ESTADÍSTICA INFERENCIAL

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Sesión No. 2 Nombre: Probabilidad Contextualización En la sesión anterior analizamos cómo a largo plazo un fenómeno aleatorio o probabilístico posee un patrón de comportamiento. Es decir, al repetirse un gran número de veces un experimento aleatorio que tiene varios posibles resultados, la frecuencia con que ocurre cada uno de ellos puede interpretarse como su probabilidad de ocurrencia; o dicho en otras palabras, es factible estimar qué tan posible es que ocurra en lo futuro cada uno de los posibles resultados. Este enfoque de probabilidad se conoce como frecuentista o a posteriori. En esta sesión estudiarás las principales reglas para el cálculo de probabilidades: la regla de la adición, la regla del producto y el teorema de Bayes.

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Introducción al Tema La estadística es una ciencia que se basa en reglas y normas, las cuales deben cumplirse, pues con esto se logra determinar nuevas formas de encontrar los resultados, algunas mas fáciles y otras mas exactas, por lo que se puede conocer de mejor manera en campo de acción.

Es importante conocer los elementos aleatorios que dependen de la resolución que ofrece la estadística para poder determinar la mejor solución, la investigación de campo utiliza los medios de calculo estadísticos para poder determinar información útil para las empresas y la aplicación de campañas útiles en marketing.

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Explicación Reglas de adición. Regla de adición para eventos mutuamente excluyentes Sea ε un experimento y sean A y B dos eventos de ε que son mutuamente excluyentes. La probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B se expresa por: P( A∪B) Como puede observarse, dentro del contexto de la teoría de conjuntos esto corresponde a la operación unión. Entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B se calcula con la siguiente expresión: P(A∪B)=P(A)+P(B). Es decir, corresponde a la suma de la probabilidad de que ocurra el evento A más la probabilidad de que ocurra el evento B. Por ejemplo, se lanzan simultáneamente dos monedas. Calcular la probabilidad de que aparezcan exactamente dos águilas o exactamente un sol. La solución se daría en los siguientes términos: •

ε= Lanzar simultáneamente dos monedas.



•A= Evento consistente en que aparezcan exactamente dos águilas.

•

B= Evento consistente en que aparezca exactamente un sol.

•

Ώ = {aa, as, sa, ss} donde aa significa que aparecen dos águilas, as que aparece águila y sol, sa que aparece sol y águila y ss que aparecen dos soles.

Se observa, entonces, que el experimento

tiene cuatro posibles resultados.

Respecto al evento A, se tiene que sólo un resultado del experimento cumple con esta condición: (aa). Por otra parte, dos resultados cumplen con lo requerido en el evento B. Consecuentemente, la probabilidad de que aparezcan como resultado del lanzamiento simultáneo de dos monedas exactamente dos águilas o exactamente un sol está dada por:

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Regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes Para eventos que no son mutuamente

excluyentes, la probabilidad de que

ocurra un evento A, de que ocurra un evento B o de que ocurran ambos está dada por: ∪ Donde P(A ∩B) corresponde a la probabilidad de que ocurran el evento A y el evento B simultáneamente. Esta probabilidad se calcula empleando el siguiente producto:

Por ejemplo, se lanzan simultáneamente dos dados. Calcular la probabilidad de que la suma de las caras sea un número par o de que la suma de las caras sea mayor al valor nueve. Para la solución se tiene que: ε = Lanzar simultáneamente dos dados. A = Evento consistente en que la suma de las caras sea un número par. B = Evento consistente en que la suma de las caras sea mayor al valor nueve. Ώ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3 ),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4 ,4),(4,5),(4 ,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) ,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),6,5),(6,6)} es decir, 36 posibles resultados con las caras que pueden aparecer en el lanzamiento de los dos dados.

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Puede observarse, que los resultados del experimento que cumplen con lo determinado por el evento A (suma de las caras igual a un número par) son: A={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5 ), (6,2),(6, 4),(6,6)} es decir, 18 resultados que satisfacen la condición del evento A.

Por otra parte, los resultados del experimento que cumplen con lo determinado por el evento B son: B= (5,5), (5,6), (6,5), (6,6).

