Eurocódigo para Estructuras de Acero Desarrollo de Una Propuesta Transnacional Curso: Eurocódigo 3 Módulo 4 : Diseño de Piezas

Lección 12: Vigas no arriostradas Resumen: • • • • • • • •

Las vigas flectadas respecto a su eje de mayor inercia pueden fallar por pandeo en un plano más flexible Este modo de pandeo implica tanto el desplazamiento lateral como el alabeo. Se denomina pandeo lateral (lateral-torsional buckling). Denominamos momento crítico elástico a aquel momento aplicado que hace que la viga alcance el agotamiento por pandeo lateral. Un procedimiento de diseño para vigas propensas al fallo por pandeo lateral debe tener en cuenta un gran número de factores- incluyendo la forma de la sección, el grado de arriostramiento lateral, el tipo de carga, la distribución de tensiones residuales y las imperfecciones iniciales. Las vigas robustas no estan afectadas por el pandeo lateral y su capacidad resistente esta gobernada por el momento resistente plástico de la sección transversal. Las vigas esbeltas presentan capacidades resistentes próximas al momento crítico elástico teórico. En la práctica muchas vigas estan significativamente afectadas por imperfecciones geométricas y comportamiento anelástico por lo que la teoría elástica proporciona tan solo un valor límite superior. Una expresión de diseño ligando la capacidad plástica de vigas robustas con el comportamiento elástico de vigas esbeltas viene dada mediante un factor de reducción para pandeo lateral, χ LT.

Requisitos previos: • • •

Teoría de flexión. Pandeo de elementos estructurales. Comportamiento de vigas arriostradas.

Notas: Este material comprende una lección de 30 minutos.

Structural Steelwork Eurocodes – Development of a Trans-national Approach (SSEDTA)

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Objetivos: El estudiante debería: • tener presente el fenómeno de inestabilidad por pandeo lateral • ser capaz de identificar los parámetros que lo controlan • comprender el significado de los términos en las ecuaciones del pandeo lateral elástico • ser capaz de aplicar las reglas del EC3 al diseño de una viga simplemente apoyada no arriostrada • identificar aplicaciones prácticas en las que resulta improbable que el pandeo lateral se pueda presentar

Referencias: • • • • •

Beams and Beam Columns: Stability and Strength; Narayanan, R., editor; Applied Science Publishers, 1983 Theory of Beam Columns Volume 2, Space Behaviour and Design; Chen, W. F. and Atsuta, T.; McGraw Hill, 1977 Theory of Elastic Stability, Second Edition; Timoshenko, S.P. and Gere, J.M.; McGraw Hill, 1962 The Behaviour and Design of Steel Structures; Trahair, N.S. and Bradford, M.A.; E&F Spon, 1994 Design for Structural Stability; Kirby, P.A. and Nethercot, D.A.,

Contenidos: 1. Introducción 2. Pandeo elástico de una viga simplemente apoyada 3. Desarrollo de un procedimiento de diseño 4. Extensión a otros casos 4.1 Tipo de carga 4.2 Punto de aplicación de la carga 4.3 Condiciones de vinculación en los extremos 4.4 Vigas con arriostramientos laterales intermedios 4.5 Vigas contínuas 5. Conclusiones

2

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1. Introducción Cuando un elemento estructural esbelto es cargado en su plano de mayor rigidez surge una tendencia de dicho elemento a agotarse por pandeo en un plano más flexible. En el caso de una viga sometida a flexión alrededor de su eje de mayor inercia, el fallo puede sobrevenir debido a un modo de pandeo que incluye tanto la deformación lateral como el alabeo de la viga y que denominamos pandeo lateral. La figura 1 ilustra el fenómeno sobre una ménsula solicitada por una carga puntual vertical en su extremo libre.

E xtremo empotrado

P osición descargada P osición deformada

P eso m uerto carga a plicada verticalmente

Figura 1 Pandeo lateral de una ménsula esbelta Si la ménsula fuera perfectamente recta y su sección transversal fuera perfectamente elástica y estuviera inicialmente libre de tensiones, el extremo de la ménsula se deformaría solamente según el plano vertical sin deformación fuera de dicho plano hasta que el momento aplicado alcanzase un valor crítico a partir del cual la viga pandease lateralmente. Un procedimiento de diseño para vigas susceptibles de fallar por pandeo lateral precisa tener en cuenta un gran número de factores – incluyendo la forma de la sección, el grado de arriostramiento lateral, el tipo de carga, la distribución de tensiones residuales, las imperfecciones iniciales – y por lo tanto es bastante complejo. Es conveniente en un principio considerar un modelo básico que posteriormente pueda desarrollarse para incluir casos más generales.

