con práctica adicional

x2

+ 3x

x

x3

3x2

+1

x2

3x

4x2

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95

Nuestra área total tiene un total de –7x, pero solo hay 3x hasta el momento. Esto significa que hay que sumar –10x más. Coloca esta porción de área en el rectángulo a la derecha de 3x2.

x 3 +4 x 2 −7 x−10 x+1

+ 3x

–10

x3

3x2

–10x

3x

–10

x

Con esta nueva porción de área agregada, se puede +1 calcular la longitud de la parte superior y usarla para calcular el área del rectángulo debajo de –10x. Observa que el término constante en el área total es –10, que es también lo que tiene el rectángulo. Por lo tanto,

x2

x2 –7x

= x2 + 3x – 10, o x3 + 4x2 – 7x – 10 = (x + 1)(x2 + 3x – 10).

Ejemplo 2 Determina todas las raíces de P(x) = x4 + x2 – 14x – 48. Las raíces de un polinomio pueden determinarse en función de sus factores. Si factorizamos este polinomio, el resultado será (x + a)(x + b)(x + c)(x + d), donde (a)(b)(c)(d) = –48. Esto significa que las raíces reales posibles de este polinomio son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, o ±48. ¡En este caso hay 20 posibles raíces que verificar! Estas pueden verificarse de diferentes maneras. Un método consiste en dividir el polinomio por la expresión binómica correspondiente (por ejemplo, si x = –1 es una raíz, dividimos el polinomio por (x + 1) para ver si es un factor). Otro método consiste en reemplazar cada cero en el polinomio para ver cuál de ellos, si fuera el caso, hace que el polinomio sea igual a cero. Usa una calculadora gráfica para verificar cuáles de las raíces posibles pueden ser raíces reales. En este caso, el gráfico muestra que x = –2 y x = 3 pueden ser raíces. Verifica esto usando el método de sustitución. P(–2) = (–2)4 + (–2)2 – 14(–2) – 48 = 16 + 4 + 28 – 48 =0

P(3) = (3)4 + (3)2 – 14(3) – 48 = 81 + 9 – 42 – 48 =0

Comenzaremos con x = –2. Ya que hay una raíz en x = –2, (x + 2) es un factor del polinomio. Ahora divide el polinomio por este factor para hallar los demás factores.

96

x3

–2x2

+ 5x

–24

x

x4

–2x3

5x2

–24x

+2

2x3

–4x2

10x

–48

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Capítulo 8

Ahora podemos escribir P(x) como P(x) = (x + 2)(x3 – 2x2 + 5x – 24). Aún debemos factorizar el factor cúbico. Sabemos que x = 3 es también una raíz, así que (x + 3) es un factor. Por lo tanto, debemos dividir x3 – 2x2 + 5x – 24 por (x + 3), como se muestra en el diagrama de la derecha.

x

–3

x2

+x

+8

x3

x2

8x

–3x2

–3x

–24

Esto significa que P(x) = (x + 2)(x – 3)(x2 + x + 8). El último factor es cuadrático (grado 2) de modo que podemos factorizarlo o usar la Fórmula cuadrática para hallar las raíces (ceros) correspondientes. En este caso, la expresión no puede ser factorizada, así que usa la Fórmula cuadrática para calcular las raíces, como se muestra a la derecha.

x2 + x + 8 = 0 x=

En conclusión, el polinomio original se factoriza así:

(

P(x) = x 4 + x 2 − 14x − 48 = (x + 2)(x − 3) x − Las raíces del polinomio son x = –2, 3,

−1±i 31 2

−1+i 31 2

)(x −

−1−i 31 2

)

−1± 12 − 4(1)(8) 2(1)

=

−1± 1− 32 2

=

−1± −31 2

=

−1±i 31 2

.

Problemas 1.

Divide 3x3 – 5x2 – 34x + 24 por 3x – 2.

2.

Divide x3 + x2 – 5x + 3 por x – 1.

3.

Divide 6x3 – 5x2 + 5x – 2 por 2x – 1.

Determina todas las raíces de cada uno de los siguientes polinomios. 4.

f(x) = 2x3 + x2 – 19x + 36

5.

g(x) = x4 – x3 – 11x2 – 5x + 4

6.

P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12

7.

Q(x) = x3 – 14x2 + 65x – 102

Respuestas 1.

x2 – x – 12

2.

x2 + 2x – 3

3.

3x2 – x + 2

4.

x = –4,

5.

x = –1, 4, –1 + 2 , –1 – 2

6.

x = –1, 3, 2i, –2i

7.

x = 6, 4 + i, 4 – i

Guía para padres con práctica adicional

7+i 23 4

, 7−i4 23

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97

PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1.

(5 + 6)2 = ? a. (2 ⋅ 5) + (2 ⋅ 6) b.

2.

b.

d.

61

e.

52 × 62

13

c. –1

d.

420

e.

–42

El promedio (la media aritmética) de tres números es 25. Si dos números son 25 y 30, ¿cuál es el tercer número? a. 35

4.

c. 112

Si 6x – 7y = 12, ¿cuál es el valor de –2(6x – 7y)? a. –24

3.

52 + 62

b.

30

c. 25

d.

20

e.

15

Los habitantes del país Turpa utilizan distintas unidades de medida. Cada curd mide 7 garlongs de largo y cada garlong consiste en 15 bleebs. ¿Cuántos curds completos hay en 510 bleebs? a. 105

b.

15

c. 5

d.

4

e.

2

5.

Si x2 – y2 = 12 y x – y = 2, ¿cuál es el valor de x + y?

6.

Cinco enteros consecutivos suman 25. ¿Cuál es el mayor de estos números consecutivos?

7.

Para todos los enteros positivos m y n, definimos a m ↗ n como el resto de número entero cuando se divide m por n. Si 11 ↗ k = 3, ¿a qué equivale k?

8.

En Tartas R Us, se corta cada tarta en pociones como se muestra en la imagen de la derecha. Cada porción de tarta tiene un ángulo central de 30°. Las tartas se venden por porción. Si el peso de cada tarta está uniformemente distribuido y es de 108 gramos, ¿cuánto pesa cada porción en gramos?

9.

En la imagen de la derecha, ¿cuál es el área de la región sombreada si esa región es un cuadrado?

10.

¿Cuál es el sexto término de la progresión que comienza con 432, 72, 12, … ?

30°

2

4

6

Respuestas 1.

C

2.

A

3.

D

4.

D

5.

6

6.

7

7.

8

8.

9g

9.

20

10.

1 18

98

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