Esto es, son cuatro los resultados que satisfacen la condición del evento B. Asimismo, los eventos A y B pueden ocurrir simultáneamente de la siguiente manera: A∩B= (5,5), (6,6)

Es decir, ambos eventos pueden ocurrir simultáneamente de dos maneras. De lo anterior se desprende que:

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I.5 Reglas de multiplicación Probabilidad condicional Si B es un evento cualquiera de un experimento con espacio muestral Ώ, la probabilidad de que un evento A ocurra una vez que B ha ocurrido se denota por P(A|B), lo que se lee como “la probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B” y se calcula con la siguiente fórmula: P(A|B)=

Donde P(A∩B) puede interpretarse como el número de elementos de A∩B y P(B) como el número de elementos de B. A esta probabilidad se le denomina probabilidad condicional pues la ocurrencia del evento A está condicionada o depende de que el evento B ocurra. Por ejemplo, se lanzan simultáneamente dos dados. Si la suma de las caras es igual a siete, calcular la probabilidad de que uno de los dados sea igual a tres. La solución es la siguiente:

B={suma de las caras de los dados es igual a siete}={(1,6),(2,5),(3, 4),(4,3),(5,2),(6,1)}, es decir, seis posibles formas en las que puede ocurrir que la suma de las caras sea igual a siete. A={aparece al menos un tres en uno de los dados}={(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3, 4),(3,5),(3,6),(4 ,3),(5,3),(6,3)}, o sea, once posibles formas en las que puede ocurrir que al menos uno de los dados sea igual a tres. A ∩B= {(3, 4), (4 ,3)} , esto es, dos posibles formas en las que A y B pueden ocurrir simultáneamente. Entonces,

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Teorema de la multiplicación para la probabilidad condicional

Es decir, la probabilidad de que ocurra el evento B y el evento A es igual a la multiplicación de la probabilidad de que ocurra el evento B por la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ha ocurrido el evento B. Por inducción matemática, este teorema puede extenderse como se muestra a continuación: Para eventos A1, A2, A3,..., An

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Conclusión Los teoremas, reglas y fórmulas que se dictan en esta parte de la estadística son para determinar elementos de pertenencia y conjuntos, por lo que se podrán conocer las piezas de cada situación, la forma en que funcionan y los resultados que darán después de conocer la situación, por ejemplo toma de muestras de un universo determinado o la forma en que se compone el mismo.

Se determina la probabilidad estadística y se conocen los porcentajes y medidas que se encuentran para los elementos funcionales en cada situación. Para conocer estos se pueden utilizar los medios de factoriales o la combinación de piezas para tener presentas las posibilidades de combinaciones que se puedan establecer en un momento determinado, arrojando la como resultado una posibilidad precisa y bien determinada.

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Teorema de Bayes. Regla de Bayes

El espacio muestral Ώ de un experimento ε puede segmentarse en una colección de eventos A1, A2, A3,..., An mutuamente excluyentes tal que su unión sea igual a Ώ. Por ejemplo, sea el experimento ε consistente en lanzar un dado, de modo que su espacio muestral Ώ está dado por {1,2,3,4,5,6}. Este espacio puede segmentarse de varias formas en una colección de eventos mutuamente excluyentes. Una de ellas sería: A1 = {1,2}, A2 ={3,4,5} y A3 = {6}. Si sobre la partición de un espacio muestral se define un evento B.

Se tiene que; B= Ω ∩ B = ( A1∩B)∪( A2∩B) ∪…∪( An ∩ B) Entonces: P(B)=P(A1∩B) +P( A2∩B) + ... +P( An∩B) Y por el teorema de la multiplicación visto en el apartado 1.5: P(B) =P( A1) P(B|A1)+ P( A2)P(B|A2)+…+ P( A1n)P(B|An) Luego, para toda i, la probabilidad condicional de Ai dado que ha ocurrido B está dada por: P(A1|B)=

En esta expresión se sustituye P(B) por la penúltima ecuación y se emplea P(Ai∩B)=P(Ai) P(B| Ai) en sustitución de P( Ai ∩B) , con lo que se obtiene:

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Lo que se conoce con el nombre de Teorema de Bayes en honor a su inventor, el matemático británico Thomas Bayes. Ejemplo: Se tienen tres urnas: A (con seis bolas rojas y cuatro azules), B (con cuatro bolas rojas y dos azules) y C (con dos bolas rojas y cinco bolas azules). Se selecciona al azar una urna y se extrae de ella una bola. Si ésta es de color rojo, calcular la probabilidad de que se haya sacado de la urna A. Solución: Sea R el evento consistente en sacar una bola roja. Se busca la probabilidad de que si la bola es roja, haya sido extraída de la urna A, probabilidad que se expresa como P(A|R). Entonces, aplicando el Teorema de Bayes:

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Permutaciones y combinaciones. Técnicas de conteo En estadística se emplea una rama de las matemáticas conocida como combinatoria que se aplica al conteo de elementos sin tener que cuantificar de manera directa cada uno de ellos. Entre las principales técnicas de combinatoria (también denominadas técnicas de conteo) se encuentran: • Factorial

• Permutaciones

•Combinaciones

Factorial Es la técnica de conteo que permite cuantificar el número de ordenaciones posibles de los elementos de un conjunto. El factorial de un número n se define como:

Donde n es un número entero mayor o igual a cero. Se tiene por definición que:

Ejemplo

Sean A, B, C tres personas formadas en una fila esperando a ser atendidas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden formarse en la fila?

Solución Calculando el factorial de tres se tiene que hay

maneras

diferentes de formarse, lo que puede verificarse de manera exhaustiva (es decir, enlistando todos los casos posibles):

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Como es de esperarse, al aumentar el número de elementos en un conjunto crece dramáticamente el número de formas posibles en que pueden ordenar- se, y por ende el conteo exhaustivo se vuelve impracticable o imposible. ¿Por qué crees que a la combinatoria se le conoce como el arte de contar sin contar?

Combinaciones Supóngase que se tiene un grupo de cuatro personas: A, B, C y D. Si se elige a dos de ellas, el número de posibles parejas puede determinarse de forma exhaustiva: A, B (que es la misma pareja que B, A) A, C = C, A

A, D = D, A

B, C = C, B

B, D = D, B

C, D = D, C

En general, el número total de combinaciones de k elementos tomados de un total de n se denota con el símbolo C

C

se calcula con la siguiente expresión:

n! k!(n-k)!

Nótese que al determinar las combinaciones, el orden de los elementos no importa (por ejemplo, la pareja A, B es igual a la pareja B, A).

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ESTADÍSTICA INFERENCIAL Ejemplo Calcular el número total de combinaciones de dos elementos tomados de un total de seis. Solución Se debe determinar

. Entonces, k= 2 y n= 6 . Por lo que:

Permutaciones Ahora supóngase que de un grupo de tres personas A, B y C, se seleccionan dos para ocupar un cargo de jefe y otro de asistente. En este caso, el orden de los elementos sí importa. Por ejemplo, la pareja A, B es diferente de la pareja B, A. Este tipo de agrupación se denomina permutación. De manera exhaustiva, el número total de permutaciones de dos elementos tomados de un total de tres está dado por:

Jef

Asistent

1

e A

e B

2

B

A

3

A

C

4

C

A

5

B

C

6

C

B

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En general, el número total de permutaciones de k elementos tomados de un total de n se denota por P P

n! (n-k)!

Ejemplo: Calcular el número total de permutaciones de dos elementos tomados de un total de cinco.

Solución: Se debe determinar P

Entonces k=2 y n=5, por lo que

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Actividad de Aprendizaje En base a los temas anteriores, resuelve los siguientes elementos aplicando las formulas de solución:

1.- Resuelve los siguientes ejercicios en base a las permutaciones y combinaciones.

a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse 8 personas alrededor de una fuente? b) Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿Cuántos números de nueve cifras se pueden formar? c) En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas? d) ¿De cuántas formas pueden colocarse 11 jugadores de futbol teniendo en cuanta que el portero ni puede ocupar otra posición distinta que la portería? e) Se ordenan en fila 5 bolas rojas, 2 blancas y 3 azules. Si las bolas de igual color no pueden distinguirse entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

2. Se lanzan simultáneamente dos dados. Calcular la probabilidad de que la suma de las caras sea un número impar o de que la suma de las caras sea mayor al valor seis________

3. Se lanzan simultáneamente dos dados. Si la suma de las caras es igual a ocho, calcular la probabilidad de que uno de los dados sea igual a seis________

4. En un lote de 18 computadoras hay cuatro defectuosas. Si se eligen al azar tres de ellas, calcular la probabilidad de que las tres no sean defectuosas_____

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Bibliografía García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica.

Hernández, A. y O. Hernández (2003). Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana.

Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana.

Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM.

Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.

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