2. Pandeo elástico de una viga simplemente apoyada La figura 2 muestra una viga en I inicialmente recta y perfectamente elástica, solicitada por dos momentos iguales y de sentido contrario aplicados en los extremos respecto del eje de mayor inercia (en el plano del alma). La viga no se encuentra arriostrada a lo largo de su longitud salvo en las secciones extremas donde tienen impedidos mediante un apoyo de horquilla, el desplazamiento lateral y el alabeo pero tienen libertad para girar tanto en el plano del alma como en el plano horizontal. La forma de la viga alabeada y las deformaciones resultantes se muestran también en la figura (nótese que sólo se muestra media viga, y las deformaciones acotadas se refieren a la mitad de la luz).

3

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M

M L Perfil

Alzado

Planta z x u

y

φ

Figura 2 Pandeo lateral de una viga I simplemente apoyada solicitada por momento flector uniforme El momento necesario para provocar el pandeo lateral puede obtenerse teniendo en cuenta el efecto perturbador de los momentos aplicados en los extremos, actuando a través de la viga deformada, sobre la resistencia interna de la sección (torsional y a flexión). El valor crítico de los momentos aplicados en los extremos, el denominado momento crítico elástico (Mcr), vale

π 2 EI z  I w L2 GI t  Mcr = +   L2  I z π 2 EI z 

0.5

(1)

F.1

donde It es el módulo de torsión; Iw es el módulo de alabeo Iz es el momento de inercia respecto del eje débil; L es la longitud sin arriostrar de la viga. La presencia de rigidez a flexión (EIz) y rigidez torsional (GIt y EIw) en la ecuación es una consecuencia directa de los componentes laterales y torsionales en las deformaciones. La importancia relativa de estos items dependerá del tipo de sección transversal considerada. La figura 3 ilustra este punto comparando el momento crítico elástico de una sección en cajón (la cual posee elevadas rigideces torsional y de flexión) con secciones abiertas de diversas formas.

4

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1 .0

0 .1 Relación ent re Mcr y el M cr para una sección en cajón

0.0 1

0 .0 0 1 0

10

20

40

30

50

60

70

Relación longitud altura

Figura 3 Efecto de la forma de la sección transversal sobre el momento crítico elástico teórico La figura 4 compara valores del momento crítico elástico (Mcr) para una viga en I y otra en H con capacidades similares de momento plástico en el plano de flexión. El pandeo lateral es una consideración de diseño potencialmente más significativa para la sección de viga que presenta una rigidez lateral y torsional mucho menor.

Sección -Ι

Sección - H

457x152 UB 60

254x254 UC 89

14

Mcr Mp

12

Wpl (cm3 )

1284

1228

25464

14307

Ι z (cm )

794

4849

J (cm4 )

31,5

97,6

Ι w (cm )

386700

716400

Ιy 10

4

(cm ) 4

8

4

6 254x254 UC 89

M

M

4

L 457x152 UB 60

2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

L (m)

Figura 4 Comparación de momentos críticos elásticos para secciones en I y H

5

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3. Desarrollo de un procedimiento de diseño En la realidad las vigas no son perfectamente rectas ni el material es elástico. La Figura 5 muestra los efectos de las tensiones residuales y del endurecimiento por deformación sobre la resistencia a pandeo lateral. Nótese que para valores de esbeltez elevada el comportamiento está bien representado por la teoría de pandeo elástico pero en las vigas robustas hay una interacción compleja a medida que el comportamiento anelástico provoca una reducción de la capacidad, y para vigas muy robustas la capacidad esta limitada por la resistencia plástica de la sección. La aplicación de un tratamiento teórico del problema sería demasiado complejo para el diseño habitual de modo que se precisa combinar la teoría con los resultados de ensayos para disponer de un método de diseño fiable (seguro).

Momento crítico adimensional M/My

Endurecimiento por deformación

Pandeo elástico Plasticidad total M=Mp Vigas sin tensiones residuales

Vigas soldadas con tensiones residuales Vigas laminadas con tensiones residuales M M

