3. ESPACIO Lw2(a,b)

3. ESPACIO Lw2(a,b) 3.1 ESPACIO Lw2(a,b). 3.1.1 ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. 3.1.2 DIMENSIÓN, ANALISIS DE FUNCIONES Y ÁLGEBRA DE VECTORES. 3.1.3 PRODUCTO ESCALAR. 3.1.4 MÉTRICA. 3.1.5 ESPACIO COMPLETO: Lw2(a,b). 3.1.6 ESPACIO DE HILBERT. 3.1.7 BASE EN Lw2(a,b) Y TEOREMA DE CONVERGENCIA MEDIA. 3.1.8 TEOREMA DE WEIERSTRASS. 3.2 POLINOMIOS ORTOGONALES. 3.2.1 FÓRMULA DE RODRIGUES. 3.2.2. CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS CLÁSICOS. 3.2.3 RELACIÓN DE RECURRENCIA. 3.2.4 ECUACIONES DIFERENCIALES. 3.2.5 LISTADO Y PROPIEDADES DE ALGUNOS POLINOMIOS CLÁSICOS. 3.2.6 DESARROLLO EN SERIE DE POLINOMIOS ORTOGONALES. 3.3 SERIES TRIGONOMÉTRICAS. 3.3.1 SERIE DE FOURIER. 3.3.2 TRANSFORMADA DE FOURIER. 3.4

FUNCIÓN GENERALIZADA DELTA.

3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 3.5.5 3.5.6

OPERADORES LINEALES. CONJUNTO COMPACTO. NORMA DE UN OPERADOR. OPERADOR ACOTADO. METRICA. OPERADOR COMPLETAMENTE CONTINUO. TEOREMA FUNDAMENTAL SOBRE OPERADORES HERMITICOS COMPLETAMENTE CONTINUOS. NOTACIÓN USUAL. OPERADORES INTEGRALES Y DIFERENCIALES.

APÉNDICE: POLINOMIOS ORTOGONALES. Objetivos. Básicamente intento mostrar las ideas que serán necesarias para resolver en problema de Sturm-Liouville en el próximo capítulo. Por economía, no tenemos mucho tiempo, eludo las demostraciones salvo unas pocas que nos ayudarán a entender mucho mejor el problema de SturmLiouville. Por otra parte el esfuerzo que hay que hacer no es excesivo teniendo en cuenta que lo que mostraré es una generalización a un espacio de dimensión infinita de lo que se conoce del espacio vectorial de dimensión finita. Muchos resultados resultarán familiares, pero unos pocos son cruciales y característicos de los espacios de dimensión infinita. Estos nos interesan especialmente como veremos. Toda la exposición está limitada a nuestros fines y siguiendo a Dennery & Krzywicki (ver bibliografía). En concreto, y un poco por encima, defino un espacio de funciones definidas en un intervalo real. Veo que es un espacio vectorial pero de dimensión infinita. Defino el producto escalar de funciones y una distancias entre ellas. Presento ciertas propiedades entre ellas las de las bases de este espacio. A continuación hago un repaso de los polinomios ortogonales que resultan ser posibles bases del espacio de funciones. Un caso particular resulta ser la conocida serie de Fourier. Finalmente presento la función delta (¿repaso?) e introduzco la idea de operador lineal en el espacio de funciones. ¡¡¡ CUIDADO CON LAS ERRATAS !!! ¡¡¡ ESTAS NOTAS NO PUEDEN SUSTITUIR A BUEN LIBRO, NI EL ESFUERZO PERSONAL CONTINUADO PARA ASIMILAR Y APLICAR LAS IDEAS EXPUESTAS !!!

G.NAVASCUÉS

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3. ESPACIO Lw2(a,b) 3.1 ESPACIO VECTORIAL Lw2(a,b). 3.1.1 ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS. Definición:

F={Conjunto de todas las funciones f(x) COMPLEJAS que son CONTINUAS en el intervalo REAL [a,b]}

Definición de una Ley de composición interna (suma, +): FxF → F que se determina por la suma usual del análisis elemental: f(x)∈F y g(x)∈F

→

f(x)+g(x),

para todo x∈ [a,b]

que necesariamente también es una función COMPLEJA CONTINUA en el intervalo REAL [a,b]. Definición de una Ley de composición externa (producto por un número complejo, x): CxF → F que se determina por el producto usual del análisis elemental: f(x)∈F y c∈C

