Estimación de modelos de volatilidad estocástica en series de rendimientos bursátiles

ESTIMACIÓN DE MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA EN SERIES DE RENDIMIENTOS BURSÁTILES

García Centeno, Mª del Carmen*; Calvo Martín, Meri Emilia** * Universidad San Pablo CEU (Madrid); **Universidad Complutense de Madrid

RESUMEN Las series temporales de alta frecuencia observadas en los mercados financieros y cambiarios se caracterizan por ser asimétricas, leptocúrticas, agrupamiento de la volatilidad, mostrar una elevada persistencia en volatilidad, correlaciones en los cuadrados, efecto leverage, etc. Estas características son las que se conoce en la literatura econométrica como hechos estilizados. Para recoger estas características de las series temporales se han planteado modelos no lineales, entre los que se pueden destacar básicamente dos tipos: por un lado, los modelos ARCH y GARCH y todas sus posibles variantes y por otro lado, los modelos de volatilidad estocástica. Estos modelos se diferencian entre sí en la forma de modelizar la volatilidad, así el primer tipo de modelos se caracteriza porque la varianza condicional depende de las observaciones pasadas de la serie (modelos ARCH) y de sus propios valores pasados (modelos GARCH), mientras que en los modelos de volatilidad estocástica la volatilidad es función de un proceso estocástico no observable. En este trabajo, vamos a analizar los distintos resultados obtenidos de la estimación de los dos tipos de modelos anteriormente propuestos, aplicados a series de rendimientos de índices bursátiles.

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García Centeno, M. C.; Calvo Martín, M. E.

1. INTRODUCCIÓN El estudio de la volatilidad en los mercados financieros y cambiarios ha ido creciendo en las últimas décadas. Para estudiar la evolución dinámica de la volatilidad en la literatura econométrica se han propuesto básicamente dos tipos de modelos: los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva (modelos ARCH, propuestos por Engle (1982) y modelos GARCH, propuestos por Bollerslev (1986)) y todas las variantes que a partir de ellos han ido surgiendo y los modelos de volatilidad estocástica (modelos SV, propuestos por Taylor (1986)) y sus variantes. De estos modelos, los más utilizados han sido los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva, ya que son más sencillos de estimar y están ya implementados en la mayoría del software econométrico. Los modelos de volatilidad estocástica son más complicados de estimar ya que se desconoce cual es la función de verosimilitud. En este trabajo vamos a utilizar el modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizado, modelo GARCH y el modelo de volatilidad estocástica autorregresivo de primer orden, modelo ARSV para estimar la evolución de la volatilidad de los rendimientos diarios de dos índices bursátiles: el CAC40 y el DAX30. Los datos para realizar estas estimaciones han sido obtenidos de la base de datos datastrem. La finalidad que se persigue con la formulación y la estimación de estos diferentes modelos es conseguir dependiendo de la forma de dependencia de la varianza condicional de su pasado o de otras variables que en ella puedan influir, el modelo más adecuado. Posteriormente estos modelos pueden ser utilizados en la obtención de predicciones de la volatilidad, medición de riesgo, valoración de opciones, etc. Sin embargo en este trabajo nos limitaremos sólo a la estimación de los diferentes modelos y a la comparación de los diferentes resultados obtenidos.

2. ANÁLISIS DE DATOS Las series temporales que vamos a utilizar son los rendimientos diarios de dos índices bursátiles. Para el cálculo de estas series de rendimientos, hemos utilizado los precios de cierre diarios de los días en los que existe mercado en el periodo comprendido entre 9-07-1987 y el 30-07-2004 para el CAC40 y entre 302

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12-1987 y 30-07-2004 para el DAX30, es decir un total de 4552 y 4328 observaciones respectivamente para cada uno de los índices. Los rendimientos de cada uno de los índices se define como la variación porcentual del logaritmo del precio de cierre del índice para dos días consecutivos de mercado. Así, el rendimiento diario para el día t, (yt) se calcula de la siguiente forma: yt = 100 x (ln Pt-ln Pt-1), donde Pt representa el valor del índice del día t. La representación gráfica relacionada con estos índices es: (a)

(b) d a to s C A C 4 0

r e n d im ie n to s C A C 4 0 ( R t)

6000

5

0

4000

-5 2000 -1 0 0

650

1 .0 (c)

1300

1950

A C F-A c f R t

2600

3250

3900

0

0 .5

0 .5

0 .0

0 .0

-0 . 5

-0 . 5

0

10

650

1 .0 (d)

P A C F-A c f R t

20

30

1300

1950

A C F - A c f R t^ 2

0

2600

3250

3900

P A C F - A c f R t^ 2

10

20

30

Gráfico 1.1 CAC40: (a): Evolución diaria del índice a precios de cierre; (b): Rendimientos diarios del índice; (c): fac y facp de los rendimientos del índice; (d): fac y facp de los rendimientos al cuadrado del índice.

(b)

(a)

10

d a to s D A X 3 0

6000

r e n d im ie n to s D A X C 3 0 ( R t)

5 0

4000

-5 2000

-1 0

0 1 .0

650

13 00

A C F-A c f R t

195 0

2600

3250

39 00

0 1.0

P A C F-A c f R t

(c)

650

1300

A C F - A c f R t^ 2

19 50

2600

3 250

39 00

P A C F - A c f R t^ 2

(d)

0 .5

0.5

0 .0

0.0

-0 . 5

-0 . 5

0

10

2 0

30

0

10

20

30

Gráfico 1.2 DAX30: (a): Evolución diaria del índice a precios de cierre; (b): Rendimientos diarios del índice; (c): fac y facp de los rendimientos del índice; (d): fac y facp de los rendimientos al cuadrado del índice.