Relación de esbeltez L/ry

Figura 5 Resistencias de pandeo lateral de vigas I biapoyadas La Figura 6 compara un conjunto típico de datos obtenidos de ensayos de pandeo lateral con los momentos críticos elásticos teóricos dados por la ecuación 1. Se ha usado un gráfico adimensional dado que permite representar los resultados de diferentes series de ensayos (que presentan diferentes secciones transversales y resistencias del material) para ser comparados directamente por medio de una esbeltez adimensional, λ LT. Para vigas robustas ( λ LT < 0.4) la capacidad resistente no se encuentra afectada por el pandeo lateral y esta gobernada por el momento resistente plástico de la sección transversal. Las vigas esbeltas ( λ LT > 1.2) tienen capacidades resistentes próximas al momento crítico elástico teórico, Mcr. Sin embargo, las vigas con una esbeltez intermedia, que representan muchas vigas en la práctica, están afectadas negativamente y de modo significativo por la inelasticidad y por las imperfecciones geométricas y por ello la teoría elástica proporciona una envolvente superior de la solución. Se requiere una expresión de cálculo que permita ligar la capacidad plástica de las vigas robustas con el comportamiento elástico de vigas esbeltas. El EC3 proporciona en este sentido una solución mediante el empleo de un coeficiente de reducción por pandeo lateral, χ LT.

6

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M M pl 1 ,0 M M

0 ,8

cr pl

0 ,6 0 ,4 0 ,2

Ro b u s t a

Es b elt a

In t erm ed ia

0 0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

1 ,2

1 ,4

λ LT =

M pl  M cr

Figura 6 Comparación de datos de ensayos con los momentos críticos elásticos teóricos

La resistencia de cálculo al pandeo lateral (Mb.Rd) de una viga sin arriostramiento lateral viene dado entonces como : Mb.Rd = χ LT βw Wpl.y fy/γm1

(2)

5.5.2 (1) (5.48)

dicho valor es de hecho la resistencia plástica de la sección multiplicada por el coeficiente de reducción ( χ LT). La Figura 7 muestra la relación entre χ LT y la esbeltez adimensional, λ LT

Las curvas mostradas están expresadas por

χ LT =

[

1

φ LT + φ LT 2 − λ LT

]

2 0.5

(3)

5.5.2. (2) (5.49)

donde

  φ LT = 0.51 + α LT ( λLT − 0.2) + λLT 2   

(4)

en la cual αLT es un coeficiente de imperfección, tomado como 0,21 para perfiles laminados y 0.49 para secciones armadas, con sus tensiones residuales más severas.

7

Coeficiente de reducción χLT

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1,0 1,0

Perfiles laminados

0,6

0,4

Vigas armadas

0,2

0

0,5

1,5

1,0

2,0

Esbeltez λ LT

Figura 7 Coeficiente de reducción de pandeo lateral La esbeltez adimensional λ LT , definida como M bRd / M cr , puede obtenerse bien calculando el momento resistente plástico y el momento crítico elástico (véase Appendix F.1) o más convenientemente por medio de la relación:

λ  λ LT =  LT  β w 0.5  λ1 

(5)

5.5.2 (5)

donde

E λ1 = π   fy 

0.5

(6)

y λLT puede calcularse utilizando las expresiones apropiadas para una variedad de formas de sección (véase Apendice F.2.2.). Por ejemplo, para una viga lisa (sin rebordes) en I o H con alas iguales, y sometida a momento uniforme con apoyos extremos simples,

λLT =

L/iz  1  L/i  1 +  z   20  h/t f 

(7) 2 0.25

  

F.2.2

F.2.2 (5) (F.21)

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4. Extensión a otros casos 4.1. Tipo de carga Un momento uniforme aplicado a una viga no arriostrada es la situación más severa que podemos considerar para el pandeo lateral. Un análisis elástico de casos de carga alternativos proporciona valores más altos para los correspondientes momentos críticos. Por ejemplo, el momento crítico elástico para una momento uniforme es (reorganizando la ec. (1))

π 2 EI w π M cr = EI z GI t 1 + 2 L L GI t

(8)

Pero para una viga con una carga puntual en el centro el momento crítico de pandeo lateral es:

π 2 EI w 4.24 M cr = EI z GI t 1 + 2 L L GI t

(9)

lo que significa un valor 4.24/π veces mayor que el caso de partida. El EC3 emplea un factor C1, Figura 8 (dependiente del aspecto del diagrama de momentos.) para permitir que en otras situaciones de carga, el momento crítico se pueda incrementar adecuadamente. El coeficiente C1 aparece como un simple multiplicador en las expresiones del Mcr (véase EC3 ec. F.2) o bien como 1 / C 1 en las expresiones que permiten obtener λLT. π Mcr= C1 L Viga y cargas

EI GJ

Momento flector

1+

π 2 EI w L2 GJ Mmax

C1

Tabla F.1.1 M

M M

1,00

M

1,879

M

M

-M M

2,752

Tabla F.1.2 F

F

FL 4

1,365

FL 8

1,132

Nota: Los valores corresponden a un factor de longitud efectiva k de 1,0

Figura 8 Coeficientes C1 de momento uniforme equivalente

9

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4.2. Punto de aplicación de la carga