→

cf(x),

para todo x∈ [a,b]

que necesariamente también es una función COMPLEJA CONTÍNUA en el intervalo REAL [a,b]. Del análisis elemental se prueba que la suma tiene las siguientes propiedades: Para toda f, g, h∈F y para todo x∈ [a,b] I (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) II Existe el elemento nulo 0(x) (función cero para todo x∈[a,b] tal que f(x) + 0(x) = f(x) III Para todo f(x) existe el elemento opuesto (–f(x)) tal que f(x) + (-f(x)) = 0(x) = 0 IV f(x) + g(x) = g(x) + f(x) Estas propiedades dan a F una estructura de grupo abeliano (conmutativo) Del análisis elemental se prueba que el producto tiene las siguientes propiedades: Para toda f, g ∈F, λ, µ ∈C y para todo x∈ [a,b] I λ(f(x) + g(x)) = λf(x) + λ⋅g(x) II (λ + µ)f(x) = λf(x) + µf(x) III (λµ)f(x) = λ(µf(x)) IV Existe el elemento unidad 1 en C tal que 1f(x) = f(x) Con este producto el grupo abeliano F adquiere la estructura de un espacio VECTORIAL sobre el cuerpo de los números complejos C. Sabiendo que F es un espacio vectorial y habiendo estudiado previamente álgebra de vectores de dimensión finita, como por ejemplo espacio real tridimensional (3D), será relativamente fácil extender las ideas al espacio vectorial F. Sin embargo, en F, hay algunas sutilezas y características propias que conviene resaltar entre otras cosas por su enorme interés en las soluciones de las ecuaciones diferenciales. 3.1.2 DIMENSIÓN, ANALISIS DE FUNCIONES Y ÁLGEBRA DE VECTORES La primera característica del espacio de funciones es su dimensión INFINITA. Llamaré, como es usual un espacio vectorial, vector f > a un elemento de F, es decir a una función f continua en [a,b]. En el

r

espacio tridimensional llamamos vector | v > (o más usualmente v ) a un elemento de ese espacio que podemos caracterizar por tres números reales ordenados v1 , v2 , v3 , llamados componentes o coordenadas del vector y donde los subíndices 1, 2, y 3 (alternativamente “x”, “y” y “z”) son los índices de las G.NAVASCUÉS

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3. ESPACIO Lw2(a,b) componentes o coordenadas. Si la dimensión fuera mayor, por ejemplo N, las componentes de un vector de ese espacio podrían ser v1 , v 2 , v3 ,..., v N , correspondientes a los índices 1,2,3,...N . En nuestro espacio F el número de componentes es infinito y ADEMÁS continuo: las “componentes” son cada uno de los valores, f(x), que la función toma en el intervalo [a,b] y los “índices”, infinitos y continuos, son los valores que la variable x toma en el intervalo [a,b]. Observe que esto está implícito en las leyes de suma y producto, las componentes del vector suma es la suma de las correspondientes componentes de los vectores sumandos como ocurre en un espacio finito. Lo análogo ocurre con la ley del producto. En las leyes de suma y producto junto con sus propiedades podríamos haber sustituido f(x), g(x) y h(x) la muletilla “para todo x∈ [a,b]” simplemente por f > , g > y f(x) para todo x∈ [a,b]

|h >:

es equivalente a

f >

Aprovecharemos esta dualidad para usar el análisis de funciones o el álgebra de vectores según convenga. f > será un vector que representa a f en el espacio F, y f(x) es una de sus componentes que le corresponde cuando el índice x toma un valor en [a,b]. (Además f(x) puede representar a la función de forma genérica como es usual). 3.1.3 PRODUCTO ESCALAR Como en todo espacio vectorial que se precie se define una nueva ley, el producto escalar, por medio de la cual de dos elementos de F se obtiene un número (en general complejo), esta ley permite introducir una métrica en el espacio, es decir definir la distancia entre dos vectores. El producto escalar de dos vectores | a > y | b > se escribe < a | b > y tiene las propiedades: I II III

< a | b >=< b | a > * Si | d >= α | a > + β | b > ⇒ < c | d >= α < c | a > + β < c | b > (es lineal en |> ) < a | a >≥ 0 , si es =0 entonces | a >= 0