Los principales momentos muestrales obtenidos de los rendimientos diarios de estos índices están en las siguientes tablas:

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Contraste normalidad 2238.9 1.0728 -0.76950 13.716 7.5970 -13.029 CAC40 0.0210 6068.2 1.4421 -0.39914 8.7464 7.5517 -13.707 DAX30 0.0233 Tabla 1: Momentos muestrales de los rendimientos diarios de los índices en el periodo muestral. Media

Desviación Asimetría típica

K=1 CAC40

K=2

Máximo

Mínimo

K=3

K=4

K=10

K=20

K=50

K=100

-0.047

0.001

0.0005 0.017

0.042

0.005

0.201

0.152

0.180

0.119

0.066

0.022

Yt

0.0216

Yt 2

0.157

Yt

-0.022

-0.009 -0.022

0.019

-0.019

-0.013

0.034

-0.008

Yt 2

0.194

0.185

0.170

0.126

0.115

0.093

0.044

DAX30

-0.003

Curtosis

0.290

0.168

Tabla 2: Autocorrelaciones muestrales de los rendimientos de los índices en la muestra.

Las principales características que podemos destacar de los rendimientos de estos índices son las siguientes: 1) La serie de rendimientos de los índices se mueve en torno a un nivel constante igual a cero, que es bastante estable para toda la muestra. Sin embargo, la varianza de los rendimientos no se mantiene constante sino que va cambiando a lo largo del tiempo, como se puede apreciar en los gráficos 1.1 (b) y 1.2(b), observándose periodos en los que la volatilidad es menor (que coinciden con periodos en los que los rendimientos de los índices no sufren grandes cambios) y periodos en los que la volatilidad es mayor (que coinciden con los periodos en los que la variación de los rendimientos respecto de su media es mayor). Este comportamiento en los rendimientos de los índices es lo que se conoce como agrupamiento de la volatilidad o clustering de la volatilidad. 2) En las series de rendimientos existen datos que en periodos de relativa calma toman valores muy grandes, positivos o negativos. Estos son datos atípicos que coinciden con algún acontecimiento puntual que ha afectado al comportamiento de las bolsas. 3) Las series de rendimientos no siguen una distribución normal, ya que no son simétricas (los coeficientes de asimetría son negativos) y leptocúrticas, ya que su coeficiente de curtosis es mayor que el de una distribución normal (como se puede apreciar en la tabla 1), lo que implica unas colas más anchas que las de dicha distribución y que la respuesta de la volatilidad ante shocks de diferente signo sea asimétrica, este hecho es conocido en la literatura econométrica como efecto leverage. 4

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Además el estadístico Jarque Bera calculado para contrastar la normalidad, rechaza en todos los casos la hipótesis de normalidad. 4) En los gráficos de la función de autocorrelación simple (acf) y parcial (pacf) observamos que existe una nula correlación entre los rendimientos de la serie, pero sin embargo sí que existe correlación entre los rendimientos al cuadrado. Esta correlación suele ser casi siempre positiva, con valores que no son muy grandes pero estadísticamente significativos y que decrecen de forma lenta hacia cero. Esto es debido al agrupamiento que se produce en la volatilidad (lo que indica la presencia de heterocedasticidad condicionada en las series de rendimientos y la necesidad de modelizar el comportamiento de la varianza condicional). Este comportamiento de la series de rendimientos bursátiles muestra la existencia de persistencia de la volatilidad. Por lo tanto, podemos concluir diciendo que las series de rendimientos analizadas, presentan las características que autores como Bollerslev, Engle y Nelson(1994) entre otros, establecen como típicas de las series financieras: son asimétricas y leptocúrticas; ausencia o escasa correlación en las series de rendimientos; varianza cambiante a lo largo del tiempo, alternando periodos de poca volatilidad seguidos de otros de alta volatilidad (agrupamiento de la volatilidad); existe correlación en los cuadrados de los rendimientos de la serie y estas decrecen de forma lenta hacia cero (persistencia de la volatilidad).

3. MODELIZACIÓN DE LA VOLATILIDAD Las características que hemos visto que presentan los rendimientos de los índices bursátiles, con carácter genérico, se pueden modelizar utilizando dos tipos de modelos, los modelos ARCH, GARCH y sus posibles variantes y los modelos SV y sus posibles variantes.

3.1. Modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva La volatilidad en este tipo de modelos se define como una función determinista de las innovaciones pasadas al cuadrado y de la varianza condicional retardada. Es determinista en el sentido de que la ecuación de la media tiene un término de perturbación y que su varianza sé modeliza condicionalmente según el conjunto de información hasta el periodo t-1. XIII Jornadas de ASEPUMA

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Dado el comportamiento de las funciones de autocorrelación simple y parcial de los cuadrados de los rendimientos de índices bursátiles vamos a proponer para las series de rendimientos financieros un modelo GARCH(1,1). El modelo GARCH(1,1) viene especificado por las siguientes ecuaciones:

Ecuación de la media :

yt = µ + σtε t 2 t

2 1 t −1

Ecuación de la varianza : σ = α 0 + α ε

ε t ~ i.i.d.(0,1) + β1σ 2t −1

donde α>0, α1,β1≥ 0 α1+β1