Factor de momento uniforme equivalente m

La estabilidad lateral de una viga no solo depende de la disposición de las cargas a lo largo de su luz sino también de la posición en donde se aplica la carga relativa al centro de gravedad de la sección. La Figura 9 ilustra el efecto que tendría el posicionar la carga por encima o por debajo del centroide para una viga de un solo vano con una carga puntual en el centro del vano

1,4

F a= d/2

1,2

1,0

F a= 0

F

0,8 F

0,6

a= d/2

0,4 1

10

100

2

1000

L GI t EI w

Figura 9 Efecto de posición de la carga en la estabilidad de la viga Las cargas aplicadas sobre el ala superior aumentan el efecto desestabilizador como consecuencia del momento de alabeo adicional provocado por la acción de la carga que no pasa por el c.d.g. de la sección. La influencia de este comportamiento se hace más significativa a medida que el canto de la viga aumenta y/o la luz se reduce dado que L2GIt/EIw se hace menor. De nuevo el EC3 tiene en cuenta esta situación introduciendo un factor C2 en la ecuación general del momento crítico elástico y en las expresiones para λLT (véase EC3 ec. F.27 - F.31).

F.1.2 (F,2)

F.2.2 (8) (F.27-F.31)

4.3. Condiciones de vinculación en los extremos En todo el planteamiento anterior se han supuesto condiciones de vinculación en los extremos que no permiten el movimiento lateral ni el alabeo de dichas secciones pero si permiten su giro en el plano de la viga. Las vinculaciones extremas que restringen el giro en el plano, aumentan la resistencia a pandeo elástico (en el mismo sentido que las capacidades resistentes de los pilares se ven incrementadas mediante las restriciones al giro de sus extremos). Un modo apropiado de incluir el efecto de diversas condiciones de vinculación es redefinir la longitud sin arriostrar de la viga como un longitud efectiva, o bien de forma más precisa mediante dos coeficientes de longitud efectiva., K y Kw. Los coeficientes reflejan los dos tipos posibles de restricción en los extremos, coacción a la flexión y coacción al alabeo. Sin embargo debe tenerse en cuenta que resulta recomendable que Kw valga 1,0 a no ser que se hayan tomado medidas especiales para evitar el alabeo de los extremos. El EC3 recomienda valores para K de 0.5 en extremos empotrados, 0.7 para piezas con un extremo articulado y el otro empotrado y por supuesto 1.0 para piezas con sus dos extremos articulados. La elección de K se deja al criterio del diseñador.

F.1.2 (4)

F.1.2 (2)

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4.4. Vigas con arriostramientos laterales intermedios Cuando las vigas dispongan de puntos de arriostramiento lateral intermedios a lo largo de su luz, cada segmento de viga entre arriostramientos puede estudiarse por separado. En este caso el diseño de la viga estará basado en el segmento más crítico. Para las longitudes de las vigas entre arriostramientos deberemos emplear un coeficiente de longitud efectiva K de 1.0 no 0.7, dado que en la forma pandeada la longitud sin arriostrar adyacente pandeara en sintonía.

4.5. Vigas contínuas Las vigas contínuas por encima de un número de vanos pueden tratarse como vanos individuales teniendo en cuenta la forma del diagrama de momentos flectores en cada uno de los vano como un resultado de la continuidad y empleando el coeficiente C1.

5. Conclusiones • • • • • • •

Las vigas pueden fallar pandeo por pandeo lateral en un plano más flexible que el plano en el que se encuentran flectadas Al momento flector para el cual se produce este fenómeno lo denominamos momento crítico elástico. Un procedimiento de diseño debe tener en cuenta un gran número de factores. La forma de la sección, el grado de arriostramiento lateral, el tipo de carga, la distribución de tensiones residuales y las imperfecciones iniciales. Las vigas poco esbeltas no estan afectadas por el pandeo lateral. Las vigas de esbeltez importante presentan capacidades resistentes próximas al momento crítico elástico teórico. Muchas vigas se encuentran significativamente afectadas por imperfecciones geométricas y por un comportamiento anelástico por lo que la teoría elástica de pandeo lateral proporciona tan solo un valor límite superior de la solución. Una expresión de diseño que nos liga la capacidad plástica de vigas robustas con el comportamiento elástico de vigas esbeltas viene dada mediante el coeficiente de reducción para pandeo lateral, χ LT.

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