Consecuencias (entre otras): < a | a > debe ser real (será útil para definir la longitud de un vector o la norma) Si

| d >= α | a > + β | b >

⇒ < d | c >= α < d | a > + β *

*

< d |b >

(es antilineal en

= ab = a1b1 + a2b2 + a3b3

[3.1.1]

que es lineal tanto en | a > como en | b > por ser las coordenadas reales; las propiedades del producto escalar I, II y III se cumplen como bien sabemos. Podríamos generalizarlo fácilmente para que fuese antilineal en | a > :

rr < a | b >= ab = a*1 b1 + a*2 b2 + a*3 b3

[3.1.2]

Claro que ya no sería nuestro familiar espacio tridimensional. Observe que en [3.1.1] no aparecen los vectores de la base, es decir que, sin saber a qué base nos referimos, podemos obtener el producto escalar.

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3. ESPACIO Lw2(a,b) Extensión a F El producto escalar en el espacio F es una generalización de [3.1.2]: b

∫ dxw ( x ) f

< f | g >=

* ( x) g ( x)

[3.1.3]

a

Como en el caso [3.1.2], este producto escalar es la suma (continua) de términos obtenidos de multiplicar las componentes de los dos vectores

f > y g > . La función w(x) es una función real positiva llamada

función peso y puede verse como la densidad de puntos xi de una distribución discreta cuando se pasa al continuo:

∑

b

∫ dxw( x)

→

i

a

Como en [3.1.1] (o en [3.1.2]) podemos obtener el producto escalar, [3.1.3] sin conocer a que la base se refieren las componentes f(x) y g(x) de f > y g > , por el momento nada he dicho sobre las posibles bases en este espacio, pero es cierto que esta definición cumple las condiciones de producto escalar como fácilmente se puede comprobar. Como en todos los espacios vectoriales con producto escalar se definen una serie de conceptos y se demuestran ciertas propiedades: Ortogonalidad. Se dice que dos vectores f > y g > (funciones f y g) son ortogonales (f⊥g) si

< f | g >= 0 , es decir

b

∫ dxw( x) f * ( x) g ( x) = 0 a

Norma. Se define la norma de un vector

f > (función f) a la raíz del producto escalar consigo mismo:

|| a ||= < a, a > , es decir: b

|| f ||≡

∫ dxw( x) f * ( x) f ( x)

[3.1.4]

a

Normalización. Un vector f > (una función f) a está normalizado a la unidad si

|| f ||= 1 . Para normalizar un elemento

basta multiplicarlo por la inversa de su norma: | f normalizada >=| f > / || f || . Ortonormalidad. Los vectores | ei > (las funciones e(i)(x)), i=1,2,...s, están ortonormalizados si < en , em >= δ nm , es decir si son ortogonales entre si y de norma la unidad, o en lenguaje de las funciones: b

∫ dxw( x)e

* ( j)

( x)e(i ) ( x) = δ ij

a

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3. ESPACIO Lw2(a,b) Ortogonalización. Proceso de Gram-Schmidt. Dado un conjunto de M vectores linealmente independientes se demuestra, por construcción, que mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt se obtiene un conjunto de vectores ortogonales y normalizados. Se parte de un conjunto de M vectores linealmente independientes: {| ϕ i >, i = 1,2,..., M } .

| ϕ2 >

|y^2>

Se redefine el primer vector (sólo por conveniencia de la notación): | y1 >=| ϕ1 > . Se normaliza el vector resultante:

|ϕ1 >

| yˆ1 >=| y1 > / || y1 || (le pongo un sombrero a los

< yˆ1 | ϕ2 >| yˆ1 >

ortonormalizados).

| y2 >

Se toma el segundo vector | ϕ 2 > y se le resta la

|y^1>

proyección de él sobre el anterior | yˆ1 > (lo que queda es ortogonal al vector anterior como se comprueba fácilmente, ver figura): | y2 >=| ϕ 2 > − < yˆ1 | ϕ 2 >| yˆ1 > .

[

]

(Se suele escribir | y2 >=| ϕ 2 > − | yˆ1 >< yˆ1 | ϕ 2 >=| ϕ 2 > − | yˆ1 >< yˆ1 | | ϕ 2 >=| ϕ 2 > − Pyˆ1 | ϕ 2 > donde evidentemente

Pyˆ1 es un operador que proyecta un vector sobre | yˆ1 > ).

Se normaliza el vector resultante: | yˆ 2 >=| y2 > / || y2 || Se toma el tercer vector | ϕ 3 > y se le restan las proyecciones de él sobre los dos anteriores | yˆ1 > y | yˆ 2 > (lo que queda es ortogonal a estos): | y3 >=| ϕ 3 > − < yˆ1 | ϕ 3 >| yˆ1 > − < yˆ 2 | ϕ 3 >| yˆ 2 > . (O también |

[

]

y2 >=| ϕ 2 > − Pyˆ1 + Pyˆ 2 | ϕ 2 > ). Se normaliza el vector resultante: | yˆ3 >=| y3 > / || y3 ||

Y así sucesivamente. Para el enésimo vector se toma | ϕ n > y se le restan las proyecciones de el sobre los n-1 vectores obtenidos anteriormente | yˆ i > , i=1,2,...n-1, (lo que queda es ortogonal a estos): n −1

| yn >=| ϕ n > −∑ < yˆ i | ϕ n >| yˆ i > .

[3.1.17]

i =1

⎡ n −1

∑P ⎣

(O también | yn >=| ϕ n > − ⎢

i =1

yˆ i

⎤ ⎥ | ϕ n > ). Se normaliza el vector resultante: | yˆ n >=| yn > / || yn || ⎦

En el lenguaje de las funciones [3.1.17] se escribe: n −1

b

i =1

a

yn ( x) = ϕ n ( x) − ∑ yˆ i ( x) ∫ dx' w( x' ) yˆ *i ( x' )ϕ n ( x' )

[3.1.18]

Desigualdades. Schwartz:

|< f | g >|≤|| f || . || g ||

[3.1.19]

Triangular:

|| f + g ||≤|| f || + || g ||

[3.1.20]

En el lenguaje de las funciones estas desigualdades se escriben respectivamente como b

b

b

∫ dxw( x) f * ( x) g ( x) ≤ ∫ dxw( x) | f ( x) | ∫ dxw( x) | g ( x) | 2

a

a

b

∫ dxw( x) | f ( x) + g ( x) |

2

a

G.NAVASCUÉS

2

b

≤

[3.1.15]

a

∫ dxw( x) | f ( x) |

2

a

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b

+

∫ dxw( x) | g ( x) |

2

.

[3.1.16]

a

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3. ESPACIO Lw2(a,b) 3.1.4 MÉTRICA Un espacio vectorial tiene una métrica si se define una operación distancia, dist(a,b), entre dos vectores, por ejemplo | a > y | b > , con las siguientes propiedades: I II

dist(a,b)=dist(b,a) | a > =| b > dist(a,b)=0 ⇒

III

dist(a,b)+dist(b,c)≥ dist(a,c)

(desigualdad triangular)

Las tres propiedades corresponden a la noción común de distancia. Ejemplo del caso de 3D La distancia definida entre dos vectores en el espacio tridimensional usual es en realidad, como bien sabemos, la distancia geométrica entre los puntos que definen sus “extremos”:

r r dist ( a , b ) = módulo ( b − a )

[3.1.17]

que cumple las condiciones mencionadas. Esta definición se puede expresar con el producto escalar de

r r b − a consigo mismo o como la raíz de la suma de cuadrados de la diferencia de las componentes: 1/ 2 r r r r ⎛ 3 2⎞ dist (a, b) =< b − a | b − a >= (b − a )(b − a ) = ⎜ ∑ (bi − ai ) ⎟ ⎝ i =1 ⎠

[3.1.18]

Si las componentes son complejas la definición de distancia se extiende a la forma (ver [3.1.1] y [3.1.2]) 1/ 2 r r r r ⎛ 3 2⎞ dist (a, b) =< b − a | b − a >= (b − a )(b − a ) = ⎜ ∑ | bi − a i | ⎟ ⎝ i =1 ⎠

[3.1.19]

donde aparece el módulo de la diferencia de las componentes, en vez de la diferencia simple. [3.1.19] se reduce a [3.1.18] en caso de componentes reales. Extensión a F En F se define la distancia entre dos funciones como 1/ 2

⎛b ⎞ dist ( f , g ) = ⎜⎜ ∫ dxw( x) | f ( x) − g ( x) |2 ⎟⎟ ⎝a ⎠

[3.1.20]

que es claramente la versión continua de [3.1.19]. Es fácil comprobar que esta definición verifica las condiciones de la distancia. Por otra parte es muy evidente y claro el significado de distancia entre dos funciones cuando son reales (ver figura).

f

dist(f,g)>dist(g,h)

g h

a G.NAVASCUÉS

b

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3. ESPACIO Lw2(a,b) 3.1.5 ESPACIO COMPLETO: Lw2(a,b) Ejemplo del caso de 3D r r r Si una serie infinita de vectores v1 , v2 , v3 ,... del espacio tridimensional usual es tal que sus elementos verifiquen la condición:

r r dist (vk , vl ) ⎯k⎯ ⎯→ 0 ,l →∞

[3.1.21]

se demuestra que la serie converge a otro vector del propio espacio vectorial. En otras palabras los puntos del espacio 3D que definen los vectores de la serie tienden a otro punto del mismo espacio 3D, es un punto de acumulación: para cualquier entorno alrededor de el hay un número infinito de puntos de la serie mientras que fuera de él el número será finito. Cuando el límite de estas series pertenece al propio espacio vectorial este se llama completo. Extensión a F No todos los espacios vectoriales son completos. Precisamente el espacio F de las funciones continuas en un intervalo real no es completo. Con el siguiente ejemplo se verá claramente que es así. Considere la serie infinita de funciones continuas en el intervalo [-1,1] definida por:

1 ⎧ −1 ≤ x < − ⎪ 0, k ⎪⎪ kx + 1 1 1 f k ( x) = ⎨ , − cuya raíz se llama norma, como en el espacio de 3D: 1/ 2

⎫ ⎧b || f ||= < f | f > = ⎨∫ dxw( x) | f ( x) |2 ⎬ ⎭ ⎩a

.

[3.1.24]

2

Es elemental extender todas las propiedades de F a Lw ( a, b) teniendo en cuenta que la integral que define 2

el producto escalar es de Lebesgue. En estas circunstancias se demuestra que Lw ( a, b) es un espacio completo (Teorema de Riesz-Fischer), es decir si en una serie infinita f ( k ) ( x ) ∈ Lw (a, b) , k=1,2,.., 2

dist ( f ( k ) , f ( l ) ) ⎯k⎯ ⎯→ 0 ,l →∞ existe una función f (x) que es el límite de la serie, es decir la distancia entre f (x) y f ( k ) ( x ) tiende a cero cuando k tiende a infinito (convergencia en media): G.NAVASCUÉS

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3. ESPACIO Lw2(a,b) b

[dist ( f , f )] = ∫ dxw( x) | f ( x) − f 2

(k )

(k )

( x) |2 ⎯k⎯ ⎯→ 0 , →∞

[3.1.25]

a

2

y pertenece al propio espacio Lw ( a, b) . (Observe que puede haber más de una función que verifique [3.1.25], esta convergencia es menos restrictiva que exigir directamente

f ( k ) ( x ) ⎯k⎯ ⎯→ f ( x ) , sin →∞

embargo las diferentes posibles funciones sólo pueden diferir en un conjunto de medida nula y por tanto la distancia entre ellas es cero y son consideradas como el mismo vector del espacio).

3.1.6 ESPACIO DE HILBERT Un espacio vectorial con producto escalar y completo es un espacio de Hilbert. Por tanto nuestro espacio 2

de funciones Lw (a, b) es un espacio de Hilbert. (No todos los autores definen de la misma manera el espacio de Hilbert, por ejemplo es usual exigir que sea de dimensión infinita).

2

3.1.7 BASE EN Lw (a, b) Y TEOREMA DE CONVERGENCIA MEDIA Una secuencia infinita de vectores (funciones) | e1 > , | e2 > , | e3 > , ... (e1(x), e2(x), e3(x), ...) forma una base si el único vector ortogonal a ellos es el vector (función) nulo. Teorema: Si {| ei >, i = 1,2,...} es una base de Lw ( a, b) , entonces para todo vector (función)

| f >∈ L2w (a, b)

2

(función f

∈ L2w (a, b) ) la serie de vectores: k

| f ( k ) >= ∑ f i | ei >,

b

k = 1,2,..

f i =< ei | f >=

con

i =1

tiene como límite a

∫ dxw ( x ) e

* i

( x) f ( x)

a

| f > , es decir la distancia entre | f > y | f ( k ) > tiende a cero: b

[dist ( f , f )] = ∫ dxw( x) | f ( x) − f 2

(k )

(k )

( x) |2 ⎯k⎯ ⎯→ 0 . →∞

[3.1.26]

a

Por tanto el vector (función)

| f > se puede escribir: ∞

| f >= ∑ f i | ei > ,

[3.1.27]

i =1

donde los números

fi

se llaman coeficientes de Fourier de | f

> respecto ala base {| ei >, i = 1,2,...}. La

versión analítica de [3.1.27] es obviamente:

⎡b ⎤ f ( x) = ∑ f i ei ( x) = ∑ ⎢ ∫ dx' w( x' )ei* ( x' ) f ( x' )⎥ ei ( x) , i =1 i =1 ⎣ a ⎦ ∞

∞

para x∈[a,b]

[3.1.28]

Multiplicando [3.1.27] escalarmente consigo mismo: ∞

∞

< f | f >=< e j | ∑ f i |∑ f i | ei > = j =1

G.NAVASCUÉS

*

i =1

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∞

∑f

i , j =1

∞

∞

f δ ij = ∑ f i f i = ∑ | f i | 2

* j i

i =1

*

[3.1.29]

i =1

57

3. ESPACIO Lw2(a,b) de donde se colige la llamada desigualdad de Parceval (o de Bessel): ∞

< f | f >≥ ∑ | fi |2

[3.1.30]

i =1

que se entiende de la siguiente manera: en la igualdad [3.1.29] todos los términos son positivos, si faltasen algunos de ellos el producto escalar siempre sería mayor que la suma de los que permanezcan. Hasta ahora todo lo descrito es esencialmente lo que ocurre en un espacio vectorial de dimensión finita, excepto salvo la completitud. Sin embargo he mencionado un resultado realmente excepcional y no sólo 2

por ser característico del espacio Lw ( a, b) , sino por su significado. Analizando con cuidado el teorema anterior lo que nos está diciendo es que cualquier función de Lw2(a,b) puede aproximarse tanto como queramos por una combinación lineal de los vectores de la base (repare que la aproximación es en el sentido de la ecuación [3.1.26]). 3.1.8 TEOREMA DE WEIERSTRASS Los vectores

| 1 > , | 2 > , | 3 > , ..., | n > , ... de L2w (a, b) que

representan a las funciones: 1, x, x2,...,xn-1,... forman 2

una base de Lw ( a, b) Consecuencias: Teorema (también de Weierstrass): Sea f(x) una función continua en el intervalo finito cerrado [a,b]. Dado un ε > 0 existe un n, positivo entero, y un polinomio de grado n, pn ( x ) tal que

f ( x ) − pn ( x ) < ε

para todo x∈[a,b]

Lo que implica que podemos aproximarnos uniformemente a f(x) por medio de polinomios adecuados (por una combinación lineal de las funciones 1, x, x2,x3,... ):

f ( x) ≈ f ( n ) ( x) =

∑fx

0≤i ≤ n

i

i

. Esta convergencia es

más fuerte que [3.1.26] por tanto es obvio que la distancia entre los polinomios y la función tiende a cero cuando n tiende a infinito. Generalización. La generalización es obvia. Dada una función de varias variables f ( x, y , z ,...) continua en el intervalos finitos cerrados [a x , bx ] , [a y , by ] , ... y dado un grado n

f ( n ) ( x, y, z ,...) =

∑f

ε >0

existe un n, positivo, y un polinomio en x, y, z,... de

x y z ... tal que | f ( x, y, z,...) − f ( n ) ( x, y, z,...) |< ε para todo x ∈ [a x , bx ] ,

( n) i i , j , k ,... 0 ≤ i , j , k ,...≤ n

j k

y ∈ [a y , by ] , .... Es decir podemos acercarnos a la función tanto como queramos sin más que buscar el polinomio adecuado:

f ( x, y, z,...) ≈ f ( n ) ( x, y, z ,...) =

G.NAVASCUÉS

∑f

(n) i i , j , k ,... 0 ≤ i , j , k ,...≤ n

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x y j z k ...

con x ∈ [ a x , bx ] ,

y ∈ [a y , by ] , ...

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